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几何与代数课件：习题解析第二章

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2017_2018学年高中数学第二章平面解析几何习题课课件新人教B版必修220170912425

2017_2018学年高中数学第二章平面解析几何习题课课件新人教B版必修220170912425

(5)过两圆交点的直线方程. 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,① 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,② ①-②得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③ 若圆C1与圆C2相交,则③为过两圆交点的弦所在直线的方程. (6)过直线与圆的交点的圆系方程. 若直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交,则方程 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示过直线l与圆C的两个交点的 圆系方程. (7)过圆与圆的交点的圆系方程. 若圆C1:x2+y2+Dx+Ey+F=0与圆C2:x2+y2+D'x+E'y+F'=0相交,则 过这两个圆交点的圆系方程可设为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(x2+y2+D'x+E'y+F')=0(λ≠-1).
6.做一做:直线x+ 3 y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的 长度等于( )
A.2 5 B.2 3 C. 3 D.1 解析:如图所示,由题意知圆的圆心坐标为(0,0),半径r=2.
圆心到直线的距离 d=
|0+ 3×0-2| 1 +( 3)
2 2
=1,
所以|AB|=2 ������ 2 -������ 2 =2 22 -12 =2 3.故选 B.
3 m> . 4

几何问题的代数解法-定稿版PPT课件

几何问题的代数解法-定稿版PPT课件

与圆有关的最值问题
2.已知实数x,y满足x2+y2-4x+1=0,
则x-y的最大值和最小值分别是______和________.
y 的最大值和最小值分别是 和 x
x2+y2的最大值和最小值分别是_____和_____.
2.(1)设x-y＝b，则y＝x-b与圆x2＋y2-4x＋1＝0有公共点,
2b
【类题试解】方程 x 1＝ 2y y2 表示的曲线为 ( )
A.两个半圆
B.一个圆
C.半个圆
D.两个圆
【解析】选A.两边平方整理得:(|x|-1)2+(y-1)2=1,由|x|-1≥0 得x≥1或x≤-1,所以(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1)或(x+1)2+(y1)2=1(x≤-1),所以为两个半圆,故选A.
设A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，
d），过四边形外接圆的圆心 分别作AC、BD、AD O 的垂线，垂足为M、N、E，则M、N、E分别为AC、
BD、AD的中点，y B
C
M
O
N
O'
E
A x
第一步:建立坐 标系，用坐标 表示有关的量.
D
由中点坐标公式，有：
xE
=
a 2
,
yE
=
d 2
,
xM
1.若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x-5）2+y2=20（m∈R） 相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相1
B.2
C.3
D.4
解：选D.由题意作出图形
分析得：由圆的几何性质
两圆在点A处的切线互相垂
直，且过对方圆心C2,C1． 则在Rt△C2AC1中， |C1A|= 5，|C2A|= 2，0 斜边上的高为半弦， 用等积法易得：AB 5 5 20⇒ AB 4.

线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题

线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题

2021/4/22
3
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A; 2 A B C A B C .
记-A=(-aij),成为矩阵A的负矩阵
3 A A 0, A B A B (aij bij )
2021/4/22
4
二、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2 AB BA. 此时称矩阵A、B可交换。
2021/4/22
16
例4
设
A
0 2
0 1
,
B
1 1
1 1
,
C
2 1
1 1
则AB
AC
0 3
0 3
注意4 矩阵不满足消去律，即：
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2021/4/22
5
2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A;
2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
2021/4/22
1 3 1 1 2 3 10
2021/4/22
23
2、方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A;
2 A n A;

高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目

高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目

第二章 空间解析几何§1、向量的“三积”1、 数量积：cos a b a b θ⋅=几何意义：向量a 在b 上的投影线段的长度2、 向量积：sin a b a b θ⨯=几何意义：以,a b 为边的平行四边形的面积3、 混合积：设111222333(,,)(,,)(,,)a x y z b x y z c x y z ===,,()(sin )sin cos a b c a b c a b c a b c θθϕ⎡⎤=⨯==⎣⎦()111222333x y z a b c x y z x y z ⨯= *其中θ为,a b 的夹角，ϕ为(),a b c ⨯的夹角。

