长方体的再认识

长方体的再认识内容分析长方体的再认识是初中数学六年级下学期第4章的内容．通过本章的学习，同学们需要掌握长方体的表示方法、长方体直观图的画法，理清长方体中棱与棱的位置关系、棱与平面的位置关系、平面与平面的位置关系，并要学会如何检验直线与平面是否垂直、直线与平面是否平行、平面与平面是否垂直、平面与平面是否平行的方法．难点是相关的长方体的表面积和体积的计算．知识结构模块一：长方体的元素知识精讲1、长方体的元素长方体有六个面，八个顶点，十二条棱．2、长方体的元素特征（1）长方体的每个面都是长方形．（2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等．（3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同．3、正方体是特殊的长方体例题解析【例1】填空：（1）长方体有______个顶点；（2）长方体有______个面，每个面都是______，相对的两个面的面积______；（3）长方体共有______条棱，按棱的长短可分为______组，每组棱的长度相等，每组有______条棱．【难度】★【答案】【解析】【例2】判断：（1）若长方体的十二条棱都相等，这个长方体就是正方体；（）（2）桌面所在的平面的大小就是桌面的大小；（）（3）长方体共有6个面；（）（4）长方体的六个面，至少有四个面的形状、大小相同；（）（5）平面就是水平面；（）（6）水平面是平面．（）【难度】★【答案】【解析】【例3】在长方体ABCD– EFGH中，与棱EF相等的棱是（）A．棱AB、棱CD、棱GH B．棱AB、棱AE、棱BFC．棱GH、棱EH、棱FG D．棱BC、棱CG、棱GF【难度】★【答案】【解析】【例4】用一根长为100厘米的塑料管和橡皮泥做一个棱长为5厘米，6厘米和7厘米的长方体架子，应该如何截取？材料够吗？【难度】★★【答案】【解析】【例5】棱长总和是24厘米的正方体，它的表面积为______，体积为______．【难度】★★【答案】【解析】【例6】长方体的长、宽、高之比为2 : 1 : 1，棱长总和是80厘米，把这个长方体截成两正方体时，表面积增加了_____．【难度】★★【答案】【解析】【例7】要做一个棱长分别为3厘米、5厘米和7厘米的无盖的长方体纸盒，最少需要多大的纸？最多需要多大的纸？【难度】★★★【答案】【解析】【例8】一根长为36分米的铁丝截开后刚好能够搭成一个长方体架子，这个长方体架子的长、宽、高的长度均为整数分米，且互不相等，求这个长方体的体积．【难度】★★★【答案】【解析】1、 长方体的直观图画法：斜二侧画法水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：第一步：画平行四边形ABCD ，使AB 等于长方体的长，AD 等于长方体宽的二分之一，45DAB ∠=︒．（如图1所示）第二步：过AB 分别画AB 的垂线AE 、BF ，过C 、D 分别画CD 的垂线CG 、DH ，使它们的长度都等于长方体的高．（如图2所示）第三步：顺次联结E 、F 、G 、H ．（如图3所示）第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4所示）图4表示的长方体通常表示为ABCD -EFGH ．它的六个面通常表示为：平面ABCD 、平 面ABFE 、平面BCGF 等．它的十二条棱通常分别表示为：棱AB 、棱AE 、棱EF 等．模块二：长方体直观图的画法知识精讲ABCDABCDEFGHABC D EFGHABC DEFGH图1 图2 图3图4【例9】 图中长方体正确表示为（ ） A ．长方体ABCD B ．长方体EFGH C ．长方体AB D ．长方体ABCD -EFGH 【难度】★ 【答案】 【解析】【例10】 要补全一个长方体的直观图，至少需要知道_____条棱，这几条棱应该分别是____________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例11】 画一个棱长分别是2厘米、3厘米、4厘米的长方体． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例12】 画一个棱长总和为36厘米的正方体． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例13】 补画下列各图，使它成为长方体（虚线部分表示被遮住的部分）． 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析ABCD EFGH1、 长方体中棱与棱的位置关系如图所示的长方体ABCD -EFGH 中：棱EH 与棱EF 所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．棱EF 与棱AB 所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．棱EH 与棱AB 所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面．空间两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面．【例14】 在如图所示的长方体中，哪些棱与棱AD 平行？哪些棱与AD 相交？哪些棱与AD异面？ 【难度】★ 【答案】 【解析】【例15】 在长方体中，每一条棱与______条棱平行，每一条棱与______条棱相交，每一条棱与______条棱异面，互相平行的棱有______对，互相异面的棱有______对，相交的棱有______对． 