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重庆市第一中学2018届高中毕业班第一次月考数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间150分钟。
注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔填写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考员将本试卷和答题卡一并收回。
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在机读卡的指定位置上。
1．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，则A =（ ）A ．{2}B ．{2，3，5}C ．{1，4，6}D ．{5} 2．下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是（ ）A ．BC AC AB =-B ．a （b ·c ）= （a ·b ）cC ．),()()(R a a ∈=μλλμμλD ．00=⋅AB3．若数列}{n a 为等比数列，则“a 3a 5=16”是“a 4=4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．直线2)1(0122=+-=++y x y x 与圆的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定5．已知θθθθθcos sin cos sin 2tan -+=，则的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－26．设实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+013y y x y x ，则目标函数y x z +=2的最大值为 （ ）A ．－4B ．313 C ．3 D ．67．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为60%，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为（ ）A ．12536 B ．12554 C ．12581 D ．12527 8．已知函数)3(log 1),1(12)(2f x x f x x f x ，则⎩⎨⎧>-≤==（ ）A ．3B ．23 C ．1 D ．29．若不等式R x a x x ∈≥-++对|1||2|恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．),3(+∞B ．),3[+∞C ．（－∞，3）D ．]3,(-∞10．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α内任意一条直线m//平面β，则平面α//平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面β内的直线⊥n 直线m ，则直线⊥n 平面α；④若点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 在该三角形所在平面上的射影是该三角形的外心。
奉节县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0表示的图形是（ ）A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线2． 命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是（ ）A ．“∀a ∈R ，函数y=π”是减函数B ．“∀a ∈R ，函数y=π”不是增函数C ．“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数D ．“∃a ∈R ，函数y=π”是减函数3． 设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（）A ．-2或-1B ．1或2C.1±或2D ．2±或-14． 已知函数，则（ ）(5)2()e22()2xf x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩(2016)f -=A ．B ．C ．1D ．2e e 1e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．5． 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）A ．akmB ．akmC ．2akmD ． akm6． 二项式（x 2﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．367． 设函数y=x 3与y=（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）8． 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为（，﹣），∠AOC=α，若|BC|=1，则cos 2﹣sincos﹣的值为（）A ．B ．C ．﹣D ．﹣9． 复数是虚数单位）的虚部为（ ）i iiz (21+=A ．B ．C ．D ．1-i -i 22【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．10．极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ=1与曲线C 2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．211．已知实数，，则点落在区域 内的概率为（ ）[1,1]x ∈-[0,2]y ∈(,)P x y 20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩………A.B.C.D.34381418【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.12．已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）A ．B ．C ．D ．6二、填空题13．在数列中，则实数a= ，b= ．14．设某双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为1362722=+y x ，则此双曲线的标准方程是.)4,15(15．抛物线y 2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ． 16．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm ） ．三、解答题17．（本小题满分14分）设函数，（其中，）.2()1cos f x ax bx x =++-0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦a b R ∈（1）若，，求的单调区间；0a =12b =-()f x （2）若，讨论函数在上零点的个数.0b =()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.18．已知函数的图象在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．（1）试求f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象．写出函数y=g （x ）的解析式．19．（本小题满分12分）设椭圆的离心率，圆与直线相切，为坐标原2222:1(0)x y C a b a b +=>>12e =22127x y +=1x y a b+=O 点.（1）求椭圆的方程；C （2）过点任作一直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点,使(4,0)Q -C ,M N MQ QN λ=MN R 得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方MR RN λ=-R 程；若不是，请说明理由.20．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，asinAsinB+bcos 2A=a ．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c 2=b 2+a 2，求B ．21．已知函数，．3()1xf x x =+[]2,5x ∈（1）判断的单调性并且证明；()f x （2）求在区间上的最大值和最小值．()f x []2,522．（本小题满分12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cos C＋4x sin C＋6≥0对一切实数x恒成立.（1）求cos C的取值范围；（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状.【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.23．已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0，求a的取值范围；（Ⅲ）若a∈（﹣，0），设g（x）=a（1﹣x）2﹣2x﹣1﹣ln（1﹣x），求证：g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，且对（Ⅱ）中的x0，满足x0+x1＞1．奉节县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0则x 2﹣4=0并且y 2﹣4=0，即，解得：，，，，得到4个点．故选：B ．【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力． 2． 【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数．故选：C ．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 3． 【答案】D 【解析】试题分析：当公比1-=q 时，0524==S S ，成立.当1-≠q 时，24,S S 都不等于，所以42224==-q S S S , 2±=∴q ,故选D.考点：等比数列的性质.4． 【答案】B【解析】，故选B ．(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==5． 【答案】D【解析】解：根据题意，△ABC 中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，∵AC=BC=akm ，∴由余弦定理，得cos120°=，解之得AB=akm ，即灯塔A与灯塔B的距离为akm，故选：D．【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．6．【答案】A【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，故展开式中含x3项的系数为•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，不含x3项的系数之和为20，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．7．【答案】A【解析】解：令f（x）=x3﹣，∵f′（x）=3x2﹣ln=3x2+ln2＞0，∴f（x）=x3﹣在R上单调递增；又f（1）=1﹣=＞0，f（0）=0﹣1=﹣1＜0，∴f（x）=x3﹣的零点在（0，1），∵函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），∴x0所在的区间是（0，1）．故答案为：A．8． 【答案】 A【解析】解：∵|BC|=1，点B 的坐标为（，﹣），故|OB|=1，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC=，又∠AOC=α，∴∠AOB=﹣α，∴cos （﹣α）=，﹣sin （﹣α）=﹣，∴sin （﹣α）=．∴cos α=cos[﹣（﹣α）]=coscos （﹣α）+sinsin （﹣α）=+=，∴sin α=sin[﹣（﹣α）]=sincos （﹣α）﹣cossin （﹣α）=﹣=．∴cos 2﹣sin cos﹣=（2cos 2﹣1）﹣sin α=cos α﹣sin α=﹣=，故选：A ．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题． 9． 【答案】A 【解析】，所以虚部为-1，故选A.()12(i)122(i)i i z i i i +-+===-- 10．【答案】A【解析】解：极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ=1与曲线C 2：ρ=2上任意两点，可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1．故选：A ．【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查．11．【答案】B【解析】12．【答案】C．【解析】解：∵2a=3b=m，∴a=log2m，b=log3m，∵a，ab，b成等差数列，∴2ab=a+b，∵ab≠0，∴+=2，∴=log m2，=log m3，∴log m2+log m3=log m6=2，解得m=．故选C【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用．二、填空题13．【答案】a= ，b= ．【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知，a﹣b=26，由3，8，a+b，24，35知，a+b=15，解得，a=，b=；故答案为：，．【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用． 14．【答案】15422=-x y 【解析】试题分析：由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，故焦点坐标为由双曲1362722=+y x y 927362=-=c ()3,0±线的定义可得,故，，故所求双()()()()4340153401522222=++---+-=a 2=a 5492=-=b 曲线的标准方程为．故答案为：．15422=-x y 15422=-x y 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．15．【答案】 （ 1，±2） ．【解析】解：设点P 坐标为（a 2，a ）依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2a 2+2=，求得a=±2∴点P 的坐标为（ 1，±2）故答案为：（ 1，±2）．【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题． 16．【答案】 cm 3 ．【解析】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P ﹣ABC ．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD ，高分别为AD 和BD 的棱锥形成的组合体，由几何体的俯视图可得：△PCD 的面积S=×4×4=8cm 2，由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm ，故几何体的体积V=×8×4=cm 3，故答案为：cm 3【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键． 