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基尼系数的四种计算方法

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发展经济学论文

1 基尼系数的计算方法及数学推导

2001金融三班 袁源

摘要：本文归纳了基尼系数的四种计算方法：直接计算法、拟合曲线法、分组计算法和分解法，并进行了数学推导和证明。在此基础上，文章比较了各种算法优缺点，分析了误差可能产生的环节。

关键词：洛伦茨曲线 基尼系数

一、洛伦茨曲线和基尼系数

1905年，统计学家洛伦茨提出了洛伦茨曲线，如图一。将社会总人口按收入由低到高的顺序平均分为10个等级组，每个等级组均占10％的人口，再计算每个组的收入占总收入的比重。然后以人口累计百分比为横轴，以收入累计百分比为纵轴，绘出一条反映居民收入分配差距状况的曲线，即为洛伦茨曲线。

为了用指数来更好的反映社会收入分配的平等状况，1912年，意大利经济学家基尼根据洛伦茨曲线计算出一个反映收入分配平等程度的指标，称为基尼系数（G）。在上图中，基尼系数定义为：

G= SA

SA+B 式（1）

当A为0时，基尼系数为0，表示收入分配绝对平等；当B为0时，基尼系数为1，表示收入分配绝对不平等。基尼系数在0～1之间，系数越大，表示越不均等，系数越小，表示越均等。

二、基尼系数的计算方法

式（1）虽然是一个极为简明的数学表达式，但它并不具有实际的可操作性。为了寻求具有可操作性的估算方法，自基尼提出基尼比率以来，许多经济学家和统计学家都进行了这方面的探索。在已有的研究成果中，主要有四种有代表性的估算方法，结合自己的计算，笔者将它们归纳为直接计算法、拟合曲线法、分组计算法和分解法。 O X Y E C

A

B

图一 发展经济学论文

2 1、直接计算法

直接计算法在基尼提出收入不平等的一种度量时，就已经给出了具体算法，而且这种算法并不依赖于洛伦茨曲线，它直接度量收入不平等的程度。定义

△＝ n n ∑∑∣j=1 i=1Yj－Yi∣/n2, 0≤△≤2u 式（2）

式中，△是基尼平均差，∣Yj－Yi∣是任何一对收入样本差的绝对值，n是样本容量，u是收入均值。定义

G=△/2u, 0≤G≤1 式（3）

可以证明：G=△/2u＝2SA（证明过程见附录一），而由式（1）G= SA/ SA+B，SA+B=1/2，G=2SA,因此，式（2）中定义的G即为基尼系数，综合式（2）、（3），基尼系数的计算方法为：

G= 1

2n2 u n n ∑∑∣j=1 i=1Yj－Yi∣ 式（4）

直接计算法只涉及居民收入样本数据的算术运算，很多学者认为理论上看，只要不存在来源于样本数据方面的误差，就不存在产生误差的环节。实际上，在附录一证明过程当中将看到，直接计算法依然采用了以直代曲法计算面积，只不过这个过程在样本数据范围内达到了最小近似，其精确度直接取决于样本数据本身。因此，可以认为它不带任何误差的计算了样本数据的基尼系数值。

2、拟合曲线法

拟合曲线法计算基尼系数的思路是采用数学方法拟合出洛伦茨曲线，得出曲线的函数表达式，然后用积分法求出B的面积，计算基尼系数。通常是通过设定洛伦茨曲线方程，用回归的方法求出参数，再计算积分。例如，设定洛伦茨曲线的函数关系式为幂函数：

I=αPβ 式（5）

根据选定的样本数据，用回归法求出洛伦茨曲线，例如，α＝m,β=n.求积分

SB=∫01 mpndp= m

n+1 式（6）

计算

G= SA

SA+B = SA+B－SB

SA+B ＝1－ 2m

n+1 式（7）

拟合曲线法的在两个环节容易产生谬误：一是拟合洛伦茨曲线，得出函数表达式的过程中，可能产生误差；二是拟合出来的函数应该是可积的，否则就无法计算。

3、分组计算法

这种方法的思路有点类似用几何定义计算积分的方法，在X轴上寻找n个分点，将洛伦茨曲线下方的区域分成n部分，每部分用以直代曲的方法计算面积，然后加总求出面积。分点越多，就越准确，当分点达到无穷大时，则为精确计算。 发展经济学论文

3

假设分为n组，每组的收入为Yi，则每个部分P的面积为：

SP= 1 ∑i-1Yi＋∑ i

Yi 2n n∑Yi 式（8）

加总得到：

G= SA

SA+B = SA+B－SB

SA+B ＝1－2lim k→∞∑ n 1 ∑i-1Yi＋∑ i

Yi 2n n∑Yi 式（9）

这是精确计算基尼系数的表达式，当分点n个数有限时，定义：

yi= Yi n∑Yi 式（10）

得到近似表达式:

