时间安排 第 23 次课
章节
名称 §4.1 不定积分的概念与性质
教学目的 1.理解原函数概念、不定积分的概念；
2.掌握不定积分的基本公式；
3.掌握不定积分的性质
教学重点与
难点 重点：1. 不定积分的概念；
2. 不定积分的性质及基本公式；
难点： 不定积分的公式的应用
教
学
内
容
与
过
程
设
计
一、 原函数的概念
定义1 如果在区间I上 可导函数F(x)的导函数为f(x) 即对任一xI 都有
F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数
原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续 那么在区间I上存在可导函数F(x) 使对任一x I 都有F (x)f(x)
简单地说就是 连续函数一定有原函数
两点说明
第一 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x) 那么f(x)就有无限多个原函数 F(x)C都是f(x)的原函数 其中C是任意常数
第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数 则(x)F(x)C (C为某个常数)
二、 不定积分的概念
定义2 在区间I上 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分 记作 dxxf)(
其中记号称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx称为被积表达式 x 称为积分变量
教
学
内
容
与
过
程
设
计
注: 由定义知, 求函数)(xf的不定积分, 就是求)(xf的全体原函数, 在dxxf)(中, 积分号表示对函数)(xf实行求原函数的运算, 故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微分)运算的逆运算；
根据定义 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数 那么F(x)C就是f(x)的不定积分 即
不定积分的性质
不定积分是指在一定的定义域范围内，求解定义域内函数与常量之和的运算，称为不定积分。其形式为∫abf(x)dx，其中f(x)是定义域[a,b]内定义的一个连续函数，则称为不定积分。
（一）不定积分的定义域在完成时会发生变化：
求不定积分就是求解一段区间上的函数加上一个常量的和。也就是说，每次求不定积分的时候，函数的定义域会发生变化，从而使积分的值也会随着变化。
不定积分的定义域会发生变化，由此引起积分限也会产生变化，比如，积分限变成以上，由此带来的积分值也会有所变化。
（三）不定积分的积分式有泰勒级数的性质：
由定义可知不定积分的求解结果具有和某个函数的泰勒展开式相似的性质，由此可知不定积分的求解过程可以当成是求某一函数泰勒级数展开式的过程。
（四）不定积分存在正则函数：
正则函数是指在可分离的每一个区间上，它的积分值都是不变的。而不定积分也可以表示为一个正则函数，即一分可分离的每一个区间上，其积分值都是不变的。
（五）不定积分有极限值：
不定积分的极限值是指在某一定域内的无穷大函数的最大值，这有助于我们在求解不定积分的时候能够给出一个合理的结果。
不定积分可以通过变换来改变积分式，这有助于我们求出一些不容易求出的积分值，比如要求b>a时的积分值，可以通过将变量x变成−x的形式来改变积分式，从而求出结果。
总之，不定积分具有定义域、积分限、正则函数及极限值、变换性等特性，是很重要的一类积分的概念。
第四章 不定积分
§4-1 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念
1.原函数定义
定义1：如果在区间I上，可导函数()Fx的导数为()fx，即对任一xI，都有
()()Fxfx或()()dFxfxdx，则称()Fx为()fx在区间I上的一个原函数。
例：(sin)cosxx，则sinx是cosx的一个原函数；
1(sin1)(sin)(sin3)cos2xxxx，则都是cosx的原函数。
2.原函数性质
定理1：如果()fx在区间I上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果()Fx是()fx的一个原函数，则()FxC是()fx的全体原函数，且任一原函数与()Fx只差一个常数。
例：验证2211cos2,sin2,cos233xxx都是sin2x的原函数
证：2211(cos2)sin233(sin2)sin2(cos2)sin2xxxxxx，则三个函数都是sin2x的原函数
3.不定积分定义
定义2：()fx的全体原函数称为()fx的不定积分，记作()fxdx，其中称为积分号，()fx称为被积函数，()fxdx称为被积表达式，x称为积分变量。
说明：如果()Fx是()fx在区间I上的一个原函数，则()FxC就是()fx的不定积分，即()()fxdxFxC
例1：求23xdx
解：因为32()3xx，所以3x是23x的一个原函数
则233xdxxC
例2：求1dxx
解：当0x时，1(ln)xx
当0x时，11ln()xxx
所以1 ln||(0)dxxCxx
4.不定积分几何意义
在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()fx，可由()yFx沿y轴平移得到。
例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231yxx重合，求该曲线方程
解：设2()31fxxxC
由于曲线过(1,3)
则3131C，2C
1 第四章 不定积分
前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．
第1节 不定积分的概念与性质
1.1 不定积分的概念
在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分)的问题，例如,变速直线运动中已知位移函数为
()sst,
则质点在时刻t的瞬时速度表示为
()vst．
实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度
()vvt，
求出质点的位移函数
()sst．
即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．
1。1。1原函数
定义1 如果在区间I上，可导函数()Fx的导函数为()fx，即对任一xI，都有
()()Fxfx 或 d()()dFxfxx，
那么函数()Fx就称为()fx在区间I上的原函数．
例如,在变速直线运动中，()()stvt,所以位移函数()st是速度函数()vt的原函数；
再如，(sin)'cosxx，所以sinx是cosx在(,)上的一个原函数．1(ln)'(0),xxx所以lnx是1x在(0,)的一个原函数．
一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．
定理1 如果函数()fx在区间I上连续,那么在区间I上一定存在可导函数()Fx，使对任一xI都有
()()Fxfx．
简言之,连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数．
定理1的证明，将在后面章节给出。
关于原函数，不难得到下面的结论：
若()()Fxfx，则对于任意常数C,()FxC都是()fx的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．
假设()Fx和()x都是()fx的原函数，则[()()]0Fxx，必有()()FxxC，即一 2 个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．