三、解答题17．【答案】【解析】（1）∵，，0a =12b =-∴，，.（2分）1()1cos 2f x x x =-+-1()sin 2f x x '=-+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令，得.()0f x '=6x π=当时，，当时，，06x π<<()0f x '<62x ππ<<()0f x '>所以的单调增区间是，单调减区间是.（5分）()f x ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦若，则，又，由零点存在定理，，使112a -<<-π(102f a π'=π+<()(0)0f f θ''>=00,2θπ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，所以在上单调增，在上单调减.0()0f θ'=()f x 0(0,)θ0,2θπ⎛⎫⎪⎝⎭又，.(0)0f =2()124f a ππ=+故当时，，此时在上有两个零点；2142a -<≤-π2()1024f a ππ=+≤()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，，此时在上只有一个零点.241a -<<-ππ2(1024f a ππ=+>()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．【答案】【解析】（本题满分为12分）解：（1）由题意知：A=2，…∵T=6π，∴=6π得ω=，…∴f （x ）=2sin （x+φ），∵函数图象过（π，2），∴sin （+φ）=1，∵﹣＜φ+＜，∴φ+=，得φ=…∴A=2，ω=，φ=，∴f （x ）=2sin （x+）．…（2）∵将y=f （x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得函数y=2sin （x+）的图象，然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数g （x ）=2sin[（x ﹣）+]=2sin （﹣）的图象．故y=g （x ）的解析式为：g （x ）=2sin （﹣）．…【点评】本题主要考查了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin （ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A ，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键． 19．【答案】（1）；（2）点在定直线上.22143x y +=R 1x =-【解析】试题解析：（1）由，∴，∴，12e =2214e a =2234a b ==解得，所以椭圆的方程为.2,a b ==C 22143x y +=设点的坐标为，则由，得，R 00(,)x y MR RN λ=-⋅0120()x x x x λ-=--解得1121221212011224424()41()814x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅-+++===+-++++又，2212122226412322424()24343434k k x x x x k k k---++=⨯+⨯=+++，从而，212223224()883434k x x k k-++=+=++121201224()1()8x x x x x x x ++==-++故点在定直线上.R 1x =-考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin 2AsinB+sinBcos 2A=sinA ，即sinB （sin 2A+cos 2A ）=sinA∴sinB=sinA， =（Ⅱ）由余弦定理和C 2=b 2+a2，得cosB=由（Ⅰ）知b 2=2a 2，故c 2=（2+）a 2，可得cos 2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45°【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．21．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为.2.5【解析】试题分析：（1）在上任取两个数，则有，所以在[]2,512x x <1212123()()()0(1)(1)x x f x f x x x --=<++()f x []2,5上是增函数；（2）由（1）知，最小值为，最大值为.(2)2f =5(5)2f =试题解析：在上任取两个数，则有[]2,512x x <，12121233()()11x x f x f x x x -=-++12123()(1)(1)x x x x -=++0<所以在上是增函数．()f x []2,5所以当时，，2x =min ()(2)2f x f ==当时，.5x =max 5()(5)2f x f ==考点：函数的单调性证明．【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.先在定义域内任取两个数，然后作差，利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成12x x <12()()f x f x -几个因式的乘积，判断最后的结果是大于零韩式小于零，如果小于零，则函数为增函数，如果大于零，则函数为减函数.122．【答案】【解析】23．【答案】【解析】满分（14分）．解法一：（Ⅰ）当a=4时，f （x ）=4x 2+2x ﹣lnx ，x ∈（0，+∞），．…（1分）由x ∈（0，+∞），令f ′（x ）=0，得．当x 变化时，f ′（x ），f （x ）的变化如下表：xf ′（x ）﹣0+f （x ）↘极小值↗故函数f （x ）在单调递减，在单调递增，…（3分）f （x ）有极小值，无极大值．…（4分）（Ⅱ），令f ′（x ）=0，得2ax 2+2x ﹣1=0，设h （x ）=2ax 2+2x ﹣1．则f ′（x ）在（0，1）有唯一的零点x 0等价于h （x ）在（0，1）有唯一的零点x 0当a=0时，方程的解为，满足题意；…（5分）当a ＞0时，由函数h （x ）图象的对称轴，函数h （x ）在（0，1）上单调递增，且h （0）=﹣1，h （1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分）当a ＜0，△=0时，，此时方程的解为x=1，不符合题意；当a ＜0，△≠0时，由h （0）=﹣1，只需h （1）=2a+1＞0，得．…（7分）综上，．…（8分）（说明：△=0未讨论扣1分）（Ⅲ）设t=1﹣x ，则t ∈（0，1），p （t ）=g （1﹣t ）=at 2+2t ﹣3﹣lnt ，…（9分），由，故由（Ⅱ）可知，方程2at 2+2t ﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x 0，且当t ∈（0，x 0）时，p ′（t ）＜0，p （t ）单调递减；t ∈（x 0，1）时，p ′（t ）＞0，p （t ）单调递增．…（11分）又p （1）=a ﹣1＜0，所以p （x 0）＜0．…（12分）取t=e﹣3+2a∈（0，1），则p（e﹣3+2a）=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a（e﹣6+4a﹣2）+2e﹣3+2a＞0，从而当t∈（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0＜t1＜x0，即0＜1﹣x1＜x0，得x1∈（0，1），且x0+x1＞1，从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x1＞1．…（14分）解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分）（Ⅱ），令f′（x）=0，由2ax2+2x﹣1=0，得．…（5分）设，则m∈（1，+∞），，…（6分）问题转化为直线y=a与函数的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分）故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当．…（8分）（Ⅲ）同解法一．（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．。
重庆高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列说法正确的是（）A．B．C．D．2.若全集且则等于（）A．B．C．D．3.如图所示，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．4.已知是实数，条件；条件，则是的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．不充分也不必要条件5.下列各组函数中，表示同一函数的是（）⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，。
A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸6.已知在区间上是增函数，则实数的范围是（）A．B．C．D．7.函数的定义域为，的解集为，的解集为，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．8.定义在上的函数满足：的图像关于轴对称，并且对任意的，有.则当时,有（）A．B．C．D．9.唐僧取经途中发现某地村民有人说实话，有人说谎话，唐僧命猪八戒找来4个村民，“你们是说实话的人，还是说谎话的人？”这4个村民回答如下：第一个人说：“我们4个人都是说谎话的人．”第二个人说：“我们4个人中只有一个人是说谎话的人．”第三个人说：“我们4个人之中有两人是说谎的人．”第四个人说：“我是说实话的人．”唐僧听后说：“真难辨．”孙悟空一下就断定了哪个是说实话的人，你认为孙悟空断定的是哪个人呢？（）A．第一个人B．第二个人C．第三个人D．第四个人二、填空题1.集合，集合，则；2.若函数，则等于；3.若函数的定义域是,则实数的取值范围是。
4.已知集合，集合，映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则以为坐标的点组成的集合有子集个。
5.若是定义在上的减函数，且的图像经过点，则不等式的解集是；三、解答题1.用单调性的定义证明：函数在上是减函数。
2.已知全集，集合。
（1）求；（2）若，求实数的取值范围。
3.设集合若求实数的取值范围。
4.两城相距，在两地之间距城km处建一核电站给两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于。
2017年重庆一中高2018级高三上期十一月月考数学试题卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合、、是全集的子集，则图中阴影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】观察图形得：图中的阴影部分表示的集合为故选A．2. 设命题：，使得，则为（）A. ，B.C. D. ，【答案】B【解析】根据特称命题的否定为全称命题，所以命题：，使得，则为故选B3. 定义在上的奇函数满足，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据上的奇函数满足则=-2=2=1故选C4. 直线与圆的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定【答案】A【解析】圆的圆心为半径为3，直线恒过点A，而,所以点A 在圆的内部，所以直线与圆相交.故选A5. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（）A. B. C. D.【答案】A..................,且；因此选A．考点：充要关系6. 在等比数列中，和是方程的两个根，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】和是方程的两个根，根据韦达定理得，在等比数列中，，故选D7. 已知倾斜角为的直线与直线：垂直，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线：的斜率为，直线与直线：垂直，所以直线的斜率为3，即故选C8. 若，，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】=== 当且仅当时取等号；故选C9. 将函数（）的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，若、的图象都经过点，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将函数（）的图象向右平移（）个单位长度后得到函数若f（x），g（x）的图象都经过点P ，∴sin =，sin（-2+）=，，∴ =，sin（-2）=，∴ -2=2kπ+，k∈Z，此时=kπ，k∈Z，不满足条件：0＜＜π；或-2=2kπ+，，k∈Z，此时=-kπ-，，k∈Z，故=故选A10. 给定两个单位向量，，且，点在以为圆心的圆弧上运动，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】给定两个单位向量，，且则，建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos150°，sin150°），即设∠AOC=，则因为则，所以=因为，所以有最小值-1.故选B11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得PF2=F1F2=2c，再由椭圆的定义可得 PF1 =2a-PF2=2a-2c．设∠PF2F1 =，则，△PF1F2中，由余弦定理可得 cos=由-1＜cosθ可得 3e2+2e-1＞0，e＞，由cosθ＜，可得 2ac＜a2，e=，综上故选D点睛：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到cos，且-1＜cosθ＜，构建关于的不等关系是解题的关键．12. 已知函数，现有关于函数的下列四个结论：①的图象是中心对称图形；②的图象是轴对称图形；③关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为；④若关于的方程恰好有两个不等的实根，则实数的取值范围为，其中正确的结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】=表示动点与点的距离之和，而中点为，根据几何意义知函数关于对称，且在则，故①错②对；对任意恒成立，对任意恒成立，③对；注意到则或，方程只有两个根，则则④对；故选C点睛：本题考查了两点间距离公式，函数对称性，利用单调性处理不等式恒成立问题，及含绝对值不等式的解法，已知方程的根的个数求参数范围，是一道综合题，考查学生推理计算能力.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，若与共线，则__________．【答案】9【解析】向量，，若与共线，则所以故答案为914. 已知实数，满足条件则的最大值为__________．【答案】5【解析】本题主要考查运用线性规划知识来求最值问题．约束条件表示的平面区域为如图所示．作直线，平移直线到过点B时，目标函数取最大值5．另解：线性规划问题通常在边界点处取得最值，所以对对于选择填空题来说可以直接把边界点坐标代入来求．15. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】∵（2a-c）cosB=bcosC，∴由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，又sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=，因为，因为根据正弦定理有所以故答案为16. 在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，过点作的两条切线，切点分别为、，且满足，记的轨迹为，过点作的两条切线，切点分别为、，满足，记的轨迹为，按上述规律一直进行下去……，记（），且为数列的前项和，则满足的最小的是__________．【答案】10【解析】作图知，则故答案为10三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在平面直角坐标系中，点，直线：与直线：的交点为圆的圆心，设圆的半径为1．（1）过点作圆的切线，求切线的方程；（2）过点作斜率为的直线交圆于，两点，求弦的长．【答案】(1) 切线为或;(2)【解析】试题分析：（1）联立和，解得点，则切线的斜率必存在，设过点的圆的切线方程为，则，解出即可得方程（2）直线：，则圆心到直线的距离为，根据勾股定理可得弦长试题解析：（1）由题设知，联立和，解得点，则切线的斜率必存在，设过点的圆的切线方程为，则，解得，，故切线为或．（2）直线：，则圆心到直线的距离为，则弦长．18. 已知数列的前项和为，且满足：，，（）．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】(1) ;(2)【解析】试题分析：（1）由可得，；两式相减得，即，又，故．检验n=1时符合上式，所以数列为等差数列，可得通项公式（2）裂项相消求和得试题解析：（1）当时，两式相减得，即，又，故．在中令，可得，又，∴，则，综上知时，，，故．（2），则．19. 如图在锐角中，，角的平分线交于点，设，且．（1）求的值；（2）若，求的长．【答案】(1) (2) ．【解析】试题分析：（1）由α为三角形BAD中的角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin∠BAC与cos∠BAC的值，即为sin2α与cos2α的值，sinC变形为，利用诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出sinC的值；（2）利用正弦定理列出关系式，将sinC与sin∠BAC的值代入得出，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将表示出的AB代入求出BC的长，再利用正弦定理即可求出AC的长．试题解析：解：（1）∵，，∴，则，∴，∴．（2）由正弦定理，得，即，∴，又，∴，由上两式解得，又由得，∴．20. 已知椭圆的短轴端点和焦点组成的四边形为正方形，且椭圆过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形的顶点都在椭圆上，且对角线、过原点，若，求证：四边形的面积为定值．【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由题意，，又，解得即得椭圆标准方程（2）设直线的方程为，设，，联立得，写出韦达定理，因为，∴，∴，，∴，解得则=，结合即得解.试题解析：（1）由题意，，又，解得，，所以椭圆的标准方程为．（2）设直线的方程为，设，，联立得，，，，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，设原点到直线的距离为，则，∴，即四边形的面积为定值．21. 已知函数，（其中，），且函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合．（1）求实数，的值；（2）记函数，是否存在最小的正常数，使得当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．【答案】(1) ， ;(2) 题目所要求的最小的正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立．【解析】试题分析：（1）∵，则在点处切线方程为．又，则在点处切线方程为．两直线重合所以得解（2）根据（1）知，则，，即，即，构造函数，则问题就是求恒成立，进行求导研究单调性得在上是增函数，在上是减函数，而，，，则函数在区间和上各有一个零点，设为和（），从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，，当时，；当时，．还有是函数的极大值，也是最大值．题目要找的，理由如下;试题解析：（1）∵，则在点处切线方程为．又，则在点处切线方程为．由解得，．（2）根据（1）知，则，，即，即，构造函数，则问题就是求恒成立，，令，则，显然是减函数，又，所以在上是增函数，在上是减函数，而，，，则函数在区间和上各有一个零点，设为和（），并且有在区间和上，，即；在区间上，，即．从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，，当时，；当时，．还有是函数的极大值，也是最大值．题目要找的，理由：当时，对于任意非零正数，，而在上单调递减，所以一定恒成立，即题目要求的不等式恒成立；当时，取，显然，题目要求的不等式不恒成立，说明不能比小；综上可知，题目所要求的最小的正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立．点睛：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想和构造函数法，以及函数零点存在定理，考查化简整理的运算能力.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的方程为，以为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标系下的标准方程；（2）若直线与圆交于，两点，求的值．【答案】(1) ;(2)【解析】试题分析：（1）利用公式进行极坐标方程与普通方程转化（2）直线的方程可化为，则其极坐标方程（）．设，，将（）代入，得，故，所以即得解.试题解析：（1），即，即，即，则曲线在直角坐标系下的标准方程为．（2）直线的方程可化为，则其极坐标方程（）．设，，将（）代入，得，故，所以．23. 选修4-5：不等式选讲已知.（1）求的定义域；（2）令，若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由题知，零点分段法解含绝对值的不等式得出范围即可得的定义域（2）（），若关于的不等式的解集不是空集，则，根据单调性求最小值即得的范围试题解析：（1）由题知，当时，得，即得；当时，得，即；当时，得，得，无解．综上，，所以的定义域为．（2）（），则函数在上单调递减，故，由条件知，即．点睛：本题考查了具体函数的定义域，考查解绝对值不等式以及不等式有解问题，研究单调性求最值即可.。
重庆市高一上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） (共12题；共60分)1. （5分）下列各角中与角终边相同的角为（）A .B .C .D .2. （5分） (2019高三上·鹤岗月考) 点是角终边上一点，则的值为（）A .B .C .D .3. （5分） (2018高一上·华安期末) 下列命题正确的是（）A . 与 ,与共线，则与也共线B . 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C . 向量与不共线，则与都是非零向量D . 有相同起点的两个非零向量不平行4. （5分）函数的定义域是（）.A .B .C .D .5. （5分） (2018高一下·濮阳期末) 若向量，不共线，，，，则下列关系式中正确的是（）A .B .C .D .6. （5分）已知，，则等于（）A .B .C .D .7. （5分） (2018高一下·汕头期末) 已知函数，则（）A . 的最正周期为，最大值为．B . 的最正周期为，最大值为．C . 的最正周期为，最大值为．D . 的最正周期为，最大值为．8. （5分）函数的图像与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像只需将的图像（）A . 向右平移B . 向右平移C . 向左平移D . 向左平移9. （5分）已知某简谐运动的图象经过点（0，2），且对应函数的解析式为f（x）=4sin（x+φ）（|φ|＜），则该简谐运动的初相φ的值为（）A . φ=B . φ=C . φ=D . φ=10. （5分） (2016高一下·包头期中) 若函数是偶函数，则φ=（）A .B .C .D .11. （5分） (2016高二上·湖北期中) 已知函数f（x）=sinxcos2x，下列结论正确的是（）A . y=f（x）的图象关于对称B . y=f（x）的图象关于对称C . y=f（x）的图象关于y轴对称D . y=f（x）不是周期函数12. （5分）设函数f（x）=cos（ωx+φ）关于x=对称，若函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣2，则g（）的值为（）A . 1B . ﹣5或3C . -2D .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） (共4题；共20分)13. （5分） (2019高一上·公主岭月考) 已知扇形的周长是6，中心角是1弧度，则该扇形的面积为________.14. （5分）已知| |＝|a|＝3，| |＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.15. （5分） (2019高一下·嘉定月考) 化简： =________.16. （5分） (2016高三上·海淀期中) 去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin （ x+ ）（a，b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为________℃．三、解答题（本大题共6小题，共70分） (共6题；共70分)17. （10分） (2019高一上·昌吉期中) 已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值18. （12分） (2019高一上·汤原月考)（1）已知，为第四象限角，求的值；（2）已知，求：的值.19. （12分）(2017·运城模拟) 如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？20. （12分）如图，点P（0，）是函数y=Asin（x+φ）（其中A＞0，φ∈[0，2π））的图象与sinθ=轴的交点，点Q是它与y轴的一个交点，点R是它的一个最低点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）若PQ⊥PR，求A的值．21. （12分） (2019高一上·宾县月考) 已知函数 .（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2）指出的周期、振幅、初相、对称轴、对称中心.22. （12分） (2015高一下·枣阳开学考) 已知f（x）=2sin4x+2cos4x+cos22x﹣3．（1）求函数f（x）的最小正周期．（2）求函数f（x）在闭区间[ ]上的最小值并求当f（x）取最小值时，x的取值集合．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） (共12题；共60分) 1-1、2、答案：略3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） (共4题；共20分) 13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题（本大题共6小题，共70分） (共6题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
重庆市2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题（命题人：）（答案在最后）考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U =R ，3{|ln}3x M x y x -==+，}2{|2,1xx y y N =≤≤=，如图阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x ≤< B.{}34x x <≤C.{|2x x ≤或3}x > D.{}33x x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】由题意知，阴影部分表示的为M N ⋂，算出集合,M N 表示的范围，根据集合的交集的运算，即可得到本题答案.【详解】全集U =R ，集合M 中函数满足303x x ->+，解得3x <-或3x >，M ={|3x x <-或3}x >，集合N 中指数函数2x y =在上单调递增，则24222=x ≤≤，}|24{y N y =≤≤，由图可得阴影部分所表示的集合为{|34}M N x x ⋂=<≤，故选：B.2.若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A.1.2 B.1.3C.1.4D.1.5【答案】C【解析】【分析】由参考数据可得(1.4375)(1.375)0f f <，区间(1.375,1.4375)满足题干要求精确到0.1，结合选项可得答案.【详解】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.3.“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案.【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.4.函数21π()sin 212x xf x x -⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先得到函数的奇偶性，再计算出当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，判断出答案.【详解】化简函数()f x 解析式可得21()cos 21x x f x x -=⋅+，定义域为R ，112121212()()cos cos()cos cos 121212112xxxx x x x x f x f x x x x x------+-=⋅+-=⋅+⋅++++ 01212cos 11cos 22x x x x x x -=⋅+⋅+=+-，()f x ∴为奇函数，AC 错误；又因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，21()cos 021x x f x x -=⋅>+，B 错误，D 正确.故选：D.5.已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.9 B.69-C.9D.9【答案】A 【解析】【分析】先根据已知条件及同角三角函数基本关系求出π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭；再利用已知角π4α+和π42β-来配凑2βα+；最后利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πππ,442α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πππ,4242β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+=⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1cos 43α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πcos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.