高考数学 考前30天冲刺押题系列 专题05 圆锥曲线(下)理(教师版)

高考数学考前押题圆锥曲线的综合问题椭圆与双曲线综合中基本量的计算问题1.如图,F1,F2是椭圆C1:24x+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )23(C)3262解析:由椭圆定义得,|AF1|+|AF2|=4,41=23因为四边形AF1BF2为矩形,所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12,所以2|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+|AF2|2)=16-12=4, 所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|=12-4=8,所以2,因此对于双曲线有23,所以C2的离心率e=ca62故选D. 答案:D2.已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)32.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )(A)28x+22y=1 (B)212x+26y=1(C)216x+24y=1 (D)220x+25y=1解析:利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解.32,∴ca =22a ba-=32,∴a=2b.∴椭圆方程为x2+4y2=4b2.∵双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0,∴渐近线x±y=0与椭圆x2+4y2=4b2在第一象限的交点为2525,55b b⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b×255b=4,∴b2=5,∴a2=4b2=20.∴椭圆C的方程为220x+25y=1.故选D.答案:D3．如图所示,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点.若M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )(A)3 (B)2 32解析:设椭圆的标准方程为22xa+22yb=1(a>b>0),半焦距为c1,则椭圆的离心率为e1=1c a.设双曲线的标准方程为22xm-22yn=1(m>0,n>0),半焦距为c2,则双曲线的离心率为e2=2c m.由双曲线与椭圆共焦点知c1=c2.由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m, 即2m=a.∴21e e =21c m c a =a m =2.故选B.答案:B4.已知椭圆C1: 22x a +22y b =1(a>b>0)与双曲线C2:x2-24y =1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B 两点.若C1恰好将线段AB 三等分,则( ) (A)a2=132 (B)a2=13 (C)b2=12 (D)b2=2解析:双曲线渐近线方程为y=±2x,圆的方程为x2+y2=a2,则|AB|=2a,不妨设y=2x 与椭圆交于P 、Q 两点,且P 在x 轴上方,则由已知|PQ|=13|AB|=23a,∴|OP|=3a,∴P. 又∵点P 在椭圆上, ∴225225a a +2220225a b =1.①又a2-b2=5,b2=a2-5,② 联立①②解得2211,21.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选C. 答案:C5.已知双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)和椭圆216x +29y =1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .解析:椭圆216x +29y =1的焦点坐标为,0),离心率为. 由于双曲线22x a -22y b =1与椭圆216x +29y =1有相同的焦点,因此a2+b2=7.又双曲线的离心率,,所以a=2,b2=c2-a2=3, 故双曲线的方程为24x -23y =1.答案: 24x -23y =1椭圆与抛物线综合问题及解法1.在平面直角坐标系xOy 中,F 是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O 三点的圆的圆心为Q,点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程;(2)是否存在点M,使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.(3)若点M,直线l:y=kx+14与抛物线C 有两个不同的交点A,B,l 与圆Q 有两个不同的交点D,E,求当12≤k ≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.解:(1)依题意知F 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y=4p 上,因为抛物线C 的准线方程为y=-2p, 所以34p =34,即p=1.因此抛物线C 的方程为x2=2y.(2)假设存在点M 200,2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (x0>0)满足条件,抛物线C 在点M 处的切线斜率为y ′0x x ==22x '⎛⎫ ⎪⎝⎭0x x ==x0,所以直线MQ 的方程为y-202x =x0(x-x0).令y=14得xQ=02x +014x .所以Q （02x +014x ,14）.又|QM|=|OQ|,故（014x -02x ）2+（14-202x ）2=（014x +02x）2+116, 因此（14-202x ）2=916.又x0>0,所以,此时故存在点,1),使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M.(3)当时,由(2)得Q14）,☉Q 的半径为,所以☉Q 的方程为（2+（y-14）2=2732.由21,214y x y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩整理得2x2-4kx-1=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由于Δ1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-1 2,所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =(1+k2)(4k2+2).由22127,43214x yy kx⎧⎛⎛⎫⎪+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎨⎪=+⎪⎩整理得x-116=0.设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),由于Δ2=24k+278>0,x3+x4=,x3x4=-()21161k+.所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]=()22581k++14.因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+()22581k++14.令1+k2=t,由于12≤k≤2,则54≤t≤5,所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)+ 258t+14=4t2-2t+258t+14,设g(t)=4t2-2t+258t +14,t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 因为g ′(t)=8t-2-2258t ,所以当t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,g ′(t)≥g ′54⎛⎫ ⎪⎝⎭=6,即函数g(t)在t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数, 所以当t=54时,g(t)取到最小值132,因此,当k=12时,|AB|2+|DE|2取到最小值132.2.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C1: 22x a +22y b =1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l 同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x 相切,求直线l 的方程.解:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),所以c=1.将点P(0,1)代入椭圆方程22x a +22y b =1, 得21b =1,即b=1.所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C1的方程为22x +y2=1.(2)由题意可知,直线l 的斜率显然存在且不等于0,设直线l 的方程为y=kx+m, 由221,2,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.因为直线l 与椭圆C1相切,所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理得2k2-m2+1=0.①由24,,y xy kx m⎧=⎨=+⎩消去y并整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0.因为直线l与抛物线C2相切, 所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0, 整理得km=1.②综合①②,解得2,22,km⎧=⎪⎨⎪=⎩或2,22.km⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以直线l的方程为y=22x+2或y=-22x-2.3.设椭圆C1:22xa+22yb=1(a>b>0),抛物线C2:x2+by=b2.(1)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;(2)设A(0,b),Q（354b）,又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B（0,34b）,且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.解:(1)因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0), 可得c2=b2,由a2=b2+c2=2c2,有22ca=12,所以椭圆C1的离心率2 2.(2)由题设可知M,N关于y轴对称,设M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0),则由△AMN的垂心为B,有BM·AN=0.所以-21x +（y1-34b ）(y1-b)=0.①由于点N(x1,y1)在C2上,故有21x +by1=b2.②由①②得y1=-4b或y1=b(舍去),所以b,故M （b,-4b ）,N4b）,所以△QMN4b）.由重心在C2上得3+24b =b2,所以b=2,M （,-12）,N,-12）.又因为M,N 在C1上,2124⎛⎫- ⎪⎝⎭=1,解得a2=163. 所以椭圆C1的方程为2163x +24y =1.抛物线C2的方程为x2+2y=4.4.如图,已知抛物线C1:x2+by=b2经过椭圆C2: 22x a +22y b =1(a>b>0)的两个焦点.(1)求椭圆C2的离心率;(2)设点Q(3,b),又M,N 为C1与C2不在y 轴上的两个交点,若△QMN 的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程.解:(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),所以c2+b ×0=b2,即c2=b2.又a2=b2+c2=2c2,所以椭圆C2的离心率22.(2)由(1)可知a2=2b2,椭圆C2的方程为222x b +22y b =1.联立抛物线C1的方程x2+by=b2,得2y2-by-b2=0,解得y=-2b或y=b(舍去),所以x=62即M 62 2b ）,N 622b）,所以△QMN 的重心坐标为(1,0).因为重心在C1上,所以12+b ×0=b2,得b=1.所以a2=2.所以抛物线C1的方程为x2+y=1,椭圆C2的方程为22x +y2=1.5.(2009年浙江卷,理21)已知椭圆C1: 22x a +22y b =1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C1的方程;(2)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.解:(1)由题意,得21, 21, bba=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩从而2,1. ab=⎧⎨=⎩因此,所求的椭圆方程为24y+x2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h),则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′|x=t=2t,直线MN的方程为:y=2tx-t2+h.将上式代入椭圆C1的方程中,得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.①因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点, 所以①式中的Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.②设线段MN的中点的横坐标是x3,则x3=122x x+=()()2221t t ht-+.设线段PA的中点的横坐标是x4,则x4=1 2t+.由题意,得x3=x4,即t2+(1+h)t+1=0.③由③式中的Δ2=(1+h)2-4≥0,得h≥1或h≤-3.当h≤-3时,h+2<0,4-h2<0,则不等式②不成立,所以h ≥1.当h=1时,代入方程③得t=-1,将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立.所以h 的最小值为1.双曲线与抛物线的综合问题及解法1.抛物线C1:y=12p x2(p>0)的焦点与双曲线C2: 23x -y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M 处的切线平行于C2的一条渐近线,则p 等于( ) (A)316 (B)38 (C)233 (D)433解析:如图在同一坐标系中画出C1、C2草图,知C1焦点F （0,2p ）,C2右焦点F2(2,0).