初中九年级数学 1.3菱形的性质

9上§1.3.3菱形性质与判定（九年级上数学005）——研究课班级________姓名________一.学习目标：1．理解菱形的定义，掌握菱形的性质和判定；2．能运用菱形的性质和判定进行简单的计算与证明．二．学习重点：菱形的性质、判定的理解和掌握；学习难点：菱形的性质、判定的综合应用．三．教学过程知识梳理1：菱形的定义：菱形的性质：（边）（角）（对角线）（对称性）菱形的面积等于．边讲边练：Ⅰ.菱形两条对角线、边长之间的关系：1. 如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则：①此菱形的边长为．(10 盐城)周长为．(10 北京)②此菱形的面积为．(10 株洲)③此菱形对角线的交点O到AB的距离为．(11 昆明)④菱形内部(包括边界)任取一点P，使△ACP的面积大于6 cm2的概率为．(10 淮安)2. 已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为___ ___cm．3．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC:BD=4:3，那么对角线AC=_____cm，BD=_____cm．4．(10 西安)若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为．Ⅱ.有一个内角为60°的菱形：1. 如图如图所示，在菱形ABCD中，若AB＝6，∠DAC＝60°则：①BD＝．(10 南通)②AC＝．(11 中山)归纳：有一个内角为60°的菱形，短的对角线等于 ；长的对角线等于 ．2. 菱形的两邻角之比为1:2，边长为2，则菱形的面积为__________．3. 己知：如图，菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 ．4．(11 南京)如图，菱形ABCD 的边长是2㎝，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，则S 菱形ABCD = cm 2．5．(10 荷泽) 如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2㎝，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为cm ．、知识梳理2：(11 益阳)如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于1,2AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是．．．形，你判定的理由是： ． 归纳：例题精讲1．已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ∥AB ，DF ∥AC ．试判断四边形AFED 的形状，并加以证明．2．已知：如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）(11 肇庆)求证：四边形OCED 是菱形；（2）(10 眉山)若AB =6，BC =8，求四边形OCED 的面积．（3）若∠ACB ＝30 ，菱形OCED 的面积为83，求AC 的长．第3题图 第4题图 第5题图的平行四边形是菱形 的四边形是菱形3．两张等宽的矩形纸片如图所示叠放在一起，他们重合的图形是什么形状，并加以证明．4．如图，□ABCD的对角线BD的垂直平分线与AD、BC分别交于点E、F．求证：四边形BEDF是菱形．变式．(11兰州)已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C 重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．课外延伸1．(10 济南) 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．2．(11 无锡)菱形具有而矩形不一定具有的性质是 （ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补3．(11武汉)如图，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE =DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论正确的是 （ ） ①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形 BCDG = 34CG 2；③若AF =2DF ，则BG =6GF ．其中结论 A ．只有①② B ．只有①③ C ．只有②③ D ．①②③4．(11湖州) 如图已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF ．(1) 求证：四边形AECF 是平行四边形；(2) 若BC ＝10，∠BAC ＝90°，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长 ．5．(11 株洲)如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q .（1）求证： OP =OQ ；（2）若AD =8厘米，AB =6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．第1题图 第3题图 第4题图。

§1.3.3菱形性质与判定（九年级上数学005）——研究课班级________姓名________一.学习目标：1．理解菱形的定义，掌握菱形的性质和判定；2．能运用菱形的性质和判定进行简单的计算与证明．二．学习重点：菱形的性质、判定的理解和掌握；学习难点：菱形的性质、判定的综合应用．三．教学过程知识梳理1：菱形的定义：菱形的性质：（边）（角）（对角线）（对称性）菱形的面积等于．边讲边练：Ⅰ.菱形两条对角线、边长之间的关系：1. 如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则：①此菱形的边长为．(10 盐城)周长为．(10 北京)②此菱形的面积为．(10 株洲)③此菱形对角线的交点O到AB的距离为．(11 昆明)④菱形内部(包括边界)任取一点P，使△ACP的面积大于6 cm2的概率为．(10 淮安)2. 已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为___ ___cm．3．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC:BD=4:3，那么对角线AC=_____cm，BD=_____cm．4．(10 西安)若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为．Ⅱ.有一个内角为60°的菱形：1. 如图如图所示，在菱形ABCD中，若AB＝6，∠DAC＝60°则：①BD＝．(10 南通)②AC＝．(11 中山)③S菱形ABCD＝．归纳：有一个内角为60°的菱形，短的对角线等于；长的对角线等于．2. 菱形的两邻角之比为1:2，边长为2，则菱形的面积为__________．3. 己知：如图，菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 ．4．(11 南京)如图，菱形ABCD 的边长是2㎝，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，则S 菱形ABCD = cm 2．5．(10 荷泽) 如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2㎝，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为cm ．、知识梳理2：(11 益阳)如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于1,2AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是．．．形，你判定的理由是： ． 归纳：例题精讲1．已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ∥AB ，DF ∥AC ．试判断四边形AFED 的形状，并加以证明．2．已知：如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）(11 肇庆)求证：四边形OCED 是菱形；（2）(10 眉山)若AB =6，BC =8，求四边形OCED 的面积．（3）若∠ACB ＝30 ，菱形OCED 的面积为83，求AC 的长．第3题图 第4题图 第5题图的平行四边形是菱形 的四边形是菱形3．两张等宽的矩形纸片如图所示叠放在一起，他们重合的图形是什么形状，并加以证明．4．如图，□ABCD的对角线BD的垂直平分线与AD、BC分别交于点E、F．求证：四边形BEDF是菱形．变式．(11兰州)已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C 重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．课外延伸1．(10 济南) 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．2．(11 无锡)菱形具有而矩形不一定具有的性质是 （ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补3．(11武汉)如图，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE =DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论正确的是 （ ） ①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形 BCDG = 34CG 2；③若AF =2DF ，则BG =6GF ．其中结论 A ．只有①② B ．只有①③ C ．只有②③ D ．①②③4．(11湖州) 如图已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF ．(1) 求证：四边形AECF 是平行四边形；(2) 若BC ＝10，∠BAC ＝90°，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长 ．5．(11 株洲)如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q .（1）求证： OP =OQ ；（2）若AD =8厘米，AB =6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．第1题图 第3题图 第4题图。

