平面向量与向量的共线与共面性

相等向量与共线向量

平凉一中：黄丽霞

教材分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4》（人教A版）第二章第一节的第二课时（2.1）《相等向量与共线向量》．本节内容属于概念性知识及运用．

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学中具有广泛的应用。理解相等向量与共线向量．(重点) 理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 正确区分向量平行与直线平行．(易混点)

教学目标：1、能叙述相等向量、共线向量概念；能在图形中辨认相等向量和共线向量，知道平行向量和共线向量相同.区分相等向量和共线向量及平行向量。

2、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：相等向量、共线向量的概念，能在图形中辨认相等向量和共线向量教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

教学策略：为了更好的突出教学重点，突破教学难点，完成教学目标，我采用引导启发的教学方式，通过“复习旧知，引入课题——问题引领，逐步探究——巩固提升——当堂检测——归纳小结，延伸课堂”这些环节循序渐进地将问题逐步引向深入，从而完成本节课的目标．

教法与学法：教法：问题学习法、自主学习与合作探究以及讲练相结合。学法：本节是本章的入门课，在学习了向量、零向量、单位向量、平行向量的概念基础上，结合图形理解相等向量与共线向量，能区分相等向量与共线向量及平行向量.

教 具：多媒体或实物投影仪

授课类型：新授课

教学流程：

复习引入——探究新知——巩固提升——当堂检测——归纳小结

教学思路：一.情景设置：(一).复习旧知：

见学案

(二).问题引入

类比数量相等关系，两个向量满足什么条件时相等？

二.探究学习1.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线．．．．OAOA段的起点无关．．．．．．.

平面向量的共线和共面关系

平面向量是数学中的一个重要概念，它们在几何学、物理学等领域中有着广泛的应用。在研究平面向量时，我们经常会涉及到共线和共面的关系。本文将介绍平面向量的共线和共面关系，并探讨它们的性质和应用。

一、共线关系

在平面几何中，如果有两个向量的方向相同或相反，且它们的长度也成等比例关系，那么这两个向量就是共线的。

1.1 共线向量的定义

设有两个向量⁠⁠→，⁠→，如果存在实数⁠，使得⁠→=⁠⁠→

（⁠≠0），那么⁠→与⁠→是共线的。此时，我们可以称⁠→是与⁠→共线的，也可以称⁠→是与⁠→共线的。

1.2 共线向量的性质

共线向量具有以下性质：

（1）共线向量的方向相同或相反；

（2）共线向量的长度成等比例关系；

（3）共线向量的终点在一条直线上。

1.3 共线向量的判定

判断两个向量是否共线，可以通过以下方法： （1）比较两个向量的方向是否相同或相反；

（2）比较两个向量的长度是否成等比例关系；

（3）验证两个向量的终点是否在同一条直线上。

二、共面关系

在三维空间中，如果有三个向量的起点都相同，或者起点都在同一平面上，并且这三个向量所在的平面没有其他向量，那么这三个向量就是共面的。

2.1 共面向量的定义

设有三个向量⁠⁠→，⁠→，⁠→，如果存在实数⁠，⁠，⁠，使得⁠→=⁠⁠→+⁠⁠→ （⁠≠0，⁠≠0），那么我们可以称⁠→，⁠→，⁠→为共面向量。此时，我们可以称⁠→是由⁠→与⁠→共面确定的向量，也可以称⁠→与⁠→共面确定的向量是⁠→。

2.2 共面向量的性质

共面向量具有以下性质：

（1）共面向量所在的平面上，任意两个向量也是共线的；

（2）共面向量的线性组合仍然在同一平面上；

（3）共面向量的终点在同一个平面上。

2.3 共面向量的判定

判断三个向量是否共面，可以通过以下方法： （1）比较三个向量的起点是否相同或在同一平面上；

（2）验证三个向量是否可以表示为一个向量的线性组合；

1技巧八平面向量基本定理系数的等值线法

一、适用题型

在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达

式及平方和时，可以用等值线法。

二、基本理论

（一）平面向量共线定理

三点共线；反之亦然，则若已知CBAOCOBOA,,1,

（二）等和线

平面内一组基底OBOA,

及任一向量OP

，

ROBOAOP

,

，若

点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则)(定值k

,反之也成立，我

们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和线。

（1）当等和线恰为直线AB时，1k；

（2）当等和线在O点和直线AB之间时，

1,0k；

（3）当直线AB在O点和等和线之间时，

，1k；

（4）当等和线过O点时，0k；

（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；

（6）定值k的变化与等和线到O点的距离成正比；

（三）等差线

平面内一组基底OBOA,

及任一向量OP

，

ROBOAOP

,

，C为

线段AB的中点，若点P在直线OC上或在平行于OC的直线上，则

)(定值k

,反之也成立，我们把直线OC以及与直线OC平行的直线称为等

差线。

（1）当等差线恰为直线OC时，0k；

（2）当等差线过A点时，1k；

（3）当等差线在直线OC与点A之间时，

1,0k；

（4）当等差线与BA延长线相交时，

，1k；

（5）若两等差线关于直线OC对称，则两定值k

互为相反数；

2（四）等积线

平面内一组基底OBOA,

及任一向量OP

，

ROBOAOP

,

，若

点P在以直线OBOA,为渐近线的双曲线上，则

为定值k，反之也成立，我们

把以直线OBOA,为渐近线的双曲线称为等积线

（1）当双曲线有一支在AOB内时，0k；

（2）当双曲线的两支都不在AOB内时，0k；

（3

）特别的，若

baOBbaOA,,,

，点P在双曲线

)0,0(1

22

22

ba

by

ax时，

41

k；

平面向量的共线与共面

平面向量是在平面上有大小和方向的矢量，可以用有向线段表示。共线是指两个或多个向量具有相同的方向或相反的方向；共面是指多个向量所在的直线都在同一个平面上。本文将从定义、判定条件、性质和几何意义等方面探讨平面向量的共线与共面。

一、定义

平面向量是具有大小和方向的有序对。用有向线段AB表示向量，表示为AB。向量有起点A和终点B，起点和终点相同的向量为零向量，记作0。在平面上，如果两个向量的起点或终点相同，则这两个向量是共线向量。

二、共线的判定条件

两个向量共线的判定条件有两种：一种是通过向量的倍数关系判定，另一种是通过向量的坐标表示判定。

1. 倍数关系判定：给定两个向量a和b，如果存在一个数k，使得a=k·b，则a和b共线。根据这一判定条件，可以得出两个向量共线的必要条件为它们的方向相同或相反。

2. 坐标表示判定：设向量a的坐标表示为a=(x1, y1)，向量b的坐标表示为b=(x2, y2)。如果a、b不是零向量且有x1/x2=y1/y2，则a、b共线。

三、平面向量共线的性质 共线向量具有以下性质：

1. 共线向量的线性运算：对于共线向量a、b和任意实数k，有a+b和ka也是共线向量。

2. 共线向量的倍点共线：给定向量a和b，那么a和b的中点与a之间的向量、a和b的中点与b之间的向量也共线。

3. 共线向量的加法：对于共线向量a和b，它们之和等于共线化简为k个单位向量（k为实数），即a+b=k。

四、共面的判定条件

三个平面向量A、B和C共面的判定条件为：存在实数x、y和z，使得A=x·B+y·C。

五、平面向量共面的性质

共面向量具有以下性质：

1. 共面向量的线性运算：对于共面向量A、B和任意实数x、y，有x·A+y·B也是共面向量。

2. 共面向量的线性组合：对于共面向量A1、A2、A3和任意实数x1、x2、x3，有x1·A1+x2·A2+x3·A3也是共面向量。