“点差法”在解析几何中功能作用

点差法点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。

点差法：适应的常见问题：弦的斜率与弦的中点问题；①注意：点差法的不等价性；（考虑⊿>0）②“点差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题。

在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系,中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标(x1,y1),(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法".求直线方程或求点的轨迹方程例1 抛物线X^2=3y上的两点A、B 的横坐标恰是关于x的方程x^2+px+q=0，(常数p、q∈R)的两个实根，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1^2=3y1 ①；x1^2 +px1+q=0 ②；由①、②两式相减，整理得px1+3y1+q=0 ③；同理px2 +3y2+q=0 ④.∵③、④分别表示经过点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线，因为两点确定一条直线.∴px+3y+q=0，即为所求的直线AB的方程.例2 过椭圆x^2+4y^2=16内一点P(1，1)作一直线l，使直线l被椭圆截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.解：设弦的两端点为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，则x1^2+4y1^2=16，x2^2+4y2^2=16，两式相减，得(x1﹣x2)(x1+x2)+4(y1﹣y2)(y1+y2)=0，因为x1+x2=2，y1+y2=2，∴等式两边同除(x1﹣x2)，有2+8k=0∴k=﹣0.25.故直线l的方程为y﹣1=﹣0.25(x﹣1)，即4y + x﹣5=0求圆锥曲线方程用点差法。

“点差法”你会用吗？在解析几何中，涉及直线与圆锥曲线相交于两点且与弦中点有关问题时，先设弦的两个端点的坐标，再代入曲线方程，两式相减，整理可得一个既有直线斜率又有中点坐标的式子，这就是“点差法”.这种设而不求的技巧实现了数量间的“合理？”转化，及相应知识的迁移，使未知转化为已知，运算更加简捷.但在数量转化这一过程中隐藏着一个美丽的陷阱，你注意到了吗？看下面一例：已知双曲线的方程2212y x -=，试问：是否存在被点(1,1)B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，说明理由.解答如下：设存在弦AC 被点(1,1)B 平分，其坐标112212(,),(,),A x y C x y x x ≠且.221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩①有②121212122()()()()x x x x y y y y ⇒+-=+-③.12122y y k x x -∴==-④∴AC 所在的直线方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-.上述解法似乎无懈可击！但你不妨试一下：联立221221y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消y 得22430x x -+=，其判别式80∆=-<，故直线21y x =-与双曲线2212y x -=无交点！因此不存在符合条件的弦.事实上，等式组①②在变形过程中被弱化成了③式，从逻辑上看等式组①②与③不等价，等式组①②是等式③的充分不必要条件.因而由③式的得出的直线AC 并不一定是曲线的弦，陷阱就在由⇒①②③这一步！因此，检验很有必要！如上题，联立方程组，用判别式检验.但是由于“点差法”中并不涉及将直线方程与曲线方程联立，仍用判别式检验，“点差法”的优越性则无法体现.注意到，中点弦的核心是弦的中点，由此考虑利用弦的中点与曲线的位置关系来限定弦所在直线与曲线的位置关系.如下表（设k 表示弦的斜率，00(,)x y 为弦的中点）因此，上题还可这样检验：由于点M （1,1）即不满足221112->，也不满足221102-<，所以以M 为中点的弦所在的直线方程不存在.练习：1.若抛物线2y x =上存在关于直线:1(1)l y k x -=-对称的两点，求实数k 的取值范围. 答案：((2,0)-)2.已知A,B 是双曲线2213y x -=上关于动直线:4l y kx =+对称的两动点，求线段AB 的中点M 的轨迹.答案：线段AB 的中点M 的轨迹为两条射线与两条线段（均不包括中点），其方程为3,((,2)((2,)y x =∈-∞-+∞ .后记：题中例子是湖南教育出版社，2005版的选修1-1第80页第21题，解答是其配套的教师用书给出的.人教A 版选修2-1第80页A 组第9题（经过点M (2,1)作直线l 交双曲线2212y x -=于A,B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程.）与之类似，相应的教师用书给的是联立方程组求解.参考书目：1.中学数学2010年第4期2.中学数学教学参考2010年第9期。

