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函数的基本性质其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
函数表⽰每个输⼊值对应唯⼀输出值的⼀种对应关系。
函数f中对应输⼊值x的输出值的标准符号为f(x)。
性质有界性设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于⼀切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上⽆界。
单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。
如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。
单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
奇偶性设为⼀个实变量实值函数，若有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。
⼏何上，⼀个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。
奇函数的例⼦有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。
设f（x）为⼀实变量实值函数，若有f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数。
⼏何上，⼀个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。
偶函数的例⼦有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。
偶函数不可能是个双射映射。
连续性在数学中，连续是函数的⼀种属性。
直观上来说，连续的函数就是当输⼊值的变化⾜够⼩的时候，输出的变化也会随之⾜够⼩的函数。
如果输⼊值的某种微⼩的变化会产⽣输出值的⼀个突然的跳跃甚⾄⽆法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
2018高考一轮复习函数知识点及题型归纳一、函数的及其表示题型一：函数的概念映射的概念：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．函数的概念：如果A 、B 都是非空的数集．．．．．，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作()y f x = ,其中x ∈A ,y ∈B ，原象的集合A 叫做定义域，象的集合C 叫做函数()y f x =的值域． 映射的基本条件：1. 可以多个x 对应一个y ，但不可一个x 对应多个y 。
2. 每个x 必定有y 与之对应，但反过来，有的y 没有x 与之对应。
函数是一种特殊的映射，必须是数集和数集之间的对应。
例1：已知集合P={40≤≤x x }，Q={20≤≤y y }，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ） A. f ∶x →y=21x B. f ∶x →y=x 31 C. f ∶x →y=x 32 D. f ∶x →y=x例2：设M ＝｛x ｜－2≤x ≤2｝，N ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ， 则f （x ）的图象可以是（ ）例3：下列各组函数中，函数)(x f 与)(x g 表示同一函数的是（1）)(x f ＝x ，)(x g ＝xx 2； （2）)(x f ＝3x －1，)(t g ＝3t －1；（3）)(x f ＝0x ，)(x g ＝1； （4）)(x f ＝2x ，)(x g ＝2)(x ；题型二：函数的表达式1. 解析式法例4：已知函数()32,0,4tan ,0,2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩则 .真题：【2017年山东卷第9题】设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）2 （B ） 4 （C ） 6 （D ） 8[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )．若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 【2015高考新课标1文10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74-（B ）54- （C ）34- （D ）14- 2. 图象法例5：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是_______________ 例6：向高为H 的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图2—4所示，那么水瓶的形状是（ ）例7：如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ，2l 之间，l //1l ，l 与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于E,D 两点.设弧FG 的长为x(0＜x ＜π),y=EB+BC+CD ，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数y=f(x)的图像大致是( )真题：【2015高考北京】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是st OA ．st Ost OstOB ．C ．D ．A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【2015年新课标2文科】如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3.表格法例8：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出x 123x 123f(x)131g(x)321则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．题型三：求函数的解析式.1. 换元法例9：已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f =变式1：已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f =变式2：已知f （x 6）＝log 2x ，那么f （8）等于2.待定系数法例10：已知二次函数f (x)满足条件f (0)=1及f (x+1)-f (x)=2x 。
4月4日 函数的基本性质
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
典例在线
已知函数满足，若在上为偶函数，且其解析式为()()2log ,02,20x x f x g x x <<⎧⎪=⎨-<<⎪⎩，则的值为
A ．−1
B ．0
C ．
D ． 【参考答案】B
【解题必备】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
学霸推荐
1．已知函数
，则下列结论错误．．的是 A ．在上单调递增 B ．在上单调递减 C ．的图象关于直线对称 D ．的图象关于点对称
2．已知函数是奇函数，定义域为，且时，，则满足的实数的取值范围是 __________．
1．【答案】D
2．【答案】
【解析】作出函数的大致图象：
