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函数的奇偶性（一）教材分析函数的奇偶性是描述函数整体性质的一个性质，表现在数上为自变量互为相反数的函数值得变化，表现在形上为函数图像的对称性。
从函数的数与形两个角度进行了定量定性的分析。
（二）学情分析学生刚从初中跨到高中不久，所以在函数概念课中由图形转化到数学语言，再有函数值转化到图形上，会存在问题，并且学生基础不是很好，主动性也不够，所以课堂上面要慢一点，理解的要透。
（三）教学目标1．知识与技能：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性2．过程与方法：通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力3．情感、态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质（四）教学重点与难点重点：函数的奇偶性的概念；难点：函数奇偶性的判断（五）教学方法应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固（六）教学手段：多媒体授课（七）课型：新授课（八）课时安排：1课时（九）教学过程1偶函数的图象关于轴对称2奇函数的图象关于原点对称征？应用举例由t展示例1已知函数=f是偶函数，它在轴右边的图象如下图所示，画出函数= f在轴左边的图象。
例2 已知函数=f是奇函数，它在轴右边的图象如下图所示，画出函数= f在轴左边的图象。
1．选例3的第（1）小题板书来示范解题的步骤，其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行学生做好总结归纳2．例2可让学生来设计如何研究函数的性质和图象的方案，并根据学生提供的方案，点评方案的可行性，并比较哪种方案简单通过例题的讲解与演练，指导学生自己动手，必须能从形到数的去理解函数的奇偶性。
1.3.2 奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然.值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.三维目标1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想.重点难点教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究.思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性.推进新课新知探究提出问题②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x)=x2表1x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x)=|x|表2③请给出偶函数的定义？ ④偶函数的图象有什么特征？⑤函数f(x)=x 2,x∈［-1,2］是偶函数吗？ ⑥偶函数的定义域有什么特征？ ⑦观察函数f(x)=x 和f(x)=x1的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生: ①观察图象的对称性.②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数.③利用函数的解析式来描述. ④偶函数的性质：图象关于y 轴对称.⑤函数f(x)=x 2,x∈［-1,2］的图象关于y 轴不对称；对定义域［-1,2］内x=2，f(-2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x 的相反数-x 不一定也在定义域内，即f(-x)=f(x)不恒成立.⑥偶函数的定义域中任意一个x 的相反数-x 一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质. 给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则-x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称；（4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；（5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质.讨论结果:①这两个函数之间的图象都关于y轴对称.②表1表2这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3);f(-2)=f(2);f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x，都有f(-x)=f(x).③一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.④偶函数的图象关于y轴对称.⑤不是偶函数.⑥偶函数的定义域关于原点轴对称.⑦一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称. 应用示例思路1例1判断下列函数的奇偶性: （1）f(x)=x 4； （2）f(x)=x 5； （3）f(x)=x+x1； （4）f(x)=21x. 活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).解：（1）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)4=x 4=f(x)， 所以函数f(x)=x 4是偶函数.（2）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)5=-x 5=-f(x), 所以函数f(x)=x 4是奇函数.（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=-x+x-1=-(x+x 1)=-f(x)，所以函数f(x)=x+x1是奇函数.（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=)(12x -=21x =f(x)， 所以函数f(x)=21x 是偶函数. 点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数-x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(-x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.变式训练2006辽宁高考，理2设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数分析:A中设F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数；B中设F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定；C中设F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数；D中设F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.答案：D例22006上海春季高考，6已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0,+∞)时，f(x)=_______.活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x)，将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.分析:当x∈(0,+∞)时，则-x<0. 又∵当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x 4， ∴f(x)=(-x)-(-x)4=-x-x 4. 答案：-x-x 4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值. 变式训练已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x 2+3x ，求f(x).解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0； 当x<0时，-x>0，由于函数f(x)是奇函数，则f(x)=-f(-x)=-［(-x)2+3x -］=-x 2+3x ，综上所得，f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+.0,,0,0,0,3232x x x x x x x思路2例1判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)=x 2,x∈［-1,2］;（2）f(x)=122--x x x ；（3）f （x ）=42-x +24x -；（4）f （x ）=111122+++-++x x x x .活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意x∈R，有2x 1+>2x =|x|≥-x ，则2x 1++x>0.则函数的定义域是R.解：（1）因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x 2,x∈［-1,2］既不是奇函数又不是偶函数.（2）因为它的定义域为{x|x∈R 且x≠1}，并不关于原点对称,函数f(x)=122--x x x 既不是奇函数又不是偶函数. （3）∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x＝±2，即f （x ）的定义域是{－2，2}. ∵f（2）＝0，f （－2）＝0,∴f（2）＝f （－2），f （2）＝－f （2）. ∴f（－x ）＝－f （x ），且f （－x ）＝f （x ）. ∴f（x ）既是奇函数也是偶函数. （4）函数的定义域是R. ∵f(-x)+f(x)=111111112222+++-++++-+--+x x x x x x x x=)11)(11()1(1)1(1222222++++-+--+++-+x x x x x x x x=)11)(11(121121222222++++-+-+-++---+x x x x x x x x x x=0,∴f（－x ）＝－f （x ）. ∴f（x ）是奇函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.定义法判断函数奇偶性的步骤是（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等；（2）当f(-x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(-x)＝-f(x)时，此函数是奇函数；（3）当f(-x)＝f(x)且f(-x)＝-f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；（4）当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数. 判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立. 变式训练2007河南开封一模，文10函数f(x)=x 2－2ax+a 在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在区间（1，+∞）上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 分析：函数f(x)=x 2－2ax+a 的对称轴是直线x=a ， 由于函数f(x)在开区间（－∞，1）上有最小值， 所以直线x=a 位于区间（－∞，1）内，即a<1.g(x)＝x x f )(=x+xa-2， 下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性. 设1<x 1<x 2， 则g(x 1)-g(x 2)=(x 1+-1x a 2)-(x 2+-2x a 2)=(x 1-x 2)+(1x a 2x a-) =(x 1-x 2)(121x x a -) =(x 1-x 2)2121x x ax x -.∵1<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1x 2>1>0.又∵a<1，∴x 1x 2>a.∴x 1x 2-a>0.∴g(x 1)-g(x 2)<0. ∴g(x 1)<g(x 2).∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值. 答案：D例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)，且当x>1时f(x)>0,f(2)=1， （1）求证：f(x)是偶函数；（2）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数； （3）试比较f(25-)与f(47)的大小.活动：（1）转化为证明f(-x)=f(x)，利用赋值法证明f(-x)=f(x)；（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；（3）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f(25-)和f(47)转化为同一个单调区间上的函数值.解：（1）令x 1=x 2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.令x 1=x 2=-1，得f(1)=f ［-1×(-1)］=f(-1)+f(-1)，∴2f(-1)=0. ∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函数. （2）设x 2>x 1>0，则 f(x 2)-f(x 1)=f(x 1·12x x )-f(x 1)=f(x 1)+f(12x x )-f(x 1)=f(12x x). ∵x 2>x 1>0，∴12x x >1.∴f(12x x)>0，即f(x 2)-f(x 1)>0. ∴f(x 2)>f(x 1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.（3）由（1）知f(x)是偶函数，则有f(25-)＝f(25).由（2）知f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f(25)>f(47).∴f(25-)>f(47).点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值. 变式训练2007广东中山高三期末统考，理19已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x 、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). （1）求f(1)、f(-1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由.分析：（1）利用赋值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=－1，得f(-1)的值；（2）利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(-x)=-f(x). 解：（1）∵f(x)对任意x 、y 都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)， ∴令x=y=1时，有f(1·1)=1·f(1)+1·f(1). ∴f(1)=0.∴令x=y=－1时，有f ［(-1)·(-1)］=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1). ∴f(－1)=0. （2）是奇函数.∵f(x)对任意x 、y 都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)， ∴令y=－1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x)， ∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数. 