2019版高考数学5年高考3年模拟：椭圆及其性质

考点26 椭圆的标准方程及几何意义1. 掌握椭圆定义和几何图形.2. 掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程.3. 掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法.4. 会运用统一定义转化到椭圆上的点到焦点距离和到相应准线距离.近 5 年的江苏高考圆锥曲线的考试要求非常稳定,椭圆的标准方程与几何性质为B 级要求, .在命题方式上,大致为两道填空题、一道解答题. 填空题重点考查标准方程与几何性质,涉及双曲线与抛物线的填空题属于容易题,涉及椭圆的填空题属于中档题. 解答题主要考查直线与椭圆,不涉及双曲线,抛物线如果考查的话,会在理科附加题中出现,属于中档题. 另外,若在填空题中考查了直线与圆的知识,则解答题中考查直线与椭圆的知识,反之,若在填空题中考查了直线与椭圆的知识,则解答题中考查直线与圆的知识.涉及椭圆的解答题会重点考查椭圆的标准方程、几何性质,以及直线与椭圆相交所产生的相关问题,如范围问题、最值问题及定点、定值问题等等. 在解决这类问题时,要充分利用方程的思想、数形结合的思想,同时,注意定义及几何图形的性质的应用,另外,这类问题也会考查学生观察、推理以及分析问题、解决问题的能力.回顾江苏省 5 年高考的椭圆的试题,在填空题中主要考查椭圆的离心率、椭圆的定义及统一定义的应用,在解答题中,主要考查直线与椭圆的综合问题,这类问题的解法是:由直线方程与椭圆的方程联立成方程组,求出交点后,再来进一步地研究问题,这类问题主要围绕着椭圆的方程、椭圆的几何性质以及直线与椭圆相交时产生的弦长等研究来展开,一般来说,难度都不大,属于中档题.在复习中也要提别注意求椭圆的离心率等性质。

1、（2018年江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C 过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C 交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P 的坐标为．综上，直线l 的方程为．2、（2017年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．思路分析 (2) 设P (x 0，y 0)，易得PF 1，PF 2的斜率，得l 1，l 2的方程，求出点Q 的坐标用(x 0，y 0)表示．再利用P ，Q 均在椭圆上，求出x 0，y 0.解：(1) 设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c ＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3， 因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2) 由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)，由于P 为第一象限内的点，故x 0＞0，y 0＞0. 当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符．当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1y 0，从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)．②由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝⎛⎭⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆E 上，由点P ，Q 的对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又P 在椭圆E 上，故x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 20＝1，x 204＋y 203＝1，解得x 0＝477，y 0＝377； 由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 203＝1，无解． 因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫477，377.解后反思 用直线方程解题时，分注意斜率是否存在，必须讨论．若用向量来处理，就没有这些麻烦．请对比上面的解法，体会下面的解法． 设Q (x 1，y 1)．由PF 1⊥QF 1，得F 1P →·F 1Q →＝0， 即(x 0＋1)(x 1＋1)＋y 0y 1＝0. 同理可得(x 0－1)(x 1－1)＋y 0y 1＝0. 两式相减，得x 1＝－x 0，所以x 20－y 0y 1＝1. 以下略．3、（2016年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．【答案】：.63【解析】：由题意得y ＝b 2与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫±32a ，b2，因为F (c,0)，且∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，即⎝⎛⎭⎫c －32a ⎝⎛⎭⎫c ＋32a ＋b 24＝0，即3c 2＝2a 2，所以e ＝63. 4、（2015年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．规范解答 (1) 由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2) 当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，故C 的坐标为2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)，从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2).因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.解后反思 本题考查了【解析】几何的基本解题策略，即通过联立曲线的方程，通过方程组来研究曲线的性质，体现了江苏高考命题在【解析】几何中命题的“回归”，由此来突出【解析】几何的两个研究核心问题：一是研究曲线的方程；二是通过方程来研究曲线的性质．5、（2014年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .(1) 若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．规范解答 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1) 因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C 43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2) 解法1 因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2)a 2＋c2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为2a 2c a 2＋c 2，b (a 2－c 2)a 2＋c2.因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ， 所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·－bc＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55.解法2 由题意知B (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)． 设C (x 0，y 0)，则A (x 0，－y 0)． 因为F 1C ⊥AB ，所以F 1C ⊥BF 2.所以y 0x 0＋c ·b－c＝－1. ① 因为点A 在直线BF 2上，所以x 0c ＋－y 0b＝1. ②联立①②解得⎩⎨⎧x 0＝ca 2b 2－c2，y 0＝2bc2b 2－c 2.所以点C ⎝⎛⎭⎫ca 2b 2－c 2，2bc 2b 2－c 2. 又因为点C ⎝⎛⎭⎫ca 2b 2－c 2，2bc2b 2－c 2在椭圆上，代入椭圆的方程并整理得c 2a 2＋4c 4＝(a 2－2c 2)2，所以a 2＝5c 2，所以椭圆的离心率e ＝55.题型一 椭圆的方程与离心率1、(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．【答案】：.5－12【解析】：因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．2、(2016扬州期末）如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足F 1M →＝λMP →(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点．(1) 若椭圆方程为x 28＋y 24＝1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2) 若λ＝2，求椭圆离心率e 的取值范围．思路分析 求离心率的范围，本质就是要建立一个关于a ，b ，c 的不等量关系，注意到点P 是椭圆上的点，所以考虑建立a ，b ，c 与点P 的横坐标或纵坐标的关系，利用点P 的坐标的取值范围来得到不等式．为此，就要建立点P 的坐标与a ，b ，c 的关系，由F 1M →＝2MP →、PO ⊥F 2M 及点P 在椭圆上不难得到这样的关系．规范解答 (1) 因为x 28＋y 24＝1，所以F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以k OP ＝22，kF 2M ＝－2，kF 1M ＝24.所以直线F 2M 的方程为y ＝－2(x －2)，直线F 1M 的方程为y ＝24(x ＋2)．(4分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2(x －2)，y ＝24(x ＋2)，解得x ＝65，所以点M 的横坐标为65.(6分) (2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M )．因为F 1M →＝2MP →，所以F 1M →＝23(x 0＋c ，y 0)＝(x M ＋c ，y M )，所以M 23x 0－13c ，23y 0，F 2M →＝23x 0－43c ，23y 0.因为PO ⊥F 2M ，OP →＝(x 0，y 0)，所以23x 0－43cx 0＋23y 20＝0，即x 20＋y 20＝2cx 0.(9分) 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2cx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1，消去y 0得c 2x 20－2a 2cx 0＋a 2(a 2－c 2)＝0，解得x 0＝a (a ＋c )c 或x 0＝a (a －c )c .(12分)因为－a <x 0<a ，所以x 0＝a (a －c )c ∈(0，a )，所以0<a 2－ac <ac ，解得e >12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为（12，1.）(15分)易错警示 本题中求出点P 的横坐标x 0与a ，b ，c 的关系后，建立不等式关系时，极易得到错误的关系－a ≤x 0≤a ，而导致出错．3、(2017扬州期末）如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆C 的上顶点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q ，设AP →＝λPQ →.(1) 若点P(－3,0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C 的方程； (2) 若λ＝3，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．规范解答 (1) 由P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上，得b ＝3. 又点Q 在椭圆C 上，得(－4)2a 2＋(－1)232＝1，解得a 2＝18，所以椭圆C 的方程是x 218＋y 29＝1.(5分)(2) 解法1 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb1＋k 2.(7分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2a 2k 2＋b 2.(9分)因为AP →＝λPQ →，λ＝3，所以AP →＝34AQ →，所以2kba 2a 2k 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k2，所以k 2＝3a 2－4b 2a 2＝4e 2－1. 因为k 2＞0，所以4e 2＞1，即e ＞12，又0＜e ＜1，所以12＜e ＜1.(16分)解法2 A (0，b )，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则有x 21＋y 21＝b 2①，x 22a 2＋y 22b2＝1 ②.(7分)又因为AP →＝λPQ →，λ＝3，所以AP →＝34AQ →，即(x 1，y 1－b )＝34(x 2，y 2－b )．解得x 2＝43x 1，y 2＝43y 1－13b ，代入②得16x 219a 2＋16y 21－8by 1＋b 29b 2＝1.(9分)又x 21＝b 2－y 21，消去x 21整理得2(a 2－b 2)y 21－a 2by 1－b 2(a 2－2b 2)＝0，即[2(a 2－b 2)y 1＋b (a 2－2b 2)](y 1－b )＝0，解得，y 1＝b (2b 2－a 2)2(a 2－b 2)或y 1＝b (舍去)，因为－b ＜y 1＜b ，所以－b ＜b (2b 2－a 2)2(a 2－b 2)＜b ，解得b 2a 2＜34.(14分)而e 2＝1－b 2a 2＞1－34＝14，即e ＞12，又0＜e ＜1，所以12＜e ＜1.(16分)解后反思 【解析】几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，【解析】几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的解法1就属于设线法，解法2就属于设点法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目方法选择的不同差别会很大，注意从此题的解法中体会设点法和设线法的精妙之处．4、(2018常州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F ，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于M ，N 两点(M 在第三象限)，与椭圆的右准线交于点P.已知AM ⊥MN ，且OA →·OM →＝43b 2.(1) 求椭圆C 的离心率e ； (2) 若S △AMN ＋S △POF ＝103a ，求椭圆C 的标准方程．规范解答 (1) 由题意可知M 在以OA 为直径的圆上．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22，消去y 得c 2a 2x 2＋ax ＋b 2＝0，解得x 1＝－a ，x 2＝－ab2c 2，(4分) 所以x M ＝－ab 2c 2∈(－a ，0)，OA →·OM →＝x M x A ＝ab 2c 2a ＝43b 2，c 2a 2＝34，所以e ＝c a ＝32，此时x M ＝－ab 2c 2＝－a 3∈(－a ，0)，符合题意．(8分)(2) 由(1)可得a ＝2b ，c ＝3b ，右准线方程为x ＝433b ，M ⎝⎛⎭⎫－23b ，－223b ， 直线MN 的方程为y ＝2x ，所以P ⎝⎛⎭⎫433b ，463b .(10分)S △POF ＝12OF·y P ＝32b·463b ＝22b 2，S △AMN ＝2S △AOM ＝OA·||y M ＝2b×223b ＝423b 2，所以22b 2＋423b 2＝103a ，1023b 2＝203b ，所以b ＝2，a ＝22，(14分)故椭圆C 的标准方程为x 28＋y 22＝1.(16分)解后反思 点M 的确定有多种办法：利用k AM ·k OM ＝－1或AM →·OM →＝0或AO 2＝AM 2＋OM 2，或者像上述解法中的M 在以OA 为直径的圆上．5、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的右焦点为F ，P 为右准线上一点．点Q 在椭圆上，且FQ FP ⊥．（1）若椭圆的离心率为12，短轴长为① 求椭圆的方程；② 若直线OQ PQ ，的斜率分别为12k k ，， 求12k k ⋅的值．（2）若在x 轴上方存在P Q ，两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．【思路分析】（1）列出关于,,a b c 的方程组，解出,a b 值，从而求得椭圆的方程；（2）设出00(,)Q x y ，抓到FQ FP ^,用直线方程或者向量数量积的方法求出P 点坐标，代入坐标，计算12k k ×，结合椭圆方程，把代入，就能求出定值；（3）设出00()Q x y ，，求出P 坐标，,,P Q F 三点确定以PQ为直径的圆，要使四点共圆，则第四点O在圆上，有两种思路：思路1，求出圆方程，将点O坐标代入圆方程，思路2，OF的中垂线经过圆心，求出2ax cc=-，根据点P，Q均在x轴上方，得到，转化为e的不等式，求出范围.