由C2渐近线方程为y=33x.直线FF2方程为2x +2x p =1.联立C1与直线FF2方程得21,221,2y x p x y p ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①代入②得2x2+p2x-2p2=0.设M(x0,y0),即220x +p2x0-2p2=0.③由C1得y ′=1p x,所以1p 33,即33④由③④得433故选D.答案:D2.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点,则C的实轴长为( )(C)4 (D)8解析:设双曲线的标准方程为x2-y2=λ(λ>0), 抛物线y2=16x的焦点是(4,0),由题意知,点在双曲线上.∴16-12=λ,即λ=4, ∴实轴长为4.故选C.答案:C3.已知双曲线24x-22yb=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )(C)3 (D)5 解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0), ∴c=3,b2=c2-a2=5.∴双曲线的渐近线方程为y=焦点(3,0)到y=x的距离故选A. 答案:A4.已知双曲线C1:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )y(C)x2=8y (D)x2=16y解析:由e=ca=2得4=22ca=1+22ba,∴22ba=3.∴双曲线的渐近线方程为y=x,抛物线x2=2py 的焦点是（0, 2p）,它到直线y=x 的距离d=2=22p=4p, ∴p=8.∴抛物线方程为x2=16y. 故选D.答案:D5.已知双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()解析:双曲线左顶点为A1(-a,0),渐近线为y=±ba x,抛物线y2=2px(p>0)焦点为F （2p,0）,准线为直线x=-2p.由题意知-2p=-2,∴p=4,由题意知2+a=4,∴a=2.∴双曲线渐近线y=±2b x 中与准线x=-2p 交于(-2,-1)的渐近线为y=2bx,∴-1=2b×(-2),∴b=1.∴c2=a2+b2=5, ∴, ∴故选B.答案:B6.已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )(A)236x-2108y=1 (B)29x-227y=1(C)2108x-236y=1 (D)227x-29y=1解析:抛物线y2=24x的准线方程为x=-6, 故双曲线中c=6.①由双曲线22xa-22yb=1的一条渐近线方程为x,知ba,②且c2=a2+b2.③由①②③解得a2=9,b2=27.故双曲线的方程为29x-227y=1.故选B.答案:B7.设双曲线22xa-22yb=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )(A)54(B)5解析:不妨设双曲线22xa-22yb=1的一条渐近线为y=ba x,由方程组22,1by xay x⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y,得x2-ba x+1=0有唯一解,所以Δ=（ba）2-4=0,所以ba=2,e=ca故选D.答案:D8.已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为 .解析:由双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为得ba,∴a.∵抛物线y2=16x的焦点为F(4,0), ∴c=4.又∵c2=a2+b2,∴a)2,∴a2=4,b2=12.∴所求双曲线的方程为24x-212y=1.答案:24x-212y=19.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为. 解析:由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2, ca=2a.所以双曲线方程为x2-23y=1.答案:x2-23y=1圆锥曲线与圆的综合问题及解法1如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C 的纵坐标为2,求|MN|;(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圆C 的半径.解:(1)抛物线y2=4x 的准线l 的方程为x=-1.由点C 的纵坐标为2,点C 在抛物线E 上,得点C 的坐标为(1,2),所以点C 到准线l 的距离d=2,又5,所以22CN d -54-=2.(2)设C （24y ,y0）,则圆C 的方程为（x-204y ）2+(y-y0)2=416y +20y ,即x2-22y x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+22y =0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则222000212441240,21.2y y y y y y ⎧⎛⎫=-+=->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4, 所以22y +1=4,解得y0=6,此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为（326）或（326）,从而|CO|2=33 4,,即圆C.2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为,在y轴上截得线段长为.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x,求圆P的方程.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r. 由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1. (2)设P(x0,y0)..又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得0022001,1. x yy x⎧-=⎪⎨-=⎪⎩由0022001,1.x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩得0,1.xy=⎧⎨=-⎩此时,圆P的半径.由0022001,1.x yy x-=-⎧⎪⎨-=⎪⎩得0,1.xy=⎧⎨=⎩此时,圆P的半径.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.3.如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点, AA'=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则()22ca-+222b=1,从而e2+24b=1,又22,故b2=241e-=8,从而a2=221be-=16.故该椭圆的标准方程为216x+28y=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+2x+8×（1-216x）=12(x-2x0)2-20x+8(x∈[-4,4]).设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点, 因此,当x=x1时|QM|2取最小值,又x1∈(-4,4),所以当x=2x0时|QM|2取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-2x.由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以S=12|2y1||x1-x0|=12×218116x⎛⎫⨯-⎪⎝⎭|x0| ()220024x x-2()2224x--+.当x0=2时,△PP′Q的面积S取得最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(2,0),半径28x-6,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为)2+y2=6.4.已知F1,F2分别是椭圆E: 25x +y2=1的左、右焦点,F1,F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.(1)求圆C 的方程;(2)设过点F2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a,b.当ab 最大时,求直线l 的方程.解:(1)由题设知,F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆C 的半径为2,圆心为原点O 关于直线x+y-2=0的对称点.设圆心的坐标为(x0,y0), 由00001,20,22y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩解得002,2.x y =⎧⎨=⎩所以圆C 的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2)由题意,可设直线l 的方程为x=my+2,则圆心到直线l 的距离所以由222,1,5x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(m2+5)y2+4my-1=0.设l 与E 的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=-245m m +,y1y2=-215m +.于是从而ab=228515m m ⋅++=()2285114m m ⋅+++ =2285411m m +++≤22285411m m +⋅+=25. 当且仅当21m +=241m +,即m=±3时等号成立. 故当m=±3时,ab 最大,此时,直线l 的方程为x=3y+2或x=-3y+2,即x-3y-2=0或x+3y-2=0.5.如图所示,设P 是抛物线C1:x2=y 上的动点,过点P 作圆C2:x2+(y+3)2=1的两条切线,交直线l:y=-3于A 、B 两点.(1)求圆C2的圆心M 到抛物线C1准线的距离;(2)是否存在点P,使线段AB 被抛物线C1在点P 处的切线平分?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)因为抛物线C1的准线方程为y=-14,所以圆心M 到抛物线C1的准线的距离为()134--=114.(2)设点P 的坐标为(x0, 20x ),抛物线C1在点P 处的切线交直线l 于点D.再设A,B,D 的横坐标分别为xA,xB,xD,过点P(x0,20x )的抛物线C1的切线方程为 y-20x =2x0(x-x0).①当x0=1时,过点P(1,1)与圆C2相切的直线PA 的方程为y-1=158(x-1).可得xA=-1715,xB=1,xD=-1,xA+xB≠2xD.当x0=-1时,过点P(-1,1)与圆C2相切的直线PB的方程为y-1=-158(x+1),可得xA=-1,xB=1715,xD=1,xA+xB≠2xD,所以2x-1≠0.设切线PA、PB的斜率为k1,k2,则PA:y-2x=k1(x-x0),②PB:y-2x=k2(x-x0),③将y=-3分别代入①②③得xD=232xx-(x0≠0),xA=x0-213xk+,xB=x0-223xk+(k1,k2≠0),∴xA+xB=2x0-(2x+3)（11k+ 21k）.即(2x-1)21k-2(2x+3)x0k1+(2x+3)2-1=0.同理,(2x-1)22k-2(2x+3)x0k2+(2x+3)2-1=0.∴k1、k2是方程(2x-1)k2-2(2x+3)x0k+(2x+3)2-1=0的两个不相等的根,从而k1+k2=()2002231x xx+-,k1·k2=()22020311x x +--.因为xA+xB=2xD, 所以2x0-(3+20x )（11k +21k ）=2003x x -, 即11k +21k =01x .从而()()2002202331x x x ++-=01x , 进而得40x =8, 所以x0=.综上所述,存在点P 满足题意,点P 的坐标为(). 6.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是,0),直线y=t 与椭圆C 交于不同的两点M,N,以线段MN 为直径作圆P,圆心为P.(1)求椭圆C 的方程;(2)若圆P 与x 轴相切,求圆心P 的坐标;(3)设Q(x,y)是圆P 上的动点,当t 变化时,求y 的最大值.解:(1)因为ca且,所以=1. 所以椭圆C 的方程为23x +y2=1. (2)由题意知P(0,t)(-1<t<1).由22,1,3y t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x=.所以圆P .当圆P 与x 轴相切时,|t|=()231t -.解得t=±32.所以圆心P 的坐标是（0,±32）.(3)由(2)知,圆P 的方程为x2+(y-t)2=3(1-t2).因为点Q(x,y)在圆P 上,所以y=t ±()2231t x --≤t+()231t -.设t=cos θ,θ∈(0,π),则t+()231t -=cos θ+3sin θ=2sin （θ+π6）.当θ=π3,即t=12,且x=0时,y 取最大值2.7.如图所示,已知抛物线E:y2=x 与圆M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A 、B 、C 、D 四个点.(1)求r 的取值范围;(2)当四边形ABCD 的面积最大时,求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标.解:(1)将y2=x 代入(x-4)2+y2=r2,并化简得x2-7x+16-r2=0,①E 与M 有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x1,x2,由此得()()221221274160,70,160.r x x x x r ⎧∆=--->⎪⎪+=>⎨⎪=->⎪⎩解得154<r2<16.又r>0,所以r 152,4）.(2)不妨设E 与M 的四个交点的坐标为:1x 、1x )、2x 、2x则直线AC、BD的方程分别为(x-x1),解得点P的坐标为,0).设,由及(1)知0<t<72.由于四边形ABCD为等腰梯形,因而其面积S=12·|x2-x1|. 则)[(x1+x2)2-4x1x2]. 将=t代入上式,并令f(t)=S2,得f(t)=(7+2t)2·(7-2t)（0<t<72）.求导数,f′(t)=-2(2t+7)(6t-7),令f′(t)=0得t=76,t=-72(舍去),当0<t<76时,f′(t)>0;当76<t<72时,f′(t)<0.故当且仅当t=76时,f(t)有最大值,即四边形ABCD的面积最大.