知能训练课本P 36练习1、2. ［补充练习］1.2007上海春季高考，5设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=_____.分析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1). ∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3. ∴2［f(1)+f(2)］=-6.∴f(1)+f(2)=-3. 答案：-32.f （x ）=ax 2+bx+3a+b 是偶函数，定义域为［a －1，2a ］，则a=_________，b=________. 分析：∵偶函数定义域关于原点对称, ∴a－1+2a=0.∴a=31. ∴f（x ）=31x 2+bx+1+b.又∵f（x ）是偶函数，∴b=0. 答案：310 3.2006山东高考，理6已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则f(6)的值为( )A.-1B.0C.1D.2 分析:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0). 又f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0. ∴f(6)＝0.故选B. 答案：B 拓展提升问题：基本初等函数的奇偶性.探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得 正比例函数y =kx(k≠0)是奇函数；反比例函数y=xk(k≠0)是奇函数； 一次函数y=kx+b(k≠0)，当b=0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数； 二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)，当b=0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数. 课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称. 作业课本P 39习题1.3A 组6，B 组3.设计感想单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求.习题详解(课本P 32页练习)1.从生产效率与生产线上工人数量的关系看，在生产劳动力较少的情况下，随人数的增加效率随着增大，但是到了一定数量后，人数再增多效率反而降低了.这说明劳动力可能过剩，出现了怠工等现象.函数的单调增区间为［8,12)，［13,18)；函数的单调减区间为［12,13)，［18,20］.3.函数的单调区间是［-1,0),［0,2),［2,4),［4,5］.在区间［-1,0),［2,4)上是减函数；在区间［0,2),［4,5］上是增函数. 4.证明：设x 1、x 2∈R，且x 1<x 2，则 f(x 1)-f(x 2)=(-2x 1+1)-(-2x 2+1)=2(x 2-x 1). ∵x 1<x 2，∴x 2-x 1>0.∴f(x 1)>f(x 2). ∴函数f(x)=-2x+1在R 上是减函数.从图象上可以发现f （－2）是函数的一个最小值. (课本P 36练习)1.（1）对于函数f （x ）=2x 4+3x 2，其定义域为（－∞,+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=2（－x ）4+3（－x ）2=2x 4+3x 2=f （x ）, 所以函数f （x ）=2x 4+3x 2为偶函数.（2）对于函数f （x ）=x 3－2x ，其定义域为（－∞，+∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=（－x ）3－2（－x ）=－x 3+2x=－（x 3－2x ）=－f （x ）, 所以函数f （x ）=x 3－2x 为奇函数.（3）对于函数f(x)=xx 12+，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=x x -+-1)(2=xx 12+-=－f （x ）,所以函数f(x)=xx 12+-为奇函数.（4）对于函数f(x)=x 2+1，其定义域为（－∞，+∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有 f （－x ）=(-x)2+1=x 2+1=f （x ）, 所以函数f(x)=x 2+1为偶函数.(课本P 39习题1.3)A 组1.（1）函数的单调区间是(-∞,25］,(25,+∞).函数y=f(x)在区间(-∞,25］上是减函数，在区间(25,+∞)上是增函数. （2）函数的单调区间是(-∞,0］,(0,+∞).函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是减函数，在区间(-∞,0］上是增函数. 图略.2.（1）设0<x 1<x 2，则有f(x 1)-f(x 2)=(x 12+1)-(x 22+1)=x 12-x 22=(x 1-x 2)(x 1+x 2). ∵0<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1+x 2<0. ∴f(x 1)>f(x 2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是减函数. （2）设0<x 1<x 2，则有 f(x 1)-f(x 2)=(111x -)-(121x -)=21x 11x -=2121x x x x -.∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0. ∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.3.设x 1、x 2是（－∞，+∞）上任意两个实数，且x 1＜x 2. 则y 1－y 2=（mx 1+b ）－（mx 2+b ） =m （x 1－x 2）.∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0.当m ＜0时，∴y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2.∴此时一次函数y=mx+b （m ＜0）在（－∞，+∞）上是减函数. 同理可证一次函数y=mx+b （m ＞0）在（－∞,+∞）上是增函数. 综上所得，当m ＜0时，一次函数y=mx+b 是减函数； 当m ＞0时，一次函数y=mx+b 是增函数.5.y=502x -+162x-2100=501-(x 2-8100x)-2100=501-(x-4050)2+307 050.由二次函数的知识,可得当月租金为4 050元时，租赁公司的月收入最大，最大收益为307 050元.6.图略，函数f(x)的解析式为⎩⎨⎧<-≥+.0),1(,0),1(x x x x x xB 组1.（1）函数f(x)在(-∞,1)上为减函数，在［1,+∞)上为增函数；函数g(x)在［2,4］上为增函数.（2）函数f(x)的最小值为－1，函数g(x)的最小值为0. 2.设矩形熊猫居室的宽为x m ，面积为y m 2，则长为2330x -m ，那么y=x 2330x- =21(30x-3x 2)=23-(x-5)2+275.所以当x=5时，y 有最大值275,即宽x 为5 m 时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，最大面积是275m 2. 3.函数f(x)在(-∞,0)上是增函数. 证明：设x 1<x 2<0，则-x 1>-x 2>0.∵函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴f(-x 1)<f(-x 2). ∵函数f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x).∴f(x 1)<f(x 2). ∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数. (课本P 44复习参考题) A 组1.（1）A={－3，3}；（2）B={1，2}；（3）C={1，2}.2.（1）线段AB 的垂直平分线；（2）以定点O 为原心，以3 cm 为半径的圆. 3.属于集合的点是△ABC 的外接圆圆心. 4.A={－1,1}，（1）若a=0，则B=∅，满足B ⊆A ； （2）若a=－1，则B={－1}，满足B ⊆A ； （3）若a=1，则B={1}，满足B ⊆A. 综上所述，实数a 的值为0,-1,1.5.A ∩B={（x,y ）｜⎩⎨⎧=+=0y 3x 0y -2x }={（x,y ）|⎩⎨⎧==0y 0x }={（0,0）};A∩C={（x,y ）|⎩⎨⎧==3y -2x 0y -2x }=∅；B∩C={（x,y ）｜⎩⎨⎧==+3y -2x 0y 3x }={（x,y ）｜⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5953y x }={（53,59-）};（A∩B）∪（B∩C）={(0,0),(53,59-)}. 6.(1)要使函数有意义,必须|x|-2≥0,即x≤-2或x≥2,所以函数的定义域为{x|x≤-2或x≥2};（2）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≥+≥-,05,02x x 即⎩⎨⎧-≥≥,5,2x x 得x≥2.所以函数的定义域为{x ｜x≥2}； （3）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠-≥-,05||,04x x 即x≥4，且x≠5.所以函数的定义域为{x ｜x≥4，且x≠5}. 7.（1）f （a ）+1=111++-a a =12+a ; （2）f （a+1）=)1(1)1(1+++-a a =aa+-2.8.（1）∵f（－x ）=22)(1)(1x x ---+=2211x x -+，∴f（－x ）=f （x ）.（2）∵f （x 1）=22)1(1)1(1x x -+=221111x x -+=222211x x x x -+=1122-+x x =2211x x -+-,∴f （x 1）=－f （x ）. 9.二次函数f(x)的对称轴是直线x=8k ，则有8k ≤5或8k≥20.解得k≤40或k≥160，即实数k 的取值范围是(-∞,40］∪［160,+∞). 10.（1）函数y=x -2是偶函数； （2）它的图象关于y 轴对称； （3）函数在（0，+∞）上是减函数； （4）函数在（－∞，0）上是增函数.B 组1.同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人.提示：由题意知有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，所以15+8+14=37，知共有37人次参加比赛.由已知共有28名同学参赛，且没有人同时参加三项，而37－28=9， 知共有9名同学参加两项比赛.已知同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，因此同时参加田径和球类的有3人；又已知有15人参加游泳比赛，因此只参加游泳一项的有9人. 2.实数a 的取值范围为{a ｜a≥0}. 3.∵（A∪B）=（A ）∩（B ）={1，3}，A∩（B ）={2，4}，4.f （1）=1×（1+4）=5; f （－3）=－3×（－3－4）=21;f （a+1）=⎩⎨⎧-<++-≥++.1),3)(1(,1),5)(1(a a a a a a5.证明：（1）f )2(21x x +=a·221xx ++b =22221b ab b ax x +++=21（ax 1+b ）+21（ax 2+b ）=21［f （x 1）+f （x 2）］， ∴f（221x x +）=21［f （x 1）+f （x 2）］.（2）g （221x x +）=（221x x +）2+a·221x x ++b =21（21x +ax 1+b ）+21（22x +ax 2+b ）－41（x 1－x 2）2 =21［g （x 1）+g （x 2）］－41（x 1－x 2）2, ∵－41（x 1－x 2）2≤0,∴g（221x x +）≤21［g （x 1）+g （x 2）］.6.（1）奇函数f （x ）在［－b,－a ］上是减函数； （2）偶函数g （x ）在［－b,－a ］上是减函数.7.若全月纳税所得额为500元，则应交纳税款为500×5%＝25（元）.此时月工资为800＋500＝1 300（元）；若全月纳税所得额为2000元，则应交纳税款为500×5%＋1500×10%＝175（元）.此时月工资为800＋500＋1500＝2800（元）.由于此人交纳税款为26.78元，则此人的工资在区间（1300，2800）内，所以他当月的工资、薪金所得是800＋500＋1.02578.26-≈1317.8（元）.。
函数的奇偶性人教A版必修一第一章第三节课题函数的奇偶性课型新授课课时安排一课时教学目标1、知识目标：（1）理解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法；（2）能利用函数的奇偶性简化函数图像的绘制过程。
2、能力目标：(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；(2)启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；(3)通过教师指导总结知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。
3、德育目标：通过自主探索，培养学生的动手实践能力，激发学生学习数学的兴趣，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判断教学难点对函数奇偶性定义的掌握和灵活运用教学方法1、教法根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法、类比法为辅的教学方式。
教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
2、学法让学生在“观察一归纳一应用”的学习过程中，自主参与知识的产生、发展、形成的过程，使学生掌握知识。
教学过程教学内容师生活动教学设计意图一、创设情境观察下面两张图片：直观感受生活中的对称美。
通过让学生观察图片导入新课，让学生感受到数学来源于生活，数学与生活是密切相关的，从而激发学生浓厚的学习兴趣。
引入新课二、师生互动探索新知①麦当劳的标志②风车问题1：图像有何共同特点？问题2：你能回忆几类常见函数及图像吗？请找出哪些关于轴对称，哪些关于原点成中心对称。
O①()f x x=②1()f xx=O③2)(xxf=④axf=)(⑤xxf=)(问题3：如何从数学角度，用数学语言来描述这种对称性呢？1、探索定义请作出2)(xxf=的图像，求)(),(),2(),2(),1(),1(afafffff---。
第三课时：132 奇偶性教学要求：理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。
教学重点：熟练判别函数的奇偶性。
教学难点：理解奇偶性。
教学过程：一、复习准备：1. 提问：什么叫增函数、减函数？2. 指出f(x) = 2x2—1的单调区间及单调性。
T变题：|2x 2—1|的单调区间3. 对于f(x) = x、f(x) = x 2、f(x) = x 3、f(x) = x4，分别比较f(x)与f( —x) o二、讲授新课：1. 教学奇函数、偶函数的概念：1①给出两组图象：f (x) x、f (x) 、f (x) x3；f (x) x2、f (x) |x |.x发现各组图象的共同特征T探究函数解析式在函数值方面的特征②定义偶函数：一般地，对于函数f(x)定义域内的任意一个X,都有f( x) f (x)，那么函数f(x)叫偶函数(even function ).③探究：仿照偶函数的定义给出奇函数(odd function )的定义.(如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f( x) f(x))，那么函数f(x)叫奇函数。
④讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？(定义域关于原点对称；整体性)⑤练习：已知f(x)是偶函数，它在y轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。
(假如f(x)是奇函数呢？)2. 教学奇偶性判别：①出示例：判别下列函数的奇偶性：f(x) = 3x4、f(x)= Vx3、f(x) =—4x6+ 5x2、f(x) = 3 x ——、x3 f(x) = 2x 4+ 3o分析判别方法(先看定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)并与f(x)进行比较) T板演个例T学生完成其它②练习：判别下列函数的奇偶性：f(x) = |x + 1|+|x —1|f(x)=冷、f(x) = x + 丄、f(x) = 笃、f(x) = x2 ,x € ［-2,3］x2x 1 x2③小结奇偶性判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法判别f(x)与f(-x)的关系。
1.3.2 奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然.值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.三维目标1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想.重点难点教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y 轴对称的函数展开研究.思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性.推进新课新知探究提出问题①如图1-3-2-1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.图1-3-2-1②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x 2x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=|x|表2③请给出偶函数的定义？ ④偶函数的图象有什么特征？⑤函数f(x)=x 2,x∈［-1,2］是偶函数吗？ ⑥偶函数的定义域有什么特征？ ⑦观察函数f(x)=x 和f(x)=x1的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？ 活动：教师从以下几点引导学生: ①观察图象的对称性.②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数. ③利用函数的解析式来描述.④偶函数的性质：图象关于y 轴对称.⑤函数f(x)=x 2,x∈［-1,2］的图象关于y 轴不对称；对定义域［-1,2］内x=2，f(-2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x 的相反数-x 不一定也在定义域内，即f(-x)=f(x)不恒成立. ⑥偶函数的定义域中任意一个x 的相反数-x 一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质. 给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则-x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称；（4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；（5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质. 讨论结果:①这两个函数之间的图象都关于y 轴对称. ②表1表2这两个函数的解析式都满足： f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x ，都有f(-x)=f(x).③一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.④偶函数的图象关于y 轴对称. ⑤不是偶函数.⑥偶函数的定义域关于原点轴对称.⑦一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称. 应用示例思路1例1判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=x 4；（2）f(x)=x 5； （3）f(x)=x+x1； （4）f(x)=21x . 活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).解：（1）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)4=x 4=f(x)，所以函数f(x)=x 4是偶函数.（2）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)5=-x 5=-f(x),所以函数f(x)=x 4是奇函数.（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=-x+x-1=-(x+x 1)=-f(x)，所以函数f(x)=x+x1是奇函数.（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=)(12x -=21x=f(x)，所以函数f(x)=21x 是偶函数. 点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x ，其相反数-x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(-x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数； 若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数. 变式训练2006辽宁高考，理2设f(x)是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数 分析:A 中设F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数； B 中设F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定；C 中设F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数；D 中设F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数. 答案：D例22006上海春季高考，6已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x 4，则当x∈(0,+∞)时，f(x)=_______.活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x)，将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值. 分析:当x∈(0,+∞)时，则-x<0.又∵当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x 4，∴f(x)=(-x)-(-x)4=-x-x 4.答案：-x-x 4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值. 变式训练已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x 2+3x ，求f(x).解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0； 当x<0时，-x>0，由于函数f(x)是奇函数，则f(x)=-f(-x)=-［(-x)2+3x -］=-x 2+3x ，综上所得，f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+.0,,0,0,0,3232x x x x x x x思路2例1判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=x 2,x∈［-1,2］;（2）f(x)=122--x x x ；（3）f （x ）=42-x +24x -；（4）f （x ）=111122+++-++x x x x . 活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意x∈R ，有2x 1+>2x =|x|≥-x ，则2x 1++x>0.则函数的定义域是R .解：（1）因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x 2,x∈［-1,2］既不是奇函数又不是偶函数.（2）因为它的定义域为{x|x∈R 且x≠1}，并不关于原点对称,函数f(x)=122--x x x 既不是奇函数又不是偶函数.（3）∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x＝±2，即f （x ）的定义域是{－2，2}. ∵f（2）＝0，f （－2）＝0, ∴f（2）＝f （－2），f （2）＝－f （2）. ∴f（－x ）＝－f （x ），且f （－x ）＝f （x ）. ∴f（x ）既是奇函数也是偶函数. （4）函数的定义域是R . ∵f(-x)+f(x)=111111112222+++-++++-+--+x x x x x x x x=)11)(11()1(1)1(1222222++++-+--+++-+x x x x x x x x=)11)(11(121121222222++++-+-+-++---+x x x x x x x x x x=0,∴f（－x ）＝－f （x ）. ∴f（x ）是奇函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.定义法判断函数奇偶性的步骤是（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等；（2）当f(-x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(-x)＝-f(x)时，此函数是奇函数；（3）当f(-x)＝f(x)且f(-x)＝-f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数； （4）当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数.判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立. 变式训练2007河南开封一模，文10函数f(x)=x 2－2ax+a 在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在区间（1，+∞）上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数分析：函数f(x)=x 2－2ax+a 的对称轴是直线x=a ， 由于函数f(x)在开区间（－∞，1）上有最小值， 所以直线x=a 位于区间（－∞，1）内，即a<1.g(x)＝x x f )(=x+xa-2， 下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.设1<x 1<x 2， 则g(x 1)-g(x 2)=(x 1+-1x a 2)-(x 2+-2x a 2)=(x 1-x 2)+(1x a 2x a -) =(x 1-x 2)(121x x a -) =(x 1-x 2)2121x x ax x -.∵1<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1x 2>1>0.又∵a<1，∴x 1x 2>a.∴x 1x 2-a>0.∴g(x 1)-g(x 2)<0. ∴g(x 1)<g(x 2).∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值. 答案：D例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)，且当x>1时f(x)>0,f(2)=1， （1）求证：f(x)是偶函数；（2）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数； （3）试比较f(25-)与f(47)的大小.活动：（1）转化为证明f(-x)=f(x)，利用赋值法证明f(-x)=f(x)；（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；（3）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f(25-)和f(47)转化为同一个单调区间上的函数值.解：（1）令x 1=x 2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.令x 1=x 2=-1，得f(1)=f ［-1×(-1)］=f(-1)+f(-1)，∴2f(-1)=0. ∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函数. （2）设x 2>x 1>0，则f(x 2)-f(x 1)=f(x 1·12x x )-f(x 1)=f(x 1)+f(12x x )-f(x 1)=f(12x x ). ∵x 2>x 1>0，∴12x x >1.∴f(12x x)>0，即f(x 2)-f(x 1)>0. ∴f(x 2)>f(x 1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.（3）由（1）知f(x)是偶函数，则有f(25-)＝f(25).由（2）知f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f(25)>f(47).∴f(25-)>f(47).点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值. 变式训练2007广东中山高三期末统考，理19已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x 、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). （1）求f(1)、f(-1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由. 分析：（1）利用赋值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=－1，得f(-1)的值；（2）利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(-x)=-f(x). 解：（1）∵f(x)对任意x 、y 都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)， ∴令x=y=1时，有f(1·1)=1·f(1)+1·f(1). ∴f(1)=0.∴令x=y=－1时，有f ［(-1)·(-1)］=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1). ∴f(－1)=0. （2）是奇函数.∵f(x)对任意x 、y 都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)， ∴令y=－1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x)， ∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数. 知能训练课本P 36练习1、2. ［补充练习］1.2007上海春季高考，5设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=_____.分析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1). ∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.