人教版九年级数学下册作业课件：第28章整合提升 (共26张PPT)

8．如图，点 O 是摩天轮的圆心，最高点 A 到地面的
距离是 160 m，AB 是其垂直于地面的直径，小贤在地
面点 C 处利用测角仪测得摩天轮的最高点 A 的仰角为
45°，测得圆心 O 的仰角为 30°，则
摩(结天果轮保的留半根径号为)．160
160 3
3
m
9．某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 h1(单位：m)， 如图所示，垂直放置的标杆 BC 的高度 h2＝4 m，仰角 ∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已经测得一组α，β的值， tanα≈1.24，tanβ≈1.20，据此算出 h1 的值是 124 m.
∴CD≈80 米．∴CE＝(80－x)米． ∵∠ACE＝56°，tan∠ACE＝CAEE＝x8＋0－20x， ∴x≈40，即 AF≈40 米． ∴AE＝AF＋EF≈40＋20＝60(米)， 即此时无人机离地面的高度约是 60 米．
2．如图，飞机在空中 A 处探测到它的正下方地面 上目标 C，此时飞行高度 AC＝1200 米，从飞机上 看地面指挥台 B 的俯角α的正切值为34，则飞机与指 挥台之间的距离 AB 为( D ) A．1200 米 B．1600 米 C．1800 米 D．2000 米
3．如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学 楼的高度 AB，无人机在离教学楼底部 B 处 16 米的 C 处垂直上升 31 米至 D 处，测得教学楼顶 A 处的 俯角为 39°，则教学楼的高度 AB 为 18.0 米(结果 精确到 0.1 米，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78， tan39°≈0.81)．
6．如图，已知点 C 处有一个高空探测气球，从点
C 处测得水平地面上 A，B ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点的俯角分别为 30°

＝
3
3）
＝(30
3
＋45)米，
3
∴DG＝EH＝AH－AE＝(30 3 ＋45)－15＝(30 3 ＋30)米，(30 3 ＋30)÷5＝(6 3
＋6)秒，∴经过(6 3 ＋6)秒时，无人机刚好离开了操控者的视线
2．如图，在高为 2 m，倾斜角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 (C )
A．[2பைடு நூலகம்( 3 ＋1)] m B．4 m C．2( 3 ＋1) m D．2( 3 ＋3) m
3．(威海中考)小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的 河流宽度．他先在河岸设立 A，B 两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点 M.测得 AB＝50 米，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°.请你依据所测数据求出这段河流的 宽度．(结果精确到 0.1 米，参考数据：sin22°≈38 ，cos22°≈1156 ，tan22°≈25 ，sin67°≈1123 ， cos67°≈153 ，tan67°≈152 )
2
∴x ＝ 17 ≈0.82 ， ∴OD ＝ 0.82 m ， ∴DH ＝ OH － OD ＝ OA － OD ＝ 3.4 － 0.82 ＝
5
2.58≈2.6(m)，答：最大水深约为 2.6 m.
13．(广元中考)如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到 一定高度 D 点处时，无人机测得操控者 A 的俯角为 75°，测得小区楼房 BC 顶端点 C 处的俯角为 45°.已知操控者 A 和小区楼房 BC 之间的距离为 45 米，小区楼房 BC 的高 度为 15 3 米．
解：如图，过点 D 作 DG⊥AE 于点 G，得矩形 GBFD，∴DF＝GB，在 Rt△GDE 中，DE＝80 cm，∠GED＝48°，∴GE＝DE·cos 48°≈80×0.67＝53.6(cm)，∴GB＝ GE＋BE≈53.6＋110＝163.6≈164(cm).∴DF＝GB≈164(cm).答：活动杆端点 D 离地面 的高度 DF 约为 164 cm

（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多
少（精确到1°）？这时人能够安全使用这个梯子吗？
素养目标
28.2 解直角三角形及其应用/
3. 能根据直角三角形中除直角以外的两个元 素（至少有一个是边），解直角三角形. 2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系.
1. 了解解直角三角形的意义和条件.
解直角三角形的依据：
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
Ｂ
(3)边角之间的关系:
c a
sin A a cos A b tan A a
c
c
b
Ａ bＣ
探究新知
28.2 解直角三角形及其应用/
归纳总结
解直角三角形的原则： (1)有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边） 用切（正切）；
A 45° c=4 b
解：∵ ∠A=45° ∴ ∠B=90°—∠A=45°,
C
a
B
∵ sin A a c
∴ a sin A c sin 45 4
242 2
也可以：
∵ ∠A= ∠B=45°
∴ b=a= 2 2
∵ cos A b
2
c
∴ b cos A c cos 45 4 2 4 2 2
人教版 数学 九年级 下册28.2 解直角三角形源自其应用28.2.1解直角三角形
（含小结与练习）
导入新知
28.2 解直角三角形及其应用/
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面
所成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子，问：