故所求的点P的坐标为（76,0）.椭圆与双曲线综合中基本量的计算问题1.过椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的焦点垂直于x轴的弦长为2a,则双曲线22xa-22yb=1的离心率e的值是( )(A)54(B)52(C)32(D)54解析:椭圆中当x=c1时,212ca+22yb=1,y2=b2（1-212ca）=42ba,∴y=±2b a.∴22ba=2a,即a2=4b2,∴双曲线中22c=a2+b2=5b2,∴e=2ca=52bb=52.故选B. 答案:B2.点A为两曲线C1:29x+26y=1和C2:x2-22y=1在第二象限的交点,B、C为曲线C1的左、右焦点,线段BC上一点P满足: BP=BA+m(ABAB+ACAC),则实数m的值为.解析:法一∵A是曲线C1与C2在第二象限的交点如图所示.∴由22221, 9612x yyx⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得点A坐标为由29x+26y=1知c2=9-6=3,∴,0),∴BA=(0,2), AB=(0,-2), AC,-2).AB=2,AC=4.∴BA+m （ABAB+ACAC）=(0,2)+m()10,12⎡⎤⎫-+-⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎭⎣⎦=(0,2)+m（,-32）=32m）.设点P(x,0),则BP由题意得3202xm=⎪-=⎪⎩解得4,3mx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩法二由椭圆与双曲线方程可知,C1、C2有共同的焦点,即B、C.由椭圆和双曲线定义有6,2,AB ACAC AB⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2,4.ABAC⎧=⎪⎨=⎪⎩又∴△ABC 为直角三角形,且∠BAC=60°.又由BP =BA +m(AB AB +AC AC )得 BP -BA =AP =m(AB AB +AC AC )(*) 由向量的线性运算易知,AP 为∠BAC 的平分线,故cos ∠BAP=ABAP,即cos 30°=2AP ,AP 4将(*)式的两边平方得:|AP |2=m2(1+1+2cos 60°)=2,解得m=43或m=-43(舍去).答案:43椭圆与抛物线综合问题及解法1.已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)与抛物线y2=2px(p>0)有相同的焦点,P 、Q 是椭圆与抛物线的交点,若PQ 经过焦点F,则椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为 .解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为（2p,0）,由题意知,椭圆的半焦距c=2p,又当x=c 时,由22c a +22y b =1得y2=42b a ,∴|PQ|=22b a,由P、Q在抛物线上且PQ过点F, ∴|PQ|=2p.∴22ba=2p,b2=ap.又a2=b2+c2,即a2=ap+24p,解得p(舍)或∴e=ca=()2-1.答案-12.已知椭圆E:22xa+22yb=1(a>b>0),以抛物线y2=8x的焦点为顶点,且离心率为12.(1)求椭圆E的方程;(2)若F为椭圆E的左焦点,O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点,与直线x=-4相交于Q点,P 是椭圆E上一点且满足OP=OA+OB,证明OP·FQ为定值,并求出该值.解:(1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),又椭圆以抛物线焦点为顶点,∴a=2,又e=ca=12,∴c=1,∴b2=3.∴椭圆E的方程为24x+23y=1.(2)由(1)知,F(-1,0),由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.∵l 与椭圆交于两点,∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即m2<4k2+3.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是上述方程的两个根,∴x1+x2=-2834km k +,x1·x2=2241234m k -+, 又y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m =2634mk +∴OP =OA +OB =（-2834km k +,2634mk +）,由点P 在椭圆上,得228344km k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭+226343m k ⎛⎫⎪+⎝⎭=1. 整理得4m2=3+4k2,又Q(-4,-4k+m),∴FQ =(-3,-4k+m).∴OP ·FQ =（-2834km k +,2634mk +）·(-3,m-4k) =22434km k ++2262434m kmk -+ =2264m m =32.即OP ·FQ 为定值32.双曲线与抛物线综合问题及解法1.点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于( )解析:设A(x0,y0),∵A在抛物线上,∴x0+2p=p,∴x0=2p,由2y=2px0得y0=p或y0=-p.∴双曲线渐近线的斜率ba=2pp=2.∴e=ca故选C.答案:C2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,l与双曲线22xa-y2=1(a>0)交于A、B两点,若△FAB 为直角三角形,则双曲线的离心率为( )(C)2+1解析:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l:x=-1.当x=-1时,由21a-y2=1,得y2=-1+21a.∴A（,B（,∴FA=（, FB=（.∵△FAB 为直角三角形,∴FA ·FB =0.即4+1-21a =0, ∴a2=15.∴e=c a =221b a +=211a +=6. 故选B.答案:B圆锥曲线与圆的综合问题及解法1.过双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左焦点F 引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT 交双曲线右支于点P,若T 为线段FP 的中点,则该双曲线的渐近线方程为( )(A)x ±y=0 (B)2x ±y=0(C)4x ±y=0 (D)x ±2y=0解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为F ′,连结OT 、PF ′.∵FT 为圆的切线,∴FT ⊥OT,且|OT|=a,又∵T 、O 分别为FP 、FF ′的中点,∴OT ∥PF ′且|OT|=12|PF ′|,∴|PF ′|=2a,且PF ′⊥PF.又|PF|-|PF ′|=2a,∴|PF|=4a.在Rt △PFF ′中,|PF|2+|PF ′|2=|FF ′|2,即16a2+4a2=4c2,∴22c a =5.∴22ba=22ca-1=4,∴ba=±2,即渐近线方程为y=±2x,即2x±y=0.故选B.答案:B2.已知圆C:x2+y2+6x+8y+21=0,抛物线y2=8x的准线为l,设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m,则m+|PC|的最小值为.解析:由题意得圆的方程为(x+3)2+(y+4)2=4,圆心C的坐标为(-3,-4).由抛物线定义知,当m+|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离,即m+|PC|=()()22324--+-=41.答案:413.如图所示,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的右侧),且|MN|=3,已知椭圆D:22xa+22yb=1(a>b>0)的焦距等于2|ON|,且过点（2,62）.(1)求圆C和椭圆D的方程;(2)若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点,求证:直线NA与直线NB的倾斜角互补.(1)解:设圆的半径为r,由题意,圆心为(r,2),因为|MN|=3,所以r2=（32）2+22=254,r=52,故圆C的方程是（x-52）2+(y-2)2=254①在①中,令y=0解得x=1或x=4, 所以N(1,0),M(4,0).由22,12ccea=⎧⎪⎨==⎪⎩得c=1,a=2,故b2=3.所以椭圆D 的方程为24x +23y =1.(2)证明:设直线l 的方程为y=k(x-4). 由()221,434,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0 ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=223234k k +,x1x2=22641234k k -+.当x1≠1,x2≠1时, kAN+kBN=111y x -+221y x - =()1141k x x --+()2241k x x -- =k ·()()()()()()122112414111x x x x x x --+----=()()1211k x x --·[2x1x2-5(x1+x2)+8]=()()1211k x x --·()22222641216083434k k k k ⎡⎤-⎢⎥-+++⎢⎥⎣⎦ =0.所以kAN=-kBN,当x1=1或x2=1时,k=±12,此时,对方程②,Δ=0,不合题意.所以直线AN 与直线BN 的倾斜角互补.综合检测1.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,若抛物线的准线与双曲线5x2-y2=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于则抛物线的方程为( )(A)y2=4x(B)x2=4y(C)y2=8x (D)x2=8y解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0),则准线方程为x=-2p,双曲线5x2-y2=20的渐近线方程为y=抛物线的准线与双曲线渐近线的交点分别为P1（-2p）,P2（-2p）.∴12POP S =12|P1P2|·2p =12p ·2p∴p2=16,p=4,∴抛物线方程为y2=8x.故选C.答案:C2.已知抛物线y=x2+1与双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的渐近线没有公共点,则此双曲线的离心率可以是( )解析:双曲线的渐近线为y=±ba x, 由2,1,b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得x2-b a x+1=0.∵双曲线的渐近线与抛物线没有交点,∴Δ=（-ba ）2-4<0, 即ba <2.∴双曲线的离心率e=c a所以只有选项A满足条件.故选A. 答案:A3.已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的离心率为2,一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为( )(A)y=±32x (B)y=x(C)y=x (D)y=x解析:抛物线y2=16x的焦点坐标为(4,0), ∴双曲线的半焦距c=4,又e=ca=2,∴a=2.∴,∴双曲线渐近线方程为y=±ba x,即y=答案:D4.已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点A(2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线C2:x2=4y交于B,C两点,抛物线C2在点B,C处的切线分别为l1,l2,且l1与l2交于点P.(1)求椭圆C1的方程;(2)是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由.解:(1)设椭圆方程为22xa+22yb=1(a>b>0),由题意可知=8.∴a=4,b2=a2-c2=12.∴椭圆方程为216x+212y=1.(2)设B（x1,214x）,C（x2,224x）,直线BC的斜率为k,则k=124x x+.由y=14x2,得y′=12x.∴点B、C处的切线l1、l2的斜率分别为12x1,12x2,∴l1的方程为y-214x=12x1(x-x1),即y=12x1x-2114x,同理,l2的方程为y=12x2x-2214x.由2112221,241,24xy x xxy x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得12122,22 3.4x xx kx xy k+⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴P(2k,2k-3).∵|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|,∴点P在椭圆C1:216x+212y=1上,∴()2216k+()22312k-=1.化简得7k2-12k-3=0.(*)由Δ=122-4×7×(-3)=228>0,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P有两个.5.已知A,B分别是椭圆C1:22xa+22yb=1的左、右顶点,P是椭圆上异于A,B的任意一点,Q是双曲线C2:22xa-22yb=1上异于A,B的任意一点,a>b>0.(1)若P,,Q（52,1）,求椭圆C1的方程;(2)记直线AP,BP,AQ,BQ的斜率分别是k1,k2,k3,k4,求证:k1·k2+k3·k4为定值.(1)解:由22225341,25141a ba b⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪-=⎪⎩解得225,4.ab⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C1的方程为25x+24y=1.(2)证明:由题意知A(-a,0),B(a,0),设P(x1,y1),(x1≠±a)则212xa+212yb=1,∴21y=b2（1-212xa）=22ba(a2-21x).设Q(x2,y2),(x2≠±a),则222xa-222yb=1,∴22y=b2（222xa-1）=22ba(22x-a2).∴k1=11yx a+,k2=11yx a-,k3=22yx a+,k3=22yx a-.∴k1·k2+k3·k4=21221yx a-+22222yx a-=()22212221ba xax a--+()22222222bx aax a--=0.即k1k2+k3k4为定值,定值是0.。

