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第三章习题及答案
1．人照镜子时，要想看到自己的全身，问镜子要多长？人离镜子的距离有没有关系？
解：
镜子的高度为1/2 人身高，和前后距离无关。
2．设平行光管物镜L 的焦距f ' =1000mm，顶杆与光轴的距离a=10 mm，如果推动顶杆使平面镜倾斜，物镜焦点F 的自准直像相对于F 产生了y=2 mm 的位移，问平面镜的倾角为多少？顶杆的移动量为多少？
解：
3．一光学系统由一透镜和平面镜组成，如图3-１所示，平面镜MM 与透镜光轴垂直交于D 点，透镜前方离平面镜600 mm 有一物体AB，经透镜和平面镜后，所成虚像A＂B＂至平面镜的距离为150 mm，且像高为物高的一半，试分析透镜焦距的正负，确定透镜的位置和焦距，并画出光路图。
图３-１习题３图
解：平面镜成β=1 的像，且分别在镜子两侧，物像虚实相反。
4．用焦距=450mm 的翻拍物镜拍摄文件，文件上压一块折射率n=1.5，厚度d=15mm
的玻璃平板，若拍摄倍率，试求物镜后主面到平板玻璃第一面的距离。
解：
此为平板平移后的像。
5．棱镜折射角，C 光的最小偏向角，试求棱镜光学材料的折射率。
解：
6．白光经过顶角
的色散棱镜，n=1.51 的色光处于最小偏向角，试求其
最小偏向角值及n=1.52 的色光相对于n=1.51 的色光间的交角。
解:。
第一章 习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g comb = 系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛bfΛ。
若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。
并画出输出函数及其频谱的图形。
答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略， （2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。
1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1）如果L a 1<，Wb 1<，试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明：(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f sinc sinc 1,,y x,f ∴,,,,y x,f ====bxa x ab bf af rect y x f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x yx yx F F F F F 1-（2）如果L a 1>， Wb 1>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。
因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。
1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。
（必要时，可取合理近似）（1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π, 答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答：()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,（4）()()()()()y rect x rect x comby x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f com b y 7x sin y rect x rect x com by x g y x y x y x y x y x x yx y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。
3.1 证明反射定律符合费马原理。
证明：设两个均匀介质的分界面是平面，它们的折射率为n 1和n 2。
光线通过第一介质中指定的A 点后到达同一介质中指定的B 点。
为了确定实际光线的路径，通过A,B 两点作平面垂直于界面，'OO 是它们的交线，则实际光线在界面上的反射点C 就可由费马原理来确定，如下图所示。
(1)反证法：如果有一点'C 位于线外，则对应于'C ，必可在'OO 线上找到它的垂足''C .由于''AC 'AC >,''BC 'BC >,故光线B AC'总是大于光程B ''AC 而非极小值，这就违背了费马原理，故入射面和反射面在同一平面内得证。
(2)在图中建立坐XOY 坐标系，则指定点A,B 的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），未知点C 的坐标为（x ，0）。
C 点是在'A 、'B 之间的，光程必小于C 点在''B A 以外的相应光程，即21v x x <<，于是光程ACB 为y x x n y x x n CB n AC n ACB n 2211221221111)()(+-++-=+=根据费马原理，它应取极小值，即0)(1=n dxd0)sin (sin )()()()()()(21112222211212111=-='-'=+---+--=i i n B C C A n y x x x x n y x x x x n ACB n dx d 所以当11'i i =，取的是极值，符合费马原理。
