最新2019学年高一下学期第一次月考数学试卷

教学资料参考范本【2019-2020】高一数学下学期第一次月考试题撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第Ⅰ卷一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5分，共60 分。

）1．1.在中，若，，，则为（）．ABC△A．B．或C．D．或2.在中，则等于（）．A．B．C．D．3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°4.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若b=2acosC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等腰或直角三角形5.如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择C、D两观测点，且在C、D两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°．在水平面上测得∠BCD=120°，C、D两地相距600m，则铁塔AB 的高度是（）A．120m B．480mC．240m D．600m6．△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．7.若在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：6，则sinB等于（）A． B．C．D．8.已知在等比数列{an}中，a4，a8是方程x2﹣8x+9=0的两根，则a6为（）A．﹣3 B．±3C．3 D．29.已知等差数列的前项和为，若，则（）A．18 B．36 C．54 D．7210.已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A．3 B．15 C．48D．6311.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日 B．8日 C．16日D．12日12.已知等比数列{an}中，a3=4，a4a6=32，则的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16第Ⅱ卷二、填空题（每小题 5分，共20 分。

绝密★启用前2020年春四川省叙州区第一中学高一第一学月考试数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知区间，则 A ．B ．C ．D ．2．已知函数，则A ．B ．C ．D ．3．函数的最小正周期为 A ．B ．C ．D ．4．已知f (x )＝cos2x，则下列等式成立的 是 A ．f (2π－x )＝f (x ) B ．f (2π＋x )＝f (x ) C ．f (－x )＝－f (x ) D ．f (－x )＝f (x )5．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =A ．3-B ．1-C ．1D ．36．若角θ的终边过点13(,)22-，则sin θ等于A ．12B ．12-C ．3-D ．3 7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用1S ，2S 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情节相吻合的是A ．B ．C ．D ．8．为了求函数()237xf x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值，如表所示：x1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 ()f x－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115则方程237x x +=的近似解（精确到0.1）可取为 A ．1.32B ．1.39C ．1.4D ．1.39．函数sin()2y x x π=⋅+的部分图象是A ．B ．C ．D ．10．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,211．定义在R 上的奇函数()f x 以5为周期，若()30f =，则在()0,10内，()0f x =的解的最少个数是 A ．3B ．4C ．5D ．712．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是 A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,6第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一下学期第一次月考理科数学考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于（）A．45°B．60°C．120°或60°D．135°或45°2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝5，a7＝1，则a1＝（）A．﹣B．﹣1C．D．3．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝（）A．B．C．D．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．85．数列1，0，1，0，1，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．6．△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．7．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．108．在△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是（）A．或B．C．D．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（3﹣cos A）＝3a cos C+a cos B，则sin A＝（）A．B．C．D．10．把正整数1，2，3，4，5，6，…按某种规律填入下表：261014145891213…．371115按照这种规律继续填写，那么2015出现在（）A．第1行第1510列B．第3行第1510列C．第2行第1511列D．第3行第1511列11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac sin B＝10sin C，a+b＝7，且，则c＝（）A．4B．5C．D．712．若三角形ABC中，sin（A+B）sin（A﹣B）＝sin2C，则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．在△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，△ABC的面积为，则∠C＝．14．已知等差数列{a n}，若a1+a3+a5＝9，则a2+a4＝．15．在等差数列{a n}中，已知log2（a5+a9）＝3，则等差数列{a n}的前13项的和S13＝．16．若数列{a n}为1，2，2，3，3，4，4，…，则该数列通项公式a n＝．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在等差数列{a n}中，a1＝1，前n项和S n满足条件＝，n＝1，2…，求数列{a n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝（3c﹣b）cos A．（1）求sin A；（2）若a＝2，且△ABC的面积为，求b+c的值．19．（12分）在△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A＝3cos（B+C）+1（1）求角A的大小；（2）若a＝3，sin C＝2sin B，求b，c的值．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B＝，BC边上中线AM＝，求△ABC的面积．21．（12分）安庆市某棚户区改造，四边形ABPC为拟定拆迁的棚户区，测得，，AC＝4千米，AB＝2千米，工程规划用地近似为图中四边形ABPC的外接圆内部区域．（Ⅰ）求四边形ABPC的外接圆半径R；（Ⅱ）求该棚户区即四边形ABPC的面积的最大值．22．（12分）设数列{a n}中，S n是它的前n项和，a1＝4，na n+1＝S n+n（n+1）对任意n∈N*均成立．（I）求证：数列{a n}是等差数列；（II）设数列{b n}满足b n+1﹣b n＝a n，其中b1＝2，求数列{b n}的通项公式；（III）设，求证：c1+c2+…+c n＜1．。

智才艺州攀枝花市创界学校瑶厦08-09高一下学期第一次月考〔卷一〕〔数学〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的〕1．将－300o化为弧度为〔〕A．－43π；B．－53π；C．－76π；D．－74π；2．函数)421sin(2π+=xy的周期，振幅，初相分别是〔〕A．4,2,4ππB．4,2,4ππ--C．4,2,2ππD．4,2,4ππ３．假设点)cos2,cos(sinθθθP位于第三象限，那么角θ所在象限是〔〕Ａ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限４．假设1弧度的圆心角，所对的弦长等于2，那么这圆心角所对的弧长等于〔〕A．1sin2B．6πC．11sin2D.．12sin2５．假设角α的终边落在直线y=2x上，那么sinα的值是〔〕A．B．C．15±D．12±6．函数sin()y A x Bωϕ=++的一局部图象如右图所示，假设0,0,||2Aπωϕ>><，那么〔〕A．4=A B．1ω=C．6πϕ=D．4=B７.在ABC∆中，①sin()sinA B C++；②cos()cosB C A++；③2tan2tanCBA+；④cos()sinB C A++，其中恒为定值的是〔〕A．①②B．③④C．②④D．②③８．点O是平行四边形ABCD对角线的交点,那么下面结论正确的选项是()A．AB CB AC+=B．AB AD AC+＝C．AD CD BD+≠D．0AO CO OB OD+++=９．函数)sin(φϖ+=xAy在同一周期内，当3π=x时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为〔〕A．xy23sin2=B．)23sin(2π+=xyC．)23sin(2π-=xyD．xy3sin21=10．假设α角的终边落在第三或者第四象限，那么2α的终边落在〔〕A ．第二或者第四象限B ．第一或者第三象限C ．第一或者第四象限D ．第三或者第四象限11．定义新运算“a ※b 〞为a ※b=,,a a b b a b ≤⎧⎨>⎩，例如1※2=1，3※2=2，那么函数 ()sin f x x =※cos x 的值域是()A．[-B．C ．[1,1]-D．[ 1021年8月，在召开的国际数学家大会会标如下列图，它是由4个一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，假设直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于〔〕A ．1B.2524-C ．257 D.725-二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，请把答案写在题中横线上〕13．函数sin 1y a x =+的最大值是3，那么它的最小值______________________14．向量，8b =，那么a b+的最大值是，a b-的最小值是。

重庆市2023-2024学年度下期高2026届第一次月考数学试题（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(AB BC AD +-=（）A.AD B.DAC.CDD.DC【答案】D 【解析】【分析】直接用向量加减法容易得解．【详解】解：AB BC AD AC AD DC +-=-=．故选：D ．【点睛】本题考查了向量加减法，属于基础题．2.在ABC 中，已知120B =︒，AC ，2AB =，则BC =（）A.1B.C.D.3【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯ ，即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去），故3BC =.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．3.已知向量()63,9a t =+ ，()42,8b t =+ ，若//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，则t =（）A .1- B.12-C.12D.1【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t 的值．【详解】向量()63,9a t =+，()42,8b t =+ ，所以()63,1113a b t =++ ，()1242,5a b t =+-，又//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，所以()()56311420t t +-+=，解得12t =-．故选：B ．4.在ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，记AE a = ，CD b = ，则AC =（）A.()13a b - B.()12a b - C.1123a b - D.()23a b -【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可知，()12a AB AC =+ ，1122b AB CA AB AC =+=-．两式相减，得32a b AC -= ，所以()23AC a b =-．故选：D ．5.已知向量a ，b不共线，且4AB a b =+ ，9BC a b =-+ ，3CD a b =- ，则一定共线的是（）A.A ，B ，DB.A ，B ，CC.B ，C ，DD.A ，C ，D【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出,BD AC，再利用共线向量定理逐项判断作答.【详解】向量a ，b不共线，且4AB a b =+ ，9BC a b =-+ ，3CD a b =- ，282(4)2BD BC CD a b a b AB =+=+=+= ，则有//AB BD，而,AB BD 有公共点B ，有A ，B ，D 共线，A 是；0BC ≠ ，不存在实数λ，使得AB BC λ=，因此,AB BC 不共线，A ，B ，C 不共线，B 不是；0BC ≠，不存在实数μ，使得CD BC μ= ，因此,BC CD 不共线，B ，C ，D 不共线，C 不是；130AC AB BC b =+=≠ ，不存在实数t ，使得CD t AC =，因此,AC CD 不共线，A ，C ，D 不共线，D不是.故选：A6.已知对任意平面向量(,)AB x y = ，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P .