线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

1 直线与平面垂直的判定

直线与平面垂直的判定与证明方法：

①用线面垂直定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面.

②用线面垂直判定定理：若一直线与平面内两相交直线都垂直，这条直线与平面垂直.

③用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面，则另一条也必垂直这个平面.

④用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面.

⑤用面面平行性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面.

⑥用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面.

线面垂直的判定

1. 如图，直角ABC△所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点．

（１） 求证：SD平面ABC；

（２） 若ABBC，求证：BD面SAC．

答案：证明：（１）SASC∵，

D为AC的中点，SDAC∴．

连结BD．

在ABCRt△中，则ADDCBD．

ADSBDS∴△≌△，SDBD∴．

又ACBDD，SD∴面ABC．

（２）BABC∵，D为AC的中点，

BDAC∴．

又由（１）知SD面ABC， SDBD∴．

于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．

∴BD面SAC．

2. 如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC. 【探究】 根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直，根据H是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC两两垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，由此可知BC垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH，结论得证.

证明：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC. ①

∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.

又∵BC平面PBC，PA⊥BC， ②

由①②知，BC⊥PH，

9.5直线、平面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b ⇒l⊥α

性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥αb⊥α⇒a∥b

2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直 l⊂βl⊥α⇒α⊥β

性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α

1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件．

2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．

3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．

[试一试]

1．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的________条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”)．

【解析】根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．

【答案】必要不充分

2．(2014·盐城摸底)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：

(1)若m⊥n，m⊂α，则n⊥α；

(2)若m⊥α，n∥m，则n⊥α；

(3)若n∥α，m⊂α，则n∥m；

(4)若m∥α，n∥α，则m∥n.

其中真命题是________(填序号)．

【解析】对于(1)，n⊂α，n与α相交，n⊥α都有可能；对于(3)，n与m异面，n∥m都有可能；对于(4)，m与n相交，平行，异面都有可能．

面面垂直线面垂直的判定定理

一、引言

在几何学中，面面垂直是一个基本的概念。当两个平面垂直时，我们称它们是面面垂直的。本文将介绍面面垂直线面垂直的判定定理。

二、定义

1. 面：在三维空间中，由无数条线段组成的平坦曲面。

2. 平行：两条线或两个平面在同一平面内，且不相交。

3. 垂直：两条线或两个平面相交于一个角度为90度的交点。

4. 面面垂直：当两个平面相互垂直时，它们被称为“面面垂直”。

三、定理

如果一条直线同时与两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面的交线是另一个平面上的一条直线，则这两个平面是“面面垂直”的。

四、证明

假设有两个不同的平面A和B，并且这两个平面相互垂直。我们需要证明如果一条直线同时与这两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面A的交线是另一个平面B上的一条直线，则这两个平面是“ 面 面 垂 直”的。

首先，我们需要证明这条直线存在。假设这两个平面A和B相交于一条直线L。因为这两个平面相互垂直，所以它们的交角为90度，因此直线L与平面A和平面B的交线都是垂直的。

接下来，我们需要证明这条直线与平面A和平面B的交线是垂直的。假设这条直线与平面A的交点为P，与平面B的交点为Q，并且PQ在平面B上。我们需要证明AP和BQ是垂直的。

由于PQ在平面B上，所以PQ与平面A的交线PA也在平面B上。因此，我们可以得到三角形APQ和三角形BPQ共享一个角度PQB，并且它们有一个共同边界PQ。

根据余弦定理：

cos(APQ) = (AQ² + PQ² - AP²) / (2 * AQ * PQ)

cos(BPQ) = (BQ² + PQ² - BP²) / (2 * BQ * PQ)

由于AP = BQ（因为它们都等于L），所以AP² = BQ²。将其代入上式中可得：

cos(APQ) = cos(BPQ)

因此，

APQ = BPQ

因此，AP和BP是垂直的。

五、结论

垂直问题

直线与平面垂直的判定定理及性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α

性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行

a⊥αb⊥α⇒a∥b

2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直

l⊂βl⊥α⇒α⊥β

性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α

1．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠BCD＝90°．

求证：PC⊥BC；

2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，

PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

求证：(1)CD⊥AE；

(2)AE⊥平面PCD．

3.如图，在直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3．

证明：BE⊥平面BB1C1C

4.(2014·高考江苏卷) 如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．

求证：平面BDE⊥平面ABC．

5.如图，已知正方形ABCD中AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD．

求证：平面AOC⊥平面BCD；