∴2［f(1)+f(2)］=-6.∴f(1)+f(2)=-3. 答案：-32.f （x ）=ax 2+bx+3a+b 是偶函数，定义域为［a －1，2a ］，则a=_________，b=________. 分析：∵偶函数定义域关于原点对称,∴a－1+2a=0.∴a=31. ∴f（x ）=31x 2+bx+1+b.又∵f（x ）是偶函数，∴b=0. 答案：310 3.2006山东高考，理6已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则f(6)的值为( )A.-1B.0C.1D.2 分析:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0). 又f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0. ∴f(6)＝0.故选B. 答案：B 拓展提升问题：基本初等函数的奇偶性.探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得 正比例函数y=kx(k≠0)是奇函数； 反比例函数y=xk(k≠0)是奇函数； 一次函数y=kx+b(k≠0)，当b=0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)，当b=0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数. 课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称. 作业课本P 39习题1.3A 组6，B 组3.设计感想单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求.习题详解(课本P 32页练习)1.从生产效率与生产线上工人数量的关系看，在生产劳动力较少的情况下，随人数的增加效率随着增大，但是到了一定数量后，人数再增多效率反而降低了.这说明劳动力可能过剩，出现了怠工等现象.2.图象如图1-3-2-2所示，图1-3-2-2函数的单调增区间为［8,12)，［13,18)； 函数的单调减区间为［12,13)，［18,20］.3.函数的单调区间是［-1,0),［0,2),［2,4),［4,5］.在区间［-1,0),［2,4)上是减函数；在区间［0,2),［4,5］上是增函数. 4.证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)-f(x 2)=(-2x 1+1)-(-2x 2+1)=2(x 2-x 1). ∵x 1<x 2，∴x 2-x 1>0.∴f(x 1)>f(x 2). ∴函数f(x)=-2x+1在R 上是减函数. 5.如图1-3-2-3所示，图1-3-2-3从图象上可以发现f （－2）是函数的一个最小值. (课本P 36练习)1.（1）对于函数f （x ）=2x 4+3x 2，其定义域为（－∞,+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=2（－x ）4+3（－x ）2=2x 4+3x 2=f （x ）,所以函数f （x ）=2x 4+3x 2为偶函数.（2）对于函数f （x ）=x 3－2x ，其定义域为（－∞，+∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=（－x ）3－2（－x ）=－x 3+2x=－（x 3－2x ）=－f （x ）,所以函数f （x ）=x 3－2x 为奇函数.（3）对于函数f(x)=xx 12+，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=x x -+-1)(2=x x 12+-=－f （x ）,所以函数f(x)=xx 12+-为奇函数.（4）对于函数f(x)=x 2+1，其定义域为（－∞，+∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=(-x)2+1=x 2+1=f （x ）,所以函数f(x)=x 2+1为偶函数.2.f(x)的图象如图1-3-2-4所示，g(x)的图象如图1-3-2-5所示.图1-3-2-4 图1-3-2-5(课本P 39习题1.3)A 组1.（1）函数的单调区间是(-∞,25］,(25,+∞).函数y=f(x)在区间(-∞,25］上是减函数，在区间(25,+∞)上是增函数. （2）函数的单调区间是(-∞,0］,(0,+∞).函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是减函数，在区间(-∞,0］上是增函数. 图略.2.（1）设0<x 1<x 2，则有f(x 1)-f(x 2)=(x 12+1)-(x 22+1)=x 12-x 22=(x 1-x 2)(x 1+x 2). ∵0<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1+x 2<0. ∴f(x 1)>f(x 2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是减函数. （2）设0<x 1<x 2，则有 f(x 1)-f(x 2)=(111x -)-(121x -)=21x 11x -=2121x x x x -. ∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0.∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.3.设x 1、x 2是（－∞，+∞）上任意两个实数，且x 1＜x 2. 则y 1－y 2=（mx 1+b ）－（mx 2+b ） =m （x 1－x 2）.∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0.当m ＜0时，∴y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2.∴此时一次函数y=mx+b （m ＜0）在（－∞，+∞）上是减函数. 同理可证一次函数y=mx+b （m ＞0）在（－∞,+∞）上是增函数. 综上所得，当m ＜0时，一次函数y=mx+b 是减函数； 当m ＞0时，一次函数y=mx+b 是增函数.4.心率关于时间的一个可能的图象，如图1-3-2-6所示，图1-3-2-65.y=502x -+162x-2100=501-(x 2-8100x)-2100=501-(x-4050)2+307 050. 由二次函数的知识,可得当月租金为4 050元时，租赁公司的月收入最大，最大收益为307 050元.6.图略，函数f(x)的解析式为⎩⎨⎧<-≥+.0),1(,0),1(x x x x x x B 组1.（1）函数f(x)在(-∞,1)上为减函数，在［1,+∞)上为增函数；函数g(x)在［2,4］上为增函数.（2）函数f(x)的最小值为－1，函数g(x)的最小值为0.2.设矩形熊猫居室的宽为x m ，面积为y m 2，则长为2330x -m ，那么y=x 2330x - =21(30x-3x 2)=23-(x-5)2+275. 所以当x=5时，y 有最大值275, 即宽x 为5 m 时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，最大面积是275m 2. 3.函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明：设x 1<x 2<0，则-x 1>-x 2>0.∵函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴f(-x 1)<f(-x 2).∵函数f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x).∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.(课本P 44复习参考题)A 组1.（1）A={－3，3}；（2）B={1，2}；（3）C={1，2}.2.（1）线段AB 的垂直平分线；（2）以定点O 为原心，以3 cm 为半径的圆.3.属于集合的点是△ABC 的外接圆圆心.4.A={－1,1}，（1）若a=0，则B=∅，满足B ⊆A ；（2）若a=－1，则B={－1}，满足B ⊆A ；（3）若a=1，则B={1}，满足B ⊆A.综上所述，实数a 的值为0,-1,1.5.A∩B={（x,y ）｜⎩⎨⎧=+=0y 3x 0y -2x }={（x,y ）|⎩⎨⎧==0y 0x }={（0,0）};A∩C={（x,y ）|⎩⎨⎧==3y -2x 0y -2x }=∅；B∩C ={（x,y ）｜⎩⎨⎧==+3y -2x 0y 3x }={（x,y ）｜⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5953y x }={（53,59-）}; （A∩B）∪（B∩C）={(0,0),(53,59-)}. 6.(1)要使函数有意义,必须|x|-2≥0,即x≤-2或x≥2,所以函数的定义域为{x|x≤-2或x≥2};（2）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≥+≥-,05,02x x 即⎩⎨⎧-≥≥,5,2x x 得x≥2.所以函数的定义域为{x ｜x≥2}；（3）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠-≥-,05||,04x x 即x≥4，且x≠5.所以函数的定义域为{x ｜x≥4，且x≠5}.7.（1）f （a ）+1=111++-aa =12+a ; （2）f （a+1）=)1(1)1(1+++-a a =aa +-2. 8.（1）∵f （－x ）=22)(1)(1x x ---+=2211xx -+，∴f（－x ）=f （x ）. （2）∵f（x 1）=22)1(1)1(1x x -+=221111x x -+=222211x x x x -+=1122-+x x =2211x x -+-,∴f（x 1）=－f （x ）. 9.二次函数f(x)的对称轴是直线x=8k ，则有8k ≤5或8k ≥20.解得k≤40或k≥160，即实数k 的取值范围是(-∞,40］∪［160,+∞).10.（1）函数y=x -2是偶函数；（2）它的图象关于y 轴对称；（3）函数在（0，+∞）上是减函数；（4）函数在（－∞，0）上是增函数.B 组1.同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人.提示：由题意知有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，所以15+8+14=37，知共有37人次参加比赛.由已知共有28名同学参赛，且没有人同时参加三项，而37－28=9，知共有9名同学参加两项比赛.已知同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，因此同时参加田径和球类的有3人；又已知有15人参加游泳比赛，因此只参加游泳一项的有9人.2.实数a 的取值范围为{a ｜a≥0}.3.∵（A∪B）=（A ）∩（B ）={1，3}，A∩（B ）={2，4}， ∴B={1,2,3,4}.∴B={5,6,7,8,9}.4.f （1）=1×（1+4）=5;f （－3）=－3×（－3－4）=21;f （a+1）=⎩⎨⎧-<++-≥++.1),3)(1(,1),5)(1(a a a a a a5.证明：（1）f )2(21x x +=a·221x x ++b =22221b ab b ax x +++=21（ax 1+b ）+21（ax 2+b ）=21［f （x 1）+f （x 2）］， ∴f（221x x +）=21［f （x 1）+f （x 2）］. （2）g （221x x +）=（221x x +）2+a·221x x ++b =21（21x +ax 1+b ）+21（22x +ax 2+b ）－41（x 1－x 2）2 =21［g （x 1）+g （x 2）］－41（x 1－x 2）2, ∵－41（x 1－x 2）2≤0, ∴g（221x x +）≤21［g （x 1）+g （x 2）］. 6.（1）奇函数f （x ）在［－b,－a ］上是减函数；（2）偶函数g （x ）在［－b,－a ］上是减函数.7.若全月纳税所得额为500元，则应交纳税款为500×5%＝25（元）.此时月工资为800＋500＝1 300（元）；若全月纳税所得额为2000元，则应交纳税款为500×5%＋1500×10%＝175（元）.此时月工资为800＋500＋1500＝2800（元）.由于此人交纳税款为26.78元，则此人的工资在区间（1300，2800）内，所以他当月的工资、薪金所得是800＋500＋1.02578.26-≈1317.8（元）.。
“ 函数的奇偶性”教学设计一、教材分析“函数的奇偶性”是人教A 版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节的内容。
奇偶性是函数的重要性质，教材从学生熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数、绝对值函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性。
从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础，因此，本节课起着承上启下的重要作用。
学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。
二、学情分析（一）知识基础1、学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，对图像的特殊对称性早已有一定的感性认识；2、掌握了部分具有奇偶性的简单函数的图像，如＝，2x y 等，为研究函数的奇偶性提供了图像累了函数研究的基本方法与初步经验，已经懂得了从形象到具体，再由具体到一般的研究方法。
（二）认知水平和能力高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题，能在教师的引导下完成学习任务。
但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。
（三）任教班级学生特点我所授课的班级是文科班，班级数学基础较差，层次不均，但具有较强的好奇心和求知欲。
根据以上分析，综合学生已有认知基础的条件下，我设计了以下教学目标。
三、教学目标【知识与技能】理解函数的奇偶性概念及几何特征； 学会根据定义归纳奇偶函数满足的条件 掌握判断函数奇偶性的方法。
【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力 【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美四、教学重点和难点重点：理解函数奇偶性的概念和几何特征难点：奇偶性概念的数学化提炼过程及掌握判断函数奇偶性的方法五、教法与学法引导发现法为主，直观演示法，设疑诱导法为辅（一）教法：（1）本节课用“微课”导入，集中学生注意力，激发学生的求知欲，调动学生的积极性；（2）采用直观演示法和启发式教学法，启发学生对图像的认识由感性上升到理性。
人教A高中数学必修一《函数的奇偶性》教案【教案】函数的奇偶性一、教学目的和要求：1.掌握奇函数、偶函数的定义。
2.理解奇函数、偶函数的性质。
3.学会判断一个函数的奇偶性。
4.运用函数的奇偶性解决实际问题。
二、教学重难点：1.奇函数、偶函数的定义和性质。
2.判断函数的奇偶性。
三、教学过程：【导入】1.提问：在平面直角坐标系中，如何判断一个点关于x轴、y轴和原点的对称性？2.引入奇函数和偶函数的概念：如果函数满足其中一种对称性，我们可以称之为奇函数或偶函数。
【教学展开】1.奇函数的定义：-定义：对于定义在区间(-∞,+∞)上的函数f(x)，当对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数。
-解释：将一个自变量x对应的因变量值f(x)与其对称轴（y轴）上的点关联起来，如果两者关系满足f(-x)=-f(x)，则可以称函数f(x)是关于y轴对称的，即为奇函数。
-举例：y=x^3、y=x^5等都是奇函数。
2.偶函数的定义：-定义：对于定义在区间(-∞,+∞)上的函数f(x)，当对于任意的x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。
