单摆作简谐运动的周期公式可以应用简谐运动周期公式推出

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单摆疱丁巧解牛知识·巧学一、单摆的回复力1。

单摆用一根不可伸长且不计质量的细线,悬挂一直径可忽略的小球所组成的装置,叫做单摆。

要点提示单摆是实际摆的理想化模型.2.实际摆看作单摆的条件（1)摆线的形变量与摆线长度相比小得多,悬线的质量与摆球质量相比小得多，这时可把摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线。

（2）摆球的直径与摆线长度相比小得多，这时可把摆球看成是没有大小只有质量的质点.学法一得某一物理量是否可以略去不计,是相对而言的，为了满足上述条件应尽量减小空气阻力对它的影响,我们组成单摆的摆球应选择质量大而体积小的球，线应选择尽量细而轻且弹性小的线.3。

单摆的回复力（1）单摆的回复力是重力沿圆弧切向的分力F=mgsinθ提供的。

（2)单摆在摆角很小时做简谐运动。

如图11-4—1所示,摆球受重力mg和绳子拉力F′两个力作用，将重力按切线方向、径向正交分解，则绳子的拉力F′与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的切向分力F提供了摆球振动所需的回复力F=mgsinθ。

图11-4—1设单摆的摆长为l ，在最大偏角θ很小的条件下，摆球对O 点的位移x 的大小,与θ角所对的弧长，θ角所对的弦长都近似相等，即x==OP.若摆角θ用弧度表示，则由数学关系知：sinθ=l OP ≈lx所以重力沿切向分力F=mgsinθ≈mg lx令k=lmg,则F=kx因为F 的方向可认为与x 方向相反,则F 回=-kx 由此可见单摆在摆角很小条件下的振动为简谐运动.误区警示 单摆振动的回复力是重力在切线方向的分力,或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力。

单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。

对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。

因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。

把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。

对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。

这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。

二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。

当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。

让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。

在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。

当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。

因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。

第七节 用单摆测定重力加速度1．实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期T ＝2πlg，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2lT 2。

因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值。

2．实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线(约1 m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺。

3．实验步骤(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。

(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如实验原理图所示。

(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r 。

(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝tN (N 为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期T －＝T 1＋T 2＋T 33。

(5)根据单摆周期公式T ＝2πl g 计算当地的重力加速度g ＝4π2l T2。

(6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值。

(7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因。

规律方法总结 1．注意事项(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°。

(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。

(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时。

因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大。

②要测多次全振动的时间来计算周期。

1 关于单摆的回复力 ①在研究摆球沿圆弧的运动情况时，要以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示. ②因为Ｆ′垂直于ｖ，所以，我们可将重力G 分解到速度ｖ的方向
及垂直于ｖ的方向.且Ｇ1＝Ｇsin θ＝mg sin θＧ2＝G cos θ＝mg cos θ
③说明：正是沿运动方向的合力Ｇ1＝mg sin θ提供了摆球摆动的回
复力.
单摆做简谐运动的条件
①推导：在摆角很小时，sin θ＝l
x 又回复力Ｆ＝mg sin θ Ｆ＝mg ·l x
（ｘ
表示摆球偏离平衡位置的位移，ｌ表示单摆的摆长）
②在摆角θ很小时，回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相
反，大小成正比，单摆做简谐运动.
③简谐运动的图象是正弦(或余弦曲线)，那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线.
单摆周期公式推导
设摆线与垂直线的夹角为θ, 在正下方处时θ=0,逆时针方向为正，反之为负。

则 摆的角速度为θ’（ 角度θ对时间t 的一次导数）, 角加速度为θ’’（ 角度θ对时间t 的二次导数）。

对摆进行力学分析，
由牛顿第二运动定律，有
(m)*(l)* θ’’ = - mg*sin θ
即θ’’+ (g/l )*sin θ = 0
令 ω = (g/l)1/2 ,有
θ’’ + (ω2)*sin θ = 0
当 θ很小时， sin θ ≈ θ （这就是考虑单摆运动时通常强调“微”摆的原因） 这时， 有
θ’’ + (ω^2)*θ ≈ 0
该方程的解为
θ = A*sin(ωt+φ)
这是个正弦函数，其周期为
T = 2π/ω = 2π*√(l/g)。