3.2 根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点发出并会聚倒像点的所有光线的光程都相等。
由此导出薄透镜的物象公式。
解：略3.3 眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d 为30cm 。
第三章习题解答3.1参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（ 3.35 ）式时，对于积分号前的相位因子相对于它在原点之值正好改变n 弧度?设光瞳函数是一个半径为 a 的圆，那么在物平面上相应 h 的第一个零点的半径是多少?时可以弃去相位因子由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为 的条件是式中rx 2 y 2，而试问exp j#(x ； y o )2d o2 2 x y iM 2(1) 物平面上半径多大时，相位因子expj£(x 0 y 0)d o(2) (3) 由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a ，入和d o 之间存在什么关系expk 2 2(x 。
y 。
)2d o (2) y 2)賦 2d o,r o ... d o根据（3.1.5 ） 式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点(%, %)h(x °,y °;x, y)1 2d °d i2P (x,y)exp jp (xi %)2 (yi %)2]dxdy r circ 一aJ_aJ,2 a ) 2d o d i(3)根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点 扩散函数对于原点的贡献 h(x ),y 0;0,0) o 按照上面的分析，如果略去 h 第一个零点以外的影响，即只考虑h 的中央亮斑对原点的贡献， 那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近r 。
0.61 d 。
/ a 范围内的小区域。
当这个小区域内各点的相位因子2exp[jkr ° /2d °]变化不大，就可认为(3.1.3 )式的近似成立，而将它弃去，假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如/16 )就满足以上要求，则 kr ；/2d 0162 r °d °/16，也即a 2.44. d 0(4)例如 600nm , d ° 600nm ，则光瞳半径a 1.46mm ,显然这一条件是极易满足 的。
2-1 在杨氏实验中，用波长为632。
8nm 的氦氖激光束垂直照射到间距为1.00mm 的两个小孔上，小孔至屏幕的垂直距离为100cm. 试求在下列两种情况下屏幕上干涉条纹的间距： (1)整个装置放在空气中；（2）整个装置放在n=1。
33的水中。
解: 设两孔间距为d ，小孔至屏幕的距离为D ，装置所处介质的折射率为n ,则两小孔出射的光到屏幕的光程差为21()sin xn r r nd nd Dδθ=-==所以相邻干涉条纹的间距为D x d nλ∆=⋅（1） 在空气中时，n ＝1。
于是条纹间距为10431.0632810 6.3210(m)1.010D x d λ---∆==⨯⨯=⨯⨯ （2） 在水中时，n ＝1。
33.条纹间距为10431.0632810 4.7510(m)1.010 1.33D x d n λ---⨯⨯∆=⋅==⨯⨯⨯2-2 在杨氏干涉装置中,双缝至屏幕的垂直距离为2.00m 。
测得第10级干涉亮纹至中央亮纹之间的距离为 3.44cm ，双缝间距为0.342mm, 试求光源的单色光波长。
解：在杨氏干涉装置中，两束相干光的光程差为：sin xd d D δθ==根据出现亮条纹的条件0λδk ±=，对第10级亮条纹，k 取10，于是有:010λ=Dxd带入数据得:0231021044.310342.0λ=⨯⨯⨯--由此解出：nm 24.5880=λ2-4因为：λθj Dxd d ==sin 所以：λ∆=∆j D xd)(102.24m djD x -⨯=∆=∆λ2-5 用很薄的云母片（n =1.58)覆盖在双缝干涉实验装置的一条缝上,观察到干涉条纹移动了9个条纹的距离,光源的波长为550.0 nm ，试求该云母片的厚度。
解:设云母片厚度为h ，覆盖在双缝中的1r 光路上,此时两束相干光的光程差为：21()(1)xr r h nh dn h k Dδλ''=--+=--= 当没有覆盖云母片，两束相干光的光程差为：21xr r d k Dδλ=-==因为条纹移动了9个，则:9k k '-=由①、②两式得:(1)9n h λ-=由此可得云母片的厚度为:9699550.0108.5310(m)1 1.581h n λ--⨯⨯===⨯--2-13nm 8.6420=λ2-14 将两块平板玻璃叠合在一起,一端互相接触。