规范解答（1）①设椭圆的焦距为2c，由题意，得…………………………………………………… 2分所以2ab=⎧⎪⎨=⎪⎩，．所以椭圆的方程为22143yx+=．…………………………… 4分②由①得，焦点(10)F，，准线为4x=，解法1 设(4)P t，，00()Q x y，，则2200143x y+=，所以2200334y x=-．所以，因为FP⊥FQ ，所以，所以．………………………………………………………… 6分所以2002004y tyx x-=-34=-．………………………… 10分解法2 设00()Q x y，，则2200143x y+=，所以2200334y x=-，当1x≠时，直线FQ存在斜率，则01FQykx=-，又FP⊥FQ，所以直线FP 的方程为，所以点P 的坐标为．………………………………………… 6分所以；当01x =时，点Q 的坐标为3(1)2±，，点P 的坐标为(40)，，也满足1234k k ⋅=-，所以12k k ⋅的值为34-． …………………………………………………… 10分（2）解法1 设2()a P t c，，00()Q x y ，，因为FP ⊥FQ ，则△FPQ 的外接圆即为以PQ 为直径的圆．………………………………………………… 12分由题意，焦点F ，原点O 均在该圆上，所以消去0ty 得，所以20a x c c =-，…………………………………………………………… 14分因为点P ，Q 均在x 轴上方，所以，即，所以210e e +->，又因为01e <<，1e <<．………………………………………………………… 16分解法2 因为O ，F ，P ，Q 四点共圆且FP ⊥FQ ，所以PQ 为圆的直径，所以圆心必为PQ 中点M ， 又圆心在弦OF 的中垂线2c x =上，所以圆心M 的横坐标为2M c x =， ……………………………………… 12分所以点Q 的横坐标为．（以下同方法1）……… 14分【易错警示】用到直线方程时，需要考虑斜率是否存在，如本题考虑01x =的情形.6、(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →.(1) 若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2) 若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围．思路分析 第1问，求椭圆的标准方程，本质就是要求a ，b 的值，为此，要找到两个关于a ，b 的方程，根据点P 在椭圆上，以及椭圆的定义知△PF 2Q 的周长为4a ，从而可求得椭圆的方程；第2问的本质就是找到实数λ与离心率e 的关系，根据PF 2⊥x 轴，可得点P 的坐标，根据条件PF 1→＝λF 1Q →可求得点Q 的坐标，利用点Q 在椭圆上，得到λ与a ，b ，c 的关系，进而求得λ与e 的关系，利用这一关系，求出λ的范围．规范解答 (1) 因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ， 由题意得4a ＝8，解得a ＝2.(2分) 因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 解法1 因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，所以可设P (c ，y 0)，y 0＞0，Q (x 1，y 1)．因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 2b2＝1，解得y 0＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .(7分)因为F 1(－c,0)，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a ＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q ⎝⎛⎭⎫－λ＋2λc ，－b2λa .(11分)因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋b 2λ2a 2＝1， 即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.(14分) 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤73，5.(16分)解法2 由于PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .(7分)因为F 1(－c,0)，所以直线PF 1的方程为y ＝b 22ac(x ＋c )．联立⎩⎨⎧y ＝b 22ac(x ＋c )，x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0.因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c4c 2＋b 2，(11分) 因为PF 1→＝λF 1Q →，所以λ＝－2c c ＋x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.(14分) 以下同解法1.解后反思 本题考查【解析】几何中的范围问题，由于题中已知离心率e 的范围，因此我们可以把λ表示为e 的函数，为此先求得点P 的坐标(这里点P 是确定的，否则设出点P 的坐标)，由向量的运算求得点Q 的坐标，再代入椭圆方程可得关于λ，a ，b ，c 的等式，利用e ＝ca ，a 2＝b 2＋c 2可化此等式为关于e ，λ的方程，解出λ，即把λ表示为e 的函数，由函数性质可求得λ的范围．本题采用的方法是【解析】几何中的基本计算，考查了学生的运算能力．题型二 椭圆中的定点与定值问题1、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴的交点除外)，直线PC 交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； (2) ①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值； ②求PB →·PM →的取值范围．思路分析 第(2)问中有两个动点，点M 和点P ，思路1，把点P 作为主动点，点M 作为被动点，故可设P(m ，－2)，且m≠0，进而求出点M 坐标，表示出k 1，k 2和PB →·PM →后运算即可；思路2，把点M 作为主动点，点P 作为被动点，故可设M(x 0，y 0)(x 0≠0)，进而求出点P 坐标，表示出k 1，k 2和PB →·PM →后运算即可．规范解答 (1) 由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(3，0)， 当直线PM 过椭圆的右焦点F 时， 则直线PM 的方程为x 3＋y －1＝1，即y ＝33x －1，联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎨⎧x ＝837，y ＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1(舍)，即M ⎝⎛⎭⎫837，17.(2分)连结BF ，则直线BF ：x 3＋y1＝1，即x ＋3y －3＝0， 而BF ＝a ＝2，点M 到直线BF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪837＋3×17－312＋（3）2＝2372＝37. 故S △MBF ＝12·BF·d ＝12×2×37＝37.(4分)(2) 解法1(点P 为主动点) ①设P(m ，－2)，且m≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－（－2）0－m ＝－1m ，则直线PM 的方程为y ＝－1mx －1，联立⎩⎨⎧y ＝－1m x －1，x 24＋y 2＝1化简得⎝⎛⎭⎫1＋4m 2x 2＋8m x ＝0， 解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m m 2＋4，4－m 2m 2＋4，(6分)所以k 1＝4－m 2m 2＋4－1－8m m 2＋4＝－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－（－2）0－m ＝－3m ，(8分)所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值．(10分)②由①知，PB →＝(－m ，3)，PM →＝(－8m m 2＋4－m ，4－m 2m 2＋4＋2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4，所以PB →·PM →＝(－m ，3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4＝m 4＋15m 2＋36m 2＋4，(12分) 令m 2＋4＝t>4，故PB →·PM →＝（t －4）2＋15（t －4）＋36t ＝t 2＋7t －8t ＝t －8t＋7，(14分)因为y ＝t －8t＋7在t ∈(4，＋∞)上单调递增，所以PB →·PM →＝t －8t ＋7>4－84＋7＝9，即PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞)．(16分)解法2(点M 为主动点) ①设点M(x 0，y 0)(x 0≠0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1， 令y ＝－2，得P ⎝⎛⎭⎫－x 0y 0＋1，－2.(6分)所以k 1＝y 0－1x 0，k 2＝－2－1－x 0y 0＋1＝3（y 0＋1）x 0，(8分)所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·3（y 0＋1）x 0＝3（y 20－1）x 20＝3（y 20－1）4（1－y 20）＝－34(定值)．(10分) ②由①知，PB →＝⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1，3，PM →＝⎝⎛⎭⎫x 0＋x 0y 0＋1，y 0＋2，(12分)所以PB →·PM →＝x 0y 0＋1⎝⎛⎭⎫x 0＋x 0y 0＋1＋3(y 0＋2)＝x 20（y 0＋2）（y 0＋1）2＋3(y 0＋2)＝4（1－y 20）（y 0＋2）（y 0＋1）2＋3(y 0＋2)＝（7－y 0）（y 0＋2）y 0＋1.(14分)令t ＝y 0＋1∈(0，2)，则PB →·PM →＝（8－t ）（t ＋1）t ＝－t ＋8t ＋7，因为y ＝－t ＋8t＋7在t ∈(0，2)上单调递减，所以PB →·PM →＝－t ＋8t ＋7>－2＋82＋7＝9，即PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞)．(16分)2、(2018苏州期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M(0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．思路分析 (1) 椭圆上动点P(x 0，y 0)到左、右焦点的距离的最小值为a －c.(2) 先根据直径AB 竖直和水平两种情况，猜出定点可能为D(0，3)，再考虑DA →·DB →是否为零． 规范解答 (1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a －c ＝3（2－1），解得⎩⎨⎧a ＝32，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝9.(4分)椭圆C 的标准方程是x 218＋y 29＝1.(6分)(2) 当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝9；(7分) 当直线l 的斜率为零时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝16.(8分)这两圆仅有唯一公共点，也是椭圆的上顶点D(0，3)．猜想以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(9分) 证明如下：证法1(向量法) 设直线l 的方程为y ＝kx －1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．只要证DA →·DB →＝x 1x 2＋(y 1－3)(y 2－3)＝x 1x 2＋(kx 1－4)(kx 2－4)＝0即可．即要证DA →·DB →＝(1＋k 2)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝0.(11分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋2y 2＝18，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4kx －16＝0，Δ＝16k 2＋64(1＋2k 2)>0，此方程总有两个不等实根x 1，x 2.x 1，2＝2k±29k 2＋41＋2k 2，所以x 1＋x 2＝4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－161＋2k 2.(14分) 所以DA →·DB →＝(1＋k 2)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝－16（1＋k 2）1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋16＝0.所以DA ⊥DB ，所以以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(16分)证法2(斜率法) 若设DA ，DB 的斜率分别为k 1，k 2，只要证k 1k 2＝－1即可． 设直线l 的斜率为λ，则y A ＋1x A＝λ.由点A 在椭圆x 2＋2y 2＝18上，得x 2A ＋2y 2A ＝18，变形得y A －3x A ·y A ＋3x A ＝－12，即k 1·y A ＋3x A ＝－12. 设y A ＋3＝m(y A －3)＋n(y A ＋1)，可得m ＝－12，n ＝32，得y A ＋3x A ＝32λ－12k 1.从而k 1(3λ－k 1)＝－1，即k 21－3λk 1－1＝0.同理k 22－3λk 2－1＝0，所以k 1，k 2是关于k 的方程k 2－3λk －1＝0的两实根．由根与系数关系，得k 1k 2＝－1.所以DA ⊥DB ，所以以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(16分) 3、(2018镇江期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，左焦点F(－2，0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若M(－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程； (3) 设直线MA ，MB 与y 轴分别相交于点C ，D ，证明：OC·OD 为定值．思路分析 第(2)问要求圆P 的方程，就是要求得t 的值，为此，由圆P 过点M ，可得MA ⊥MB ，可用向量或斜率关系转化为坐标表示，通过解方程，可得t 的值；第(3)问的本质就是求点C ，D 的纵坐标，由于点C ，D 随着点M 的变化而变化，因此以点M 的坐标为参数，通过设出点M 的坐标，进而表示出点C ，D 的纵坐标，通过计算得OC·OD 为定值．规范解答 (1) 因为e ＝c a ＝22，且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2.(2分)所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(4分)(2)设A(s ，t)，则B(－s ，t)，且s 2＋2t 2＝8 ①.因为以AB 为直径的圆P 过点M ，所以MA ⊥MB ，所以MA →·MB →＝0，(5分) 又MA →＝(s ＋6，t ＋1)，MB →＝(－s ＋6，t ＋1)，所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0 ②.(6分) 由①②解得t ＝13，或t ＝－1(舍，因为M(－6，－1)，所以t>0)，所以s 2＝709.(7分)又圆P 的圆心为AB 的中点(0，t)，半径为AB2＝|s|，(8分)所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －132＝709.(9分) (3)设M(x 0，y 0)，则l MA 的方程为y －y 0＝t －y 0s －x 0(x －x 0)，若k 不存在，显然不符合条件． 令x ＝0得y C ＝－tx 0＋sy 0s －x 0；同理y D ＝－tx 0－sy 0－s －x 0，(11分)所以OC·OD ＝|y C ·y D |＝|－tx 0＋sy 0s －x 0·－tx 0－sy 0－s －x 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2.(13分)因为s 2＋2t2＝8，x 20＋2y 20＝8，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（8－2y 20）－（8－2t 2）y 208－2y 20－（8－2t 2）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8t 2－8y 202t 2－2y 20＝4为定值．