专题05 五类圆锥曲线题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1 圆锥曲线中的轨迹方程问题】【题型2 圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题】【题型3 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】【题型4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】【题型5 圆锥曲线中的极点与极线】题型1 圆锥曲线中的轨迹方程问题曲线方程的定义一般地，如果曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系：①曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0F x y =的解；②以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点．此时，把方程(,)0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0F x y =的曲线．求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．y x 、求轨迹方程的方法：定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

直接法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标(,)x y 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P '的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(,)P x y ，用(,)x y 表示出相关点P '的坐标，然后把P '的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l与C 交于D ，E 两点，且12AF F 的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12．（2024·河北·二模）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =(1)若椭圆E过点(，求椭圆E 的标准方程．(2)若直线1l ，2l 均过点()()*,00,n n P p p a n <<∈N 且互相垂直，直线1l 交椭圆E 于,A B 两点，直线2l 交椭圆E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点(),0n Q t ，设13n np =.（ⅰ）求n t ；（ⅱ）记n a PQ =，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．13．（2024·辽宁沈阳·二模）P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．(1)求B '点轨迹Ω的方程；(2)点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．14．（2024·广东佛山·二模）两条动直线1y k x =和2y k x =分别与抛物线()2:20C y px p =>相交于不同于原点的A ，B 两点，当OAB 的垂心恰是C 的焦点时，AB =(1)求p ；(2)若124k k =-，弦AB 中点为P ，点()2,0M -关于直线AB 的对称点N 在抛物线C 上，求PMN 的面积.15．（2024·广东深圳·二模）设抛物线C ：22x py =（0p >），直线l ：2y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线=2y -于点M ．对任意R k ∈，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．(1)求C 的方程；(2)若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN 的面积不小于16．（2024·湖南·一模）已知双曲线2222:1(1)x y C b a a b-=>>的渐近线方程为y =，C 的半焦距为c ，且44244a b c ++=．(1)求C 的标准方程．(2)若P 为C 上的一点，且P 为圆224x y +=外一点，过P 作圆224x y +=的两条切线12,l l （斜率都存在），1l 与C 交于另一点2,M l 与C 交于另一点N ，证明：（ⅰ）12,l l 的斜率之积为定值；（ⅱ）存在定点A ，使得,M N 关于点A 对称．17．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=；(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹Γ交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG 的重心的横坐标为定值．18．（2024·湖北·二模）已知双曲线P 的方程为()()221,,0,,04x y B a C a -=-，其中()()00002,,,0a D x y x a y >≥>是双曲线上一点，直线DB 与双曲线P 的另一个交点为E ，直线DC 与双曲线P的另一个交点为F ，双曲线P 在点,E F 处的两条切线记为121,,l l l 与2l 交于点P ，线段DP 的中点为G ，设直线,DB DC 的斜率分别为12,k k ．(1)证明：12114k k <+≤(2)求GBGC的值．19．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b +=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，(1)证明：12BA BA ⊥；(2)设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值．参考公式：()()3322m n m n m mn n +=+-+20．（2024·山东·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，设C 的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 的直线与C 于,D E 两点，当直线DE 垂直于x 轴时，ADE V 的面积为92．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)连接AD 和AE 分别交圆22(1)1x y ++=于,M N 两点．（ⅰ）当直线DE 斜率存在时，设直线DE 的斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ，求12k k ；（ⅱ）设ADE V 的面积为1,S AMN △的面积为2S ，求12S S 的最大值．21．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的实轴长为2F 到一条渐近线的距离为1．(1)求C 的方程；(2)过C上一点(1P 作C 的切线1l ，1l 与C 的两条渐近线分别交于R ，S 两点，2P 为点1P 关于坐标原点的对称点，过2P 作C 的切线2l ，2l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，求四边形RSMN 的面积．(3)过C 上一点Q 向C 的两条渐近线作垂线，垂足分别为1H ，2H ，是否存在点Q ，满足122QH QH +=，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．22．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线2:=E y x ，过点()1,2T 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，设抛物线E 在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ，已知1l 与x 轴交于点2,M l 与x 轴交于点N ，设1l 与2l 的交点为P .(1)证明：点P 在定直线上；(2)若PMN ，求点P 的坐标；(3)若,,,P M N T 四点共圆，求点P 的坐标.23．（2024·福建漳州·一模）已知过点()11,0F -的直线l 与圆2F ：()22116x y -+=相交于G ，H 两点，GH 的中点为E ，过1GF 的中点F 且平行于2EF 的直线交2G F 于点P ，记点P 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程．(2)若,A B 为轨迹C 上的两个动点且均不在y 轴上，点M 满足OM OA OB λμ=+（λ，μ∈R ），其中O 为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①点M 在轨迹C 上；②直线OA 与OB 的斜率之积为34-；③221λμ+=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．24．（2024·福建福州·模拟预测）点P 是椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.(1)设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF d 为定值，并求出这个定值；(2)12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.25．（2024·福建三明·三模）已知平面直角坐标系xOy 中，有真命题：函数(0,0)ny mx m n x =+≥>的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y mx =和y 轴．例如双曲线4y x=的渐近线分别为x 轴和y 轴，可将其图象绕原点O 顺时针旋转π4得到双曲线228x y -=的图象．(1)求双曲线1y x=的离心率；(2)已知曲线22:2E x y -=，过E 上一点P 作切线分别交两条渐近线于,A B 两点，试探究AOB 面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数y x =Γ，直线:30l x -=，过F 的直线与Γ在第一象限交于,M N 两点，过,M N 作l 的垂线，垂足分别为,C D ，直线,MD NC 交于点H ，求MNH △面积的最小值．26．（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()2,2A 作直线交C 于M ，N 两点，点()1,1B -，记直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .(1)求C 的方程；(2)求()121232k k k k -+的值；(3)设直线BM 交C 于另一点Q ，求点B 到直线QN 距离的最大值.27．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线C :22y px =的焦点F ，直线l 过F 且交C 于两点M N 、，已知当3MF NF =时，MN (1)求C 的标准方程.(2)令,02p F ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，P 为C 上的一点，直线F P '，FP 分别交C 于另两点A ，B .证明：·1AF PF PF BF '='.(3)过,,A B P 分别作C 的切线123,,l l l ， 3l 与1l 相交于D ，同时与2l 相交于E ，求四边形ABED 面积取值范围.28．（2024·河北保定·二模）平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知ABC 的垂心为D ，外心为E ，D 和E 关于原点O 对称，()13,0A .(1)若()3,0E ，点B 在第二象限，直线BC x ⊥轴，求点B 的坐标；(2)若A ，D ，E 三点共线，椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>与ABC 内切，证明：D ，E 为椭圆T 的两个焦点.29．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线22:12x C y -=，直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点.(1)求m 的取值范围；(2)已知C 上存在异于,A B 的,P Q 两点，使得PA PB QA QB t ⋅=⋅=.（i ）当4t =时，求,P Q 到点()2,m m --的距离（用含m 的代数式表示）；（ii ）当2t =时，记原点到直线PQ 的距离为d ，若直线PQ 经过点(),m m -，求d 的取值范围.30．（2024·湖北·一模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，1F 为左焦点，且1ABF(1)求椭圆M 的标准方程：(2)设椭圆M 的右顶点为C 、P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点．（i ）若点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，点D 在椭圆M 上且位于x 轴下方，直线PD 交x 轴于点F ，设APF 和CDF 的面积分别为1S ，2S 若1232S S -=，求点D 的坐标：（ii ）若直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ，求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．【答案】(1)2214x y +=；【分析】（1）根据所给条件求出,a b ，即可得出椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及OA OB ⊥，列出方程求k 即可.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意可知22224c a a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，如图，联立方程2214y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()221440k x +++=，则12122414x x x x k +==+，从而(1212y y kx kx =+()212122k x x x x =+++222414kk-=+，因为,0OA OB OA OB ⊥⋅=，即12120x x y y +=，所以22222424640141414k k k k k --+==+++，解得k =或，经验证知Δ0>，所以k．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，且12AF F的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.【答案】(1)2214x y +=【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出,a b ，得椭圆C 的方程；（2）设直线1l ，2l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和32AB DE =求出DE 和2l 的方程，再求出O 到直线2l 的距离，可求ODE 的面积.【详解】（1）由题意知，222224a c ca b a c ⎧+=+⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,1,a b c ===所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）若直线1l 的斜率不存在，则直线2l 的斜率为0，不满足32AB DE =，直线1l 的的斜率为0，则12,,A F F 三点共线，不合题意，所以直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l的方程为x my =由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得2211044m y y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=1221414y y m =-+，()2241.4m AB m +∴===+同理可得()222214141.1144m m DE m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，由32AB DE =，得()()2222414134214m m m m++=⋅++，解得22m =，则43DE =，∴直线2l的方程为y x =，∴坐标原点O 到直线2l的距离为d ==1423ODE S =⨯= 即ODE【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)存在，3个【分析】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，根据条件得到41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可求出结果；（2）设直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，当1k =时，由椭圆的对称性知满足题意；当21k ≠时，联立直线与椭圆方程，求出,A B 的坐标，进而求出AB 中垂线方程，根据条件中垂线直经过点(0,1)D ，从而将问题转化成方程42710k k -+=解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因为椭圆过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点，所以41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到1,14m n ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知(0,1)D ，易知直线,DA DB 的斜率均存在且不为0，不妨设(0)DA k k k =>，1DB k k=-，直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k =-+，由椭圆的对称性知，当1k =时，显然有DA DB =，满足题意，当21k ≠时，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得到221()204k x kx ++=，所以2814A k x k =-+，222281411414A k k y k k -=-+=++，即222814(,)1414k k A k k--++，同理可得22284(,44k k B k k -++，所以()2222222222222414(4)14(4)(14)1414888(144)5414ABk k k k k k k k k k k k k k k k k k ----+-+--++===++++++，设AB 中点坐标为00(,)x y ，则2220228812(1)1442(4)(14)k kk k k k x k k -+-++==++，22222022144151442(4)(14)k k k k k y k k --+-++==++，所以AB 中垂线方程为222222215512(1)()(4)(14)1(4)(14)k k k k y x k k k k k -+=--++-++，要使ADB 为AB 为底边的等腰直角三角形，则直AB 中垂线方程过点(0,1)，所以222222215512(1)1(0)(4)(14)1(4)(14)k k k k k k k k k -+=--++-++，整理得到42710k k -+=，令2t k =，则2710t t -+=，4940∆=->，所以t 有两根12,t t ，且121270,10t t t t +=>=>，即2710t t -+=有两个正根，故有2个不同的2k 值，满足42710k k -+=，所以由椭圆的对称性知，当21k ≠时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，联立椭圆方程求出,A B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点(0,1)D ，再转化成关于k 的方程的解的问题.4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点,P Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】（1）由题可得()28,,0a E a = ，()()120,,0,B b B b -，1EB ∴的中点为,22a b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221233(,),1,2,2222a b a bEB GB a b b ⎛⎫⋅=-⋅--=-=∴= ⎪⎝⎭ 故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()4y k x =+，由()224182y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222214326480k x k x k +++-=，由()()422Δ10244146480k k k =-+->，得2111,422k k <-<<.设()(),,,M M N N M x y N x y ，则222232648,1414M N M N k k x x x x k k -+=-=++，依题意可知直线,MA NA 的斜率存在，直线MA 的方程为()1122M M y y x x ++=++，令4x =-，得()2442422M M M M P M M k x x y x y x x -+-----==++()()()2184212424221222M M M M M k x k k x k k k x x x ------+--+===---+++，同理可求得42212Q N k y k x +=---+，()N 4242114242422222P Q M N M k k y y k k k x x x x ⎛⎫++∴+=----=---++ ⎪++++⎝⎭()()4424224M N M N M N x x k k x x x x ++=---+⋅+++()22222232414424242(42)064832241414k k k k k k k k k k -++=---+⋅=--++=⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭，∴线段PQ 的中点为定点()4,0-.