G=2SA= 2

n （y1+2y2+···＋nyn）－（ n+1 n ） 式（11）

（证明过程见附录二）

分组计算法不依赖于洛伦茨曲线的函数形式，但在以直代曲的环节会出现误差，增加分点的个数可以减少这种误差。

4、分解法

上述的计算方法的最终目的都在于求出基尼系数的值，而分解法则是在求出上述值的基础上，力图研究基尼系数的构成因素，除了得出总的基尼系数的信息之外，在计算过程中还能够获得分解部分内部的基尼系数值。另外，分解法求出基尼系数的过程一般都依赖于已有部分的基尼系数的值，从这个意义上说，分解法并不是独立计算基尼系数的方法，它更重要的意义在于对基尼系数的分解，即定义的各个不同基尼系数值之间的相互关系。

伦敦经济学院收入分配方法论专家Cowell教授提出，基尼系数在不同人群组之间无法完全分解于尽。总体基尼系数除了包括各个组内差距之外，还应包括组间差距和相互作用项。公式为：

G = k∑WiGi+Ib+ε（fi） 式（12）

式中，G是总体基尼系数，Gi是第i组内部的基尼系数（i=1,2,…，n），Wi是Gi的权数，Ib是组间的差距指数，ε（fi）是相互作用项。ε（fi）是各个组之间收入分布的重叠程度。特别地，当各个组之间收入分布完全不重叠时，ε（fi）＝0。

式（12）地意义在于形式化地表述了对总体基尼系数进行分解的思路和框架，但由于没O X Y E C

A

B P

图二 发展经济学论文

4 有给出Wi、Ib和ε（fi）的具体计算方法，还不能用于基尼系数的计算。

经济学家Sundrum（1990）在他的《欠发达国家的收入分配》一书中介绍了一种对一国或地区基尼系数进行分解的方法，其数学公式为：

G=P12 u1

u G1+ P22 u2

u G2+P1P2︱ u1－u2

u ︱ 式（13）

式中，G表示总体基尼系数，G1和G2分别表示农村和城镇的基尼系数，P1、P2分别表示农村人口和城镇人口占总人口的比重，u1、u2、u分别表示农村、城镇和总体的人均收入。

对比式（12）和式（13），可以发现式（13）是式（12）的一种具体运用，P12 u1

u G1和P22 u2

u G2可以作为以P12 u1

u 和P22 u2

u 为权重的 k∑WiGi，P1P2︱ u1－u2

u ︱则为组间差距指数Ib。值得注意的是式中没有ε（fi）项，意味着ε（fi）＝0成立，因此这种算法隐含的假设条件是农村与城镇的收入分布完全不重叠。此外，采用这种计算方法还必须满足条件：在估算城乡内部的基尼系数时所用的居民收入数据的口径是相同或相近的。

这种方法会在可能在两个环节产生误差：一是用其他方法估计城乡各自的基尼系数G1和G2时，可能产生误差；二是城乡收入分布一般会在不同程度上重叠。

附录一：

证明：G=△/2u＝2SA

第一步，分解 n n ∑∑∣j=1 i=1Yj－Yi∣

设将收入按从低到高排列Y1、Y2、……Yn，则上式可以分解为矩阵A：

Y1 Y2 …… Yn－1 Yn

Y1

Y2

……

Yn－1

Yn 0 Y2－Y1 …… Yn－1－Y1 Yn－Y1

Y2－Y1 0 …… Yn－1－Y2 Yn－Y2

…… …… …… …… ……

Yn－1－Y1 Yn－1－Y2 …… 0 Yn－Yn－1

Yn－Y1 Yn－Y2 …… 0

将矩阵中各项加总得到：

2〔（n－1）Yn＋（n－2）Yn－1＋……＋Y2—（n－1）Y1－（n－2）Y2－……－Yn－1〕

＝2〔（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1〕

第二步，计算 1

2n2u

取样本均值u= Y1＋Y2＋……Yn

n = n∑Yi

n

1

2n2u ＝ 1

2n n∑Yi 发展经济学论文

5 综上，第一步、第二步，得到

G＝ 1

n n∑Yi 〔（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1〕 式（14）

第三步，计算SB

如图四，计算每一部分面积SP

SP＝ 1

2 AB（AC＋BD）＝ 1 ∑i-1Yi＋∑ i

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基尼系数标准

基尼系数标准

- 1 - 基尼系数标准

基尼系数，又称基尼指数，是衡量一个国家民众财富分配公平度的量化标准。自1919年由爱尔兰社会学家及经济学家詹姆斯基尼（JamesT.Kini）提出以来，该指标已被国际社会广泛采用，早在1980年代就被用于国际国家间的贫富比较。

