8-1试用积分法求图示各梁的转角方程和挠度方程，并求A截面转角和C截面挠度。
解：如(c)图所示
约束反力为：
PR
B=， PlM
B23
=
弯矩方程为：
8-3 滚轮在天车梁上移动。现将梁做成向上微弯，若要求滚轮在梁上能走一
水平路径，问需把梁预弯成什么形状（用v＝f (x)的方程表示）才能达到要求？
8-6 试画出下列各梁的挠曲线的大致形状。注意曲率符号及支座约束条件。
8-9．
EIaq
yc84
=，此梁曲线的大致形状如图c所示。 8-17
8－23 试用，叠加法计算图示等截面刚架B处的垂直位移。C处为刚节点。此刚
架的截面为圆形，抗弯刚度为EI，抗扭刚度为GIP。
解：
分段考虑
（1）AC：C点受力P和力矩M＝Pl的共同作用。
在力P作用下：
EIpl
y
c33
1=
在力矩M作用下：
ρϕ
GIpl
ly
c2
2==
（2）BC：
EIpl
y
B33
=
ρGIpl
EIpl
yyyvBccB33
2132
+=++=
8－28 A1B梁用A2C梁加固，两梁的EI相同，试用变形比较法求两梁接触处的
压力YC。并用叠加法求vB。
解：分开考虑两个梁
（1） 对A1B：
A1B受到P和Yc的共同作用，
当P单独作用时：))(3(
612
1/
1↓−=ll
EIpl
v
c
当Yc的单独作用：)(
32
1//
1↑=
EIlY
vc
c
//
1/
11cccvvv−=∴
对A2C：)(
32
1
2↓=
EIlY
vc
c
利用，可得： 21ccvv=∴
11
4)3(
lllp
Y
c−
=
（2）
当P单独作用时：)(
32
1↓=
EIpl
v
B
当Yc的单独作用： ))(3(
612
1
1↓−=ll
EIlY
vc
B
)3(
6312
13
21ll
EIlY
EIpl
vvvc
BBB−−=−=∴
8-30 图示结构，悬臂梁AB和简支梁DG均用18号工字钢制成，BC为圆截
面钢杆，直径d＝20mm。梁和杆的弹性模量均为E＝200GPa。若P＝30kN，试
计算梁和杆内最大正应力以及截面C的垂直位移。
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第5章 梁弯曲时的位移
5.1 复习笔记
梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出
现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线
方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再
介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。
一、梁的位移——挠度及转角
挠度和转角的概念（见表5-1-1）
表5-1-1 挠度和转角的概念
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二、梁的挠曲线近似微分方程及其积分
1．挠曲线近似微分方程（见表5-1-2）
表5-1-2 挠曲线近似微分方程
2．挠曲线近似微分方程积分（见表5-1-3）
表5-1-3 挠曲线近似微分方程积分
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三、按叠加原理计算梁的挠度和转角
叠加原理：梁在小变形情况下，其挠度和转角与作用在梁上的荷载呈线性关系，梁在多
项荷载同时作用下，其挠度和转角等于每项荷载单独作用下挠度和转角的叠加，计算方法见
表5-1-4。
表5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表5-1-5）
表5-1-5 梁的刚度校核及提高措施
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五、梁内的弯曲应变能
定义：
由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其
弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表5-1-6。
表5-1-6 梁内的弯曲应变能
5.2 课后习题详解
挠度与转角的关系
挠度与转角是结构力学中非常重要的概念。挠度指的是结构在受
力作用下发生的弯曲程度，而转角则是指这种弯曲程度所产生的角度
变化量。
在实际工程中，结构的挠度和转角通常都会对结构的性能和安全
产生巨大的影响。下面我们从多个方面来探讨挠度与转角之间的关系，
并为工程师提供一些有益的指导意义。
首先，我们需要明确的是，挠度和转角的大小都是跟结构的载荷
有关的。一般来说，载荷增大会导致结构产生更大的挠度和转角。因
此，在设计结构时，我们需要充分考虑载荷的大小和方向，以使结构
的强度和稳定性得到保证。
其次，挠度和转角也会对结构的刚度产生影响。在弹性范围内，
挠度和转角之间存在一个线性关系。这个关系通常用梁的挠度方程来
表示，即挠度=(载荷*距离^2)/(6*弹性模量*惯性矩)。由此可见，增
加弹性模量和惯性矩、减小距离和载荷的大小，都有助于降低挠度和
转角，提高结构的刚度。
此外，挠度和转角还会对结构的疲劳寿命产生影响。在反复载荷
作用下，挠度和转角会引起结构中的应力集中和疲劳裂纹的形成，从
而缩短结构的使用寿命。因此，我们需要在设计中充分考虑结构的疲
劳寿命，并采取相应的措施来减小挠度和转角的大小，从而延长结构
的使用寿命。 最后，我们还需要注意的是，挠度和转角的出现也可能是由于结
构缺陷而造成的。例如，结构中可能存在着不均匀的强度分布、材料
缺陷、制造误差等问题，这些缺陷都会导致结构的挠度和转角超出正
常范围。因此，在结构设计和制造过程中，我们需要严格控制各项参
数，以保证结构的完整性和安全性。
总之，挠度与转角之间的关系是非常密切的。在结构设计和实际
工程中，我们需要充分认识到这个关系，合理控制结构的载荷、材料
及相关参数，以使结构的强度、稳定性、刚度和疲劳寿命得到最优化
的保障。
静定梁受弯构件的转角与挠度的求解方法探讨
Ｅｘｐｌｏｒｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｓｔａｔｉｃ ｓｌｏｐｅ ａｎｄ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｂｅａｍ
林相刚焦安梅（日照港集团有限公司，山东日照２７６８２６）
摘要：本文简要介绍了静定梁的转角和挠度的几种求解方法，对每种方法适用的工况予以说明，通过具体的例题，
用不同的方法分别求解，以加深对概念的理解，并对解题问题的思路进行归纳总结，具有较好的应用实践价值。
关键词：转角；挠度；荷栽；弹性模量；惯性矩；积分
Ａｂｓｔ ｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｓｅｖｅｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｃ ｓｔａｂｌｅ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｂｅａｍ ｆｏｒ ｓｌｏｐｅ ａｎｄ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ
ｂｒｉｅｆｌｙ，ｓｈｏｗｅｄ ｔＯ ｅａｃｈ ｍｅｔｈｏｄ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｏｐｅｒａｔｉｎｇ ｍｏｄｅ，ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｓａｍｐｌｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎ，ｓｏｌｖｅｓ ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｉｆｅｒｅｎｔ
ｍｅｔｈｏｄ，ｄｅｅｐｅｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ，ａｎｄ ｃａｒｒｉｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｓｏｌｖｉｎｇ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｍｅｎｔａｌｉｔｙ ｔｏ
ｓｕｍｍａｒｉｚｅ，ｈａｓ ｔｈｅ ｇｏｏｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｖａｌｕｅ．
Ｋｅｙｗｏｒｄ：￣ｎｇｌｅ；ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ；ｌｏａｄ；ｅｌａｓｔｉｃ ｍｏｄｕｌｕｓ；ｍｏｍｅｎｔ ｏｆｉｎｅｒｔｉａ；ｉｎｔｅｇｒａｌ
中图分类号：ＴＢ１２５文献标识码：Ａ文章编号：１００３—８９６５（２０１３）０４—００７０—０２
在实际工程中，常常对梁和轴等受弯构件的变形有
一定的限制要求，准确的计算梁或轴的转角及挠度，不仅