【难度】★★ 【答案】 【解析】模块三：长方体中棱与棱位置关系的认识知识精讲例题解析A BCD EFGHA BCD EFGH【例16】 如图，在长方体ABCD —EFGH 中，填写下列各对线段所在直线的位置关系．（1）棱AD 与AG ：_________________； （2）棱DH 与EG ：_________________； （3）EG 与BD ：_________________； （4）棱DC 与DB ：_________________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例17】 垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例18】 如果两条直线在同一平面上的投影是两条平行线，那么这两条直线的位置关系是__________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDEFGH1、 长方体中棱与平面的位置关系如图1，直线PQ 垂直于平面ABCD ，记作：直线PQ 平面ABCD ，读作：直线PQ 垂直于平面ABCD ．如图2，直线PQ 平行于平面ABCD ，记作：直线PQ // 平面ABCD ，读作：直线PQ 平行于平面ABCD ．如图4所示的长方体ABCD -EFGH 中：棱EF 与面BCGF ，棱FG 与面ABFE ，棱BF 与面ABCD 都给我们以直线与平面垂直的形象．棱EF 与面ABCD ，棱BF 与面ADHE ，都给我们以直线与平面平行的形象． 2、 检验直线与平面是否垂直的方法“铅垂线”法、“三角尺法”、“合页型折纸”法． 3、 检验直线与平面是否平行的方法“铅垂线”法、“长方形纸片”法．【例19】 教室里的日光灯与地面的位置关系是______，桌腿与桌面的位置关系是______． 【难度】★ 【答案】 【解析】模块四：长方体中棱与平面位置关系的认识知识精讲例题解析ABCD PQ ABCDPQ 图1图2【例20】 如图，在长方体ABCD -EFGH 中：（1）与棱DH 垂直的平面是___________________； （2）与棱BC 平行的平面是___________________； （3）与平面ADHE 垂直的棱是________________； （4）与平面EFGH 平行的棱是________________； 【难度】★ 【答案】 【解析】【例21】 铅垂线是垂直于____面的直线，用___________法可以检验课桌的边沿是否与地面平行，用__________法可以检验细棒是否与地面垂直． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例22】 如图，用__________法可以检验细棒是否与斜面垂直． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】 在长方体中的每一条棱有______个平面和它垂直，每一个面有______条棱与它垂直，每一条棱有______个平面和它平行，每一个面有______条棱与它平行． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】 在长方体ABCD -EFGH 中，AB = 3厘米，BF = 5厘米，与棱AB 垂直的平面的面积之和是32平方厘米，求这个长方体的表面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDEFGHαββα1、 长方体中平面与平面的位置关系如下左图，平面α垂直于平面β，记作平面α⊥平面β，读作平面α垂直于平面β．如上右图，平面α平行于平面β，记作平面α//平面β，读作平面α平行于平面β． 如图所示的长方体ABCD -EFGH 中：面EFGH ，面ABFE 与面BCGF 三个面中，任意两个都 给我们以平面与平面垂直的形象．面ABCD 与面EFGH ，面BCGF 与面ADHE ，面ABFE 与面DCGH ，都给我们以平面与平面平行的形象． 2、 检验平面与平面是否垂直的方法“铅垂线”法、 “合页型折纸”法、“三角尺”法． 3、 检验平面与平面是否平行的方法“长方形纸片”法．【例25】 如图，与平面ABFE 垂直的平面有____________，与平面BCGF 平行的平面有_____________． 【难度】★ 【答案】 【解析】知识精讲例题解析模块五：长方体中平面与平面位置关系的认识ABCDEFGHABCDEFGHC A BDE F【例26】 下列结论正确的是（ ）A ．在长方体中，与其中的一个面垂直的面有2个B ．在长方体中，与其中的一个面平行的面有4个C ．长方体有两个相对的面是正方形，那么这个长方体有6条棱的长度相等D ．长方体相邻的两个面互相垂直，相对的两个面互相平行 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例27】 如图，与面ADHE 垂直的面有__________________________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】 可以用________________检验教室的墙面与地面是否垂直． 可以用________________检验衣橱里横向的两块隔板是否平行． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例29】 如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，与平面C 垂直的平面是________．