《勾股定理中考十三大考点》 经典

勾股定理知识点一：勾股定理1、勾股定理的内容及其应用范围勾股定理：在R t△ABC三角形中，若∠C=90°,则a2+b2=c2.它应用于任何形状的直角三角形。

注意：在用勾股定理时，要看清楚直角边和斜边（常用分类讨论）例1、已知直角三角形ABC中，AB=3cm，BC=4cm.试求AC的长.知识点二：勾股定理逆定理的内容及其基本应用程序勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

作用于判定某个三角形是否为直角三角形。

判定的一般步骤：（1）先确定最大边（如c）；（2）验证c2与a2+b2是否相等，若a2+b2=c2，则∠C=90°。

否则不是！知识点三：勾股定理的应用考点1：已知两边求第三边例1 一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm，如图1，则吸管长 cm.考点2：勾股定理与方程联手求线段的长例2 如图2，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是 .考点3：用勾股定理逆定理判别一个三角形是否是直角三角形例3 若一个三角形的周长123cm，一边长33cm，其他两边之差为3cm，则这个三角形是 .考点4：规律探索型问题例4 在直线l上依次摆放着七个正方形，如图4.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S 1+S2+S3+S4= .。

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。

勾股定理的证明常用拼图的方法。

通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。

2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。

3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。

勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。

勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。

在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。

同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。

勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。

如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。

勾股定理的实际应用有很多。

例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。

现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。

同时梯子的顶端B下降至B′。

那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。

又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。

设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。

初中数学：勾股定理全章知识点总结⼤全及重点题型基础知识点1：勾股定理　直⾓三⾓形两直⾓边a、b的平⽅和等于斜边c的平⽅。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直⾓三⾓形三边之间的关系，是直⾓三⾓形的重要性质之⼀，其主要应⽤：（1）已知直⾓三⾓形的两边求第三边（2）已知直⾓三⾓形的⼀边与另两边的关系，求直⾓三⾓形的另两边（3）利⽤勾股定理可以证明线段平⽅关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三⾓形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定⼀个三⾓形是否是直⾓三⾓形的⼀种重要⽅法，它通过“数转化为形”来确定三⾓形的可能形状，在运⽤这⼀定理时应注意：（1）⾸先确定最⼤边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直⾓的直⾓三⾓形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝⾓的钝⾓三⾓形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐⾓三⾓形）。

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直⾓三⾓形的性质定理，⽽其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直⾓三⾓形有关。

4：互逆命题的概念 如果⼀个命题的题设和结论分别是另⼀个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中⼀个叫做原命题，那么另⼀个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明　勾股定理的证明⽅法很多，常见的是拼图的⽅法　⽤拼图的⽅法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，⾯积不会改变②根据同⼀种图形的⾯积不同的表⽰⽅法，列出等式，推导出勾股定理规律⽅法指导1．勾股定理的证明实际采⽤的是图形⾯积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直⾓三⾓形的三边的数量关系，可以⽤于解决求解直⾓三⾓形边边关系的题⽬。

3．勾股定理在应⽤时⼀定要注意弄清谁是斜边谁直⾓边，这是这个知识在应⽤过程中易犯的主要错误。

初中勾股定理知识点总结一、勾股定理的表达勾股定理可以简单地表达为：直角三角形中，直角边的平方等于两直角边的平方和。

数学符号表达为：设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。

勾股定理也可以表示为：由两垂直直线所围成的四边形中，两条相对的边的平方和等于对角线的平方，即AD²+BC²=AB²+CD²。

二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方式，其中最常见的是几何证明和代数证明。

几何证明：可通过绘制相似三角形、利用等边三角形的性质等方法来证明。

其中最经典的几何证明是由希腊几何学家毕达哥拉斯提出的，他通过利用平行线的性质和相似三角形的性质来证明了勾股定理。

代数证明：主要是利用了代数运算和方程式的性质来证明。

代数证明的思路是通过将直角三角形的两个直角边的平方相加并把等式两边同除以斜边的平方来得到结果。

三、勾股定理的应用1. 求直角三角形的任意边长：已知两条边长可以利用勾股定理求出第三条边的长，例如已知a、b，求c。

2. 判断三角形的形状：利用勾股定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，如果满足a²+b²=c²的关系则为直角三角形。

