华南农业大学线性代数考试真题
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华南农业大学期末考试试卷(A 卷)2008-2009学年第2学期 考试科目: 线性代数考试类型:(闭卷) 考试时间: 120 分钟学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 评阅人试卷说明: T A 表示矩阵A 的转置矩阵,*A 表示矩阵A 的伴随矩阵,1A -表示矩阵A 的逆矩阵,A 表示方阵A 的行列式, R (A )表示矩阵A 的秩, I 是单位矩阵.一. 选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题的选项中,只有一项符合要求,把所选项前的字母填在题中括号内1. 设n B A 均为,阶方阵,满足等式0=AB ,则必有( C )(A) 0=A 或 0=B(B) 0=+B A () 0||=A 或 0||=B(D) 0||||=+B A2. 已知,,A B C 均为n 阶可逆方阵,且ABC I =,则下列结论必然成立的是( C )(A) ACB I = (B) BAC I = () BCA I = (D) CBA I =3.设有n 维向量组(Ⅰ):12,,,r ααα 和(Ⅱ):12,,,()m m r ααα> ,则( B )(A) 向量组(Ⅰ)线性无关时,向量组(Ⅱ)线性无关() 向量组(Ⅰ)线性相关时,向量组(Ⅱ)线性相关 (C) 向量组(Ⅱ)线性相关时,向量组(Ⅰ)线性相关 (D) 向量组(Ⅱ)线性无关时,向量组(Ⅰ)线性相关4.设n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A 的秩为r ,则AX =0有非零解的充分必要条件是( B )5. Matlab 软件中, 在命令窗口输入[1:3][321]'*, 显示ans=( D )二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010021A ,则=-1A120010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (A) r=n() r<n(C) r ≥n(D) r>n(A) 7 (B) 8 (C) 9 () 107. 设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是非齐次线性方程组b A =X 的解向量,则=+++t λλλ 21______1__________.8. 矩阵20002023A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵10002000B b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似, 则a b += . 9. 设123,1,1),0,2,3),1,0,1),k ααα===(((则当k = 时,α1,α2,α3 线性相关.10.设A 为三阶方阵,其特征值2,1,3,- 则*A = .11.已知二次型222123112132233(,,)2245f x x x x tx x x x x x x x =+-+++正定, 则t 的取值范围为 .三、计算题12.(7分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求:2T A AB +13.(8分)计算下列行列式3214214314324321四、解方程组14. (10分)求方程组123412341234311232x x x xx x x xx x x x⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩的通解.五、解答题15.(10分)求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:a1=(1, 2,-1, 4)T,a2=(9, 100, 10, 4)T, a3= (-2,-4, 2,-8)T.16. (8分) 已知1121 342 012A--⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭,求A的伴随矩阵*A.17.(12分) 设212122221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求一个正交阵P ,使1P AP -=Λ为对角阵.六、证明题18.(6分) 设向量组322211,a a b a a b +=+= 433,a a b += 144,a a b +=, 证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2008—2009第二学期《线性代数》(A )参考答案和评分标准一. 选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1. C2. C3. B4. B5. D二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)6. 120010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ 7. 18. 8 9. -1/2 10. 36 11. 405t -<<三、计算题12.T T A AB A E B 2(2)+=+=1001001001102010310021001112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3分100300110330021114⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 5分 300030754⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭7分 13.将行列式第2、3、4列加到第1列上,得3214214314324321=32110214101431043210=101110222031104321------ 4分=10400440311--- 6分=160 8分14.11110111101111011131002410024111231/200121/200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4分 x x x x x x 1234340241--+=⎧⎨-=⎩,x x x x x x x x 1324132431-=-⎧⎨+=++⎩, 5分 取x x 2400⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得*120120η⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 6分取x x 2410,01⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,x x 1311,02⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 8分 得齐次方程组基础解系为121110,0201ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 9分通解为x x k kx x 12123411120101022010⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10分 15. 