昌吉学院学报 ２０１０年第ｌ期 向量共线与共面的两种新的存在形式 李 硕 （昌吉学院数学系 新疆 昌吉 ８３１１００） 摘 要：对于任意的两向量ａ和ｂ．如果存在一个向量ｃ，使得ａ・Ｃ＝０且ｂ・ｃ：０；则有ａＸ ｂｆｆｃ；并对任 意的三向量ａ，ｂ，Ｃ，则ａ，ｂ．（ａ×ｂ）×ｃ三向量必共面。 关键词：向量；共线；共面 中图分类号：０１８２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—６４６９（２０１０）Ｏｌ一０９９—０２ ｌ 引言 解析几何的基本思想就是用代数的方法来研 究空间中的几何问题，为了把代数运算引到几何 中来，基本做法就是设法把几何结构有系统的代 数化。一般地，先在空间引进向量以及它的运算， 并通过向量来建立坐标系，使得点用有序实数组 来表示，从而几何问题就转化为代数问题。 向量是数学基本概念之一，用它解决几何问 题有时比用坐标系更简洁。共线向量与共面向量 在向量的线性运算中占有重要的地位，并产生了 许多与之有关的经典定理。我们在此基础上继续 进行探索，得出了一些新的结果。 ２相关定义及引理 我们讨论的向量是既有大小又有方向的量， 这里一般用黑体字母ａ，ｂ，Ｃ，…来表示向量。向 量的大小叫做向量的模，一般记作１ ａｌ。 定义２．１ｌ１ 平行于同一直线的一组向量叫 做共线向量。共线向量也叫平行向量。如果ａ与 ｂ共线，则可写成ａ／／ｂ。零向量与任意向量都共 线。 定义２．２口 平行于同一平面的一组向量叫 做共面向量。显然，共线的向量必共面；任意两个 向量总是共面的。 定义２．３ 两个向量ａ与ｂ的模和它们夹 角的余弦的乘积叫做向量的数量积（也称内积）， 记作ａ・ｂ，即 ａ・ｂ—Ｉ ａｌ ｌｂ｛ＣＯＳ （ａ，ｂ）． 定义２．４［４］ 两个向量ａ与ｂ的向量积（也称 外积）是一个向量，记作ａＸｂ，它的模是： ａ×ｂ—ｌ ａｌ｝ｂＩ ｓｉｎ （ａ，ｂ）， 其方向规定为：与ａ和ｂ都垂直，并且按ａ，ｂ，ａＸｂ 这个顺序构成右手标架。 引理２．５［５ 两个向量ａ与ｂ相互垂直的充 分必要条件是ａ・ｂ＝０。 引理２．６ ＬＥ 两个向量ａ与ｂ共线的充分必 要条件是ａ×ｂ＝０。 定义２．７ Ｌ７ 给定空间三向量，先作其中两 个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的 向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给 三向量的双重向量积（二重外积）。 ３主要结果及其证明 定理３．１ 对于任意的两向量ａ和ｂ，如果存 在一个向量ｃ，使得ａ・ｃ＝０且ｂ・ｃ＝０；则有ａ ×ｂ／／ｃ。 证明：当ａ，ｂ，ｃ三者中有一个为零向量，或 者ａ与ｂ共线时，由定义２．１及引理２．６，定理３． １显然成立。 当ａ，ｂ，Ｃ三者不属于上述各种情况时，作一 收稿日期：２００９～ｌｌ—Ｏ２ 作者简介：李硕（１９７５～）。男，回族．甘肃天水市人，昌吉学院数学系，讲师．研究方向：图论及组合最优化。
证明三向量共面
引言
在线性代数中，向量是研究空间中的重要对象。当我们考虑三个向量时，有时候需要确定它们是否位于同一个平面上，即判断它们是否共面。本文将介绍如何证明三个向量共面的方法。
一、共线与共面的区别
在开始证明三向量共面之前，我们先来了解一下“共线”和“共面”的概念。
1. 共线： 三个向量位于同一条直线上时，我们称这三个向量为共线。在二维空间中，如果两个非零向量平行，则它们是共线的。而在三维空间中，如果两个非零向量平行，则它们不仅是共线的，还是位于同一个平面上的。
2. 共面： 三个或多个向量位于同一个平面上时，我们称这些向量为共面。对于三维空间中的情况，我们关注的是三个向量是否能够位于同一个平面上。
二、判断三向量是否共面
为了判断给定的三个向量是否共面，我们可以使用以下两种方法：行列式法和点积法。
方法一：行列式法
行列式法利用了行列式的性质来判断三个向量是否共面。假设有三个向量𝐚，𝐛和𝐜，它们的坐标分别为(𝑎1,𝑎2,𝑎3)，(𝑏1,𝑏2,𝑏3)和(𝑐1,𝑐2,𝑐3)。我们可以将这三个向量组成一个3×3的矩阵：
[𝑎1𝑎2𝑎3𝑏1𝑏2𝑏3𝑐1𝑐2𝑐3]
然后计算该矩阵的行列式值。如果行列式的值为0，则说明这三个向量共面；如果行列式的值不为0，则说明这三个向量不共面。
方法二：点积法
点积法通过计算两个向量之间的点积来判断它们是否共面。具体步骤如下：
1. 假设有三个向量𝐚，𝐛和𝐜。
2. 计算向量𝐚与向量𝐛的点积：𝐚⋅𝐛=𝑎𝑥𝑏𝑥+𝑎𝑦𝑏𝑦+𝑎𝑧𝑏𝑧。
3. 计算向量𝐚与向量𝐜的点积：𝐚⋅𝐜=𝑎𝑥𝑐𝑥+𝑎𝑦𝑐𝑦+𝑎𝑧𝑐𝑧。 4. 计算向量𝐛与向量𝐜的点积：𝐛⋅𝐜=𝑏𝑥𝑐𝑥+𝑏𝑦𝑐𝑦+𝑏𝑧𝑐𝑧。