单摆一、知识点梳理1.单摆(1)模型：单摆指在一条不可伸长的，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置.单摆是实际摆的理想化的物理模型.(2)实际摆看做单摆的条件：①摆线的形变量与摆线长度相比小得多，悬线的质量与摆球质量相比小得多，这时可把摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线.②摆球的大小与摆线长度相比小得多，这时可把摆球看成是没有大小只有质量的质点.例1.（多选）单摆是为了研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是（ ） A.摆线质量不计 B.摆线长度不伸缩C.摆球的直径比摆线长度短得多D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动2.单摆的回复力(1)单摆的平衡位置当摆球静止时，摆球受到重力和悬线的拉力作用，这两个力是平衡的.摆球静止的位置就是单摆的平衡位置. (2)单摆的回复力摆球受到的重力G 和悬线拉力'F ,在单摆摆动时，一方面要使单摆摆动，另一方面还要提供摆球沿圆弧运动的向心力.在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示. 因为'F 垂直于v ,所以，我们可将重力G 分解为沿速度v 方向的1G ,及垂直于v 方向的2G ·且θsin 1mg G =,θcos 2mg G =.重力G 沿圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力，也可以说成是摆球沿运动方向的合力提供了摆球摆动的回复力.【注意说明】摆球所受的回复力是沿圆弧切线方向上的合力，而不是摆球所受到的合力.当摆球在摆动过程中经过平衡位置时，由于摆球还做圆周运动，摆线拉力与摆球重力不相等，其合力提供向心力.实际上摆球在运动过程中沿绳方向上的合力一直是提供摆球做圆周运动的向心力. (3)单摆做简谐运动的条件如图所示，单摆摆长为l ，选平衡位置为坐标原点，水平线为x 轴.当摆角很小时，弧线与x 轴近似重合，设摆球离原点的距离为x ,则l x ≈θsin ，x l mgG G ==θsin 1，1G 方向与摆球位移方向相反，所以有回复力x l mg G F -==1回, 令lmgk =，则kx F -=回，因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动.【易错点津】①单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力.②单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度（摆角小于o 5）摆动时才认为是简谐运动.(4)对单摆的运动特点的理解：①摆球以悬挂点为圆心在竖直平面内沿圆弧做变速圆周运动.做圆周运动需要向心力，向心力由绳子的拉力与重力的径向分力的合力提供.②摆球同时以最低点为平衡位置做振动，做振动需要回复力，由摆球重力的切向分力提供（或摆球所受合外力沿圆弧切向分力提供).例2.下列关于单摆的说法，正确的是（ ） A.单摆运动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力C.单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零3.单摆的周期公式荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆球的质量和振幅无关，即glT π2=，式中l 为悬点到摆球球心间的距离，g 为当地的重力加速度.(1)单摆的等时性：在振幅较小时，单摆的周期与单摆的振幅无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性.(2)单摆的周期公式可以由简谐运动的周期公式k m T π2=导出，对单摆lmg k =，所以g l T π2=. 周期为2s 的单摆，叫做秒摆，由周期公式glT π2=得秒摆的摆长m 1≈l .4.单摆的应用(1)计时器：利用单摆周期与振幅无关的等时性，制成计时仪器，如摆钟等.由单摆周期公式知道，调节单摆摆长即可调节钟表快慢.(2)测定重力加速度：把单摆周期公式变形，得224Tlg π=,由此可知，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以测出当地的重力加速度g .例3.（多选）甲、乙两个单摆，做简谐振动图象如图所示，则可知（ ）A ．两个单摆完全相同B ．两个单摆所受回复力最大值之比1:2:=乙甲F FC ．单摆甲速度为零时，单摆乙速度最大D ．两个单摆的振动频率之比2:1:=乙甲f f二、技巧总结1.如何理解单摆的周期公式(1)等效摆长①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即2dl L +=，l 为摆线长，d 为摆球直径②等效摆长：如左图甲、乙所示.图中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为αsin l ,这就是等效摆长，所以其周期为gl T απsin 2=.右图中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效.(2)重力加速度g①若系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的空间位置决定，即2RGM g =，式中R 为物体到地心的距离，M 为地球的质量，g 随所在地表的位置和高度的变化而变化.另外，在不同星球上M 和R 一般不同，g 也不同， g 取2m/s .89只是在地球表面附近时的取值.②若单摆系统处在非平衡状态（如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值. 