1.1.3菱形的判定与性质一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD中，AD∥BC，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形APCQ是菱形，则下列说法中不正确的是（）A．BP＝DQ B．∠ABD＝∠ADB C．AB∥CD D．∠ABP＝∠BAP2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AF＝8，则四边形AEDF 的周长是（）A．24B．28C．32D．363．如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF ＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°4．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（）A．AD⊥BC B．AD为BC边上的中线C．AD＝BD D．AD平分∠BAC第2题第3题第4题5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF＝12，AB ＝10，则AE的长为（）A．10B．12C．16D．186．如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM＝AB，则∠C为（）A．100°B．105°C．110°D．120°7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（）①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．A．①③④B．①④C．①②③D．②③④第5题第6题第7题8．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，分别以直角边AB、斜边AC为边，向外作等边△ABD 和等边△ACE，F为AC的中点，DE与AC交于点O，DF与AB交于点G，给出如下结论：①四边形ADFE为菱形；②DF⊥AB；③AO＝AE；④CE＝4FG；其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE．则下列结论：①OG＝AB；②四边形ABDE是菱形；③S四边形ODGF＝S；其中正确的是（）△ABFA．①②B．①③C．②③D．①②③10．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个第8题第9题第10题二．填空题（共6小题）11．如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为．12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为，面积为．13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝度．第11题第12题第13题14．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠部分构成的四边形ABCD中，AB＝5，AC＝4，则BD的长为．15．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于．16．如图直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E、交BC于点F，EG ∥AB交CB于点G，FH⊥AB于H，以下4个结论：①∠ACD＝∠B；②△CEF是等边三角形；③CD＝FH+DE；④BG＝CE中正确的是（将正确结论的序号填空）．第14题第15题第16题三．解答题（共11小题）17．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）加上条件后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．18．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）证明四边形BEDF是菱形．19．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）求证：AE⊥DE．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若点E是BC的中点，求∠C的度数．21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，DE＝2，求CF的长．22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．23．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求PD．24．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．（1）求证：四边形DEBF是菱形：（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长，与AB的延长线相交于点G，求EG的长．26．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．1.1.3菱形的判定与性质参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD中，AD∥BC，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形APCQ是菱形，则下列说法中不正确的是（）A．BP＝DQ B．∠ABD＝∠ADB C．AB∥CD D．∠ABP＝∠BAP【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AP＝PC＝CQ＝AQ，AQ∥PC，AC⊥BD，∴∠AQP＝∠CPQ，∴∠AQD＝∠BPC，∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠CBP，在△ADQ和△CBP中，，∴△ADQ≌△CBP（AAS），∴AD＝BC，BP＝DQ，故选项A不合题意；又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，故选项C不合题意；∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，故选项B不合题意；故选：D．2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AF＝8，则四边形AEDF 的周长是（）A．24B．28C．32D．36【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠F AD＝∠FDA，∴F A＝FD，∴平行四边形AEDF为菱形．∵AF＝8，∴C菱形AEDF＝4AF＝4×8＝32．故选：C．3．如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF ＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，∴四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，故选：A．4．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（）A．AD⊥BC B．AD为BC边上的中线C．AD＝BD D．AD平分∠BAC【解答】解：添加AD平分∠BAC可判定四边形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠ADE，∴∠DAB＝∠ADE，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF是菱形，故选：D．5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF＝12，AB ＝10，则AE的长为（）A．10B．12C．16D．18【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝6，∴OA＝＝＝8，∴AE＝2OA＝16；故选：C．6．如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM＝AB，则∠C为（）A．100°B．105°C．110°D．120°【解答】解：∵四边形ABCD的四边都相等，∴四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠C，AD∥BC，∴∠DAB+∠B＝180°，∵△AMN是等边三角形，AM＝AB，∴∠AMN＝∠ANM＝60°，AM＝AD，∴∠B＝∠AMB，∠D＝∠AND，由三角形的内角和定理得：∠BAM＝∠NAD，设∠BAM＝∠NAD＝x，则∠D＝∠AND＝180°﹣60°﹣2x，∵∠NAD+∠D+∠AND＝180°，∴x+2（180°﹣60°﹣2x）＝180°，解得：x＝20°，∴∠C＝∠BAD＝2×20°+60°＝100°．故选：A．7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE 分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（）①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．A．①③④B．①④C．①②③D．②③④【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；∵OB＝OD，∴S△BOG＝S△DOG，∵四边形ABDE是菱形，∴S△ABG＝S△DGE，∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；故选：A．8．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，分别以直角边AB、斜边AC为边，向外作等边△ABD 和等边△ACE，F为AC的中点，DE与AC交于点O，DF与AB交于点G，给出如下结论：①四边形ADFE为菱形；②DF⊥AB；③AO＝AE；④CE＝4FG；其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解答】解：∵∠BAC＝30°，△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠DAF＝90°，∴DF＞AD，∴四边形ADFE不可能是菱形．故①错误．连接BF．∵△ABC是直角三角形，AF＝CF，∴F A＝FB，∵DA＝DB，∴DF垂直平分线段AB，故②正确，∵AE⊥AB，DF⊥AB，∴AE∥DF，∵AE＝2AF，DF＝2AF，∴AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴OA＝OF，∴AE＝AC＝4OA，故③正确，在Rt△AFG中，∠F AG＝30°，∴AF＝2FG，∵EC＝AC＝2AF，∴EC＝4FG，故④正确，故选：D．9．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE．则下列结论：①OG＝AB；②四边形ABDE是菱形；③S四边形ODGF＝S；其中正确的是（）△ABFA．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AB，①正确；∵△ABG≌△DEG，∴AB＝DE，∵AB∥CE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∴四边形ABDE是菱形，②正确；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG＝AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；③正确；正确的是①②③．故选：D．10．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝AC，∵AD＝AC，∴OC＝BC，∵N是OB的中点，∴CN⊥BD，①正确；∵M、N分别是OA、OB的中点，∴MN是△AOB的中位线，∴MN∥AB，MN＝AB，∵CN⊥BD，∴∠CND＝90°，∵P是CD的中点，∴NP＝CD＝PD＝PC，∴MN＝NP，②正确；∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD，又∵NP＝PC，MN＝NP，∴MN＝PC，∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；∵MN∥CD，∴∠PDN＝∠MND，∵NP＝PD，∴∠PDN＝∠PND，∴∠MND＝∠PND，∴ND平分∠PNM，④正确；正确的个数有3个，故选：C．二．填空题（共6小题）11．如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为30°．【解答】解：由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2cm，∴四边形ABCD是菱形，∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD＝∠MAN＝30°，∴∠ACB＝∠CAD＝30°，故答案为：30°．12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为20，面积为24．【解答】解：∵AC与BD互相垂直且平分，∴AD＝AB＝BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵BD＝6，AC＝8，∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，∴AB＝＝5，∴四边形周长为：20，面积为：×6×8＝24．故答案为：20，24．13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝90度．【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，∵AD是△ABC的角平分线，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE．∴▱AEDF为菱形．∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．故答案为：90．14．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠部分构成的四边形ABCD中，AB＝5，AC＝4，则BD的长为2．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接AC、BD交点为O．∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形；∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD．∴OB＝＝＝．∴BD＝2．故答案为：2．15．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于7.8．【解答】解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，∴AC＝8，四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD于点O，∴平行四边形ABCD是菱形，AD＝＝＝5，∴CD＝AD＝5，连接PD，如图所示：∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，∴AD•PM+DC•PN＝AC•OD，即×5×PM+×5×PN＝×8×3，∴5×（PM+PN）＝8×3，∴PM+PN＝4.8，∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，故答案为：7.8．16．如图直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E、交BC于点F，EG ∥AB交CB于点G，FH⊥AB于H，以下4个结论：①∠ACD＝∠B；②△CEF是等边三角形；③CD＝FH+DE；④BG＝CE中正确的是①③④（将正确结论的序号填空）．【解答】解：如图，连接EH，∵∠ACB＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠B+∠4＝90°，∴∠3＝∠B，故①正确；∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠1+∠AFC＝90°，∠2+∠AED＝90°，∵AE平分∠CAB，∴∠1＝∠2，∵∠AED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠AFC，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形，故②错误；∵AF平分∠CAB，FH⊥AB，FC⊥AC，∴FH＝FC，在Rt△CAF和Rt△HAF中，，∴Rt△CAF≌Rt△HAF（HL），∴AC＝AH，在△CAE和△HAE中，，∴△CAE≌△HAE（SAS），∴∠3＝∠AHE，CE＝EH，∵∠3＝∠B，∴∠AHE＝∠B，∴EH∥BC，∵CD⊥AB，FH⊥AB，∴CD∥FH，∴四边形CEFH是平行四边形，∴CE＝FH，∴CD＝CE+DE＝FH+DE，故③正确；∵EG∥AB，EH∥BC，∴四边形EHBG是平行四边形，∴EH＝BG，∵CE＝EH，∴BG＝CE．故④正确．所以正确的是①③④．故答案为：①③④．三．解答题（共11小题）17．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）加上条件②后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．【解答】解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，∴DE∥AC，且DE＝＝AF．即DE∥AF，DE＝AF，∴四边形ADEF为平行四边形．（2）证明：选②AE平分∠BAC，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠F AE，又∵ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，∴∠DAE＝∠AEF，∴∠F AE＝∠AEF，∴AF＝EF，∴平行四边形ADEF为菱形．选③AB＝AC，∵EF∥AB且EF＝，DE∥AC且DE＝，又∵AB＝AC，∴EF＝DE，∴平行四边形ADEF为菱形．18．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）证明四边形BEDF是菱形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）如图，连接BD，交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵BD⊥EF，∴平行四边形BEDF是菱形．19．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）求证：AE⊥DE．【解答】证明：（1）设AC，EF的交点为O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∠OAF＝∠OCE．∵点E与点F关于AC对称，∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF．在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA，∵AB⊥AC，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE＝CE，∵BC＝2AB，∴AB＝AE＝BE，∴△ABE是等边三角形．∴∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，∵CE＝BE＝BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若点E是BC的中点，求∠C的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，且BE＝DF，∠B＝∠D，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：连接AC，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∵AE⊥BC，∴AB＝AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴∠B＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°．21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，DE＝2，求CF的长．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，BF＝DF，∵∠EBD＝∠EDB，∠FBD＝∠FDB，∴∠EBD＝∠BDF，∠EDB＝∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，且BE＝DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF＝DF＝DE＝2，∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝15°，∴∠DFH＝30°，且DH⊥BC，∴DH＝DF＝1，FH＝DH，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠CDH＝45°，∴DH＝CH＝1，∴FC＝FH+CH＝+1．22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝CD，且AB＝BC∴CD＝AB，且AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC∴四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO＝2∵AO＝＝＝4∵CE⊥AB，AO＝CO∴EO＝AO＝CO＝423．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求PD．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBE，∵∠ABF＝∠FBE，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，同理AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，∵∠ABC＝60°，∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠F AP＝60°，∵AB＝4，∴AP＝2，如图，过点P作PM⊥AD于M，∴PM＝，AM＝1，∵AD＝6，∴DM＝5，∴PD＝＝＝2．24．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．（1）求证：四边形DEBF是菱形：（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△BOE和△DOF中，，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；（2）过点F作FG⊥AB于点G，如图，∵AD∥EF，EF⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∵AD+AB＝12，BD＝4，∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，解得AD＝4，AB＝8，∴∠ABD＝30°，∵四边形DEBF是菱形，∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，∴△BEF是等边三角形，∵OB＝OD，EF∥AD，∴AE＝BE＝4，∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2，在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，根据勾股定理得，FG＝，在Rt△AGF中，AG＝6，根据勾股定理得，AF＝＝＝4．25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长，与AB的延长线相交于点G，求EG的长．【解答】解：（1）∵AC平分∠BAD，AB∥CD．∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC．∴∠DAC＝∠DCA．∴AD＝DC．又∵AB∥CD，AB＝AD．∴AB∥CD且AB＝CD∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝AD．∴四边形ABCD是菱形．（2）连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24．∴CD＝13，AO＝CO＝12．∵点E、F分别是边CD、BC的中点．∴EF∥BD（中位线）．∵AC、BD是菱形的对角线．∴AC⊥BD，OB＝OD．又∵AB∥CD，EF∥BD．∴DE∥BG，BD∥EG．∴四边形BDEG是平行四边形．∴BD＝EG．在△COD中．∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12．∴．∴EG＝BD＝10．26．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，∴AB＝＝＝5，∴BC＝AB＝5，∴BC•AM＝AC•BD，即5AM＝×6×8，∴AM＝．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，过点E用EH垂直于AC于点H，∴CH＝AH∵AC＝6，∴CE＝2答：CE的长为2；（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，AF＝AF，CF＝GF，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四边形CEGF是菱形。