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=【分析】（1）设点,,P A B 的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得0032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，结合正方形面积得Γ的方程；（2）设:14l y kx k =+-，,,Q M N 的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得,M N 横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得01120244x x x x x x --=--，化简得0243kx k+=+，代入直线方程即可0y ，从而求出定直线方程.【详解】（1）设()()()00,,,0,0,P x y A x B y ，由0000222(,0))()333OP OA x y x y ==+=，得0023x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为正方形ABCD 的面积为29AB =，即22009x y +=，所以223())92x +=，整理可得22143x y +=，因此C 的轨迹方程为22143x y +=．（2）依题意，直线l 存在斜率，设l ：1(4)y k x -=-，即14y kx k =+-，设点()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ()102x x x <<，由22143412y kx kx y =+-⎧⎨+=⎩，消y 得2234(14)12x kx k ++-=，即222(34)8(14)4(14)120k x k k x k ++-+--=，由()()()2222Δ64141634143k k k k ⎡⎤=--+--⎣⎦()()()()()22222216144344834483414k k k k k k ⎡⎤⎡⎤=--+++=+--⎣⎦⎣⎦()()22481282966410k k k k =-++=-++>，k <<所以3k ≠-，可得1228(14)34k k x x k -+=-+，21224(14)1234k x x k --=+，由||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅ ，得||||||||QM EM QN EN =，所以01120244x x x x x x --=--，可得222121201228(14)4(14)124234344()28(14)8()834k k k k k x x x x x k k x x k ⎡⎤---⎡⎤--⎢⎥⎢⎥+++-⎣⎦⎣⎦==--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦()()2222232148142432128128648242432824248k k k k k k k k k k k----+-+-+-+==++-+1632242483k kk k++==++，所以()()200143243914333k k k k ky kx k k k k-++-=+-=+=+++，因为00612393333k kx y k k+-+=+=++，所以点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．【答案】(1)24y x =；(2)(.【分析】（1）先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；（2）先设出()221,2R m m +，进而可求,P Q 的坐标，可得直线//QR x 轴，求出QR 的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）不妨先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，代入22y px =，可得2220y mpy p --=，所以122y y mp +=，212y y p =-，则()21212222MN x x p m y y p m p p =++=++=+，由题意可知当斜率为1时，1m =，又8MN =，即228p p +=，解得2p =，所以C 的方程为24y x =；（2）由（1）知2p =，直线l 的方程为1x my =+，抛物线方程24y x =，124y y m +=，124y y =-所以R 的纵坐标1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得221x m =+，所以R 的坐标()221,2m m +，易知抛物线的准线为=1x -,又因为l 与C 的准线交于点P ，所以P 的坐标21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则直线OP 的方程为2m x y =，把2mx y =代入24y x =，得22y my =，即2y m =或0y =，因为点Q 异于原点，从而Q 的纵坐标为2m ，把2y m =代入2m x y =，得22mx y m ==，所以()2,2Q m m ，因为R 的坐标()221,2m m +，所以R ，Q 的纵坐标相同，所以直线//QR x 轴，且222211QR m m m =+-=+，所以MNQ △面积1212MNQ MRQ NRQ S S S QR y y =+=- ，因为()22212121241616y y y y y y m -=+-=+，所以12y y -==，所以()332222112122MNQS m m QR =+⨯=+= ，因为点Q 异于原点，所以0m ≠，所以210m +>，因为3QR ≤，所以13QR <≤，所以3222QR <≤MNQ △面积的取值范围为(.7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.【答案】(1)1(2)221499x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线AB 的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】（1）设直线AB 的方程为()()()11220,,,,x my t m A x y B x y =+>，则()()11,,,0C x y M t -，由24x my ty x =+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my t --=，()22Δ1600m t m t =+>⇒+>，所以12124,4y y m y y t +==-，直线BC 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，化简得1221214y y xy y y y y =---，令0y =，得124Q y y x t ==-，所以(),0Q t -因此1OM t OQt==-.（2）因为点Q 的横坐标为1-，由（1）可知，()()1,0,1,0Q M -，设QA 交抛物线于D ，()()()()11221144,,,,,,,A x y B x y C x y D x y -，如图所示又由（1）知，124y y =-，同理可得144y y =，得42y y =-，又()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()22212121214416y y y y x x =⋅==，又()()22111,,1,MB x y MC x y =-=-- ，则()()()221121212111444MB MC x x y y x x x x m ⋅=---=-+++=- ，故2844,9m -=结合0m >，得m =所以直线AB的方程为330,x -=又12163y y -===，则141414221214141412443444AD y y y y y y k y y x x x x y y y y ---======--+--，所以直线AD 的方程为3430x y -+=，设圆心(,0)(11)T s s -<<,因为QM 为AQB ∠的平分线，故点T 到直线AB 和直线AD 的距离相等，所以333354s s +-=，因为11s -<<，解得19s =，故圆T 的半径33253s r +==，因此圆T 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【答案】(1)23122y x x =-+；(2)0b <或1b >；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平移公式可得曲线2C 的方程，然后与直线MN 的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，求导可得在点,M N 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得(1,)PA x y =-- ，(,1)PB x y =-- ，(1,1)PC x y =--，则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--+，又2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+--++--+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =-+．（2）由（1）知2131:22C y x x =-+，又31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴平移公式为34116x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫-=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2y x ¢¢=．曲线2C 的方程为2y x =．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b --=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b +=⎧⎨=-⎩，()()21111,,OM x y x x ∴== ，()()22222,,ON x y x x == ，又MON ∠ 为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅ ，2212120x x x x ∴+>，又12x x b =-，2()0b b ∴-+->，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x kx x b +=⎧⎨=-=-⎩，对2y x =求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x -=-，()2222:2N l y x x x x -=-，由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧-=-⎪≠⎨-=-⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ．满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，R ∴点在定直线=2y -上．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E 的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.【答案】(1)2213x y -=(2)①⎫⎪⎪⎭；②27π16S >且7π4S ≠【分析】（1）根据渐近线方程及顶点求出,a b 得双曲线方程；（2）①设(),0D t ，由四点共圆可得1AG OH k k ⋅=，根据斜率公式转化为,B C 点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出t ；②求出G 点坐标得出OG ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），从而渐近线方程为：b y x a =±，由题条件知：b a =因为双曲线的左顶点为()A ，所以a =1b =，所以双曲线的方程为：2213x y -=.（2）如图，①(),0D t ，设直线BC 的方程为：my x t =-，将x my t =+代入方程：22330x y --=，得()2223230m y mty t -++-=，当230m -≠且()22Δ1230t m =+->时，设()11,B x y ，()22,C x y ，则12223mt y y m +=--，212233t y y m -=-.设直线AG 的倾斜角为α，不妨设π02α<<，则π2AGH α∠=-，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：HOD AGH ∠=∠，所以直线OH 的倾斜角为π2α-，πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OH k k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.直线AC的方程为：y x =，令x t =，则y =H t ⎛ ⎝，所以OH k=AGABk k==1=((1212t y y t x x ⇒=，又11x my t =+，22xmy t =+代入上式得：((1212t y yt my t my t =++，((()(22121212t y y t m y y m t y y t ⎡⎤⇒=+++⎢⎥⎣⎦，(((2222222332333t t mtt t m m t t m m m ⎛⎤---⇒⋅=⋅+⋅++ ⎥---⎝⎦，化简得：2430t +-=，解得：t =（舍）或t =故点D 的坐标为⎫⎪⎪⎭.②直线AG 的方程为(tan y x α=⋅，由①知：t =所以G α⎫⎪⎪⎭.直线OH 方程；1tan y x α=，所以H ，若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan 0α>α>若G ，H 在x 轴下方时，即t an 0α<α<所以tan α>tan α<又直线AG 与渐近线不平行，所以tan α≠所以0πα<<，tan α>tan α<tan α≠因为OG ==设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2sin OG R α==所以()()()2222222125tan 125tan sin cos 3164sin 64sin R αααααα+⋅++=⨯=⨯()()22222125tan 1tan 33125tan 2664tan 64tan ααααα++⎛⎫=⨯=++ ⎪⎝⎭327266416⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22125tan tan αα=即tan α=tan α>tan α<tan α≠所以22716R >且274R ≠，从而27π16S >且7π4S ≠.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OHk k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．【答案】(1)y x =(2)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F ，且4p b =，得2c b =，a ，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出11||||OP OQ +和11||||AF BF -，由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭求λ的取值范围．【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有2pc =，又4p b =，则2c b =.由222+=a b c，得a ，所以E的渐近线的方程为y =（2）设:l x my c =+，()()1122,,,P x y Q x y ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有23m <，由x my cy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1y =2y =，11112OP OQ y +=+设()()3344,,,A x y B x y ， 由22x my cy px=+⎧⎨=⎩，消去x 得2220y pmx p --=，则有234342,y y pm y y p +==-，1AF2p =由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭，2pc =，有2p λ==由23m <⎡∈⎢⎣，所以10,2λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）证明见解析；（ii ）是，12【分析】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，利用坐标可得曲线C 的方程；（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组可得1221231my y m +=--，122931y y m =-，求得直线AM ：()1111y y x x =++，求得P ，H ，进而可得Q 的坐标，求得FQ 的坐标，直线MN 的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.(ii) 法一：利用（i ）可求得()226113mMN m +=-；QF=()()322329112213m S MN QF m+=⋅=-，进而求得()1212114S S PH x x +=⋅+-，代入运算可求得()()32212291413m S S m++=-，可求结论.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得1218S S PH MN +=⋅，又312S MN QF =⋅，12314PH S S S QF +=，进而计算可得结论成立.【详解】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，则由题意可知：()2222222212444441123y x y x x x y x x x ⎛⎫-+=-⇒-++=-+⇒-= ⎪⎝⎭，故曲线C 的方程为2213y x -=.（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，其中m <<且11x >，21x >()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩，故1221231my y m +=--，122931y y m =-；直线AM ：()1111y y x x =++，当12x =时，()11321y y x =+，故()1131,221y P x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y H x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，Q 为PH 中点，故()()()()1221121212111332211411Q y x y x y y y x x x x +++⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪++++⎝⎭；()()()()()()222212121212293693111333931m m m x x my my m y y m y y m -+-++=++=+++=-2931m =--；（*）()()()()()122112211212221836181133233131m m my x y x y my y my my y y y m m -+++=+++=++==---；故3183492Q m m y =⋅=，即13,22m Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则33,22m FQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，直线MN 的方向向量(),1a m =，33022m m a FQ ⋅=-+= ，故QF MN ⊥.(ii)法一：12y y -===（**）故()2226113m MN y m +=-=-；QF==又QF MN ⊥，故()()322329112213mSMN QF m+=⋅=-.()12121211111122224S S PQ x HQ x PH x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅-+⋅-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()222121222311293133113m m m x x m y y m m +-+-+-=++==--；()()()()()()1221121212113332121211y x y x y y PH x x x x +-+=-=++++，()()()()()()12211212123339211211y my y my y y x x x x +-+-==++++，由（*）知()()12291113x x m ++=-，由（**）知12y y -=，故291329m PH -==故()()()3222122231911413413m mS S m m+++=⋅=--，则12312S S S +=.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故()()12121111488S S PH x x PH MF NF PH MN +=+-=⋅+=⋅，又312S MN QF =⋅，故12314PH S S S QF +=，又()()12129411P H y y y y x x =++，且由（*）知229993194431P Hm y y m -==--，记直线PH 与x 轴相交于点K ，由94P Hy y =可得2PK HK FK ⋅=，即PK FK FK HK =，即PKF PFH ∽△△，故PF HF ⊥；又Q 为PH 的中点，故12QF PH =，即1231142PH S S S QF +==.【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可设出直线方程．。