若单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a ，则摆球处于超重状态，沿圆弧的切向分力变大，则重力 加速度的等效值)('a g g +=，若升降机加速下降，则重力加速度的等效值)('a g g -=，若单摆在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值0'=g ，摆球不摆了，周期无穷大，则摆球将以那时的速率相对悬点做匀速圆周运动.③若单摆在复合场中，如左图所示，qE mg F +=，等效重力加速度m qE g m F g +=='，mqE g lT +=π2. ④摆球除受到重力和拉力外还受到其他力，但其他力只沿半径方向，而沿振动方向无分力，这种情况下，单摆的周期不变如右两图所示，图甲中带电小球受到的库仑力始终沿半径方向，图乙中带电小球受到的洛伦兹力始终沿半径方向，则周期glT π2=不变. 例4.如图所示，在竖直平面内有一段光滑圆弧轨道MN,它对应的圆心角小于5°，P 是MN 的中点，也是圆弧的最低点.在NP 间的一点Q 和P 之间搭一光滑斜面并将其固定.将两个小滑块（可视为质点）同时分别从Q 点和M 点由静止开始释放，则两个小滑块第一次相遇时的位置（ ）A.一定在斜面PQ 上的一点B.一定在PM 上C.一定在P 点D.不知道斜面PQ 的长短，无法判断2.圆锥摆如图所示，用细线悬吊小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，即细线所扫过的面为圆锥面，通常我们称为圆锥摆，实质上圆锥摆中的小球不是振动，是匀速圆周运动，设运动过程中细线与竖直方向夹角为θ，线长为l ，则小球做圆周运动的半径θsin l r =,向心力θtan mg F =.由r Tm mg F ⋅⋅==224tan πθ，得圆锥摆的周期g l T θπcos 2=，显然该周期小于单摆周期，所以在用单摆测重力加速度的实验中，强调摆球必须在竖直面内摆动.3. 摆钟问题中的“万能公式”(1)摆钟计时原理①摆钟实际上是利用钟摆的周期性摆动，通过一系列的机械传动，从而带动钟面上的指针转动. 钟摆每摆动一次，指针就转运一个角度0θ，并且这个角度是固定的，其大小就表示钟面走过的时间.②对走时准确的摆钟而言，钟摆摆一次，实际耗时0T (即摆的振动周期)，指针转过的角度0θ就表示钟面的走时为0T .③对走时不准的摆钟而言，钟摆摆一次，虽然实际耗时T (即不准摆的振动周期)，但由于摆钟机械设计的关系，钟摆带动指针转动的角度依旧是0θ，所以钟面上所显示的时间（并非真实时间）依旧是0T ,正是由于T T ≠0,从而引起摆钟走时不准.(2)引起摆钟的误差原因①因为气候的变化，引起金属的热胀冷缩，从而摆长变化导致摆钟的周期改变. ②由于地理位置的变化，引起重力加速度g 的变化，从而导致摆钟的周期改变. (3)一个重要的计算公式设有一段时间0t (比如一天)，某周期为T 的不准摆钟的钟摆摆动的次数为Tt 0，由于每摆一次，钟面上所显示的时间依旧为0T ，所以在这段时间内，不准摆钟钟面所显示的时间为00T Tt ⋅，因而该钟比标准钟快（或慢）000t T T t t -⋅=∆，称为钟摆问题中的“万能公式”.例5.将在地球上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球记录的时间是1h,那么实际上的时间应是________h(月球表面的重力加速度是地球表面的61). 若要把此摆钟调准，应使摆长0l 调节为________.三、针对练习1.下列有关单摆运动过程中受力的说法中，正确的是（ ）A ．回复力是重力和摆线拉力的合力B ．回复力是重力沿圆弧方向的一个分力C ．单摆过平衡位置时合力为零D ．回复力是摆线拉力的一个分力2.如图所示，光滑圆槽的半径R 远大于小球运动的弧长，今有两个 小球（可视为质点）同时由静止释放，其中A 球开始时离圆槽最 低点O 较远些，则它们第一次相碰的地点在（ ）A ．O 点B ．O 点偏左C ．O 点偏右D ．无法判断，因为两小球质量关系未定3.如图所示，置于地面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为0T ，下列说法 中正确的是（ ）A ．单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力B ．单摆摆动的过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力C ．将该单摆置于高空中相对于地球静止的气球中，其摆动周期为0T T >D ．小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力4.将秒摆（周期为2 s ）的周期变为1 s ，下列措施可行的是（ ）A ．将摆球的质量减半B ．振幅减半C ．摆长减半D ．摆长减为原来的145.一只单摆在第一行星表面上的周期为1T ，在第二行星表面上的周期为2T ，若这两个行 星的质量之比1:4:21=M M ，半径之比1:2:21=R R ，则 （ ）A ．1:1:21=T TB ．1:4:21=T TC ．1:2:21=T TD ．1:22:21=T T6.(多选)图甲中摆球表面包有一小块橡皮泥，在竖直平面内其振动图象如图乙所示，某时刻橡皮泥瞬间自然脱落，不考虑单摆摆长的变化，则下列说法正确的是( )A ．t ＝0时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T<4 sB ．t ＝1 s 时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T ＝4 sC ．t ＝1 s 时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T ＞4 sD ．t ＝0时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅A ＝10 cmE ．t ＝1 s 时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅A ＝10 cm7.（多选）如图所示，一向右运动的车厢顶上悬挂着两个单摆M 、N ，它们只能在图示平面内摆动. 某一时刻出现图示情景。