（用图中的字母表示） 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABC D EFGH【例30】 如图，在长方体ABCD -EFGH 中，找出与平面BCHE 垂直的平面，并找出现成的合页型折纸，在图上用阴影部分表示． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题1】 正方体的棱长扩大2倍后，体积增大到原来的______倍． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 在图中的长方体中：（1）从正面看，看不见的棱有___________； （2）与棱EH 相等的棱有_______________； （3）与平面ADHE 相对的平面有________； （4）位于水平位置的平面有_____________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 在长方体中，若两条棱没有公共点，则这两条棱的位置关系是__________． 【难度】★ 【答案】 【解析】随堂检测ABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH 1 4 5 3 2 1 5 ?3【习题4】 下列说法正确的是（ ）A ．平静的水面是水平面，所以光滑的镜面也是水平面B ．长方体中棱与平面不是垂直就是平行C ．若两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线也平行D ．长方体中任何一条棱都与两个平面平行 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题5】 如图所示的六面体中，AEFB 和DHGC 是相同的直角梯形，其余都是长方形，则：（1）其中有______条棱与平面ADHE 垂直； （2）其中有______条棱与平面AEFB 垂直； （3）其中有______条棱与平面ABCD 垂直； （4）其中有______条棱与平面BFGC 垂直． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】 一个正方体的每个面上都标有数字1、2、3、4、5、6，根据图中该正方体A 、B 、C 三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】长方体的总棱长是72厘米，它的长: 宽= 2 : 1，宽: 高= 2 : 3，这个长方体的体积是______．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】把一块长是50厘米的长方体分成2 : 3两部分后，它的表面积增加了300平方厘米，则分成的两块长方体木块的体积分别为__________．【难度】★★★【答案】【解析】【习题9】小方制作了一个无盖的长方体木盒，木盒的棱长分别为3厘米、5厘米和8厘米，求这个木盒的表面积．【难度】★★★【答案】【解析】【习题10】一个长方体的表面积是88平方厘米，这个长方体可以被分割为5个完全相同的正方体，求这个长方体的体积．【难度】★★★【答案】【解析】A BCDEF【作业1】长方体中经过同一顶点的面的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★【答案】【解析】【作业2】如图，在一张长方形纸片ABCD对折后翻开所成的图形中：（1）与直线DF平行的直线是_____________；（2）与直线EF平行的直线是_____________；与直线EF相交的直线是______________；（3）与直线AE异面的直线是_____________；与直线BC异面的直线是______________．【难度】★【答案】【解析】【作业3】在长方体中，若两条棱异面，则与这两条棱都相交的棱（）A．不一定存在B．有且只有一条C．可能有一条，也可能有两条D．不止两条【难度】★★【答案】【解析】【作业4】补画长方体：【难度】★★【答案】【解析】课后作业A BCD EFGH【作业5】 下列图形中，不能围成长方体的是（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 如图，桌面上放着一本打开的书，（1）与桌面垂直的平面有哪几个？ （2）平面ABFE 与平面ABHG 是否垂直？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 将一个长、宽、高分别为2厘米、2.5厘米、3厘米的长方体切割成一个体积最大的正方体，则切割剩余部分的体积是______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 将两个长是5厘米、宽是4厘米、高是3厘米的长方体重叠放置，它的表面积是_________________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】AB CDOEFPNMGH【作业9】12个棱长为1厘米的正方体叠在一起，成为一个长方体，求这个长方体的表面积．【难度】★★★【答案】【解析】【作业10】如图，把一块长是108厘米的长方体木块的棱AE分成3 : 1的两段，分点为M，过点M按平行于面ABCD的方向把长方体分成两块后，表面积增加了800平方厘米，这两块长方体的体积分别是多少？【难度】★★★【答案】【解析】。

