18.2直接开平方和配方法(1)

一元二次方程的概念和解法一、学习目标：1、掌握一元二次方程的概念和一般形式，会找出一元二次方程的各项及其系数；2、会用直接开平方法解一元二次方程。

二、旧知回顾与训练：1、什么叫方程？什么叫整式方程？什么叫方程的解？2、什么是一元一次方程？怎样理解方程“元”和“次”的含义？解一元一次方程的方法和步骤是怎样的？3、解方程：12223x x x -+-=-三、新知学习与训练：（一）一元二次方程的概念： 类比一元一次方程的概念得出一元二次方程的概念：只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___ 的 方程叫做一元二次方程。

思考：怎样理解一元二次方程的概念？ 方法小结：1、方程必须是整式方程；2、方程中只能有一个未知数，并且未知数的最高次数只能为二次；3、方程化简后含未知数的二次项的系数不能为0。

练习：下列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程？（1）250x -= ； （22x -= ；（3）21230x x+-=； （4）330x x -=； （5）230x xy +-=； （6）-x 2＝0； （7）x （5x -2）＝x （x ＋1）＋4x 2 。

（二） 一元二次方程的一般形式：类比一元一次方程的一般形式得出一元二次方程的一般形式： 。

其中＿＿、＿＿＿、＿＿＿分别叫做二次项、一次项和常数项； 、分别叫做二次项系数、一次项系数。

二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。

思考：1、一元二次方程的一般形式的结构特征是什么？2、一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）中，为什么“a ≠0”？ 3、怎样把一元二次方程整理为一般形式？范例：例1、方程013)2(=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，求m 的值。

例2、把方程3x （x-1）＝2（x ＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项，一次项系数及常数项？练习：1、下列关于x 的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：032)1(2=++x ax ；023)2(2=+mx x ；0128)1)(3(2=----m mx x m ；（4）（b 2＋1）x 2－bx ＋b ＝2；（5） 2tx （x -5）＝7-4tx 。

(2019年1月最新最细）2018全国中考真题解析考点汇编☆直接开平方、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程一、选择题1.（2018•泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=﹣2考点：解一元二次方程-因式分解法。

专题：计算题。

分析：利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．解答：解：∵x2=2x，∴x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．故选C．点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．2.（2018湖北荆州，3，3分）将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x-2）2+3B、（x+2）2-4C、（x+2）2-5D、（x+2）2+4 考点：配方法的应用．专题：配方法．分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．解答：解：x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=x+22-5，故选C．点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．3.（2018•柳州）方程x2﹣4=0的解是（）A、x=2B、x=﹣2C、x=±2D、x=±4考点：解一元二次方程-直接开平方法。

专题：计算题。

分析：方程变形为x2=4，再把方程两边直接开方得到x=±2．解答：解：x2=4，∴x=±2．故选C．点评：本题考查了直接开平方法解一元二次方程：先把方程变形为x2=a（a≥0），再把方程两边直接开方，然后利用二次根式的性质化简得到方程的解．4.（2018•湘西州）小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（）A、x=4B、x=3C、x=2D、x=0考点：解一元二次方程-因式分解法。

21.2.1配方法（第一课时）配方法是基本形式———直接开平方法（一）教学目标1.知识技能（1）理解一元二次方程降次的转化思想，会用直接开平方法解简单的一元二次方程.（2）会利用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n ）2=p （p ≥0）型的一元二次方程．2.过程方法通过观察思考，根据实际问题，向学生渗透知识来源于生活，获得一元二次方程的解法 “直接开平方法”.3.情感态度通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.（二）教学重难点1.重点：运用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程，领会降次转化的数学思想.2.难点：通过根据平方根的意义解形如x 2=p （p ≥0）的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程．（三）教学过程设计一、复习旧知：1.平方根的意义：2.说下列各数的平方根：9、81、0、8、1.5、916、34.3.判断下列方程是否是一元二次方程：（1）a 2−b 2=3； （2）1x +x 2=3；（3）2x 2+3=x −5； （4）3(x 2+2)=3x 2−2x +5.设计意图：课前准备二、探究新知1.探究一：出示问题1：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完了10同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设计意图：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系，培养学生自学的能力.让学生独立完成列方程的过程，对于部分学生可以给予一定帮助，鼓励同学互相帮助.解题过程：（1）审题；（2）设未知数正方体的棱长为x；（3）找等量关系，列方程：10×6×x2=1500；（4）解方程：10×6×x2=1500化简得x2=25根据平方根的意义，得x=±5既x1=5，x2=−5.检验5和-5是方程的两个根，因为棱长不能说负值，所以盒子的棱长为5cm.小结：（1）将方程转化为x2=p形式；（2）直接开平方将一元二次方转化成一元一次方程；（3）分别解这两个一元一次方程得出方程的两个解.2.探索二：（1）一元二次方程(x+3)2=5、4x2=9与x2=25的形式有何联系；（2）对比x2=25的解题过程，求解(x+3)2=5、4x2=9；（3）分析上述方程在形式和解法上的异同之处。