初中九年级数学菱形知识点菱形是初中数学中常见的几何图形之一，它具有独特的性质和特点。

本文将带领读者深入了解九年级数学中与菱形相关的知识点。

一、菱形的定义和性质1. 菱形的定义：一个平行四边形，四条边相等的四边形称为菱形。

2. 菱形的性质：2.1 对角线相等：菱形的对角线交于一点，且对角线相等。

2.2 对边平行：菱形的对边是平行的。

2.3 对角线垂直：菱形的对角线互相垂直。

2.4 内角和：菱形的内角和为360度的四分之一，即90度。

二、菱形的构造和判定1. 构造菱形的方法：1.1 已知对角线：菱形的一种构造方式是已知两个对角线的长度，通过尺规作图的方法可以构造出菱形。

1.2 已知边长：如果已知菱形的一条边的长度，可以通过边长和内角和的关系来确定菱形的其他性质和边长。

1.3 已知角度：在菱形中，如果已知一个角的大小，可以利用菱形内角和为360度的四分之一的性质来确定其他未知角的大小。

2. 判定菱形的条件：2.1 条件一：菱形的两条对角线相等。

2.2 条件二：菱形的四条边相等。

2.3 条件三：菱形的一个角为直角。

三、菱形的周长和面积计算1. 周长计算：菱形的周长等于四条边的长度之和。

2. 面积计算：菱形的面积可以通过菱形的对角线长度计算得出。

设菱形的两条对角线的长度分别为d1和d2，则菱形的面积等于对角线长度之积的一半，即（d1 * d2）/ 2。

四、菱形的应用实例1. 建筑设计：菱形在建筑设计中常被用于空间划分和装饰，具有美观和独特的效果。

2. 网络图形：在网络图形中，菱形常被用作表示决策点或分支点，起到直观清晰的作用。

3. 菱形饰品：以菱形为基础的首饰或装饰品，能够展示出时尚和个性。

五、习题练习1. 已知菱形的一条边长为6cm，计算菱形的面积和周长。

2. 已知菱形的两条对角线长度分别为8cm和10cm，计算菱形的面积和周长。

3. 在平面直角坐标系中，坐标为(-3, 0), (0, 5), (3, 0), (0, -5)的四个点能够构成菱形吗？说明理由。

初中数学菱形的性质及判定1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，? 还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．重点是菱形的性质及判定定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。