(16分) 4、(2017苏州暑假测试）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (3,1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为2 2.(1) ①求椭圆C 的标准方程；②若点Q 在椭圆C 上，且∠F 1QF 2＝π3，求QF 1·QF 2的值. (2) 设直线y ＝x ＋k 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．思路分析 第(1)问的第1小题，求椭圆的标准方程，只需找到关于a ，b ，c 的另外两个方程，根据点P 在椭圆上，以及△PF 1F 2的面积为22不难求得；第2小题，所研究的对象为焦点三角形，由于已知一条边与它的对角，因此，应用余弦定理研究即可．第(2)问，注意到以AB 为直径的圆过坐标原点等价于OA →·OB→＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，因此，只需联立直线与椭圆的方程，求出交点的坐标并代入上式即可求出k 的值．规范解答 (1) ①因为椭圆过点P (3,1)，所以9a 2＋1b 2＝1. 又S △PF 1F 2＝12×2c ×1＝22，解得c ＝2 2.(2分) 又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝12，b 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(4分) ②当∠F 1QF 2＝π3时， 有⎩⎨⎧QF 1＋QF 2＝2a ＝43，QF 21＋QF 22－QF 1·QF 2＝(2c )2＝32，(6分) 所以QF 1·QF 2＝163.(8分) (2) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 212＋y 24＝1，y ＝x ＋k ，得4x 2＋6kx ＋3k 2－12＝0，(10分)故x 1＋x 2＝－3k 2，x 1x 2＝3k 2－124，y 1y 2＝k 2－124.(12分) 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－6＝0，解得k ＝±6，此时Δ＝120＞0，满足条件．因此k ＝±6.(14分)5.(2017南京、盐城一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的焦点．(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 设直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆E 于P ，Q 两点，T 为弦PQ 的中点，M (－1，0)，N (1,0)，记直线TM ，TN 的斜率分别为k 1，k 2，当2m 2－2k 2＝1时，求k 1·k 2的值．思路分析 注意到T 为P ，Q 的中点，因此，就有两种处理方式，一是利用直线与椭圆方程联立，借助于方程的根与系数的关系，将中点T 表示为直线中的特征量k ，m 的形式；二是利用点差法，将中点T 表示为k ，m 的形式．规范解答 (1) 因为0＜b ＜2，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c ＝b ，(3分)所以2b 2＝4，即b 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(6分) (2) 解法1 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，又2m 2－2k 2＝1，所以x 1＋x 2＝－2k m ，所以x 0＝－k m ，y 0＝m －k ·k m ＝12m ，(10分) 则k 1·k 2＝12m －k m ＋1·12m －k m－1＝14k 2－4m 2＝1－2(2m 2－2k 2)＝－12.(14分) 解法2 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0), 则⎩⎨⎧ x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0， 又x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，所以x 0(x 1－x 2)2＋y 0(y 1－y 2)＝0，即x 02＋y 0(y 1－y 2)x 1－x 2＝0，又P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在直线y ＝kx ＋m 上，所以y 1－y 2x 1－x 2＝k ，所以x 0＋2ky 0＝0，① 又T (x 0，y 0)在直线y ＝kx ＋m 上，故y 0＝kx 0＋m ，②由①②可得x 0＝－2km 1＋2k 2，y 0＝m 1＋2k 2.(10分) 以下同解法1.解后反思 对于中点弦问题，通常有两种常见的处理方法，一是通过将直线与曲线方程联立，应用根与系数的关系来处理；二是应用点差法，找到直线的斜率与中点的坐标间的关系来处理．。

专题31 椭圆及其性质一、考纲要求：1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用． 二、概念掌握和解题上注意点：1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.2.椭圆的定义式必须满足2a ＞|F 1F 2|.3.求椭圆的标准方程的方法有定义法与待定系数法，但基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝A ＞0，B ＞0，A ≠B 的形式.4.求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.②列出含有a ，b ，c 的齐次方程或不等式，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程或不等式求解.5.利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a 、b 、c 的方程或不等式. 6.直线与椭圆的位置关系的解题策略1解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.2设直线与椭圆的交点坐标为A x 1，y 1，B x 2，y 2，则|AB |＝＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2]k 为直线斜率）.三、高考考题题例分析例1.（2018课标卷I ）设椭圆C ：+y 2=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，0）．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．【答案】（1）y=﹣x+，y=x﹣，（2）见解析证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为k MA，k MB之和为k MA+k MB=+，由y 1=kx 1﹣k ，y 2=kx 2﹣k 得k MA +k MB =，将y=k （x ﹣1）代入+y 2=1可得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x+2k 2﹣2=0，∴x 1+x 2=，x 1x 2=，∴2kx 1x 2﹣3k （x 1+x 2）+4k=（4k 2﹣4k ﹣12k 2+8k 2+4k ）=0从而k MA +k MB =0，故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA=∠OMB ， 综上∠OMA=∠OMB ．例7.(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)【答案】A【解析】法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)．故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y 2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0＜2m3－m≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A．例8.(2017课标卷I)已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【答案】（1）221 4xy+=（2）见解析试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C 的方程为2214x y +=.由题设可知.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+.而.由题设121k k +=-，故.即.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：，即，所以l 过定点（2，1-）例9.(2017·课标卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A ．63B ．33C ．23D ．13【答案】A例10.(2017课标卷II)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足。

10.1 椭圆及其性质五年高考A 组统一命题·课标卷题组考点一椭圆的定义与标准方程，（2014大纲全国．9,5分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点为,21F F 、离心率为,33过 2F 的直线L 交C 于A 、B 两点，若B AF 1∆的周长为,34则C 的方程为 ( ) 123.22=+y x A 13.22=+y x B 1812.22=+y x C 1412.22=+y x D 考点二椭圆的几何性质1．（2018课标全国I ．4，5分）已知椭圆14:22=+y ax C 的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( ) 31.A 21.B 22.C 322.D 2．（2018课标全国¨．11，5分）已知21,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若,2PF PF l ⊥且,6012 =∠F PF 则C 的离心率为( )231.-A 32.-B 213.-C 13.-D 3．（2017课标全国I ．12，5分）设A ，B 是椭圆13:22=+my x C 长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足 ,120 =∠AMB 则m 的取值范围是( )),9[]1,0(+∞⋅ A ),9[]3,0(+∞⋅ B ),4[]1,0(+∞⋅ C ),4[]3,0(+∞⋅ D4．（2016课标全国I ．5，5分）直线Z 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到L 的距离为其短轴长的,41则该椭圆的离心率为( ) 31.A 21.B 32.C 43.D 5．（2016课标全国III ,12,5分）已知0为坐标原点，F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线L 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ( )31.A 21.B 32.C 43.D 6．（2014课标II ．20,12分，0.083）设21,F F 分别是椭圆+22:ax C )0(122>>=b a b y 的左，右焦点，M(1)若直线MN 的斜率为,43求C 的离心率： (2)若直线MN 在 y 轴上的截距为2．且|,|5||1N F MN =求a ．b ．B 组 自主命题·省（区、市）卷题组考点一椭圆的定义与标准方程1.12015广东．8，5分）已知椭圆)0(125222>=+m m y x 的左焦点为=-m F 则),0,4(1( ) 2.A 3.B 4.C 9.D2．（2018浙江．17，4分）已知点P(O ，1)，椭圆)1(422>=+m m y x 上两点A ．B 满足,2PB AP =则当m=______时，点B 横坐标的绝对值最大．3．（2014辽宁，15,5分）已知椭圆,149:22=+y x C 点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则=+||||BN AN ___________4．（2018天津．19，14分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右顶点为A ．上顶点为B ．已知椭圆的离心率为.13||,35=AB (1)求椭圆的方程；(2)设直线L:y=kx(k<0)与椭圆交于P ，Q 两点，L 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．5．（2017北京．19，14分）已知椭圆C 的两个顶点分别为A （-2，0)，B(2，0)，焦点在x 轴上，离心率为23(1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ．求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4：5．6．（2016天津．19，14分）设椭圆)3(13222>=+a y ax 的右焦点为F ．右顶点为A ．已知,||3||1||1FA eOA OF =+其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线L 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于L 的直线与L 交于点M ，与y 轴交于点H 若BF⊥HF，且∠MOA= ∠MAO．求直线L 的斜率．7．（2016四川．20,13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点)21,3(P 在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程： (2)设不过原点O 且斜率为一21的直线L 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ．线段AB 的中点为M 肘，直线OM 与椭圆E 交于C ．D ．证明：.||||||||MD MC MB MA ⋅=⋅8．（2015重庆．21,12分）如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为221,,NF F F 的直线交椭圆于P ，p 两点，且PQ ⋅⊥1PF(1)若,22||,22||21-=+=PF PF 求椭圆的标准方程： (2)若,3443|,|||1<≤=λλ且PF PQ 试确定椭圆离心率e 的取值范围，考点二 椭圆的几何性质1．（2017浙江．2,4分）椭圆14922=+y x 的离心率是 ( ) 313.A 35.B 32.C 95.D 2．（2015福建．11,5分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ．直线043:=-y x l 交椭圆E 于A ．B 两点．若,4||||=+BF AF 点M 到直线L 的距离不小于,54则椭圆E 的离心率的取值范围是( ))23,0.(A )43,0.(B )1,23[⋅C )1,43[⋅D 3．（2014江西．14,5分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左，右焦点为221.,,F F F 过作x 轴的垂线与4．（2015安徽．20,13分）设椭圆E 的方程为>>=+b a by a x (12222),0点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(O ，6)，点M 在线段AB 上，满足|,|2||MA BM =直线OM 的斜率为105(1)求E 的离心率e ：(2)设点C 的坐标为（O ，-b ），N 为线段AC 的中点．证明：MN .AB ⊥5．( 2014天津．18,13分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为,,2F F l 右顶点为A ，上顶点为B ．已知23||=AB .||21F F(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F ，经过点2F 的直线L 与该圆相切于点||,2MF M .22=求椭圆的方程．突破方法方法1 应用椭圆定义的解题策略例1设21,F F 是椭圆)20(14222<<=+b b y x 的左，右焦点，过1F 的直线L 交椭圆于A ，B 两点，若||||22BF AF +的最大值为5．则椭圆的离心率为( )21.A 22.B 215.-C 23.D 1-1（2016云南昆明质检，13）椭圆125922=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ．当m 取最大值时，点P 的坐标是________方法2椭圆离心率（取值范围）的求法例2（2016江苏．10，5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中．F 是椭圆)0(122>>=+b a by a x 的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且,90=∠BFC 则该椭圆的离心率是_________2-1已知圆2)1()1(22=-+-y x 经过椭圆1:22=+by a x C )0(>>b a 的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C的离心率为( )21.A 12.