简谐振动和周期的关系简谐振动是一种重要的物理现象，在许多领域中都有广泛的应用。

而周期则是描述简谐振动的一个重要参数，它与振动的特性密切相关。

本文将探讨简谐振动与周期之间的关系，并介绍一些与之相关的概念和公式。

简谐振动是指在一个恢复力作用下，物体在平衡位置附近做往复振动的过程。

通常，简谐振动可以用一个周期函数来描述，其中最常见的就是正弦函数。

一般地，简谐振动的周期可以用时间的反比来表达，即振动的频率。

频率是描述每秒内振动的周期个数，单位为赫兹（Hz）。

频率与周期之间的关系可以用下式表示：频率 = 1 / 周期 (公式1)接下来，我们来详细讨论频率和周期在简谐振动中的应用以及其之间的具体关系。

首先，周期在简谐振动中起着非常重要的作用。

周期是一个简谐振动经过一个完整循环所用的时间。

在一个完整循环中，物体从一个极端位置出发，经过平衡位置，达到另一个极端位置，再回到平衡位置。

周期的长度取决于振动的特性，如摆长、弹簧的劲度系数等，而与振动物体的质量无关。

周期的单位通常为秒（s）。

其次，频率是描述简谐振动快慢程度的参数。

频率越高，振动的周期越短，振动的速度越快。

相反，频率越低，振动的周期越长，振动的速度越慢。

频率的单位为赫兹，常用的单位有赫兹、千赫兹和兆赫兹。

在实际应用中，频率通常用于描述声音的高低音调、电磁波的频率范围等。

通过公式1，我们可以将频率和周期进行相互转换。

假设一个振动的周期为T，频率为f，根据公式1，我们可以得到：T = 1 / f (公式2)这意味着，周期的倒数等于频率，频率的倒数等于周期。

因此，在解决简谐振动相关问题时，我们可以根据实际情况使用频率或周期来描述振动，它们之间可以互相转换，非常方便。

最后，周期与简谐振动的特性密切相关。

在简谐振动中，周期是一个振动完成一次循环所花的时间，与振动物体的特性直接相关。

一些影响周期的因素包括振子的质量、劲度系数、振子的摆长等。

通过调节这些因素，我们可以改变简谐振动的周期，从而达到调节频率的目的。

物理竞赛中简谐运动周期的四种求法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN物理竞赛中简谐运动周期的四种求法物理竞赛中在解决简谐运动问题时，经常会涉及周期的求解。

本文通过具体实例，介绍物理竞赛中简谐运动周期的四种求法。

一、周期公式法由简谐运动的周期公式可知，运用周期公式求周期的关键是求出回复力系数 k。

通常情况下，可以通过两种途径求出回复力系数。

一是通过对简谐运动物体进行受力分析求出回复力，然后根据物体简谐运动时回复力大小的特征F=kx，找到回复力F与位移x的关系求出回复力系数k；二是通过求简谐运动物体在位移为x时的势能，然后根据物体做简谐运动时势能的关系求出回复力数k。

例1如图1所示，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为L，m与M、M与水平面之间光滑，求摆线偏转很小角度，从静止释放后，系统振动的周期。

图1分析与解由于摆球m周期与整个系统运动周期相等，因此系统振动的周期可以通过求摆球m周期来求出。

凹形滑块M受到水平地面的支持力、重力 G=Mg及m对M的水平作用的作用（图2），由于 M只能在水平面上滑动，因此M沿水平面做往复运动时受到的回复力可表示为：(1)对摆球m进行受力分析（图3），可得到下列关系式：(2)例2如图4所示，横截面积为S，粗细均匀的U形管中灌有密度为ρ，质量为m 的水银，现在将B管管口用塞子密封后加热，由于封在B管中空气的膨胀，使水银面在A管内上升，若此时将B管口的塞子拔去，那么水银做简谐运动的周期是多少？图4分析与解设A、B两管液面相平时为水银柱的零势能位置，则当B管中水银面距两管液面相平时的液面高度为x时，整个水银柱具有的势能为。