如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。

板块一、菱形的性质菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为考点】菱形的性质及判定题型】填空难度】2 星关键词】解析】根据菱形的性质可知：共有8 对答案】8在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2 星【关键词】【解析】根据菱形的性质可知：应当旋转至少180【答案】180如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离AB BC16cm ，则1 度．考点】菱形的性质及判定题型】填空难度】2 星关键词】2009 年，江西中考解析】由题意可知：构成三角形为等边三角形答案】120如图，在菱形ABCD 中，A 60 ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF 2 ，则菱形ABCD 的边长是______________________ ．AC【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2 星【关键词】2009 年，漳州中考【解析】省略【答案】4如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC 于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB与EF 互相平分．考点】菱形的性质及判定，平行四边形的性质和判定题型】解答难度】3 星关键词】解析】省略答案】连接BD、AF、EB菱形ABCD 中BD AC ，EF AC ，∴ BD ∥ EF∵ AD ∥ FC ，∴四边形BDEF 是平行四边形，∴ ED FB 又∵ AE∥FB，∴四边形AFBE 是平行四边形∴ AB 与EF 互相平分如图1 所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24 ，则OH 的长等于AE ED ，∴ AE FB考点】菱形的性质及判定 题型】填空 难度】 2 星 关键词】 2009 年，本溪中考 解析】省略 答案】 3如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC 8cm ，BD 4cm ，DE BC 于点 E ，则 DE 的长 为 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】 2 星【关键词】 【解析】省略 【答案】8 5cm 5菱形周长为 52cm ， 一条对角线长为 10cm ，则其面积为 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】 2 星 【关键词】D图1【解析】菱形的边长为52 4 13 cm ，由勾股数和菱形对角线的性质得另一对角线长为24 cm ，故面积为120 cm2【答案】120菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1 ，则菱形较短的对角线的长度为【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2 星【关键词】【解析】省略【答案】5如图2，在菱形ABCD 中，AC 6，BD 8，则菱形的边长为（）A．5 B ．10 C ．6 D ．8考点】菱形的性质及判定题型】选择难度】2 星关键词】2009 年，重庆江津中考解析】由菱形的对角线互相垂直平分及勾股数可知选A答案】A如图3，在菱形ABCD 中，A 110 ，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP 于点P ，则FPC （）A．35 B ．45 C ．50 D ．55CDD考点】菱形的性质及判定 题型】选择 难度】 2 星 关键词】 2009 年，杭州市中考 解析】省略 答案】 D如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一 个锐角为 60 的菱形，剪口与折痕所成的角 的度数应为（ ） 考点】菱形的性质及判定 题型】选择 难度】 2 星 关键词】 2009 年，绵阳市中考 解析】省略 答案】 D菱形 ABCD 中， E 、F 分别是 BC 、CD 的中点，且 AE BC ，AF CD ， 那么 等于 ． 【考点】菱形的性质及判定 题型】填空 难度】 2 星 关键词】A ． 15 或 30B ． 30 或 45C ． 45 或 60DEAFE BP C图330解析】省略 答案】 60已知菱形的一个内角为 60 ，一条对角线的长为 2 3 ，则另一条对角线的 长为 _________________ ． 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】 2 星【关键词】 2009 年，辽宁朝阳中考 【解析】省略 【答案】 2 或 6如图，将一个长为 10cm ，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形 两邻边中点的连线 （虚线）剪下，再打开， A ． 10cm 2B ． 20cm 2C ． 40cm 2考点】菱形的性质及判定 题型】选择 难度】 3 星 关键词】 2009 年，南宁市中考 解析】省略 答案】 A已知菱形 ABCD 的两条对角线 AC ，BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方， 则菱形的一个钝角的大小是 【考点】菱形的性质及判定得到的菱形的面积为 （ ） D ． 80cm 2C2【题型】填空 【难度】 4 星【关键词】希望杯邀请赛【解析】如图，过点 A 作 AE BC 于 E ，则 1AC BD BC AE ，又 AC BD AB 2，2得AE 1AB ， ABC 30 ， BAD 1502答案】 150如图，菱形花坛 ABCD 的周长为 20m ， ABC 60 ， ? 沿着菱形的对角线修 建了两条小路 AC 和 BD ，求两条小路的长和花坛的面积．考点】菱形的性质及判定 题型】解答 难度】 3 星 关键词】 解析】 ∵四边形 ABCD 是菱形∴ AB BC CD DA 5 ∵ABC 60∴ ABC 和 ADC 都是等边三角形 ∴ AC 5 又∵ AC BD在 Rt ABO 和 Rt ADO 中可得53BO DODA图2∴BD 5 3∴ S ABCD1 AC BD 25 3 ABCD 2 2点评：内角为60 和120 的菱形学生必须掌握，这是考试的热点模型．【答案】见解析如图，在菱形ABCD 中，AB 4a ，E 在BC 上，BE 2a ，BAD 120 ，P 点在BD 上，则PE PC 的最小值为【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】3 星【关键词】【解析】A，C 关于BD对称，连AE 交BD 于P ，且AE BC ，BAE 30 ，PE PC AE 4a 2 2a 2 2 3a 为最小值【答案】2 3a已知，菱形ABCD中，E、F 分别是BC 、CD上的点，若AE AF EF AB，求C的度数．考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】4 星关键词】解析】∵ AE AB ∴ B AEBD同理D AFD∵四边形 ABCD 是菱形考点】菱形的性质及判定 题型】解答 难度】 4 星 关键词】 解析】连接 AC ，∵ 四边形 ABCD 为菱形AB BC CD AD△ABC 和 △ ACD 为等边三角形AB AC ， B ACD BAC 60 EAF 60 BAE CAF△ ABE ≌△ ACF AE AFEAF 60△AEF 为等边三角形AEF 60∵AEC B BAE AEF CEF∴ CEF 18 分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题 转∴ AD ∥ BC ， B D ， BAD C ， AEB AFDB D ∴ BAE DAFDE EF AF ，∴ △ AEF 是等边三角形，∴EAF 60AD ∥BC ，xB BAD 180 ，∴ 90 60 2x 1802∴x 20 ∴C【答案】 100BAD 60 2 x 100已知，菱形 ABCD 中， E 、 F 分别是 BC 、 BAE 18 ．求： CEF 的度数．CD 上的点，且B EAF 60 ，化为三角形问题．【答案】18板块二、菱形的判定如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．考点】菱形的性质及判定题型】填空难度】2 星关键词】2007 年，四川成都解析】AB AD，AC BD 等；答案】AB AD，AC BD如图，在ABC 中，BD 平分ABC ，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】3 星关键词】解析】省略答案】∵ EF 是BD 的中垂线∴BE DE ，BF DF ，∴DBE BDE∵ EBD DBF∴ DBF EDB ，所以BC∥ DE 同理AB∥ DF 所以四边形BEDF 是菱形如图，在ABC 中，AB AC ，D是BC 的中点，连结AD，在AD 的延长线上取一点E，连结BE ，CE ．当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3 星【关键词】2009 年，娄底中考【解析】当AE 2AD （或AD DE 或DE 1 AE ）时，四边形ABEC 是菱形2理由如下：∵ AE 2AD ，∴ AD DE又点D 为BC 中点，∴ BD CD∴四边形ABEC 为平行四形边∵ AB AC∴四边形ABEC 为菱形【答案】见解析已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F . 求证：四边形AFCE 是菱形.【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3 星【关键词】2006 年，盐城中考【解析】省略【答案】∵ EF 垂直平分AC，∴ EF AC,AO CO .o∴ AOE COF 90o.又∵ ABCD 平行四边形，∴ EAO FCO .∴ AOE ≌COF .∴OE OF .∴四边形AECF 是平行四边形.又由AC EF 可知，四边形AECF 是菱形.如图，在梯形纸片ABCD 中，AD //BC ，AD CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结CE. 求证：四边形CDC E 是菱形．考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】3 星关键词】2007 年，云南双柏解析】省略答案】根据题意可知CDE C'DE则CD C'D，C'DE CDE ，CE C'E .∵ AD / /BC ，∴ C DE CDE .∴ CDE CED ，∴ CD CE .∴ CD C D CE CE ，∴四边形CDC E为菱形.如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC 于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分【考点】菱形的性质及判定，平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3 星【关键词】【解析】省略【答案】连结BD，AF ，EB，因为菱形ABCD 中BD AC ，又因为EF AC ，所以BD ∥ EF ，因为AD ∥ FC ，所以四边形BDEF 是平行四边形，可得ED FB ，因为AE ED，所以AE FB，从而AE∥ FB ，AE FB ，因此四边形AFBE 是平行四边形，所以AB与EF互相平分已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC边上的高，将ABE沿BC 方向平移，使点E与点C重合，得GFC ．若B 60 ，当AB与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．B E F C考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】3 星关键词】2009 年，山东青岛市解析】省略答案】当BC 3AB 时，四边形ABFC 是菱形．2AB∥GF ，AG∥ BF 四边形ABFG 是平行四边形∵ Rt ABE 中， B 60∴ BAE 30∴ BE1 AB2∵ BE CF ，BC3 AB2∴ EF1 AB2∴ AB BF∴四边形ABFG是菱形如图，在ABC 中，AB AC ，M 是BC 的中点．分别作MD AB于D ，ME AC 于E，DF AC 于F ，EG AB 于G．DF、EG 相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3 星【关键词】【解析】省略【答案】∵ MD AB，EG AB．∴ MD ∥ EG ，同理ME ∥ DF ，∴四边形MFPD 是平行四边形AB AC ，BCo∵ BM MC ， BDM CEM 90o，∴ BDM ≌ CEM ∴ DM EM ，∴四边形 DMEP 是菱形如图， ABC 中， ACB 90 ，AD 是 BAC 的平分线， 交 BC 于 D ，CH 是 AB 边上 的高，交 AD 于 F ， DE AB 于 E ，求证：四边形 CDEF 是菱形．考点】菱形的性质及判定 题型】解答 难度】 3 星 关键词】 解析】省略 答案】 ∵ CH AB ，∴ HAF AFH 90ACB 90 ，∴ CAD ADC 90AD 平分 CAB ，∴ CAD HAF ，∴ AFH CDF AFH CFD ，∴ CDF CFD ，∴ CF CD AD 平分 CAB ， DC AC ， DE AB∴CD DE ，∴ CF DE 又∵ CH AB ，DE AB∴ CF ∥ DE ， 故四边形 ABCD 是平行四边形∵ CD DE ， ∴四边形 ABCD 是菱形 如图， M 是矩形 ABCD 内的任意一点，将 MAB 沿 AD 方向平移，使 AB 与 DC 重合，点 M 移动到点 M '的位置 ⑴画出平移后的三角形；⑵连结 MD ，MC ，MM ' ，试说明四边形 MDM 'C 的对角线互相垂直，且长度分 别等于AB ，AD 的长；⑶当 M 在矩形内的什么位置时， 在上述变换下， 四边形 MDM 'C是菱形？为什么？AD AM D M'BC【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】 3 星【关键词】 【解析】省略 【答案】⑴如图， DCM '就是所要作的三角形⑵因为 AM 平移到 DM ' ，所以 AM ∥DM '且AM DM '，四边形 DAMM' 是平行四边形，所以AD ∥MM '，矩形 ABCD 中，AD CD ， 所以 MM ' CD ，又因为 AD MM ' ， CD AB ，所以四边形 MDM 'C 的对角线互相垂直， 且长度分别等于 AB ，AD 的 长⑶当点 M 是 AC ，BD 的交点时，四边形 MDM 'C 是菱形，理由：如 图，矩形ABCD 中，AM BM MC MD ， 又因为 AM D'M ，BM CM ' ， 可得 MD MC CM ' DM ' ， 所以 四边形 MDM 'C 是菱形 如图， ACD 、 ABE 、 BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形．已知 ABAC ． ⑴ 顺次连结 A 、D 、F 、 E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成 图形的类型和相应 的条件．⑵ 当 BAC 为度时，四边形 ADFE 为正方形．考点】菱形的性质及判定题型】解答【难度】 3 星【关键词】 2008 年，佛山市中考改编DBC【解析】省略【答案】⑴ 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠ BAC≠60°（或A与F不重合、△ ABC不为正三角形）（若写出图形为平行四边形时，不给分）当图形为线段时，∠BAC= 60°（或A与F重合、△ ABC为正三角形）．⑵ 150 ．三、与菱形相关的几何综合题已知等腰△ABC 中，AB AC ，AD 平分BAC交BC 于D点，在线段AD 上任取一点P（A点除外），过P点作EF ∥ AB ，分别交AC 、BC于E 、F点，作PM∥AC，交AB于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？M考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】3 星关键词】解析】省略答案】⑴∵ PM ∥AC，EF∥ AB∴四边形AEPM 为平行四边形∵ AB AC ，AD平分CAB∴ CAD BADAD BC，BAD EPACAD EPAEA EPS 四边形 EFBM2 ∵四边形 AEPM 为菱形， ∴ AD EM∵AD BC ∴EM ∥BC 又 EF ∥AB ∴四边形 EFBM 为平行四边形问题：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A ，B ，E 在同一条直线上， P 是线段 DF 的中点，连结 PG ，PC ．