长方体的再认识知识精要一、长方体的再认识1、长方体的特征。

（1）长方体有6个面，8个顶点，12条棱。

（2）长方体的每个面都是长方形。

（3）长方体的12条棱可以分为三组，每组中四条棱的长度都相等。

（4）长方体的6个面可分为3组，每组中相对的两个面的形状和大小均相同。

2、长方体的直观图画法长方体的直观图有多种画法，通常我们采用斜二侧画法： 水平放置的长方体直观图通常的画法的基本步骤：(4)(3)(2)(1)GHFCGHFCGHFCCDDDEEE3、长方体棱与棱的位置关系二、长方体中棱与平面的位置关系1、直线PQ 垂直于平面ABCD ，记作：直线ABCD PQ 平面⊥,读作：直线PQ 垂直于平面ABCD 。

2、检验直线与平面垂直的方法：（1）铅垂线法：只能用于检验直线与水平面是否垂直； （2）三角尺法：可以检验一般的直线与平面是否垂直； （3）合页型法：可以检验一般的直线与平面是否垂直；3、直线PQ 平行于平面ABCD ，记作：直线ABCD PQ 平面//,读作：直线PQ 平行于平面ABCD 。

4、检验直线与平面平行的方法：（1） 铅垂线法：从被测直线的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面。

如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么说明被测直线平行于水平面。

（2） 长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，另一边靠近被测直线，如果另一边能够紧贴被测直线，则说明被测直线平行于已知平面。

三、长方体中平面与平面的位置关系1、平面α垂直于平面β，记作：βα平面平面⊥,读作：平面α垂直于平面β。

2、检验平面与平面垂直的方法：（1）铅垂线法，（2）三角尺法；（3） 合页型折纸法。

3、平面α平行于平面β，记作：βα平面平面//,读作：平面α平行于平面β。

4、检验平面与平面平行的方法：长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，按交叉的方向分两次放在两个平面之中，如果另一边能够紧贴被测平面，则说明被测平面平行于已知平面。

长方体的再认识
1、元素
长方体有六个面、八个顶点、十二条棱.
2、特点
(1)长方体的面的特点
长方体的每个面都是长方形，长方体的六个面两两相对可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小都相同。

(2)长方体的棱的特点
长方体的十二条棱可以分为三组，每组中相对两面所夹的四条棱长度相等.
（3)正方体是特殊的长方体.
斜二测画法的注意事项：1、先画下底面(平行四边形)，并且有一个角为45°，同时宽为实际宽的二分之一；2、作出的长方体的高和长都不变；3、最后在顶点处标好字母，写好结论：长方体ABCD-EFGH 为所作长方体。

1、长方体中棱与棱的位置关系：
长方体中棱与棱得位置关系为：相交、异面和平行.2、长方体中棱与面的位置关系：长方体中棱与面的位置关系为：垂直和平行.2、长方体中面与面的位置关系：长方体中面与面的位置关系为：垂直和平行.
1、检验直线与平面垂直的方：
“铅垂线”检验(铅垂线只能检验直线与水平面的垂直关系)、“三角尺”检验、“合页型折纸”检验.2、检验直线与平面平行的方法：“铅垂线”检验，“长方体纸片”检验.3、检验平面与平面垂直的方法：“铅垂线”检验(铅垂线只能检验侧面与水平面的垂直关系)、“三角尺”检验、“合页型折纸”检验.2、检验平面与平面平行的方法：“长方体纸片”检验.具体实例：。

长方体的再认识（一）知识精要一、长方体的元素及特征1、元素：长方体有六个面、十二条棱、八个顶点2、特征：长方体的每个面都是长方形；长方体的十二条棱可以分成三组，每组中的四条棱的长度相等；长方体的六个面可以分成三组，每组中的两个面的形状和大小都相等。