已知平面内点(1,2)A ，点()14B ，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π3后得到点P ，则点P 的坐标为（）A.31,2⎫+⎪⎭ B.31,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.52⎛⎝ D.(5,212【答案】A 【解析】【分析】根据向量旋转的定义求得旋转后向量坐标，结合A 点坐标可得点P 的坐标．【详解】O 为坐标原点，由已知2)AB =，ππππ12sin()2cos()](,333322AP =----+-=- ，又(1,2)A ，所以P点坐标为13(1,2)(,)(1,)2222OP OA AP =+=+-=+ ，故选：A ．7.如右图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，则2x y +的最小值为A.2B.13C.33+ D.34【答案】C 【解析】【分析】由题意可得MG GN λ=，利用三角形重心的向量表示，化简可得113x y+=.然后利用基本不等式来求得最值.【详解】因为M ，N ，G 三点共线，所以MG GN λ=，所以()AG AM AN AGλ-=- 又因为G 是ABC 重心，所以()13AG AB AC =+，所以()()1133AB AC x AB y AC AB AC λ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭，所以11331133x y λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，化简得113x y +=，由基本不等式得()(1111212233333x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2113x y y x x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2122,36x y ==时，等号成立，故选：C 【点晴】8.如图所示，平面四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，2AB =，BC =AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为（）A.B. C.4 D.6【答案】D 【解析】【分析】设(0),,,,πABC ACB αβαβ==∠∠∈，利用余弦定理求得2AC ，表示出sin β，进而可求得2BD ，结合辅助角公式即可求得答案.【详解】由题意2AB =，BC =设(0),,,,πABC ACB αβαβ==∠∠∈，则由余弦定理得：2222··cos 12AC AB BC AB BC ABC α=+-∠=-，由正弦定理得：sin β=因为AC CD ⊥，则90BCD β︒∠=+，在BCD △中，()28122cos 90BD a β︒=+--⨯+20α=-+π202016sin 4ααα⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭，3π4α∴=时，2BD 的最大值为36，BD 取得最大值6，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a ，b ，c是三个平面向量，则下列叙述错误的是（）A.()()a b c a c b ⋅⋅=⋅⋅ B.若a b = ，则a b=± C.若a b ⊥，则a b a b+=- D.若a b a c ⋅=⋅r r r r，且0a ≠ ，则b c=【答案】ABD 【解析】【分析】根据数量积的意义判断A ，根据向量模的意义判断B ，根据向量数量积的运算律运算及向量垂直判断C ，根据向量的数量积运算判断D.【详解】对于A ，因为()a b c ⋅⋅ 表示向量c λ，()a cb ⋅⋅ 表示向量b μ ，当,c b不共线且0,0λμ≠≠时，两个向量一定不相等，故A 错误；对于B ，因为a b = 时，向量,a b 的方向不确定，故a b =±不正确，故B 错误；对于C ，a b a b +=-⇔ 22a b a b+=- 2222220a a b b a a b a b b a b ⇔+⋅+=-⋅+⇔⋅=⇔⊥，所以C 正确；对于D ，由cos ,cos ,a b a c a b a b a c a c ⋅=⋅⇒⋅=⋅r r r r r r r r r r r r ，0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c a c =r r r r r r ，不能得出b c =，故D 错误.故选：ABD10.在ABC 中，AB =，2BC =，45A ∠=︒，则ABC 的面积可以为（）A.B.32C.332+ D.622+【答案】AC 【解析】【分析】由余弦定理可求得b ，再用三角形面积公式可得解.【详解】c =，2a =，o 45A =，∴2222cos a b c bc A =+-，即2222cos 4622b ac bc A b =-+=-+⨯⨯，整理得220b -+=，解得1b =+1，当1b =时，)113sin 12222ABC S bc A +==⨯⨯=，当1b =时，)113sin 12222ABC S bc A -==⨯⨯=，所以ABC 的面积为332+故选：AC.11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，则下列结论正确的有（）A.22OA OD ⋅=-B.OB OH +=C.AH HO BC BO⋅=⋅D.AH 在AB 向量上的投影向量为2AB【答案】ABD 【解析】【分析】正八边形ABCDEFGH 中，每个边所对的角都是45︒，中心到各顶点的距离为1，然后再由数量积的运算逐一分析四个选项得答案．【详解】正八边形ABCDEFGH 中，每个边所对的角都是45︒，中心到各顶点的距离为1，对于A ，11cos1352OA OD ⋅=⨯⨯︒=- ，故A 正确；对于B ，90BOH ∠=︒，则以OB ，OH 为邻边的对角线长是||OA 倍，可得OH OB +==，故B 正确；对于C ， AH BC = ，||||HO BO = ，AH 与HO 的夹角为180AHO ︒-∠，BC 与BO的夹角为OBCAHO ∠=∠，故AH HO BC BO ⋅=-⋅uuu r uuu r uu u r uu u r，故C 错误；对于D ，AH 在AB 向量上的投影向量为cos1352AH AB AB AB AB AB AB⋅⋅=⋅=-，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】【详解】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则{12,k k λ==，所以12λ=．考点：向量共线．13.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy 中，两坐标轴的正半轴的夹角为60︒，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12a xe ye =+，则称有序实数对(),x y 为a 在该斜角坐标系下的坐标.若向量m ，n在该斜角坐标系下的坐标分别为()3,2，()2,k ，当k =_______时，11m n ⋅=.【答案】67【解析】【分析】根据斜角坐标定义写出向量（用两个已知单位向量表示），然后由向量数量积计算可得．【详解】由已知1232m e e =+ ，122n e ke =+ ，12111cos 602e e ⋅=⨯⨯︒= ，22121211221(32)(2)6(34)26(34)2112m n e e e ke e k e e ke k k ⋅=+⋅+=++⋅+=+++= ，解得：67k =．故答案为：67．14.已知平面向量a ，b ，c满足：2a b c ⋅== ，3a c -= ，4b c -= ，则a b c +-= ___________，且a b +的取值范围为___________.【答案】①.5②.[]3,7【解析】【分析】第一空：由题意可设()2cos ,2sin ,,OC c OA a OB b θθ====，进一步有()()2cos 3cos ,2sin 3sin ,2cos 4cos ,2sin 4sin B C θαθαθβθβ++++，结合2a b ⋅=有2x y +=-，其中6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，而a b c +-也可以用含x y +的式子来表示，从而即可得解；第二空，由向量之间的“三角不等式”即可求解.【详解】第一空：2c = ，3a c -= ，4b c -= ，设()2cos ,2sin ,,OC c OA a OB b θθ====，从而3,4CA CB ==，设()()2cos 3cos ,2sin 3sin ,2cos 4cos ,2sin 4sin B C θαθαθβθβ++++，从而()2cos 3cos 4cos ,2sin 3sin 4sin a b c θαβθαβ+-=++++，又因为2a b ⋅=，所以()24cos6cos cos 8cos cos 12cos cos θθαθβαβ+++()24sin 6sin sin 8sin sin 12sin sin 2θθαθβαβ++++=，记6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，从而2x y +=-，所以a b c +-=5===；第二空：对于两个向量,u v，有u v u v u v -⋅≤⋅≤⋅ ，进一步有222222222u u v v u u v v u u v v -⋅+≤+⋅+≤+⋅+ ，所以u v u v u v -≤+≤+ ，注意到2c = ，5a b c +-=，从而3a b a b c c +=≥+-- ，等号成立当且仅当,a b c c +-反向，7a b a b c c +=≤+-+ ，等号成立当且仅当,a b c c +-同向，所以a b +的取值范围为[]3,7.故答案为：5，[]3,7.【点睛】关键点点睛：第一空的关键是在于利用整体思想结合2a b ⋅=，得到2x y +=-，其中6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，由此即可顺利得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量a ，b ，2,1a b == ，且a 与b的夹角为π3.（1）求2a b +；（2）若2a b + 与()2a b λλ+∈R 垂直，求λ的值【答案】（1）（2）4-【解析】【分析】（1）根据已知利用向量的数量积公式得出a b ⋅，即可由向量模长的求法列式2a b +=，结合向量的运算代入值求解即可；（2）根据向量垂直其数量积为0，列式展开代入值求解即可.【小问1详解】2,1a b == ，且a 与b 的夹角为3π，π1cos 21132a b a b ∴=⨯⨯⋅==22a b +== 【小问2详解】2ba + 与()2ab λλ+∈R 垂直，()()202a b b a λ∴⋅+=+，即222024a b a a b b λλ+⋅+⋅=+，即8240λλ+++=，解得：4λ=-.16.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.【答案】（1）72（2）4【解析】【详解】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用.试题解析:解：（1）由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝.故PA ＝2.5分（2）设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，α＝4sin α.所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.12分考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【解析】【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =r r，得4sin 2x ＝1.又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2)()·=f x a b =sin x ·cos x ＋sin 2x＝2sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π≤56π，∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求角A 的大小；（2）若cos 3B =，求()sin 2B A +的值；（3）若ABC的面积为3，3a =，求ABC 的周长和外接圆的面积.【答案】18.π319.620.8，3π【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解即可；（2）由同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和正弦公式求解；（3）由三角形面积公式及余弦定理求出b c +，再由正弦定理求外接圆半径即可.【小问1详解】由cos cos 2cos +=ac B b C A，由正弦定理sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A，从而有()sin sin sin sin 2cos 2cos A AB C A A A +=⇒=，sin 0A ≠ ，1cos 2A ∴=，0πA << ，π3A ∴=.【小问2详解】因为sin 3B ==，所以23,1sin 22sin cos cos 22cos 13B B B B B ===-=-，πππ223sin(2)sin 2sin 2cos cos 2sin 3336B A B B B ⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭.【小问3详解】因为11sin 2223S bc A bc ==⋅=，所以163bc =，由余弦定理得：()22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--，即()216933b c =+-⨯，解得5b c +=，所以ABC 的周长为8a b c ++=，由32πsin sin 3a R A ===所以外接圆的面积2π3πS R ==.19.已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b =为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM的相伴函数.（1）记向量(ON = 的相伴函数为()f x ，若当()85f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求sin x 的值；（2）设()()ππ3cos 63g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，试求函数()g x 的相伴特征向量OM ，并求出与OM共线的单位向量；（3）已知()2,3A -，()2,6B，()OT = 为函数()()πsin R 6h x m x m ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的相伴特征向量，()π23x x h ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥ ?若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）410-；（2）)OM =，1,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在点()0,2，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据向量的伴随函数求出()f x ，再将所求角用已知角表示，结合三角恒等变换即可求解；（2）化简函数解析式，根据相伴特征向量的定义即可求得OM，继而进一步计算即可；（3）根据题意确定m 的值，继而得到函数()π2sin 6h x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，继而得到()2cos 2xx ϕ=，设点,2cos 2x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据向量的垂直关系进行计算，结合三角函数的有界性得到答案.【小问1详解】根据题意知，向量(ON = 的相伴函数为()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当()π82sin 35f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭时，π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又ππ,36x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故ππsin sin 33x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 3333x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4133433525210-=⨯-⨯=.【小问2详解】因为()ππ3cos 63g x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin 3cos cos sin sin 6633x x x x ⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎭⎝⎭3cos x x =+，故函数()g x的相伴特征向量)OM =，则与)OM =共线单位向量为)313,622OM OM⎛⎫±=±=± ⎪ ⎪⎝⎭.【小问3详解】因为()π31sin sin cos 622h x m x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，其相伴特征向量()OT =，故32112m m =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以2m =-，则()π2sin 6h x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()πππ2sin 23236x x x h ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2sin 2cos 222x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，设点,2cos2x P x ⎛⎫⎪⎝⎭，又()2,3A -，()2,6B ，所以22cos 3,2,2cos 622x x AP x BP x ⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，若AP BP ⊥ ，则()()222cos 32cos 6022x x AP BP x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2244cos 18cos 18022x x x -+-+=，229252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为139522cos 2,2cos ,22222x x -≤≤-≤-≤-，故22591692cos 4224x ⎛⎫≤-≤⎪⎝⎭，又2252544x -≤，故当且仅当0x =时，22925252cos 2244x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭成立，故在()y x ϕ=的图象上存在一点()0,2P ，使得AP BP ⊥ .【点睛】关键点点睛：理解相伴特征向量和相伴函数的定义是解答本题的关键.。

高一下学期数学第一次月考试卷附带答案（满分150分 时间：120分钟）一.单选题。

（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知（1+i ）z=3－i ，其中i 为虚数单位，则|z |=（ ） A.5 B.√5 C.2 D.√22.已知复数z=1+2i1+i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ̅在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图，正方形O’A’B’C’的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A.4B.6C.8D.2+2√2（第3题图） （第4题图）4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ） A.2√33B.23C.√24D.135.设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题正确的是（ ） A.若b ∥α，c ⊂α，则b ∥c B.若b ⊂α，b ∥c ，则c ⊂α C.若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β D.若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β6.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A.4√2πB.2√2πC.4πD.（4√2+4）π7.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为4π5，则该圆锥的体积为（ ） A.62√213π B.32√6π C.16√6π D.32√213π8.已知在正方体中，AD 1，A 1D 交于点O ，则（ ）A.OB⊥平面ACC1A1B.OB⊥平面A1B1CDC.OB∥平面CD1B1D.OB⊥BC1二．多选题.（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知复数z=3+4i，下列说法正确的是（）A.复数z的实部为3B.复数z的共轭复数为3－4iC.复数z的虚部为4iD.复数z的模为510.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A. B. C. D.11.如图，一个圆柱盒一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为2πR2B.圆柱与球的表面积比为32C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱与球的体积比为32（第11题图）（第12题图）12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF 以及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEHD.HG⊥平面AEF二.填空题。

2023-2024学年湖南高一下册第一次月考数学试卷一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若210x +=，则i x =B.实部为零的复数是纯虚数C.()21i z x =+可能是实数D.复数2i z =+的虚部是i2.设集合(){}1lg 1,24xA xy x B x ⎧⎫==-=>⎨⎬⎩⎭∣∣，则()A B ⋂=R ð（）A.()1,∞+B.(]2,1-C.()2,1-D.[)1,∞+3.若命题“2,40x x x a ∀∈-+≠R ”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A.(],4∞- B.(),4∞- C.(),4∞-- D.[)4,∞-+4.下列说法正确的是（）A.“ac bc =”是“a b =”的充分条件B.“1x ”是“21x ”的必要条件C.“()cos y x ϕ=+的一个对称中心是原点”是“2,2k k πϕπ=-∈Z ”的充分不必要条件D.“0a b ⋅< ”的充分不必要条件是“a 与b的夹角为钝角”5.设1535212log 2,log 2,23a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c <<C.b c a<< D.a c b<<6.已知不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，且对于[]1,5x ∀∈，不等式220bx amx c ++>恒成立，则m 的取值范围为（）A.(,∞-B.(,∞-C.[)13,∞+ D.(),13∞-7.若向量()()(),2,2,3,2,4a x b c ===- ，且a c ∥，则a 在b上的投影向量为（）A.812,1313⎛⎫⎪⎝⎭ B.812,1313⎛⎫-⎪⎝⎭ C.()8,12 D.413138.已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x 满足1204m x x x π<<< ，且()()()()()()()*1223182,m m f x f x f x f x f x f x m m --+-++-=∈N ，则m 的最小值为（）A.5B.6C.7D.8二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中错误的是（）A.向量AB 与CD是共线向量，则,,,A B C D 四点必在一条直线上B.零向量与零向量共线C.若,a b b c == ，则a c= D.温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量10.下列说法正确的是（）A.若α为第一象限角，则2α为第一或第三象限角B.函数()sin 4f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，则ϕ的一个可能值为34πC.3x π=是函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴D.若扇形的圆心角为60 ，半径为1cm ，则该扇形的弧长为60cm 11.已知0,0a b c >>>，则下列结论一定正确的是（）A.b b ca a c+<+ B.3322a b a b ab ->-C.22b a a b a b+<+ D.2()a b a ba b ab +>12.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-，则下列结论正确的是（）A.()f x 为周期函数且最小正周期为8B.7324f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.()f x 在()6,8上为增函数D.方程()lg 0f x x +=有且仅有7个实数解三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数23(0x y a a -=+>，且1)a ≠的图象恒过定点P ，若点P 也在函数()32log 1y x b =++的图象上，则b =__________.14.化简：()2tan1234cos 122sin12-=-__________.15.已知函数()2log ,02,sin ,210,4x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩若存在1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围为__________.16.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,a b c ≠=2233sin ,cos cos cos 52A AB A A B =-=-，则ABC 的面积是__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22232b c bc a +-=.（1）求cos A 的值；（2）若2,3B A b ==，求a 的值.18.（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P .（1）若8AP AC ⋅=，求AP 的长；（2）设||6,||8,,3AB AC BAC AP xAB y AC π∠====+，求y x -的值.19.（本小题满分12分）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数501log lg 210xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差（参考数据：1.4lg20.30,59.52≈≈）.（1）当05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为多少单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.75km /min ，同类雌鸟的飞行速度为1.5km /min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？20.（本小题满分12分）已知函数()f x 对任意实数x y ､恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时()0f x <，且()12f -=.（1）求()f x 在区间[]2,4-上的最小值；（2）若()222f x m am <-+对所有的][1,1,1,1x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12分）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数()()[]sin (0,0,0,),4,0y A x A x ωϕωϕπ=+>>∈∈-的图象，图象的最高点为()1,2B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD EF ∥.游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧 DE.（1）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 的距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（2）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE上，且POE ∠θ=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值.22.（本小题满分12分）已知函数()()2ee ,ln xx f x a g x x =-=.