一、已知3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求(),a b ∠。

分析：本题用到向量的变形形式，找出,,a b a b 之间的关系即可。

解： 由题意可知 (3)(75)0a b a b +⋅-=(4)(72)0a b a b -⋅-=⇒ 222271615073080a ab b a a b b +⋅-=-⋅+= 联立两式得 21=2a b b ⋅ 21=2a b a ⋅ =a b ⇒ 716cos 150θ+-=1cos 2θ=[](0,)3πθθπ=∈二、证明：对任意4个向量,,,a b c d ，有()()()(),,,,,,,,0b c d a c a d b a b d c b a c d +++=分析：本题主要运用了点乘，叉乘，混合积的运算法则，以及恒等式。

证： ()()()a b c a c b b c a ⨯=⋅-⋅ ()2.2.13()()()()()()()(),,,,,,,,a b c d a c d b b c d a c d a b c d b a c a d b b c d a⨯⨯⨯=⨯-⨯=-=-- ()()()(),,,,a b c d c a d b b c d a ⇒-⨯⨯⨯=+ ()()()()()()()()()(),,,,,,,,a b c d c d a b c a b d d a b c a b c d a b d c b a c d a b d c⎡⎤⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-⨯-⨯=-+⎣⎦=+ ()()()()=,,,,a b c d b a c d a b d c ⇒⨯⨯⨯+()()()()()()()(),,,,,,,,0b c d a c a d b a b d c b a c d a b c d a b c d +++=-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=三、在右手直接坐标系中，一个四面体的顶点为(1,2,0)(1,3,4)A B -(1,2,3)(0,1,3)C D ----，求它的体积。

几何与代数 第二章

几何与代数 第二章
第二章
第一节
一、矩阵的概念
矩阵与行列式
矩阵及其运算
定义 由mn个数排成的m行n列的数表
a11 a 21 M am1
记 A = [aij ]m×n
a12 a22 am 2
L a1n a2 n M M L amn
称为m × n矩阵(matrix )，其中aij为矩阵的第i行第j列的元素，
定义： 定义：由n2个数 aij (i, j = 1,2,.., n ) a11 a12 L a21 a22 L Dn = M M M an1 an 2 L 组成的n阶行列式 a1n a2 n M ann
n
是一个算式，当n=1时，D=|a11|= a11
n ≥ 2时，D = a11 A11 + a12 A12 + L + a1n A1n =
上页
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三、n阶行列式的性质 阶行列式的性质
关键: （1）试图化为上（下）三角行列式； （2）每一行（列）只有一个0。 例1：
2 8 1 3 7 0 6 7
1 0 4 2 3 −1 − 2 − 5
上页
下页
方法一： 方法一：将所有行（列）均加到第一行（列）
x a L a
例2：
Dn =
a
x L a O
an1 an 2 L ann
*
证明：当 | A |≠ 0时，A |=| A | |
n −1
上页
下页
六、克拉默（Cramer）法则 克拉默（Cramer）
线性方程组 简写→ Ax = b. 先假设A是n阶方阵，且 | A |≠ 0， 由Ax = b两边左乘A−1可得x = A−1b,即 x1 A11 x A 2 = 1 12 M | A| xn A1n

高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.3.2ppt课件全省公开课一等奖

高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.3.2ppt课件全省公开课一等奖

跟踪训练 1 关系为( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置
解析：两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆 心距 d＝ 42＋1＝ 17.
∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交． 答案：B
类型二 两圆的公共弦的问题 [例 2] 已知两圆 x2＋y2－2x＋10y－24＝0 和 x2＋y2＋2x＋2y－ 8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．
(3)方法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， ①
x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
②
两式相减得 x＝2y－4，③
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
∴xy11＝＝－0，4， 或xy22＝＝02，. 所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
2．两圆 C1，C2 有以下位置关系： 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系
两圆相离
0 两圆内含
d>r1＋r2 d<|r1－r2|
图示
两圆相交
2
|r1－r2|<d<r1＋r2
两圆内切 1
两圆外切
d＝|r1－r2| d＝r1＋r2
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆无公共点，那么这两个圆相离．( × ) (2)两圆方程联立，若有两个不同解，则两圆相交．( √ ) (3)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含．( √ ) (4)若两圆有且只有一个公共点，则两圆外切．( × )