ππsin sin 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 442442ββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13333=⨯-⨯9=.故选：A.6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A.3hB.4hC.5hD.7h【答案】C 【解析】【分析】先根据题意表示出经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量；再列出不等式求解即可.【详解】经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：30.8mg /ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.只需30.80.24t⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即3144t⎛⎫< ⎪⎝⎭，341log 43344t ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为函数34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以341lg 42lg 20.602log 4.8164lg 4lg 32lg 2lg 30.6020.477t >==≈=---，故他至少要经过5个小时后才能驾车.故选：C.7.定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为A.9B.8C.7D.6【答案】B 【解析】【分析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x =的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.【详解】当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos(sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，()()12002f f ∴==，()()14202f f ==，若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-，即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=，由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=，作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图：由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =，故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用.判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b < ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意120x x <<，均有()()2112120x f x x f x x x ->-且(3)3f =，则不等式()0f x x ->的解集为（）A.(3,0)(3,)-⋃+∞B.()3,3-C.(,3)(3,)-∞-⋃+∞D.(3,0)(0,3)-⋃【答案】A 【解析】【分析】先变形得到()()1212f x f x x x <，令()()f x g x x =，得到()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增，结合(3)(3)13f g ==，得到3x >，再结合函数的奇偶性和单调性得到30x -<<，从而求出答案.【详解】因为120x x <<，所以()()21120x f x x f x -<，所以()()1212f x f x x x <.设函数()()f x g x x =，则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上单调递增，且(3)(3)13f g ==.当0x >时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x>，即()(3)g x g >，解得3x >，又因为()f x 是定义在上的奇函数，所以(0)0f =，所以，当0x =时，不等式()0f x x ->无解.因为()f x 是定义在上的奇函数，所以−=−，()()f x g x x=的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，又()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()()f x g x x=为偶函数，且在(,0)-∞单调递减，当0x <时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x<，因为(3)(3)13f g --==-，故()(3)g x g <-，解得30x -<<，综上，不等式()0f x x ->的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若1a b <<，则11b a< B.若22ac bc >，则a b>C.若0a b >>，0c >，则b b c a a c+<+ D.若c a b >>，a b c a c b<--【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项，可利用不等式性质进行判断；CD 选项，利用作差法比较出大小.【详解】A 选项，若1a b <<，则0ab >，不等式两边同除以ab 得11b a<，A 正确；B 选项，若22ac bc >，则0c ≠，故20c >，不等式两边同除以2c 得a b >，B 正确；C 选项，()()()b a cb bc ab bc ab ac a a c a a c a a c -++---==+++，因为0a b >>，0c >，所以0,0b a a c -<+>，故()()0b a c b b c a a c a a c -+-=<++，所以b b ca a c+<+，C 正确；D 选项，()()()a b c a b c a c b c a c b --=----，因为c a b >>，所以0c a ->，0c b ->，0a b ->，但c 的正负不确定，故无法判断()()()c a b c a c b ---的正负，从而无法判断a c a -与bc b-的大小关系，D 错误.故选：ABC.10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于直线π6x =对称B.函数()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.1(0)2f =-D.函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由三角函数的周期性与奇偶性，结合三角函数图象平移法则求得,ωϕ，再利用代入检验法与整体代入法逐一分析各选项即可得解.【详解】因为函数()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期为2ππω=，则2ω=，故()sin(2)f x x ϕ=+，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，因为得到的图象对应的函数2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以2πππ(Z)32k k ϕ+=+∈，即ππ(Z)6k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，当π6x =时，则πππ1sin 6362f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，令πππ2π22π262k x k -+<-<+，Z k ∈，得ππππ(Z)63k x k k -+<<+∈，当1k =时，()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，π1(0)sin 62f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，πππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD.11.设函数()()12,1log 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则()1243412x x x x ++++的值可以是（）A.4B.5C.163D.6【答案】AB 【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，结合交点关系得到()12344444222111x x x x x x +++=++++-，构造函数42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，根据函数单调性得到取值范围，求出答案.【详解】函数()f x的图象如图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知，当01t <≤时，直线y t =与函数()f x 的图象有四个交点，交点的横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，1x >时，令12()log (1)1f x x =-=，解得32x =或3x =.由图可知，120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，由()()34f x f x =，可得34111x x -=-，则有34111x x =+-，所以()1233444444422221111x x x x x x x x +++=+=+++++-.令42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，易知()g x 在(2,3]上为减函数，且16(2)3g =，(3)4g =，故()12344164213x x x x ≤+++<+，且1644,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1654,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，AB 正确；又1616164,,64,333⎡⎫⎡⎫∉∉⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，CD 错误.故选：AB.【点睛】将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数为1()f x -，且11()()4f a f b --+=-，则11a b +的最小值为__________.【答案】12【解析】【分析】先利用指、对数式的互化得到函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数，再利用对数的运算性质化简11()()4f a f b --+=-，最后由基本不等式求得最值即可．【详解】因为x y a =和log a y x =（0a >，1a ≠）互为反函数，若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112()log f x x -=，又因为11()()4f a f b --+=-，所以111222log log log ()4a b ab +==-，所以16ab =，且0a >，0b >，又11116162a b a b a b ab +++==≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为12.故答案为：12.13.如果函数()f x 的图象可以通过()g x 的图象平移得到，则称函数()f x 为函数()g x 的“同形函数”，下面几对函数是“同形函数”的是__________.（填上正确选项的序号即可）①()sin f x x =，()cos g x x =；②()2sin cos f x x x =，()cos 2g x x =；③44()sin cos f x x x =-，()cos 2g x x =；④()sin 2tan f x x x =⋅，()cos 2g x x =.【答案】①②③【解析】【分析】①②③，结合三角恒等变换及平移变换法则求出答案；④由两函数定义域不同，故④错误.【详解】①()cos g x x =的图象向右平移π2个单位得到()sin f x x =的图象，①正确；②π()2sin cos sin 2cos 22f x x x x x ⎛⎫===-⎪⎝⎭，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向右平移π4个单位得到，故②正确；③()()44222222()sin cos sin cos sincos sin cos f x x x x xx x x x =-=-+=-cos 2cos(2π)x x =-=+，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向左平移π2个单位得到，故③正确；④2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin 1cos 2cos(2)1co πs xf x x x x x x x x x=⋅=⋅==-=++，因为()sin 2tan f x x x =⋅的定义域不是，而()cos 2g x x =的定义域是，所以不可能由()cos 2g x x =的图象平移得到()sin 2tan 2f x x x =⋅的图象，故④错误.故答案为：①②③14.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0,1]x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R ，有(2)()f x f x +=-，2024(),0()log (),0f x xg x x x ≥⎧=⎨--<⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为__________.【答案】2027【解析】【分析】由于题意可得函数()f x 以4为周期，分0x >，0x <，0x =三种情况讨论，把问题转化函数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解．【详解】对任意∈有(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 以4为周期，由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则()(2)f x f x =-，又(2)()f x f x +=-，所以(2)(2)0f x f x ++-=，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称.