微分方程基本理论

§12．1 微分方程的基本概念

1 第十二章 微分方程

§12 1 微分方程的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程

例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程

解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)

xdxdy2 (1)

此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件

x1时 y2 简记为y|x12 (2)

把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

xdxy2 即yx2C (3)

其中C是任意常数

把条件“x1时 y2”代入(3)式 得

212C

由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)

yx21

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式

微分方程的基本理论与解法

微分方程是数学中重要的工具和概念之一，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。本文将介绍微分方程的基本理论和解法，帮助读者对微分方程有一个全面的了解。

一、微分方程的定义与分类

微分方程是含有未知函数及其导数的方程，可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。常微分方程中未知函数只是一个变量的函数，而偏微分方程中未知函数是多个变量的函数。

二、微分方程的基本概念

1. 阶数：微分方程中导数的最高阶数称为方程的阶数。

2. 解的概念：满足微分方程的函数称为其解。

3. 初值问题与边值问题：在给定一些初值或边值条件下寻找微分方程的解的问题称为初值问题或边值问题。

三、常微分方程的解法

1. 可分离变量法：当微分方程可以写成形式 dy/dx = f(x)g(y) 时，可以通过分离变量的方法求解。

2. 齐次方程法：对于可以写成形式 dy/dx = F(y/x) 的方程，可以通过变量替换和分离变量的方法求解。 3. 一阶线性方程法：对于形如 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的方程，可以通过积分因子法求解。

4. 恰当方程法：对于形如 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 的方程，如果它是一个恰当方程，则可以通过找到势函数求解。

5. Bernoulli方程法：对于形如 dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n 的方程，可以通过将方程进行变量替换后求解。

四、偏微分方程的解法

1. 分离变量法：对于可以变为连乘形式的偏微分方程，可以通过分离变量的方法求解。

2. 特征线法：对于一阶偏微分方程，可以通过找到特征线并在特征线上进行求解。

3. 变量替换法：通过适当选择变量替换，将偏微分方程化为常微分方程进而求解。

五、微分方程的应用

微分方程广泛应用于各个学科和行业中，如物理学中的运动方程、电路系统的分析、化学反应动力学等。微分方程的解析解和数值解可以提供有关系统行为、稳定性和变化趋势等重要信息。

常微分方程的基本理论与解法

在数学领域中，常微分方程是一种描述变量间关系的重要工具。它广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个学科领域，用于描述连续系统的行为。本文将介绍常微分方程的基本理论和解法。

一、常微分方程的定义和分类

常微分方程是一个或多个未知函数及其导数之间的关系式。通常，常微分方程的解是一个或多个未知函数，使得该方程对给定的自变量集合成立。

常微分方程可分为几个主要类别：

1. 一阶常微分方程：这种方程只涉及到一阶导数。

2. 高阶常微分方程：这种方程涉及到高阶导数，如二阶、三阶等。

3. 线性常微分方程：这种方程的形式可表示为函数及其导数的线性组合。

4. 非线性常微分方程：这种方程的形式不满足线性性质。

二、常微分方程的基本理论

常微分方程的基本理论包括存在性定理、唯一性定理和稳定性定理。

1. 存在性定理：对于一阶常微分方程初值问题，存在一个解在给定的定义区间上存在，前提是方程在该区间上满足一定的连续性条件。 2. 唯一性定理：对于一阶常微分方程初值问题，如果方程和初值函数在定义区间上满足一定的连续性条件，则存在唯一的解。

3. 稳定性定理：稳定性定理研究的是方程解的渐近行为。它提供了关于解的长期行为的信息，如解是否趋向于稳定点或周期解。

三、常见的常微分方程解法

解常微分方程的方法有多种，下面介绍一些常见的解法。

1. 变量可分离法：当一个一阶常微分方程可以写成f(x)dx = g(y)dy的形式时，可以进行变量分离，将两边分别进行积分，并解出未知函数的表达式。

2. 齐次方程法：当一个一阶常微分方程可以化简为dy/dx = F(y/x)的形式时，引入新的变量u = y/x，将原方程转化为du/dx = F(u)，然后进行变量分离并积分。

3. 齐次线性方程法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，可以使用齐次线性方程的解法。通过引入缩放因子e^(∫P(x)dx)，将原方程转化为d[e^(∫P(x)dx)y]/dx = e^(∫P(x)dx)Q(x)，然后进行变量分离并积分。

高等数学教案

课题 第41讲：微分方程的基本概念 可分离变量的微分方程

时间 6月18日，星期三

教学目的要求

1．明确本章的地位、作用、学习方法及教学要求。

2．掌握微分方程、微分方程阶的概念等；

3．掌握可分离变量的微分方程的解法。

主要内容

与时间分配

1．本章简介 （5分钟）

2．微分方程的基本概念 （45分钟）

3．可分离变量的微分方程 （50分钟）

重点难点

1．微分方程的基本概念

2．用微分方程解决实际问题的两个例子。

教学方法

和手段 以讲授为主，讲、练结合，使用电子教案

课后作业练习

习题：P325：1（1，3），3（2），5 P333：1（1，5，7，8，9），2（2，4）

5，6

预习：§11-3，4