基尼系数的计算公式是：

K=Σ(x-1)2/Σx2

其中，x为某变量的不同数值，Σ代表求和运算。即表示数值变量离散度的倒数。由此可知，数值越大，表明对该变量的划分越离散，分配公平度越低，反之亦然。

基尼系数最早用于衡量贫富差距，根据计算结果可将国家的财富分布归为四种：极度不均等（K>0.50）、不均等（0.40

随着基尼系数的广泛应用，它也开始被应用到其他衡量指标之中，例如衡量一个城市内房价差距的大小等。此外，基尼系数也被用来衡量地理空间分布状况，如探讨经济发达地区与落后地区之间的贫富差距，识别经济发达地区应当进行加强干预的贫困地区等等。

基尼系数的研究一般以数理统计的方法进行，而社会学方面的研究则更多地关注于社会关系的研究，如研究不同社会阶层之间贫富差距的形成和演变情况等。

基尼系数不仅是一种财富分布公平度的量化标准，也反映了一个国家贫富分配的情况。从这一点上看，要增强一个国家的财富分配公 - 2 - 平度，不仅要看措施的实施情况，更重要的是要看财富分配的公平性，也就是基尼系数。

基尼系数的准确性受到其计算所使用的样本的影响。若样本的数据源不全面，或者数据不准确，则指标可能出现偏差。因此，在计算时，必须使用准确可靠的数据，另外，应当充分考虑各种因素对数值变化的影响。

综上所述，基尼系数标准是一种衡量一个国家民众财富分配公平度的量化标准，它反映了一个国家贫富分配的情况，是评估财富分配公平性的有效工具。需要特别指出的是，基尼系数的准确性受到计算所使用的样本的影响的，因此，在计算时，必须使用准确可靠的数据，充分考虑各种因素对数值变化的影响。

基尼系数的概念及测算方法

基尼系数的概念及测算方法

基尼系数的概念及测算方法

在国民经济中，价格体制决定资源配置和收入分配。与国民生产相联系的生产要素的重要程度，决定了其是按要素份额分配，还是按功能分配。这一研究思路遵循李嘉图的学说。

另一种研究思路是帕累托开创的，它研究一组经济单位(家庭、住户、个人)成员之间的收入分配，或者考虑每一个经济单位的收入总额，或者考虑将收入来源进行细分，比如工资和薪金、财产所得、自营收入、转移，等等。这种研究涉及处理依收入的多少来分配的问题，同时，对所给出的一组经济单位成员之间收入不平等的相对程度做出定量评价。这样的研究为支持有关收入分配的综合研究战略提供基本的数量信息，包括对社会福利和社会政策的原因作出说明。

有意思的是，帕累托有关收入分配的研究，是为了在“达到减少不平等分配的手段和方法”问题上与法国和意大利的社会主义者论战。于是，实际度量不平等的方法受到注意，主要用于评价两大方面内容:一是某个指定国家或地区不平等的演化；二是各个国家和地区之间不平等的相对程度。

意大利经济学兼统计学家科拉多·基尼在对居民收入分配的研究方法及应用等问题上做出了诸多杰出的贡献，充实并拓展了这个研究领域。他于1910年修正了对帕累托不平等参数的解释，并于1912年提出了收入不平等的一种新的度量法——基尼系数。基尼系数由此产生，并很快成为世界范围内研究居民收入分配差距时被广泛采用的指标。尽管随后的国内外学者在居民收入分配差距研究领域进行不断的努力与尝试，并且提出很多其他测量居民收入差距的指标，比如变异系数、泰尔指数等，但无论是这些指标的创新程度，还是其应用范围，都远远不如基尼系数。

基尼系数用于定量测定收入分配差异程度，是国际上用来综合考察居民内部收入分配差异状况的一个重要分析指标，也是目前世界范围内比较通行的衡量居民收入分配差距的一种方法。它的基本含义是指社会成员的总收入分配状况与绝对平均分配状况的相对差距，也就是全部居民收入中用于不平均分配的百分比。

基尼系数及计算方法

基尼系数及计算方法

基尼系数及计算方法

居民收入分配的差异程度，是当前人们所普遍关心的一个问题。收入分配差异的合 理与否，一方而可以反映按劳分配原则的实现情况：另一方面是保障居民生活和社会稳泄的 重要条件。衡量收入差异状况最重要、最常用的指标是基尼系数(即吉尼系数)。