解：过 D 作 DH⊥BC 于 H，则四边形 ADHC 是矩形，∴AD＝CH＝ BE＝0.6.∵点 M 是线段 BC 的中点，
∴BM＝CM＝2.4，∴EM＝BM－BE＝1.8. ∵MN⊥BC，∴MN∥DH，∴△EMN∽△EHD， ∴MDHN＝EEMH，∴M1.N6＝14..88，∴MN＝0.6. 答：障碍物的高度为 0.6 米．
3．已知在 5
Rt△ABC
中，∠C＝90°，sin
A＝1132，则
tan
B
的值
为 12 .
考点 2：特殊角的三角函数值
4 ． 在 △ABC
中 ， sin
B
＝
cos(90°
－
C)
＝
1 2
，
则
∠A
的大小
120°
是
.
0
5．计算：cos 60°＋sin245°－tan 30°·tan 60°＝
.
考点 3：解直角三角形及其应用
∵DH＝DF－HF，∴ 3y－ 33(y＋15)＝20， 解得 y＝7.5＋10 3. ∴ME＝MF＋FE＝7.5＋10 3＋15≈39.8. 答：古塔的高度 ME 约为 39.8 m．
【易错专攻】
10．★如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三
角形为“好玩三角形”．若 Rt△ABC 是“好玩三角形”，且∠A＝90°，
【中考链接】
14．△ABC 中，∠A，∠B 均为锐角，且(tan B－ 3)·(2sin A－ 3)
＝0，则△ABC 一定是
B
(
)
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．有一个角是 60°的三角形
15．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 是 AB 的中点，ED⊥

当我们从某一方向观察一个物体时,所看到的平面图形叫做物体的一个视图.
边角间关系：sinA=cosB= ;cosA=sinB= ；
tanA= ;tanB=
面积关系：S△ABC=⑩a _____= ch(h为斜边bAB上的高)
acb
c
b
a 1 ab
1
2
2
常见的类型和解法
已知条件
已知一直角边 和一锐角（a
，∠A）
图形
解法
∠B=90°-∠A，c= a ，
sinA
b= _____（或b= c2 a2 ）
已知斜边和 一条直角边
（c，a）
图形
解法
b=
c2 a2
，由sinA=
a c
求∠A，∠B= _9_0°_-_∠_A___
解直角三角形的实际应用
概念 仰角、俯角
图形
定义
视线在水平线上方 的角叫仰角，
视线在水平线下方 的角叫俯角
解直角三角形的实际应用
概念
图形
坡度（坡比 ）、坡角
定义
坡面的垂直高度h与水 平宽度l的比叫坡度（ 坡比），用字母i表示 ；坡面与水平面的夹角
在Rt△PCB中，∠CPB=30°，
∴BC=PC·tan∠CPB=60·tan30°=60×
，
∴AB=AC+BC=（60+20 ），
答：乙楼的高度AB为（60+20 ）m.
3
3
3 20 3 3
（3）如图③，当热气球P在丙楼AB左上方时，从 热气球P处看楼顶A俯角为30°，看楼底B的俯角为
60°，此时热气球距离地面的高度为150 m，求丙
P
A
B C
F DE

2.如图,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的 另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=520m, ∠d=50°,那么开挖点E离D多远正好能A,C,E使成一直线,(精 确到0.1m)?
例5.如图,一般海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯 塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于 灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距 离灯塔P有多远(结果取整数)?
问题 要想使人平安地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶 端,梯子与地面所成的角α,一般要满足50°≤α≤75°. 现有一个长6m的梯子.问
(1)使用这个梯子最高可以平安攀上多高的墙(精确到0.1m)
对于问题(1),当梯子与地面成的角α为75°时,梯子顶 端与地面的距离是使用这个梯子所以攀到的最大高度.
问题(1)可以归结为:在Rt△ABC中,己知∠A=75°,斜边 AB=6,求∠A的对边BC的长.
(1)坡度α和β; (2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形问题); (2)根据条件的特点,适中选用锐角三角函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.
例3 2022年6月18日，“神舟〞九号载人航天飞船与“天宫〞 一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟〞九号与“天宫〞一 号的组合体当在离地球外表343km的圆形轨道上运行.如图,当组 合体运行到地球外表上P点的正上方时，从中能直接看到的地球 外表最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半 径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)？
解 : 如图在RtAPC中