点差法的推导过程
点差法的推导过程如下：
1、点差法是设出直线与曲线的两个交点的坐标Px1y1Qx2y2，后将其分别代入曲线方程中，再两式相减后，分解因式，利用
k=y1-y2/x1-x2x1+x2=2x0y1+y2=2y0其中点x0y0为线段PQ的中点坐标，整体消元。

它主要是解决中点弦问题，对称问题这两类问题，能起简化计算的作用。

2、点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，
并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。

3、在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。

“点差法”在解析几何题中的应用江苏省木渎高级中学 （215101） 潘振嵘在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程例1已知椭圆2212xy +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.解 设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y . 则221112x y +=，（1）222212x y +=，（2） ()()12-得：()2222121202x x y y -+-=，()1212121202x x y y y y x x +-∴++=-.又121212122,2,2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=.弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）.例2直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2:1f y x =+的相交弦是AB，则弦AB 的中点轨迹方程是 .解 设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=.()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，51A B M N y k k x +∴==-.又()2111y x =+，（1）()2221y x =+，（2）()()12-得：()()()()2212121212112y y x x x x x x -=+-+=-++，1212122AB y y k x x x x -∴==++-.于是5221y x x +=+-，即227y x =-.弦中点轨迹在已知抛物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为227y x =-（在已知抛物线内）. 求直线的斜率例5已知椭圆221259xy+=上不同的三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫⎪⎝⎭与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段A C 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线B T 的斜率k .（1）证 略.（2）解128x x += ，∴设线段A C的中点为()04,D y .又A C 、在椭圆上，∴22111259x y +=，（1）22221259x y +=，（2） ()()12-得：22221212259x x y y --=-，()()121212120998362525225x x y y x x y y y y +-∴=-=-⋅=--+.∴直线D T的斜率02536DT y k =，∴直线D T 的方程为()0025436y y y x -=-.令0y =，得6425x =，即64,025T ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线B T 的斜率9055644425k -==-.1、已知A B C ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且A B C ∆的重心G 是抛物线的焦点，求直线B C 的方程.解 由已知抛物线方程得()8,0G .设B C 的中点为()00,M x y ，则A G M 、、三点共线，且2AG GM =，G ∴分AM 所成比为2，于是002281282012x y +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+，解得00114x y =⎧⎨=-⎩，()11,4M ∴-.设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-. 又21132y x =，（1）22232y x =，（2）()()12-得：()22121232y y x x -=-，121212323248BC y y k x x y y -∴====--+-.B C∴所在直线方程为()4411y x +=--，即4400x y +-=.2 确定参数的范围3 证明定值问题例7已知AB 是椭圆()222210x y a b ab+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线O P 的斜率之积是定值. 证明 设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，则2211221x y ab+=，（1）2222221x y ab+=，（2） ()()12-得：2222121222x x y y ab--=-，()()2121221212bx x y y x x a y y +-∴=--+，()()2121221212ABbx x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212O P y y k x x +=+，221A B O Pb k k a∴=-⋅，22AB OP b k k a∴⋅=-（定值）.关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

“点差法”在平面解析几何中的应用举例摘要:平面解析几何是高中数学的重要部分，是高考的必考知识点，不但历年高考解答题必考，选择填空题也考查，所以高考所占分值比重大。

运算能力是数学学科素养的基本能力.在平面解析几何题中要用到大量的代数运算，特别是圆锥曲线的二次方程相对于直线一次方程来说计算难度明显加大，简化计算，提高运算水平，提升数学核心素养势在必行。

关键词: 点差法;核心素养；高中数学数学核心素养是数学学习者在学习数学时所应达到的综合性能力,运算能力是数学学科素养的基本能力.在平面解析几何题中要用到大量的代数运算，运算是平面解析几何学习中的难点。

繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题.特别是圆锥曲线由于运算量大、思维量大、推导烦琐,学生经常望题兴叹,甚至自动放弃.其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的。

“点差法”常用来解决平面解释几何有关中点弦，参数，对称等方面的问题，出奇制胜，简化解题过程。

“点差法”就是设点，作差二个步骤:若设直线与曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种设点（设而不求）代入再作差的方法为“点差法”．本文就点差法公式在平面解析几何中应用举例说明，做一些粗浅的探讨.一．求弦中点的坐标．例1．已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标．解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则210=x 12021==+x x x ， 0212y y y =+又 125752121=+xy ，125752222=+x y两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴212123y x x y y -=--32121=--=x x y y k ∴ 3230=-y ，即210-=y∴点M 的坐标为)21,21(-.二．求中点弦所在的直线方程例2 已知椭圆221164x y +=，求以点P ()2,1-为中点的弦所在的直线方程． 解析：设所求直线与椭圆相交于()()1122,,,A x y B x y ，把A ，B 的坐标代入椭圆方程并相减得12121212()()4()()0x x x x y y y y -++-+=，又因为点P 为弦AB 的中点，则12124,2x x y y +=+=-，从而得到12k =，∴所求直线方程为240x y --=． 例3．已知直线2x y -=与抛物线24y x =交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点的坐标为 ．解析：设()()1122,,,A x y B x y ，由224x y y x-=⎧⎨=⎩得2480y y --=，从而1212124,48y y x x y y +=+=++=，因此，线段AB 的中点的坐标为()4,2例4双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. 12-=x yB. 22-=x yC. 32-=x yD. 32+=x y 【解析】设弦的两端分别为()()1,12,2,A x y B x y .则有：()()222222111212121222121222101x y y y x x x x y y x x y y x y ⎧-=-+⇒---=⇒=⎨-+-=⎩.∵弦中点为（2，1），∴121242x x y y +=⎧⎨+=⎩.故直线的斜率121212122y y x xk x x y y -+===-+. 则所求直线方程为：()12223y x y x -=-⇒=-，故选C.三．求弦的中点的轨迹方程例5 已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

运用点差法解决中点弦问题，运算是解析几
何学习中的难点
第一问由点M在线段PD上以及满足的条件，很容易得出M是中点，既然求点M的轨迹，就设其坐标为(x,y)，从而得到点P坐标，由于P是圆上动点，所以满足圆的方程，继而带入化简得出一个椭圆
这个题呢其实再配个图就好啦，同学们自己动手画一个呗，圆，椭圆，还有直线l的位置关系一目了然，所以解的时候自然能先想到垂直的情况是不行的，也就是斜率存在，直接设直线解析式，再由直线与椭圆相交，联立方程组，利用韦达定理得出中点坐标相关的关系式，求出k，直线方程也就求出来啦
点差法解决中点弦问题也是常规方法，注意要熟练利用韦达定理，设而不求方法和整体思想，简化计算，准确求解，方法1思路直接，但是计算量稍大，方法2，计算简捷，所列式子整齐，对称性强，但是要求灵活性高，整体意识强，运算是解析几何学习中的难点，平时必须认真训练，仔细，体会算理和一些常用技巧，提高运算的速度和准确度！
下面一题，大家自己动手试一试哦。