-B 23.C 22.D三年模拟A 组2016-2018年高考模拟·基础题组考点一椭圆的定义与标准方程1．（2018吉林长春质量监测（二））已知椭圆13422=+y x 的左，右焦点分别为,,21F F 过2F 且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则1ABF ∆的周长为( )4.A 6.B 8.C 16.D2．( 2018陕西榆林一模）已知)0,1(),0,1(21F F -是椭圆C 的焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且｜AB|=3．则C 的方程为( )12.22=+y x A 123.22=+y x B 134.22=+y x C 145.22=+y x D3．( 2017吉林第三次调研）已知抛物线y x 22=的焦点与椭圆+m y 2122=x 的一个焦点重合，则m=( ) 1.A 2.B 3.C 49.D4．（2017辽宁沈阳东北育才学校九模）椭圆1162522=+y x 的左，右焦点分别为,,21F F 弦AB 过,1F 若2ABF ∆ 的内切圆周长为π，A ．B 两点的坐标分别为),,(),,(2211y x y x 则||21y y -的值为( )35.A 310.B 310.C 35.D5.（2017青海西宁一模）在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆42y 132=+x 上的一个动点，点A(l ，1)，B （0，-1），则||||PB PA +的最大值为( )5.A 4.B 3.C 2.D考点二椭圆的几何性质1．（2018海南二模）已知点M( -4，0)，椭圆)20(14222<<⋅=+b b y x 的左焦点为F ．过F 作直线L （L 的斜率存在）交椭圆于A ，B 两点，若直线MF 恰好平分∠AMB，则椭圆的离心率为 ( )41.A 22.B 21.C 23.D2．（2017陕西西安铁一中五模）已知椭圆),0(12222>>=+b a by a x F 是椭圆的右焦点，A 为左顶点，点P在椭圆上，x PF ⊥轴，若|,|41||AF PF =则椭圆的离心率为 ( )43.A 21.B 23.C 22.D3．（2016吉林松原三校联合模拟）若数列：1，a ，81成等比数列，则圆锥曲线122=+a y x 的离心率是( )32210.或A 363.或B 322.C 1031.或D 4．（2018新疆乌鲁木齐第二次质量监测）已知F 是椭圆C 的一个焦点．B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ．且,02=+DF BF 则椭圆C 的离心率为__________B 组2016-2018年高考模拟·综合题组一、选择题（每题5分，共20分）1.（2017青海西宁二模）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心在原点，21,F F 分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点， P 是椭圆上一点，且x PF ⊥1轴，,//2AB PF 则此椭圆的离心率等于( )31.A 21.B 22.C 55.D 2.(2017陕西西安一中五模）已知F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，A 为右顶点，JP 是椭圆上一点，x PF ⊥轴，若=||PF |,|41AF 则该椭圆的离心率是( )41.A 43.B 21.C 23.D 3．( 2017黑龙江佳木斯一中五调）在等腰梯形ABCD 中，//AB ,6,2tan ,==∠AB ABC CD ,2=CD 以A 、B 为焦点的椭圆经过C 、D 两点，则此椭圆的离心率为( )522.-A 22.B 21.C 26.D4．（2017陕西西安长安一中4月模拟）设椭圆的方程为=+22b y a x ),023(1>≥a b 右焦点为),0)(0,(>c c F方程02=-+c bx ax 的两实根分别为,,x x 则22x x +的取值范围是 ( ))23,0.(A )23,1.(B )43,1.(c )47,1.(D二、解答题（共15分）5．（2018内蒙古包头一模）已知21,F F 是椭圆b a by a x C >=+（1:2222)0>的左，右两个焦点，,4||21=F F 长轴长为6．又A ，B 分别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足.221BF AF = (1)求椭圆C 的方程： (2)求四边形12F ABF 的面积．答案。

§9.4 椭圆及其性质考纲解读分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大.五年高考考点一 椭圆的定义及其标准方程1.(2014安徽,14,5分)设F 1,F 2分别是椭圆E:x 2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B|,AF 2⊥x轴,则椭圆E 的方程为 . 答案 x 2+y 2=12.(2016天津,19,14分)设椭圆 +=1(a> )的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B(B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M,与y 轴交于点H.若BF ⊥HF,且∠MOA ≤∠MAO,求直线l 的斜率的取值范围. 解析 (1)设F(c,0),由+ = ,即 + = - ,可得a 2-c 2=3c 2,又a 2-c 2=b 2=3,所以c 2=1,因此a 2=4,所以,椭圆的方程为 +=1. (2)设直线l 的斜率为k(k ≠0),则直线l 的方程为y=k(x-2). 设B(x B ,y B ),由方程组-消去y,整理得(4k 2+3)x 2-16k 2x+16k 2-12=0. 解得x=2或x= -,由题意得x B =-,从而y B =-.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H ),有 =(-1,y H ), = -.由BF ⊥HF,得 · =0,所以- +=0,解得y H = -.因此直线MH 的方程为y=- x+ -. 设M(x M ,y M ), 由方程组- --消去y,解得x M =.在△MAO 中,∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA|≤|MO|,即(x M -2)2+ ≤ + ,化简得x M ≥1,即≥1,解得k ≤-,或k ≥.所以,直线l 的斜率的取值范围为 - -∪.3.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E: +=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O 到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c. (1)求椭圆E 的离心率;(2)如图,AB 是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E 经过A,B 两点,求椭圆E 的方程.解析 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点O 到该直线的距离d==,由d=c,得a=2b=2 - , 解得离心率 =.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.① 依题意得,圆心M(-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= . 易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得 (1+4k 2)x 2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-,x 1x 2=-.由x 1+x 2=-4,得-=-4,解得k= .从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|=|x 1-x 2|=- = - .由|AB|= ,得 - = ,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为 +=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.② 依题意得,点A,B 关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|= .设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 +4 =4b 2, +4=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0,易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =- - =. 因此直线AB 的方程为y=(x+2)+1, 代入②得x 2+4x+8-2b 2=0.所以x+x2=-4,x1x2=8-2b2.1于是|AB|=|x-x2|=-=-.1由|AB|=,得-=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.教师用书专用(4)4.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案12考点二椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是()A. B. C. D.答案B2.(2017课标全国Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A. B. C. D.答案A3.(2016课标全国Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.答案A4.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆+y2=1(a>1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解析(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x=0,x2=-.1因此|AP|=|x-x2|=·.1(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.1由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)[1+++a2(2-a2)]=0.由于k≠k2,k1,k2>0得1+++a2(2-a2)=0,1因此=1+a2(a2-2),①因为①式关于k,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的1充要条件为1<a≤,由e==-得,所求离心率的取值范围为0<e≤.教师用书专用(5—9)5.(2013浙江,9,5分)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()A. B. C. D.答案D6.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.答案7.(2013福建,14,4分)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.答案-18.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.解析(1)由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而=.进而得a=b,c=-=2b.故e==.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为-.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为-.又点T在直线AB上,且k NS·k AB=-1,从而有--解得b=3.所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.9.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①又因为点P在椭圆上,故+=1.②由①和②可得3+4cx=0.而点P不是椭圆的顶点,故x=-c,代入①得y0=,即点P的坐标为-.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-=-c,y1==c,进而圆的半径r=--= c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,=r,即--=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.所以直线l的斜率为4+或4-.考点三直线与椭圆的位置关系1.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解析(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y≠0).(4分)(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由-得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=,x1x2=-.所以|MN|=|x1-x2|=.(6分)过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,|PQ|=2-=4.故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12.(10分)可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).(12分)2.(2017天津,19,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.解析(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P--,故Q-.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=-.由点B异于点A,可得点B--.由Q-,可得直线BQ的方程为--(x+1)---=0,令y=0,解得x=-,故D-.所以|AD|=1--=.又因为△APD的面积为,故××=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±.所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.教师用书专用(3—5)3.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.解析(1)由题意,得=且c+=3,解得a=,c=1,则b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)当AB⊥x轴时,AB=,又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x,y1),B(x2,y2),1将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x=,C的坐标为-,且1,2AB=--=-=.若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k≠0,故直线PC的方程为y+=--,则P点的坐标为-,从而PC=.因为PC=2AB,所以=,解得k=±1.此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1.4.(2015山东,20,13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.2(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求的值;(ii)求△ABQ面积的最大值.解析(1)由题意知2a=4,则a=2.又=,a2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.(i)设P(x0,y0),=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).因为+=1,又-+-=1,即=1,所以λ=2,即=2.(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0,可得m2<4+16k2.①则有x1+x2=-,x1x2=-.所以|x1-x2|=-.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|=-=-=2-.设=t.将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.②由①②可知0<t≤1,因此S=2-=2-.故S≤2,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2.由(i)知,△ABQ面积为3S,所以△ABQ面积的最大值为6.5.(2013北京,19,14分)已知A,B,C是椭圆W:+y2=1上的三个点,O是坐标原点.(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.