5.1电磁感应定律和全电流定律

利用矢量恒等式
则有
( E H ) H ( E ) E ( H )
( wdV ) ( ( E H ) E J )dV t
取体积分，得
wdV ( E H ) dS E JdV S V t V
t
5.4
坡印亭定理和坡印亭矢量
• 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印亭定理；
• 坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。
5.4.1
坡印亭定理
在时变场中，电、磁能量相互依存，总能量密度为
w we wm 1 1 DE BH 2 2 1 W w dV （D E B H） dV V V 2
另一部分传递给负载
St En H
图5.4.3 导体有电阻时同轴电缆中的E、H 与S
5.5
5.5.1 正弦电磁场的复数形式
正弦电磁场
正弦电磁场的复数形式与正弦稳态电路中的相量法类同，后者有三要素： 振幅(标量，常数)、频率和相位。
i(t ) 2I sin(t )
di (t ) dt 2 I sin(t 90 )

V
wdV ( E H ) dS E JdV
S V
若体积内含有电源 , 则 J ( E Ee ) , 将 E J / Ee代入上式第二项 , 整理得
( E H ) dS
S
V
Ee J dV
V
J2 W dV t
2
（ 1） （ 2）
t
2 A A J t 2 2 2 t 2
2
达朗贝尔方程
这是非齐次波动方程
1） 洛仑兹条件的重要意义 • 确定了 A 的值，与 B A 共同唯一确定A； • 简化了动态位与场源之间的关系，使得A单独由J决定，j单独由r决定， 给解题带来了方便； • 洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。 2) 若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程
S
在正弦电磁场中，坡印亭矢量在一个周期内的平均值为
1 T S aV (r ) S(r, t )dt (E H) cos( E H ) T 0
称之为平均功率流密度。
5.6
5.6.1 动态位及其微分方程
动态位及其积分解
B A
A A )0 E t t

d B ( V B )dl dS l S dt t
图5.1.2 动生电动势
实验表明：感应电动势 与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路）， 只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感 应电流产生。
5.1.2 感应电场（涡旋电场） 麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力 （产生感应电流），称之为感应电场。 感应电动势与感应电场的关系为
2 A J
2 /
5.6.2
达朗贝尔方程的积分解
以位于坐标原点时变点电荷为例，然后推广到连续分布场源的情况。
2 2 0 t
2
（除q点外）
2 ( r ) 1 2 ( r ) 在球坐标系下 , 具有球对称性的展开式 为 2 2 r v t 2 1 r 1 r 这是( r )的一维齐次波动方程 , 其通解为 f 1 ( t ) f 2 ( t ) r v r v
微分形式 积分形式
D 其中， J D ——位移电流密度 (Displacement Current Density) t 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它
与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。 麦克斯韦由此预言电磁波的。 例 5.2.1 已知平板电容器的面积为 S , 相距为 d , 介质的介电常数 ， 极板间电压为 u(t)。试求位移电流 iD；传导电流 iC与 iD 的关系是什么? 解： 忽略极板的边缘效应和感应电场 电场 位移电流密度
5.4.2
坡印亭矢量
Vector） S E H
定义坡印亭矢量（Poynting
W/m2
表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称
为功率流密度，S 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。
例 5.4.1 用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。 设电缆为理想导体，内外半径分别为a和b。 解： 理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。 电场强度 磁场强度
正弦电磁场基本方程组的复数形式
dl ( J ) dS H jD
l S
dS 0 B
S
J jD H
jB E
0 B
D
dl jB dS E
l S
dS q D
• 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。
例 5.4.2
导线半径为a，长为 l ，电导率为 ，试用坡印亭矢量计算导线损耗的能量。 解：思路： 设I E, H S P 电场强度 磁场强度

导体内
E
H
J I 2 ez a
I e 2a 2
图5.4.2
计算导线损耗的量
5.1 电磁感应定律和全电流定律
5.1.1 电磁感应定律 当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟电 磁感应定律。

d dt
负号表示感应电流产生的磁
场总是阻碍原磁场的变化 引起磁通变化的原因分为三类：
图5.1.1感生电动势的参考方向
• 回路不变，磁场随时间变化

D t B E t H J
H dl
l

s
(J
k
E dl
l
B 0
D
四个方程所反映的物理意义
B dS 0 D dS q
s
s
D ) dS t B dS t
全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯定律
由 B 0
由 E B t
( E
A, 称为动态位。
由 H J D
t