当时，，显然无解；当时，，即，∴满足的实数的取值范围是，故答案为.。
1．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π12B ．x ＝π12C ．x ＝π3D ．x ＝2π32．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B .32 C.22D ．1 解析：由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.答案：B3．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π6 B.π12 C.π3 D.5π6解析：∵y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴将函数图象向左平移m 个单位长度后得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋m 的图象，∵g (x )的图象关于y 轴对称，∴g (x )为偶函数，∴π3＋m ＝π2＋k π(k ∈Z)，∴m ＝π6＋k π(k ∈Z)，又m >0，∴m 的最小值为π6.答案：A4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．f (x )＝34sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6B ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋15C ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56x ＋π6D ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －15解析：由图可以判断|A |<1，T >2π，则|ω|<1，f (0)>0，f (π)>0，f (2π)<0，只有选项B 满足上述条件． 答案：B5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34C ．－34D ．±346．设a ＝tan 130°，b ＝cos(c os 0°)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋120，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >c >a解析 a ＝tan 130°<0，b ＝cos(cos 0°)＝cos 1，∴0<b <1；c ＝1，故选B. 答案 B7．已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析 由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.答案 A8．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是2πB ．图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C ．图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π2上是增函数9．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的函数是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，23π，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32.答案 A10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫其中ω＞0，|φ|＜π2的图象如下，则S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 011)等于( )A ．0B ．503C ．1 006D ．2 01211．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2，且其图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π解析 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3的图象关于y 轴对称，所以θ＝－π6，所以f (x )＝－2cos 12x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4递减，故选C.答案 C12．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0D ．将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到y ＝2sin ωx 的图象解析 因为设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，所以φ＝π6，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)(ω>0，－π2<φ<π2)，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，所以f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，故选C.答案 C13．已知函数f (x )＝2sin(x ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 008π3的值为( )A ．－2B ．2C ．－ 3D. 314．函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π315．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：令ωx ＝X ，则函数y ＝2sin X 与y ＝2cos X 图象交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2k π，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋2k π，－2，k ∈Z.因为距离最短的两个交点的距离为23，所以相邻两点横坐标最短距离是2＝T 2，所以T ＝4＝2πω，所以ω＝π2.答案：π216．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．解析：将f (x )的图象向右平移2π3个单位后得到图象的函数解析式为2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋π6－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2ωπ3＋π6－1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z，所以ω＝3k ，k ∈Z，因为ω>0，k ∈Z，所以ω的最小值为3. 答案：317．已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．18．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有19．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0.20．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间．所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .。