解析(1)椭圆W:+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A(1,m),代入椭圆方程得+m2=1,即m=±.所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|=×2×2|m|=.(2)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0).由消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.设A(x,y1),C(x2,y2),则1=-,=k·+m=.所以AC的中点为M-.因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为-.因为k·-≠-1,所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形,与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一椭圆的定义及其标准方程1.(2018河南豫南豫北二联,8)若F(c,0)是椭圆+=1的右焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为M,最小值为m,则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是()A. B.-C.(0,±b)D.不存在答案C2.(2018广东清远一模,8)曲线C1:+(m>n>0),曲线C2:-=1(a>b>0).若C1与C2有相同的焦点F1、F2,且P同在C1、C2上,则|PF1|·|PF2|=()A.m+aB.m-aC.m2+a2D.m2-a2答案B3.(人教A选2-1,二,2-2-1,1,变式)平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是()A.[1,4]B.[2,6]C.[3,5]D.[3,6]答案C4.(2017江西九江模拟,8)F1,F2是椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为()A.7B.C.D.答案C5.(2017湖南东部六校4月联考,15)设P,Q分别是圆x2+(y-1)2=3和椭圆+y2=1上的点,则P、Q两点间的最大距离是.答案考点二椭圆的几何性质6.(2018四川凉山州模拟,4)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是()A. B. C. D.答案D7.(2018四川达州模拟,7)以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点,以抛物线y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是()A. B. C. D.答案C8.(2017河南4月质检,11)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF|=2|OM|,则椭圆C的离心率为()2A. B. C. D.答案D考点三直线与椭圆的位置关系9.(2018安徽合肥模拟,8)已知椭圆C:+y2=1,若一组斜率为的平行直线被椭圆C所截线段的中点均在直线l上,则l的斜率为()A.-2B.2C.-D.答案A10.(2018广东广州模拟,10)已知点M(-1,0)和N(1,0),若某直线上存在点P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线”.现有下列直线:①x-2y+6=0;②x-y=0;③2x-y+1=0;④x+y-3=0.其中是“椭型直线”的是()A.①③B.①②C.②③D.③④答案C11.(2017湖南百校联盟4月联考,10)已知椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、B,左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切,且该圆与y轴的正半轴交于点C,过点C的直线交椭圆于M、N两点.若四边形FAMN是平行四边形,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案A12.(2017湖南益阳调研,20)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,点P(0,)在椭圆上,A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点B作BD⊥x轴交AP的延长线于点D,F为椭圆的右焦点.(1)求椭圆的方程及直线PF被椭圆截得的弦长|PM|;(2)求证:以BD为直径的圆与直线PF相切.解析(1)∵椭圆过点P(0,),∴b=,∵e=,∴=,结合a2=b2+c2,得a=2,c=1,∴椭圆的方程为+=1.则F(1,0),结合P(0,),可得直线PF的方程为y=-(x-1),与椭圆方程联立,得--消去y,得5x2-8x=0,解得x=0,x2=.1由弦长公式得|PM|=|x-x2|=.1(2)证明:易得A(-2,0),B(2,0),∴直线AP的方程为y=(x+2),直线BD的方程为x=2,两方程联立,求得D(2,2),所以以BD为直径的圆的圆心为(2,),半径R=,圆心到直线PF的距离d=-=,所以以BD为直径的圆与直线PF相切.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:50分时间:50分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018四川德阳模拟,9)设点P为椭圆C:+=1上一点,F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,那么△GPF1的面积为()A.24B.12C.8D.6答案C2.(2018广东清远模拟,11)已知m、n、s、t∈R*,m+n=3,+=1,其中m、n是常数且m<n,若s+t的最小值是3+2,满足条件的点(m,n)是椭圆+=1的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程为()A.x-2y+3=0B.4x-2y-3=0C.x+y-3=0D.2x+y-4=0答案D3.(2017河南八市2月联考,9)已知F1,F2分别是椭圆+=(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,O为坐标原点,直线OA的斜率为,·=||2,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案A二、填空题(共5分)4.(2017安徽安庆二模,15)已知椭圆+=1(a>b>0)短轴的端点为P(0,b)、Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA、PB的斜率之积等于-,则P到直线QM的距离为.答案三、解答题(共30分)5.(2018广东茂名模拟,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,设右焦点为F,过原点O的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AF的中点为M,线段BF的中点为N,且·=.(1)求弦AB的长;(2)当直线l的斜率k=,且直线l'∥l时,l'交椭圆于P,Q,若点A在第一象限,求证:直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.解析(1)由题意可知2c=2,c=,设F(,0),A(x,y0),B(-x0,-y0),则M,N--,由·=--=,则+=5,则|AB|=2=2.(2)证明:直线l的斜率k=,l:y=x,设l':y=x+m(m≠0),y=x0,由+=5,得A(2,1),由c=,代入椭圆方程解得a=2,b=,∴椭圆的方程为+=1,联立整理得x2+2mx+2m2-4=0,Δ=4m2-4(2m2-4)>0,即m∈(-2,0)∪(0,2).设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则k1=--,k2=--.由x2+2mx+2m2-4=0,可得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,k1+k2=--+--=------=------=-----=------=0,即k1+k2=0.∴直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.6.(2017江西红色七校一联,21)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.(1)求椭圆的方程;(2)当直线l的斜率为1时,求△POQ的面积;(3)在线段OF上是否存在点M(m,0)(0<m<1),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解析(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),根据题意得b=c=1,所以a2=b2+c2=2,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)根据题意得直线l的方程为y=x-1,联立-得P,Q的坐标为(0,-1),,∴|PQ|=,易得点O到直线PQ的距离为,所以S△OPQ=.(3)存在.假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<1),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,因为直线l与x轴不垂直,所以直线l 的斜率存在,可设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则=(x1-m,y1),=(x2-m,y2),由-得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=-,由于以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,∴||=||,设PQ的中点为N,则N-,又k·kMN=-1,∴m==,∴0<m<.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1求椭圆的标准方程的方法1.(2017河南部分重点中学联考,11)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案C2.(2018四川南充模拟,20)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左顶点为A,若|F1F2|=2,椭圆的离心率e=.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P是椭圆上的任意一点,求·的取值范围.解析(1)∵|FF2|=2,椭圆的离心率e=,1∴c=1,a=2,∴b=,∴椭圆的标准方程为+=1.(2)设P(x,y),∵A(-2,0),F1(-1,0),∴·=(-1-x)(-2-x)+y2=x2+3x+5,由椭圆方程得-2≤x≤2,二次函数图象开口向上,对称轴为x=-6<-2,当x=-2时,取到最小值0,当x=2时,取到最大值12.∴·的取值范围是[0,12].方法2椭圆的几何性质的应用策略3.(2018河北衡水金卷二模,7)我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,在地球轨道上经历3次调相轨道变轨,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球半径为R,卫星近地点,远地点离地面的距离分别是,(如图所示),则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为()A. B. C. D.答案A4.(2017福建四地六校模拟,15)已知椭圆C:+=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2,若C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,满足∠APB=60°,则椭圆C的离心率的取值范围为.答案5.(2017河南开封一模,20)已知平面直角坐标系xOy中,椭圆的中心为坐标原点,焦点在x轴上,其左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆右且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,且+与a=(3,-1)共线.焦点F2(1)求椭圆的离心率;(2)若椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为,直线l与椭圆C交于P,Q两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△POQ面积的最大值.解析(1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0),右焦点F(c,0)(c>0),则直线AB的方程为y=x-c.设A(x1,y1),B(x2,y2).2由-得(b2+a2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0,-∴x1+x2=,x1x2=-,∴y1+y2=x1-c+x2-c=-,由+与a=(3,-1)共线,得3(y+y2)+(x1+x2)=0,1∴3×-+=0,即a2=3b2,a=b,∴c=b,∴e=.(2)由椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为及(1),得a=,b=1,故椭圆的方程为+y2=1.①当PQ⊥x轴时,|PQ|=;②当PQ与x轴不垂直且不与x轴平行时,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),由=得m2=(k2+1),-把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,设P(x,y3),Q(x4,y4),则x3+x4=-,x3x4=-,3∴|PQ|2=(1+k2)(x4-x3)2=(1+k2)[(x4+x3)2-4x3x4]=(1+k2)·--==3+=3+≤3+=4,当且仅当9k2=,即k=±时等号成立.③当PQ与x轴平行,即k=0时,|PQ|=,综上,|PQ|=2.∴当|PQ|最大时,△POQ的面积取得最大值,为×2×=.max方法3解决直线与椭圆位置关系问题的方法6.(2017湖南六校4月联考,16)过椭圆+=1(a>b>0)上的动点M作圆x2+y2=的两条切线,切点分别为P和Q,直线PQ与x轴和y 轴的交点分别为E和F,则△EOF面积的最小值是.答案7.(2018四川凉山州模拟,20)若A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方的两点,且x1+x2=2.(1)若y1+y2=1,求线段AB的垂直平分线的方程;(2)求直线AB在y轴上截距的最小值.解析(1)设AB的中点为M,则M,由得-+(y1-y2)(y1+y2)=0,∴(x1-x2)+(y1-y2)=0⇒--=-,即kAB=-,∴线段AB的垂直平分线的斜率为.∴线段AB的垂直平分线的方程为y-=(x-1),即9x-2y-8=0.(2)设直线AB:y=kx+m.由得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,∴x1+x2=-=2⇒9k2+9km+1=0.①∵A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方的两点,∴k<0,m>0,②Δ=(18km)2-4(1+9k2)(9m2-9)>0⇒9k2-m2+1>0.③结合①②得m=(-k)+-≥,当且仅当k=-时取到等号.此时,k=-,m=满足③.∴直线AB在y轴上截距的最小值为.。