192192192210040820010110201900004480320000A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6分rank(A)=2 7分 所以向量组的秩为2. 8分 a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T 不成比例,所以 a 1,a 2为最大无关组. 10分16. 因为1*1,||A A A -=2分*1111||||A A AA A ---==4分 1||1A -=- 6分*1||1*A A -=-=121342012--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭8分17.123(1)(1)(5),1,1,5A E λλλλλλλ-=-+--=-==, 3分对应于11λ=-,由 ()0A E x += 得111122ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,单位化,得111162p -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭; 6分 对应于21λ=,由 ()0A E x -= 得2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,单位化,得211120p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 8分 对应于35λ=,由 (5)0A E x -= 得3111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,单位化,得311131p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 10分 11162311162321063P ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,有1100010005TP AP P AP --⎛⎫⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭. 12分18. 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x即0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 3分整理得 01100011000111001)(43214321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x a a a a 4分而011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x x x 有非零解,所以结论成立 6分。
线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于()A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于()A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是()A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有()A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于()A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则()A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中()A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是()A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有()A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是()A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有()A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是()A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行(列)向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则()A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为()A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题(共72分)二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 向量空间中,线性无关的向量集合的最小维度是:A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案:D2. 矩阵A的行列式为0,这意味着:A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案:B3. 线性变换T: R^3 → R^3,由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示,其特征值是:A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案:D4. 矩阵A与矩阵B相乘,结果矩阵的秩最多是:A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案:D5. 给定两个向量v1和v2,它们的点积v1·v2 > 0,这意味着:A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案:C6. 对于任意矩阵A,下列哪个矩阵总是存在的:A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案:C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是:A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案:D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是:A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案:A9. 一个矩阵的迹(trace)是:A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案:B10. 矩阵的范数有很多种,其中最常见的是:A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案:D二、简答题(每题10分,共20分)1. 请解释什么是基(Basis)以及它在向量空间中的作用是什么?答:基是向量空间中的一组线性无关的向量,它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