（1）求函数()26g x x --的单调递减区间；（2）若对任意21,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在()()()112,0,x f x g x ∞∈-≠，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()()F x f x f x =+-，求函数()F x 零点的个数.数学答案一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CBADBBAB1.C A.i x =±，说法不正确；B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；C.当i x =时，()21i z x =+是实数，说法正确；D.复数2i z =+的虚部是1，说法不正确.故选C .2.B 由题知()()1,,2,A B ∞∞=+=-+，从而得到()(]R 2,1A B ⋂=-ð.故选B .3.A 命题“2,40x x x a ∀∈-+≠R ”为假命题，2“,40x x x a ∴∃∈-+=R ”是真命题，∴方程240x x a -+=有实数根，则2Δ(4)40a =--，解得4a ，故选A.4.D对于A ，当0c =时，满足ac bc =，此时可能有,A a b ≠错误；对于2B,1x 等价于1x 或1x -，故“1x ”是“21x ”的充分不必要条件，B 错误；对于C ，“()cos y x ϕ=+的一个对称中心是原点”等价于()2k k πϕπ=+∈Z ，故“()cos y x ϕ=+的一个对称中心是原点”是“2k ϕπ=,2k π-∈Z 的必要不充分条件，C 错误；对于D ，0a b ⋅< 等价于a 与b的夹角,2πθπ⎛⎤∈⎥⎝⎦，故“0a b⋅< ”的充分不必要条件是“a 与b的夹角为钝角”，D 正确.故选D.5.B 因为33322213log 2log log 122a ==<=且153355221131122log 2log ,log 2log ,12222233a b c -⎛⎫⎛⎫=>==<=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故b a c <<.故选B.6.B 由不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，可知2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，故0a <且()231,236b ca a-=-+==-⨯=-，即,6b a c a =-=-，则不等式220bx amx c ++>变为2120ax amx a -+->，由于[]0,1,5a x <∈，则上式可转化为12m x x <+在[]1,5恒成立，又12x x +=，当且仅当x =m <.故选B.7.A 因为a c∥，所以44x -=，得1x =-，所以()1,2a =- ，又()2,3b =，所以,cos ,b a b a b b a b⋅===所以a 在b上的投影向量为：812cos ,,1313b a a b b ⎛⎫⋅==⎪⎝⎭，故选A.8.B 因为()sin f x x =对任意(),,1,2,3,,i j x x i j m = ，都有()()max min ()()2i j f x f x f x f x --=，要使m 取得最小值，应尽可能多让()1,2,3,,i x i m = 取得最值点，考虑1204m x x x π<<< ，且()()()()()()()*1223182,m m f x f x f x f x f x f x m m --+-++-=∈N ，则m 的最小值为6，故选B.二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ADACABDABD9.AD向量AB 与CD是共线向量，则,,,A B C D 四点不一定在一条直线上，故A 错误；零向量与任一向量共线，故B 正确；若,a b b c == ，则a c =，故C 正确；温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误.故选A D.10.AC 对于A :若α为第一象限角，则22,2k k k ππαπ<<+∈Z ，则：,24k k k απππ<<+∈Z ，所以2α为第一或第三象限角，故A 正确；对于B ：函数()sin 4f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，若ϕ的一个可能值为34π，当34πϕ=时，()()sin sin f x x x π=+=-，函数为奇函数，故B 错误；对于C ：2cos 23f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以3x π=是函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴，故C 正确；对于D :扇形圆心角为3π，半径为1cm ，则该扇形的弧长为cm 3π，故D 错误.故选AC.11.ABD 对于()()A,c b a b b c a a c a a c -+-=++，由a b >，得0b a -<，所以()()0c b a a a c -<+，所以b b ca a c+<+，故A 正确；对于B ，()()()()()332222220a b a b ab a b a ab b ab a b a b ---=-++-=-+>，故B 正确；对于()()()()22222222222()11C,0b a b a b a b a b a b a a b a b b a a b a b a b ab ab --+---⎛⎫+--=+=--==> ⎪⎝⎭，故C 错误；对于D ，2()a b a ba b ab +>等价于()ln ln ln ln 2a ba ab b a b ++>+，等价于ln ln ln ln 0a a b b b a a b +-->，即()()ln ln 0a b a b -->，故D 正确.故选ABD.12.ABD 因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x --=--，即()f x 关于点()1,0-对称；因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x -+=+，即()f x 关于直线1x =对称；则()()()()()()()112314f x fx f x f x f x =-+=-+=---=--，所以()()8f x f x =-，故()f x 的最小正周期为8,A 正确；275531111311111,B 222222224f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-=--=--=--=---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦正确；由于()f x 在()1,0-上单调递减，且()f x 关于点()1,0-对称，故()f x 在()2,0-上单调递减，又()f x 的周期为8，则()f x 在()6,8上也为减函数，C 错误；作出函数()f x 的图象可知，函数()y f x =的图象与函数lg y x =-的图象恰有7个交点，D 正确，故选ABD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2由题意可知，函数23(0x y a a -=+>，且1)a ≠的图象恒过定点()2,4，则有()32log 214b ++=，解得2b =.14.-4原式()()()222sin123tan123sin123cos12cos124cos 122sin1222cos 121sin1222cos 121sin12co s12-===---()()2132sin122sin 48222sin4841cos24sin242cos 121sin24sin482⎛⎫ ⎪--⎝⎭====--.15.(20,32)作出函数()2log ,02,sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎩的图象，如图所示，因为()()()()12341234,f x f x f x f x x x x x ===<<<，所以，由图象可知，212234log log ,2612x x x x -=+=⨯=，且()32,4x ∈，则()2123433331,1212x x x x x x x x ==-=-+，由于23312y x x =-+在()2,4上单调递增，故2032y <<，所以1234x x x x 的取值范围为()20,32.16.369350+由题意得1cos21cos233sin22222A B A B ++-=-，即3131sin2cos2cos22222A AB B -=-，所以sin 2sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由a b ≠得A B ≠，又()0,A B π+∈，得2266A B πππ-+-=，即23A B π+=，所以3C π=.由3,5sin sin a c c A A C ===，得65a =.由a c <，得A C <，从而4cos 5A =，故()343sin sin sin cos cos sin 10B AC A C A C +=+=+=，所以ABC的面积为1163433693sin 2251050S ac B ++==⨯⨯=.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）在ABC 中，2223,2b c a bc +-=.由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，332cos 24bcA bc ∴==.（2）由（1）知，70,sin 24A A π<<∴==.32,sin sin22sin cos 2448B A B A A A =∴===⨯⨯=，又73sin 43,,2sin sin sin 378a b b A b a A B B ⨯==∴== ..18.（1） 在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，()22208AP AC AP AO AP AP PO AP AP ∴⋅=⋅=⋅+=⋅+=，22||4AP AP ∴== ，解得2AP = ，故AP 长为2.（2）2AP x AB y AC x AB y AO =+=+ ，且,,B P O 三点共线，21x y ∴+=①，又6,8,3AB AC BAC π∠=== ，则1cos 122AB AO AB AC BAC ∠⋅=⋅= ，由AP BD ⊥可知()()20AP BO x AB y AO AO AB ⋅=+⋅-= ，展开()22220y AO x AB x y AB AO -+-⋅= ，化简得到3y x =②联立①②解得13,77x y ==，故27y x -=.19.（1）由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，将05x =和0v =代入题目所给的公式，可得510log lg5210x =-，.即()5log 2lg521lg2 1.410x ==-≈，从而 1.410595.2x ≈⨯≈，故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为95.2个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，由题意得：15025011.75log lg ,21011.5log lg ,210x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩两式相减可得15211log 42x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得：12x x =，倍.20.（1）取0x y ==，则()()()0020,00f f f +=∴=，取y x =-，则()()()()00f x x f x f x f -=+-==，()()f x f x ∴-=-对任意x ∈R 恒成立，()f x ∴为奇函数；任取()12,,x x ∞∞∈-+且12x x <，则()()()2121210,0x x f x f x f x x ->+-=-<，()()21f x f x ∴<--，又()f x 为奇函数，()()12f x f x ∴>.故()f x 为R 上的减函数.[]()()2,4,4x f x f ∈-∴ ，()()()()()42241418f f f f ===⨯--=- ，故()f x 在[]2,4-上的最小值为-8.（2）()f x 在[]1,1-上是减函数，()()12f x f ∴-=，()222f x m am <-+ 对所有][1,1,1,1x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦恒成立.2222m am ∴-+>对[]1,1a ∀∈-恒成立；即220m am ->对[]1,1a ∀∈-恒成立，令()22g a am m =-+，则()()10,10,g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即2220,20,m m m m ⎧+>⎨-+>⎩解得：2m >或2m <-.∴实数m 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+.21.（1）由已知条件，得2A =，又23,12,46T T ππωω===∴= ，又当1x =-时，有2sin 26y πϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且()20,,3πϕπϕ∈∴=，∴曲线段FGBC 的解析式为[]22sin ,4,063y x x ππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭.由22sin 163y x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，根据图象得到()22636x k k ππππ+=+∈Z ，解得()312x k k =-+∈Z ，又[]()4,0,0, 3.3,1x k x G ∈-∴==-∴-.OG ∴=.∴千米.（2）如图，1OC CD ==，2,6OD COD π∠∴==，作1PP x ⊥轴于1P 点，在Rt 1OPP 中，1sin 2sin PP OP θθ==，在OMP 中，2sin sin 33OP OM ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2332cos sin 23sin 3OP OM πθθθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==-，12cos 2sin 3QMPQ S OM PP θθθ⎛⎫=⋅=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭.24323234sin cos 2sin2333θθθθθ=-=+-sin 2,0,3633ππθθ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当262ππθ+=，即6πθ=时，平行四边形面积有最大值为233平方千米.22.（1）由260x x -->得：2x <-或3x >，即()26g x x --的定义域为{2x x <-∣或3}x >，令26,ln m x x y m =--=在()0,m ∞∈+内单调递增，而(),2x ∞∈--时，26m x x =--为减函数，()3,x ∞∈+时，26m x x =--为增函数，故函数()26g x x --的单调递减区间是(),2∞--（2）由21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与()1,0x ∞∈-可知()[]()121,1,e 0,1x g x ∈-∈，所以112e e 1x x a ->或112e e 1x x a -<-，分离参数得11211e e x x a >+，或11211e e x x a <-有解，令11ex n =，则21,n a n n >>+或2a n n <-有解，得2a >或0a <.（3）依题意()()()222e e e e e e e e 2x x x x x xx x F x a a a a ----=-+-=+-+-，令e e x x t -=+，则函数()F x 转化为()()222h t at t a t =--，此时只需讨论方程220at t a --=大于等于2的解的个数，①当0a =时，()0h t t =-=没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；②当0a >时，()020h a =-<，当()20h >时，1a >，方程没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；当()20h =时，1a =，方程有一个等于2的解，函数()F x 有一个零点；当()20h <时，01a <<，方程有一个大于2的解，函数()F x 有两个零点.③当0a <时，()()020,2220h a h a =->=-<恒成立，即方程不存在大于等于2的解，此时函数()F x 没有零点；·综上所述，当1a =时，()F x 有一个零点；当01a <<时，()F x 有两个零点；当0a 或1a >时，()F x 没有零点.。