-解释：将一个自变量x对应的因变量值f(x)与其对称轴（y轴）上的点关联起来，如果两者关系满足f(-x)=f(x)，则可以称函数f(x)是关于y轴对称的，即为偶函数。
-举例：y=x^2、y=x^4等都是偶函数。
3.奇偶函数的性质：-性质1：奇函数的对称轴是原点，即f(0)=0。
-性质2：偶函数的对称轴是y轴，即f(x)=f(-x)。
-性质3：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
-性质4：两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的差是奇函数。
-性质5：两个偶函数的和是偶函数，两个偶函数的差是偶函数。
-性质6：奇函数乘以偶函数是奇函数。
4.判断函数的奇偶性：-按奇函数、偶函数的定义判断。
-利用函数性质进行判断。
【教学拓展】1.判断函数的奇偶性的例题：-例题1：已知函数f(x)=x^3-3x，判断其奇偶性。
1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性学习目标：1.理解函数奇偶性的概念，能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题；学会运用函数图象理解和研究函数性质；会判断函数的奇偶性，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力. 2.通过自主学习，合作探究，学会用定义判断奇偶性的方法. 3.激情参与，全力以赴，享受成功的快乐，感受数学的对称美. 重点：函数奇偶性概念的理解. 难点：函数奇偶的判断.课前预习案 使用说明与学法指导： 1.用15分钟的时间阅读探究课本上的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力.2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题.3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。
一、相关知识1.分别作出函数2==-y x y x 、的图象，它们有什么共同的特征？2. 分别作出函数1==y y x x、的图象，它们有什么共同的特征？学习建议：请同学们结合初中的知识作出回答。
二、教材助读1.偶函数是怎样定义的？2.你能举出几个偶函数的例子吗？并尝试着根据定义来证明.3.偶函数的图象有什么特征？4.奇函数是怎样定义的？5.你能举出几个奇函数的例子吗？并尝试着根据定义来证明.6.奇函数的图象有什么特征？5.你能试着总结出判断函数奇偶性的步骤吗？三、预习自测学习建议：自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”.1.下列函数是奇函数的是（ ）A. 23+4()=x f x xB. (f xC. 2()=-1f x xD. 4()=-f x x x 2. 判断下列函数的奇偶性：（1）4=+y x x（2） y =y (4)=2y x 我的疑惑：请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决.课堂探究案一、学始于疑-------我思考，我收获1.一个函数一定是奇函数、或是偶函数吗？2.如果函数的图象关于原点对称，那么这个函数一定是奇函数吗？3.图象关于y 轴对称的函数一定是偶函数吗？学习建议：请同学们用2分钟的时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习.二、质疑探究——质疑解疑、合作探究（一）基础知识探究探究点：偶函数与奇函数的概念请同学们探究下面的问题，并在题目的横线上填出正确答案：1.一般地，如果对于函数()f x 定义域内的___________一个x ，都有_________________,那么函数()f x 就叫做偶函数.2. 一般地，如果对于函数()f x 定义域内的___________一个x ，都有_________________,那么函数()f x 就叫做奇函数.3.具有奇偶性的函数的图象特征：偶函数的图象关于__________对称；奇函数的图象关于________对称.4.由奇、偶函数的定义可知，对于定义域内的任意一个x ，-x 也一定在此定义域内，即定义域关于_________对称.5.如果函数()f x 在=0x 处有定义且(0)=0f a ，那么函数()f x 可能是奇函数吗？可能是偶函数吗？为什么?___________________________________________________________________. 6.如果函数()f x 和()g x 是定义域相同的两个奇函数，试问函数()=()+g()F x f x x 是偶函数吗？______________________________________________________________________________.归纳总结：（二）知识综合应用探究探究点一 函数奇偶性的判定（重点）例1.判断下列函数的奇偶性：（1）1()=+f x x x （2）21()=f x x （3）()f x x=（4）()=(f x x 思考1：它们的定义域分别是什么？关于原点对称吗？思考2： (-)()f x f x 与有什么关系？学习建议：自主探究后谈谈你如何判断函数的奇偶性.规律方法总结：拓展提升：判断函数(1-),<0()=(1+),>0x x x f x x x x ⎧⎨⎩的奇偶性.思考1：函数的定义域是否关于原点对称？思考2：当<0x 时，->0x ，那么(-)f x 适合哪个解析式？思考3：你能得出(-)()f x f x 与有什么关系？学习建议：先复习分段函数的定义，要正确理解分段函数，它不论分几段其实质还是一个函数.探究点二 函数奇偶性的综合应用（重难点）例2.已知函数2()3+f x ax bx a b =++是偶函数，其定义域为[-1,2]a a ，求函数()f x 的值域.思考1：偶函数的图象有什么特征？思考2：偶函数的定义域有什么特点？ 学习建议：自主探究后谈谈你的解题思路.规律方法总结：拓展提升：若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当<0x 时()=(2-)+1f x x x ，求函数()f x 的解析式.思考1：奇偶性反映在图象上有怎样的对称关系？思考2：奇函数在=0x 时函数值是怎样的？思考3;你怎样利用已知条件，求0x ≥时的解析式？学习建议：探究后谈谈你的解题思路.探究点三 函数奇偶性与单调性的综合应用（难点）例3. 已知奇函数()f x 在定义域[-2,2]上单调递减，若(1-)+(-)<0f m f m ，求实数m 的取值范围.思考１.通过函数的奇偶性，可以将已知的不等式怎样变形？思考２.通过函数的单调性，能否得到1-m 与m 分之间的关系？学习建议：探究后，谈谈你对利用函数的奇偶性与单调性解决抽象函数问题的认识. 规律方法总结；三、我的知识网络图--------归纳梳理、整合内化__________:⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎩偶函数定义奇偶函数的概念奇函数定义偶函数的图象关于对称函数的奇偶性奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于对称奇偶函数的判断方法步骤 四、当堂检测——有效训练、反馈矫正1.若函数3()=,f x x x R ∈，则函数=(-)y f x 是（ ）.Ａ．单调递增的偶函数 Ｂ．单调递减的奇函数Ｃ．单调递增的奇函数 Ｄ．单调递减的偶函数.2.对于定义域是R 的奇函数()f x 有（ ）A. ()-(-)>0f x f xB. ()-(-)<0f x f xC. ()(-)0f x f x ≤D. ()(-)>0f x f x 有错必改我的收获（反思静悟、体验成功）：课后训练案学习建议：完成课后训练案需定时训练，时间不超过20分钟，独立完成，不要讨论交流，全部做完后再参考答案查找问题.【基础知识检测】1.奇函数=()()y f x x R ∈的图象必过定点（ ）A. (,(-))a f aB. (-,())a f aC. (-,(-))a f aD. 1(,())a f a2.定义在R 上的偶函数=()y f x 在区间(0,+)∞上是增函数，则（ ）A. (3)<(-4)<(-)f f f πB. (-)<(-4)<(3)f f f πC. (3)<(-)<(-4)f f f πD. (-4)<(-)<(3)f f f π 3. 设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0()=2+2+()x x f x x b b ≥时，为常数，则(-1)f 等于（ ）A. 3B.1C. -1D. -34. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(0,+)x ∈∞时，()=f x x ，则当(-,0)x ∈∞时，()f x 等于（ ）A. -xB. xC. -xD. x【能力题目训练】5.已知42()=++2-8f x ax bx x 且(-1)=10f ，则(1)f 等于（ ）.A. 20B. 16C. 14D. 126.若奇函数()f x 在[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么()f x 在[-7,-3]上是（ ）A.增函数，最小值为-5B. 增函数，最大值为-5C. 减函数，最小值为-5D. 减函数，最大值为-57. 已知函数=()y f x 是R 上的偶函数，且在(-,0]∞上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a ≤B. -22a a ≤≥或C. -2a ≥D. -22a ≤≤.【拓展题目探究】8. 若对于一切实数,x y 都有(+)=()+()f x y f x f y ，（1）求(0)f 并证明()f x 是奇函数；（2）若(1)=8f 求+(-)()f n n N ∈.。
奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然.值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.三维目标1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想.重点难点教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究.思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性.推进新课新知探究提出问题①如图1-3-2-1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.图1-3-2-1②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？表2③请给出偶函数的定义？ ④偶函数的图象有什么特征？⑤函数f(x)=x 2,x∈［-1,2］是偶函数吗？ ⑥偶函数的定义域有什么特征？ ⑦观察函数f(x)=x 和f(x)=x1的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？ 活动：教师从以下几点引导学生: ①观察图象的对称性.②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数. ③利用函数的解析式来描述.④偶函数的性质：图象关于y 轴对称.⑤函数f(x)=x 2,x∈［-1,2］的图象关于y 轴不对称；对定义域［-1,2］内x=2，f(-2)不存在， 即其函数的定义域中任意一个x 的相反数-x 不一定也在定义域内，即f(-x)=f(x)不恒成立. ⑥偶函数的定义域中任意一个x 的相反数-x 一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质. 给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则-x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称；（4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；（5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质.讨论结果:①这两个函数之间的图象都关于y 轴对称.表2这两个函数的解析式都满足： f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x ，都有f(-x)=f(x).③一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.④偶函数的图象关于y 轴对称. ⑤不是偶函数.⑥偶函数的定义域关于原点轴对称.⑦一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称. 应用示例思路1例1判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=x 4；（2）f(x)=x 5； （3）f(x)=x+x1； （4）f(x)=21x . 活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).解：（1）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)4=x 4=f(x)，所以函数f(x)=x 4是偶函数.（2）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)5=-x 5=-f(x),所以函数f(x)=x 4是奇函数.（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=-x+x -1=-(x+x1)=-f(x)， 所以函数f(x)=x+x1是奇函数.（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=)(12x -=21x=f(x)， 所以函数f(x)=21x是偶函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x ，其相反数-x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(-x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数； 若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数. 变式训练2006辽宁高考，理2设f(x)是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数分析:A 中设F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数； B 中设F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定；C 中设F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数；D 中设F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数. 答案：D例22006上海春季高考，6已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x 4，则当x ∈(0,+∞)时，f(x)=_______. 活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x)，将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值. 分析:当x∈(0,+∞)时，则-x<0.又∵当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x 4，∴f(x)=(-x)-(-x)4=-x-x 4.答案：-x-x 4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值. 变式训练已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x 2+3x ，求f(x).