线性代数考试(A)参考答案及评释华南农业大学期末考试试卷(A 卷)2005学年第一学期 考试科目:线性代数 考试类型:闭卷 考试时间:120分钟学号 姓名 年级专业这是题文 这是参考答案 填空题.(每小题3分,共30分)1.若行列式D 各行元素之和等于0,则该行列式等于0. 各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件 41141222222n n n --**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T =A A E 立即得到1T -=A A 且1T ===A A A A E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x . 参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8.如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的,则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=AA 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题(每题3分,共15分)1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含( D )个解向量.(A )n (B )r (C )r n - (D )n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵A *的秩为( D )(A )1 (B )2 (C )3 (D )0.A的余子式(3阶子式)全为零.*A是零矩阵.3. 设A是n阶方阵,满足2A E=,则( B )(A)A的行列式为1 (B),-+不同时可逆.A E A E=(D)A的特征值全是1 (C)A的伴随矩阵*A A2000或.A E A E A E A E A E=⇒+-=⇒+=-=4. 设n阶方阵,,A B C满足ABC E=,其中E是n阶单位阵,则必有( C )(A)ACB E== (D) BAC E= (C) BCA E= (B) CBA E()()A E.p7性质1.2, p35定理1.10=⇒=A BC E BC或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=, ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=,124,,ααα是一个最大无关组。
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题(A卷)试卷类别:闭卷考试时间:120分钟考试科目:线性代数学号:______ 姓名:______题号得分阅卷人一.单项选择题(每小题3分,共30分)1.设A经过初等行变换变为B,则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B);(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=,则(C)。
A) A中有一行元素全为零;(B) A中必有一行为其余行的线性组合;(C) A有两行(列)元素对应成比例;(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是(A)A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O;(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s;(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=,若矩阵A的秩为n-1,则a必为()。
11;(C) -1;(D)。
(A) 1;(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于()。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4;(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4);(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4;(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b,则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O,In为n阶单位矩阵,则A=−A−3In。
(C)9.设A,B是两个相似的矩阵,则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
华南农业大学期末考试试卷(A 卷)2005学年第一学期 考试科目:线性代数 考试类型:闭卷 考试时间:120分钟一. 填空题.(每小题3分,共30分)1.若行列式D 各行元素之和等于0,则该行列式等于 .2.设A 为2005阶矩阵,且满足T A A =-,则A = .3.非齐次线性方程组AX b =有解的充要条件是 .4.设A 为4阶方阵,且A 的行列式12A =,则2A *= .5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为 .6.设A 为正交矩阵,则1A -A = .7.三阶可逆矩阵A 的特征值分别为2,4,6,则1A -的特征值分别 为 .8.如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的,则t 的 取值范围是 .9.设A 为n 阶方阵,且2A A =,则()12A E --= . 10.在MATLAB 软件中rank(A)表示求 .二、单选题(每题3分,共15分)1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含( )个解向量.(A )n (B )r (C )r n - (D )n r -2. 设四阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵A *的秩为( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )0. 3. 设A 是n 阶方阵,满足2A E =,则( )(A )A 的行列式为1 (B ),A E A E -+不同时可逆. (C )A 的伴随矩阵*A A = (D )A 的特征值全是14. 设n 阶方阵,,A B C 满足ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有( ) (A )ACB E = (B) CBA E = (C) BCA E = (D) BAC E =5. 在MATLAB 中求A 的逆矩阵是( )(A )det(A) (B)rank(A) (C)inv(A) (D)rref(A) 三、计算题(每题6分,共12分)1.1111111111111111x x x x ---+---+--2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=, ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.四、设1122123122,,3,βααβααβαα=-=+=-+验证:123,,βββ线性相关.(8分)五、已知122212221A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,求1A -及()1*A - (10分)六、设线性方程组1232123123424x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩当λ等于何值时,(1)无解;(2)方程组有惟一解;(3)有无穷多解,并求出此时方程组的通解.(12分)七、求一个正交变换X PY =,把下列二次型化为标准形()22212312323,,4233f x x x x x x x x =+++ (13分)。