2023-2024学年河南省郑州高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB共线的单位向量为（）A ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫⎪⎝⎭，D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫⎪⎝⎭，【正确答案】B【分析】由()1,3A ，()4,1B -，得到向量AB的坐标，再利用单位向量求解.【详解】因为()1,3A ，()4,1B -，所以向量()3,4AB =-，所以与向量AB 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B本题主要考查平面向量的坐标表示与单位向量，属于基础题.2．已知8a = ，与a 同向的单位向量为e ，4b = ，a ，b 的夹角为120 ，则向量b 在向量a方向上的投影向量为（）A ．4eB ．4e-C ．2eD ．2e- 【正确答案】D【分析】求出a b ⋅ ，再计算向量b 在向量a方向上的投影向量可得答案.【详解】由题意知cos ,84cos12016⋅=⋅⋅=⋅⋅=-a b a b a b ，又因为与a 同向的单位向量为e ，所以向量b 在向量a方向上的投影向量为1628a a b b e e e e a a⎛⎫⋅- ⎪⋅⋅=⋅=⋅=- ⎪⎝⎭.故选：D ．3．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得30BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，30CD =米，在C 点测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的总高度约为（）1.4≈1.7≈）A ．13米B ．24米C ．39米D ．45米【正确答案】C【分析】在Rt △ABC 根据∠ACB 的正切得AB 与BC 的关系，在△BCD 中利用正弦定理列式即可求解．【详解】设AB m =，则tan 603m BC =︒在BCD △中，105CBD ∠=︒，由正弦定理得sin105sin 45CD BC=︒︒，因为()sin105sin 4560︒=︒+︒sin 45cos60cos 45sin 60=︒︒+︒︒264=，代入数据，解得90303m =-9030 1.739≈-⨯=（米），故选：C ．4．在ABC 中，已知3a =，π3A =，b x =，满足此条件的三角形只有一个，则x 满足（）A ．23x =B ．()0,3x ∈C ．{}()230,3x ∈⋃D ．{}(]230,3x ∈⋃【正确答案】D【分析】结合正弦定理得23x B =，满足条件的三角形只有一个，即x 有唯一的角与其对应，即可确定B 的范围，求得结果.【详解】由正弦定理得3πsin sin 3x B =，则有3sin 2332B x B=，()2π0,π0,3B A 骣琪Î-=琪桫.∵满足条件的三角形只有一个，即x 有唯一的角与其对应，则ππ0,23B 禳纟镲çÎú睚çú镲铪棼，故{(]0,3x B =Î .故选：D5．在边长为4的等边△ABC 中，已知23AD AB = ，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP =（）A ．1BCD．【正确答案】C【分析】将AP 用AC 和AD表示，再根据,,C D P 三点共线，求出m的值，再根据AP = 即可得出答案.【详解】解：1324AP m AC AB m AC AD =+=+，因为,,C D P 三点共线，所以314m +=，所以14m =，所以1142AP AC AB =+，则A P ==== 故选：C.6．在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，2AB =，4AC =，AD =BAC ∠为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】B【详解】分析：先利用余弦定理和诱导公式得到第三边的长度，再利用余弦定理进行求解．详解：设BD CD x ==，在ABD ∆和ACD ∆中，由余弦定理及诱导公式，得227cos 47cos 16x ADB x ADB ⎧+-∠=⎪⎨++∠=⎪⎩，即214220x +=，解得xBC =，则24161cos 2242BAC +-∠==⨯⨯,所以60o BAC ∠=．点睛：本题考查余弦定理、诱导公式等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用能力和基本运算能力．7．△ABC ，M 为平面上一点，21,=34ABM BCMSAM AB AC S =+ （）A ．3B ．8C ．83D ．38【正确答案】A【分析】通过构造三点共线的方法求得,BG GMCG GA，从而求得正确答案.【详解】如图，延长AM 交BC 于G ，,,B G C 三点共线，故可设()1AG AB AC λλ=+-，因为A ，M ，G 三点共线，故可设AG t AM =，即()21134AB AC t AB AC λλ⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭ ），所以12134λλ-=，解得811λ=且1211t =，又CG CB λ=，故811CG CB = ，所以31,812BG GM CG GA ==，所以11111133113BMC BGM ABM ABM S S S S ==⨯= ，所以=3ABMBCMS S ．故选：A8．已知2a b ==r r ，0a b ⋅=，()12c a b =+，d c -= ，则d 的取值范围是（）A．0,⎡⎣B ．[0，2]C．⎡⎣D ．[0，1]【正确答案】A【分析】根据已知平面向量互相垂直建立直角坐标系，然后根据平面向量坐标表示公式，结合圆的几何性质进行求解即可.【详解】设,OA a OB b == ，因为0a b ⋅= ，所以以OA 、OB所在的直线为横轴、纵轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为2a b ==r r，所以(2,0),(0,2)A B ，因此(2,0),(0,2)OA a OB b ==== ，因为()11(20,02)(1,1)22c OC a b ==+=++= ，即点(1,1)C .设(,)d OD x y == ,(1,1)d c x y -=--，因为d c -= ，=D 在以点(1,1)C 为半径的圆上，而d = C 上的点到原点的距离，圆心(1,1)C =C 上，=，最小距离为0，故选：A本题考查了利用几何意义求平面向量模的最值问题，考查了平面向量坐标表示公式的应用，考查了数学运算能力和数形结合能力.9．已知向量a ，b ，c 满足230a b c ++= ，且6a = ，3b = ，2c = ，则a 与b的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【正确答案】D【分析】由230a b c ++= ，得23a b c +=-，两边平方求得a b ⋅ ，即可得解.【详解】由230a b c ++= ，得23a b c +=-，则222449a a b b c +⋅+= ，所以436363636a b ⋅=--=- ，所以9a b ⋅=-，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-，由于0,180a b ︒︒≤≤ ，所以,120a b =︒ ．故选：D.10．在ABC 中，3,4,90AC BC C ∠=== .P 为ABC 所在平面内的动点，且=2PC ，若CP CA CB λμ=+，则给出下面四个结论：①λμ+的最小值为45-；②PA PB ⋅ 的最小值为6-；③λμ+的最大值为34；④PA PB ⋅ 的最大值为8.其中，正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】A【分析】如图，以C 为原点，,CA CB 所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，设(2cos ,2sin )P θθ，然后表示出,,CP CA CB 的坐标，由题意可得2cos =31sin =2θλθμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，再逐个分析判断即可.【详解】如图，以C 为原点，,CA CB 所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，则(0,0),(3,0),(0,4)C A B ，因为=2PC ，所以设(2cos ,2sin )P θθ，则(2cos ,2sin )CP θθ=，(3,0),(0,4)CA CB == ，所以(3,4)CP CA CB λμλμ=+=，所以2cos =32sin =4θλθμ⎧⎨⎩，即2cos =31sin =2θλθμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（θ为任意角），所以21cos sin 32λμθθ+=+543cos sin 655θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()5sin 6θϕ=+（其中43sin ,cos 55ϕϕ==），所以λμ+的最大值为56，最小值为56-，所以①③错误，因为(32cos ,2sin ),(2cos ,42sin )PA PB θθθθ=--=--，所以2cos (32cos )2sin (42sin )PA PB θθθθ⋅=----4(8sin 6cos )θθ=-+410sin()θα=-+（其中34sin ,cos 55αα==）因为1010sin()10θα-≤-+≤，所以6410sin()14θα-≤-+≤，所以[6,14]PA PB ∈-⋅，所以PA PB ⋅的最小值为6-，最大值为14，所以②正确，④错误，故选：A二、多选题11．下列四个选项，错误的是（）A ．已知向量a ，b ，若“a 与b共线”，则“存在唯一实数λ使得a b λ= ”B ．已知a ，b 是非零向量，若“a 与b共线”，则“a b a b -=+ ”C ．在△ABC 中，A ，B ，C 为三角形的三个内角，若“A B >”，则“sin sin A B >”D ．设非零向量a ，b ，若0a b ⋅> ，则向量a 与b的夹角为锐角【正确答案】ABD【分析】根据向量共线定理可判断A ；根据向量共线定理设a b λ=，分别代入a b - 、a b + 可判断B ；根据正弦定理可判断C ；举当向量、a b 的夹角为0时可判断D.【详解】对于A ，若“a 与()0≠b b 共线”，则“存在唯一实数λ使得a b λ= ”，故A 错误；对于B ，a ，b 是非零向量，若“a 与b共线”，则“存在唯一非零实数λ使得a b λ= ”，则1λλ-=-=- b b b b a ，()1λλ+=+=+ a b b b b ，故1λ- b 与()1λ+b 不一定相等，故B 错误；对于C ，若“A B >”，则a b >，由正弦定理可得“sin sin A B >”，故C 正确；对于D ，当非零向量、a b的夹角为0 时，cos 00⋅==> a b a b a b ，故D 错误.故选：ABD.三、单选题12．在锐角ABC 中，a 、b 、c 分别是ABC 的内角A 、B 、C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（）A ．,13⎫⎪⎪⎝⎭B ．40,5⎛⎫⎪⎝⎭C ．453⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】C【分析】连接CG 并延长交AB 于点D ，由重心的性质可得出32CD c =，利用平面向量的线性运算可得出2CD CA CB =+ ，利用平面向量的数量积以及余弦定理可得出2cos 05a b C b a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，推导出2225a b c +=，再结合锐角三角形这一条件以及余弦定理求出ba的取值范围，利用双勾函数的单调性可求得cos C 的取值范围.【详解】连接CG 并延长交AB 于点D ，则D 为AB 的中点，因为AG BG ⊥，则1122GD AB ==，由重心的性质可得2CG GD = ，则32CD c =，因为()()111222CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+ ，所以，2CD CA CB =+ ，所以，22242CD CA CB CA CB =++⋅，所以，222222cos 99918cos b a ab C c a b ab C ++==+-，所以，2cos 05a b C b a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则C 为锐角，由余弦定理可得()()222222222212cos 255c a b ab C a b a b a b =+-=+-⨯+=+，所以，2225a b c +=，因为ABC 为锐角三角形，则cos 0cos 0A B >⎧⎨>⎩，即222222b c a a c b ⎧+>⎨+>⎩，即222222225555b a b a a a b b ⎧++>⎨++>⎩，所以，32b a <<，构造函数()1f x x x=+，其中0x >，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x <，则()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1212121212111x x x x x x x x x x --⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭.当1201x x <<<时，120x x -<，1201x x <<，则()()12f x f x >，当211x x >>时，120x x -<，121x x >，则()()12f x f x <，所以，函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，b a <<，所以，2b a a b ≤+24cos ,553a b C b a ⎡⎫⎛⎫=+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭.故选：C.关键点点睛：在涉及到三角形中的中线问题，一般利用向量法来处理，结合三角形中的余弦定理来求解，本题中要求解的是角的余弦值的取值范围，要充分利用已知条件将角的余弦值表示为以某个变量为自变量的函数，结合锐角三角形这一条件求出变量的取值范围，再利用相关函数的单调性求解.四、填空题13．设12,e e 是空间两个不共线的向量，已知1212,54AB e ke BC e e =+=+ ，122DC e e =--，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝___．【正确答案】1【分析】由AB BD λ=列方程组，由此求得k 的值.【详解】∵A ，B ，D 三点共线，∴向量AB 和BD共线，故存在实数λ，使AB BD λ= ，1266BD BC CD BC DC e e =+=-=+ ，所以121266e ke e e λλ+=+ 故可得616k λλ=⎧⎨=⎩，解得1k =.故114．ABC 中，BC 边上的点D 满足AB AD AC AD ⋅=⋅，3AD = ，点G 在三角形内，满足0GA GB GC ++=，则AG AD ⋅ 的值为______．【正确答案】6【分析】利用向量数量积的运算，得到AD CB ⊥，再由0GA GB GC ++=，得出G 是ABC 的重心，从而得到23AG AD AD AD ⋅=⨯，求出结果.【详解】因为AB AD AC AD ⋅=⋅，所以()0AB AC AD CB AD -⋅=⋅= ，即AD CB ⊥，如下图，取BC 中点H ，因为0GA GB GC ++= ，所以GB GC GA +=- ，得到2GH GA =-，所以,,A G H 三点共线，且2AG GH =，所以G 是ABC 的重心，所以222()6333AG AD AH AD AD DH AD AD AD ⋅=⋅=+⋅=⨯=．故6.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+，若△ABC 的面积S =，则ab 的最小值为______．【正确答案】48【分析】根据正弦定理结合已知可推得2π3C =，然后根据面积公式即可得出14c ab =，由余弦定理可推得2222116a b ab a b ++=，根据基本不等式即可得出答案.【详解】设R 为ABC 外接圆的半径.由正弦定理知2sin sin sin a b cR A B C===，又2cos 2c B a b ⋅=+，可得.2sin cos 2sin sin C B A B ⋅=+由πA B C ++=，得()sin sin A B C =+，则()2sin cos 2sin sin C B B C B ⋅=++，即2sin cos sin 0B C B ⋅+=，又0πB <<，sin 0B >，得1cos 2C =-.因为0πC <<，得2π3C =，则△ABC 的面积为1sin 24S ab C ab ===△，即14c ab =，由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，化简，得2222116a b ab a b ++=.又222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号，可得：221216ab ab a b +≤，即48ab ≥，故ab 的最小值是48．故48.16．在ABC ∆中，6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+ ，其中01x ≤≤，01y ≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为_______．【详解】试题分析：由OP xOA yOB =+uu u r uu r uu u r，01,01x y ≤≤≤≤其中.可得点P 的轨迹如图的阴影部分的面积，在三角形ABC 中由余弦定理可得解得AB=5.所以三角形ABC 的面积为11sin 5622ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⨯⨯=.又由1(),23ABC S OE AB AC BC OE ∆=++∴=.所以阴影部分面积125233S =⨯⨯⨯=.故填3.1.向量知识.2.向量的坐标表示形式.五、解答题17．如图，在ABC 中，点O 在边BC 上，且2OC OB =．过点O 的直线分别交射线AB 、射线AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM = ，AC nAN =．(1)求2m n +的值；(2)若22m nt t+≥t 的最小整数值．【正确答案】(1)3(2)2【分析】（1）利用向量的线性表示及向量共线的推论即得；（2）利用基本不等式可得112123m n +≥+.【详解】（1）连接AO ．因为2OC OB =，AB mAM = ，AC nAN =，所以()1133AO AB BO AB AB AC AB=+=+=+-21213333AB AC mAM nAN =+=+．因为M ，O ，N 共线，所以21133m n +=，23m n +=．（2）显然0t >，所以2m n t t +≥等价于112m n t+≥，即min112m n t +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭．因为()111111223133m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当n =，即32m =-，3n =时，11m n +取到最小值)2113=．于是)2113t≥，∴6t ≥-故实数t 的最小整数值是2．18．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，且π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．(1)求a b ⋅ 及a b + ；(2)若函数()41f x a b m a b =⋅-++ 的最小值为12-，求m 的值．【正确答案】(1)cos 2a b x ⋅=，2cos a b x+= (2)14【分析】（1）根据数量积的坐标表示结合两角和的余弦公式即可求出a b ⋅，根据数量积的坐标表示结合数量积的运算律即可求出a b + ；（2）由（1）结合二倍角的余弦公式可得()22cos 8cos f x x m x =-，令cos x t =，再根据二次函数的性质分类讨论求解即可.【详解】（1）33cos cos sin sin cos 22222x x x x a b x ⋅=-=，1a ==，1b == ，∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2cos a b x +==== ；（2）()241cos 28cos 12cos 8cos f x a b m a b x m x x m x =⋅-++=-+=- ，令cos x t =，∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]0,1t ∈，则228y t mt =-，当20m ≤，即0m ≤时，()min 0f x =不符合题意，当021m <<，即102m <<时，()2min 8f x m =-，由2182m -=-解得14m =±，又102m <<，∴14m =，当21m ≥，即12m ≥时，()min 28f x m =-，由1282m -=-，解得516m =，又12m >，∴516m =不符合题意，综上可知，m 的值为14．19．已知△ABC 三边为a ，b ，c 三边所对角为A ，B ，C ，满足1cos 2a Cb +=．(1)求角A ．(2)若a ＝1，求△ABC 的周长的取值范围．【正确答案】(1)π3(2)(]2,3【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化，再结合三角恒等变形，即可求解；（2）根据正弦定理，将三角形周长转化为三角函数问题，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）△ABC 中，∵1cos 2a C cb +=，∴由正弦定理得：1sin cos sin sin 2A C CB +=，因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，∴1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+，∴1sin cos sin 2C A C =，∵0π,sin 0C C <<>，∴1cos 2A =，且()0,πA ∈，∴π3A =．（2）∵1sin sin sinb cA B C===，∴b B=，同理c C=，因为π3A=，所以2π3B C+=，所以△ABC周长2π1sin sin1sin sin3333a b c B C B B⎡⎤⎛⎫=++=++=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin cos sin cos sin12B B B B B⎫=+=+⎪⎪⎝⎭π2sin16B⎛⎫=++⎪⎝⎭，因为2π3A<<，所以ππ5π666A<+<，可得：π1sin,162B⎛⎫⎛⎤+∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以△ABC周长的取值范围为(]2,320．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设()2cos cosb c a B C+=+．(1)求角A；(2)若2BD DC=，且AD＝2，求ABC面积的最大值．【正确答案】(1)3π(2)2【分析】（1）利用正弦定理，边转角得到()()sin sinA BAC-=-，再利用角的范围，即可求出结果；（2）利用余弦定理得2221cos22b c aAbc+-==，再利用cos cos0ADB ADC∠+∠=和余弦定理得2222222223302222233a ac ba a⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⋅⋅⋅，从而得到2211822bc b c-=+，再利用重要不等式，即可求出结果.【详解】（1）因为()2cos cosb c a B C+=+，由正弦定理得：()sin sin2sin cos cosB C A B C+=+，∴()()()sin sin2sin cos cosA C AB A B C+++=+，所以sin cos cos sin sin cos cos sin2sin cos2sin cosA C A C AB A B A B A C+++=+整理得，cos sin cos sin sin cos sin cosA C AB A B A C+=+，即cos sin sin cos sin cos cos sinA C A C AB A B-=-∴()()sin sin A B A C -=-，又(π,π)C A -∈-，()π,πA B -∈-，所以C A A B -=-或者πC A A B -+-=（舍）或者 πC A A B -+-=-（舍），所以2C B A +=，又πA B C ++=所以π3A =；（2）在ABC 中，由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc+-==，①又因为2BD DC = ，所以23aBD =，3a CD =，且πADB ADC ∠+∠=，即cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，由余弦定理2222222223302222233a a cb a a⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⋅⋅⋅⋅，得22233182a b c =+-，②将①②联立得：22118222bc b c bc -=+≥，即6bc ≤，（当且仅当b =c =，所以sin 12bc A S bc =⋅⋅。

2019届高一年级下学期第一次月考数学试卷时间:120分钟总分:150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在空间直角坐标系Oxyz中，若y轴上点M到两点P（1，0，2），Q（1，﹣3，1）的距离相等，则点M的坐标为（）A．（0，1，0）B．（0，﹣1，0） C．（0，0，3）D．（0，0，﹣3）3．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或44．已知角θ的终边过点（4，﹣3），则cos（π﹣θ）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣5．已知直线l1：2x+3my﹣m+2=0和l2：mx+6y﹣4=0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为（）A．B．C．D．6．设，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=（）A．0 B．C．D．17．已知函数f（x）=|sinx|，下列结论中错误的是（）A．f（x）既偶函数，又是周期函数．B．f（x）的最大值为C．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于直线x=π对称8．过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=09．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈[﹣，a]，若f（x）的值域是[﹣，1]，则实数a的取值范围是（）A．（0，] B．[，] C．[，] D．[，π]10．函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个φ值为（）A．B． C． D．11．过点P（1，2）作直线l，使直线l与点M（2，3）和点N（4，﹣5）距离相等，则直线l 的方程为（）A．y+2=﹣4（x+1）B．3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0C．y﹣2=﹣4（x﹣1）D．3x+2y﹣7=0或4x+y+6=012．若直线y=k（x﹣2）与曲线有交点，则（）A．k有最大值，最小值B．k有最大值，最小值C．k有最大值0，最小值D．k有最大值0，最小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．求y＝2sin x＋1的定义域.14．若关于x的方程sin2x+2sinx﹣1+m=0有解．则实数m的范围．15．若cos（﹣α）=，则cos（+α）=．16．若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上的点到直线4x﹣3y﹣2=0的最短距离等于1，则半径r的值为（）三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18—22题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直角△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），直角顶点B的坐标为（1，），顶点C在x轴上．（1）求边BC所在直线的方程；（2）求直线△ABC的斜边中线所在的直线的方程．18．已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．19．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是12cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并且最大面积是多少？20．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．21．已知，，是否存在常数a，b∈Q，使得f （x）的值域为？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．22．已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2=0上．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．。

