广东省湛江市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

广东省湛江市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

解答：

∵U={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5}，

P={2,4},Q={1,3,4,6}，

∴CUP={0,1,3,5}，

∴(∁UP)∩Q={1,3}.

故选：C.

2.棱柱的侧面一定是（ ）

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形

【答案】A

【解析】

根据棱柱的性质可得：其侧面一定是平行四边形，故选A.

3.直线x-y+1=0的倾斜角的大小为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由直线方程可求斜率，从而可得倾斜角．

【详解】设直线x-y+1=0的倾斜角为θ，

则tanθ=，θ∈[0°，180°）．

∴θ=60°，

故选：B．

【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4.函数的零点所在的区间为（ ）

2 A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

函数为单调递增函数，且，所以由零点存在定理得零点所在的区间为

点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法

(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．

(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．

(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．

5.已知，，，则，，的大小关系为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

由指数函数的性质可得：，

即：.

本题选择D选项.

点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．

6.已知直线l的方程为x-y+1=0，直线l1的方程为ax-2y+1=0，直线l2的方程为x+by+3=0，若l1⊥l，l2∥l，则a+b=（ ）

A. B. C. 0 D. 1

【答案】B

3 【解析】

【分析】

根据题意，由直线垂直的判定方法可得a+2=0，解可得a=-2，又由直线平行的判定方法可得b的值，将a、b相加即可得答案．

【详解】根据题意，若l1⊥l，则有a+2=0，解可得a=-2，

又由l2∥l，则b=1×（-1）=-1；

则a+b=（-2）+（-1）=-3；

故选：B．

【点睛】本题考查直线平行、直线垂直的判定方法，关键是求出a、b的值，属于基础题．

7.一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（ ）

A. 1 B. C. 2 D.

【答案】B

【解析】

试题分析：设圆锥底面半径是，母线长，所以，即，根据圆心角公式，即，所以解得，，那么高

考点：圆锥的面积

8.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

试题分析：若，，，则直线与可能平行或异面，A错误；若，，且，则直线与可能平行或相交或异面，B错误；若，，，则，由于垂直于同一平面的两条直线互相平行，C正确；选C.

考点：空间直线与平面的位置关系；

9.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )

A. 8 B. 4 C. 2 D. 4

【答案】C

【解析】

4 由题设可得圆的圆心坐标为，半径为，因圆心到直线x-y+4=0的距离，故直线过圆心，则弦长是直径，应选答案C。

10.已知函数若，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

当时，，则；当时，，则，综上，实数的取值范围是.

考点：分段函数.

11.已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

试题分析：如图所示：由题意得，

所求直线l的斜率k满足 k≥kPB或 k≤kPA，

即，或，∴，或k≤-4，

5 考点：恒过定点的直线

12.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x-1）＜f（3）的x的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|），从而将f（2x-1）＜f（3）转化成f（|2x-1|）＜f（|3|），然后根据函数的单调性建立关系式，解之即可．

【详解】∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）

∴f（2x-1）=f（|2x-1|），即f（|2x-1|）＜f（|3|）

又∵f（x）在区间[0，+∞）单调递增

得|2x-1|＜3解得-1＜x＜2．

故选：A．

【点睛】本题考查的是函数的单调性和奇偶性的综合知识，并考查了如何解不等式，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.函数的定义域为__________．

【答案】

【解析】

函数，解得，函数的定义域是，故答案为.

14.已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为 ．

【答案】（x﹣1）2+（y+3）2=29．

【解析】

试题分析：由中点坐标公式得线段的中点坐标为，即圆心的坐标为；，故所求圆的方程为：．故答案为：．

考点：圆的标准方程.

6 【方法点晴】本题主要考查了圆的标准方程，注重对基础的考查，难度不大；由点和点的坐标，利用中点坐标公式求出线段的中点的坐标，因为线段为所求圆的直径，所以求出的中点的坐标即为圆心坐标，然后由圆心的坐标和点的坐标，利用两点间的距离公式求出的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．

15.直线（m+1）x+（m-1）y-2=0与圆（x-1）2+y2=1的位置关系是______．

【答案】相交或相切

【解析】

【分析】

先求出直线经过的定点（1，-1），再说明定点在圆上，故而可说明直线与圆相交或相切．

【详解】∵直线（m+1）x+（m-1）y-2=0可化为：（x+y）m+x-y-2=0

由，得x=1，y=-1，

即直线过定点（1，-1），而（1，-1）在圆（x-1）2+y2=1上，

故直线与圆相交或相切，

故答案为：相交或相切．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．

16.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为__________．

【答案】

【解析】

由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；

7

由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，

在中,BC=，

在中,BD=，

在中,AD=

则三棱锥中最长棱的长为

故答案为：

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知△ABC的顶点A的坐标为（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x-2y-5=0．

（Ⅰ）求顶点C的坐标；

（Ⅱ）求直线AB的方程．

【答案】（Ⅰ）（4，3）； （Ⅱ）2x-3y-7=0.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）通过AC边上的高线方程得AC的斜率，由点斜式得AC的方程，AC的方程与CM的方程联立得点C的坐标；

（Ⅱ）设出点B的坐标，根据中点关系，得M的坐标代入CM的方程，B点坐标代入BH方程，两个方程联立可解得B的坐标，再由两点式得AB的方程．

【详解】（Ⅰ）∵AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，

∴直线AC的斜率k=-2，

∴直线AC的方程为y-1=-2（x-5），即：2x+y-11=0，

∵直线AC与CM相交于点C，

∴由解得：．

8 ∴点C的坐标为（4，3）；

（Ⅱ）设B（x1，y1），∵M是AB中点，且A（5，1），

∴点M的坐标为

代入CM所在直线方程2x-y-5=0并化简得：2x1-y1-1=0，

又∵点B（x1，y1）在直线BH上，∴x1-2y1-5=0．

∴由解得：．

∴点B的坐标为（-1，-3）

∴直线AB的方程为，即：2x-3y-7=0．

【点睛】本题考查了直线的一般式方程与直线的性质，属中档题．

18.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：

（1）AC⊥BC1；

（2）AC1∥平面B1CD．

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，即可证得AC⊥BC1；

（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1⊂平面B1CD，利用线面平行的判定定理

即可得证．

证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，

∴CC1⊥AC，

又AC⊥BC，BC∩CC1=C，