线性代数大学试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 设A是一个3阶方阵,且满足A^2 = A,则下列说法正确的是:A. A是可逆矩阵B. A是幂等矩阵C. A是正交矩阵D. A是单位矩阵答案:B2. 若矩阵A的特征值为1,则下列说法正确的是:A. 1是A的迹B. 1是A的行列式C. 1是A的一个特征值D. 1是A的秩答案:C3. 设向量组α1, α2, ..., αn线性无关,则下列说法正确的是:A. 向量组中任意向量都可以用其他向量线性表示B. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示C. 向量组中任意向量都可以被其他向量线性表示D. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示,除非它们线性相关答案:B4. 若矩阵A的秩为2,则下列说法正确的是:A. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的列向量组线性相关答案:A二、填空题(每题5分,共30分)1. 若矩阵A的行列式为0,则A的______。
答案:秩小于矩阵的阶数2. 设向量空间V的一组基为{v1, v2, ..., vn},则任意向量v∈V可以唯一地表示为______。
答案:v = c1v1 + c2v2 + ... + cnn,其中ci为标量3. 设矩阵A和B可交换,即AB = BA,则A和B的______。
答案:特征值相同4. 若线性变换T: R^n → R^m,且T是可逆的,则T的______。
答案:行列式不为零5. 设A为n阶方阵,若A的特征多项式为f(λ) = (λ-1)^2(λ-2),则A的特征值为______。
答案:1, 1, 26. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关,则向量组α1, α2, ..., αn, α1+α2也是______。
答案:线性相关三、简答题(每题10分,共20分)1. 简述什么是矩阵的秩,并给出如何计算矩阵的秩的方法。
答案:矩阵的秩是指矩阵行向量或列向量组中线性无关向量的最大个数。
线性代数自考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 矩阵A的行列式为0,则矩阵A()A. 可逆B. 不可逆C. 行等价于零矩阵D. 列等价于零矩阵答案:B2. 若矩阵A的秩为r,则矩阵A的齐次线性方程组的解空间的维数为()A. rB. r-1C. n-rD. n+r答案:C3. 向量组α1,α2,…,αs线性无关,则()A. 向量组α1+α2,α2+α3,…,αs-1+αs线性无关B. 向量组kα1,kα2,…,kαs线性无关,其中k为非零常数C. 向量组α1+α2,α2+α3,…,αs-1+αs,αs线性无关D. 向量组kα1,kα2,…,kαs线性相关,其中k为非零常数答案:B4. 设A为n阶方阵,且|A|≠0,则下列命题中正确的是()A. A与A*的秩相等B. A*与A^(-1)的秩相等C. A与A^(-1)的秩相等D. A与A*的秩不相等答案:C5. 矩阵A=()A. 行最简形矩阵B. 行阶梯形矩阵C. 行等价于单位矩阵的矩阵D. 行等价于零矩阵的矩阵答案:C6. 设A为3×3矩阵,且|A|=2,则|2A|=()A. 4B. 8C. 16D. 32答案:C7. 设A为n阶方阵,且A^2=0,则()A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案:D8. 设A为n阶方阵,且A^2=E,则()A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案:C9. 设A为n阶方阵,且A^T=A,则()A. A为对称矩阵B. A为反对称矩阵C. A为正交矩阵D. A为斜对称矩阵答案:A10. 设A为n阶方阵,且|A|=1,则|A^(-1)|=()A. 0B. 1C. -1D. 2答案:B二、填空题(每题2分,共20分)11. 若A为n阶方阵,且|A|=-3,则|-2A|=______。
答案:1212. 设A为n阶方阵,且A^2=0,则矩阵A的秩r(A)满足______。
华南农业大学期末考试试卷(A 卷)2013-2014 学年第2学期 考试科目:线性代数 考试类型:(闭卷)考试 考试时间:120分钟 学号 姓名 年级专业试卷说明:在本试卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵;A*表示A 的伴随矩阵;r(A )表示矩阵A 的秩;| A |表示A 的行列式;E 表示单位矩阵。
一、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题的选项中,只有一项符合要求,把所选项前的字母填在题中括号内1. 设A ,B 是任意的n 阶方阵,下列命题中正确的是( )A. 222()2+=++A B A AB BB. 22()()+-=-A B A B A BC. ()()()()-+=+-A E A E A E A ED. 222()=AB A B2. 设A 是64⨯矩阵,r (A)=2,方程组0AX =的基础解系中所含向量的个数是( )A .1B .2C .3D .43.设4阶矩阵A 的元素均为4,则r (A)=( )A .1B .2C .3D .44. 设A 为m×n 矩阵,A 的秩为r ,则( )A .r = m 时,AX =0必有非零解B .r = n 时,AX =0必有非零解C .r < m 时,AX =0必有非零解D .r < n 时,AX =0必有非零解5. 若非齐次线性方程组b X A n m =⨯有解,12,,,n ααα是n m A ⨯的n 个列向量,下列结论正确的是( )A .12,,,,n b ααα线性相关B .12,,,n ααα线性无关C .12,,,n ααα线性相关D .12,,,,n b ααα线性无关二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)6. 若向量组1102α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2122α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,338k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性相关,则k =_____________.7. 