第三章习题解答3.1参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（试问物平面上半径多大时，相位因子相对于它在原点之值正好改变n 弧度?设光瞳函数是一个半径为 a 的圆，那么在物平面上相应 h 的第一个零点的半径是 多少?时可以弃去相位因子由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为 的条件是expj£(x； y i )2d o2M 22 yi3.35 ）式时，对于积分号前的相位因子exp j 希(X 2Vo)2d o由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a ，入和d o 之间存在什么关系exp2 2(x o y o )2>2y2)2d根据（3.1.5 ） 式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点(%, %) h(x o ,y o ；x, y)12d o d i2P(x,y)expjp(x i%)2 (y i%)2]dxdycirc式中r J x2y 2，而(1)0.61a(3)根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点 扩散函数对于原点的贡献 h(x 0,y 0;0,0) O 按照上面的分析，如果略去h 第一个零点以 外的影响，即只考虑h 的中央亮斑对原点的贡献， 那么这个贡献仅仅来自于物平面原点 附近r 。
0.61 d o /a 范围内的小区域。
当这个小区域内各点的相位因子2exp[jkr 。
/2d 0]变化不大，就可认为(3.1.3 )式的近似成立，而将它弃去，假设小区a 2.447'"d 0600nm , d 。
600nm ，则光瞳半径a 1.46mm ,显然这一条件是极易满足1 1t(X 0,y 0)— —cos 2 f 0X 0 2 2放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在 面内，与Z 轴夹角为0。
透镜焦距为 f ,孔径为Db(1) 求物体透射光场的频谱;(2) 使像平面出现条纹的最大0角等于多少？求此时像面强度分布;(3)若0采用上述极大值， 使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与0在点扩散函数的第一个零点处,(x %、2 J i (2 a ) )2(% %) 2 )(d i)0 ,此时应有2 a 3.83，即将(2)式代入(1 )式，并注意观察点在原点(x i y0)，于是得域内相位变化不大于几分之一弧度(例如/16 )就满足以上要求，则 kr ； /2d 0— ,162rd 0/16，也即例如 的。
3.2一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为X o Z 平=0时的截止频率比较，结论如何?(1)(2)欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统，系统的截止频率c D/4 f，于是要求由此得角的最大值为maxarcsin D4f(2)此时像面上的复振幅分布和强度分布为A D U j(x,y i) -exp j2 x^f [1 -ex p(2j2 X jA2 5 l i(X i,y i)—-4 4 cos2 f o x解：(1)斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为 A exp( jkx0 sin ),为确定起见设0,则物平面上的透射光场为U o(x0, y o) A exp( jkx o sin )t(X o, y。
)A2 exp j2 x o亜^exp j2X o(f osin ) 1-ex p2sinj2 x o(f o ——)其频谱为)F U o(X o, y o)sin sinf osin 由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿轴整体平移了sin /距离。
sinf osinf o D4fsinD4f(1)（3）照明光束的倾角取最大值时，由（1）式和（2）式可得（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是 函数，其频谱为常数 1，即系统对任何频f 0 2D（4）一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。
3.3光学传递函数在f x = f y =0处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于 1 吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样?（1）在（3.4.5 ）式中，令h i （冷yjdxdy ih （X i ，y i ）exp[ j2（人 y i）]dxdy即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上, 这便是归一化点扩散函数的意义（2）不能大于1f 0D 4fD 4f0时，系统的截止频率为D/4 f ，因此光栅的最大频率比较（3）和（4）式可知，当采用max 倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了f 0max0maxh （N, y ）hi （X i , y i ） 为归一化强度点扩散函数，因此（3.4.5 ）式可写成H （0,0） 1h （X i ，y i ）d^dy i率的传递都是无损的。
3.4当非相干成像系统的点扩散函数h i (X i, y i)成点对称时，则其光学传递函数是实函数。
解：由于h i(X i，y i)是实函数并且是中心对称的，即有h i(X i,y) h i(X i,y i),h i (X i, yj h i( X i, y i)，应用光学传递函数的定义式(345 )易于证明H (,)，即H (,)为实函数。