专题10 圆锥曲线（高考押题）2017年高考数学（理)考纲解读与热点难点突破1．已知点A是抛物线C:x2＝2py（p＞0)上一点，O为坐标原点，若以点M(0，8）为圆心,|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A, B两点，且△ABO为等边三角形，则p的值是（)A。

错误!B．2 C．6 D。

错误!【答案】D【解析】由题意知｜MA｜＝|OA｜,所以点A的纵坐标为4,又△ABO 为等边三角形，所以点A的横坐标为错误!，又点A是抛物线C上一点,所以错误!＝2p×4，解得p＝错误!。

2．已知焦点在x轴上的椭圆方程为错误!＋错误!＝1，随着a的增大该椭圆的形状（）A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆【答案】D【解析】由题意知4a＞a2＋1且a＞0，解得2－3＜a＜2＋错误!，又e2＝1－错误!＝1－错误!＝1－错误!错误!.因此当a∈（2－错误!，1）时,e越来越大，当a∈（1，2＋错误!)时，e越来越小，故选D.3．已知F1,F2分别是双曲线错误!－错误!＝1（a＞0,b＞0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2｜2＝8a｜PF1|（a为实半轴），则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A．(1，＋∞）B．（2,3]C．（1，3］D．(1，2]【答案】C4．抛物线y2＝2px(p＞0）的焦点为F，已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则错误!的最大值为（）A.错误!B．1C。

错误!D．2【答案】A【解析】设AF＝a,BF＝b，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab≥（a＋b）2－错误!2＝错误!（a＋b）2。

∵a ＋b＝AF＋BF＝2MN，∴｜AB｜2≥错误!｜2MN|2，∴错误!≤错误!。

5．过点A（0,1)作直线，与双曲线x2－错误!＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为（)A．0 B．2C．4 D．无数【答案】C【解析】过点A（0，1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条,过点A(0，1)和双曲线相切的直线只有一个公共点,这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．6．椭圆y2＋错误!＝1（0＜m＜1)上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是（）A.错误!B．错误!C。