解析几何之“定比点差法”文章来源： 作者：意琦行 时间：2016年1月5日 介绍定比点差法之前，先介绍一些解析几何中的基础知识： 一、定比分点若λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则称点M 为点A 、B 的λ定比分点． 当λ>0时，点M 在线段AB 上，称为内分点； 当λ<0(λ≠−1)时，点M 在线段AB 的延长线上，称为外分点． 定比分点坐标公式：若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 的坐标为M (x 1+λx 21+λ,y 1+λy21+λ).二、点差法若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在有心二次曲线x 2a 2±y 2b 2=1上，则有x 12a 2±y 12b 2=1,x 22a 2±y 22b2=1, 两式作差得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2±(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0.此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．下面介绍定比点差法：若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在有心二次曲线x 2a 2±y 2b 2=1上，则有x 12a 2±y 12b 2=1,λ2x 22a 2±λ2y 22b2=λ2 两式作差得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)a 2±(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)b2=1−λ2. 这样就得到了1a 2⋅x 1+λx 21+λ⋅x 1−λx 21−λ±1b 2⋅y 1+λy 21+λ⋅y 1−λy 21−λ=1. 例1 过异于原点的点P(x 0,y 0)引椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的割线PAB ，其中点A,B 在椭圆上，点M 是割线PAB 上异于P 的一点，且满足AM MB =AP PB．求证：点M 在直线x 0x a 2+y 0y b 2=1上．证明 直接运用定比点差法即可．设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M )，则有 x 0=x 1+λx 21+λ,y 0=y 1+λy 21+λ;x M =x 1−λx 21−λ,y M =y 1−λy 21−λ.又因为点A,B 在椭圆上，所以有x 12a 2+y 12b 2=1,λ2x 22a 2+λ2y 22b2=λ2 两式作差得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)a 2+(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)b2=1−λ2. 两边同除以1−λ2，即可得到x 0x M a 2+y 0y M b 2=1.命题得证．练习1 (2008高考数学安徽卷理科)设椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(√2,1)，且焦点为F 1(−√2,0)． (1)求椭圆的方程；(2)过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于不同点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，证明：点Q 总在某定直线上． 答案 (1)x 24+y 22=1；(2)点Q 在直线2x +y −2=0上． 例2 已知椭圆x 29+y 24=1，过定点P(0,3)的直线与椭圆交于两点A,B (A,B 可以重合)，求PAPB的取值范围．解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PAPB =−λ．于是P (x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ)=(0,3)，于是x 1+λx 2=0,y 1+λy 2=3(1+λ) (1)又因为点A,B 在椭圆上，所以有x 129+y 124=1,λ2x 229+λ2y 224=λ2,两式相减得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)9+(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)4=1−λ2.(2)将(1)代入(2)中得到y 1−λy 2=43(1−λ).(3)由(1)(3)解得y 1=3(1+λ)+43(1−λ)2=136+56λ∈[−2,2].从而解得λ的取值范围为[−5,−15]，于是PAPB 的取值范围为[15,5]． 练习2 设D(0,16)，M,N 是椭圆x 225+y 216=1上的两个动点(可以重合)，且DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的取值范围． 答案 [35,53]．例3 设F 1(−c,0)、F 2(c,0)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，直线PF 1,PF 2分别交椭圆于异于P 的点A 、B ，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μF 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：λ+μ=2⋅a 2+c 2a 2−c 2．证明 设P(x 0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则F 1(x 0+λx 11+λ,y 0+λy 11+λ),F 2(x 0+μx 21+μ,y 0+μy 21+μ).于是有x 0+λ x 1=−(1+λ )c,y 0+λ y 1=0;(4) x 0+μ x 2=(1+μ )c,y 0+μ y 2=0.(5)又由点P,A 在椭圆上得到x 02a2+y 02b 2=1,λ2x 12a 2+λ2y 12b 2=λ2,两式相减得(x 0+λx 1)(x 0−λx 1)a 2+(y 0+λy 1)(y 0−λy 1)b2=1−λ2.(6) 从而有 λx 1=a 2c(λ−1).结合(4)式可解得 2x 0=a 2c(λ−1)−c(1+λ).同理可得 x 0−μx 2=a 2c (1−μ).结合(5)式得到 x 0=a 2c(1−μ)+c(1+μ).于是有 a 2c (λ−1)−c(1+λ)=a 2c(1−μ)+c(1+μ).整理得λ+μ=2⋅a 2+c 2a 2−c 2， 命题得证．练习3 已知过椭圆x 22+y 2=1的左焦点F 的直线交椭圆于A,B 两点，且有FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点A 的坐标． 答案 A(0,±1)．定比点差法实际上是直线的参数方程的变异形式，只不过将其中的t 变作了λ，也就是说只要是共线点列的问题都可以在考虑运用直线的参数方程的同时考虑定比点差法．定比点差法在处理圆锥曲线上过定点的直线的证明题时往往可以起到简化运算的作用．但定比点差法无法应用于抛物线，并且它采用的参数λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦(当然，求坐标还是很简便的)，所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决．。

