3.2解一元一次方程——合并同类项与移项(讲+练)

3.2解一元一次方程——合并同类项与移项合并同类项解方程的方法与步骤

（1）合并同类项，即把含有未知数的同类项和常数项分别合并.

（2）系数化为1，即在方程的两边同时除以未知数的系数.

注意：（1）解方程中的合并同类项和整式加减中的合并同类项一样，它们的依据都是乘法

分配律，实质都是系数的合并，目的是运用合并同类项，使方程变得更简单，为运用等式

性质2求出方程的解创造条件；

（2）系数为1或-1的项，合并时不能漏掉.

题型1：解一元一次方程——合并同类项

1.解下列方程∶(1)3x+2x+x=24; (2)-3x+6x=18.

【答案】（1）x=4 （2）x=6

【变式1-1】（1）5x-6x=-57 （2）13x-15x＋x=-3.

【答案】（1）x=57 （2）x=3

移项解方程的方法与步骤

1.移项

把等式的某项变号后移到另一边，叫做移项.移项必须变号.

2.移项的依据

移项的依据是等式的性质1，在方程的两边加（或减）同一个适当的整式，使含未知数的

项集中在方程的一边，常数项集中在另一边.

3.解简单的一元一次方程的步骤（1）移项；（2）合并同类项；（3）系数化为1.

注意：（1）移项通常把含有未知数的项移到“=”的左边，常数项移到“=”的右边

（2）若将2=x变形为x=2，直接利用的是等式性质的对称性，不能改变符号.

（3）方程中的每项都包括前面的符号.

题型2：解一元一次方程——移项

2.将下列方程移项

（1）7＋x=13，移项得x=13+7

（2）5x=4x＋8,移项得 5x-4x=8

（3）3x-2=x+1，移项得 3x-x=2+1

（4）8x=7x-2，移项得 8x-7x=-2

（5）2x-1=3x+4，移项得 2x-3x=1+4

【变式2-1】解下列方程

(1)4x+2=3x-3; （2）4y=203y+16

【答案】（1）x=-5 （2）y=-6

【变式2-2】解下列方程

(1)2x+3=4x-5; (2)9x-17=4x-2.

【答案】（1）x=4 （2）x=3

题型3：绝对值方程

3.解方程 |2x-3|=1.

【分析】解绝对值方程的关键是把绝对值符号去掉，将方程转化为普通方程求解.

【解答】∶因为|2x-3|=1，

所以2x-3=1或2x-3=-1，

解得x=2或x=1.

【变式3-1】如果|2x+3|＝|1﹣x|，那么x的值为（ ）

A．−23B．−32或1C．−23或﹣2D．−23或﹣4

【分析】根据绝对值的意义得到2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x），然后解两个一次方程即可．

【解答】解：∵|2x+3|＝|1﹣x|，

∴2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x），∴x=−23或x＝﹣4．

故选：D．

【变式3-2】若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x−12|＝1，则m的值是（ ）

A．14或134B．14C．54D．−12或54【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，

即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．

【解答】解：因为方程|x−12|＝1，

所以x−12=±1，

解得x=32或x=−12，

因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x−12|＝1，

所以解方程x+2＝2（m﹣x）得，

m=3𝑥22，

当x=32时，m=134，

当x=−12时，m=14．

所以m的值为：134或14．

故选：A．

题型4：依题意构建方程求解

4.代数式2x＋5与x＋8的值相等，则x的值是 .

【答案】3

【解析】【解答】解：∵代数式2x＋5与x＋8的值相等，

∴2x+5=x+8，

解得：x＝3，

故答案为：3.

【分析】根据已知条件：2x＋5与x＋8的值相等，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.【变式4-1】当x= 时，代数式6x+1与-2x-5的值互为相反数。

【答案】1

【解析】【解答】解：∵ 6x+1与-2x-5的值互为相反数，

∴6x+1+（-2x-5）=0，

∴6x+1-2x-5=0，

∴4x=4，

∴x=1.

故答案为：1.

【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，解方程求出x的值，即可求解.

【变式4-2】如果2x+3的值与1﹣3x的值互为相反数，那么x＝ .

【答案】4

【解析】【解答】解：∵2x+3的值与1﹣3x的值互为相反数，

∴2x+3+1﹣3x＝0，

﹣x＝﹣4，x＝4.

故答案为：4.

【分析】利用互为相反数的两数之和为0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.