二、长方体的概念及表示1、概念：在数学中，平面是平的，无边无沿，我们可以用一个平行四边形来表示它，特别的，把水平放置的平面画成一边是水平位置，另一面与水平线所夹的角为45度的平行四边形。

2、表示：平面可以用平行四边形顶点字母表示，记作平面ABCD，也可以在表示平面的平行四边形的一个角上写上小写的字母α，将平面记作平面α。

三、长方体的直观画法斜二侧画法：水平放置的长方体直观图画法的基本步骤第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的一半，∠DAB=45°第二步：过A、B分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使他们的长度都等于长方体的高第三步：顺次连结EFGH第四步：将被遮住的线段改为虚线表示四、长方体中棱与棱的位置关系1、相交2、平行3、异面热身练习1、长方体共有条棱，按棱的长短可分为组，每组棱的长度相等，每组有条棱。

2、长方体有个顶点，从一个顶点出发有条棱。

3、当长方体的所有棱都，长方体称为正方体。

4、长方体中长：宽：高=1:2:3，且所有棱长之和为36厘米，则长方体的体积为。

5、长方体中棱与棱的位置关系有。

6、在长方体中同一平面的棱与棱位置关系有。

7、如果在空间中的两条直线既不相交也不平行，则它们的位置关系是。

8、将两个长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米的长方体重叠放置，它的表面积是。

精解名题例1、用一根长66厘米的塑料管和橡皮泥做成一个棱长分别为4厘米、5厘米和6厘米的长方体架子，应如何截取这根塑料管？（要求作图）例2、小明制作了一个无盖的长方体木盒，木盒的棱长分别为3厘米，5厘米和8厘米，求这个木盒的外表面积。