【设计意图】：帮助学生回顾点差法相关结论，提炼出工具性知识，为方法的应用提供基础。

二、典例分析
典例.已知斜率为13
-的直线与椭圆22+197x y =相交于不同的两点A ，B ，M 为y 轴上一点且满足|MA |=|MB |，则点M 的纵坐标的取值范围是___________.直线纵截距的取值范围是_________ 问题引导：
【设计意图】：1.本题改编于2021年成都一诊15题，在原题的基础上多增加了对直线纵截距范围的考察，体现了在一轮复习后对学生相关知识的综合性考查的目的，并从题目本身和所放位置来看，具有一定的难度。

根据学生的反馈，其主要表现对该题核心条件的转化；无法锁定点差法；只会用点差法结论；对点差法中的其他关系不清晰，就算想到点差法也无法有效求解；用韦达定理的方法计算繁复，导致出错。

2.本题的解决以问题研讨的形式，帮助学生分化难点、解决重点，体会关键条件的识别和题型确定之间的联系，核心条件与目标的处理和具体方法之间的关系。

有利于学生对知识的掌握，并强化对点差法的理解，并希望学生在解决问题中充分体会成功的愉悦。

22
22
=1x y a b +y kx m
=+。

点差法“秒杀”高考综合题系列之(一)——点差法在解析几何综合题中的应到高三的同学都知道，浙江省高考在解析几何章节的考查内容肯定包含一道综合题，一般多是椭圆和抛物线，按照命题的规律和趋势，我们发现以下两点：（1）理科数学在此章节一般考察椭圆，文科数学一般考察抛物线；（2）考察的题型一般是直线与解析几何的位置关系。

诸位可以翻看一下浙江过往几年的考试试卷看看。

上过从老师高考班的同学应该记得，在解决解析几何图形与直线相切这个位置关系的题型的时候，“抄一个，代一个”这六个字可以帮助大家快速提升做题速度。

如果大家要用判别式、位置关系等通法解决此类问题时，耗费5~10分钟不说，5~10分钟的计算量还不一定能保证结果正确。

但诸位如果知道“抄一个，代一个”，一旦看到直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等相切问题时，应做到能在10秒钟以内准确地写出切线的方程。

当然，直线与上面图形的位置关系除了相切以外，另外一种更常考的位置是相交。

在相交的题型中，一旦看到“弦长”或者“面积”等关键词时，应立即想到“设直线、代曲线、根与系数搞定一切”（弦长公式）。

相信大家对这种题型应该有较深的体会了。

今天我在这里要跟大家探讨的是：题目中出现“直线与椭圆交于两点A、B”（即AB是椭圆内的一条弦）、“AB中点M”等关键词时的解题方法。

“点差法”精髓在于“设而不求”，通过点差法有个重要的结论要求大家记住。

设椭圆方程为，任意一条直线交椭圆于，两点，则两式相减得到，移向整理后得到：即：（M为AB中点）同样的道理，对于长轴在y轴上的椭圆，结论为.也就是说：椭圆内任意弦AB所在直线的斜率与过该弦中点并且经过原点的直线的斜率乘积为一个常数。

【再拓展】当A、B两点离的非常近时，可以将这个结论看做：过椭圆上某点P有一条切线，则请看2009年浙江高考第21题已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．（I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．也许很多同学都看过所谓“标准答案”给我们的解题过程，设出直线方程后代入，经过两次判别式来确定h的取值范围。