题型5：用方程的定义求字母的值

5.已知（a﹣2）x2+ax+1=0是关于x的一元一次方程（即x是未知数），求这个方程的解．

【答案】解：∵（a﹣2）x2+ax+1=0是关于x的一元一次方程（即x是未知数），

∴a﹣2=0，

∴a=2，

∴方程为2x+1=0，

∴x=﹣ 12 ．

【解析】【分析】根据一元一次方程先求出a的值，再解方程即可解答．【变式5-1】已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+3=m﹣5是关于x的一元一次方程，求这个方程的解．

【答案】解：∵（m﹣2）x|m|﹣1+3=m﹣5是关于x的一元一次方程，∴m﹣2≠0且|m|﹣1=1，解得m=﹣2．

∴解方程﹣4x+3=﹣2﹣5，得x=52【解析】【分析】利用一元一次方程的定义求出m的值，再解一元一次方程即可．

【变式5-2】已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+8=0是关于x的一元一次方程，求a的值并求该方程的解．

【答案】解：∵方程（a﹣2）x|a|﹣1+8=0是关于x的一元一次方程，

∴|a|﹣1=1且a﹣2≠0．

∴a=﹣2．

将a=﹣2代入得：﹣4x+8=0．

解得：x=2．

【解析】【分析】由一元一次方程的定义可知|a|﹣1=1且a﹣2≠0，从而可求得a的值，然后将a的

值代入求解即可．

题型6：列方程解决实际问题1-分配问题

6.把一批图书分给七年级（11）班的同学阅读，若每人分3本，则剩余20本，若每人分4本，

则缺25本，这个班有多少学生？

【答案】解：设这个班有x个学生，根据题意得： 3x+20=4x-25

解得：x=45

答：这个班有45人。

【解析】【分析】 设这个班有x个学生，若每人分3本，则剩余20本，可知书的数量为3x+20，若

每人分4本，则缺25本， 书的数量为4x-25, 然后根据书的数量相等列方程求解即可.

【变式6-1】<>中有这样一个问题，原文如下。今有共买物,人出入，盈三，人出七，不

是四，问人数，物价各几何？大意为：几个人一起去购买某物品？如果每人出八钱，则多了3钱，

如果每人出7钱咋少了4钱？问有多少人？物品的价格是多少钱？（注：“钱”为中国古代的货币单

位）请解答上述问题。

【答案】解：设人数为 𝑥 人

由题意得： 8𝑥−3=7𝑥+4解得： 𝑥=7 （人）

则物品的价格为： 8𝑥−3=8×7−3=53 （钱）

答：一起购买物品的人数为7人，该物品的价格是53钱.

【解析】【分析】假设人数为 𝑥 人，根据在两种出钱方式下，物品的价格不变列出等式方程即可.

【变式6-2】某学校安排学生住宿，若每室住7人，则有10人无法安排；若每室住8人，则恰好空

出2个房间，这个学校的住宿生有多少人?

【答案】解：设这个学校共有x间宿舍，则 7x+10=8(x-2)

解得：x=26

住宿生的人数为：26×7+10=192(人)

答：这个学校的住宿牛有192人。

【解析】【分析】 设这个学校共有x间宿舍， 根据等量关系，列出方程，即可求解.

题型7：列方程解决实际问题2-比例问题

7.某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排水量要比环保限制的最大量还多200吨；如

用新工艺，则废水排水量要比环保限制的最大量少100吨． 新旧工艺的废水排水量之比为2：5，

则环保限制的最大量是多少吨？

【答案】解：设环保限制的最大量为x吨，根据题意列方程得

2(𝑥+200)=5(𝑥−100)

解这个方程得：𝑥=300

答：环保限制的最大量为300吨

【解析】【分析】根据题意先求出 2(𝑥+200)=5(𝑥−100) ，再解方程即可。

【变式7-1】新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐款216万元，所捐款

数的比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？

【答案】解：设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意得，3x+4x+5x=216，

解得，x=18.所以3x=54，4x=72，5x=90；

答：甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元.

【解析】【分析】设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意

得3x+4x+5x=216，求解即可.

【变式7-2】有大小两筐苹果，大筐苹果与小筐苹果单价比是5∶4，其重量比是2∶3，把两筐苹果混

合在一起成100千克的混合苹果，单价为每千克2.2元，大小两筐苹果原单价各是多少？

【答案】解：大苹果的重量是： 100×223=40 （千克），

小苹果的重量是：100-40=60（千克），

设大筐苹果单价为 5𝑥 元，则小筐苹果单价为 4𝑥 元，

依题意得： 40×5𝑥+60×4𝑥=2.2×100 ，

解得： 𝑥=0.5 ，

∴5𝑥=2.5 ， 4𝑥=2 ，

答：大苹果的单价是2.5元，小苹果的单价是2元．【解析】【分析】根据“大、小两筐苹果的重量比是2：3”，再由两筐苹果混合在一起是100千克，可以求出大、小苹果各自的重量；再由“大苹果与小苹果单价的比是5：4”，设大筐苹果单价为 5x 元，则小筐苹果单价为 4x 元，根据混合苹果的总价是2.2×100元，列方程即可求出大、小两筐苹果原来的单价．题型8：列方程解决实际问题3-数字问题

8.一个两位数，十位上的数字是3，把个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新数比原数

小18，求这个两位数．

【答案】这个两位数是31．

【分析】设这个两位数个位上的数字为x，根据得到的新数比原数小18列方程求解即可．

【解答】解：设这个两位数个位上的数字为x.

根据题意，得（30+x）-（10x+3）=18，

解方程，得x=1，

答：这个两位数是31．

【变式8-1】一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，比十位

数字大56，请问这个两位数是多少？