当0x >时，0x -<，由()()0g x g x --=得()()g x g x =-，则2024()log f x x =-，作出()y f x =与2024log y x =-的大致图象如图，令2024log 1x -=-，则2024x =，而20244506=⨯，由图可知，在第一个周期内有三个交点，后面每个周期内有两个交点，所以()y f x =与2024log y x =-的图象在(0,)+∞上有350521013+⨯=个交点；当0x <时，0x ->，由()()g x g x =-得：2024log ()()x f x --=-，令x t -=，0t >，得2024()log f t t =-，由上述可知，()y f t =与2024log y t =-的图象在(0,)+∞上有1013个交点，故()y f x =-与2024log ()y x =--的图象在(,0)-∞上有1013个交点，又0x =时，()()0g x g x --=成立，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为2101312027⨯+=.故答案为：2027.【点睛】思路点睛：由题分析可得函数()f x 以4为周期，图象关于(2,0)中心对称，把问题转化函数图象交点个数问题，数形结合可得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合{}11ee x A x -=≤≤，若关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A .（1）求函数()2f x x mx n =++的解析式；（2）求关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+的解集，其中λ∈R .【答案】（1）详见解析；（2）{|x x λ<-或}3x λ>-.【解析】【分析】（1）先化简集合A ，再根据关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，利用根与系数的关系求解；（2）由（1）化简不等式为()()30x x λλ++->求解.【小问1详解】解：集合{}11ee x A x -=≤≤{}|12x x =≤≤，因为关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，所以3,2m n =-=，则()232f x x x =-+；【小问2详解】由（1）知：关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+即为：()2232322x x x λλ-++>-+，即为()222330x x λλλ+-+->，即为()()30x x λλ++->，解得：3x λ>-或x λ<-，所以不等式的解集为：{|x x λ<-或}3x λ>-.16.若函数()y f x =对任意实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”()f x 满足(1)1f -=-，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈.（1）判断“保积函数”()f x 的奇偶性；（2）若“保积函数”()f x 在区间(0,)+∞上总有()0f x >成立，试证明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（3）在（2）成立的条件下，若(2)2f =，求()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集.【答案】（1）()f x 为奇函数（2）证明见解析（3）π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）赋值，结合(1)1f -=-，进而得到()f x 为奇函数；（2）()f x 在(0,)+∞上单调递增，利用定义法得到函数的单调性；（3）赋值法得到1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，结合函数单调性得到211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，数形结合，结合定义域，得到不等式，求出解集.【小问1详解】()f x 为奇函数，理由如下：根据题意，令1y =-，得()()(1)f x f x f -=-，因为(1)1f -=-，所以()()f x f x -=-，故结合定义域可知，()f x 为奇函数.【小问2详解】证明：任取1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x >，则2101x x <<，因此()()()()()2212111111x x f x f x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2101x x <<，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈，所以2110x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，因为(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，所以()10f x >，所以()()()2121110x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，又因为120x x >>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；【小问3详解】(1)1f -=-Q ，又()f x 为奇函数，(1)(1)1f f ∴=--=，()()()f xy f x f y = ，112(2)22f f f⎛⎫⎛⎫∴⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)2f = ，1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故原不等式等价于()211log sin 2f x f ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，[0,2π]x ∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增且(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，又()f x 为奇函数，()f x ∴在上单调递增，故211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，则221log sin log 22x ≤-=，[0,2π]x ∈，∴sin 0sin 2x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得π04x <≤或3ππ4x ≤<，综上，()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集为π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.17.已知函数())f x x =ω+ϕ（0ω>，ππ22ϕ-≤≤）的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和ϕ的值；（2）当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()y f x =的最大值和最小值；（3）设()()(0)g x f cx c =>，若()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标不属于区间(π,2π)，求c 的取值范围.【答案】（1）2ω=，π6ϕ=-（22-（3）1150,,6312⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据最小正周期求出ω，再根据对称轴求出ϕ；（2）由（1）可得()f x 解析式，再由x 的取值范围求出π26x -的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；（3）首先得到()g x 的解析式，由12ππ22c⨯≥求出c 的大致范围，再求出()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)时c 的取值范围，即可得解.【小问1详解】因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，所以2π2Tω==，又因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以232ππkπϕ⨯+=+，k ∈Z ，所以ππ6k ϕ=-，k ∈Z ，又ππ22ϕ-≤≤，所以π6ϕ=-，综上可得2ω=，π6ϕ=-.【小问2详解】由（1）知π()26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ5π2666x -≤-≤，所以当ππ262x -=（即π3x =）时，max ()f x =当ππ266x -=-（即0x =）时，min 3()2f x =-，所以函数()y f x =在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 2-.【小问3详解】由题意π()()26g x f cx cx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()0c >，()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(π,2π)，12ππ22c ∴⨯≥且0c >，解得102c <≤，令ππ2π62cx k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x c c=+，k ∈Z ，若()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)，则πππ2π23k c c <+<，解得114623k k c +<<+，当1k =-时，112c -<且16c <-（矛盾），故解集为空集；当0k =时，1163c <<；当1k =时，55126c <<，故c 的取值范围为1150,,6312⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.18.已知函数2()43f x x x =-+，()(4)3g x a x =+-，a ∈R .（1）若[1,0]x ∃∈-，使得方程()20m f x -=有解，求实数m 的取值范围；（2）若对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（3）设()()()h x f x g x =+，记()M a 为函数()h x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值.【答案】（1）[]2log 3,3（2）{15a a ≤-或9}5a ≥-（3）3-【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性，结合存在性的定义、对数的单调性进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合函数的对称性分类讨论进行求解即可；（3）根据函数的对称性、单调性分类讨论进行求解即可.【小问1详解】[1,0]x ∃∈-，2()20243m m f x x x -=⇔=-+，因为函数2()43f x x x =-+的图象的对称轴是直线2x =，所以()y f x =在[1,0]-上为减函数，max ()(1)8f x f =-=，min ()(0)3f x f ==，故2[3,8]m ∈，所以m 的取值范围为[]2log 3,3.【小问2详解】对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，∴即在区间[1,5]-上，()()12max max f x g x ≤，函数2()43f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =，又[1,5]x ∈-，∴当5x =时，函数()f x 有最大值为2(5)54538f =-⨯+=，①当4a =-时，()3g x =-，不符合题意，舍去；②当4a >-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[7,517]a a --+，5178a ∴+≥，得95a ≥-；③当4a <-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[517,7]a a +--，78a ∴--≥，得15a ≤-，综上，a 的取值范围为{15a a ≤-或9}5a ≥-；【小问3详解】函数2()h x x ax =+图象的对称轴为2a x =-，①当2a ≤-或0a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，则()(1)|1|M a f a ==+；②当20a -<<时，2()max ,(1)max ,124a a M a ff a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=-=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，解不等式组22014a a a -<<⎧⎪⎨>+⎪⎩，得(221a -<<-，故当20a -<<，()((2,22141,210a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-≤<⎩，综上，()((2,22141,221a a M a a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或，()M a ∴在((),21∞--上单调递减，在()21,∞⎡+⎣上单调递增，(21a ∴=-时，()M a取最小值为(2113+=-.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的对称轴与所给区间的相位位置进行分类讨论.19.已知()()()sin22sin cos 8f m θθθθ=---+．（1）当1m =时，求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()fθ的最小值为7-，求实数m 的值；（3）对任意的π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，不等式()816sin cos m f θθθ->-恒成立．求m 的取值范围．【答案】（1）172+（2）5m =或1m =-（3）722,6⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数，再代入求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）首先设sin cos t θθ=-，利用三角恒等变换，将函数表示成关于t 的二次函数，讨论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解m ；（3）根据（2）的结果，不等式参变分离为128m t t t->+-，在(t ∈恒成立，转化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解m 的取值范围.【小问1详解】()()())πsin22sin cos 8sin22sin 84f m m θθθθθθ⎛⎫=---+=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，ππππ1ππsin 881261242124f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1178262π+=+=；【小问2详解】设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，22sin cos 1=-+t θθ，()()()229,f Q t t m t t θ⎡==---+∈⎣，其对称轴为12m t =-+，当102m-+≥，即2m ≥时，()f θ的最小值为(77Q =+=-，则5m =；当102m-+<，即2m <时，()f θ的最小值为77Q =-=-1m =-；综上，5m =或1m =-；【小问3详解】由()816sin cos m f θθθ->-，对所有π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立．设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则(t ∈，()281629m t m t t-∴>---+，(t ∈恒成立，280t -> ，128m t t t∴-+->，在(t ∈恒成立，当(t ∈时，8t t -递减，则18t t t+-在(递增，t ∴=时18t t t +-取得最大值726得2m ->2∴>m 所以存在符合条件的实数m ，且m的取值范围为2,6∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题的关键利用公式()22sin cos 1sin cos θθθθ=--，从而利用换元法转化为关于t 的函数问题.。