若 ABC BEF 60 ，探究 PG 与 PC 的位置 关系及 PG的值．PC小聪同学的思路是：延长 GP 交 DC 于点 H ，构造全等三角形，经过推理 使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： ⑴ 写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及 PG的值；PC⑵ 将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰 好与菱形ABCD 的边 AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如 图 2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以 证明． ⑶ 若图 1 中 ABC BEF 2 0 90 ，将菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转任【考点】菱形的性质及判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性 质 题型】解答 难度】 5 星【关键词】 2008 年，北京中考 【解析】省略【答案】⑴ 线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG PC ；PG3 ．PC∴四边形 AEPM 为菱形 ⑵当 P 为 EF 中点时，S意角度，原问题中的其他条件不变，求 PG 的值（用含的式子表示） ．F⑵ 猜想：⑴中的结论没有发生变化．证明：如图，延长 GP 交 AD 于点 H ，连结 CH ，CG ．∵ P 是线段 DF 的中点， ∴ FP DP ．由题意可知 AD ∥FG ．∴ GFP HDP ． 又∵ GPF HPD ，∴ GFP ≌ HDP ，∴ GP HP ， GF HD ．∵四边形 ABCD 是菱形，∴ CD CB ， HDC ABC 60 ． 由ABC BEF 60 ，且菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同 一条直线上，可得 GBC 60 ． ∴ HDC GBC ． ∵四边形 BEFG 是菱形，∴ GF GB ，∴ HD GB ．∴ HDC ≌ GBC ，∴ CH CG ， DCHBCG ． ∴ DCH HCB BCG HCB 120 ，即 HCG 120 ．∵CHCG， PH PG ， ∴ PG PC ， GCP HCP 60 ．∴ PG3．PC⑶PGtan 90 ．证明过程略．PC本题是一道探究性的几何综合题，本题的题干是以阅读材料的形式呈 现，从而降低了题目的难度， 本题应该是在 05 年大连中考压轴题的基 础上改进而来的．四、中位线与平行四边形顺次连结面积为 20 的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四 边形四边中点得到一个 ，其面积为 ． 【考点】三角形的中位线 【题型】填空 【难度】 3 星【关键词】【解析】理由：由中位线得 EF FG GH HE 1AD 即可．2【答案】 AD BC ．如图，在四边形 ABCD 中， AB CD ， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BD 、 CD 、 AC 的中点，要使四边形 EFGH 是菱形，四边形 ABCD 还满足的一个条件 是 ，并说明理由．考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线 题型】填空 难度】 3 星 关键词】2009 年，上海模拟 解析】理由：由中位线得 EF FG GH HE 1AD 即可．2 答案】 AD BC ．在四边形 ABCD 中， AB CD ， P ， Q 分别是 AD 、 BC 的中点， M ， N 分别是 对角线AC ， BD 中点，证明：PQ 与MN互相垂直．考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线题型】解答难度】4 星关键词】解析】连接PN , NQ , MQ , PM ．证明PNQM 为菱形．答案】见解析四边形ABCD 中，R、P 分别是BC 、CD 上的点，点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，（）A．线段EF 的长逐渐增大B．线段EF 的长逐渐减小C．线段EF 的长不变D．线段EF 的长与点P的位置有关考点】三角形的中位线题型】选择难度】4 星关键词】解析】连结AR ，利用三角形的中位线可得答案】CE、F 分别是AP、RP的中那么下列结论成立的是EF 12 AR与点P无关．如图，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，CE AD 于 E ，M 为BC 的中点，AB 14cm ，AC 10cm，则ME 的长为【考点】三角形的中位线【题型】填空【难度】3 星【关键词】【解析】延长CE 交AB 于点线可得14 10 2 cm ．2【答案】2N ．利用中位线的性质和直角三角形斜边中如图，四边形ABCD 中，AB长，分别交BA，CDCD ，的延长线于点的中点，连结EF 并延CHEBC，ADBGEE，F 分别是G ，H ，求证：【考点】三角形的中位线【题型】解答【难度】4 星【关键词】【解析】省略【答案】连结BD，取BD中点P ，连结PE，PF ，BDC ，DBA 的中位线，所以PE∥DC，PF ∥BA，且PE 所以PE PF ，所以PEF PFE ，由PE∥ DC 可得：所以BGE CHEPE PF ，PFEBGE ，由条件易得1DC ，PF2PEF1BA2CHEPE，PF 分别是，因为AB CD ，，同理可得如图，已知 BE 、 CF 分别为 ABC 中 B 、 C 的平分线， AM BE 于 M，AN CF 于 N ，求证：MN ∥ BC．【考点】三角形的中位线 【题型】解答 【难度】 4 星 【关键词】【解析】延长 AM 、 AN 交 BC 于点 Q 、 R ． 由等腰三角形三线合一可得 AM QM 、 ANRN 再由三角形中位线可得 MN ∥ BC ．【答案】见解析如图，四边形 ABCD 中，E ，F 分别是边 AB ，CD 的中点，【考点】三角形的中位线 【题型】选择 【难度】 3 星 【关键词】【解析】连结 BD ，取 BD 的中点 P ，连结 FP ，EP ，由三角形的中位线可知 选B 【答案】 B则 AD ，BC 和 EF 的关系是( )A ． AD BC 2EFBC ．AD BC 2EF DAD BC ≥ 2EF AD BC ≤ 2EF已知如图所示，E、F 、G 、H分别是四边形ABCD 的四边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】3 星【关键词】【解析】连接AC ．∵ H 、G 分别为AD 、DC 中点∴ HG 1 AC ，HG ∥ AC2 又∵ E、F 分别为AB、BC 中点∴ EF 1 AC ，EF ∥ AC ，∴ HG EF ，HG ∥ EF2 ∴四边形EFGH 为平行四边形【答案】见解析如图，在四边形ABCD 中，E为AB 上一点，ADE 和BCE 都是等边三角形，AB、BC 、CD 、DA的中点分别为P、Q、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN ．D考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线题型】解答难度】4 星关键词】2009 年，兰州中考解析】如图，连结AC 、BD ．∵ PQ 为 ABC 的中位线 ∴ PQ ∥ AC 且 PQ 1AC2同理 MN ∥ AC 且 MN 1AC2∴ MN ∥ PQ 且 MN PQ∴四边形 PQMN 为平行四边形． 在 AEC 和 DEB 中AE DE ， EC EB , AED 60 CEB 即 AEC DEB ∴ AEC ≌ DEB∴AC BD ∴ 1 1.∴ PQ AC BD PN .22【答案】见解析如图，四边形 ABCD 中，AB CD ，E ，F ，G ，H 分别是 AD ，BC ，BD ，AC 的中点，求证： EF ，GH相互垂直平分【考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线 【题型】解答 【难度】 3 星 【关键词】【解析】连结 EG ，GF ，FH ，HE ，根据题意， EG ，HF 分别是 DAB ， CAB 的中位线， 所 以 EG HF 1AB ， 同 理 可 证 ： GF EH 1CD ， 因为 AB CD ， 所以 22EG HF GF EH ， 则四边形 EGFH 是菱形，所以 EF ，GH 相互垂直 【答案】见解析ABC 的三条中线分别为 AD 、BE 、CF ，H 为 BC 边外一点，且 BHCF 为平行 四边形，求证： AD ∥ EH．C考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线题型】解答难度】4 星关键词】【解析】此题解法很多，仅供两种解法参考．方法一：连结DE 、DH ．（如图1）∵四边形BHCF 为平行四边形∴CH BF AF 且CH ∥ AF由中位线可得DE 12 AB AF∴ CH DE∴四边形DECH 为平行四边形∴DH ∥ CE 且DH CE AE∴四边形DHEA 为平行四边形∴ AD ∥ EH方法二：连结DE ．（如图2）通过中位线和平行四边的性质可得DE HC ，AB∥ DE ∥HC∴ AED ECH 又∵ AE EC显然ADE ≌EHC ∴DAE HEC ∴ AD ∥ EH 【答案】见解析在平行四边形ABCD 的对角线BD上取一点 E ，使BE1 DE ，连接AE 并延长3与DC 的延长线交于F ，则CF 2 AB ．OR ∥CD ∥ AB，【考点】三角形的中位线 【题型】解答 【难度】 5 星 【关键词】【解析】法 1：如图 2，取 BD 之中点 O ，由 O 引 OM ∥ AF 交 DF 于 M ，再由 C 引CG ∥FE交BD 于 G ．∵ AB CD ， ABE CDG ， BAE DCG ，∴ ABE ≌ CDG ， BE DG ， 则 O 为 EG 的中点， ∴ EO OG ． 又∵ DG BE 1DE ，3 1∴ EO OG DE ，3即 G 、 O 是 DE 的三等分点． ∵ CG ∥ OM ∥ AF ，∴C 、M 是 DF 的三等分点，有 CF 2CD ． 而 CD AB ，∴ CF 2AB ．法 2 ：如图 3，连接 AC 交 BD 于 O ，则 O 为 AC 、BD 的中点，取 AF 的中点 R ， 连接 AC 交 BD 于 O ，则 O 为 AC 、 BD 的中点，取 AF 的中点 R ，连接 OR ，则 1 OR ∥ CF ．2图3∴ABE ROE ，BAE ORE．又∵ BE OE OD ，BE 1 DE 1 (OE OD)，33由此可得BE 1OD，OE 1DE ，23BE OE ，ABE ≌ROEAB OR．即AB1OR CF ，∴CF2AB．2法3：如图1，∵AB∥DF ，AB BE 1，DF DE 3即DF3AB．又AB CD ，CF DF CD 3 AB AB，即CF2AB．答案】见解析如图，ABC中，E、F分别是AB 、BC的中点，G、H是AC的三等分点，连结并延长EG 、FH交于点D．求证：四边形ABCD是平行四边形．【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】4 星【关键词】【解析】连接BG 、BH 、BD ，设BD 与AC 相交与点O∵E、F 分别是AB 、BC 的中点，∴ EG ∥ BH ，同理FH ∥ BG ∴四边形BHDG 是平行四边形，∴ OB OD ，OG OH∵ AG HC ，∴ OA OC∴四边形ABCD 是平行四边形【答案】见解析如图，在四边形 ABCD 中， M 、 N 分别为 AD 、BC 的中点， BD AC ，BD 和 AC 相交于点O ， MN 分别与 AC 、 BD 相交于 E 、 F ，求证 ： OE OF ．【考点】三角形的中位线 【题型】解答 【难度】 3 星 【关键词】【解析】取 AB 中点 P ，连结 MP 、 NP ． 利用中位线可得MP 1BD NP 1AC22∴PMN PNM ∵ MP ∥BD ，NP ∥ AC∴ OFE OEF ∴ OE OF【答案】见解析 如图，线段 AB ，CD 相交于点 O ，且 AB CD ， 连结 AD ，BC ， E ，F 分别是 AD ，BC的中点， EF 分别交 AB ，CD 于 M ，N ，求证： OM ON考点】三角形的中位线 题型】解答 难度】 4 星关键词】解析】连结 BD ，取 BD 中点 P ，连结 PE ，PF ，由条件易得 PE ，PF 分别是答案】见解析 如图，梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，AB CD ，对角线 AC ，BD 相交于点 O ， AOD 60 ，E ，F ，G 分别是 OA ，OB ，CD 的中点，求证 ： EFG 是等边三角形【考点】三角形的中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半，等腰梯形的性质和判定 【题型】解答 【难度】 4 星 【关键词】【解析】省略【答案】 连结 DE ，由等腰梯形对角线相等， 且 AOD 60 ，可证 AOD 是等 边三角形，因为 E 是 OA 中点，所以 DE AC ， 在 Rt DCE 中， G 是 DC 中点， 所以 EG 1DC ，同理可证 FG 1DC ，因为 E ，F 分别是 OA ，OB 的中点，所以 22 EF 1AB ，因为 AB DC ， 所以 EG FG EF ，即 EFG 是等边三角形2如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线 共点．DBA ， BDC 的中位线，所以 PE ∥ BA ，PF ∥ DC ， 且 PE 1 BA ，PF 2所以 PE PF ，所以 PEFPFE ONM ， 所以 OMNPFE ，由 PE ∥ BA 可得ONM ， 所以 OM ONPEF1DC ， 因为 AB CD ，2OMN ，同理可得DLD【考点】三角形的中位线【题型】解答 【难度】 5 星 【关键词】【解析】方法一：设 N ，H ，M ，L ，F ，E 分别为 AB ，BC ，CD ，DA ，AC ，BD 的中点， 要证明 EF ，LH ，及MN 三线共点．因为 LF ∥DC 且 LF 1DC ，2所以 EF ∥ DC 且 EF 1DC ，2LF ∥ EH 且 LF EH ，从而四边形 EHFL 为平行四边形，故 LH 与EF 互相平分．设 LH 与 EF 的交点为 O ，则 LH 经过 EF 中点 O （当然也是 LH 中点）．同理， MN 也过EF 中点 O ．所以， EF ，LH ，MN 三线共点于 O ．说明：本题证明的关键是平行四边形 EHFL 的获得（它是通过三角形中 位线定理来证明的） ．由此可见，在某些四边形的问题中，通过构造平行四边形去解题是一 种常用的技巧． 请看下例．方法二：应用中点公式法 可设 A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，C x 3，y 3 ，D x 4 ，y 4 那 么 AC 线 段 的 中 点 坐 标 为 Fx1 x3，y1 y3， BD 线 段 的 中 点 坐 标 为 22Ex 2 x 4 ，y 2 y 4E2 ，2 那么 EF 线段的中点坐标为 x 1 x 2 x3 x4，y 1 y 2 y 3 y422同理可得： MN ，LH的中点坐标也为x1 x2 x3 x4，y1 y2 y3 y422 所以可知： EF ， LH ， MN 三线共点于 O【答案】见解析如图， O 是平行四边形 ABCD 内任意一点， E ， F ， G ， H 分别是 OA ， OB ，OC ， OD 的中点．若 DE ， CF 交于 P ，DG ，AF 交于 Q ， AH ， BG 交于 R ，BE ，CH 交 于 S ，求证 ：A ENOFHPQ SR ．【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】6 星【关键词】【解析】设法证明四边形PORS 为平行四边形．因为F ，G 分别为OB ，OC 的中点，所以FG∥BC，且FG 21BC，FG ∥ AD ，且FG 1 AD ，2从而F 是AQ 中点．同理可证，F 是PC 的中点（EF 是PCD 的中位线）．所以四边形APQC 为平行四边形，PQ∥AC，PA AC．同理，RS∥ AC，RS = AC．因此PQ ∥ RS，PQ =RS，即四边形PQRS 为平行四边形，故PQ RS ．说明本题证明显示了用平行四边形证题的技巧，平行四边形PQRS ，APQC ，ACRS 像三座互相连接的桥梁一样沟通了条件与结论之间的道路．事实上，由于PQRS 为平行四边形，我们还可得到PQ∥SR，PS∥QR，PS QR，SQ与PR互相平分等等一系列结论．F为AQ的中点（同样G 为DQ 的中点）的断言可以证明于下：取AD 中点M ，连MF ，则FG ∥ MD 且FG MD ，所以四边形MFGD 为平行四边形，MF ∥ DG ．因此F 为AQ 的中点．答案】见解析。