①4x2＝3x；②（x2－2)2＋3x－1＝0；③13x2＋4x－33＝0；④x2＝0；⑤1x ＝2；⑥6x(x＋5)＝6x2．A．1个B．2个C．3个D．4个2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋3＝0(a≠0)的解是x＝1，则2014－a－b的值是 ( ) A．2018 B．2008 C．2014 D．20123．把一元二次方程（x－5）(x＋5)＋(2x－1)2＝0化成一般形式后所得的一元二次方程是( )A．5x2－4x＋6＝0 B．5x2－2x＋1＝0 C．x2－5＝0 D．5x2－4x－4＝04．若m是方程x2－2014x－1＝0的根，则(m2－2014m＋3) (m2－2014m＋4)的值为 ( )A．16 B．12 C．20 D．305．有一个面积为16 cm2的梯形，它的一条底边长为3 cm，另一条底边长比它的高长1 cm，若设这条底边长为x cm，依据题意，列出方程整理后得 ( )A．x2＋2x－35＝0 B．x2＋2x－70＝0C．x2－2x－35＝0 D．x2－2x＋70＝06．一元二次方程(1＋3x)(x－3)＝2x2＋1化为一般形式为_______，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______．7．当m_______时，方程(m2－1)x2－mx＋5＝0不是一元二次方程．8．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a－1＝0的一个根是0，则实数a的值为_______．9．已知，如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程_______．10．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若x＝1是它的一个根，A．B．C．D．8．一元二次方程16x2＝25的根为x1＝_______，x2＝_______．9．当k_______时，关于x的方程x2＝k有实数解，它的解是_______．10．规定一种新运算a*b＝a2－2b，如1*2＝－3．若x*（－2）＝6，则x＝_______．11．方程(m2－2)x2＋3x－1＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为_______．12．一元二次方程（2x一1)2＝（3－x)2的解是_______．13．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则= ．14．用直接开平方法解下列方程：(1)2x2－8＝0 (2)(y－5)2－36＝0 (3) (x－1)(x＋1)＝1(4)(x＋3)(x－3)＝6 (5)(2x－1)2＝(2－1)2(6)(x－1)2＝(2x＋3)2 (7)(3x－1)2＝1.962．D3．B4．B5．A6．A7.38.4 2 －5 529.492324p2p10.16 ±2311.－812.2313.(1)x1＝8，x2＝－2 (2)x1＝12，x2＝－1 (3) x1＝2313+，x2＝2313-（4）．x1＝8，x2＝0；(5)x1＝3a＋2b，x2＝3a－2b.14. －415.m2-8m+17=(m-4)2+1不等于0.所以无论m取何值，二次项系数不为016．(1) 当x＝0、1、2时，1993,, 444(2) 当x 取任意值时，多项式的值总是正值(3)当x ＝3时，多项式的值最小，最小值是1417.赞同小明的观点知识点3 根据一元二次方程根的判别式确定方程根的情况（重点）我们把 叫做一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式。

第1次课讲义-一元二次方程的定义、直接开平方、配方法一元二次方程的认识一、一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．注意：要想判断一个方程是不是一元二次方程，首先要做到熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程；再次需要注意的是要对方程进行简单的化简整理.二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是()200ax bx c a ++=≠．其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．例1.下列方程中，关于x 的一元二次方程有（ ）①20x =；②20ax bx c ++=23-=；④20a a x +-=；⑤()21402m m x x -++=；⑥21113x x +=2=；⑧()2219x x +=-． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个练习1.1 有下列关于x 的方程：①20ax bx c +=+，②()340x x -=，③230x y +-=，④212x x +=，⑤3380x x +=-，⑥215702x x -+=，⑦()()2251x x x -+=-．其中是一元二次方程的有（ ）个 A ．2B ．3C ．4D ．5在利用一元二次方程的定义求字母的值时，特别要注意0a ≠的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．也就是说我们不仅要使方程的最高次是二次的，同时要保证这个二次项是存在的，即二次项系数0a ≠.例2.已知：方程()||1310m m x mx ---+=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．3m =±B ．3m =C ．3m =或1m =-D ．1m =-练习2.已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．不能确定在判断一个含有字母参数的方程是什么方程时，一定要严格按照该方程的定义来判断. 例3.方程()()211310m m x m x +++--=；（1）m 取何值时是一元二次方程；（2）m 取何值时是一元一次方程．练习3.1 已知关于x 的方程()2210m m x x ++-=．（1）当m 为何值时是一元一次方程；（2）当m 为何值时是一元二次方程．在利用一元二次方程的一般式判断二次项系数、一次项系数和常数项时，一定要先将已知的一元二次方程化简后再进行判断，同时要注意其前面的符号.例4.一元二次方程2342x x -=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A ．3，﹣4，﹣2B ．3，﹣2，﹣4C ．3，2，﹣4D ．3，﹣4，0练习4.1 方程22650x x -=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5练习4.2 关于x 的一元二次方程()()()33215x x a x a -+-+=的一次项系数是（ ）A ．8aB ．8a -C ．2aD ．79a -一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．已知一个数是方程的解，只需将这个数代入到方程中得到一个等式即可.例5. 关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++=-的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．12练习5.1 如果2是方程230x x k +=-的一个根，则常数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2练习 5.2 我们知道方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，现给出另一个方程()()22322330x x +++-=，它的解是（ ）A ．11x =，23x =B ．11x =，23x =-C ．11x =-，23x =D ．11x =-，23x =-不解方程，可以通过化简，用整体代入求值。