2023-2024学年重庆市十八中高一数学上学期第一次月考卷全卷满分150分，考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}N 13A x x =∈-<<，{}22B x x =-≤<，则A B = （）A ．{}12x x -<<B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．命题“20000,560x x x ∃>-+>”的否定是（）A ．20,560x x x ∀≤-+≤B ．20,560x x x ∀>-+≤C ．2000R,560x x x ∃≤-+≤D ．20000,560x x x ∃>-+≤3．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程27120x x -+=的一根，则此三角形的周长是（）A ．12B ．13C ．14D ．12或144．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数且0a ≠）的图象如图所示，则一次函数y ax b =+与反比例函数cy x =的图象可能是（）A．B ．C ．D．5．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m ，n 满足1m n -≤，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A ．14B ．38C ．12D ．586．若{|1,Z}6k A x x k ==+∈，1{|,Z}32k B x x k ==+∈，21{|,Z}32k C x x k ==+∈，则这三个集合间的关系是（）A ．ABC ⊆⊆B ．A C B ⊆⊆C ．C B A ⊆⊆D ．C A B⊆⊆7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ''' ，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM .若2BC =，30BAC ∠=︒，则线段PM 的最大值是（）A ．4B ．3C ．2D ．18．记{}max ,a b 为a ，b 两数的最大值，当正数x ，()y x y >变化时，24max ,()t x y x y ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭的最小值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．如图中阴影部分所表示的集合是（）A ．()U N M ⋂ðB ．()U M N ⋂ðC ．()()UM N N⋃⋂ðD ．()()UM N N⋂⋂ð10．如图，在直角坐标系中，直线122y x =-.与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线2(0)ky x x =>交于点C ，过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D ，且OA AD =，则以下结论中正确结论的有（）A ．ADB ADCS S =△△B ．当03x <<时，12y y <C ．如图，当3x =时，83EF =D ．当0x >时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小11．已知正实数x ，y 满足1x y +=，则（）A ．40x y xy +-≥B ．221x y +≥C ．111112x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．14912x y +≥+12．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z.给出如下结论，其中正确的结论是（）A ．如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈B ．如果1a M ∈，2a M∈，那么12a a M+∈C ．如果{}21,B b b n n ==+∈N .那么B M⊆D ．若{}2,C c c n n ==∈N .对于c C ∀∈，则有c M∈三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设a ，b ∈R ，若集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则2a b -=.14．如图，直径8AB =的半圆，绕B 点顺时针旋转30︒，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是.15．已知两个命题p ：0xy ≥，q ：x y x y+=+，则p 是q 的条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要）.16．对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m ，若千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和，则称m 为“一致数”.设一个“一致数”m abcd =满足8a ≤且1d =.将m 的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数m '.并记()101m m F m '+=；一个两位数102N a b =+，将N 的各个数位数字之和记为()G N ；当()()243F mG N a k --=+（k 为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m 中，满足()G N 为偶数时，k 的值为，m 的值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知集合{}123,0A x a x a a =-<+，{}24B x x =-<<.(1)当2a =时，求A B ⋃；(2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.18．2023年以来，某区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，市民以行动换积分，以积分转习惯.区政府为了了解4月份甲、乙两个社区居民垃圾换积分的情况，分别从甲、乙两个社区各抽取10人，记录下他们的积分（单位：分），并进行整理和分析（积分用x 表示，共分为4组：:70A x <；:7080B x ≤<，:8090C x ≤<，:90100D x ≤≤），下面给出了部分信息：甲社区10人的积分：47，56，68，71，83，83，85，90，91，94；乙社区10人的积分在C 组中的积分分数为：81，83，84，84；两组数据的平均数，中位数，众数如下表所示：社区平均数中位数众数甲76.883b 乙76.8a84乙社区积分等级扇形图根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：=a ______，b =______，m =______；(2)根据以上数据，你认为哪个社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，请说明理由（一条即可）；(3)若4月份甲社区有700人参与活动，乙社区有800人参与活动，请估计4月份甲、乙两个社区积分在80分以上（包括80分）的一共有多少人？19．已知集合{}22A x x =-≤≤，集合50x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭.(1)设a 为实数，若集合{}321C x a x a =≤≤+，且()C A B ⊆ ，求a 的取值范围；(2)设m 为实数，集合12D x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭，若“()x A B ∈U ”是“x D ∈”的必要不充分条件，判断满足条件的m 是否存在，若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.20．如图，一沙尘暴中心在A 地南偏西60︒的方向的B 处，正迅速向正东方向移动，经过一段时间，沙尘暴中心位于A 地西南方向的C 处，且120BC =千米.(1)求A ，C 之间的距离（保留准确值）；(2)距沙尘暴中心200千米的范围为受沙尘暴影响的区域，沙尘暴中心由点C 处开始将沿南偏东75︒的CP方向移动，请说明A 地是否会受到这次沙尘暴的影响？ 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈）.21．（1）已知11a b -≤+≤，11a b -≤-≤，求23a b +的取值范围；（2）若实数a ，b ，c 满足2226a b c ++=.试判断221112a b +++与21123c -+的大小并说明理由.22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()250y ax bx a =++≠与x 轴交于点()1,0A -，()5,0B ，与y轴交于点C.点D 是抛物线对称轴上的一点，纵坐标为-5，P 是线段BC 上方抛物线上的一个动点，连接BP ，DP .(1)求抛物线的解析式；(2)当BDP △的面积取最大值时，求点P 的坐标和BDP △的面积的最大值；(3)将抛物线()250y ax bx a =++≠沿着射线BD 平移，使得新抛物线经过点D.新抛物线与x 轴交于E ，F 两点（点E 在点F 左侧），与y 轴交于点G ，点M 是新抛物线上的一动点，点N 是坐标平面上一点，当以点E ，G ，M ，N 为顶点的四边形是矩形时，写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出求解点M 的坐标的其中一种情况的过程.1．B【分析】先求集合A ，再根据交集运算求解.【详解】由题意可得：{}0,1,2A =，所以{}0,1A B = .故选：B.2．B【分析】特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可写出原命题的否定.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为20,560x x x ∀>-+≤.故选：B 3．C【分析】解方程并结合三角形的性质可得腰长为4，进而可得结果.【详解】因为27120x x -+=，解得3x =或4x =，且336+=，不合题意；4486+=>，符合题意，可知：腰长为4，所以此三角形的周长是44614++=.故选：C.4．A【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴的位置、在纵轴的交点坐标的正负判断,,a b c 的正负性，再结合反比例函数、一次函数的图象特征逐一判断即可.【详解】由二次函数的图象可知：开口向上，因此0a >；对称轴为002bx b a =->⇒<，当0x =时，0y c =<；因为0c <，所以反比例函数cy x =的图象在二、四象限，排除BC ；因为0a >，0b <，所以一次函数y ax b =+的图象经过第一、三、四象限，故排除D ，故选：A 5．D【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.【详解】根据题意，m ，n 的情况如下：()()()()()()()()6,6,6,7,6,8,6,9,7,6,7,7,7,8,7,9,()()()()()()()()8,6,8,7,8,8,8,9,9,6,9,7,9,8,9,9,共16种情况，其中m ，n 满足1m n -≤的情况如下：()()()()()()()()()()6,6,6,7,7,6,7,7,7,8,8,7,8,8,8,9,9,8,9,9,共10种情况，所以两人“心领神会”的概率是105168=，故选：D 6．C【分析】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答.【详解】依题意，6(3)3{|,Z}{|,Z}66k k A x x k x x k +++==∈==∈，23{|,Z}6k B x x k +==∈，43223{|,Z}{|,Z}66k k C x x k x x k +⨯+==∈==∈，而{|3,Z}Z x x k k =+∈=，{偶数}{|2,Z}x x k k ==∈，因此集合C 中的任意元素都是集合B 中的元素，即有C B ⊆，集合B 中的每一个元素都是集合A 中的元素，即B A ⊆，所以C B A ⊆⊆.故选：C 7．B【分析】根据旋转变换的性质，结合三角形三边关系进行求解即可.【详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2BC =，30BAC ∠=︒，所以4AB =，因为M 是BC 的中点，所以112CM BC ==，因为ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ''' ，所以4A B ''=，90A CB ''∠=︒，因为P 是A B ''的中点，所以122PC A B ''==，由三角形三边关系，得CP CM PM +>，当旋转到,,P C M 在一条直线上，且C 位于,P M 之间时，PM 有最大值，最大值为213+=，故选：B8．A【分析】根据题中定义，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由24max ,()t x y x y ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭可得：2t x ≥，4()t y x y ≥-，所以有242()t x y x y ≥+-，因为x ，y 是正数，且x y >，所以224416()2y x y x y x y ≥=-+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当y x y =-时取等号，即当2x y =时取等号，于是有222416284()t x x t y x y x ≥+≥+≥=⇒≥-，当且仅当2216x x =时取等号，即当2,1x y ==时取等号，所以t 的最小值为4，故选：A【点睛】关键点睛：本题的关键是理解{}max ,a b 的含义，由24max ,()t x y x y ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭得到2t x ≥，4()t y x y ≥-.9．AD【分析】根据Venn 图，结合集合运算的概念即可得出答案.【详解】A 选项：U M =+①②ð，则U N M = ②ð，故A 正确；B 选项：U N =+④①ð，则U M N = ④ð，故B 错误；C 选项：()①= U M N ð，则()()UM N N ⋃⋂=∅ð，故C 错误；D 选项：()②+④①=+ U M N ð，()UM N N ⎡⎤⋂⋂=⎣⎦②ð，故D 正确.