3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。
小圆孔的直径都为2a, 出瞳到像面的距离为d i,光波长为入，这种系统可用来实现非相干低通滤波。
系统的截止频率近似为多大?解：用公式(3.4.15 )来分析。
首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。
其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况, 而不计及和其它小孔的重叠，这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截止频率约为2a/ d i，由于2a很小，所以系统实现了低通滤波。
3.6试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像。
解: 如图t(X0, y。
) (X, y)(X i, y i)d o图3.6题1是透过率函数为t(X0,y0)的物平面，2是与1共轭的像平面，即有1 d01__ 1d i — fd i式中f 为透镜的焦距，设透镜无像差，成像过程分两步进行: (1)射到物面上的平面波在物体上发生衍射，结果形成入射到透镜上的光场(2) 这个入射到透镜上的光场经透镜作位相变换后, U ］，这个场传到像面上形成物体的像。
为了计算光场，我们用菲涅耳近似，透镜前表面的场为的光场exp(jk U i (X i ,y i ) 2 X i 2d i j 入d i 2丄)X U I exp(jk — 2 2 y xx i 三厂)exp( jk 」 yy i 严)dxdy d i 2 x i exp( jk —— 2 宀 2d i j 入d i2 2 exp( jk \ y) ….、 2d 0“ F(f x , f y) ----------- — -- ---------- exp( j 入d o 2 jk — 2 2 2 y x y fxp( jk y ) 2d i exp( jk xx __ )dxdyd iU i ；在透镜的后表面上形成衍射场2 2exp(jk X y)22dXU | ——0t(X 0,y 0)ex p(jk 歸J d2d2纠 exp(jk^^^jdx o dy od o这里假定t(X 0,y 0)只在物体孔径之内不为零，所以积分限变为，此积分可以看成2 2是函数t(x 0,y 0)exp(jk — )的傅立叶变换，记为 F(f x ，f y )，其中2d o厶f 丄JI y在紧靠透镜后表面处2 ' exp(jk ---U i' ___________________ 2d"d2 J)2「F(f x ,f y )exp (jk 冷 2厶)这个被透镜孔径所限制的场,在孔径上发生衍射,在用菲涅耳近似，便可得到像面 2上2 2 2 27° )exp( jk X o yo)t(x o , y 。
)d i 2d i2d o再考虑到X o 和X i 之间的关系得到d.即得到像平面上倒立的，放大 —倍的像。
d o2 2 X iyexp( jk ' ^i)________ 2d i 入2d o d i2 2. . .X y 1 1 1 xX iyy iF(f x , f y )exp[jk — (— — T)]exp( jk ' " )dxdy 2 d o d i f d i1 由题设知，— d o 1 d i 1 -0并且假定透镜孔径外的场等于零，且忽略透镜孔径f 的限制，所以将上式中的积分限写成无穷，于是上述积分为 U i (X i , y i ) 2 2X i yexp( jk ' ^i )2d i 入2d o d i F( f x , f y )exp( ..XX i yy i j k —7-)dxdy 2 exp( jk --- 2d i X 2d o d i2丄)y 入d o f x , f y )exp( x i0(X帀占)dxdy 入d i注意生 d i 0 d O ,df xdx 入d o ，df ydy入d o于是得U i (X i , y i )2 exp(jk 亠H 2d d i /d o2 y i F (f x , f y )exp( j2n (xf x yf y ))df x df y2 X i2 2di"y o )ex p(jk2 2X o y 。
2d 0对上式作傅立叶变换，就得到大气扰动系统的传递函数2 2 2H(f x ) exp (2n 2a 2f x )3.8有一光楔（即薄楔形棱镜），其折射率为 n ,顶角a 很小, 时，出射光仍为平行光，只是光束方向向底边偏转了一角度（ 导出光束的位相变换函数设入射平行光与 Z 轴成0角入射，按傍轴条件，0角很小，入射到光楔上的光场为U 1 Aexp( jkx sin 0) Aexp( jkx 0)通过光楔后的出射光场为U 2 Aexp jkx sin 0 n 1 aAexp jkx 0 n 1 a其中-n-1） a 表示偏转是顺时针方向，即向底边偏转，又根据出射光场， 入射光场和光楔变 换函数三者的关系U 2 tU 1有 Aexp jkx 0 n 1 a tAexp( jkx 0)于是有 t exp[ jk(n 1)a |。
3.7试写出平移模糊系统，大气扰动系统的传递函数。
解：在照相系统的曝光期间，因线性平移使点变成小线段而造成图像模糊, 这种系统称为平移模糊系统，它的线扩散函数为一矩形函数1 XL(x) — rect(—)其传递函数为a asin( n af x) Ttafx对于大气扰动系统， 设目标物为一细线， 若没有大气扰动，则理想成像为一条细线。
