线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质

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线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质

1.线线平行

判定：a用向量，方向向量平行b一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那个平面的交线。C若一平面与两平行平面相交，则两交线平行.D同时与一平面垂直的两直线平行.E同时平行于一条直线的两直线平行。

性质：貌似没啥性质,一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。

2。线线垂直

判定：a向量,方向向量垂直b直线垂直于平面,则直线与平面中的任意直线都垂直c第一条直线与第二条直线平行，第一条垂直于第三条，则第二条也垂直于第三条d把两直线放在一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重点)三垂线定理：平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。

三垂线逆定理：在平面内的一条直线,如果和过平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于斜线在平面内的射影。（这个比较重要,记不住的话找一下例题，多看看图就好了)

性质:貌似也没什么性质，一般也是要证明线面关系的时候用到它。注意:第一条直线垂直于第二条直线，第一条直线垂直于第三条直线，则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也可普通相交。

3，线面平行

判定：a面外一条线与面内一条线平行。(常用)b空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2—y1y2=0)（常用）c面外一直线上不同两点到面的距离相等d证明线面无交点（定义）e反证法（线与面相交，再推翻）

线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理

线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。

由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。

线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。

该定理也可以用图形来表示，如下图所示：

从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的， 同样CD也与mn是垂直的。

线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。

由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。

1 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。【线面垂直定义】

线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。【判定】

线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。【性质】

线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。【判定】

面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。【性质】

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

一、选择题

1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【解析】 直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．

【答案】 C

2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( )

A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABD

C．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED 2 【解析】 在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.

又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，

故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.

【答案】 D

3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )

A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α

C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α

【解析】 当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.

2012个性化辅导教案

1 教师姓名 学生姓名 教材版本 人教版

学科名称 数学 年 级 高一上 上课时间 2012.

课题名称 直线和平面垂直的判定和性质

教学目标 能利用线面垂直的判定和性质进行证明。

教学重点 三垂线定理的应用。

教 学 过 程 备 注

一、知识要点：

1.直线和平面垂直

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.

2.线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.

判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

3.三垂线定理和它的逆定理.

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.

逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.

二、典型例题：

【例1】 如图所示，已知点S是平面ABC外一点，

∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的

射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.

例1题图

2012个性化辅导教案

2 【例2】 已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.

【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1 分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1.