二、刚体角加速度法绕定轴转动的刚体的角加速度和外力的关系应遵循刚体定轴转动定律：即刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。

采用这种方法时，往往通过刚体定轴转动定律求出刚体转动的角加速度，然后根据加速度与角加速度的关系求出刚体转动的角速度，从而求出刚体做简谐运动的周期。

第二章 学业质量标准检测本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分100分，时间90分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，第1～6小题只有一个选项符合题目要求，第7～10小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分)1．质点运动的位移x 与时间t 的关系如下列选项图所示，其中不属于机械振动的是( D )解析：机械振动是指在平衡位置附近的往复运动，A 、B 、C 项属于机械振动；D 图中质点运动一段时间就趋于静止了，D 项不属于机械振动。

2．做简谐运动的物体，其位移随时间的变化规律为x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫50πt ＋π6cm ，则下列说法正确的是( D )A ．它的振幅为4 cmB ．它的周期为0.02 sC ．它的初相位是π3D ．它在14周期内通过的路程可能是2 2 cm解析：对照简谐运动的一般表达式x ＝A sin(2πT t ＋φ)知A ＝2 cm ，T ＝0.04 s ，φ＝π6，故ABC错；由表达式可以看出振动物体从相位为3π4到相位为5π4这14周期内通过的路程为2A ，故D 正确。

3．如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx ，释放后振子在AB 间振动。

设AB ＝20 cm ，振子由A 到B 时间为0.1 s ，则下列说法正确的是( C )A ．振子的振幅为20 cm ，周期为0.2 sB ．振子在A 、B 两处受到的回复力分别为k Δx ＋mg 与k Δx －mgC ．振子在A 、B 两处受到的回复力大小都是k ΔxD ．振子一次全振动通过的路程是20 cm解析：AB 之间距离为20 cm ，所以振幅为10 cm ，选项A 错误；由F ＝－kx 可知，在A 、B 两处回复力大小都为k Δx ，选项B 错误，选项C 正确；完成一次全振动振子通过的路程为40 cm ，选项D 错误。

新教材鲁科版2019版物理选择性必修第一册第2章知识点清单目录第2章机械振动第1节简谐运动第2节振动的描述第3节单摆第4节科学测量：用单摆测量重力加速度第5节生活中的振动第2章机械振动第1节简谐运动一、机械振动1. 定义：物理学中，将物体(或物体的某一部分)在某一位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。

2. 平衡位置：振动物体在某一位置附近做往复运动，这个位置称为平衡位置，也是物体所受回复力为零的位置。

3. 回复力(1)方向：总是指向平衡位置。

(2)作用效果：使物体总是在平衡位置附近振动。

(3)来源：回复力可由某一个力来提供，也可由振动物体受到的几个力的合力来提供。

二、简谐运动及其特征1. 弹簧振子(1)弹簧振子是一种理想模型。

(2)弹簧振子的组成：如图所示，弹簧一端固定，另一端连接一个可视为质点的物体，不计弹簧质量，物体置于光滑水平面上。

(3)弹簧振子的回复力：回复力由物体所受弹簧弹力提供，为F=-kx。

其中k等于弹簧劲度系数，x是物体相对平衡位置的位移，负号表示力与位移的方向相反。

2. 简谐运动(1)定义：物体所受回复力的大小与位移大小成正比，方向总是与位移方向相反的运动称为简谐运动。

(2)简谐运动的运动学特征：a=-kx。

m(3)弹簧振子能量特征：只有弹簧弹力做功，系统的动能和弹性势能相互转换，机械能守恒。

3. 易错警示(1)物体在平衡位置所受合力不一定为零，而是沿简谐运动方向的合力为零，且物体在平衡位置时速度最大。

(2)简谐运动的位移和一般运动的位移有很大区别，一般运动的位移都是由初位置指向末位置，而简谐运动的位移都是由平衡位置指向振动质点所在位置。

三、对简谐运动的位移、速度、回复力和加速度的理解1. 简谐运动三个物理量的特点(1)位移：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某一时刻物体的位移用该时刻物体所在位置的坐标来表示。

