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变量之间的相关关系 优秀教案

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变量间的相关关系

【教学目标】

1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观 认识变量间的相关关系；

2．知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

【教学重点】

作出散点图和根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

【教学难点】

对最小二乘法的理解。

【课前准备】

多媒体课件

【教学过程】

一、复习回顾

标准差的公式为：_____________________________________________________

二、创设情境

1．函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式。对于两个变量，如果当一个变量的取值一

定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系

2．在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问

题。”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成

绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？

3．“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的

教学水平之间的关系是函数关系吗？

三、新知探究

思考：考察下列问题中两个变量之间的关系：

（1）商品销售收入与广告支出经费； （2）粮食产量与施肥量；

（3）人体内的脂肪含量与年龄。

这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？

相关关系：

自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系。

【说明】函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系。

思考探究：

1．有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语。吸烟是否一定会引起健康问题？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？

2．某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？

分析：（1）吸烟只是影响健康的一个因素，对健康的影响还有其他的一些因素，两者之间非函数关系即非因果关系；

（2）不对，这也是相关关系而不是函数关系。

上面提到了很多相关关系，那它们之间的相关关系强还是弱？我们下面来研究一下。

散点图

探究：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：

其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数。

思考探究：

1．对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性。观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？

2．为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象。以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？ 年龄 23 27 39 41 45 49 50

脂肪 9．5 17．8 21．2 25．9 27．5 26．3 28．2

年龄 53 54 56 57 58 60 61

脂肪 29．6 30.2 31．4 30.8 33．5 35．2 34．6

在平面直角坐标系中，

表示具有相关关系的

两个变量的一组数据图

形称为散点图。

3．观察人的年龄的与人体脂肪含量散点图的大致趋势，有什么样的特点？这种相关关系我们称为什么？还有没有其他的相关关系？它又有怎样的特点？

三、线性相关、回归直线方程和最小二乘法

在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？

如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。

我们所画的回归直线应该使散点图中的各点在整体上尽可能的与其接近。我们怎么来实现这一目的呢？说一说你的想法。

设所求的直线方程为yˆ=bx+a，其中A、B是待定系数。

则yˆi=bxi+a（i=1，2，…，n）。于是得到各个偏差

yi－yˆi =yi－（bxi+a）（i=1，2，…，n）

显见，偏差yi－yˆi 的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和

Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）2+…+（yn－bxn－a）2

表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。

记Q=niiiabxy12)(

这样，问题就归结为：当A、B取什么值时Q最小，A、B的值由下面的公式给出： 051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量 .,)())((1221121xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii

其中x=n1niix1，y=n1niiy1，a为回归方程的斜率，b为截距。

求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法。

【例题精析】

有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表：

摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31

36

热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54

（1）画出散点图；

（2）从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律；

（3）求回归方程；

（4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数。

解：

（4）当x=2时，y=143．063

【课堂小结】

1．求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：

（1）计算平均数x，y；

（2）求a，b；

（3）写出回归直线方程。 y = -2.3517x + 147.77020406080100120140160180-10010203040温度热饮杯数2．回归方程被样本数据惟一确定，对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归

直线也具有随机性。。

3．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关

关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的。因此，对一组样本数据，

应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程。

【作业布置】

【板书设计】

www。ks5u。com 一、相关关系

二、散点图

三、线性相关、回归直线方程和最小二乘法 例题讲解

小结

合集下载

2.3.1（2.3.2）变量之间的相关关系和线性关系

2.3.1（2.3.2）变量之间的相关关系和线性关系

统计 备课人：刘老师

2.3 变量间的相关关系

2.3.1 变量之间的相关关系

2.3.2 两个变量的线性相关 整体设计

教学分析 变量之间的关系是人们感兴趣的问题.教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间

的关系”,引导学生考察变量之间的关系.在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在

不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.随后,通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系,引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型）.

教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中,向学生展示创造性思维的过程,帮助学

生理解最小二乘法的思想.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使学生了解利用线性

回归方程解决实际问题的全过程,体会线性回归方程作出的预测结果的随机性,并且可能犯的

错误.进一步,教师可以利用计算机模拟和多媒体技术,直观形象地展示预测结果的随机性和规律性.

三维目标 1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.

2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确

定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系. 3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的

线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．

重点难点

教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散

点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．

教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最

小二乘法的思想.

课时安排 2课时 教学过程

第1课时 导入新课

思路1 在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种

2.3.1 变量的相关关系 优秀教案

2.3.1 变量的相关关系 优秀教案

2.3.1 变量的相关关系

【课题】：2.3.1变量的相关关系

【设计与执教者】：广州2中，张和发，zhanghefa@

【教学时间】：1课时 ( 80’)

【学情分析】：《变量的相关关系》是《高中数学》必修三第二章《统计》中的第三节，是统计学的重要一节。在前两节中，学生通过实例体会抽样调查的重要性和必要性，并学习如何收集数据，整理数据，并利用数据估计总体的方法。在本节中学生将进一步学习如何利用数据研究两变量间的关系，进一步体会统计学的思想方法，体会运用统计方法解决实际问题。

因此，让学生经历提出问题到解决问题的全过程是重要而不可或缺的。由于一般来说统计的数据比较多，让学生学习利用计算机（计算器）等现代信息技术处理数据是素质教育的需要，所以本节设计要考虑此问题。但由于推导线性回归直线方程的过程比较复杂，一般学生一时难以接受，因此重点是让学生了解推导线性回归直线方程的最小二乘法的思想，能根据给出的公式建立线性回归直线方程即可。