3. 计算斜边的长度：在建筑设计、地理测量等领域中，可以利用勾股定理来计算斜边的长度。

4. 描述物体的运动轨迹：物体在做抛物线运动时可以利用勾股定理描述其运动轨迹。

勾股定理是直角三角形中一个重要的基本定理，它对于初中生的数学学习至关重要。

掌握勾股定理不仅可以帮助学生解决数学问题，还可以增强他们的逻辑思维和数学能力。

因此，在学习勾股定理的过程中，学生不仅要理解和掌握勾股定理的表达和证明，还要学会通过勾股定理解决具体问题，提高数学运用能力。

以上就是初中勾股定理的知识点总结，希望能够对初中学生的勾股定理学习有所帮助。

通过对勾股定理的深入了解和掌握，相信学生们可以在数学学习中取得更好的成绩。

《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c，那么a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b 2，b2= c2-a2。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：（3, 4, 5 ）（5，12，13 ）（ 6, 8，10 ）（ 7, 24, 25 ）（ 8，15，17 ）（9, 12, 15 ）、考点剖析4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆.1. 在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm 2cm ，则斜边长为 ___________________2.（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为 5和12，求斜边上的高.4、 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2倍，则斜边扩大到原来的（ ）A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍5、 在 Rt △ ABC 中, Z C=90°①若 a=5，b=12,则 c= ___________ ;②若 a=15，c=25，则 b= __________ ; 6、 如果直角三角形的两直角边长分别为 n 2-1，2n （n >1），那么它的斜边长是（）2 2A 、2nB 、n+1C 、n — 1D n 1 7、 在Rt △ ABC 中, a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（）222 222 222A. a b=cB. a c=bC. c b= aD.以上都有可能2. 如图，以Rt △ ABC 勺三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半 圆的面积之间的关系.3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是它们之间的关系是（）A. S 1- S 2= S 3B. S i + S 2= S 3C. S 2+S 3V S 1D. S -S=S4、四边形 ABCDK / B=90°, AB=3 BC=4 CD=12 AD=13 求四边形 ABCD 勺面积。

勾股定理知识点及典型例题一、勾股定理：勾股定理定义为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。

勾股定理的逆定理为：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。

勾股数是满足a²+b²=c²的三个正整数a，b，c。

注意，若a，b，c为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数。

常见的勾股数有3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13.判断直角三角形的方法有两种：一是如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。

二是如果有一个角为90°或两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。

具体判断方法是确定最大边（不妨设为c），若c=a+b，则为直角三角形；若a+bc，则为锐角三角形。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

勾股定理的作用有四个：一是已知直角三角形的两边求第三边；二是已知直角三角形的一边，求另两边的关系；三是用于证明线段平方关系的问题；四是利用勾股定理，作出长为a，b，c的直角三角形。

二、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法有很多种，其中常见的是拼图的方法。

具体证明过程如下：在直角三角形ABC中，以BC为底边，作等腰直角三角形ABD，连接AD，则AD=AB，BD=BC。

因此，AB²=AD²+BD²=AD²+BC²，即a²=b²+c²。

1.一个无盖的正方体盒子内有两只昆虫，昆虫甲在顶点C1处，昆虫乙在棱BB1的中点E处。

昆虫乙要在最短时间内捕捉到昆虫甲，可以沿着路径A→E→C1爬行。

中考勾股定理知识点总结勾股定理是许多学生在学习数学时接触到的一个重要内容。

它是一条基本定理，适用的范围非常广泛，对于解决直角三角形的各种问题都有着重要的意义。

勾股定理的内容是对直角三角形中的三条边之间的关系的描述。

具体来说，它是指在一个直角三角形中，直角边的两条边的平方和等于斜边的平方。

这一定理的数学表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b、c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度。

