几何与代数课件:习题解析第二章
- 格式:ppt
- 大小:3.06 MB
- 文档页数:49
第二章 空间解析几何§1、向量的“三积”1、 数量积:cos a b a b θ⋅=几何意义:向量a 在b 上的投影线段的长度2、 向量积:sin a b a b θ⨯=几何意义:以,a b 为边的平行四边形的面积3、 混合积:设111222333(,,)(,,)(,,)a x y z b x y z c x y z ===,,()(sin )sin cos a b c a b c a b c a b c θθϕ⎡⎤=⨯==⎣⎦()111222333x y z a b c x y z x y z ⨯= *其中θ为,a b 的夹角,ϕ为(),a b c ⨯的夹角。
一、已知3a b +与75a b -垂直,4a b -与72a b -垂直,求(),a b ∠。
分析:本题用到向量的变形形式,找出,,a b a b 之间的关系即可。
解: 由题意可知 (3)(75)0a b a b +⋅-=(4)(72)0a b a b -⋅-=⇒ 222271615073080a ab b a a b b +⋅-=-⋅+= 联立两式得 21=2a b b ⋅ 21=2a b a ⋅ =a b ⇒ 716cos 150θ+-=1cos 2θ=[](0,)3πθθπ=∈二、证明:对任意4个向量,,,a b c d ,有()()()(),,,,,,,,0b c d a c a d b a b d c b a c d +++=分析:本题主要运用了点乘,叉乘,混合积的运算法则,以及恒等式。
证: ()()()a b c a c b b c a ⨯=⋅-⋅ ()2.2.13()()()()()()()(),,,,,,,,a b c d a c d b b c d a c d a b c d b a c a d b b c d a⨯⨯⨯=⨯-⨯=-=-- ()()()(),,,,a b c d c a d b b c d a ⇒-⨯⨯⨯=+ ()()()()()()()()()(),,,,,,,,a b c d c d a b c a b d d a b c a b c d a b d c b a c d a b d c⎡⎤⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-⨯-⨯=-+⎣⎦=+ ()()()()=,,,,a b c d b a c d a b d c ⇒⨯⨯⨯+()()()()()()()(),,,,,,,,0b c d a c a d b a b d c b a c d a b c d a b c d +++=-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=三、在右手直接坐标系中,一个四面体的顶点为(1,2,0)(1,3,4)A B -(1,2,3)(0,1,3)C D ----,求它的体积。