解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0； 当x<0时，-x>0，由于函数f(x)是奇函数，则 f(x)=-f(-x)=-［(-x)2+3x -］=-x 2+3x ，综上所得，f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+.0,,0,0,0,3232x x x x x x x思路2例1判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=x 2,x∈［-1,2］;（2）f(x)=122--x x x ；（3）f （x ）=42-x +24x -；（4）f （x ）=111122+++-++x x x x .活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意x∈R ，有2x 1+>2x =|x|≥-x ，则2x 1++x>0.则函数的定义域是R .解：（1）因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x 2,x∈［-1,2］既不是奇函数又不是偶函数.（2）因为它的定义域为{x|x∈R 且x≠1}，并不关于原点对称,函数f(x)=122--x x x 既不是奇函数又不是偶函数.（3）∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x＝±2，即f （x ）的定义域是{－2，2}. ∵f（2）＝0，f （－2）＝0, ∴f（2）＝f （－2），f （2）＝－f （2）. ∴f（－x ）＝－f （x ），且f （－x ）＝f （x ）. ∴f（x ）既是奇函数也是偶函数. （4）函数的定义域是R . ∵f(-x)+f(x)=111111112222+++-++++-+--+x x x x x x x x=)11)(11()1(1)1(1222222++++-+--+++-+x x x x x x x x=)11)(11(121121222222++++-+-+-++---+x x x x x x x x x x=0,∴f（－x ）＝－f （x ）. ∴f（x ）是奇函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.定义法判断函数奇偶性的步骤是（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等；（2）当f(-x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(-x)＝-f(x)时，此函数是奇函数；（3）当f(-x)＝f(x)且f(-x)＝-f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；（4）当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数.判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立. 变式训练2007河南开封一模，文10函数f(x)=x 2－2ax+a 在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在区间（1，+∞）上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数分析：函数f(x)=x 2－2ax+a 的对称轴是直线x=a ， 由于函数f(x)在开区间（－∞，1）上有最小值， 所以直线x=a 位于区间（－∞，1）内，即a<1.g(x)＝x x f )(=x+xa-2， 下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.设1<x 1<x 2， 则g(x 1)-g(x 2)=(x 1+-1x a2)-(x 2+-2x a 2)=(x 1-x 2)+(1x a 2x a -)=(x 1-x 2)(121x x a-) =(x 1-x 2)2121x x ax x -.∵1<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1x 2>1>0.又∵a<1，∴x 1x 2>a.∴x 1x 2-a>0.∴g(x 1)-g(x 2)<0. ∴g(x 1)<g(x 2).∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值. 答案：D例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)，且当x>1时f(x)>0,f(2)=1， （1）求证：f(x)是偶函数；（2）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数； （3）试比较f(25-)与f(47)的大小.活动：（1）转化为证明f(-x)=f(x)，利用赋值法证明f(-x)=f(x)；（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；（3）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f(25-)和f(47)转化为同一个单调区间上的函数值.解：（1）令x 1=x 2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.令x 1=x 2=-1，得f(1)=f ［-1×(-1)］=f(-1)+f(-1)，∴2f(-1)=0. ∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函数. （2）设x 2>x 1>0，则 f(x 2)-f(x 1)=f(x 1·12x x )-f(x 1)=f(x 1)+f(12x x )-f(x 1)=f(12x x).∵x 2>x 1>0，∴12x x >1.∴f(12x x)>0，即f(x 2)-f(x 1)>0. ∴f(x 2)>f(x 1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.（3）由（1）知f(x)是偶函数，则有f(25-)＝f(25). 由（2）知f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f(25)>f(47).∴f(25-)>f(47).点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值. 变式训练2007广东中山高三期末统考，理19已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x 、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). （1）求f(1)、f(-1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由. 分析：（1）利用赋值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=－1，得f(-1)的值；（2）利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(-x)=-f(x). 解：（1）∵f(x)对任意x 、y 都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)， ∴令x=y=1时，有f(1·1)=1·f(1)+1·f(1). ∴f(1)=0.∴令x=y=－1时，有f ［(-1)·(-1)］=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1). ∴f(－1)=0. （2）是奇函数.∵f(x)对任意x 、y 都有f(x ·y)=yf(x)+xf(y)， ∴令y=－1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x)， ∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数. 知能训练课本P 36练习1、2. ［补充练习］1.2007上海春季高考，5设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=_____.分析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1). ∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.∴2［f(1)+f(2)］=-6.∴f(1)+f(2)=-3. 答案：-32.f （x ）=ax 2+bx+3a+b 是偶函数，定义域为［a －1，2a ］，则a=_________，b=________. 分析：∵偶函数定义域关于原点对称, ∴a－1+2a=0.∴a=31. ∴f（x ）=31x 2+bx+1+b.又∵f（x ）是偶函数，∴b=0.答案：310 3.2006山东高考，理6已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则f(6)的值为( )A.-1B.0C.1D.2 分析:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0). 又f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0. ∴f(6)＝0.故选B. 答案：B 拓展提升问题：基本初等函数的奇偶性.探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得 正比例函数y=kx(k≠0)是奇函数； 反比例函数y=xk(k≠0)是奇函数； 一次函数y=kx+b(k≠0)，当b=0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)，当b=0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数. 课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称. 作业课本P 39习题1.3A 组6，B 组3.设计感想单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求.习题详解(课本P 32页练习)1.从生产效率与生产线上工人数量的关系看，在生产劳动力较少的情况下，随人数的增加效率随着增大，但是到了一定数量后，人数再增多效率反而降低了.这说明劳动力可能过剩，出现了怠工等现象.2.图象如图1-3-2-2所示，图1-3-2-2函数的单调增区间为［8,12)，［13,18)； 函数的单调减区间为［12,13)，［18,20］.3.函数的单调区间是［-1,0),［0,2),［2,4),［4,5］.在区间［-1,0),［2,4)上是减函数；在区间［0,2),［4,5］上是增函数.4.证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)-f(x 2)=(-2x 1+1)-(-2x 2+1)=2(x 2-x 1). ∵x 1<x 2，∴x 2-x 1>0.∴f(x 1)>f(x 2). ∴函数f(x)=-2x+1在R 上是减函数. 5.如图1-3-2-3所示，图1-3-2-3从图象上可以发现f （－2）是函数的一个最小值. (课本P 36练习)1.（1）对于函数f （x ）=2x 4+3x 2，其定义域为（－∞,+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=2（－x ）4+3（－x ）2=2x 4+3x 2=f （x ）,所以函数f （x ）=2x 4+3x 2为偶函数.（2）对于函数f （x ）=x 3－2x ，其定义域为（－∞，+∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=（－x ）3－2（－x ）=－x 3+2x=－（x 3－2x ）=－f （x ）,所以函数f （x ）=x 3－2x 为奇函数.（3）对于函数f(x)=xx 12+，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=x x -+-1)(2=x x 12+-=－f （x ）,所以函数f(x)=xx 12+-为奇函数.（4）对于函数f(x)=x 2+1，其定义域为（－∞，+∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=(-x)2+1=x 2+1=f （x ）,所以函数f(x)=x 2+1为偶函数.2.f(x)的图象如图1-3-2-4所示，g(x)的图象如图1-3-2-5所示.图1-3-2-4 图1-3-2-5(课本P 39习题1.3)A 组1.（1）函数的单调区间是(-∞,25］,(25,+∞).函数y=f(x)在区间(-∞,25］上是减函数，在区间(25,+∞)上是增函数. （2）函数的单调区间是(-∞,0］,(0,+∞).函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是减函数，在区间(-∞,0］上是增函数. 图略.2.（1）设0<x 1<x 2，则有f(x 1)-f(x 2)=(x 12+1)-(x 22+1)=x 12-x 22=(x 1-x 2)(x 1+x 2). ∵0<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1+x 2<0. ∴f(x 1)>f(x 2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是减函数. （2）设0<x 1<x 2，则有 f(x 1)-f(x 2)=(111x -)-(121x -)=21x 11x -=2121x x x x -.∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0.∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.3.设x 1、x 2是（－∞，+∞）上任意两个实数，且x 1＜x 2. 则y 1－y 2=（mx 1+b ）－（mx 2+b ） =m （x 1－x 2）.∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0.当m ＜0时，∴y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2.∴此时一次函数y=mx+b （m ＜0）在（－∞，+∞）上是减函数. 同理可证一次函数y=mx+b （m ＞0）在（－∞,+∞）上是增函数. 综上所得，当m ＜0时，一次函数y=mx+b 是减函数； 当m ＞0时，一次函数y=mx+b 是增函数.4.心率关于时间的一个可能的图象，如图1-3-2-6所示，图1-3-2-65.y=502x -+162x-2100=501-(x 2-8100x)-2100=501-(x-4050)2+307 050.由二次函数的知识,可得当月租金为4 050元时，租赁公司的月收入最大，最大收益为307 050元.6.图略，函数f(x)的解析式为⎩⎨⎧<-≥+.0),1(,0),1(x x x x x xB 组1.（1）函数f(x)在(-∞,1)上为减函数，在［1,+∞)上为增函数；函数g(x)在［2,4］上为增函数.（2）函数f(x)的最小值为－1，函数g(x)的最小值为0.2.设矩形熊猫居室的宽为x m ，面积为y m 2，则长为2330x -m ，那么y=x 2330x - =21(30x-3x 2)=23-(x-5)2+275. 所以当x=5时，y 有最大值275, 即宽x 为5 m 时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，最大面积是275m 2. 3.函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明：设x 1<x 2<0，则-x 1>-x 2>0.∵函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴f(-x 1)<f(-x 2).∵函数f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x).∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.(课本P 44复习参考题)A 组1.（1）A={－3，3}；（2）B={1，2}；（3）C={1，2}.2.（1）线段AB 的垂直平分线；（2）以定点O 为原心，以3 cm 为半径的圆.3.属于集合的点是△ABC 的外接圆圆心.4.A={－1,1}，（1）若a=0，则B=∅，满足B ⊆A ；（2）若a=－1，则B={－1}，满足B ⊆A ；（3）若a=1，则B={1}，满足B ⊆A.综上所述，实数a 的值为0,-1,1.5.A∩B={（x,y ）｜⎩⎨⎧=+=0y 3x 0y -2x }={（x,y ）|⎩⎨⎧==0y 0x }={（0,0）};A∩C={（x,y ）|⎩⎨⎧==3y -2x 0y -2x }=∅； B∩C={（x,y ）｜⎩⎨⎧==+3y -2x 0y 3x }={（x,y ）｜⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5953y x }={（53,59-）}; （A∩B）∪（B∩C）={(0,0),(53,59-)}. 6.(1)要使函数有意义,必须|x|-2≥0,即x≤-2或x≥2,所以函数的定义域为{x|x≤-2或x≥2};（2）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≥+≥-,05,02x x 即⎩⎨⎧-≥≥,5,2x x 得x≥2.所以函数的定义域为{x ｜x≥2}；（3）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠-≥-,05||,04x x 即x≥4，且x≠5. 所以函数的定义域为{x ｜x≥4，且x≠5}.7.（1）f （a ）+1=111++-a a =12+a ; （2）f （a+1）=)1(1)1(1+++-a a =a a +-2. 8.（1）∵f（－x ）=22)(1)(1x x ---+=2211xx -+，∴f（－x ）=f （x ）. （2）∵f（x 1）=22)1(1)1(1x x -+=221111x x -+=222211x x x x -+=1122-+x x =2211x x -+-,∴f（x 1）=－f （x ）. 9.二次函数f(x)的对称轴是直线x=8k ，则有8k ≤5或8k ≥20.解得k≤40或k≥160，即实数k 的取值范围是(-∞,40］∪［160,+∞).10.（1）函数y=x -2是偶函数；（2）它的图象关于y 轴对称；（3）函数在（0，+∞）上是减函数；（4）函数在（－∞，0）上是增函数.B 组1.同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人.提示：由题意知有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，所以15+8+14=37，知共有37人次参加比赛.由已知共有28名同学参赛，且没有人同时参加三项，而37－28=9，知共有9名同学参加两项比赛.已知同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，因此同时参加田径和球类的有3人；又已知有15人参加游泳比赛，因此只参加游泳一项的有9人.2.实数a 的取值范围为{a ｜a≥0}.3.∵（A∪B）=（A ）∩（B ）={1，3}，A∩（B ）={2，4}， ∴B={1,2,3,4}.∴B={5,6,7,8,9}.4.f （1）=1×（1+4）=5;f （－3）=－3×（－3－4）=21;f （a+1）=⎩⎨⎧-<++-≥++.1),3)(1(,1),5)(1(a a a a a a5.证明：（1）f )2(21x x +=a·221x x ++b =22221b ab b ax x +++=21（ax 1+b ）+21（ax 2+b ）=21［f （x 1）+f （x 2）］， ∴f（221x x +）=21［f （x 1）+f （x 2）］. （2）g （221x x +）=（221x x +）2+a·221x x ++b =21（21x +ax 1+b ）+21（22x +ax 2+b ）－41（x 1－x 2）2 =21［g （x 1）+g （x 2）］－41（x 1－x 2）2, ∵－41（x 1－x 2）2≤0, ∴g（221x x +）≤21［g （x 1）+g （x 2）］. 6.（1）奇函数f （x ）在［－b,－a ］上是减函数；（2）偶函数g （x ）在［－b,－a ］上是减函数.7.若全月纳税所得额为500元，则应交纳税款为500×5%＝25（元）.此时月工资为800＋500＝1 300（元）；若全月纳税所得额为2000元，则应交纳税款为500×5%＋1500×10%＝175（元）.此时月工资为800＋500＋1500＝2800（元）.由于此人交纳税款为26.78元，则此人的工资在区间（1300，2800）内，所以他当月的工资、薪金所得是800＋500＋1.02578.26-≈1317.8（元）.。
奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然.值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.三维目标1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想.重点难点教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究.思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性.推进新课新知探究提出问题①如图1-3-2-1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.图1-3-2-1②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？表2③请给出偶函数的定义？ ④偶函数的图象有什么特征？⑤函数f(x)=x 2,x∈［-1,2］是偶函数吗？ ⑥偶函数的定义域有什么特征？ ⑦观察函数f(x)=x 和f(x)=x1的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？ 活动：教师从以下几点引导学生: ①观察图象的对称性.②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数. ③利用函数的解析式来描述.④偶函数的性质：图象关于y 轴对称.⑤函数f(x)=x 2,x∈［-1,2］的图象关于y 轴不对称；对定义域［-1,2］内x=2，f(-2)不存在， 即其函数的定义域中任意一个x 的相反数-x 不一定也在定义域内，即f(-x)=f(x)不恒成立. ⑥偶函数的定义域中任意一个x 的相反数-x 一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质. 给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则-x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称；（4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；（5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质.讨论结果:①这两个函数之间的图象都关于y 轴对称.表2这两个函数的解析式都满足： f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x ，都有f(-x)=f(x).③一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.④偶函数的图象关于y 轴对称. ⑤不是偶函数.⑥偶函数的定义域关于原点轴对称.⑦一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称. 应用示例思路1例1判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=x 4；（2）f(x)=x 5； （3）f(x)=x+x1； （4）f(x)=21x . 活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).解：（1）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)4=x 4=f(x)，所以函数f(x)=x 4是偶函数.（2）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)5=-x 5=-f(x),所以函数f(x)=x 4是奇函数.（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=-x+x -1=-(x+x1)=-f(x)， 所以函数f(x)=x+x1是奇函数.（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=)(12x -=21x=f(x)， 所以函数f(x)=21x是偶函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x ，其相反数-x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(-x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数； 若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数. 变式训练2006辽宁高考，理2设f(x)是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数分析:A 中设F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数； B 中设F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定；C 中设F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数；D 中设F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数. 答案：D例22006上海春季高考，6已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x 4，则当x∈(0,+∞)时，f(x)=_______. 活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x)，将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值. 分析:当x∈(0,+∞)时，则-x<0.又∵当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x 4，∴f(x)=(-x)-(-x)4=-x-x 4.答案：-x-x 4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值. 变式训练已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x 2+3x ，求f(x).解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0； 当x<0时，-x>0，由于函数f(x)是奇函数，则 f(x)=-f(-x)=-［(-x)2+3x -］=-x 2+3x ，综上所得，f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+.0,,0,0,0,3232x x x x x x x思路2例1判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=x 2,x∈［-1,2］;（2）f(x)=122--x x x ；（3）f （x ）=42-x +24x -；（4）f （x ）=111122+++-++x x x x .活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意x∈R ，有2x 1+>2x =|x|≥-x ，则2x 1++x>0.则函数的定义域是R .解：（1）因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x 2,x∈［-1,2］既不是奇函数又不是偶函数.（2）因为它的定义域为{x|x∈R 且x≠1}，并不关于原点对称,函数f(x)=122--x x x 既不是奇函数又不是偶函数.（3）∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x＝±2，即f （x ）的定义域是{－2，2}. ∵f（2）＝0，f （－2）＝0, ∴f（2）＝f （－2），f （2）＝－f （2）. ∴f（－x ）＝－f （x ），且f （－x ）＝f （x ）. ∴f（x ）既是奇函数也是偶函数. （4）函数的定义域是R . ∵f(-x)+f(x)=111111112222+++-++++-+--+x x x x x x x x=)11)(11()1(1)1(1222222++++-+--+++-+x x x x x x x x=)11)(11(121121222222++++-+-+-++---+x x x x x x x x x x=0,∴f（－x ）＝－f （x ）. ∴f（x ）是奇函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.定义法判断函数奇偶性的步骤是（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等；（2）当f(-x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(-x)＝-f(x)时，此函数是奇函数；（3）当f(-x)＝f(x)且f(-x)＝-f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；（4）当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数.判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立. 变式训练2007河南开封一模，文10函数f(x)=x 2－2ax+a 在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在区间（1，+∞）上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数分析：函数f(x)=x 2－2ax+a 的对称轴是直线x=a ， 由于函数f(x)在开区间（－∞，1）上有最小值， 所以直线x=a 位于区间（－∞，1）内，即a<1.g(x)＝x x f )(=x+xa-2， 下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.设1<x 1<x 2， 则g(x 1)-g(x 2)=(x 1+-1x a2)-(x 2+-2x a 2)=(x 1-x 2)+(1x a 2x a -)=(x 1-x 2)(121x x a-) =(x 1-x 2)2121x x ax x -.∵1<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1x 2>1>0.又∵a<1，∴x 1x 2>a.∴x 1x 2-a>0.∴g(x 1)-g(x 2)<0. ∴g(x 1)<g(x 2).∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值. 答案：D例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)，且当x>1时f(x)>0,f(2)=1， （1）求证：f(x)是偶函数；（2）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数； （3）试比较f(25-)与f(47)的大小.