专题07 长方体的再认识【考点剖析】1.长方体的元素______.._⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩元素：长方体有面，棱，顶点；长方体的每个面都是；特征：长方体的十二条棱可分成，每组四条棱；长方体的六个面可分成三组____________________________________________、_____________，每组中两个面的都相等.概念：平面是平的，无边无沿平面表示：用表示；记作,______或_____①②③ 2.长方体的直观图____________,AD DAB=AE BF CG DH ⎧⎪∠⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩方法：画使AB 等于长方体的，等于长方体，；画四条高、、、；步骤：顺次联结将被遮住的部分改_____________.________________成(或隐藏线).①②③;④________ DHG F EC B A3.长方体中棱与棱的关系___AB A CG _B AB ⎧⎪⎨⎪⎩______相交：如棱与棱BC 相交；平行：如：棱棱HG;异面:既不也不；如：棱与棱异面.长方体中一共有对____异面直线.∥ 4.长方体中棱与平面的关系AE ABCD EF ABCD ⎧⎧⎪⎪⊥⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩；直线与平面垂直：如：棱平面；检验方法；；直线与平面平____________________________________________行：如：棱平面；检验方法.______①②③.①∥② 5.长方体中平面与平面的位置关系ADHE ABCD EFGH ABCD ⎧⎧⎪⎪⊥⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩_____________________________；垂直：如：平面平面；检验；.平行：如：平面平面；____________检验方法：.____①②③∥【典例分析】例题1 （杨浦）在一个正方体中，异面的棱的对数为（ ）（A ）4对； （B ）12对； （C ）24对； （D ）48对．例题2 （金山2018期末4）下列哪种方法不能检验直线与平面是否垂直（ ）．（A ）铅垂线； （B ）三角尺； （C ）长方形纸片； （D ）合页型折纸例题3 （普陀）将两个边长为 2cm 的正方体拼成一个长方体，表面积减少了________2cm .例题 4 （普陀）如图1所示的平面纸能围成正方体盒子，请把与面A 垂直的面用图中字母表示出来是.例题5 （杨浦）如图，在长方体ABCD －EFGH 中，与AE 平行的棱是 ．例题6 （杨浦）如图，在长方体ABCD －EFGH 中，可以把平面ABFE 与平面BCGF 组成的图形看作直立于面ABCD 上的合页形折纸，从而说明棱 垂直于平面ABCD ．例题7 （普陀2018期末16）如果长方体的顶点数记作V ，棱数记作E ，面数记作F ，那么V E F -+的值等于 .例题8 （虹口2017期末25）（1）补全右面的图形，使之成为长方体ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1的直观图，并标出顶点的字母；（2）联结AC 、A 1 C 1，在长方体ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1中，与平面 A A 1 C 1 C 平行的棱为_____________________．A 1B 1C 1D CB A【真题训练】一、选择题1．（浦东2018期末5）下列说法中，正确的是（ ）（A ）长方体中任何一个面都与两个面平行； （B ）长方体中任何一个面都与两个面垂直；（C ）长方体中与一条棱平行的面只有一个； （D ）长方体中与一条棱垂直的平面有两个．2．（奉贤2018期末6）下列说法中，正确的是（ ）A ．联结两点的线段叫做两点之间的距离；B ．用度量法和叠合法都可以比较两个角的大小；C ．六个面、十二条棱和八个顶点组成的图形都是长方体；D ．空间两条直线间的位置关系只有相交和平行两种．3. （普陀2018期末4）如图1，在长方体-ABCD EFGH 中，与棱EF 异面的棱是（）（A ）棱HD ； （B ）棱BF ； （C ）棱HG ； （D ）棱AB ．4．（黄浦2018期末5）如图，在长方体ABCD －EFGH 中，既与棱CG 异面又与棱BC 平行的棱是（）（A ）棱AB ； （B ）棱EA ； （C ）棱EF ； （D ）棱EH ． A B CE GH F D图15．（浦东2017期末6）如图1，在长方体ABCD -EFGH 中，与棱AD 所在的直线既不相交也不平行的棱共有（ ）（A ）1条；（B ）2条； （C ）3条； （D ）4条．二、填空题6．（浦东2018期末16）在长方体ABCD －EFGH 中，与棱AB 和棱AD 都异面的棱是 ．HG F EDC B A7. （黄浦2017期末12）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，请写出所有与棱AD 异面的棱，它们是 ．A 1D 1B 1C 1DC B A8．（普陀2017期末17）如图3，在长方体ABCD –EFGH 中，与棱CG 异面的棱共有______________条．（图1） AB C G HEF D9.（金山2018期末15）如图在长方体ABCD-EFGH中，与棱EF在同一平面内且垂直的棱是.（写出符合题意的所有棱）H GFED CBA10.（浦东四署2019期末17）如图，在长方体ABCD-EFGH中，与平面EBCH垂直的平面是.H GDFC B11.（崇明2017期末12）如图，在长方体ABCD EFGH中，与棱CD垂直的平面有．H GFED CBA12．（黄浦2018期末16）如图，在长方体ABCD－EFGH中，与平面ABCD平行的面是．H GFED CBA13．（黄浦2018期末17）如图，在长方体ABCD－EFGH中，与棱AE平行的面是．（写出所有满足条件的平面）H GEFD CAB14．（徐汇2017期末11）如图，在长方体ABCD－EFGH中，与平面ADHE平行的棱共有__________条．H GEFD CAB15.（宝山2018期末13）已知一个长方体的长、宽、高分别是7厘米、5厘米、3厘米，那么这个长方体的棱长和为厘米.16. （奉贤2018期末15）棱长分别为3厘米、5厘米、7厘米的两个长方体拼成一个长方体，它们的表面积最多减少_____________平方厘米．17．小杰打算用铁丝制作一个长方体框架模型，如果这个长方体三条棱的长度分别为3厘米、5厘米和6厘米，那么需要铁丝的长度至少为厘米．三、解答题18．（徐汇2017期末20）补画长方体ABCD－EFGH．（注：保留痕迹，不必写画法）CA BF19．（奉贤2018期末21）如图, 在长方体ABCD–EFGH中，（1）写出所有与棱AB异面的棱：______________________________;（2）写出与棱AB平行的平面：____________________;（3）写出与平面ABCD垂直的平面：____________________．H GEFD CABABCD 中，20. （松江2018期末25）如图,在长方体EFGH（1）与棱BC平行的棱有______________________________；（2）与棱AB垂直的平面有 _____________________________；（3）与平面ABFE平行的平面有__________________________.H GFED CAB21. （黄浦2017期末30）把11块相同的砖拼成了一个大长方体，已知大长方体的棱长总和是188厘米，求每一块砖的体积．（6分）22．（浦东2018期末27）小明，小华和小红准备用透明胶和硬纸板制作一些长方体纸盒，现在需要你的帮忙：（1）制作前，要画出长方体纸盒的直观图，小明只画了一部分（如图1），请你帮他画完整（不写画法）；（2）制作时，需要裁剪一块长方形的硬纸板，小华经过设计发现正好将这块硬纸板全部用完（如图2），请你求出长方体的长a、宽b和高c；（3）设计后，小红对制作费用进行了估算，小华的设计方案所需要的硬纸板的价格是每块5元，另外还有一种只有大小不同的硬纸板，价格是每块3元，小红根据小华的设计尺寸也进行了设计（如图3），发现另一种硬纸板也可以用来制作尺寸相同的长方体纸盒．同时，经过计算发现，如果用相同的制作费且把材料用足，那么选用小红的设计比选用小华的设计恰好可以多制作一个纸盒．请问，小红的设计可以制作出几个纸盒？。