(2)∠A＝22°，AB＝10.(sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40，其中结果精确到 0.1) 解：在 Rt△ABC 中，∠B＝90°－∠A＝90°－22°＝68°. ∵∠A＝22°，AB＝10， ∴AC＝cosA·AB＝cos22°·10≈0.93×10＝9.3， BC＝AB·sinA＝10·sin22°≈0.37×10＝3.7.
又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝CD，∠E＝30°， CE
∴CE＝sCinDE＝sin430°＝41＝8. 2
∴BC＝BE－CE＝6 3－8.
(2)若 sinA＝45，求 AD 的长． 解：∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝45＝BAEE， ∴设 BE＝4x，AE＝5x，则 AB＝3x. ∴3x＝6，得 x＝2. ∴BE＝8，AE＝10.
10．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝2，BC＝CD＝ 2 3 ， ∠B ＝ 90°， ∠C ＝ 120°， 则 线 段 AD 的 长 为 7. 解析：如图，连接 AC. 在 Rt△ABC 中， ∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝2 3， ∴tan∠ACB＝BACB＝223＝ 33.
∴∠ACB＝30°. ∴AC＝2AB＝4. ∵∠BCD＝120°. ∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝120°－30°＝90°. 在 Rt△ADC 中， ∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝2 3， ∴AD＝ AC2＋CD2＝ 42＋（2 3）2＝2 7.
解：在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，tanA＝
3， 3
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°.
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°.
又∵CD＝ 3， ∴BC＝taCn3D0°＝3. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝siBn3C0°＝6.

A
BD
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用 相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰 角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所 示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a 和山坡长度l
i=1:3
β
C
在Rt△CDE中，∠CED=90°
tanDEi1:3
CE
18.4
3、学校操场上有一根旗杆，上面有一根开
旗用的绳子（绳子足够长），王同学拿了
A
一把卷尺，并且向数学老师借了一把含300
A
的三角板去度量旗杆的高度。
（（12））若若王王同同学学将分旗别杆在上点绳C、子点拉D成处仰将角
为旗6杆00上，绳如子图分用别卷拉尺成量仰得角B为C=640米0、，则
A
B
D 40 C
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月13日星期日2022/2/132022/2/132022/2/13 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/132022/2/132022/2/132/13/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/132022/2/13February 13, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/132022/2/132022/2/132022/2/13
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形；

7．(2021·安徽中考)学生到工厂劳动实践，学习制作 机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四 边形 AEFD 为矩形，点 B、C 分别在 EF、DF 上， ∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10 cm，BC＝6 cm. 求零件的截面面积(参考数据：sin53°≈ 0.80，cos53°≈0.60)． 解：由题意知 AD∥EF， ∴∠ABE＝∠BAD＝53°.
5．如图是一种三角车位锁，经测量，钢条 AB＝AC＝ 50 cm ， ∠ABC ＝ 47°( 参 考 数 据 ： sin47°≈0.73 ， cos47°≈0.68，tan47°≈1.07)，则车位锁的底盒长 BC 为 68 cm.
6．(2021·贺兰县模拟)如图，由游客中心 A 处修建通 往百米观景长廊 BC 的两条栈道 AB，AC.若∠B＝56°， ∠C＝45°，则游客中心 A 到观景长廊 BC 的距离 AD 的长约为 60 米(结果保留整数，sin56°≈0.8， tan56°≈1.5)．
∴AC＝OA·sin18°≈10×0.31＝3.1(mm)． ∴AB＝2AC＝6.2 mm.
(2)求这个正十边形的面积(参考数据：sin18°≈0.31， cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)． 解：∵OC＝OA·cos18°≈10×0.95＝9.5(mm)， ∴S△AOB＝12AB·OC＝12×6.2×9.5＝29.45(mm2)． ∴S 正十边形＝10S△AOB＝294.5 mm2.
又∵EF＝BE＋BF＝6＋4.8＝10.8，
∴四边形
ABCD
的面积
S
＝
AE·EF
－
1 2
AE·BE
－
1BF·FC＝8×10.8－1×8×6－1×4.8×3.6＝53.76(cm2)．

＝20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位)．
解： A ＝ 9 0 º － B ＝ 9 0 º － 3 5 º ＝ 5 5 º ，A
∵ tanB＝b ,
c
b
a
20
∴ a ＝ tan bB ＝ tan 20 35°≈ 28. 6 ． C
35° a
B
二、探究新知
∵ sinB＝b , c
A． b＝a·tan A
B． b＝c·sin A
C． b＝c·cos A
D． a＝c·cos A
四、课堂训练
3．如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC＝4， sin B＝ 4 ，则菱形的周长是( C )．
5 A．10 B．20 C．40 D．28
A
D
B
EC
四、课堂训练
4．如图，已知 AC＝4，求 AB 和 BC 的长．
一般地，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元 素的过程，叫做解直角三角形．
二、探究新知
(1)在直角三角形中，除直角外还有哪几个元素？ (2)结合右图说一说这几个元素之间有哪些关系？ (3)知道这几个元素中的几个，就可以求其余元素？ 解：(1)在 Rt△ABC 中除直角外还有五个元素，三边： AB，AC，BC 或 a，b，c 两锐角：∠A ，∠B．
∴ c＝ sin bB ＝ sin 23 05°≈ 34. 9． 注意：选取函数关系求值时尽可能用原始数据，减少因 为近似产生的累积误差．
二º，∠B＝72º，c＝14，解这个
直角三角形． A
解： A ＝ 9 0 º － 7 2 º ＝ 1 8 º ，
， B
二、探究新知
在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，a＝30，b＝20．解这个直 角三角形． 在 Rt△ACD 中，