故选：AD.10．AC【分析】A 项，通过证明OBA CDA ≅ 即可得出结论；B 项，利用函数图象的交点即可得出结论；C 项，计算出3x =时12,y y的值，即可求出EF 的长；D 项，根据函数图象即可得出两函数增减性.【详解】由题意，A 选项，对于直线122y x =-,令0x =,得到2y =；令0y =,得到1x =，∴(1,0),(0,2)A B -,即1,2OA OB ==,在OBA △和CDA 中,90,,AOB ADC OAB DAC OA AD︒∠=∠=∠=∠=∴()OBA CDA AAS ≅ ∴()2,1,2,2CD OB OA AD C ====，∴ADB ADCS S =△△(同底等高三角形面积相等），A 正确；B 项，把点C 坐标代入反比例解析式得：4k =,即24y x =,由函数图象得:当02x <<时,12y y <，B 错误；C 项，当3x =时,1244,3y y ==,∴43348EF ==-，C 正确；D 项，当0x >时,1y随x 的增大而增大,2y 随x 的增大，D 错误；故选：AC.11．AD2x y +≤，即14≤xy ，所以选项A 正确；而222()122x y x y ++≥=可判断B 错误；将1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开并结合14≤xy 可知C 错误；观察D 项分母可知12x y ++=，利用基本不等式“1”的妙用求最值，即可知D 正确.【详解】对于A2x y+≤，即14≤xy ，所以41xy x y ≤=+，即40x y xy +-≥；当且仅当12x y ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，根据不等式222()122x y x y ++≥=，当且仅当12x y ==时，等号成立；所以B 错误；对于C ，1111112111119x y x y x y xy xy xy xy ⎛⎫+⎛⎫++=+++=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时，等号成立；故C 错误；对于D ，根据1x y +=，观察分母可知12x y ++=为定值，则1411411419(1)145121212y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当21,33x y ==时，等号成立；故D 正确.故选：AD.12．AC【分析】对于A ：设2222111222,a x y a x y =-=-，则()()221212121221x x y y x y x a a y =+-+，进而分析判断；对于B ：先说明2M ∉，再取特值121a a ==，分析判断；对于C ：令1x n =+，,y n n =∈Z ，可知对任意b B ∈，均有b M ∈，所以B M ⊆，故C 正确；对于D ：取特值121a a ==，分析判断.【详解】对于选项A ：因为1a M ∈，2a M∈，设22221112221212,,,,,a x y a x y x x y y =-=-∈Z ，则()()()()()()222222221222222112212121221121212221x y x y x x y y x y x y x x y x y y a y x a =--=+-+=+-+，因为1212,,,x x y y ∈Z ，则12121221,x x y y x y x y +∈+∈Z Z，所以12a a M ∈，故A 正确；对于选项B ：因为2222a x y x y=-=-，不妨设,,x y x y ≥∈Z，若x y=，则22a x y =-=；若1x y =+，则()2222121a x y y y y =-=+-=+为奇数；若2x y ≥+，则()()22222414a x y y y y =-≥+-=+≥；综上可知：2M ∉.显然22101M -=∈，令121a a ==，则122a a M +=∉，故B 错误；对于选项C ：令1x n =+，,y n n =∈Z ，则()2222121b x y n n n M =-=+-=+∈，即对任意b B ∈，均有b M ∈，所以B M ⊆，故C 正确；对于选项D ：由选项B 可知：2,2C M ∈∉，故D 错误.故选：AC.13．0【分析】利用集合相等以及0a ≠，可得0a b +=，即1ba =-，代入原式可得,ab 的值，进而求出答案．【详解】由题意可知：0a ≠，因为{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则0a b +=，可得1b a =-，则{}{1,0,}0,1,a b =-，可得11a b =-⎧⎨=⎩，且满足0a b +=，所以()22110a b -=--=.故答案为：0.14．16π3【分析】由题意可知：阴影部分为以B 点为圆心，AB 为半径的扇形和以A B '为直径的半圆，减去以AB 为直径的半圆，进而结合扇形面积公式运算求解.【详解】由题意可知：阴影部分为以B 点为圆心，AB 为半径的扇形和以A B '为直径的半圆，减去以AB 为直径的半圆，且AB A B '=，即两个半圆的面积相等，则阴影部分的面积即为以B 点为圆心，AB 为半径的扇形得面积，为23016ππ83603︒⨯⨯=︒.故答案为：16π3.15．充要【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可【详解】当0xy ≥时，若,x y 中至少有一个为零，则x y x y+=+成立，若0,0x y >>，则x y x y x y +=+=+，若0,0x y <<，则x y x y x y +=--=+，综上，当0xy ≥时，x y x y+=+成立，故充分性成立；当x y x y+=+时，()()22x y x y +=+，即222222x xy y x xy y ++=++，整理得xy xy=，所以0xy ≥成立，故必要性成立；所以p 是q 的充要条件.故答案为：充要16．6±2231【分析】设一个“一致数”m abcd =满足8a ≤且1d =，得出()()243F m G N a k --=+，然后分类讨论即可求解.【详解】解：设一个“一致数”m abcd =满足18a ≤≤且1,110d a b c a b =+=+⇒+≤，则1000100101m a b c =+++，100010010m c a b '=+++，所以10101011010101()10101101101m m a b c F m a b c '++++===+++，一个两位数102N a b =+，将N 的各个数位数字之和记为()G N ，则()()42529b G N a b b G N a b ≤=+≥=+-时，，时，，因为()()243F mG N a k --=+，即2210101224431591b a b c a b a k k a b +++---=≤=++-，时，，22101012+94315935a b c a b a k k a b b +++---=+=+-≥时，，，因为满足()G N 为偶数时，则5b ≥时a 奇为数，4b ≤时a 为偶数，逐项代入检验可得：当2,2a b ==时，则2366,3k k c ==±=，，当8,4;5,8a b a b ====时，则214410k a b =+>，，故舍去；所以2231m =.故答案为：6±；2231.【点睛】关键点睛：本题的关键是将m 表示成1000100101a b c +++，然后再分类讨论.17．(1){}27x x -<<(2)[5,)+∞【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可；（2）根据集合交集运算的性质进行求解即可.【详解】（1）因为2a =，所以{}17A x x =<<，而{}24B x x =-<<，所以{}27A B x x ⋃=-<<；（2）因为A B ⋂=∅，所以14a -≥，或232a +≤-，由145a a -≥⇒≥，显然满足0a >；由52322a a +≤-⇒≤-，而0a >，所以不存在这种情况，综上所述：实数a 的取值范围[5,)+∞18．(1)83.5,83,30a b m ===(2)乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，理由见解析(3)980【分析】（1）找出甲社区中出现次数最多的数据，即可求得b 的值，根据乙社区的扇形统计图，计算出,A B 两组的人数，再结合C 组的人数可求出a 的值，利用D 组的数除以10可求出m 的值，（2）从中位数和众数的解度进行分析即可，（3）分别利用总数乘以甲乙两个社区积分在80分以上所占的百分比，将积相加即可.【详解】（1）因为甲社区中出现次数最多的数据为83，所以83b =，由乙社区的扇形统计图可得乙社区A 组人数为1010%1⨯=，B 组人数为1020%2⨯=人，因为乙社区10人的积分在C 组中的积分分数为：81，83，84，84，所以乙社区的积分从小到大排列，第5个和第6个数据分别为83，84，所以1(8384)83.52a =⨯+=，因为乙社区D 组人数为101243---=人，所以D 组人数所占的百分比为3100%30%10⨯=，所以30m =，（2）乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，理由如下：因为甲乙两个社区积分的平均数相同，但是乙社区的中位数和众数均比甲社区高，所以乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，（3）因为甲社区积分在80分以上（包括80分）的人数所占的比例为60.610=，乙社区积分在80分以上（包括80分）的人数所占的比例为70.710=，所以4月份甲、乙两个社区积分在80分以上（包括80分）的一共有0.67000.7800980⨯+⨯=人.19．(1)10,(1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦(2)92,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）化简集合，通过()C A B ⊆ 即可分类讨论求出a 的取值范围；（2）求出A B ⋃，利用“()x A B ∈U ”是“x D ∈”的必要不充分条件即可求出m 的取值范围.【详解】（1）由题意，化简集合，{}22A x x =-≤≤，{}05B x x =<≤，∴(0,2]A B ⋂=，在{}321C x a x a =≤≤+中，()C A B ⊆ ，当C =∅时,2131a a a +<⇒>,满足题意；当C ≠∅时,1a ≤，此时21210302a a a +≤⎧⇒<≤⎨>⎩综上，a 的取值范围为10,(1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.（2）由题意及（1）得，{}22A x x =-≤≤，{}05B x x =<≤，∴[2,5]A B =-U ,在12D x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭中，“()x A B ∈U ”是“x D ∈”的必要不充分条件，∴2152m m ≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩(等号不同时成立)922m ⇒-≤≤∴满足条件的m 存在,取值范围是92,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．(1)A ，C之间的距离60千米(2)A 地不会受到这次沙尘暴的影响【分析】（1）过A 作AD BD ⊥，垂足为D ，设AC m =千米，可得CD千米，BD 千米，再结合题意列式求解即可；（2）过A 作AE CP ⊥，垂足为E ，可得200.4AE ≈千米，对比分析即可.【详解】（1）过A 作AD BD ⊥，垂足为D ，设AC m =千米，在Rt ACD △中，可知：45CAD ∠=︒，可得2sin 2CD AD AC CAD m==∠=千米，在Rt △ABD 中，可知：60BAD ∠=︒，可得tan BD AD BAD =∠=千米，由题意可得：BD CD BC -=，即6212022m m -=，解得60m =，所以A ，C之间的距离60千米.（2）过A 作AE CP ⊥，垂足为E ，在Rt ACE 中，可知：60ACE ∠=︒，可得(sin 60303200.4AE AC ACE =∠=⨯≈千米，因为200.4200>，所以A 地不会受到这次沙尘暴的影响.21．（1）[]3,3-；（2）22211111223a b c +>-+++，理由见详解【分析】（1）根据题意可得()()512322a b a b a b +=+--，结合不等式性质运算求解；（2）令2221,2,3m a n b t c =+=+=+，可得112m n t++=，根据“1”的应用结合基本不等式运分析判断.【详解】（1）设()()()()23a b x a b y a b a x y b x y +=++-=++-，其中,x y ∈R ，则23x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即()()512322a b a b a b ⎛⎫+=++-- ⎪⎝⎭，因为11a b -≤+≤，11a b -≤-≤，则()555222a b -≤+≤，()111222a b -≤--≤，可得3233a b -≤+≤，所以23a b +的取值范围为[]3,3-；（2）令2221,2,3m a n b t c =+=+=+，则2221,2,3m a n b t c -=-=-=，可得()()()22212366a b c m n t m n t ++=-+-+-=++-=，即112m n t++=，则111111131212m n t n m t m n t m n t m n t m n m t t n ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133124⎛⎫≥+++= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当n mm n t m m t t n n t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，即2224,3,2,1m n t a b c ======时，等号成立，可得2221111113112342m n t a b c ++=++≥>+++，即22211111223a b c +>-+++.22．(1)245y x x =-++(2)7299,636P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，52924(3)()1,4-，()2,5-，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）将()1,0A -，()5,0B 代入抛物线即可得出解析式；（2）过点P 作//PQ BD ，得出PQ ，PB 的解析式，即可求出点P 的坐标和BDP △的面积的最大值；（3）求出平移二次函数的解析式，设出点M 坐标，构造矩形，即可求出点M 的坐标.【详解】（1）由题意，在()250y ax bx a =++≠中，()1,0A -，()5,0B 501,,255504a b a a b b ⎧-+==-⎧⎨⎨++==⎩⎩∴抛物线的函数表达式是：245y x x =-++.（2）由题意及（1）得，如下图1，抛物线的对称轴是直线1522x -+==，(2,5)D ∴-，(5,0)B ，∴直线BD 的解析式是:52533y x =-，过点P 作//PQ BD ，∴可设PQ 的解析式是:53y x b=+，由25453x x x b -++=+得27(5)03x x b -+-=，BPD 面积最大，∴方程由两个相等实数根，2706x ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，7,6x ∴=当76x =时，277299456636y ⎛⎫=-+⨯+= ⎪⎝⎭，7299,636P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，如图2，(5,0), B ∴直线PB 的解析式是:136566y x =-+，∴当2x =时，132y =，1323(5)22DE ∴=--=，1237529522624BDP S ⎛⎫∴=⨯⨯-=⎪⎝⎭ ，即BDP △的最大面积是52924.（3）由题意，（1）及（2）得，在245y x x =-++中，(5,0),(2,5)B D -平移后的关系式是2(1)4y x =-++，2(1)40,x ∴-++=解得：1x =或3-，∴(3,0),(0,3)E G -，如图3，当点M 落在抛物线2(1)4y x =-++的顶点(1,4)-时，90EGM ︒∠=，∵//,MN EG MN EG =，∴1(1,4)M -，NE ∴的解析式是3y x =--，∴2(1)43x x -++=--，解得：3x =-（舍）或2∴2(2,5)(5,2)M N '--,，当EG 是对角线时，设点()21,23M m m m --+，由22211M E M G EG +=得()()22222222(3)23233x x x x x x++--+++--=+，∴1234113,0,,22x x x x -+--=-===，∴点M 坐标为()1,4-，()2,5-，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭.。