解析几何中几种常用的处理方法与技巧微点一 定比点差法对于涉及PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的问题，我们可以采用定比点差法.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为椭圆或双曲线上两点，若存在P,Q 两点，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =－λQB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有P(x 1+λx 21+λ，y 1+λy 21+λ)，Q(x 1－λx 21－λ，y 1－λy 21－λ),{x 12a 2±y 12b 2=1 ①,λ2x 22a 2±λ2y 22b 2=λ2②,由①－②得(x 1+λx 2)(x 1－λx 2)a 2±(y 1+λy 2)(y 1－λy 2)b 2=1－λ2,即1a2×(x 1+λx 2)(x 1－λx 2)(1+λ)(1－λ)±1b2×(y 1+λy 2)(y 1－λy 2)(1+λ)(1－λ)=1.从而x P x Q a 2±y P y Q b 2=1,然后再结合题意解决问题，从而达到简化运算的目的.特别的，当λ=1时，就是点差法.例1 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）过点M (√2,1),且椭圆C 的左焦点为(−√2,0). (1)求椭圆C 的方程；(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|QB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,证明：点Q 总在某定直线上. 微点二 同构方程法同构发在解析几何中的考察点在于通过设点构造两个形式一样的方程，主要利用同理的逻辑，把两个未知量转化为一个二次方程的根或其它函数的零点，从而简化运算，达到快速解决问题的目的.例2 已知P 是抛物线E ：y 2=4x 上的动点，F 是抛物线E 的焦点.(1)求|PF |的最小值；(2)若点B,C 均在y 轴上，直线PB,PC 均与圆(x －1)2+y 2=1相切，当|PF |∈[4,6]时，求|BC |的最小值.微点三 齐次代换法圆锥曲线中常见一类题型,即条件中两直线的斜率之和或斜率之积是一个定值.这种题型固然可以用常规法处理,但运算量稍大,而齐次代换法是其中最有效的处理方法之一,可以绕开繁琐的计算.齐次从字面解释是次数相等,一个多项式中各单项式的次数都相同时,称为齐次式,例如:x +2y +3z ,x 2+xy +y 2,x 3+2xy 2+2x 2y +y 3都是齐次式.圆锥曲线中利用齐次代换法解题的难点在于要去配凑齐次式,针对斜率之和、之积为定值的题型可以考虑用这种方法. 例3已知拋物线C :x 2=2py 上一点M (m ,2)到焦点的距离为3.(1)求抛物线C 的方程.(2)设P ,Q 为抛物线C 上不同于原点O 的任意两点,且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O,试问直线PQ ;如果不过定点,请说明理由.1.已知椭圆x 24+y 23=1,则与椭圆相交且以点A (1,1)为弦的中点的直线方程为( )A . 3x +4y +7=0B . 2x+5y-7=0C . 3x -4y +1=0 D. 3x +4y -7=02.设椭圆C :x 2a 2+y 2＝1(a>0)与直线l :x +y ＝1相交于不同的两点A,B ,是否存在这样的椭圆C ,使直线l 与y 轴交于点P ,且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =512PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由. 3.已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为12,圆x 2+y 2－2y ＝1经过椭圆C 的左、右焦点F 1,F 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A,B,D,E 是椭圆C 上不同的四点(其中点D 在第一象限),且AB //DE ,直线DA,DB 关于直线x =1对称,求直线DE 的方程.4.已知抛物线C 1:y 2=2px (p>0),圆C 2:(x －1)2+y 2=r 2(r>0),抛物线C 1上的点到其准线的距离的最小值为14.(1)求抛物线C 1的方程及其准线方程.(2)若点P(2,y 0)是抛物线C 在第一象限内一点,过点P 作圆C 1的两条切线,交抛物线于A,B 两点(A,B 异于P ),问是否存在圆C ,使AB 恰为其切线?若存在,求出r 的值;若不存在,说明理由.5.已知长度为4的线段AB 的两个端点A,B 分别在x 和y 轴上运动,动点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设不经过点H (0,1)的直线y=2x +t 与曲线C 相交于M,N 两点,若直线HM 与直线HN 的斜率之和为1,求实数t 的值.。