基尼系数(Gini coefficient)是20世纪初意大利经济学家基尼根据洛伦茨曲线提岀 的判断分配平等程度的指标(如下图)，设实际收入分配曲线和收入分配绝对平等曲线之间 的而积为A，实际收入分配曲线右下方的面积为B。并以A除以(A+B)的商表示不平等程度。 这个数值被称为基尼系数或称洛伦茨系数。如果A为零，基尼系数为零，表示收入分配完全 平等：如果B为零则系数为1,收入分配绝对不平等。该系数可在零和1之间取任何值。收 入分配越是趋向平等，洛伦茨曲线的弧度越小，基尼系数也越小，反之，收入分配越是趋向 不平等，洛伦茨曲线的弧度越大，那么基尼系数也越大。

图中,0M为45度线,在这条线上，每10%的人得到10帅勺收入，表明收入分配完全平等,

称为绝对平等线。0PM表明收入分配极度不平等，全部收入集中在1个人手中，称为绝对不 平等线。介于二线之间的实际收入分配曲线就是洛伦茨曲线。它表明:洛伦茨曲线与绝对平 等线0H越接近，收入分配越平等；与绝对不平等线0PM越接近，收入分配越不平等。

实际应用中的计算公式是：

i-1 2-1公式中：网是按收入分组后各组的人口数占总人口数的比重；X是按收入分组后, 各组人口所拥有的收入占收入总额的比重；°：是X从i二1到i的累计数，如, V 2 =Yl+Y2+Y3-.+Yi0计算基尼系数，可以用收入分组数据讣算，也可用分户数据计算。但要注意的是， 无论分组还是分户计算，均应先对数据按收入从低到高排序，分组计算时，一般应使分组的 组距相等。用分组数据汁算的基尼系数要明显小于分户数据的汁算值，特别是为分组的组数 不多时，差距更大。用分户数据汁算基尼系数时，采用的计算指标不同，也会出现不同的结 果。一般有两种计算方法，一种方法是按戸总收入排序，按户计算基尼系数，此时，K为 每户收入占总收入的比例，闪乙为调査户数的倒数：另一种计算方法是按每户家庭的人均 收入排序，此时，必匚为每户人口占全部人口的比例，X为本户人均收入占人均收入之和 的比例。这两种汁算方法，结果是有差异的，按人均收入讣算的基尼系数要大于按户收入计 算的基尼数据。在用基尼系数时进行不同地区、不同时期的收入差距比较时，应注意计算方 法的一致性，不同计算方法得出的基尼系数是没有可比性的。

基尼系数及计算方法 2

基尼系数及计算方法 2

基尼系数及计算方法

基尼系数是国际上用来测量收入分配差距的指标，是一个与收入分配直接相关的统计指标。基尼系数是收入分配中的一个重要指标，它反映了收入分配之间的相对差距大小。基尼系数计算方法：基尼系数=1-1,基尼系数越小，收入分配差距越小；基尼系数越大，收入分配差距越大。基尼系数按经济社会条件分为收入分配基尼系数、中低收入基尼系数、高收入基尼系数和中等收入基尼系数等五个系数。收入和消费是人们生活的基本需求，是人们赖以生存和发展的基本条件之一。因此，建立一个公平合理、符合社会发展规律和群众利益需求的分配制度是社会发展的必然要求。要把“以增长为中心”转变为“以提高人民生活水平为中心”，使人们有更多的收入成为可能。

一、基尼系数的含义

基尼系数，是一种用来衡量居民之间收入分配合理性的指标。该系数在0至0.50之间表示收入分配不公；在0.50至0.70之间表示收入分配差距过大；在0.70以上表示收入分配严重不平等。中国的基尼系数是0.4,比世界平均水平0.345低5个百分点。基尼系数反映了居民收入来源不均的程度。它反映了居民收入分配情况，是收入分配公平状况的重要判断标准。它是一个重要评价指标。基尼系数是由美国心理学家基尼提出。他认为，中国城乡之间、阶层之间的收入分配不平等程度太高、太严重。

二、居民收入分配现状

改革开放以来，我国居民收入持续增长，对经济增长作出了巨大贡献。同时也存在一些问题。首先，居民收入快速增长并没有带来整个社会财富的大幅度增加。中国人均 GDP从1978年的649美元增加到2010年的6.79万美元。然而，随着中国经济进入新常态后，人们收入不断提高，消费不断增长，投资不断增加。然而，与世界主要国家相比，中国贫富差距仍然很大。根据国家统计局发布的数据显示：在2000年国内生产总值(GDP)中，城镇居民和农村居民收入分别占国民收入的69.1%和59.4%。