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________．【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标．【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，专题15 椭圆及其性质整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ．【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝ca； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．【命题意图】要求掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．【命题规律】椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上． 【答题模板】1．求椭圆的方程有两种方法（1）定义法．根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． （2）待定系数法．一般步骤如下：第一步，作判断．根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，或者是两个坐标轴上都有可能（这时需要分类讨论）．第二步，设方程．根据上述判断设方程为22x a +22y b =1（a>b>0）或22x b+22y a =1（a>b>0）．第三步，找关系．根据已知条件，建立关于a ，b ，c 的方程（组）（注意椭圆中固有的等量关系c 2=a 2–b 2）． 第四步，定结果．解方程组，将解代入所设方程，得所求． 注意当椭圆焦点位置不明确时，有两种解决方法：（1）分类讨论；（2）设椭圆方程为2xm+2yn=1（m>0，n>0，m≠n），或Ax2+By2=1（A>0，B>0，且A≠B）．2．求椭圆离心率或其范围的方法（1）求出a，b或a，c的值，代入e2=22ca=222–a ba=1–（ba）2直接求；（2）根据条件得到关于a，b，c的齐次等式（不等式），结合b2=a2–c2转化为关于a，c的齐次等式（不等式），然后将该齐次等式（不等式）两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）；（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．【知识总结】1．椭圆的几何性质2．椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为22b a，通径是最短的焦点弦．3．若P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF|∈[a –c ，a+c ]，即椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c ，最小值为a –c ．4．椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P （x 0，y ）与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2=θ． （1）当P 为短轴端点时，θ最大． （2）12PF F S △=12|PF 1|·|PF 2|·sin θ=b 2·sin 1cos θθ+=b 2tan 2θ=c|y 0|，当|y 0|=b ，即P 为短轴端点时，12PF F S △取最大值，最大值为bc ．（3）焦点三角形的周长为2（a+c ）． 【方法总结】 1．椭圆定义的应用（1）利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆．（2）利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值问题．利用定义和余弦定理可求得|PF 1|·|PF 2|，进而求得焦点三角形的周长和面积．（3）已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解． 2．椭圆几何性质的应用技巧（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形． （2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，–a ≤x ≤a ，–b ≤y ≤b ，0<e<1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．1．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】设椭圆E 的两焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与E 交于P ，Q 两点，若12PF F △为直角三角形，则E 的离心率为A B 1C ．2D 1【答案】B【解析】如图所示，因为12PF F △为直角三角形，所以1290PF F ∠=︒，所以122,PF c PF ==，则22c a +=，解得1ce a==，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的定义和离心率的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45︒的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =，则椭圆的离心率=ABC．2D．3【答案】D【解析】椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12F F 、，过10F c -（，）且斜率为1k =的直线为y x c =+， 联立直线与椭圆方程22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 后，化简可得2222222220a b y cb y c b a b +++-=（）， 因为直线交椭圆于A ，B ，设1122A x y B x y （，），（，），由韦达定理可得22222121222222,cb c b a b y y y y a b a b -+=-=++， 且112F B AF =，可得212y y =-，代入韦达定理表达式可得 2222221122222,2cb c b a b y y a b a b --=--=++，即222222222222cb c b a b a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭， 化简可得229c 2a =，所以c e a ==，故选D ． 【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．3．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】已知点1(1,0)F -，2(1,0)F ，直线l ：2y x =+．若以1F 、2F 为焦点的椭圆C 与直线l 有公共点，则椭圆C 的离心率最大值为A．5B ．12 CD．2【答案】A【解析】椭圆C：2222x ya b+=1（a>b>0）的左右焦点分别是F1（–1，0），F2（1，0），可得c＝1，则222212x ya by x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得（a2+b2）x2+4a2x+4a2–a2b2＝0，∆＝16a4–4（a2+b2）（4a2–a2b2）≥0，可得4a2–（2a2–1）（5–a2）≥0，解得a≥，∴cea=≤=A．【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．4．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测数学】已知椭圆C的方程为()222210x ya ba b+=>>，焦距为2c，直线:l y x=与椭圆C相交于A，B两点，若2AB c=，则椭圆C的离心率为AB．34C．12D．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为(),A x y，则4y x=，由2AB c=，可知OA c==c=，解得3x c=，所以1,33A c⎛⎫⎪⎪⎝⎭，把点A代入椭圆方程得到22221331c ca b⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e-+=，即()()2243230e e--=，因01e<<，所以可得e=A．【名师点睛】本题考查通过对已知条件的转化，将椭圆上一点的坐标用,,a b c 表示，再代入椭圆方程求出离心率，属于中档题．5．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学】如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0,F c F c P -是椭圆C 上一点，O 为坐标原点，若1260F PF ∠=，且3PO a =，则椭圆C 的离心率是A ．2 B ．2C D ．23【答案】C【解析】设12,PF m PF n ==．由椭圆的定义，得2m n a +=，①．在12PF F △中，由余弦定理，得2222cos 60(2)m n mn c +-=︒，②．2-①②得：()2234mn a c =-，③将③代入②，得22224833m n a c +=+． 在1POF V 中，由余弦定理，得2221||2||cos PO c PO c FOP m +-⨯⨯∠=，④ 在2POF V 中，由余弦定理，得2222||2||cos PO c PO c F OP n +-⨯⨯∠=，⑤④+⑤，得2222222216482||22933a m n PO c c a c +=+=+=+，化简，得2223a c =，故e =，故选C ． 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．6．【2019年四川省达州市高考数学一诊】已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为1F 、2F ，抛物线22224(,0)y cx c a b c ==->与椭圆C 在第一象限的交点为P ，若124cos 5PF F ∠=，则椭圆C 的离心率为 AB．32-或32+ C．12D．49-或49+ 【答案】D【解析】作抛物线的准线l ，则直线l 过点1F ，过点P 作PE 垂直于直线l ，垂足为点E ， 由抛物线的定义知2PE PF =，易知，PE x ∥轴，则112EPF PF F ∠=∠，2112114cos cos 5PE PF EPF PF F PF PF ∴∠=∠===，设15(0)PF t t =>，则24PF t =，由椭圆定义可知，1229a PF PF t =+=， 在12PF F △中，由余弦定理可得222211221212||||2cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅∠，整理得221212||890F F t F F t -+=，解得(124FF t =+或(124F F t =．当(124F F t =时，22c a =当(124F F t =时，离心率为22c e a ==．综上所述，椭圆C ．故选D ． 【名师点睛】本题考查椭圆的性质，考查抛物线的定义以及余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中等题．7．【四川省成都市成都外国语学校2019届高三3月月考数学】已知椭圆：2221(02)4x y b b+=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是A ．1 BC ．32D【答案】C【解析】由0<b <2可知，焦点在x 轴上，∵过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|＝2a +2a ＝4a ＝8，∴|BF 2|+|AF 2|＝8–|AB |．当AB 垂直x 轴时|AB |最小，|BF 2|+|AF 2|值最大，此时|AB |＝b 2，则5＝8–b 2，解得b =C ． 【名师点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．8．【四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学】已知椭圆C ：221(4)4x y m m m +=>-的右焦点为F ，点A （−2，2）为椭圆C 内一点．若椭圆C 上存在一点P ，使得｜PA ｜＋｜PF ｜＝8，则m 的取值范围是A ．(625⎤+⎦B ．［9，25］C ．(620⎤+⎦D ．［3，5］【答案】A【解析】椭圆C ：221(4)4x y m m m +=>-的右焦点F （2，0），左焦点为F '（–2，0），由椭圆的定义可得|PF |+|PF '|，即|PF '|＝|PF |，可得|PA |–|PF '|＝8–由||PA |–|PF '||≤|AF '|＝2，可得–2≤8–，解得35≤≤，所以925m ≤≤，①又A 在椭圆内，所以4414m m +<-，所以8m –16<m （m –4），解得6m <-6m >+与①取交集得625m +<≤，故选A ．【名师点睛】本题考查椭圆的定义和性质的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9．【四川省成都市高新区2019届高三上学期“一诊”模拟考试数学】已知椭圆22:1641C x y +=，则下列结论正确的是 A ．长轴长为12 B．焦距为4 C ．短轴长为14D【答案】D【解析】由椭圆方程221641x y +=化为标准方程可得22111164x y +=，所以11,,244a b c ===， 长轴为21a =，焦距2c =122b =，离心率c e a ==，故选D ．【名师点睛】本题考查了椭圆的标准方程及a 、b 、c 的含义，椭圆离心率的求法，属于基础题．10．【四川省棠湖中学2019届高三上学期第二次月考数学】已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若2PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为 A ．13 B ．12 CD．2【答案】C【解析】在PQF △中，设22,PF QF t ==()()1111,,,P x y Q x y --，右焦点E ，由椭圆的对称性，知PFQE 是平行四边形，所以在PEF △中，由余弦定理得222225234EF t t t c =-==，223,,3PF QF a t t a e +====C ． 【名师点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把PQF △，转化到焦点PEF △中，再应用比值及余弦定理，可得离心率．11．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线1BF 与C 的另一个交点为A ，若2BAF ∆为等腰三角形，则12AF AF =A ．13 B ．12C ．23D ．3【答案】A【解析】设|AF 1|＝t （t >0），由椭圆的定义可得|AF 2|＝2a –t ，由题意可知，|AF 2|>|BF 2|＝a ， 由于△BAF 2是等腰三角形，则|AB |＝|AF 2|，即a +t ＝2a –t ，所以2at =，所以123,22a a AF AF ==，因此12AF 1AF 3=，故选A ． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，利用椭圆的定义是解决本题的关键，属于中档题．12．【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二）数学】过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则C 的离心率为A ．13 B 3 CD．2【答案】D【解析】由题意可得()()0,,,0B b F c -，由3BF FA =，得4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点A 在椭圆上，则22224331b c a b⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：222221681,,9922c c e e a a ⋅=∴===．故选D ． 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2–c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．13．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，若F 为过AF 的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为 A ．13BC ．12D【答案】B【解析】延长AF 交椭圆于点B ，设椭圆右焦点为F '，连接,AF BF ''．根据题意AF a =，2AF FB =，所以2a FB =， 根据椭圆定义2BF BF a '+=，所以32a BF '=， 在AFF'△中，由余弦定理得22222224cos 22F A FA F F a c F AF F A FA a ''+--'∠=='⋅， 在AF B '△中，由余弦定理得2221cos 23F A AB BF F AB F A AB ''+-'∠=='⋅，所以22224123a c a -=，解得a =，所以椭圆离心率为3c e a ==，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆的定义，几何性质，余弦定理等，属于中档题．14．【贵州省黔东南州2019届高三下学期第一次模拟考试数学】椭圆2x +28y ＝1的离心率为A ．4B ．78C D ．18【答案】A【解析】椭圆x 2+28y ＝1的离心率为4c e a ====故选A ． 【名师点睛】这个题目考查了已知椭圆的方程求椭圆的离心率的问题，根据222a b c =+可得到相应的参数值，进而得到离心率．15．【贵州省2019届高三11月37为A ．13 B ．3C ．3D ．3【答案】C【解析】∵22a b =b a =c e a ==C ．【名师点睛】熟练掌握离心率计算公式c e a == 16．【云南省玉溪一中2019届高三下学期第五次调研考试数学】设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，O 为中心，2212||||||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离心率为A ．12 B ．2C D 【答案】C【解析】设()11,P x y ，则2211112122,,1x y PF a ex PF a ex a b=+=-+=，所以212||PF PF OP +=2222222222222221111111222b x x y a e x x y a y a b a b a a b ⎛⎫-++=++=++=+ ⎪⎝⎭，因此22222223222a b b a b a c e +=⇒=⇒=⇒=，故选C ． 17．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】己知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，直线l 过焦点且倾斜角为4π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为A BC ．