第七章 微分方程函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系可以对客观事物的规律进行研究。
但在多数情况下，无法直接找到要研究的问题所需的函数关系，却比较容易建立起该函数及其导数的关系式，即微分方程。
再通过解这种方程，就可得到该函数关系。
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。
目前已广泛的应用于自然科学、工程技术、人口科学、经济学、医学等各个领域,已成为应用数学知识解决实际问题的重要手段。
本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的解法。
第一节 微分方程的基本概念一 引例下面通过几个实例来说明微分方程的基本概念。
例1 一曲线y =y (x )通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 根据导数的几何意义知,x dxdy 2=. (1) 且y =y (x )满足下列条件:x =1时, y =2, (2) 把(1)式两端积分, 得⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数.把条件（2）代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程y =x 2+1. （4）例2 列车在水平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式4.022-=dts d . (5) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . (6) 把(5)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (7) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (8) 这里C 1, C 2都是任意常数.把条件t =0，v =20代入(7)得20=C 1;把条件t =0，s =0代入(8)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(7)及(8)式得v =-0.4t +20, (9) s =-0.2t 2+20t . (10) 在(9)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(10), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).上面的两个例子，尽管实际意义不相同，但解决问题的方法，都是归结为首先建立一个含有未知函数的导数的方程，然后通过所建立的方程，求出满足所给的附加条件的未知函数．这就是所谓的微分方程及其解微分方程。
常微分方程课后习题答案常微分方程课后习题答案在学习常微分方程的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要环节。
通过解答习题，我们可以更好地理解和应用所学的概念和方法。
下面是一些常见的常微分方程习题及其答案，供大家参考。
一、一阶常微分方程1. 求解方程：dy/dx = 2x。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解方程：dy/dx = x^2 - 1。
解：对方程两边同时积分，得到y = (1/3)x^3 - x + C，其中C为常数。
3. 求解方程：dy/dx = 3x^2 + 2。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + 2x + C，其中C为常数。
二、二阶常微分方程1. 求解方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0。
解：首先求解特征方程：r^2 + 4r + 4 = 0，解得r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1和C2为常数。
2. 求解方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = x^2。
解：首先求解特征方程：r^2 + 2r + 1 = 0，解得r = -1。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-x) + (1/6)x^2 - (1/2)x + (1/2)，其中C1和C2为常数。
3. 求解方程：d^2y/dx^2 + 3dy/dx + 2y = e^(-x)。
解：首先求解特征方程：r^2 + 3r + 2 = 0，解得r = -1和r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1e^(-x) + C2e^(-2x)) + (1/3)e^(-x)，其中C1和C2为常数。
三、应用题1. 一个物体在空气中的速度满足以下方程：dv/dt = -9.8 - 0.1v，其中v为速度，t为时间。
求物体的速度随时间的变化情况。
解：这是一个一阶线性常微分方程。
将方程改写为dv/(9.8 + 0.1v) = -dt，再两边同时积分，得到ln|9.8 + 0.1v| = -t + C，其中C为常数。