第一章 代代相传的生命 第1节 新生命的诞生 课堂追踪训练1.精子和卵细胞 （1）精子和卵细胞是人体中的 细胞。

（2）精子和卵细胞的比较。

精子卵细胞结构 大小长约0.05毫米直径为0.1毫米，是人体内 的细胞形态 形 形其他有尾巴，能游动2.人的生殖系统 （1）人的生殖系统的功能是 。

（2）男性的生殖系统主要由 、 、 、 、 、 等器官组成。

其中 是男性的主要生殖器官，能产生 。

（3）女性的生殖系统主要由 、 、 、 等器官组成。

其中 是女性的主要生殖器官，能产生 。

3.受精与妊娠 （1）受精：精子和卵细胞在 中结合形成 的过程。

受精的场所是 。

卵巢产生的卵子沿输卵管往下输送，若在此处遇到沿输卵管向上游动的精子，就会结合，完成受精作用。

受精时一个精子的头部进入卵细胞膜内， 与 融合，形成受精卵。

（2）一般情况下，一个卵子只能接受 个精子。

受精卵形成后，也进行细胞分裂，边沿输卵管往下移动，进入子宫，在子宫内膜，这样妇女就怀孕了，也称为 。

4.胚胎的发育 （1） 是胚胎主要的、最终的发育场所。

胚胎发育过程需要大量的营养物质，早期胚胎发育所需的营养来自卵细胞质中的 ，以后胚胎通过 和 从 吸取营养和氧气，并将代谢废物排入母体血液。

（2）胚胎发育的开端是 分裂，到60天左右时，器官和系统基本形成，初具人形，成为 。

（3）整个胚胎发育过程需 天左右，胎儿从母体内产出的过程叫 ，分娩出来的胎儿叫 。

婴儿出生后的第一声大哭能使婴儿的肺部去除 ，从而启动 运动。

（4）孕妇要担负起胎儿和她自身两个人的新陈代谢的物质交换任务，在消化、呼吸、循环和排泄等方面的负担很重，所以孕妇要注意 、 等。

刚出生的婴儿应喂以母乳。

5.新生命都是从 发育而来。

人的受精卵是通过 和 相互结合而产生的。

精子和卵细胞属于 细胞，它们的细胞核内携带着 。

受精卵含有形成新个体所有的 。

6.请将下列器官的名称与相应的功能连线。

考前30天之备战高考理数冲刺押题系列 专题05 圆锥曲线（上）（教师版）【名师备考建议】鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点，名师给出以下四点备考建议：1、 主观形成圆锥的知识结构；椭圆、双曲线、抛物线，在这三类曲线身上是有很多的基本性质具有相关性，因此，在复习备考的过程中，应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识，形成一张深刻记忆的知识列表；同时对基本的题型也要有一定的把握；2、 认真研究三年高考的各种题型；由于圆锥曲线的难度系数较高，不易把握，但仍然有理可循；复习备考的过程中，无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向，至于从何研究，可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示，努力理清每一道问题的思路、做法，这样可以有效的培养解题意识；3、 熟练掌握部分题型的解题模式；三轮复习中，由于做题的经验得到一定的积累，多多少少对题目的解题方法和手段有了一定的认识，比如，直线与圆锥曲线的问题，大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题，这是一种模式；再比如，圆锥曲线的探究性问题，可以先采用一些特殊值进行计算，得到结论以后加以证明；这都是必须熟练掌握的解题模式；4、 调整对待圆锥曲线的心理状态；由于圆锥曲线问题的综合性较强，并且经常作为倒二题出现，这就要求学生合理的分配自己的时间；如果实在无法求解，无须在此问题上进行逗留，以免失去了做压轴题和检查的时间；对于优等生来说，必须精益求精；对于中等生来说，只需尽其所能；对于差等生来说，一定不必强求.【高考冲刺押题】【押题1】如图，已知椭圆2222b y ax +1=（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点(0,)A b - 和(,0)B a 的直线与原点的距离为23.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点(1,0)E -，若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在实数k ，使以CD 为直径的圆过E 点? 如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【押题2】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足716=⋅ON OM （其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．【详细解析】（1）∵椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e∴7164348644348484316222222121=+-=+-++=+=⋅kk k k k y y x x ON OM【押题3】如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（1）求12y y 的值；（2）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12kk 为定值．【深度剖析】押题指数：★★★★★名师思路点拨：（1）因为直线直线AB 不平行于x 轴，所以设AB 的方程为2x my =+，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系可以算出128y y =-；（2）11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，44(,)N x y ，可知112234k y y k y y +=+，再将这个式子与（1）中结论配合证明即可. 名师押题理由：本题考查了探究性的定值问题，需要化归与转化能力：1、直线的方程；2、根与系数的关系；3、两点间的斜率公式；4、抛物线的方程.【押题4】已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为12，一个焦点是()1,0-,过直线:4l x =上一点M 引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A ，B.（1）求椭圆Ω的方程；（2）若在椭圆Ω：()222210x y a b a b +=>>上的点()00,x y 处的切线方程是00221x x y ya b+=.求证:直线AB 恒过定点C ，并出求定点C 的坐标.（3）是否存在实数λ，使得AC BC AC BC λ+=⋅恒成立？（点C 为直线AB 恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.所以()221212221212121131133999y y y y AC BC y y y y y y t t t -⎛⎫-+=⋅-=⋅=-⋅⎪+++⎝⎭222222261081212311449144427939912t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+++⨯⎝⎭=-⋅=⋅=-+++， 即43AC BC AC BC +=⋅，故存在实数43λ=，使得AC BC AC BC λ+=⋅.【押题5】已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32,Q 为椭圆C 的左顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.① 若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;② 若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.【详细解析】（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222ab c .由题意可知：1b，32c a ；解得24a ；∴ 椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-.∴QA QB ⊥. 即QAB ∆为直角三角形.假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA QB =.【深度剖析】押题指数：★★★★★名师思路点拨：（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由“椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32,”可以求出椭圆方程；（2）（ⅰ）联立直线与椭圆的方程，算出A ，B 两点的坐标，可以求得AQ BQ ⊥，由此确定角度；（ⅱ）联立直线和椭圆的方程，可以求得∴ QA QB ⊥,即QAB ∆为直角三角形；取AB 的中点M ，连接QM ，要是QAB ∆为等腰三角形，则QMAB ，转为为证明这两个向量的数量积是否为0即可.名师押题理由：本题体现向量背景下的圆锥曲线问题，知识点综合性强： 1、直线的方程；2、椭圆的方程；3、椭圆的参数关系；4、椭圆的离心率； 5、根与系数的关系；6、向量数量积的基本运算；7、等腰三角形的性质.【名校试题精选】【模拟训练1】如图，已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴上，抛物线上的点A 到F 的距离为2，且A 的横坐标为1. 过A 点作抛物线C 的两条动弦AD 、AE ，且AD 、AE 的斜率满足 2.AD AE k k ⋅=（1） 求抛物线C 的方程；（2） 直线DE 是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标； 若不过某定点，请说明理由.12122()4y y y y ++=，所以21n m =-，代入DE 方程得：21x my m =+-，即(2)1y m x +=+………………………………………12分故直线DE 过定点(1,2).--…………………………………………………14分【深度剖析】名校试题来源：-2013陕西省西安一中高三上学期期末测试 难度系数：★★★ 综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）利用抛物线的定义可以求出p ，进而求出抛物线的方程；（2）先求出直线DE 的方程“x my n =+”，利用“2AD AE k k ⋅=”得到关于m 、n 的数量关系，进而得到定点的坐标.【模拟训练2】已知椭圆,22)0(1:2222=>>=+e b a by a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、F 2，点)3,2(P ，点F 2在线段PF 1的中垂线上。