3D ．3【答案】D【解析】直线l 的方程为y x c =±，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦为AB ，2AB c =，设OC AB ⊥，垂足为C ，则2OC c ==，在Rt OAC △中，22222222113()222OA AC OC a AB c a c c e =+⇒=+⇒=⇒=⇒=，故选D ． 【名师点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法．考查了圆弦长公式，考查了运算能力．18．【四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学】已知点P 是椭圆C ：2219+=x y 上的一个动点，点Q 是圆E ：()2243+-=x y 上的一个动点，则｜PQ ｜的最大值是__________．【答案】【解析】由圆E ：x 2+（y –4）2＝3可得圆心为E （0，4），又点Q 在圆E 上，∴|PQ |≤|EP |+|EQ |＝|EP （当且仅当直线PQ 过点E 时取等号）．设P （x 1，y 1）是椭圆C 上的任意一点，则221119+=x y ，即21=x 9219-y ．∴|EP |22211(4)=+-=x y 922211119(4)8()272-+-=-++y y y ．∵[]111∈-，y ，∴当y 1＝–12时，|EP |2取得最大值27，即|PQ |≤=∴|PQ |的最大值为【名师点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质的应用、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．【四川省2018届高三春季诊断性测试数学】若椭圆2214x y m+=上一点到两个焦点的距离之和为3m -，则此椭圆的离心率为__________．【解析】当4m <时，由椭圆定义知34m -=，解得7m =，不符合题意，当4m >时，由椭圆定义知3m -=9m =，所以c e a ===【名师点睛】本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中22,a b 的取值，从而确定c ，计算椭圆的离心率．20．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】过椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于另一个点A ，若3B F A F =，则C 的离心率为__________．【答案】2【解析】由题意可得()()0,,,0B b F c -，由3BF AF =可得4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点A 在椭圆上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：222221681,,9922c c e e a a ⋅=∴===．故答案为：2． 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2–c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．。

9.3 椭圆及其性质挖命题【考情探究】分析解读从近5年高考情况来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点,其中离心率问题考查较频繁,对直线与椭圆的位置关系的考查,常与向量、圆、三角形等知识相结合,多以解答题的形式出现,解题时,要充分利用数形结合、转化与化归思想,注重数学思想在解题中的指导作用.破考点【考点集训】考点一椭圆的定义及标准方程1.(2018湖北十堰十三中质检,6)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案 A2.(2018山东烟台二模,15)已知F(2,0)为椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,过F且垂直于x轴的弦长为6,若A(-2,),点M为椭圆上任一点,则|MF|+|MA|的最大值为.答案8+考点二椭圆的几何性质1.(2018山东青岛城阳期末,7)若椭圆+=1的焦距为4,则实数a的值为( )A.1B.21C.4D.1或9答案 D2.(2018河北衡水金卷二模,7)我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,在地球轨道上经历3次调相轨道变轨,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球半径为R,卫星近地点,远地点离地面的距离分别是,(如图所示),则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为( )A. B. C. D.答案 A3.(2018河南南阳、信阳等六市联考,16)椭圆C:+=1的上、下顶点分别为A1,A2,点P在C 上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是.答案考点三直线与椭圆的位置关系1.(2018安徽合肥模拟,8)已知椭圆C:+y2=1,若一组斜率为的平行直线被椭圆C所截线段的中点均在直线l上,则l的斜率为( )A.-2B.2C.-D.答案 A2.(2018广东广州模拟,10)已知点M(-1,0)和N(1,0),若某直线上存在点P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线”.现有下列直线:①x-2y+6=0;②x-y=0;③2x-y+1=0;④x+y-3=0.其中是“椭型直线”的是( )A.①③B.①②C.②③D.③④答案 C炼技法【方法集训】方法求椭圆离心率或取值范围的方法1.(2018江西赣南五校联考,15)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.答案-12.(2017福建四地六校模拟,15)已知椭圆C:+=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2,若C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,满足∠APB=60°,则椭圆C的离心率的取值范围是.答案3.(2018河北衡水中学八模,15)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆离心率的取值范围为.答案(-1,1)过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一椭圆的定义及标准方程(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E 的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.解析(1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=-.从而|PQ|=|x1-x2|=-.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=-.设-=t,则t>0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.思路分析(1)通过直线AF的斜率求得c的值,通过离心率求得a,进而求出b2,从而得到E 的方程;(2)设出直线l的方程和点P、Q的坐标,联立直线l与椭圆方程,利用弦长公式求得|PQ|的长,根据点到直线的距离公式求得△OPQ边PQ上的高,从而表示出△OPQ的面积,利用换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时k的值,从而得直线l的方程.解题关键对于第(2)问,正确选择参数,表示出△OPQ的面积,进而巧妙利用换元法分析最值是解题的关键.考点二椭圆的几何性质1.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( ) A. B. C. D.答案 D2.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )A. B. C. D.答案 A3.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )A. B. C. D.答案 A考点三直线与椭圆的位置关系(2018课标Ⅰ,19,12分)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.解析(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,由已知可得,点A的坐标为或-.所以AM的方程为y=-x+y=x-.(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<2<直线MA,MB的斜率之和为k MA+k MB=-+-,由y1=kx1-k,y2=kx2-k得k MA+k MB=---.将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以,x1+x2=,x1x2=-.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=--=0,从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一椭圆的定义及标准方程1.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为.答案x2+y2=12.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解析(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d==,由d=c,得a=2b=2-,可得离心率=.(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=-=-.由|AB|=,得-=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,=.所以AB的斜率k AB=--因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入②得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=-=-.由|AB|=,得-=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.解题关键对于第(2)问,利用弦长及韦达定理或点差法构造关于参数的方程是解题的关键.考点二椭圆的几何性质1.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.答案-1;22.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+2|=2-,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.解析(1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|==-=2,即c=,从而b=-=1.故所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)解法一:连接F1Q,如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1⊥PF2,则+=1,+=c2,求得x0=±-,y0=±.由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,从而|PF1|2=-+=2(a2-b2)+2a-=(a+-)2.由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|.因此(2+)|PF1|=4a,即(2+-)=4a,于是(2+)(1+-)=4,解得e==-.解法二:连接F1Q,由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,4a-2|PF1|=|PF1|,得|PF1|=2(2-从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e===--=-=-.考点三直线与椭圆的位置关系(2018天津,19,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.解析(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,由|FB|·|AB|=6可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.又因为|AQ|=,而∠OAB=,故|AQ|=y2.由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程组消去x,可得y1=.易知直线AB的方程为x+y-2=0,消去x,可得y2=.由方程组-由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=.所以,k的值为或.解题关键利用平面几何知识将=sin∠AOQ转化为点P、Q坐标间的关系是解决第(2)问的关键.方法归纳求椭圆标准方程的基本方法(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程;(2)待定系数法:这是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为①根据已知条件判断焦点的位置;②根据焦点的位置设出所求椭圆的方程;③根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组,注意c2=a2-b2的应用;④解方程组,求得a、b的值,从而得出椭圆的方程.C组教师专用题组考点一椭圆的定义及标准方程1.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .答案122.(2014课标Ⅱ,20,12分,0.185)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C 上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根据c=-及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则---即--代入C的方程,得+=1.②将①及c=-代入②得-+=1.解得a=7,故b2=4a=28,故a=7,b=2.考点二椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是( )A. B. C. D.答案 B2.(2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.答案3.(2013辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e= .答案4.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E 的方程.解析(1)由题设条件知,点M的坐标为,又k OM=,从而=.进而得a=b,c=-=2b.故e==.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为-.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为--.又点T在直线AB上,且k NS·k AB=-1,从而有-解得b=3.所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.评析 本题考查椭圆的方程、几何性质以及对称问题,利用方程思想解决点关于直线的对称问题,考查利用待定系数法求椭圆的方程,考查学生的运算求解能力和化归思想的应用. 5.(2014天津,18,13分)设椭圆 +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点F 1,经过原点O 的直线l 与该圆相切.求直线l 的斜率.解析 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0). 由|AB|=·|F 1F 2|,可得a 2+b 2=3c 2, 又b 2=a 2-c 2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a 2=2c 2,b 2=c 2.故椭圆方程为+=1.设P(x 0,y 0).由F 1(-c,0),B(0,c),有 =(x 0+c,y 0), =(c,c). 由已知,有 · =0, 即(x 0+c)c+y 0c=0. 又c ≠0,故有 x 0+y 0+c=0.① 又因为点P 在椭圆上, 故+=1.②由①和②可得3 +4cx 0=0.而点P 不是椭圆的顶点,故x 0=-c,代入①得y 0=,即点P 的坐标为 -. 设圆的圆心为T(x 1,y 1),则x 1=-=-c,y 1== c,进而圆的半径r= - - =c.设直线l 的斜率为k,依题意,直线l 的方程为y=kx.由l 与圆相切,可得=r,即- -=c,整理得k 2-8k+1=0,解得k=4± . 所以直线l 的斜率为4+ 或4- .评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.6.