《几何与代数》 科学出版社 习题解析第二章


第二章 矩阵
习题解析
则 A ( E B)
n
0 0 1 2 0 0 , B3 B4 Bn 0(n 3) B 0
n(n 1) n 2 2 n E n B B B 2！
n 1
第二章 矩阵
习题解析
1 n 6(4) 设 A 1 ,计算 A . 0 1 0 解 设 A E B, B 0 1 0 n n
(r) P,Q可逆,A m n
=PE
(r) m nQ.
7 max r A , r B r A, B r A r B
6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)
5) If AB 0, then r A r B n.
单位矩阵
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的代数运算
• 矩阵乘法交换率一般不成立 (AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2 矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk 2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n (a En) AA* A* A A E 5. AA1 A1 A E 4. • 矩阵乘法消去率一般不成立. AB O A O or B O • 但是，消去率在A可逆时成立. AB O, A 0 B O
T T
T
第二章 矩阵
习题解析
9.
已知3级方阵A按列分块为A (1 , 2 , 3 )，
且 A 5, 若B (1 2 2 ,31 4 3 ,5 2 )，求 B .

(仅供参考)几何与代数第2章习题答案


t ，那么 x1 x，y1 y，z1 z t ，代
入方程得
x2 y2 x y
z z t
t2
0
1
，消去参数
t
得柱面方程：
2x2
2
y2
2xy
1。
（3）准线方程为
x2
y2
25
，母线方向为 5，3，2
；
z 0
【解】设
M1 x1，y1，z1
是准线上的点，那么过
M1
的母线为
x x1 5
y2
z
y
2
y1
x1 2
z
y12
z1
z1 2
0
。由于 M1 x1， y1， z1 在母线上，所以
x1 1
y1 2 2
z1 2 2
。则
x1
z1
2
2
，y1
z1
2 x y z 1
5
，代入消元，旋转曲面方程为
x2 y2 z2 9 4 x y z 12 2 x y z 1 1。
x 0
0
，旋转轴为
y
轴
x 0
y 1
z 0
，如果
M1 0，y1，z1 为
母线
上的任意点，那么过
M1
的纬圆为
y y1 0
x
2
y2
z2
y12
z12
，且有
F
y1，z1
0
，从三式中消去参
数 y1，z1 得所求旋转曲面方程为 F y， x2 z2 0 。
1． pqr 为直角三角形， p 60 ，求 pq 绕 pr 旋转所成曲面方程。
x 0
y 0

2020_2021学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3.2圆与圆的位置关系课件北师大版必修2


半径为 3 的圆与 x 轴相切，且与圆 x2＋(y－1)2＝1 外切，求 此圆的方程．
解：因为所求圆的半径为 3，且与 x 轴相切， 所以设圆心坐标为(a，－3)或(a,3)． 又因为所求圆与圆 x2＋(y－1)2＝1 外切， 所以 a2＋4＝4 或 a2＋16＝4， 即 a＝±2 3或 a＝0.所以所求圆的方程为(x±2 3)2＋(y－3)2 ＝9 或 x2＋(y＋3)2＝9.
【解】 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则
a－12＋b2＝r＋1，
ba＋－33＝ 3，
|a＋ 2
3b|＝r，
a＝4， 解得b＝0，
r＝2，
a＝0， 或b＝－4 3，
r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
规律方法 处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还 是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和两圆外切两 种情况讨论；其次，根据两圆相切，列出两圆的圆心距与两圆半 径之间的关系式．
规律方法 判断两圆的位置关系通常用几何法，这种方法比 较直观，容易理解．设⊙O1 的半径为 r1，⊙O2 的半径为 r2，则 有如下关系：
(1)相交⇔|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2；
(2)相切内外切切⇔⇔||OO11OO22||＝＝r|r11＋－rr22；|， (3)外离⇔|O1O2|>r1＋r2； (4)内含⇔|O1O2|<|r1－r2|.
(1)已知两圆的方程分别为圆 C1：x2＋y2＝81 和圆 C2：x2＋ y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( C )
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切
解析：圆 C1 的圆心为 C1(0,0)，半径长 r1＝9；圆 C2 的方程 化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝42，圆心为 C2(3,4)，半径长 r2 ＝4，故|C1C2|＝ 3－02＋4－02＝5.又 r1－r2＝5，∴|C1C2|＝r1 －r2，∴圆 C1 和圆 C2 内切．故选 C.