(2)速度：速度是描述物体在平衡位置附近运动快慢的物理量。

探究各种复摆简谐运动周期的推导方法复摆简谐运动是指一个由两个相互连接的摆构成的系统，在受到一定的初速度或初始位移后，将以简谐运动的方式来摆动。

这种运动周期的推导方法有多种，下面将探讨其中几种常用的方法。

方法一：拉格朗日方程利用拉格朗日方程可以简洁地推导出复摆简谐运动的周期。

拉格朗日方程是基于系统的动能和势能之差进行建立的。

首先，确定系统的广义坐标。

对于一个由两个相互连接的摆构成的复摆，我们选择两个摆的摆角（广义坐标）作为系统的广义坐标。

然后，确定系统的拉格朗日函数。

根据动能和势能的定义，可得系统的拉格朗日函数。

复摆的动能为两摆的动能之和，而势能为两摆的势能之和。

接下来，使用拉格朗日方程进行推导。

将拉格朗日函数对广义坐标的导数等于力的关系代入，然后根据受力分析计算出各自的力关系，即可得到运动方程。

最后，根据运动方程并进行适当的数学处理，可以得到复摆简谐运动的周期。

方法二：等效单摆法等效单摆法是将复摆简化为单摆，然后利用单摆的周期公式来推导出复摆的周期。

对于一个复摆而言，我们可以通过将两个摆的长度合并为一个等效的单摆长度，将两个摆的质量合并为一个等效的单摆质量，从而得到一个等效的单摆系统。

等效单摆的周期公式为T=2π√(l/g)，其中T为周期，l 为等效单摆的长度，g为重力加速度。

然后，将等效单摆的结果代入到复摆的周期公式中，即可得到复摆的周期。

方法三：近似展开在一些情况下，我们可以使用近似展开的方法来推导复摆简谐运动的周期。

例如，当摆角较小（小于10°）时，可以将正弦函数在小角度范围内进行泰勒展开。

根据泰勒展开的前几项，我们可以得到一个近似的周期公式。

具体来说，可以将复摆的运动方程根据泰勒展开式进行近似处理，然后继续代入进行数学计算，最后可以得到一个近似的周期公式。

需要注意的是，以上推导方法都是基于一定的简化假设和近似条件进行的。

在实际问题中，可能需要考虑更多的因素和复杂的计算方法来得到准确的周期结果。

单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。

对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。

因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。

把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。

对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。

这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。

二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。

当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。

让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。

在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。

当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。

因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。

2020北京二中高二（下）期末物理第一部分本部分共17小题，每小题3分，共51分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1.首先提出实物粒子也具有波动性科学家是（）A.托马斯·杨B.德布罗意C.麦克斯韦D.查德威克2.在核反应方程中，X表示的是（）A.质子B.中子C.电子D.α粒子3.下列说法正确的是（）A.物体放出热量，其内能一定减小B.物体对外做功，其内能一定减小C.物体吸收热量，同时对外做功，其内能可能增加D.物体放出热量，同时对外做功，其内能可能不变4.下列几个光现象中，属于衍射现象的是（）A.水中的气泡看起来特别明亮B.白光通过三棱镜在屏上出现彩色光带C.在阳光照射下肥皂泡上出现彩色花纹D.通过两支铅笔夹成的狭缝看点亮的日光灯出现彩色条纹5.如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时的波形图，已知波的周期为T，在时，下列说法正确的是A.x＝2c m处质点的位移最大B.x＝4c m处质点速度最大C.x＝6c m处的质点沿x轴正方向运动到x＝12c m处D.x＝8c m处的质点的加速度最大6.关于分子动理论，下列说法正确的是（）A.用手捏面包，面包体积会缩小，这是分子间有间隙的缘故B.分子间的引力和斥力均随着分子间距离的增大而减小C.布朗运动是由悬浮在液体中的微粒之间的相互碰撞引起的D.物体的温度升高，物体内所有分子热运动的速率都增大7.卢瑟福指导他的助手进行的散射实验所用仪器的示意图如图所示。

放射源发射的粒子打在金箔上，通过显微镜观察散射的粒子。

实验发现，绝大多数粒子穿过金箔后，基本上仍沿原来方向前进，但少数粒子发生了大角度偏转，极少数的角度甚至大于90°。

于是，卢瑟福大胆猜想（）A.原子核内存在中子B.原子核内存在质子C.电子围绕原子核运动D.原子内部有体积很小、质量很大的核8.如图所示，一束复色光从空气中射入水中，分成两束单色光a和b，则下列说法中正确的是（）A.在水中，a光的频率大于b光的频率B.在水中，a光的光速大于b光的光速C.在水中，a光的波长大于b光的波长D.若从水中向空气射出时，a光能发生全发射，则b光也一定能发生全反射9.如图所示，（a）→（b）→（c）→（d）→（e）过程是交流发电机`发电的示意图，线圈的a b边连在金属滑环K上，c d边连在金属滑环L上，用导体制成的两个电刷分别压在两个滑环上，线圈在转动时可以通过滑环和电刷保持与外电路连接．下列说法正确的是A.图（a）中，线圈平面与磁感线垂直，磁通量变化率最大B.从图（b）开始计时，线圈中电流i随时间t变化的关系是C.当线圈转到图（c）位置时，感应电流最小，且感应电流方向改变D.当线圈转到图（d）位置时，感应电动势最小，a b边感应电流方向为b→a10.堵住打气筒的出气口，缓慢向下压活塞使气体体积减小，你会感到越来越费力。