秘密★启用前2018年重庆一中高2018级第一次月考数 学(文科)试 题 卷 2018.10数学试题共3页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一.选择题.(每小题5分,共60分)1.已知集合2{|320},{|(1)(2)0}M x x x N x x x x =-+==--=,则MN =( )A.MB.NC.φD.R 2.若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =,则( )A.21n a n =-B.21n a n =+C.21n a n =--D.21n a n =-+ 3.函数()y f x =的图象与12log (1)y x =-的图象关于直线y x =对称,则()f x =( )A.12x -+B.12x +C.12x -D.12x --4.则( )A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项 5.函数3()f x x x =-在[0,1]上的最小值为( )A.0B.C.D.12-6.等差数列{}n a 中,35710133()2()24a a a a a ++++=,则前13项和13S =( ) A.13 B.26 C.52 D.1567.已知函数3()sin 1f x x x =-+,若()3f a =,则()f a -=( )A.3B.3-C.1-D.2- 8.使不等式|1|2x -<成立的充分不必要条件是( )A.(0,3)x ∈B.(3,3)x ∈-C.(1,3)x ∈-D.(0,4)x ∈9.若方程210x ax -+=在区间(0,1)上有且仅有一根,则实数a 的取值范围是( ) A.0a > B.2a ≥ C.2a > D.3a < 10.数列{}n a 中,n a =若前n 项和10n S =,则项数n =( )A.121B.120C.99D.1111.已知命题p :关于x 的不等式|x m >的解集为R,命题q :函数1()mf x x-=在(0,)+∞上是减函数.若命题“p 或q ”为真,命题“p 且q ”为假,则实数m 的取值范围是( ) A.0m < B.01m ≤< C.01m << D.1m <12.若()f x 是定义在R 上的函数,对任意的实数x ,都有(4)()4f x f x +≤+和(2)()2f x f x +≥+,且(0)1f =,则(2008)f =( )A.2018B.2018C.2018D.2018二.填空题.(每小题4分,共16分)13.在等比数列{}n a 中,12340,1,9n a a a a a >+=+=,则45a a += .14.已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值,则a 的取值范围是 . 15.函数12log [(1)(3)]y x x =+-的单调减区间为 .16.已知函数()y f x =的定义域为R,则下列命题正确的有 . ①若1(1)()f x f x +=-,则()y f x =的周期为2; ②(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线0x =对称;③若(1)(1)f x f x -=-,且(2,1)--是()f x 的单调减区间,则(1,2)是()f x 的单调增区间; ④若函数()y f x =的图象关于点(1,0)-对称,则函数(2)y f x =-+1的图象关于点(1,1)对称.三.解答题.(共74分)17.(13分)已知等差数列{}n a 中,259,21a a ==. (1)求{}n a 的通项公式; (2)令12n n a b -=,求数列{}n b 的前n 项和n S .18.(13分)已知函数2()1f x x ax =-+.(1)若()0f x ≥对x R ∈恒成立,求a 的取值范围; (2)若2a =,求()f x 在[0,3]x ∈的值域.19.(12分)已知函数4313()44f x x m x =-+. (1)当1m =时,求()f x 的单调区间;(2)当0m >时,函数()f x 的图象与x 轴有交点,求m 的取值范围.20.(12分)已知a 为实数,函数()f x =323322x ax x a +++. (1)若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线,求a 的取值范围;(2)若(1)0f '-=,对任意12,[1,0]x x ∈-,不等式12|()()|f x f x m -≤恒成立,求m 的最小值.21.(12分)已知函数122()log 1ax f x x -=-(a 为常数). (1)若常数2a <且0a ≠,求()f x 的定义域;(2)若()f x 在区间(2,4)上是减函数,求a 的取值范围.22.(12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1,a a =(a 为常数,且3a ≠), 13n n n a S +=+,设*3()n n n b S n N =-∈. (1)求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{2}n n b ⋅的前n 项和n T ;(3)若不等式21122log (1)log (31)1n a x x ≥+--+对任意[1,3)a ∈及*n N ∈恒成立,求实数x 的取值范围.2018年重庆一中高2018级第一次月考 数学(文科)试题卷答案 2018.10二.填空题.(每小题4分,共16分)13. 27 14. (,3)(6,)-∞-+∞ 15.(3,)+∞ 16. ①③④三.解答题.(共74分)17.(13分)(1)由119421a d a d +=⎧⎨+=⎩ 得154a d =⎧⎨=⎩, ∴41n a n =+.(2)2n b n =, 12b =, 12n n b b +-=. ∴{}n b 为等差数列.∴(22)(1)2n n n S n n +==+.18.(13分)(1)210x ax -+≥恒成立,则240a ∆=-≤ ∴22a -≤≤. (2)2a =时,2()(1),[0,3]f x x x =-∈ ()f x 的值域为[0,4].19.(12分)(1)3()1f x x '=-,由()0f x '>得1x >,由()0f x '<得1x <.故()f x 的单增区间为[1,)+∞,单减区间为(,1]-∞.(2)33()f x x m '=- ∵0m >. 由()0f x '>得x m >,由()0f x '<得x m <. ∴()f x 在(,)m -∞上单减,在(,)m +∞上单增,故x m =时,min ()()f x f m ==43344m -+,要()f x 图象与x 轴有交点,则433044m -+≤, 解得1m ≥.故[1,)m ∈+∞.20.(12分)(1)∵3233()22f x x ax x a =+++ ∴23()322f x x ax '=++. 由题意知()0f x '=有实数解. ∴△2344302a =-⨯⨯≥令()0f x '=得121,12x x =-=-.当[1,0]x ∈-时,2514927(1),(),(0)82168f f f -=-==∴max min 27149()(0),()()8216f x f f x f ===-=.故12,[1,0]x x ∈-时,12max min 5|()()|()()16f x f x f x f x -≤-= 所以516m ≥,即m 的最小值为516.21.(12分)(1)由201ax x ->-,当02a <<时,解得1x <或2x a >, 当0a <时,解得21x a<<.故当02a <<时,()f x 的定义域为{|x 1x <或2x a>}当0a <时,()f x 的定义域为{|x 21x a<<}.(2)令21ax u x -=-,因为12()log f x u =为减函数,故要使()f x 在(2,4)上是减函数,则 2211ax a u a x x --==+--在(2,4)上为增且为正. 故有min 201222(2)021a a a u u -<⎧⎪⇒≤<⎨->=≥⎪⎩-. 故[1,2)a ∈.22.(12分)解:(1)113n n n n n S S a S ++-==+ 即123n n n S S +=+∴111132332232333n n n nn n n n n n nn n n n b S S S b S S S ++++-+--⋅====--- 故{}n b 为等比数列,公比为2.又3a ≠,∴1133b S a =-=-0≠, ∴1(3)2n n b a -=-⋅. (2)22(3)n n nb n a =⋅⋅-,先求数{2}n n ⋅的前n 项和'n T . ∴'23122232...2n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅'23121222...(1)22nn n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ 作差:'231222...22n n n T n +-=++++-⋅111222(1)22n n n n n +++=--⋅=-⋅- ∴'1(1)22n n T n +=-⋅+. ∴'1(3)(3)(1)22(3)n n n T a T a n a +=-=--⋅+-. (3)由(1)知1113(3)2,323(3)2n n n n n n n n S a a S a --+=+-=+=⋅+-⋅ 则1121323(3)2(2)n n n n n a S a n ----=+=⋅+-⋅≥∴2n ≥时,12221343(3)22[12()3]2n n n n n n a a a a ----+-=⋅+-⋅=+-当[1,3)a ∈时,2312()3123902n a a a -+-≥+-=+>, 又220n ->.则2n ≥时,1n n a a +>恒成立. 又当1n =时,2113a a a =+>恒成立.故*n N ∈时.1n n a a +>恒成立. ∴min 1()n a a a ==.则由题中不等式得:21122log (1)log (31)1a x x ≥+--+时对[1,3)a ∈恒成立.故211221log (1)log (31)1x x ≥+--+,即12210log 31x x +≥-.。
2018-2019学年第一学期高一年级第一次月考试题卷数学一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合}2,1{=A ， {}2,4B =，则=)(B A C U （ ）A. {}1,3,4,5B. {}1,4C. {}3,5 D ．{}1,2,42．函数x x y +-=1的定义域为（ ） A ．}{|1x x ≤ B ．}{0|≥x x C ．}{0,1|≤≥x x x 或 D ．}{10|≤≤x x 3．若函数))(1(a x x y -+=为偶函数，则a =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．24.下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A.()x y x y ==与2 B.()x y x y ==与33 C.()22x y x y ==与 D.x x y x y 233==与 5.设集合}{{}2|90|A x x B x x N =-<=∈，则B A 中元素的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 6.在映射B A f →:中,(){}R y x y x B A ∈==，，|，且()()y x y x y x f +-→，，:，则A 中的元素(1,-2)在B 中对应的元素为（ ）A.(-2,3)B.(3,-1)C.(-1,-1)D.(-3,1)7．下列函数中，既是奇函数，又在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2+=x yB ．24y x x =- C. |2|y x =- D ．xy 1-= 8.已知函数()f x 为奇函数,当0x >时, ()21,f x x x=+ ,则()1f -= （ ） A.2-B. 0C. 1D. 2 9、已知函数2()1,[0,2]f x x x x =-++∈的最值情况为（ ）A ．有最小值1-，有最大值1B ．有最小值1-，有最大值54C ．有最小值1，有最大值54D ．有最小值1，无最大值 10.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )11.已知函数()]4,[42m x x x x f ∈+-=，的值域是]4,0[,则实数m 的取值范围为（ ） A ．(,0)-∞ B ．[]0,2 C ．(]0,2 D ．[]2,412、已知)(x f 是奇函数，在),0(+∞内是增函数，且0)3(=-f ，则0)(<x x f 的解集是（）A ．(3,0)(3,)-⋃+∞B ．(,3)(0,3)-∞-⋃C ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞D ．(3,0)(0,3)-⋃二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知方程2310x x -+=的两根为12,x x ，则12(2)(2)x x -⋅-= .14不等式|21|3x -+≤的解集为 .15．已知⎩⎨⎧≥+-<+=1,321,1)(2x x x x x f ，则=))2((f f ____________16.若}{21|650|02x A x x x B x x +⎫⎧=-+>=≤⎨⎬-⎩⎭则=B A三、解答题（每题10分，共40分）17.已知1()f x x x =+，且()3,f a =试求23(),()f a f a 的值；18.已知集合A ＝{x|2≤x<7}，B ＝{x|3<x<10}，C ＝{x|a x ≤}．(1)求A ∪B ，B A C R)(；(2)若A ∩C ∅≠，求a 的取值范围．19.（1）已知集合{}211A x a x a =-<<+，{01}B x x x =<>或，若B B A = ，求实数a 的取值范围；20.已知函数f (x )=22||3x x --, (]5,5x ∈-（1）判定)(x f 的奇偶性；(2 ) 画出)(x f 的草图；（3）求f ()x 的值域和单调区间．2018-2019学年第一学期高一年级第一次月考试题卷数学答案1C 2D 3C 4B 5C 6B 7D 8A 9B 10C 11B 12D13 -1 1415 2 16 }{|25A x x x =><或 17 7,1818. (1) }{|210x x ≤<,}{|710x x ≤< (2)19. 20（1）非奇非偶 （2）略（3）值域 单调增区间(1,0)-，(1,5) 单调减区间(5,1)--，(0,1)。