在中学数学中，学生通常是在初中阶段接触到勾股定理的。

在初中数学教学中，勾股定理主要涉及到勾股定理的理论内容、勾股定理的应用和勾股定理的证明。

下面，我们就这三个方面对勾股定理的知识点进行总结。

一、勾股定理的理论内容勾股定理规定了直角三角形中三条边之间的关系，它是一个基础而重要的数学定理。

1. 直角三角形直角三角形是一个三角形，其中包含一个直角。

直角三角形的三个顶点分别为A、B、C，其中角C为直角。

假设直角三角形的斜边长为c，直角边的长度分别为a、b。

2. 勾股定理的表述勾股定理指出在一个直角三角形中，直角边的两条边的平方和等于斜边的平方。

即a^2 + b^2 = c^2。

3. 勾股定理的要点勾股定理的要点是直角三角形中三条边之间的关系。

斜边的平方等于直角边的平方和。

二、勾股定理的应用勾股定理在数学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决直角三角形的各种问题。

1. 求边长由勾股定理可知，如果已知直角三角形的两个直角边的长度，可以利用勾股定理求出斜边的长度。

即c = √(a^2 + b^2)。

2. 验证直角三角形在求解直角三角形的相关问题时，有时需要先验证三角形是否为直角三角形。

这时可以利用勾股定理进行验证。

3. 解决现实问题勾股定理在现实生活中也有着广泛的应用。

比如，利用勾股定理可以计算建筑物的高度、测量地理位置、解决航空航天等问题。

三、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中比较常用的有几何法证明、代数法证明和物理法证明等。

八年级上册数学勾股定理20个
常考知识点归纳
八年级上册数学《勾股定理》20个常考知识点归纳_直线_内错角_三角形
八年级上册数学
《勾股定理》20个常考知识点归纳
1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9、同位角相等，两直线平行
10、内错角相等，两直线平行
11、同旁内角互补，两直线平行
12、两直线平行，同位角相等
13、两直线平行，内错角相等
14、两直线平行，同旁内角互补
15、定理三角形两边的和大于第三边
16、推论三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180"
18、推论1直角三角形的两个锐角互余
19、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角八年级上册数学解题方法+技巧，暑假熟练掌握，开学无忧！【人教版】七年级数学上册基础知识归纳，暑期预习必备！初中数学30个“知识点记忆口诀”，暑假提前预习背诵！
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勾股定理复习考点（全)－经典————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ勾股定理复习考点(全)-经典一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么ａ2 + ｂ２= c2。

公式的变形：a2 = ｃ2- b2， b2= c２-a２。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c，且满足a2 + b２＝ｃ2,那么三角形AＢC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,要注意处理好如下几个要点:①已知的条件:某三角形的三条边的长度.②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方＋中间边的平方.③得到的结论:这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

３、勾股数满足a2 ＋b２＝ c2的三个正整数,称为勾股数。

注意:①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。

常见勾股数有:（3,4，５)（５，12，1３) ( 6，8，10 ) （７，24，25 )( 8,１５，1７) (9，12,１5 ）4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：(1)阴影部分是正方形;(2）阴影部分是长方形;（３）阴影部分是半圆.S 3S 2S 1２． 如图,以Ｒt △ＡBC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、Ｓ３,则它们之间的关系是( )A. S １- S 2＝ S 3 Ｂ. S １+ S 2= S 3 C. S 2+S ３< S 1 D. S 2- Ｓ3=S １4、四边形ABCD 中，∠B ＝90°,AB=3,BC=4，ＣD ＝１２,AD=13,求四边形ABCD 的面积。

AB Ca b c弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意，画出图形。

② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。