向量1 1 0T α=(,,)与向量011T β=-(,,),则向量α的长度α=__________, 的与 βα夹角= _______.8. 设3阶矩阵A 与B 相似,若A 的特征值为41,31,21, 则1B -=_______________.9. 设,A B 均为n 阶方阵,且2,A =3,B =-则*12A B -=____________________.10.二次型22212312233222f x x x tx x x x =++++为正定的, 则t 的取值范围是_______.三、计算题(本大题共3小题,共23分)11.(满分8分) 设矩阵111111111A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,123124051B ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求:32AB A -.12.(满分8分) 计算下列行列式(1) 30202105000202323A -=--- (2) 2345345645675678D =13.(满分7分) 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1100120000120025A ,求1A -.四、解答题(本大题共4小题,共36分)14.(满分10分) 讨论λ取何值时,下列线性方程组1231232123(1)0(1)(1)x x x x x x x x x λλλλλ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ (1) 有唯一解; (2) 无解; (3) 有无穷多解.15.(满分10分) 设向量组)6,3,2,1(1=α,)4,2,1,1(2-=α,)8,2,1,1(3---=α,)2,3,2,1(4=α.(1) 求该向量组的一个极大无关组;(2) 将其余向量表示为该极大无关组的线性组合.16.(满分8分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400032020A 的特征值以及最大特征值所对应的特征向量.17.(满分8分)将二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +--=化为标准形,并求可逆的线性变换.五、证明题(本大题共1小题,共6分)18. (满分6分) 设向量组1α,2α线性无关,且1122=c c βαα+,证明:当121c c +≠时,向量组1βα-, 2βα-线性无关.。
华南农业大学期末考试试卷(A 卷)
2008-2009学年第2学期 考试科目: 线性代数
考试类型:(闭卷) 考试时间: 120 分钟
学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 评阅人
试卷说明: T
A 表示矩阵A 的转置矩阵,*
A 表示矩阵A 的伴随矩阵,1
A -表示矩阵A 的逆矩阵,A 表示方阵A 的行列式, R (A )表示矩阵A 的秩, I 是单位矩阵.
一. 选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题的选项中,只
有一项符合要求,把所选项前的字母填在题中括号内
1. 设n B A 均为,阶方阵,满足等式0=AB ,则必有( )
(A) 0=A 或 0=B
(B) 0=+B A (C) 0||=A 或 0||=B
(D) 0||||=+B A
2. 已知,,A B C 均为n 阶可逆方阵,且ABC I =,则下列结论必然成立的是( )
(A) ACB I = (B) BAC I = (C) BCA I = (D) CBA I =
3.设有n 维向量组(Ⅰ):12,,,r ααα 和(Ⅱ):12,,,()m m r ααα> ,则( )
(A) 向量组(Ⅰ)线性无关时,向量组(Ⅱ)线性无关
(B) 向量组(Ⅰ)线性相关时,向量组(Ⅱ)线性相关 (C) 向量组(Ⅱ)线性相关时,向量组(Ⅰ)线性相关 (D) 向量组(Ⅱ)线性无关时,向量组(Ⅰ)线性相关
4.设n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A 的秩为r ,则AX =0有非零解的充分必要条件是( )
5. Matlab 软件中, 在命令窗口输入[1:3][321]'*, 显示ans=( )
(A) r=n (B) r<n (C) r ≥n (D) r>n
(A) 7
(B) 8 (C) 9 (D) 10
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
6. ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=100010021A ,则=-1A .
7. 设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是非齐次线性方程组b A =X 的解向量,则=+++t λλλ 21________________.
8. 矩阵20002023A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵10002000B b ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
相似, 则a b += . 9. 设123,1,1),0,2,3),1,0,1),k ααα===(((则当k = 时,α1,α2,α3 线性相关.
10.设A 为三阶方阵,其特征值2,1,3,- 则*A = .
11.已知二次型222
123112132233(,,)2245f x x x x tx x x x x x x x =+-+++正定, 则t 的取值
范围为 .
三、计算题
12.(7分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,
002B ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
求:2T A AB +
13.(8分)计算下列行列式
3
214
214314324321
四、解方程组
14. (10分)求方程组1234123412340311232
x x x x x x x x x x x x ⎧
⎪--+=⎪
-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩的通解.
五、解答题
15.(10分)求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3= (-2, -4, 2, -8)T .
16. (8分) 已知1121 342 012
A-
-
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
-
⎝⎭
,求A的伴随矩阵*A.
17.(12分)设
212
122
221
A
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
,求一个正交阵P,使1
P AP
-=Λ为对角阵.
六、证明题
18.(6分) 设向量组322211,a a b a a b +=+= 433,a a b += 144,a a b +=, 证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.。