卜人入州八九几市潮王学校圆锥曲线方程知识点总结精华 考试内容：椭圆及其HY 方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程． 双曲线及其HY 方程．双曲线的简单几何性质． 抛物线及其HY 方程．抛物线的简单几何性质． 考试要求：〔1〕掌握椭圆的定义、HY 方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． 〔2〕掌握双曲线的定义、HY 方程和双曲线的简单几何性质． 〔3〕掌握抛物线的定义、HY 方程和抛物线的简单几何性质． 〔4〕理解圆锥曲线的初步应用． 圆锥曲线方程知识要点 一、椭圆方程. 1.椭圆方程的第一定义： ⑴①椭圆的HY 方程：i.中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a b y a x =+.ii.中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx a y =+.②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+.③椭圆的HY 参数方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 〔一象限θ应是属于20πθ〕.⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或者)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或者),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2±=或者ca y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.⑦焦点半径： i.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，那么 由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，那么 由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减〞.注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222a b c a b d -=和),(2ab c⑶一共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为一共离心率的椭圆系方程. ⑸假设P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，假设θ=∠21PF F ，那么21F PF ∆的面积为2tan 2θb 〔用余弦定理与a PF PF 221=+可得〕.假设是双曲线，那么面积为2cot 2θ⋅b .二、双曲线方程. 1.双曲线的第一定义： ⑴①双曲线HY 方程：)0,(1),0,(122222222 b a bx ay b a by ax =-=-.)0 AC . ⑵①i.焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a -焦点：)0,(),0,(c c -准线方程c a x 2±=渐近线方程：0=±b ya x 或者02222=-b y a xii.焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -.焦点：),0(),,0(c c -.准线方程：c a y 2±=.渐近线方程：0=±bx a y 或者02222=-b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或者⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a ,虚轴长为2b ，焦距2c.③离心率ace =.④准线距c a 22〔两准线的间隔〕；⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF asin α,)α)N 的轨迹是椭圆通径a b 22.⑤参数关系a c e b a c =+=,222.⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222=-b y a x 〔21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或者分别为双曲线的上下焦点〕 “长加短减〞原那么：aex MF a ex MF -=+=0201构成满足aMF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201〔与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号〕⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-2=e .⑷一共轭双曲线：.λ=-2222by a x 与λ-=-2222b y ax 互为一共轭双曲线，它们具有一共同的渐近线：02222=-by a x . ⑸一共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλby ax 的渐近线方程为02222=-by ax 假设双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x . 例如：假设双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ，代入)21,3(-得12822=-y x .⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.〔2〕假设直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺假设P 在双曲线12222=-b y a x ，那么常用结论1：P 到焦点的间隔为m=n ，那么P 到两准线的间隔比为m ︰n.简证：ePF e PF d d 2121==n m . 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的间隔等于b. 三、抛物线方程.3.设0 p ，抛物线的HY 方程、类型及其几何性质：注：①x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.②)0(22≠=p px y 那么焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 那么焦点半径为2P y PF +=.③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.④px y 22=〔或者py x 22=〕的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222〔或者⎩⎨⎧==222pt y ptx 〕〔t 为参数〕.四、圆锥曲线的统一定义..4.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的间隔之比为常数e 的点的轨迹. 当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线； 当0=e 时，轨迹为圆〔ace =，当b a c ==,0时〕. 5.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的HY 方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的. 因为具有对称性，所以欲证AB=CD,即证AD 与BC 的中点重合即可. 注：椭圆、双曲线、抛物线的HY 方程与几何性质1.椭圆、双曲线、抛物线的HY方程的其他形式及相应性质.2.等轴双曲线3.一共轭双曲线5.方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.6.一共渐近线的双曲线系方程.试题精粹2021年高考数学联考试题5．〔2021届苏北四HY次联考〕假设椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为▲．1162522=+y x 或者1251622=+y x9．〔2021届苏北四HY 次联考〕圆O ：221x y +=与x 轴交于点A 和B ，在线段AB 上取一点(,0)D x ，作DCAB ⊥与圆O 的一个交点为C ，假设线段AD 、BD 、CD 可作为一个锐角三角形的三边长，那么x的取值范围为▲．(2,2)12．〔姜堰二情调查〔三〕〕椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C 、D的坐标分别是())0,0，那么PD PC⋅的最大值为．68．〔2021届高三第一次调研测试〕双曲线221412x y -=上一点M 到它的右焦点的间隔是3，那么点M 的横坐标是▲．523、〔六所重点高中联考试卷〕方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，那么m 的取值范围是▲0<m9、〔六所重点高中联考试卷〕椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的中心为O A x 轴的交点为H ，那么||||FA OH 的最大值为▲ 12、〔高三12月联考〕椭圆()222210x y a a b+=＞b ＞的左焦点为F ，其左准线与x 轴的交点为A ，假设在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F,那么椭圆离心率的取值范围是；[12，1〕 1． 〔1月期末调研〕设双曲线的渐近线方程为230x y ±=，那么双曲线的离心率为▲．2或者310．〔12月高三调研〕,,A B F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点和右焦点，直线AF 与椭圆的右准线交于点M ，假设直线MB ∥x 轴，那么该椭圆的离心率e =▲.212．〔HY 次调研〕在ABC ∆中,60ACB ∠=,sin :sin 8:5A B =,那么以,A B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为▲.71310.〔苏北四2021届高三第二次调研〕双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右〞四个区域〔不含边界〕，假设点(1,2)在“上〞区域内，那么双曲线离心率e 的取值范围是▲．(18．〔天一、、2021届高三调研考试〕〔本小题总分值是16分〕如图，椭圆12:22=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，下顶点为A ，点P 是椭圆上任一点，圆M 是以2PF 为直径的圆．⑴当圆M 的面积为8π，求PA 所在的直线方程；⑵当圆M 与直线1AF 相切时，求圆M 的方程；⑶求证：圆M 总与某个定圆相切． 解⑴易得()0,11-F ，()0,12F ，()1,02-A ，设()11,y x P ，那么()()()2121212121222212111-=-+-=+-=x x x y x PF ，∴()22222112≤≤--=x x PF ，……………………………………………………2 又圆M 的面积为8π，∴()21288-=x ππ，解得11=x ，∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,1P 或者⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,1， ∴PA 所在的直线方程为1221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 或者1221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y ；…………………………4 ⑵∵直线1AF 的方程为01=++y x ，且⎪⎭⎫⎝⎛+2,2111y x M 到直线1AF 的间隔为111422221221x y x -=+++，化简得1211--=x y ，…………………………6 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1212212111y x x y ，解得01=x 或者981-=x ．…………………………8 当01=x 时，可得⎪⎭⎫⎝⎛-21,21M ，∴圆M 的方程为21212122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ； (9)当981-=x 时，可得⎪⎭⎫⎝⎛187,181M ，∴圆M 的方程为16216918718122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ；…10 ⑶圆M 始终与以原点为圆心，半径21=r 〔长半轴〕的圆〔记作圆O 〕相切．证明：∵()()121212121422284141441x x x yx OM +=-++=++=，……………14 又圆M 的半径1224222x MF r -==，∴21r r OM -=， ∴圆M 总与圆O 内切．…………………………………………16 24．〔天一、、2021届高三调研考试〕抛物线L 的方程为()022>=p py x，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有一样的切线．假设存在，求出点C 的坐标；假设不存在，请说明理由． 答案：解：⑴由⎩⎨⎧==py x xy 22解得)2,2(),0,0(p p B A ∴p p p AB 22442422=+==，∴2=p (4)⑵由⑴得)4,4(),0,0(,42B A y x =假设抛物线L 上存在异于点A 、B 的点C )4,0()4,(2≠≠t t t t ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C处有一样的切线令圆的圆心为),(b a N ，那么由⎩⎨⎧==NC NA NB NA 得⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+-+-=+222222222)4()()4()4(t b t a b a b a b a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+83248481244222t t b tt a t t tb a b a (6)∵抛物线L 在点C 处的切线斜率)0(2|≠='==t ty kt x又该切线与NC 垂直，∴0412212432=--+⇒-=⋅--t t bt a t t a t b ∴08204128324)84(223322=--⇒=--++⋅++-⋅t t t t t t t t t t (8)∵4,0≠≠t t，∴2-=t故存在点C 且坐标为〔-2,1〕…………………………………………10 17．〔2021届苏北四HY 次联考〕(本小题总分值是14分)椭圆2214x y +=的左、右两个顶点分别为A ，B ，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C 1与圆C 2． (1)求证：无论t 如何变化，圆C 1与圆C 2的圆心距是定值； (2)当t 变化时，求圆C 1与圆C 2的面积的和S 的最小值．17、解：〔1〕易得A 的坐标)0,2(-,B 的坐标)0,2(，M 的坐标(t ，线段AM 的中点P )44,22(2tt --， 直线AM 的斜率tt t t k +-=+-=222122421………………………………………3分又AM PC ⊥1,∴直线1PC 的斜率ttk -+-=2222 ∴直线1PC 的方程44)22(2222t t x t t y -+---+-=，∴1C 的坐标为)0,863(-t 同理2C 的坐标为)0,863(+t ……………………………………………………7分 ∴2321=C C ,即无论t 如何变化，为圆C 1与圆C 2的圆心距是定值.……………9分 〔2〕圆1C 的半径为1AC 8103+=t ，圆2C 的半径为83102tBC -=，那么)1009(3222221+=+=t BC AC S πππ〔2-＜t ＜2〕显然t0=时，S 最小，825minπ=S .……………14分18.〔2021届高三数学调研〕〔15〕直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点〔如图〕．〔1〕过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的14，求直线1l 的方程； 〔2〕求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公一共点的椭圆方程；〔3〕过M 点的圆的切线2l 交〔II 〕中的一个椭圆于C D 、两点，其中C D 、两点在x 轴上方，求线段CD 的长．18、解：〔1I 〕PQ 为圆周的1,.42POQ π∴∠=O ∴点到直线1l 设1l 的方程为21(2),.7y k x k =+=∴= 1l ∴的方程为2).y x =+ 〔2〕设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，半焦距为c ，那么22.a c =椭圆与圆O 恰有两个不同的公一共点，那么1a =或者 1.b =当1a =时，22213,,24c b a c ==-=∴所求椭圆方程为22413y x +=；当1b =时，222222,1, 2.b c c c a b c +=∴=∴=+=∴所求椭圆方程为22 1.2x y +=〔3〕设切点为N ，那么由题意得，椭圆方程为221,2x y +=在Rt MON ∆中，2,1MO ON==，那么30NMO ∠=，2l ∴的方程为2)y x +，代入椭圆2212x y +=中，整理得25820.x x ++=设1122(,),(,)C x y D x y ，那么121282,.55x x x x +=-=18．〔姜堰二情调查〔三〕〕〔本小题一共16分〕椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．〔1〕①假设圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②假设椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围； 〔2〕设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ONOM+为定值．18．解：〔Ⅰ〕〔ⅰ〕∵圆O 过椭圆的焦点，圆O ：222xy b +=，∴b c =，∴2222ba c c =-=，∴222ac =，∴2e =．………5分〔ⅱ〕由90APB ∠=及圆的性质，可得2OP b =，∴2222,OP b a =≤∴222a c ≤∴212e ≥，212e ≤<．………10分 〔Ⅱ〕设()()()001122,,,,,Px y A x y B x y ，那么011011y y x x x y -=--整理得220011x x y y x y +=+22211x y b +=∴PA 方程为：211x x y y b +=，PB 方程为：222x x y y b +=．∴11x x y y +=22x x y y +，∴021210x y y x x y -=--,直线AB 方程为()0110x y y x x y -=--，即200x x y y b +=． 令0x =，得20b ON y y ==，令0y =，得2b OM x x ==，∴2222222220022442a yb x a b a b a b b bON OM ++===，∴2222a b ON OM+为定值，定值是22a b ………16分19．〔姜堰二情调查〔三〕〕〔本小题一共16分〕M 〔p,q 〕为直线x+y-m=0与曲线y=-的交点， 且p<q ，假设f 〔x 〕=，λ、μ为正实数。

考前30天之备战2012高考数学冲刺押题系列五 解析几何（理）教师版【命题趋势】：解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用．圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．【方法与技巧】⇒⎩⎨⎧双曲线直线l二次项系数为0，表示平行于渐近线的两条直线；二次项系数为0，△=0 l⎧⎨⎩直线抛物线⇒二次项系数为0，表示平行于对称轴的一条直线；二次曲线不为0，△=0(2)定点处理思路；(3)①设参数方程；椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的参数方程是：为参数）θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x ；圆222()()x a x b r -+-=的参数方程：为参数）θθθ(sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x ②抛物线22(0)y px p =≠上的动点可设为：),2(020y p y P 或)2,2(2pt pt P 或),(00y x P ，其中0202px y =，以简化计算.3、角(1)余弦定理;(2)到角公式:( 3)向量的夹角公式4、直线与圆锥曲线(1)直线与圆锥曲线问题解法： 1.直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解.【运算规律】：直线与圆锥曲线位置关系运算程式(1)已知曲线22221x y ab±=(221Ax By +=)与直线y kx m=+方程联立得：222222222()20b k a x mka x a m a b ±-±-=(222()210A Ba x Bmkx Bm +-+-=) 【注意】：当曲线为双曲线时，要对222()b k a -与0进行比较.2222222222422242(2)4()()444mka b k a a m a b a b b a m a b ∆=--+-=-+由根与系数关系知：2222212122222222;mkaa m ab x x x x b k ab k a-+==++【后话】:联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解时，注意以下问题：①联立的关于“x ”还是关于“y ”的一元二次方程？②二次项系数系数为0的情况讨论了吗？③直线斜率不存在时考虑了吗？④判别式验证了吗？(2)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 :AB =或12||AB x x ==-12||y y =-=21221221224)(11))(11(||y y y y ky y k AB -++=-+= 【注】：弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程{(,)0y kx b F x y =+= 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率，12||x x -=(3)抛物线的切线方程①抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. ②过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.③抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.6、求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =，是求轨迹的最基本的方法.⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法).⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.7、定义解题①椭圆：第一定义：平面上一动点P 到平面上两个定点F 1、F 2的距离和为定值，且|PF 1|+|PF 2|>|F 1F 2|,则P 点轨迹为椭圆。