本课时主要是让学生了解相关关系，对此学生有感性认识，但认识不是很清楚，可以从实例引导学生思考。

【教学目标】：

（1）知识与技能：会作散点图，并由此对变量间的正相关或负相关关系做出直观的判断。

（2）过程与方法： 通过实例了解变量之间的相互关系，通过作散点图判断变量间的关系。

（3）情感态度与价值观：认识现实生活中两变量存在非确定的相关关系，体会事物间联系的普遍性，养成运用数学方法解决实际问题的科学方法与习惯。

【教学重点】：利用散点图直观认识两个变量之间的关系。

【教学难点】：从实例中抽象出物之间的相关关系

【教学突破点】：从学生熟悉的实际问题引入变量相关关系的概念，通过讨论探究如何判断两变量间的关系引入新课。

【教法、学法设计】：讨论探究、合作交流、讲练结合。

【课前准备】：课件，计算机及相关软件（Excel,几何画板）

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图

变量之间的相关关系

变量之间的相关关系

变量之间的相关关系

导入案例：

2012年奥斯卡颁奖典礼中，每30秒广告定价为170万美元，相当于每秒5.67万美元，折合成人民币约每秒35.7万元。但是比起春晚广告却很便宜，以2011年春晚为例，“零点报时”的价格达到创纪录的每秒500万元天价，比奥斯卡的广告价格高了17倍。

广告投入与产品销售之间的关系世人皆知。然而“广告投入越多，产品销售越好”共性下，不同行业不同产品的“广告投入有效率”却各有差异。

广告每多投入一元将拉动销售增长多少？

现象相互之间的密切关系怎样衡量？

现象间的数量关系如何表达？

这就需要引入新的统计工具——相关于回归分析。

1、 相关关系的概念

相关关系(Correlation)是指现象间的非确定性的数量上的依存关系。它有两个特点：一是现象上确实存在数量上的依存关系；而是数量依存关系的值是不确定的。

例如人的身高和体重之间确实存在着“身高越高，体重越大”的数量关系，但是，身高和体重却不是一一对应的。身高170cm的人，相应的体重并不完全一样；同样，体重65kg的人，会对应着不同的身高。相关关系这种特点，决定了它与函数关系的区别。

函数关系是指现象间存在确定性的数量依存关系，例如给定一个圆的半径，它的面积便可唯一确定，面积是半径的函数。

函数关系与相关关系既有区别又有联系，可相互转化，一般来说在社会经济等领域中的函数关系反映了现象之间的理想状态，而相关关系则反映了现象之间的现实状态。相关关系是相关分析的研究对象，函数关系是相关分析的工具。

2、 相关关系的种类

按变量多少区分：单相关(两个变量之间，只涉及一个自变量和一个因变量，例如只研究收入与消费水平的关系)和复相关(三个或三个以上的相关关系，例如冰激凌的销售量与价格、气温、消费者收入和消费者年龄构成等之间的相关关系)。

按相关表现形式区分：线性相关和非线性相关。

按直线相关方向：正相关和负相关。

按相关程度：完全相关（函数关系）、不相关（变量之间相互独立，如成绩与身高）和不完全相关（介于前两者之间，如女性的结婚年龄与受教育程度）。

用表格表示变量之间的关系优秀教案

用表格表示变量之间的关系优秀教案

1 / 5 用表格表示变量之间的关系

【教学目标】

（一）知识与技能：

（1）经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。

（2）在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。

（3）能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并能根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测。

（二）过程与方法：

经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，在探索活动中理解变量之间的相依关系，并尝试用语言和符号去刻画。

（三）情感与态度：

在探索现实世界变化规律的过程中，从运动变化的角度认识数学对象，提高学生的数学素养，感受数学的价值。

【教学重难点】

1．能从表格中分清什么是变量、自变量与因变量，理解因变量随自变量的变化的规律。

2．理解两个变量之间的依赖关系。

【教学过程】

（一）创设情境、导入新课：

观察右图，你从图中看到了什么？

从17岁以后不同年龄段男孩女孩的身高情况：

（1）自身比不同年龄平均身高情况如何？

（2）男、女孩不同年龄身高的比情况如何？

（3）大致的描述青春期男、女生平均身高的变化情况。

教师指明：这个图形还可以告诉我们很多信息，如什么时候女孩平均身高变化不大，什么时候男孩比女孩身高增长的势头大。 现在我们只研究一个量（比如男孩的平均身高）与另一个量（如男孩年龄）之间的关系， 2 / 5 学习这些知识，可以更好地了解自己，关心自己。

（二）探究新知：

体会概念

实验：小车下滑的时间。

实验内容：利用同一块木板，测量小车从不同的高度下滑的时间，然后将得到的数据填入下表：

支撑物高度/厘米 20 30 40 50 60 70 80

小车下滑时间/秒

实验要求：四位同学上台共同完成，一位操作车、一位接车、一位按表、读表、一位记录，其他同学观察。

（实验得到的数据可能是：支撑物高度20厘米，时间1.47秒；支撑物高度30厘米，时间1.10秒；支撑物高度40厘米，时间0.91秒；支撑物高度50厘米，时间0.78秒；支撑物高度60厘米，时间0.71秒；支撑物高度70厘米，时间0.65秒。）