长方体的再认识长方体的元素及特征一. 长方体有六个面，八个顶点，十二条棱，1.元素： 2）长方体的十二条棱可以分成三组，每组中的四条棱.长方体的每一个面都是长方形。

（2 3）长方体的六个面可以分成三组，每组中的两个面的形状和大小都相等。

的长度相等。

（ .高注意：十二条棱分成三组，每组四条，三组分别是长方体的长.宽厘米的长6厘米，5厘米和厘米的塑料管和橡皮泥做成一个棱长分别为例1用一根长664G H 方体的架子，应如何截取这根塑料管？ EF 高三组，每组中的四条棱的长度是相等的。

所以宽、分析长方体有十二条棱，分为长、要依次截取三中长度的塑料管各司根。

DC5根，再依次截取宽为66厘米的塑料管上，依次截取长为4厘米的塑料管4在一根长解A 44根，就可以做成一个棱长分别为厘米的塑料管4根，最后依次截取高为6厘米的塑料管B 厘米、5厘米和6厘米的长方体的架子.练习1 小明制作了一个无盖的长方体木盒。

木盒的棱长分别为3厘米、5厘米和8厘米，求这个木盒的表面积。

练习2 小杰用一根长为24分米的铅质角铁，截开后刚好能搭一个长方体小鱼缸架子，这个长方体的长宽高的长度均为整数分米，且互不相等，求这个长方体的体积。

二.平面的概念及表示1.概念：在数学中，平面是平的，无边无沿，我们可以画一个平行四边形来表示他。

把水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边是水平线所夹得角为45°的平行四边形。

2.表示：平面可以用平行四边形的顶点字母来表示。

也可以在表示的平行四边形的一个角上写上小写的字母来表示。

练习1 下面各种平面中，可以看作水平面的是（）A．光滑的镜面B。

玻璃幕墙C．长方体的各个面D。

斜置的杯中的液面三.长方体的的直观画法斜二侧画法：水平放置的长方体直观图画法的基本步骤第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的一半，∠DAB=45，使它们DH、CG的垂线CD分别画D、C，过BF和AE的垂线B、A分别画B、A第二步：过．的长度都等于长方体的高。

第14讲长方体的再认识知识精要一、长方体的再认识1、长方体的特征。

（1）长方体有6个面，8个顶点，12条棱。

（2）长方体的每个面都是长方形。

（3）长方体的12条棱可以分为三组，每组中四条棱的长度都相等。

（4）长方体的6个面可分为3组，每组中相对的两个面的形状和大小均相同。

2、长方体的直观图画法长方体的直观图有多种画法，通常我们采用斜二侧画法：水平放置的长方体直观图通常的画法的基本步骤：3、长方体棱与棱的位置关系二、长方体中棱与平面的位置关系1、直线PQ 垂直于平面ABCD ，记作：直线ABCD PQ 平面⊥,读作：直线PQ 垂直于平面ABCD 。