AC2－CD2 ＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋ 3
15．(梧州中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 上一点，
AB＝5，BD＝1，tan B＝34 . (1)求 AD 的长； (2)求 sin α的值．
解：(1)由 tan B＝34 可设 AC＝3x，得 BC＝4x， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得 x＝－1(舍去)或 x＝1， ∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD ＝ CD2＋AC2 ＝3 2
人教版
第二十八章 锐角三角函数
28．2.1 解直角三角形
9．(练习变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形： 第二十八章 锐角三角函数
(1)∠A＝60°，b＝4； (1)∠A＝60°，b＝4； 第二十八章 锐角三角函数
(1)∠A＝60°，b＝4； (1)∠A＝60°，b＝4； 9．(练习变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形： 第二十八章 锐角三角函数
9．(练习变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形：
((11))∠ ∠AA＝＝解6600：°°探，，bb＝＝究44；；：过点 B 作 BD⊥AC，垂足为 D.∵AB＝c，∠A＝α，∴BD＝c·sin
(1)∠A＝60°，b＝4；
9(91．．)∠((练练A习 习＝α变 变60，式 式°))，在 在∴bRR＝ttS△ △4△；AAABBCCB中 中C＝， ，∠ ∠12CC＝ ＝A9900C° °·， ，Baa， ，Dbb＝， ，cc分 分12别 别b为 为c∠ ∠AAs， ，in∠ ∠BBα， ，∠ ∠CC的 的应对 对用边 边， ，：由 由下 下过列 列点条 条件 件解 解C直 直作角 角三 三C角 角E形 形： ：⊥DO 于点

新课进行时 考点一 正弦、余弦、正切的定义.
正弦： 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，锐角
A 的对边与斜边的比，记作 sin A.
斜边c
即sin A=
∠A 的对边． a
斜边
=c
Ab
余弦：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A
的邻边与斜边的比，记作cosA.
B∠A
a
的 对
边
C
cos A=
∠A 的邻边 斜边
随堂演练
2. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图). 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时 通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直 向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海 岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝ 40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙 的游泳速度都是 2 米/秒，则谁先到达 B 处？请说明理由 (参考数据：sin55°≈0.82， cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).
随堂演练
解：过O作OH⊥PQ于H.
∠OPH=70°-25°=45°，OP=200.
状元成
∴PH=OH=OP·sin45°=200× 2
=100 2 ≈141（千米）.
2
才路
台风从P到H用的时间约为 141 =7.05(小时).
20
此时受台风侵袭的圆形区域半径约为60+10×7.05
=130.5＜141，这股台风不侵袭这座海滨城市.
C
答：塔高CD为 10 10 3 m.
新课进行时
易错点1 因不能正确理解三角函数的定义而错
易错点二
状元A成 才路

问题2 某住宅小区要种植一块面积为
1 000 m2的矩形草坪，草坪的长 y （单位：m）随宽 x（单位：m）的变
化而变化． 问题3 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人均占有面积 S （单位： km2 /人）随全市总人口 n（单 位：人）的变化而变化．
形成概念
v 1 463
t
y 1 000 x
S 1.68104
y k（k ≠ 0） x
n
一般地，形如
y k（k 为常数，且 k ≠ 0）
x
的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变
量，y 是函数. 自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数．
1．下列哪些关系式中的 y 是 x 的反
比例函数？
（1）y=4x；
（2） y =3；度v是时间t的反比例函数，当t
v 14t63 取每一个确定的值时，v都有唯一确定的值与其
对应。
2、问题2和问题3呢？
在问题（2）中，当面积一定（1000㎡）时，
y 1000 表示长y是宽x的反比例函数，当
x
2
x取每一个确定的值时，y都有唯一确定的 值与其对应。
3、练习
指出下列函数中，哪一个成反比例函数关系 (1) y kx，1 xy=k(上述两个式子中k均为常数，
2、一次函数： ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ、ｂ为常数，ｋ≠０）
3、正比例函数： ｙ＝ｋｘ（ｋ为常数，ｋ≠０）
二、讲授新知
1、具体事例 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如
果有，它们的解析式有什么共同特点？
(1)京沪线铁路全程为1463km，某次列车平均 速度v（单位:km/h）随此次列车的全程运行时 间t（单位:h）的变化而变化；
复习题27