5. 如果上述三个点积相等，即𝐚⋅𝐛=𝐚⋅𝐜=𝐛⋅𝐜，则说明这三个向量共面；如果上述三个点积不相等，则说明这三个向量不共面。
平面向量的共线和共面关系的判定方法
平面向量在数学中具有广泛的应用，其中共线和共面是常见的关系。本文将介绍平面向量共线和共面的判定方法。
共线的判定方法
1. 向量的倍数关系
若有两个非零向量a和b，若存在实数k，使得b=ka，则可以判断向量a和b共线。当k=0时，b即为零向量，此时也可视为共线。
2. 向量的夹角关系
若有两个非零向量a和b，若它们的夹角为0度或180度，则可判断向量a和b共线。当夹角为0度时，两向量同向；当夹角为180度时，两向量反向。
共面的判定方法
1. 向量的线性关系
若有三个非零向量a、b和c，若存在实数k1和k2，使得c=k1a+k2b，则可以判断向量a、b和c共面。实质上是通过线性组合关系判断向量是否位于同一平面上。
2. 向量叉乘关系 假设有三个非零向量a、b和c，若它们满足向量叉乘的性质，即a×(b×c)=0，则可以判断向量a、b和c共面。此方法利用了向量叉乘的性质，判断向量是否在同一平面上。
3. 行列式的值为零
若有三个非零向量a、b和c，可以构成一个3×3行列式：
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
| c1 c2 c3 |
若行列式的值为零，即| a1 a2 a3 |× | b1 b2 b3 |× | c1 c2 c3 |=0，则可判断向量a、b和c共面。
总结
对于平面向量的共线关系，可以通过向量的倍数关系和夹角关系进行判定；对于平面向量的共面关系，可以通过向量的线性关系、向量叉乘关系和行列式的值为零进行判定。这些方法都是基于向量的性质和关系进行推导和判断，能够准确地确定向量之间的相互关系。
通过以上介绍，我们了解了平面向量共线和共面关系的判定方法。掌握这些方法可以帮助我们更好地理解和应用平面向量的性质，进一步拓展数学知识的应用领域。
立体几何初步
一、立体几何中的共点、共线、共面问题
（1）共线问题
例1. 若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：
(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；
(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).
例2. 点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.
例3. 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。
（2）共面问题
例4. 直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.
例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.
已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.
求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内
例6. 已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分别是两条异面直线l1和l2上的任意三点，M、N、R、T分别是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中点.求证：M、N、R、T四点共面.
例7. 在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足MBAM＝NBCN＝QDAQ＝PDCP＝k.
(1)求证：M、N、P、Q共面.
(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)
（3）共点问题
例8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.
二、三视图
1、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面
积为 （ ）
A．163 B．83 C．43 D．23
2、将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如右图所示，则该几何体的俯视图为