2、检验直线与平面垂直的方法：（1）铅垂线法：只能用于检验直线与水平面是否垂直； （2）三角尺法：可以检验一般的直线与平面是否垂直； （3）合页型法：可以检验一般的直线与平面是否垂直；3、直线PQ 平行于平面ABCD ，记作：直线ABCD PQ 平面//,读作：直线PQ 平行于平面ABCD 。

4、检验直线与平面平行的方法：（1） 铅垂线法：从被测直线的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面。

如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么说明被测直线平行于水平面。

（2） 长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，另一边靠近被测直线，如果另一边能够紧贴被测直线，则说明被测直线平行于已知平面。

三、长方体中平面与平面的位置关系1、平面α垂直于平面β，记作：βα平面平面⊥,读作：平面α垂直于平面β。

2、检验平面与平面垂直的方法：（1）铅垂线法，（2）三角尺法；（3） 合页型折纸法。

3、平面α平行于平面β，记作：βα平面平面//,读作：平面α平行于平面β。

4、检验平面与平面平行的方法：长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，按交叉的方向分两次放在两个平面之中，如果另一边能够紧贴被测平面，则说明被测平面平行于已知平面。

四、长方体中的棱与棱，棱与平面，面与面的位置关系：1、长方体中与某条棱平行的棱有3条，长方体中互相平行的棱共有18对；2、长方体中与某条棱相交的棱有4条，长方体中相交的棱共有24对；3、长方体中与某条棱异面的棱有4条，长方体中异面的棱共有24对；4、长方体中与某条棱平行的面有2个；5、长方体中与某条棱垂直的面有2个；6、长方体中与某个面平行的棱有4条；7、长方体中与某个面垂直的棱有4条；8、长方体中与某个面平行的面有1个，长方体中互相平行的面共有3对；9、长方体中与某个面垂直的面有4个，长方体中互相垂直的面共有12对。

学科教师辅导讲义课题长方体的再认识教学目的1、认识长方体的面、棱、顶点以及长宽高（棱长）的含义。

2、掌握长方体直观图的画法。

3、掌握长方体中棱、面的位置关系，以及空间性质。

教学内容一、作业检查二．长方体知识梳理1.长方体的元素：8个顶点、12条棱，6个面长方体的表面积（6个面的面积之和）、体积（长×宽×高）长方体的每个面都是长方形.长方体的十二条棱可以分成三组:每组中的四条棱的长度相等长方体的六个面可以分成三组,每组中的两个面的形状和大小都相同.2.长方体直观图的画法：斜二侧画法.注意：①12条棱分三组，注意每组4条是互相平行、相等的；其中看不见的三条棱画成虚线，②把水平放置的两个面画成含45°角的平行四边形，③画长方体直观图时，宽要减半画。

3.长方体中棱与棱的位置关系：(1)如图所示的长方体AG中，棱EH与棱EF所在的直线在同一个面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．(2)棱EF与棱AB所在的直线在同一个面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．(3)棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面．定义：空间两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面．(1)一般地，如果直线AB与直线CD在同一平面内，具有唯一公共点，那么称这两条直线的位置关系为相交，读作：直线AB与直线CD相交．(2)如果直线AB与直线CD在同一平面内，但没有公共点，那么称这两条直线的位置关系为平行，记作：AB∥CD，读作：直线AB与直线CD平行．(3)如果直线AB与直线CD既不平行，也不相交，那么称这两条直线的位置关系为异面，读作：直线AB与直线CD异面．4、长方体中棱与面的位置关系：（1）如图所示的长方体AG中，棱(直线)EA垂直于面ABCD。

读作：棱(直线)EA垂直于平面ABCD(2) 如图所示的长方体AG中，棱(直线)EF平行于面ABCD。

读作：棱（直线）EF平行于平面ABCD5、长方体中面与面的位置关系：（1）如图所示的长方体AG中，平面EFBA垂直于面ABCD。