2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()2,1a =- ，()1,1b =- ，则()()23a b a b +⋅-等于（）A.10B.-10C.3D.-32.函数()2cos 2f x x x =是（）A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数C.周期为4π的奇函数 D.周期为4π的偶函数3.将向量()1,1OA = 绕坐标原点O 逆时针旋转60°得到OB ，则OA AB ⋅=（）A.-2B.2C.-1D.14.一个质点受到平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知1F ，2F成60°角且12F = ，24F = ，则3F =（）A.6B.2C. D.5.在ABC △中，若sin cos a B A =，且sin 2sin cos C A B =，那么ABC △一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形6.请运用所学三角恒等变换公式，化简计算tan102sin102︒+︒，并从以下选项中选择该式子正确的值（）A.12C.2D.17.在ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，若AE CA CB λμ=+，则λμ+=（）A.34-B.12-C.34D.18.已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为（）.A.1B.32C.12D.32二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的命题正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥ ，则a c∥ B.两个非零向量a ，b 垂直的充要条件是：0a b ⋅=C.若向量AB CD =，则A ，B ，C ，D ，四点必在一条直线上D.向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b aλ= 10.如图，函数()()2tan 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC △的面积为2π，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为,082k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C.()f x 的单调增区间是5,8282k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k ∈Z D.将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在s t 时相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）由关系式()sin h A t ωϕ=+，[)0,t ∈+∞确定，其中0A >，0ω>，(]0,ϕπ∈.小球从最高点出发，经过2s 后，第一次回到最高点，则（）A.4πϕ=B.ωπ=C. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为22D. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在正六边形ABCDEF 中，2AF ED EF AB -++=__________.13.已知(2a = ，若向量b 满足()a b a +⊥ ，则b 在a方向上的投影向量的坐标为__________.14.已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，ABC △3，且2cos 2b A c a =-，4a c +=，则ABC △的周长为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知α，β为锐角，1tan 2α=，()5cos 13αβ+=.（1）求cos 2$α的值；（2）求()tan αβ-的值.16.（15分）已知4a = ，2b = ，且a 与b的夹角为120°，求：（1）2a b -；（2）a 与a b +的夹角；（3）若向量2a b λ- 与3a b λ-平行，求实数λ的值.17.（15分）如图，四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD DA ==，60DCB ∠=︒.（1）求对角线BD 的长：（2）设DAB θ∠=，求cos θ的值，并求四边形ABCD 的面积.18.（17分）如图，某公园摩天轮的半径为40m ，圆心距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.（1）已知在时刻t （单位：min ）时点P 距离地面的高度()()sin f t A t h ωϕ=++（其中0A >，0ω>，ϕπ<，求函数()f t 解析式及2023min 时点P 距离地面的高度；（2）当点P距离地面(50m +及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？19.（17分）设向量()12,a a a = ，()12,b b b = ，定义一种向量()()()12121122,,,a b a a b b a b a b ⊗=⨯=.已知向量12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，,03n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，点()00,P x y 为函数sin y x =图象上的点，点(),Q x y 为()y f x =的图象上的动点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点）.（1）求()y f x =的表达式并求它的周期；（2）把函数()y f x =图象上各点的横坐标缩小为原来的14倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.设函数()()()h x g x t t =-∈R ，试讨论函数()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的零点个数.2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学答案1.B 【详解】由向量()2,1a =- ，()1,1b =- ，可得()24,3a b +=- ，()31,2a b -=-，所以()()()()23413210a b a b +⋅-=⨯-+-⨯=-.2.A 【详解】由题意得()2cos 2sin 42f x x x x ==，所以()()()4sin 422f x x x f x -=-=-=-，故()f x 为奇函数，周期242T ππ==.3.C 【详解】因为OA == OB = ，()21212OA AB OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅-=⋅-=-=- .4.D 【详解】∵物体处于平衡状态，∴1230F F F ++=，即()312F F F =-+ ，∴312F F F =+===5.D 【详解】因为sin cos a B A =，则sin sin cos A B B A =，因为(),0,A B π∈，则sin 0B >，所以tan A =，则3A π=，又因为sin 2sin cos C A B =，A B C π++=，则()sin 2sin cos A B A B +=，则sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，即sin cos cos sin 0A B A B -=，即()sin 0A B -=，又因为(),0,A B π∈，则A B ππ-<-<，所以3A B π==，即3A B C π===.即ABC △一定是等边三角形，故D 正确.6.A 【详解】2sin102cos10tan102sin102sin1022cos102cos10︒︒+︒⨯︒︒+︒=+︒=︒︒()2sin 30102sin 202cos102cos10︒+︒-︒︒+︒==︒︒()2sin 30cos10cos30sin102cos10︒+︒︒-︒︒=︒cos10cos1012cos102cos102︒+︒︒︒===︒︒7.B 【详解】ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，则()1111113122222244AE AC AD AC AB AC AC CB CA CB ⎛⎫⎛⎫=+=+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以34λ=-，14μ=，所以12λμ+=-.8.D 【详解】设AE x =，[]0,1x ∈，()DE DC DA AE DC DA DC AE DC⋅=+⋅=⋅+⋅113cos cos0,222DA DC ADC AE DC x ⎡⎤=⋅∠+︒=+∈⎢⎥⎣⎦ ，∴DE DC ⋅ 的最大值为32.故选：D.9.BD 【详解】对于A ，当0b =时，不一定成立，A 错误；对于B ，两个非零向量a ，b ，当向量a ，b 垂直可得0a b ⋅= ，反之0a b ⋅= 也一定有向量a ，b垂直，∴B 正确；对于C ，若向量AB CD = ，AB 与CD方向和大小都相同，但A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴C 错误；对于D ，由向量共线定理可得向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b a λ=，∴D 正确.10.ABD 【详解】A ：当0x =时，()02tan 24OC f π===，又2ABC S π=△，所以112222ABCS AB OC AB π==⨯=△，得2AB π=，即函数()f x 的最小正周期为2π，由T πω=得2ω=，故A 不正确；B ：由选项A 可知()2tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令242k x ππ+=，k Z ∈，解得48k x ππ=-，k Z ∈，即函数()f x 的对称中心为,048k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈，故B 错误；C ：由32242k x k πππππ+<+<+，k Z ∈，得58282k k x ππππ+<<+，k Z ∈，故C 正确；D ：将函数()f x 图象向右平移8π个长度单位，得函数2tan 2y x =的图象，故D 不正确.11.BC 【详解】对于AB ，由题可知小球运动的周期2s T =，又0ω>，所以22πω=，解得ωπ=，当0s t =时，sin A A ϕ=，又(]0,ϕπ∈，所以2πϕ=，故A 错误，B 正确；对于CD ，则sin cos 2h A t A t πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度之比为()()15cos coscos 3.75244cos 10cos10cos 02A A πππππ⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭===⨯，故C 正确D 错误.故选：BC.12.0【详解】由题意，根据正六边形的性质()222AF ED EF AB AF ED EF AB AF DF AB-++=--+=++ 22220AF CA AB CF AB BA AB =++=+=+= .故答案为：0.13.(1,-【详解】由题意知()a b a +⊥ ，故()0a b a +⋅= ，所以20a a b +⋅=，而(a =，则a ==23a b a ⋅=-=- ，则b 在a方向上的投影向量为(1,a a aab ⋅⋅==- ，即b在a方向上的投影向量的坐标为(1,-，故答案为：(1,-.14.6【详解】∵2cos 2b A c a =-，∴222222b c a b c a bc+-⋅=-，∴22222b c a c ac +-=-，∴222a cb ac+-=∴2221cos 22a cb B ac +-==∵0B π<<，∴3B π=，∵1sin 24ABC S ac B ac ===△∴4ac =，∵4a c +=，∴2a c ==，又3B π=，∴ABC △是边长为2的等边三角形，∴ABC △的周长为6.15.【详解】（1）22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++；（2）由1tan 2α=，得22tan 14tan 211tan 314ααα===--，因为α，β为锐角，所以,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,αβπ+∈，又因()5cos 13αβ+=，所以0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()12sin 13αβ+==，所以()()()sin 12tan cos 5αβαβαβ++==+，则()()()()412tan 2tan 1635tan tan 24121tan 2tan 63135ααβαβααβααβ--+-=-+==-⎡⎤⎣⎦+++⨯.16.【详解】（1）2a b -====（2）因为()2222168412a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以a b += ，又()216412a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，所以()3cos ,2a a b a a b a a b⋅++===+ ，又[],0,a a b π+∈ 所以a 与a b + 的夹角为6π；（3）因为向量2a b λ- 与3a b λ-平行，所以存在实数k 使()233a b k a b ka kb λλλ-=-=- ，所以23kkλλ=⎧⎨-=-⎩，解得λ=17.