1. 理解单摆的周期公式及其应用。

2. 通过实验测量单摆的周期，计算并确定当地的重力加速度。

3. 掌握实验数据的处理方法，提高实验技能。

二、实验原理单摆的周期公式为：T = 2π√(L/g)，其中T为单摆的周期，L为摆长，g为重力加速度。

在摆角小于10°的情况下，单摆可以近似看作简谐运动，其周期与摆长和重力加速度有关。

通过测量单摆的周期和摆长，可以计算出重力加速度。

三、实验器材1. 单摆（摆线长度可调节）2. 秒表3. 刻度尺4. 水平仪5. 记录本四、实验步骤1. 调整单摆，确保摆线与地面垂直，摆角小于10°。

2. 使用刻度尺测量摆线的长度，记录为L。

3. 使用水平仪检查单摆是否处于水平状态。

4. 将秒表放在容易读取的位置。

5. 松开单摆，使其摆动，在摆球通过最低点时开始计时，记录周期T。

6. 重复步骤5，至少测量5次周期，记录数据。

7. 计算平均周期T_avg = (T1 + T2 + T3 + T4 + T5) / 5。

8. 计算重力加速度g = (4π²L) / T_avg²。

摆线长度L：m周期T1：s周期T2：s周期T3：s周期T4：s周期T5：s六、数据处理与结果根据实验数据，计算平均周期T_avg和重力加速度g。

T_avg = (T1 + T2 + T3 + T4 + T5) / 5g = (4π²L) / T_avg²七、实验误差分析1. 测量摆线长度时，可能存在读数误差。