高等代数与解析几何课件


•
b定义为一个
a • b | a || b | cos a,b .
量 讨论内积、向量的长度、两个向量的夹角的关系.
代
a
b
数
b0
第
命题6.3 向量a与b垂直的充分必要条件是 ：ab 0.
一 章 a,
b,
定理6.4 向量的内积有下列性质：对任意的向量
c以及实数k , 有 (IP1)对称性质a
要条件是：
a
b
c
0.
章
C
向
A
B
量
例1.2用向量方法证明：对角 线互相平分的四边形
代 是平行四边形 . D
O
C
数
A
B
第
向量的标量乘法
一
定义1.3 实数k与向量a的标量乘积ka是一个向量， 它的长度是a的长度的| k | 倍，当k 0时它的方向与a
章 向
相同，当k 0时方向与a相反.
（对M任1）意k的(m向a量 ) a(,kbm以)a及; 实数 k有：
（3）推广到有限个点 线性流形.
量
（4）线性流形的基本特征.
（5）单纯形的概念.
代
例2.2 证明线性流形LM（A1，A2，，An )中任意
数 两点M1，M 2一定包含在这个线性流形内.
第
思考题：线性流形的基本特征.
（1）“直”、“平”，（2）是否包含零向量.
一
例2.3 设a和b是两个非零向量.试证由它们的线性
数
第
问题：（1）讨论两个非零向量共线的性质；
一
（2）讨论三个点共线的条件； （3）讨论三个向量共面的性质；
章 （4）讨论四个点共面的条件.
（5）将以上问题推广或一般化.
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(2). A的列向量组的所有的线性组合能覆盖
整个R3. 但是B 的列向量组的所有的线性组
合只能覆盖A1 ,A2所在的平面.
(3). 上述(1) (2)及定理3.3 三者间有什么关系？
对A来说，(1) (2)及定理3.3 都是等价的. 对B来说，(1) (2)等价，但不满足定理3.3的条件.
(4). 综合上述三问你们能得到什么结论？
初等行(列)变换 秩: r(A)
|A|: Rnn R
一矩 方 般阵 阵
Ak , f(A) A1: AB=BA=E A*=(Aji): AA*=A*A=|A|E
矩 的 可逆 阵 运 矩阵
对称 矩阵
反对称 矩阵
对角
算
矩阵
行 A B
一次初 En 等 变换
En
B PA(左行右列)
初等 数量 矩阵 矩阵 单位矩阵 零矩阵
几何与代数
习题讲解第二章
思考题
2 1 0
A
1
2
1
A1
,
A2
,
A3
,
B A1, A2, A1 2A2
0 3 4
(1). 对任意的b, Ax=b (By=b)都有解吗？
(2). A (B) 的列向量组的所有的线性组合能 覆盖整个R3吗？
(3). 上述(1) (2)及定理3.3 三者间有什么关系？
A初等行变换 A (阶梯阵), 则 r A r A
秩是相抵的矩阵具有的共同特征.
矩阵的秩 非零子式的最高阶数
1) r(Amn) min{m, n}，r(A) = r(AT)
2) A,B相抵 A,B同型, r(A)= r(B) = r(PAQ) (P,Q可逆).
3) r(Amn) = r A Em(r)nP,Q可逆,A =PEm(r)nQ.
定理 32.3
A
1
对在21空空间间01中中任取 A一定1, A向三2 , 量个A3 不, 都B共存面 A在的1,唯A12,一, A21的,有23,A则序2
0 实3数组4 (x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.
(1). 对任意的b, Ax=b 都有解，但By=b不一定
有解，只有当b在A1 ,A2所在平面上时才有解.
A
C
1
A1
A1CB1
(3)
0
B
0
B1
A 0
C B
=
|A|
|B|
(4)
O B
A
1
C
B1CA1 A1
B1
O
0 B
A C
= (1)mn |A| |B|
初等变换的作用 等秩、等价
问题 秩