中考数学总复习知识点专题讲解 专题 14 正方形的性质与证明的综合应用一、知识点综述 1. 菱形性质（“三板斧”） ①边——两组对边分别平行且相等，邻边相等； ②角——两组对角分别相等； ③对角线——两条对角线垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角.2. 菱形判定（“菱形三兄弟”） ①一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线垂直的平行四边形是菱形； ③四条边相等的四边形是菱形. ☆这“三兄弟”在证明菱形的过程中是互通的，“你中有我，我中有你”，要熟记.3. 对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半. （面积法）二、基本图形图形条件结论四边形 ABCD 对角线 AC⊥BD1S四边形ABCD = 2 × AC × BDAD2 + BC2 = AB2 + CD21 / 14∠A=30°，∠C=90°c = 2a b = 3a a= 3b3边长为 a 的菱形，一个 内角为 60°对角线长分别为a和 3a S = 3 a2 2三、典型例题选讲题 1. 如图 1-1，边长为 2 菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，连接对角线 AC，以 AC 为边作第二个菱形 ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接 AC1，再以 AC1 为边作第三个菱形 AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°；…，按此 规律所作的第 n 个菱形的边长为．( )n+1【 答案】 2 × 3 .图 1-1【解析】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠DAB＝60°，∴AD＝AB．∠DAC=∠DCA=30°根据基本图形，可得：∴AC＝ 3AB ＝ 2 3 .( ) ( ) ( ) 2n +1n +1同理可得 AC1＝3AC ，AC2＝3AC 1=3 AC ……，ACn+1＝3AC = 2 × 32 / 14( )n+1故答案为： 2 × 3 ． 题 2. 如 图 2-1 所示，四边形 ABCD 是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB 于点 H，则 线段 BH 的长为________．图 2-1 50 【答案】 13 . 【解析】解：由菱形性质知：AO=12，BO=5， 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB=13.1所以 S菱形ABCD =AB ⋅ DH = 2 × AC ⋅ BD120 即 BH= .13 50在 Rt△BDO 中，由勾股定理得：BH= 13 50故答案为： 13 . 题 3. 如图 3-1 所示，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，E 为 AB 的中点，F 是 AC 上一动点，则 EF＋BF 的最小值为________．图 3-1 【答案】 3 . 【解析】解：由菱形性质知：点 B 与点 D 关于 AC 对称，连接 DE， 线段 DE 长即为 EF+BF 的最小值，连接 BD，如图 3-2 所示.3 / 14图 3-2 因为∠DAB＝60°， 所以△ABD 为等边三角形. 又 E 是 AB 的中点， 所以 DE⊥AB. 在△ADE 中，∠ADE=30°，A D=2，所以 AE=1，DE= 3 . 故答案为： 3 . 题 4. 如图 4-1 在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，E 是对角线 AC 上任意一点，F 是线段 BC 延长线上一点，且 CF＝AE，连接 BE，EF. (1)如图 4-1，当 E 是线段 AC 的中点时，求证：BE＝EF. (2)如图 4-2，当 E 不是线段 AC 的中点，其他条件不变时，请你判断(1)中的结论： ________(填“成立”或“不成立”)． (3)如图 4-3，当 E 是线段 AC 延长线上的任意一点，其他条件不变时，(1)中的结论是否 成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图 4-1图 4-2【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）见解析.4 / 14图 4-3【解析】(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC. 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠BCA＝60°. ∵E 是线段 AC 的中点， ∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE. ∵CF＝AE， ∴CE＝CF，1 ∴∠F＝∠CEF＝2∠BCA＝30°， ∴∠CBE＝∠F＝30°， ∴BE＝EF. (2)成立. 可过 E 作 EG∥BC 交 AB 于点 G. (3)成立．理由如下： 过点 E 作 EG∥BC 交 AB 的延长线于点 G，如图 4-4 所示．图 4-4 ∵四边形 ABCD 为菱形，∴AB＝BC. 又∵∠ABC＝60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ACB＝60°，∴∠ECF＝60°. ∵EG∥BC，5 / 14∴∠AGE＝∠ABC＝60°. 又∵∠BAC＝60°，∴△AGE 是等边三角形， ∴AG＝AE＝GE， ∴BG＝CE，∠AGE＝∠ECF. 又∵CF＝AE， ∴GE＝CF， ∴△BGE≌△ECF， ∴BE＝EF. 题 5. 如图 5-1 所示，在菱形 ABCD 中，AB＝10，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC： BD＝3：4，AE⊥CD 于点 E，则 AE 的长是图 5-1 【答案】9.6. 【解析】解：由菱形性质知：AO=OC，BO=DO，AC⊥BD， 设 AO=OC=3x，BO=DO=4x， 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB=5x=10. 所以，x=2，即 AC=6x=12，BD=8x=16.1所以 S菱形ABCD =CD ⋅ AE = 2 × AC ⋅ BD可得：AE=9.6. 故答案为：9.6. 题 6. 如图 6-1 所示，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，M 为对角线 BD 延长线上一点，6 / 14连接 AM 和 CM，E 为 CM 上一点，且满足 CB＝CE，连接 BE，交 CD 于点 F. (1)若∠AMB＝30°，且 DM＝3，求 BE 的长； (2)求证：AM＝CF＋DM.图 6-1 【答案】见解析. 【解析】解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°， ∴△ABD，△BCD 都是等边三角形，AB＝BC， ∵∠AMB＝30°，∠ADB＝∠AMB＋∠DAM， ∴∠DAM＝∠AMB， ∴∠BAM＝90°，DA＝DM＝AB＝CB＝CE＝3. 在△BMA 和△BMC 中，∵BM＝BM，∠MBA＝∠MBC，AB＝CB，∴△BMA≌△BMC， ∴∠BCM＝∠BAM＝90°. ∴在 Rt△BCE 中，由勾股定理得：BE＝ 3 2 . (2)证明：如图 6-2 所示，在 BD 上取一点 G，使得 BG＝DF，连接 CG 交 BE 于点 O.7 / 14图 6-2 ∵BG＝DF，∠CBG＝∠BDF，CB＝BD， ∴△GBC≌△FDB， ∴∠BGC＝∠BFD，∠DBF＝∠BCG， ∴∠MGC＝∠BFC，∠COF＝∠CBO＋∠OCB＝∠CBO＋∠DBF＝60°. 又∠ECO＋∠COE＋∠CEO＝180°，∠BFC＋∠CBE＋∠BCF＝180°， ∵∠CBE＝∠CEO ∵∠BCF＝∠COE＝60°， ∴∠ECO＝∠BFC＝∠MGC， ∴MC＝MG. 由(1)可知 AM＝MC＝MG. ∵MG＝DG＋DM，BD＝CD，BG＝DF， ∴DG＝CF，∴AM＝CF＋DM. 题 7. 如图 7-1 所示，菱形 ABCD 中，点 E、F 分别为 AB、AD 的中点，连接 CE、CF． （1）求证：CE＝CF； （2）如图 7-2，若 H 为 AB 上一点，连接 CH，使∠CHB＝2∠ECB，求证：CH＝AH+AB．【答案】见解析.图 7-1图 7-28 / 14【解析】（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD，∵点 E、F 分别为 AB、AD 的中点，11∴BE＝ AB，DF＝ AD，22∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF，∴CE＝CF；图 7-3 （2）证明：延长 BA、CF，交于点 G，如图 7-3 所示. 由菱形性质可知： ∠B＝∠D ，AB＝BC＝CD＝AD，AF∥BC，AB∥CD， ∴∠G＝∠FCD， ∵点 F 分别为 AD 的中点，且 AG∥CD， ∴AG＝AB， 由（1）知：∠ECB＝∠DCF， ∵∠CHB＝2∠ECB， ∴∠CHB＝2∠G， ∵∠CHB＝∠G+∠HCG， ∴∠G＝∠HCG， ∴GH＝CH，9 / 14∴CH＝AH+AG＝AH+AB． 题 8. 如图 8-1 所示，在菱形 ABCD 中，若边 AB 的长等于 4，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在菱形的边 BC，CD 上滑动，且△AE F 为等边三角形，点 E，F 不与点 B，C，D 重合． (1)求证：BE＝CF. (2)当点 E，F 在滑动时，四边形 AECF 的面积是否会发生变化？如果不变，求出这个 定值；如果变化，请说明理由．图 8-1 【答案】见解析. 【解析】（1）证明：∵在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，1 由菱形性质，得：∠B＝60°，∠BAC＝2∠BAD＝60°， ∴△ABC 为等边三角形，即 AB＝BC＝AC. ∵△AEF 为等边三角形，即 AE＝AF，∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAF，∴BE＝CF. （2）四边形 AECF 的面积不会发生变化．理由如下： 由（1）知：△BAE≌△CAF，∴S△ABE＝S△ACF，△ △ △ ∴S 四边形 AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S AEC＋S ABE＝S ABC.∵∵ABC 的面积是定值， ∴四边形 AECF 的面积不会发生变化．10 / 14图8-2如图8-2所示，过点A 作AH ⊥BC 于点H .∵AB ＝4，∠BAH =30°，∴BH ＝12BC ＝2， 在Rt ∵ABH 中，由勾股定理得：AH ＝，∴S 四边形AECF ＝S △ABC ＝12BC ·AH ＝题9. 如图9-1所示，在正方形ABCD 中，以对角线BD 为边作菱形BDFE ，使B ，C ，E 三点在同一直线上，连接BF ，交CD 与点G ．（1）求证：CG =CE ；（2）若正方形边长为4，求菱形BDFE 的面积．图9-1【答案】见解析.【解析】（1）证明：因为以正方形ABCD 的对角线BD 为边作菱形BDFE ，所以BD =BE ，∠BDG =45°图9-2连接GE ，如图9-2所示.AD F B CE G AD FB C E G因为BD=BE，BG=BG，∠DB 所以∵DBG≌∵EBG，所以∠GEB=∠BDG=45°，所以∠GEB=∠CGE=45°所以CG=CE.（2）因为正方形边长为4，所以BD= BE=，所以菱形BDFE的面积等于题10. 如图10-1所示，在Rt 的平分线AD交BC于点D，求证：四边形ADCF是菱形【答案】见解析.【解析】证明：∵AF∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在∵AFE和∵CDE中，∠FAE ∴∵AEF≌∵CED．AF=CD∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，AC=2AB，∠BAC 于点F，连接FC.，由题意知，AE =AB ，∠EAD ∴∵AED ≌∵ABD ．∴∠AED =∠B =90°，即DF ∴四边形ADCF 是菱形．题11. 如图11-1所示，在菱形且与边AD 、BC 分别交于点（1）请你判断OM 和ON 的数（2）过点D 作DE ∥AC 【答案】见解析.【解析】解：（1）∵四边形∴AD ∥BC ，AO =OC ，∠∴∵AOM ≌∵CON∴OM =ON ．（2）∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BD ，AD =BC =AB =3∴在Rt ∵AOB 中，由勾股定理∴BD=∵DE ∥AC ，AD ∥CE ，∴四边形ACED 是平行四边形∴DE =AC =6，AD =∠BAD ，AD =AD ，⊥AC ．在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点于点M 和点N .的数量关系，并说明理由； 交BC 的延长线于点E ，当AB =3，AC =4时，边形ABCD 是菱形，AOM =∠CON ，∠MAO =∠NCO菱形，，股定理得：BO，四边形，于点O ，MN 过点O ，求∵BDE 的周长.∴∵BDE的周长为：BD+DE+BE=BD+AC+（BC+CE）=（3+3）=10+即∵BDE的周长是10+．。