【详解】（1）解：连接BD ，在BCD △中，3BC =，2CD =，60DCB ∠=︒得：22212cos 9423272BD CD BC CD BC DCB =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯=∴BD =（2）在ABD △中，由DAB θ∠=，1AB =，2DA =，7BD =2221471cos 22122AB DA BD AB DA θ+-+-===-⨯⨯⨯，∴120θ=，四边形ABCD 的面积：11sin sin 22BCD ABC S S S BC CD BCD AB AD θ=+=⨯⨯⨯∠+⨯⨯⨯△△∴13133212232222S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.18.【详解】（1）依题意，40A =，50h =，3T =，则23πω=，所以()240sin 503f t t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由()010f =可得，40sin 5010ϕ+=，sin 1ϕ=-，因为ϕπ<，所以2πϕ=-.故在时刻t 时点P 距离地面的离度()()240sin 50032f t t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭.因此()2202340sin 2023507032f ππ⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭，故2023min 时点P 距离地面的高度为70m.（2）由（1）知()2240sin 505040cos 323f t t t πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0t ≥.依题意，令()503f t ≥+240cos 33t π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭23cos 32t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，解得52722636k t k πππππ+≤≤+，k ∈Z .则573344k t k +≤≤+，k ∈Z .由75330.544k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知转一圈中有0.5min 时间可以看到公园全貌.19.【详解】（1）因为12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00,OP x y =，因为点()00,P x y 为sin y x =的图象上的动点，所以00sin y x =，0000112,2,sin 22m OP x y x x ⎛⎫⎛⎫⊗== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；因为OQ m OP n =⊗+ ，所以()000011,2,sin ,02,sin 2332x y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以00231sin 2x x y x π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0032sin 2x x x y π⎧-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以()11sin 226y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，它的周期为4T π=；（2）由（1）知()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，当262x ππ-=时，3x π=所以()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其函数图象如下图所示：由图可知，当12t=或1144t-≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦内只有一个零点，当1142t≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个零点，当14t<-或12t>时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内没有零点.。

2019年3月本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.22232121.DCBA--2.在中，已知三个内角为A，B，C满足3.已知中，，，，则B等于A. B. 或C. D. 或4.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为A. B.C . D.5.若，则A. B. C. D.6.已知平面向量)3,(),3,1(-==→→xba，且，则=+→→ba2（）A.10B.C. 5D.7.已知，点C，D，则向量在方向上的投影为 ( ))()2370cos(0=-)(,7:5:3sin:sin:sin==CCBA则015013512090DCBAA. B. C. D.8. 如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若，则A. 2B.C.D.9. 在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且若，则的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形10. 已知向量 ,1||=≠→→→b b a ，若对任意的|||t |,R t →→→→-≥-∈b a b a 恒成立，则必有（ ）A →→⊥b a B 、)(→→→-⊥b a a C 、)(→→→-⊥b a b D 、)()(→→→→-⊥+b a b a 11. 设O 在的内部，且，的面积与的面积之比为A. 3：1B. 4：1C. 5：1D. 6：1 12. 在中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，，且满足若点O 是外一点，，，平面四边形OACB 面积的最大值是 A.B.C. 3D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13. 已知数列满足递推关系：，，则=2019a ______ ．14. 已知锐角， 满足，则 =______15. 给出下列六个命题：①若，R ∈λ则)()(→→→→⋅=⋅b a b a λλ； ②，→→≠0a 若→→→→⋅=⋅c a b a ，则→→=c b ；③若 →→→c b a ,, 均为非零向量，则 →→→→→→⋅=⋅a c b c b a )()( ; ④若 →→→→c b b a //,//，则 →→c a // ;○5若，则A 、B 、C 、D 必为平行四边形的四个顶点；○6 .,,→→→→→→>>b a b a b a 同向，则且若 其中正确的命题序号是 ________．16. 如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OC u u u r的夹角为α，且tan 7α=，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45o．若OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r （m ，n ∈R ），则m n += ．三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分) 已知向量，． 设与的夹角为，求的值；若与垂直，求实数的值18.(本小题满分12分)在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中，，且满足，(1)求B ；(2)求b 及 的面积．19.(本小题满分12分)已知向量，.2sin )1(x n m 求时，当→→⊥).32tan(//)2(π-→→x n m 求时，当20.(本题满分12分)如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有ABC∆一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西方向，以40海里小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．Ⅰ求的值；Ⅱ试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？21.(本小题满分12分)已知，，函数．（1）求函数的最小正周期和单调减区间；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围．22.(本小题满分12分)如图所示，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB=1，，AC=CD，AC⊥CD，记∠ABC=θ．（1）若θ=45°，求对角线BD的长度.（2）当θ变化时，求对角线BD长度的最大值．2019年佛山市第一中学高一下学期第一次段考数学答案13. 14.15. 1 16.17. 解：向量，，则 . ..........1分且，；...............................3分设与的夹角为，则；...............................................5分若与垂直，则，...............................................7分即，所以，........................................9分解得． ............................................................10分18. 解：Ⅰ解：(1 )根据正弦定理得：............................................................................. ..................... 2分 .........................................................................................3分................................................................................ ...............................5分................................................................................6分(2) ................9分. . .........................12分19.解：(1) (3)分..............................5分(2) (7)分．...............................................8分......................................10分.........................12分20.解 (1) 由已知可得.................................... ........................................................................................1分......................4分....................................................................................................................... ......5分....................................... ..............................6分..........................8分....................................... ......10分…….12分21. 解：...............................2分................................................................................ ....................................3分令，解得．.......................5分的对称轴方程为...........................................................................6分.，........................................................................7分又上是增函数，分）又，时的最大值是分恒成立，，即分实数m的取值范围是分22.解：（1）在△ABC中，∵AB=1，BC=，∠ABC=45°，由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=1，.......................1分.∴AC=1，................................................................2分.△ABC为等腰直角三角形，∴∠BCD=135°，...........................................................3分.在△BCD中，BC=，CD=AC=1，∠BCD=135°，由余弦定理可得：BD2=BC2+CD2-2CD•BC•cos∠BCD=5，......................4分∴BD=..................................................................5分（2）在△ABC中，∵AB=1，BC=，∠ABC=θ，由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=3-2cosθ，................6分又由正弦定理可得=，..........................................7分即=，∴sin∠ACB=，.................................................8分∴cos∠BCD=cos（+∠ACB）=-sin∠ACB=-，........................9分在△BCD中，BC=，CD=AC=，由余弦定理可得:BD2=BC2+CD2-2CD•BC•cos∠BCD=5+2（sinθ-cosθ）=5+4sin（θ-） (11)分∴当θ=时，（BD2）max=9，则BD max=3． (12)分小题答案：第10题11题. 解：如图，延长OD至E，使，连AE、BE，易有四边形AEBD是平行四边形．令D是AB的中点，则有又，即C，O，D三点共线，且到AC的距离是点D到AC的距离的，到AC的距离是点B到AC的距离的，的面积与的面积之比为．12题. 解：中，，，，即，，又，为等边三角形．．，，故当时，取得最大值为1，故的最大值，故选：A．14题解：锐角，满足，，，，，故，16题。