解线性 方程组 Ax=b (AX=B) 逆矩阵
行列式
初等变换 终止矩阵
结果
行变换 阶梯阵
r(A)=非0行数
(1). 对任意的b, Ax=b 都有解，但By=b不一定 有解，只有当b在A1 ,A2所在平面上时才有解.
(2). A (B) 的列向量组的所有的线性组合能 覆盖整个R3吗？
(2). A的列向量组的所有的线性组合能覆盖 整个R3. 但是B 的列向量组的所有的线性组 合只能覆盖A1 ,A2所在的平面.
A中至少有一个 r级子式0, 任一k(>r)级子式=0.
A Rsn, B Rnt , r A r B n r AB minr A , r B
5) If AB 0, then r A r B n.
6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)
7 maxr A , r B r A, B r A r B
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的代数运算
• 矩阵乘法交换率一般不成立
(AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2
矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk
2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n (a En) 4. AA* A*A A E 5. AA1 A1A E
(4). 综合上述三问你们能得到什么结论？
2 1 0
A
1
2
1
A1
,
A2
,
A3
,
B A1, A2, A1 2A2
0 3 4 r(A) = 3 r(B) = 2<3
(1). 对任意的b, Ax=b (By=b)都有解吗？
b, r(A) = 3 =r(A,b), b, r(B) = 2, r(B,b) =2,3,
(1). 对任意的b, Ax=b 都有解，但By=b不一定有解， 只有当b在A1 ,A2所在平面上时才有解. (2). A的列向量组的所有的线性组合能覆盖整个R3. 但是B 的列向量组的所有的线性组合只能覆盖 A1 ,A2所在的平面. 对A来说，(1) (2)及定理3.3 都是等价的.
对B来说，(1) (2)等价，但不满足定理3.3的条件.
(A b) 行变换
(A B) 行变换
行变换
阶梯阵
判别解:r1<r2无解r1=r2=n 唯一解, r1=r2<n无穷多解
行最简形
取非主列变量为自 由变量，得到通解
行最简形 (A E) (E A1)
行/列 变换
三角形 注意对角线方向的符号 某行(列)有 按此行(列)展开 一非0元素
• 矩阵的秩反应了矩阵的什么本质特征？ 非零子式的最高阶数. 矩阵初等行变换化为的阶梯阵的阶梯数.
• 矩阵乘法消去率一般不成立.
AB O A O or B O • 但是，消去率在A可逆时成立.
AB O, A 0 B O
常用的分块矩阵求逆和行列式公式
设 A, B 都是可逆方阵, 则
A
0
1
A1
0
(1)
0
B
0
B1
(2)
0 B
A
1
0
0
A1
B1
0
A C
D B
|A| |B| |C| |D|
(4). 综合上述三问你们能得到什么结论？
当A的列向量不共面时, b, Ax=b都有解，R3 中任意向量都可由A的列向量唯一的线性表示.
当A的列向量在同一个平面上, 只对该平面上的 向量b, Ax=b才有解，而此平面外的向量则不 能由A的列向量线性表示，Ax=b就无解.
加法和数乘 AB: 交换律消去律 转置: (AB)T=BTAT 分块运算: 分块转置
8
r
A C
O B
r
A
r
B
r
A O
O
B
n,
if r A n
9)
设A是n(2)阶方阵,
则
r
A*
1,
if r A n 1
0, if r A n 2
1. 如何判断矩阵是否可逆？•A为方阵 •|A| 0
2. 如何计算一个可逆矩阵的