第一章特殊平行四边形第一节菱形的性质与判定一、什么是菱形菱形是一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 强调两部分：一是菱形是平行四边形二是菱形一组邻边相等二、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质三、一般平行四边形的性质有：对边相等且互相平行，对角相等，对角线互相平分四、菱形的性质：菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，两条对称轴互相垂直。

也就是他的两条对角线互相垂直。

五、菱形的两条定理：菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直。

六、定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形课后练习：1、四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长。

解答：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ， ∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=3452222=-=-AO AB∴BD=2BO=2×3=6.2、在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B ，试求出∠B 的度数，并说明△ABC 是等边三角形。

解答：在菱形ABCD 中，∠B+∠BAD=180∘.又∵∠BAD=2∠B ，∴∠B=60∘.∴△ABC 是等边三角形。

3、如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形的周长。

解答：在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，∴OA=21AC=4,OB=21BD=3，AC ⊥BD ，∴AB=5342222=+=+OB OA∴菱形的周长为：4×5=20.4、已知，如图在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，求证：AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC.解答：证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=DC=BC ，∠ADC=∠ABC ，在△ADC 和△ABC 中，∵AD=DC∠ADC=∠ABCAB=BC ，∴△ADC≌△ABC，∴AC平分∠BAD和∠BCD，同理：△DAB≌△DCB，所以BD平分∠ABC和∠ADC.5、如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,图中有多少个等腰三角形和直角三角形？解答：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD=BC=DC∴△ABD、△ABC、△ADC、△BCD均是等腰三角形，∵AC⊥BD∴△DOA、△AOB、△COB、△COD均是直角三角形故图中的等腰三角形有：△ABD、△ABC、△ADC、△BCD，共4个；直角三角形有：△DOA、△AOB、△COB、△COD，共4个。

