高中数学必修五全套学案
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§ 正弦定理
学习目标
1.
掌握正弦定理的内容；
2.
掌握正弦定理的证明方法；
3.
会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
学习过程
一、课前准备
试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc，
从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC．
(
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD=sinsinaBbA，则sinsinabAB，
同理可得sinsincbCB，
从而sinsinabABsincC．
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
sinsinabABsincC．
试试：
（1）在ABC中，一定成立的等式是（ ）．
A．sinsinaAbB B.coscosaAbB
C. sinsinaBbA D.coscosaBbA
（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 ．
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA， ，sinckC； （2）sinsinabABsincC等价于 ，sinsincbCB，sinaAsincC．
（3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；b ．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
如sinsinaABb；sinC ．
（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．
※ 典型例题
例1. 在ABC中，已知45Ao，60Bo，42acm，解三角形．
变式：在ABC中，已知45Bo，60Co，12acm，解三角形．
例2. 在6,45,2,,ABCcAabBCo中，求和．
变式：在3,60,1,,ABCbBcaACo中，求和．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正弦定理：sinsinabABsincC
2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，
还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.
3．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．
※ 知识拓展
sinsinabAB2sincRC，其中2R为外接圆直径.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在ABC中，若coscosAbBa，则ABC是（ ）.
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，
则a∶b∶c等于（ ）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶3
D．2∶2∶3
3. 在△ABC中，若sinsinAB，则A与B的大小关系为（ ）.
A. AB B. AB
C. A≥B D. A、B的大小关系不能确定
4. 已知ABC中，sin:sin:sin1:2:3ABC，则::abc= ．
5. 已知ABC中，A60，3a，则
sinsinsinabcABC= ．
课后作业 1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120，解此三角形．
2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为．
§ 余弦定理
学习目标
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
学习过程
一、课前准备
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 =
= ．
复习2：在△ABC中，已知10c，A=45，C=30，解此三角形．
思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？
二、新课导学
※ 探究新知
问题：在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b.
∵ACuuur ，
∴ACAC•uuuruuur
同理可得： 2222cosabcbcA，
2222coscababC．
新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．
思考：这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
从余弦定理，又可得到以下推论：
222cos2bcaAbc， ，
．
[理解定理]
（1）若C=90，则cosC ，这时222cab
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
（2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角．
试试：
（1）△ABC中，33a，2c，150Bo，求b．
（2）△ABC中，2a，2b，31c，求A．
※ 典型例题
例1. 在△ABC中，已知3a，2b，45Bo，求,AC和c．
变式：在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝________．
例2. 在△ABC中，已知三边长3a，4b，37c，求三角形的最大内角．
变式：在ABC中，若222abcbc，求角A．
三、总结提升
※ 学习小结 cabABC1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：
① 已知三边，求三角；
② 已知两边及它们的夹角，求第三边．
※ 知识拓展
在△ABC中，
若222abc，则角C是直角；
若222abc，则角C是钝角；
若222abc，则角C是锐角．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知a＝3，c＝2，B＝150°，则边b的长为（ ）.
A. 342 B. 34 C. 222 D. 22
2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.
A．60o B．75o
C．120o D．150o
3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.
A．513x B．13＜x＜5
C． 2＜x＜5 D．5＜x＜5
4. 在△ABC中，|ABuuur|＝3，|ACuuur|＝2，ABuuur与ACuuur的夹角为60°，则|ABuuur－ACuuur|＝________．
5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足
222bacab，则∠C等于 ．
课后作业
1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝1314，求最大角的余弦值．
2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求ABBCuuuruuur的值.
§ 正弦定理和余弦定理（练习）
学习目标
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；
2.
掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．
学习过程
一、课前准备
复习1：在解三角形时
已知三边求角，用 定理；
已知两边和夹角，求第三边，用 定理；
已知两角和一边，用 定理．
复习2：在△ABC中，已知 A＝6，a＝252，b＝502，解此三角形．
二、新课导学
※ 学习探究
探究：在△ABC中，已知下列条件，解三角形. ① A＝6，a＝25，b＝502；
② A＝6，a＝5063，b＝502；
③ A＝6，a＝50，b＝502.
思考：解的个数情况为何会发生变化？
新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．
试试：
1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？
2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？
※ 典型例题
例1. 在ABC中，已知80a，100b，45A，试判断此三角形的解的情况．
变式：在ABC中，若1a，12c，40C，则符合题意的b的值有_____个．
例2. 在ABC中，60A，1b，2c，求sinsinsinabcABC的值．
变式：在ABC中，若55a，16b，且1sin22032abC，求角C．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；
2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；
3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；
4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．
※ 知识拓展
在ABC中，已知,,abA，讨论三角形解的情况 ：①当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解；
②当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；
如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若sinabA，则有两解；
（2）若sinabA，则只有一解；
（3）若sinabA，则无解．