2. 记录周期时，可能存在人为误差。

3. 单摆摆角可能大于10°，导致周期公式不再适用。

八、实验结论通过本实验，我们成功测量了单摆的周期，并计算出了当地的重力加速度。

实验结果与理论值存在一定误差，可能是由于实验操作和仪器精度等因素造成的。

九、实验心得1. 在实验过程中，我们要注意保持单摆的摆角小于10°，以保证实验结果的准确性。

2. 在记录周期时，要尽量减少人为误差，提高实验数据的可靠性。

第1篇一、实验目的本次实验旨在通过观察和测量单摆的运动，验证单摆的周期公式，探究摆长、摆角对单摆周期的影响，并分析实验过程中可能存在的误差。

二、实验原理单摆是一种理想的简谐振动系统，其周期公式为：T = 2π√(L/g)，其中T为单摆的周期，L为摆长，g为重力加速度。

本实验通过测量单摆的周期，来验证周期公式，并探究摆长、摆角对周期的影响。

三、实验方法1. 实验器材：单摆装置、米尺、秒表、游标卡尺等。

2. 实验步骤：（1）用游标卡尺测量单摆摆线的长度，并记录下来。

（2）将单摆装置固定在支架上，调整摆球的位置，使其摆角小于5°。

（3）用秒表测量单摆摆动n次的时间，计算单摆的周期T。

（4）改变摆长，重复步骤（2）和（3）。

（5）改变摆角，重复步骤（2）和（3）。

四、实验结果与分析1. 验证周期公式通过实验数据，我们计算了不同摆长下的单摆周期，并与理论值进行比较。

实验结果表明，在摆长变化不大的情况下，单摆的周期与摆长的平方根成正比，验证了周期公式T = 2π√(L/g)的正确性。

2. 探究摆长对周期的影响实验结果表明，随着摆长的增加，单摆的周期也随之增加。

这与周期公式T =2π√(L/g)相符。

在实验过程中，我们发现当摆长增加时，摆球在摆动过程中受到的空气阻力相对减小，从而使得摆动周期变长。

3. 探究摆角对周期的影响实验结果表明，在摆角小于5°的情况下，单摆的周期与摆角的变化关系不大。

这与周期公式T = 2π√(L/g)中未考虑摆角的影响相符。

当摆角增大时，摆球在摆动过程中受到的空气阻力增大，使得摆动周期变短。

4. 实验误差分析（1）测量误差：在实验过程中，由于测量仪器的精度限制，摆长和摆角的测量值存在一定的误差。

这会导致实验结果的误差。

（2）空气阻力：在实验过程中，摆球在摆动过程中受到空气阻力的影响，使得摆动周期变短。

这也会导致实验结果的误差。

（3）摆球质量：在实验过程中，摆球的质量可能会对实验结果产生影响。

为了使示意图更加简洁，全部假设k=1，这样的话以为F=-kx（并且在此强调回此处负号只表示方向，不表示数值，所以在证明中使用数值关系时全部忽略负号），所以回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移X，所以在2个示意图中都是用一条线表示的。

[6]一般简谐运动周期公式证明因为简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。

见右图。

圆周运动的；很明显v无法测量到，所以根据得到。

其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即（F=-kx中负号只表示方向，所以在这省略）。

所以得到；因为x与r之间的关系是：x=rcosα，所以上式继续化简得到：。

然后再将V带入之前的圆周运动T中，即可得到。

[4]单摆周期公式证明首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于5°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐运动。

单摆周期公式证明见示意图，在偏角很小时，我们可以近似的看做图中红色箭头即位移x（回复力）垂直于平衡位置。

于是我们便可以得到sinα≈。

同时因为回复力为重力与速度平行方向上的分力即图中重力分力2，重力分力1即L的延长线。

于是我们可以得到△AOB与重力和它的分力所构成的三角形相似（注意相似时的三角形方向）即可得到：（注意：此处比例关系中的位移x虽然在k=1的假设下数值上等于回复力F，但是必须清楚在意义上G才是真正的回复力F，因为回复力F为重力与速度平行方2）[7]向上的分力即G2于是根据相似我们可以得到，于是化简得到，于是得到，然后将这个转换带入一般简谐运动周期公式便得到了单摆的周期公式。

[1]5运动方程推导编辑定义：一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动：R是匀速圆周运动的半径，也是简谐运动的振幅；ω是匀速圆周运动的角速度，也叫做简谐运动的圆频率，;φ是t=0时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度（逆时针为正方向），叫做简谐运动的初相位。

在t时刻，简谐运动的位移x=Rcos（ωt+φ），简谐运动的速度v=-ωRsin （ωt+φ），简谐运动的加速度a=-ω2Rcos（ωt+φ），这三个式子叫做简谐运动的方程。

单摆周期公式的变形公式
单摆周期公式T＝2π根号下（L/g），什么叫作单摆呢？首先单摆是一个能够产生往复摆动的一种装置，而将这种无重细杆悬浮在一个重力场内部的一个顶点，而另外一个点的顶端固定一个重球，然后这样其实就是构成了一个单摆，而小球只会在平面内沿着一个直线摆动。

单摆运动的近似周期公式为：T=2π√(L/g)。

其中，L为摆长，g为当地的重力加速度。

首先在研究白球沿着圆弧在运动的时候，不能考虑摆球运动方向垂直方向的力，只能是考虑沿着摆球运动方向的力，因为Ｆ′垂直于ｖ，所以，所以在运动中我们可将重力G分解到速度ｖ的方向及垂直于ｖ的方向。

且Ｇ1＝Ｇsinθ＝mgsinθＧ2＝Gcosθ＝mgcosθ。

这种回复力说明了正是沿着运动方向的G1=mgsinθ提供了一个摆球摆动
的回复力，而这种单摆做的单件的运动的条件。

在摆动角θ很小的时候，回复力的一个方向是和摆球偏离的平衡位置的位移方向相反，大小是呈现出一个这个比，而单摆也是做一个简单运动。

简谐运动的图像是正弦的时候，如果摆角在很小的情况下，既然做出单摆的简谐运动，则它的震动图像也是正弦。

单摆简谐振动条件是θ小雨5°，位移的导数是一个速度，而以匀加速直线运动为例子的话，位移时间关系式x=v（初）t+1/2at平方，则x’＝v（初）+at，在带入一些表达式可以得出一个T=2π√(L/g)的公式。

单摆的周期是什么呢？在一个非常小的振幅或者是角度下的时候，单摆做简谐运动的周期是一个跟摆场的平方根呈现出一个正比，而跟重力加速度的平方根呈现出一个反比的状态，而跟振幅和摆球的质量是没有任何关系的。

以上就是单摆周期的公式以及其他的推导过程，要求学生掌握并且熟练运用求导方式。