活动：（1）转化为证明f(-x)=f(x)，利用赋值法证明f(-x)=f(x)；（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；（3）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f(25-)和f(47)转化为同一个单调区间上的函数值.解：（1）令x 1=x 2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.令x 1=x 2=-1，得f(1)=f ［-1×(-1)］=f(-1)+f(-1)，∴2f(-1)=0. ∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函数. （2）设x 2>x 1>0，则 f(x 2)-f(x 1)=f(x 1·12x x )-f(x 1)=f(x 1)+f(12x x )-f(x 1)=f(12x x).∵x 2>x 1>0，∴12x x >1.∴f(12x x)>0，即f(x 2)-f(x 1)>0. ∴f(x 2)>f(x 1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.（3）由（1）知f(x)是偶函数，则有f(25-)＝f(25). 由（2）知f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f(25)>f(47).∴f(25-)>f(47).点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值. 变式训练2007广东中山高三期末统考，理19已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x 、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). （1）求f(1)、f(-1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由. 分析：（1）利用赋值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=－1，得f(-1)的值；（2）利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(-x)=-f(x). 解：（1）∵f(x)对任意x 、y 都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)， ∴令x=y=1时，有f(1·1)=1·f(1)+1·f(1). ∴f(1)=0.∴令x=y=－1时，有f ［(-1)·(-1)］=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1). ∴f(－1)=0. （2）是奇函数.∵f(x)对任意x 、y 都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)， ∴令y=－1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x)， ∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数. 知能训练课本P 36练习1、2. ［补充练习］1.2007上海春季高考，5设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=_____.分析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1). ∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.∴2［f(1)+f(2)］=-6.∴f(1)+f(2)=-3. 答案：-32.f （x ）=ax 2+bx+3a+b 是偶函数，定义域为［a －1，2a ］，则a=_________，b=________. 分析：∵偶函数定义域关于原点对称, ∴a－1+2a=0.∴a=31. ∴f（x ）=31x 2+bx+1+b.又∵f（x ）是偶函数，∴b=0.答案：310 3.2006山东高考，理6已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则f(6)的值为( )A.-1B.0C.1D.2 分析:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0). 又f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0. ∴f(6)＝0.故选B. 答案：B 拓展提升问题：基本初等函数的奇偶性.探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得 正比例函数y=kx(k≠0)是奇函数； 反比例函数y=xk(k≠0)是奇函数； 一次函数y=kx+b(k≠0)，当b=0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)，当b=0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数. 课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称. 作业课本P 39习题1.3A 组6，B 组3.设计感想单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求.习题详解(课本P 32页练习)1.从生产效率与生产线上工人数量的关系看，在生产劳动力较少的情况下，随人数的增加效率随着增大，但是到了一定数量后，人数再增多效率反而降低了.这说明劳动力可能过剩，出现了怠工等现象.2.图象如图1-3-2-2所示，图1-3-2-2函数的单调增区间为［8,12)，［13,18)； 函数的单调减区间为［12,13)，［18,20］.3.函数的单调区间是［-1,0),［0,2),［2,4),［4,5］.在区间［-1,0),［2,4)上是减函数；在区间［0,2),［4,5］上是增函数.4.证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)-f(x 2)=(-2x 1+1)-(-2x 2+1)=2(x 2-x 1). ∵x 1<x 2，∴x 2-x 1>0.∴f(x 1)>f(x 2). ∴函数f(x)=-2x+1在R 上是减函数. 5.如图1-3-2-3所示，图1-3-2-3从图象上可以发现f （－2）是函数的一个最小值. (课本P 36练习)1.（1）对于函数f （x ）=2x 4+3x 2，其定义域为（－∞,+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=2（－x ）4+3（－x ）2=2x 4+3x 2=f （x ）,所以函数f （x ）=2x 4+3x 2为偶函数.（2）对于函数f （x ）=x 3－2x ，其定义域为（－∞，+∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=（－x ）3－2（－x ）=－x 3+2x=－（x 3－2x ）=－f （x ）,所以函数f （x ）=x 3－2x 为奇函数.（3）对于函数f(x)=xx 12+，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=x x -+-1)(2=x x 12+-=－f （x ）,所以函数f(x)=xx 12+-为奇函数.（4）对于函数f(x)=x 2+1，其定义域为（－∞，+∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=(-x)2+1=x 2+1=f （x ）,所以函数f(x)=x 2+1为偶函数.2.f(x)的图象如图1-3-2-4所示，g(x)的图象如图1-3-2-5所示.图1-3-2-4 图1-3-2-5(课本P 39习题1.3)A 组1.（1）函数的单调区间是(-∞,25］,(25,+∞).函数y=f(x)在区间(-∞,25］上是减函数，在区间(25,+∞)上是增函数. （2）函数的单调区间是(-∞,0］,(0,+∞).函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是减函数，在区间(-∞,0］上是增函数. 图略.2.（1）设0<x 1<x 2，则有f(x 1)-f(x 2)=(x 12+1)-(x 22+1)=x 12-x 22=(x 1-x 2)(x 1+x 2). ∵0<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1+x 2<0. ∴f(x 1)>f(x 2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是减函数. （2）设0<x 1<x 2，则有 f(x 1)-f(x 2)=(111x -)-(121x -)=21x 11x -=2121x x x x -.∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0.∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.3.设x 1、x 2是（－∞，+∞）上任意两个实数，且x 1＜x 2. 则y 1－y 2=（mx 1+b ）－（mx 2+b ） =m （x 1－x 2）.∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0.当m ＜0时，∴y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2.∴此时一次函数y=mx+b （m ＜0）在（－∞，+∞）上是减函数. 同理可证一次函数y=mx+b （m ＞0）在（－∞,+∞）上是增函数. 综上所得，当m ＜0时，一次函数y=mx+b 是减函数； 当m ＞0时，一次函数y=mx+b 是增函数.4.心率关于时间的一个可能的图象，如图1-3-2-6所示，图1-3-2-65.y=502x -+162x-2100=501-(x 2-8100x)-2100=501-(x-4050)2+307 050.由二次函数的知识,可得当月租金为4 050元时，租赁公司的月收入最大，最大收益为307 050元.6.图略，函数f(x)的解析式为⎩⎨⎧<-≥+.0),1(,0),1(x x x x x xB 组1.（1）函数f(x)在(-∞,1)上为减函数，在［1,+∞)上为增函数；函数g(x)在［2,4］上为增函数.（2）函数f(x)的最小值为－1，函数g(x)的最小值为0.2.设矩形熊猫居室的宽为x m ，面积为y m 2，则长为2330x -m ，那么y=x 2330x - =21(30x-3x 2)=23-(x-5)2+275. 所以当x=5时，y 有最大值275, 即宽x 为5 m 时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，最大面积是275m 2. 3.函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明：设x 1<x 2<0，则-x 1>-x 2>0.∵函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴f(-x 1)<f(-x 2).∵函数f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x).∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.(课本P 44复习参考题)A 组1.（1）A={－3，3}；（2）B={1，2}；（3）C={1，2}.2.（1）线段AB 的垂直平分线；（2）以定点O 为原心，以3 cm 为半径的圆.3.属于集合的点是△ABC 的外接圆圆心.4.A={－1,1}，（1）若a=0，则B=∅，满足B ⊆A ；（2）若a=－1，则B={－1}，满足B ⊆A ；（3）若a=1，则B={1}，满足B ⊆A.综上所述，实数a 的值为0,-1,1.5.A∩B={（x,y ）｜⎩⎨⎧=+=0y 3x 0y -2x }={（x,y ）|⎩⎨⎧==0y 0x }={（0,0）};A∩C={（x,y ）|⎩⎨⎧==3y -2x 0y -2x }=∅； B∩C={（x,y ）｜⎩⎨⎧==+3y -2x 0y 3x }={（x,y ）｜⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5953y x }={（53,59-）}; （A∩B）∪（B∩C）={(0,0),(53,59-)}. 6.(1)要使函数有意义,必须|x|-2≥0,即x≤-2或x≥2,所以函数的定义域为{x|x≤-2或x≥2};（2）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≥+≥-,05,02x x 即⎩⎨⎧-≥≥,5,2x x 得x≥2.所以函数的定义域为{x ｜x≥2}；（3）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠-≥-,05||,04x x 即x≥4，且x≠5. 所以函数的定义域为{x ｜x≥4，且x≠5}.7.（1）f （a ）+1=111++-a a =12+a ; （2）f （a+1）=)1(1)1(1+++-a a =a a +-2. 8.（1）∵f（－x ）=22)(1)(1x x ---+=2211xx -+，∴f（－x ）=f （x ）. （2）∵f（x 1）=22)1(1)1(1x x -+=221111x x -+=222211x x x x -+=1122-+x x =2211x x -+-,∴f（x 1）=－f （x ）. 9.二次函数f(x)的对称轴是直线x=8k ，则有8k ≤5或8k ≥20.解得k≤40或k≥160，即实数k 的取值范围是(-∞,40］∪［160,+∞).10.（1）函数y=x -2是偶函数；（2）它的图象关于y 轴对称；（3）函数在（0，+∞）上是减函数；（4）函数在（－∞，0）上是增函数.B 组1.同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人.提示：由题意知有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，所以15+8+14=37，知共有37人次参加比赛.由已知共有28名同学参赛，且没有人同时参加三项，而37－28=9，知共有9名同学参加两项比赛.已知同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，因此同时参加田径和球类的有3人；又已知有15人参加游泳比赛，因此只参加游泳一项的有9人.2.实数a 的取值范围为{a ｜a≥0}.3.∵（A∪B）=（A ）∩（B ）={1，3}，A∩（B ）={2，4}， ∴B={1,2,3,4}.∴B={5,6,7,8,9}.4.f （1）=1×（1+4）=5;f （－3）=－3×（－3－4）=21;f （a+1）=⎩⎨⎧-<++-≥++.1),3)(1(,1),5)(1(a a a a a a5.证明：（1）f )2(21x x +=a·221x x ++b =22221b ab b ax x +++=21（ax 1+b ）+21（ax 2+b ）=21［f （x 1）+f （x 2）］， ∴f（221x x +）=21［f （x 1）+f （x 2）］. （2）g （221x x +）=（221x x +）2+a·221x x ++b =21（21x +ax 1+b ）+21（22x +ax 2+b ）－41（x 1－x 2）2 =21［g （x 1）+g （x 2）］－41（x 1－x 2）2, ∵－41（x 1－x 2）2≤0, ∴g（221x x +）≤21［g （x 1）+g （x 2）］. 6.（1）奇函数f （x ）在［－b,－a ］上是减函数；（2）偶函数g （x ）在［－b,－a ］上是减函数.7.若全月纳税所得额为500元，则应交纳税款为500×5%＝25（元）.此时月工资为800＋500＝1 300（元）；若全月纳税所得额为2000元，则应交纳税款为500×5%＋1500×10%＝175（元）.此时月工资为800＋500＋1500＝2800（元）.由于此人交纳税款为26.78元，则此人的工资在区间（1300，2800）内，所以他当月的工资、薪金所得是800＋500＋1.02578.26-≈1317.8（元）.。