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.解析设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2=又BF2=故a=因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得-所以点A的坐标为-.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为-.因为直线F1C的斜率为----=-,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以-·-=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.评析本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.考点三直线与椭圆的位置关系1.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点,焦点F1(-,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.解析解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-,0),F2(,0),所以可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).又点在椭圆C上,解得所以-因此,椭圆C的方程为+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则+=3.所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.消去y,得由-(4+)x2-24x0x+36-4=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x0)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.因为x0,y0>0,所以x0=,y0=1.因此,点P的坐标为(,1).②因为三角形OAB的面积为,所以AB·OP=,从而AB=.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=-,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=·-.因为+=3,所以AB2=-=,即2-45+100=0.解得=(=20舍去),则=,因此P的坐标为.则直线l的方程为y=-.解法二:(1)由题意知c=,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点在椭圆上,所以2a=--+-=4,所以a=2.因为a2=b2+c2,所以b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k<0,设直线l的方程为y=kx+m(k<0,m>0),将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3,整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,因为直线l与圆O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,将直线l的方程代入椭圆C的方程,得+(kx+m)2=1,整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,因为直线l与椭圆C相切,所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,整理得m2=4k2+1,所以3k2+3=4k2+1,因为k<0,所以k=-则m=3,将k=-,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,整理得x2-2x+2=0,解得x1=x2=,将x=代入x2+y2=3,解得y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为(,1).②设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由①知m2=3k2+3,且k<0,m>0,因为直线l和椭圆C相交,所以结合②的过程知m2<4k2+1,解得k<-,将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,解得x 1,2=- -,所以|x 1-x 2|= -,因为AB= -- =|x 1-x 2|=-· ,O 到l 的距离d= = ,所以S △OAB = ·-· ·= ·-· · =,解得k 2=5,因为k<0,所以k=- ,则m=3 , 即直线l 的方程为y=- .解后反思 (1)常用待定系数法求圆锥曲线方程.(2)①直线与圆相切,常见解题方法是设切点求切线方程,由于涉及直线与椭圆相切,因此也可设出直线方程求解. ②因为△AOB 的面积为,而△AOB 的高为 ,所以解题关键是求AB 的长,可利用弦长公式AB= - - = · - = ·|x 1-x 2|(x 1、x 2分别为A 、B 的横坐标)求解.2.(2017天津,19,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y 2=2px(p>0)的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l 上两点P,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B(B 异于点A),直线BQ 与x 轴相交于点D.若△APD 的面积为,求直线AP 的方程.解析 (1)设F 的坐标为(-c,0).依题意, = , =a,a-c= ,解得a=1,c= ,p=2,于是b 2=a 2-c 2=.所以,椭圆的方程为x 2+=1,抛物线的方程为y 2=4x.(2)设直线AP 的方程为x=my+1(m ≠0),与直线l 的方程x=-1联立,可得点P - -,故Q -.将x=my+1与x 2+=1联立,消去x,整理得(3m 2+4)y 2+6my=0,解得y=0或y=-.由点B 异于点A,可得点B --.由Q -,可得直线BQ 的方程为 --(x+1)- --=0,令y=0,解得x=-,故D-.所以|AD|=1--=.又因为△APD的面积为,故××=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±.所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.方法总结 1.利用待定系数法求圆锥曲线标准方程的三个步骤:(1)作判断:根据焦点位置设方程;(2)找等量关系;(3)解方程得结果.2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的基本策略:(1)巧设直线方程:当已知直线与x轴交点固定时,常设为x=my+b的形式,这样可避免对斜率是否存在的讨论;(2)注意整体代入思想的应用,利用根与系数的关系可以简化运算,提高运算的效率和正确率.3.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆+y2=1(a>1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解析(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-.因此|AP|=|x1-x2|=·.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)[1+++a2(2-a2)]=0.由于k1≠k2,k1,k2>0得1+++a2(2-a2)=0,因此=1+a2(a2-2),①因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤由e==-得,所求离心率的取值范围为0<e≤.4.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点(0,且离心率e=.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G-与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.解析(1)由已知得解得所以椭圆E的方程为+=1.(2)解法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由-得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=.所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.=--=-=-=(1+m2)(-y1y2),故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=>0,所以|GH|>.故点G-在以AB为直径的圆外.解法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=,=.由-得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而·=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=-++=>0,所以cos<,>>0.又,不共线,所以∠AGB为锐角.故点G-在以AB为直径的圆外.评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019届四川第一次诊断,6)设椭圆+=1(m>0,n>0)的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同,离心率为,则m-n=( )A.2B.4-3C.4D.8-4答案 A2.(2019届云南师范大学附属中学12月月考,12)已知椭圆C:+=1的右焦点为F,过点F 有两条互相垂直的直线l1,l2,l1与椭圆C相交于点A,B,l2与椭圆C相交于点C,D,则下列叙述不正确的是( )A.存在直线l1,l2使得|AB|+|CD|值为7B.存在直线l1,l2使得|AB|+|CD|值为C.四边形ABCD的面积存在最大值,且最大值为6D.四边形ABCD的面积存在最小值,且最小值为答案 D3.(2018四川达州模拟,7)以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点,以抛物线y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是( )A. B. C. D.答案 C4.(2018湖北重点中学4月联考,7)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为( )A. B.1 C. D.答案 D5.(2018广东清远模拟,11)已知m、n、s、t∈R+,m+n=3,+=1,其中m、n是常数且m<n,若s+t的最小值是3+2满足条件的点(m,n)是椭圆+=1的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程为( )A.x-2y+3=0B.4x-2y-3=0C.x+y-3=0D.2x+y-4=0答案 D6.(2018广西桂林、百色等三市联考,12)已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,则该椭圆离心率e的取值范围为( )A.-B.C. D.答案 A二、填空题(共5分)7.(2017湖南东部六校4月联考,15)设P,Q分别是圆x2+(y-1)2=3和椭圆+y2=1上的点,则P、Q两点间的最大距离是.答案三、解答题(共50分)8.(2019届安徽黄山八校联考,20)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,点P是椭圆的上顶点的一个动点,△PF1F2面积的最大值是4(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四点,AC与BD相交于点F1,·=0,且||+||=,求此时直线AC的方程.解析(1)由题意知,当点P是椭圆的上顶点或下顶点时,△PF1F2面积取得最大值,此时,=·2c·b=4,又e==,结合a2=b2+c2,所以a=4,b=2,c=2.所以所求椭圆的方程为+=1.(2)由(1)知F1(-2,0),由·=0得AC⊥BD.①当直线AC与BD有一条直线的斜率不存在时,||+||=14,不符合题意;②设直线AC的斜率为k(k存在且不为0),则直线BD的斜率为-.直线AC的方程为y=k(x+2),联立消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0,设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,所以||=1-x2|=.同理可得||=,由||+||==,解得k2=1,故直线AC的方程为y=±(x+2).思路分析(1)根据离心率e=,△PF1F2面积的最大值是4结合a2=b2+c2,即可求出a、b,从而得结果;(2)直线与曲线方程联立,根据根与系数关系,弦长公式将||+||用k表示,解方程即可得k的值.方法点拨求椭圆标准方程时一般利用待定系数法,根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a,b,即可得到椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后利用根与系数的关系解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决.9.(2019届重庆期中,20)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,并且F2为抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点,C2的准线被椭圆C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为2 4.(1)求C1和C2的方程;(2)已知动直线l与抛物线C2相切(切点异于原点),且直线l与椭圆C1相交于M,N两点,若椭圆C1上存在点Q,使得+=λ(λ≠0),求实数λ的取值范围.解析(1)由题得⇒a=2,b=2,p=2c=4,故C1:+=1,C2:y2=8x.(2)由题意知直线l的斜率存在且不为0,设l:x=my+n(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0).联立⇒y2-8my-8n=0,因为l与C2相切,故Δ1=(-8m)2+4×8m=0⇒2m2+n=0.联立⇒(m2+2)y2+2mny+n2-8=0,所以y1+y2=-,y1y2=-,Δ2>0⇒n2<4m2+8,由Δ1=0知2m2=-n,所以n2<-2n+8⇒n∈(-4,2),又2m2=-n>0,因此n∈(-4,0),由+=λ⇒由根与系数的关系,得-,n∈(-4,0),而点Q(x0,y0)在椭圆上,即+2=8,代入得+=8⇒λ2==-令t=4-n,t∈(4,8),则λ2=2-.令f(t)=t+-8,易知f(t)在(4,8)上单调递增,所以λ2∈(0,4)⇒λ∈(-2,0)∪(0,2).10.(2018四川南充模拟,20)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左顶点为A,若|F1F2|=2,椭圆的离心率e=.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P是椭圆上的任意一点,求·的取值范围.解析(1)∵|F1F2|=2,椭圆的离心率e=,∴c=1,a=2,∴b=,∴椭圆的标准方程为+=1.(2)设P(x,y),∵A(-2,0),F1(-1,0),∴·=(-1-x)(-2-x)+y2=x2+3x+5,由椭圆方程得-2≤x≤2,二次函数图象开口向上,对称轴为直线x=-6<-2,当x=-2时,·取到最小值0,当x=2时,·取到最大值12.∴·的取值范围是[0,12].11.(2018广东茂名模拟,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,设右焦点为F,过原点O的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AF的中点为M,线段BF的中点为N,且·=.(1)求弦AB的长;(2)当直线l的斜率k=,且直线l'∥l时,l'交椭圆于P,Q,若点A在第一象限,求证:直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.解析(1)由题意可知2c=2,c=,F(,0),设A(x0,y0),B(-x0,-y0),则M,N--,由·=--=,则+=5,则|AB|=2=2.(2)证明:直线l的斜率k=,则l:y=x,y0=x0,由+=5,得A(2,1),将c=代入椭圆方程解得a=2,b=,∴椭圆的方程为+=1.由题意设l':y=x+m(m≠0),联立整理得x2+2mx+2m2-4=0,Δ=4m2-4(2m2-4)>0,即m∈(-2,0)∪(0,2).设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,P(x1,y1),Q(x2,y2),则k1=--,k2=--.由x2+2mx+2m2-4=0,可得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,所以k1+k2=--+--=------=------=-----=------=0,即k1+k2=0.∴直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.。