1

A J
由
D

(
A ) t
A ( ) t t
2 A 经整理后，得 A J ( A ) t 2 t 2 A t 定义A 的散度 洛仑兹条件（规范） A
经过 S 2 面
S1
H dl
l
J dS i

l
H dl J dS 0
S2
H dl
l

S
(J
D ) dS t

S1
J dS i

D dS S2 t

q dS i S2 t t
全电流定律
D t D l H dl s ( J t ) dS ic iD H J
d B dS S t dt
称为感生电动势，这是变压器 工作的原理，又称为变压器电势。
图5.1.2 感生电动势
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 回路切割磁力线，磁场不变

d ( V B ) dl l dt
称为动生电动势，这是发电机工作原 理，又称为发电机电势。
• 磁场随时间变化，回路切割磁力线
坡印亭定理
物理意义：体积V内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率，减去电磁能 量的增加率，等于穿出闭合面S的电磁功率。 在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能量守恒定律为
( E H ) dS
s
V
Ee JdV
J2
V

dV
恒定场中的坡印亭定理
注：磁铁与静电荷 产生的磁、电场不构成能量的流动。
• 全电流定律——麦克斯韦第一方程, • 电磁感应定律——麦克斯韦第二方程 ,
表明传导电流和变化的电场都能产生磁场； 表明电荷和变化的磁场都能产生电场；
• 磁通连续性原理——表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线；
• 高斯定律——表明电荷以发散的方式产生电场(变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。
• 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
E
U e ln( b / a )
I 2 e
H
坡印亭矢量
S EH
U I ez ln( b / a ) 2
图5.4.1 同轴电缆中的电磁能流
单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为 b UI P S dA 2d UI A a 2 2 ln b / a 这表明： • 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。
E u d , D E
JD
S
位移电流
iD J D dS
D du ( ) t d dt S du
d dt (
u( t ) d
)C
du iC dt
图5.1.5 传导电流与位移电流
5.3
电磁场基本方程组 • 分界面上的衔接条件
5.3.1 电磁场基本方程组 综上所述,电磁场基本方程组 (Maxwell方程)为
以导体表面为闭合面，则导体吸收的功率为
S
P ( E H ) dS S
I I a( e ) 2adle 2 2 a 2a
I2
l 2 I R 2 a
表明，导体电阻所消耗的能量是由外部向内传递的。 电源提供的能量一部分用于导线损耗
Sn Et H
Ie j I
jIe j jI
前者也有三要素：振幅（矢量、空间坐标的函数）, 频率和相位。
F( x, y, z, t ) 2F( x, y, z) sin(t )
F t
F( x, y , z )e j F
jFei 2F( x, y, z ) sin(t 90 ) jF
Ei dl ( Ei ) dS ( V B ) dl
l s
Ei ( V B )
在静止媒质中
Ei
B t
B t
L
B dS dt
图5.1.3a 变化的 磁场产生感应电场
感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场 B
矢量恒等式
( H ) 0
图5.1.4 交变电路用安培环路定律
矢量恒等式
( H ) 0
H J D t
H J
面积分，斯氏定理
作闭合曲线 l 与导线交 链，根据安培环路定律
经过 S1 面
H dl J dS
l S
面积分，斯氏定理 D H d l ( J ) dS l S t
本构关系
D E
5.3.2
B H
J E
分界面上的衔接条件
磁场： B1n B2 n H 2t H1t k 电场： D2n D1n E2t E1t 折射定律
tan 1 1 tan 2 2
tan 1 1 tan 2 2
是产生 Ei 的涡旋源。
若空间同时存在库仑电场, 即 E EC Ei , 则有
t
E
B t
变化的磁场产生电场
图5.1.3b 变化的磁场产生感应电场
5.2
全电流定律 恒定场
J 0
J
时变场
D t t
( J
D )0 t
体积 V内储存的能量为
设体积元储存能量 wdV 随时间的变化率为 ( wdV ) 1 1 ( D E B H )dV t t 2 2
(E D B H )dV E ( H J ) H ( E )dV t t