自学资料一、菱形及其性质【知识探索】1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【说明】菱形的面积还可用对角线乘积除以2求得．2．菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．【说明】（1）菱形具有平行四边形的所有性质；（2）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形．1个对称中心，对称中心是其对角线的交点；2条对称轴，对称轴是其对角线所在的直线．【错题精练】第1页共16页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训例1．（2002•杭州）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（）A. 4B. 3C. 2D. 1【解答】C【答案】C【举一反三】1．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，则点的坐标是__________。

【解答】二、菱形的判定【知识探索】1．菱形的判定：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形是菱形．第2页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【错题精练】例1．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD【解答】C【答案】C例2．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是__________．【解答】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．例3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．第3页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】例4．△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；第4页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．【解答】此题要熟练多方面的知识，特别是全等三角形和平行四边形和菱形的判定．证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．（1分）又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，∴∠EAB=∠DAC，∴△AEB≌△ADC（SAS）．（3分）②方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴∠ABE=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°，∴∠ABE=∠BAC，∴EB∥GC．（5分）又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．（5分）∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）（2）①②都成立．（8分）（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．（9分）理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD（10分）又∵CD=CB，∴BE=CB．（11分）由②得四边形BCGE是平行四边形，∴四边形BCGE是菱形．（12分）方法二：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD．（9分）又∵四边形BCGE是菱形，∴BE=CB（11分）∴CD=CB．（12分）方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，∴BE∥CG，EG∥BC，∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°（9分）∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．（10分）第5页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，∴AB=BE=BF，∴AE⊥FG（11分）∴∠EAG=30°，∵∠EAD=60°，∴∠CAD=30度．（12分）例5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=BC，过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于F．求证：（1）四边形ABCD是菱形．（2）BF=DE．【解答】（1）有一组邻边相等的平行四边形为菱形，AD和BC既平行又相等，所以四边形ABCD为平行四边形，而AD=DC=BC，所以平行四边形ABCD为菱形；（2）要证BF=DE，而在原题中已知AE=DE，所以证明的方向就变为证BF=AE，而证BF=AE则可以通过证△FBM≌△EAM来实现．证明：（1）∵AD∥BC，AD=BC（已知），∴四边形ABCD为平行四边形．又邻边AD=DC，∴四边形ABCD为菱形；（3分）（2）证法一：如图：记EF与AC交点为G，EF与AB的交点为M．由（1）证得四边形ABCD为菱形，所以对角线AC平分∠A，即∠BAC=∠DAC．又∵EF⊥AC，AG=AG，∴△AGM≌△AGE，∴AM=AE．（6分）又∵E为AD的中点，四边形ABCD为菱形，∴AM=BM．∠MAE=∠MBF．又∵∠BMF=∠AME，∴△BMF≌△AME．∴BF=AE．第6页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∴BF=DE．（8分）证法二：如图：连接BD∵四边形ABCD为菱形∴BD⊥AC∵EF⊥AC∴EF∥BD∵BF∥DE∴四边形BDEF是平行四边形∴BF=DE（8分）【举一反三】1．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A. ①③B. ②③C. ③④D. ①②③【答案】A2．（2002•咸宁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4．梯形的高DH与中位线EF交于点G，则下列结论中：①△DGF≌△EBH；②四边形EHCF是菱形；③以CD为直径的圆与AB相切于点E．正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个第7页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训D. 0个【解答】C【答案】C3．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E是BC的中点且DE∥AB，则∠BCD的度数是__________．【解答】首先根据BD⊥CD，点E是BC的中点可知DE=BE=EC=BC，又知DE∥AB，AD∥BC，可知四边形ABED是菱形，于是可得到AB=DE，再根据四边形ABCD是等腰梯形，可得AB=CD，进而得到DC=BC，然后可求出∠DBC=30°，最后求出∠BCD=60°．4．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是__________．【解答】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．5．如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求△ABC所扫过的图形的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的长．第8页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】（1）根据题意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，进而得出S平行四边形ABFE=2S△EAF，故可求出△ABC扫过图形的面积为S平行四边形ABFE；（2）根据平移的性质，可得四边形ABFE为菱形，故AF与BE互相垂直且平分；（3）根据题意易得：所以∠AEB=∠ABE=15°，BD•AC=3，可得AC•AC=3，进而可得AC的长度．6．如图，在∠ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．（1）求证：四边形BDEF是菱形；（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长．【解答】（1）可根据菱形的定义“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明四边形BFED是平行四边形，然后再证明四边形的邻边相等即可．（2）F是AB的中点，有了AB的长也就求出了菱形的边长BF的长，那么菱形BDEF的周长也就能求出了．（1）证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，∴DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，又∵DE=AB，EF=BC，且AB=BC，∴DE=EF，∴四边形BDEF是菱形；（2）7．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．DF平分∠ADC交BC于F．第9页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．【解答】（1）由平行四边形ABCD可得出的条件有：①AB=CD，②∠A=∠C，③∠ABC=∠CDA；已知BE、CD分别是等角∠ABD、∠CDA的平分线，易证得∠ABE=∠CDF④；联立①②④，即可由ASA 判定所求的三角形全等；（2）由（1）的全等三角形，易证得DE=BF，那么DE和BF平行且相等，由此可判定四边形BEDF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出EBFD的形状．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=∠CDF（2分），∴△ABE≌△CDF（ASA）；（4分）（2）1．如图，在菱形ABCD中，BC=3，点是BD的中点，延长BD到点E，使得BD=DE=2，连结CE，点M是CE的中点，则OM=．【答案】√17．22．如图，将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在C′处，BC′交AD于点E，DF∥BE交BC于点F．第10页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训（1）求证：四边形BEDF是菱形．（2）若AB=4，AD=8，请求出菱形BEDF的边长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90∘，AD∥BC，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，由折叠，得∠Capos;=∠C，DCapos;=DC，∴∠A=∠Capos;，AB=DCapos;，又∵∠AEB=∠Capos;ED，∴△AEB≌△C′ED（AAS），∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形；（2）解：设AE=x，则BE=8−x，在Rt△ABE中，由勾股定理，得42+x2=(8−x)2，解得x=3，∴BE=8−3=5，即菱形BEDF的边长为5．【答案】（1）略；（2）5．3．如图，菱形ABCD中，∠A是锐角，E为边AD上一点，△ABC沿着BE折叠，使点A的对应点F恰好落在边CD上，连接EF，BF，给出下列结论：①若∠A=70∘，则∠ABC=35∘；②若点F是CD的中点，则S△ABE=1S ABCD3下列判断正确的是（）A. ①，②都对；B. ①，②都错；C. ①对，②错；D. ①错，②对．【答案】A4．如图，点E，F分别在▱ABCD的边BC，AD上．（1）若BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形；（2）请在图2中用圆规和直尺画出四边形AECF，使得四边形AECF是菱形．（不写作法，保留作图痕迹）【解答】（1）证明：四边形AECF为平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，又∵BE=DF，∴AF=CE，∴四边形AECF为平行四边形；（2）解：如图，四边形AECF就是所求作的菱形．【答案】略．5．如图，在正三角形网格中，菱形M经过旋转变换能得到菱形N，下列四个点中能作为旋转中心的是（）A. 点A；B. 点B；C. 点C；D. 点D．【答案】D6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求EF的长度；（2）作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE=CG；（3）连接FG，试说明：四边形CEFG是菱形．【解答】（1）解：∵BE平分∠ABC，∠ACB=90∘，EF⊥AB，垂足为F，∴EF=CE．在△BFE与△BCE中，∠C=∠BFE=90∘，{BE=BE，EF=EC∴△BFE≌△BCE，∴BF=BC=8．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，∴AB=10，∴AF=AB−BF=2．设EF=x，则CE=x，AE=6−x，在直角△AEF中，由勾股定理，得AE2=EF2+AF2，∴(6−x)2=x2+22，解得x=8；3（2）证明：∵在△BCE中，∠CEB=90∘−∠CBE，∠CGE=∠DGB=90∘−∠DBG，∴∠CEB=∠CGE，∴CE=CG；（3）证明：CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∵EF=CE，CE=CG，∴EF=CG，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=CG，∴CEFG是菱形．；（2）略；（3）略．【答案】（1）837．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求EF的长度；（2）作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE=CG；（3）连接FG，试说明：四边形CEFG是菱形．【解答】（1）解：∵BE平分∠ABC，∠ACB=90∘，EF⊥AB，垂足为F，∴EF=CE．在△BFE与△BCE中，∠C=∠BFE=90∘，{BE=BE，EF=EC∴△BFE≌△BCE，∴BF=BC=8．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，∴AB=10，∴AF=AB−BF=2．设EF=x，则CE=x，AE=6−x，在直角△AEF中，由勾股定理，得AE2=EF2+AF2，∴(6−x)2=x2+22，解得x=8；3（2）证明：∵在△BCE中，∠CEB=90∘−∠CBE，∠CGE=∠DGB=90∘−∠DBG，，∴∠CEB=∠CGE，∴CE=CG；（3）证明：CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∵EF=CE，CE=CG，∴EF=CG，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=CG，∴CEFG是菱形．【答案】（1）8；（2）略；（3）略．3● 矩形。