2018年高考数学高频考点2、函数命题动向函数既是高中数学最重要的基础知识又是高中数学的主干知识，还是高中数学的主要工具，在高考中占有举足轻重的地位，其考查的内容是丰富多彩的，考查的方式是灵活多变的，既有以选择题、填空题形式出现的中低档试题，也有以解答题形式出现的中高档试题，更有以综合了函数、导数、不等式、数列而出现的压轴题．在试卷中往往是以选择题、填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法，以解答题的形式考查函数的综合应用．押猜题3已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的∈x R 都有),()2(x f x f -=+若当]2,0[∈x 时，),1lg()(+=x x f 则有（ ）A ．)27()1()23(f f f >>-B ．)1()27()23(f f f >>-C ．)27()23()1(f f f >->D ．)23()1()27(->>f f f 解析 )(),()2()22()()2(x f x f x f x f x f x f ∴=+-=++⇒-=+Θ的最小正周期为 4.因为)(x f 是定义在R 上的偶函数，则),()(x f x f =-则),23()23(f f =- ),21()21()27(f f f =-=因为当]2,0[∈x 时，)1lg()(+=x x f 为增函数，故).27()1()23(f f f >>-故选A. 点评 本题集函数的周期性、奇偶性、单调性等于一体考查，是高考命题者惯用的手法，充分体现了高考选择题的“小、巧、精、活”的特点，是一道难得的好题.押猜题4（理）已知函数.)1ln()1()(22x x x f +-+=（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若当]1,11[--∈e ex 时（其中Λ71828.2=e ），不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.解析 因为,)1ln()1()(22x x x f +-+=所以.12)1(2)(x x x f +-+=' （1）令120]11)1[(212)1(2)(-<<-⇒>+-+=+-+='x xx x x x f 或0>x ，所以)(x f 的单调增区间为)1,2(--和),0(+∞；令010]11)1[(212)1(2)(<<-⇒<+-+=+-+='x xx x x x f 或,2-<x 所以)(x f 的单调减区间为)0,1(-和).2,(--∞（2）令0012)1(20)(=⇒=+-+⇒='x xx x f 或,2-=x Θ函数)(x f 在]1,11[--e e 上是连续的，又,2)1(,1)0(,21)11(22-=-=+=-e e f f ee f 所以，当]1,11[--∈e ex 时，)(x f 的最大值为.22-e 故]1,11[--∈e e x 时，若使m x f <)(恒成立，则.22->e m （3）原问题可转化为：方程2)1ln()1(x x a +-+=在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根.令,)1ln()1()(2x x x g +-+=则,121)(xx g +-='令,0)(='x g 解得：,1=x 当)1,0(∈x 时，)(,0)(x g x g ∴<'在区间)1,0(上单调递减，当)2,1(∈x 时，)(,0)(x g x g ∴>'在区间)2,1(上单调递增.)(x g Θ在0=x 和2=x 处连续，又,9ln 3)2(,4ln 2)1(,1)0(-=-==g g g且,19ln 34ln 2<-<-∴当]2,0[∈x 时，)(x g 的最大值是)(,1x g 的最小值是.4ln 2-∴在区间]2,0[上方程a x x x f ++=2)(恰好有两个相异的实根时，实数a 的取值范围是：.9ln 34ln 2-≤<-a点评 本题考查导数在研究函数性质，不等式恒成立，参数取值范围等方面的应用，充分体现了导数的工具和传接作用.作为一道代数推理题，往往处在“把关题”或“压轴题”的位置，具有较好的区分和选拔功能.（文）已知函数)(x f y =与函数)(1x f y -=互为反函数，且函数)1(+=x f y 与函数)1(1+=-x f y 也互为反函数，若0)1(=f ，则)2010(1-f =（ ）A ．0B ．1C ．2009-D ．2010-解析 求得函数)1(+=x f y 的反函数为,1)(1-=-x f y 又函数)1(+=x f y 与函数)1(1+=-x f y 也互为反函数，所以)2010(,1)()1(111---∴-=+f x f x f .2009201012010)0(2)2008(1)2009(111-=-=-==-=-=---f f f Λ故选C.点评 本题是以“年份”为背景的代数推理题，挖掘出1)()1(11-=-+--x f x f 是解题的关键，是推理的基础，结合累加法和反函数的有关知识可使问题圆满解决.此题对文科考生而言有相当的难度.。
《函数的基本性质》知识点总结《函数的基本性质》知识点总结「篇一」《函数的基本性质》知识点总结基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。
（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
2018届数学高考知识点数学是一门需要掌握基本知识并运用于解决实际问题的学科。
在高考中，数学作为一门重要科目，占据了一定的分值比例。
因此，熟练掌握数学知识点对于考生来说尤为重要。
下面将针对2018届数学高考的考点进行讨论和总结。
一、函数与方程在函数与方程的知识点中，高考常考的包括一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
其中，一次函数是最基础的函数形式之一，可以用来描述直线的特征。
二次函数则在图像的形状上更为复杂，包括抛物线和开口方向等有趣特性。
指数函数和对数函数则涉及到指数和对数的性质与运算规则。
在方程的知识点中，高考考察的包括一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程和一元代数方程组等。
解方程是数学解题的关键环节，需要学生掌握运用各种方法进行方程的解。
二、几何与立体几何几何与立体几何是数学中的一个重要分支，常见的高考考点包括直线和平面的性质、三角形和四边形的相关定理以及立体图形的计算等。
在几何方面，高考关注三角形和四边形的性质和定理。
例如，三角形的内角和为180度，同位角是相等的，以及勾股定理等。
对于四边形，高考常考察平行四边形的性质、矩形的性质和正方形的性质等。
在立体几何方面，高考考察的内容与体积和表面积相关。
例如，正方体、长方体和圆柱体的体积公式和表面积公式。
三、概率与统计概率与统计是数学领域中的另一个重要分支，高考常考的知识点包括排列与组合、概率计算和统计图表等。
在排列与组合的知识点中，高考经常考察的内容包括从n个元素中取m个元素的组合和排列的计算。
概率计算是指通过实验或推理确定某件事情发生的可能性的过程。
高考考察的内容主要包括样本空间、事件和事件概率的计算等。
统计图表是对数据进行可视化展示的方式，包括条形图、折线图、饼图和散点图等。
高考考察的内容主要包括数据的收集、整理和处理等。
综上所述，2018届数学高考的知识点主要集中在函数与方程、几何与立体几何以及概率与统计三个方面。
掌握这些知识点，并能够熟练运用于解决实际问题，是高考数学考试取得好成绩的关键。
考点5 函数的基本性质一、 知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:1.1函数的奇偶性（1）函数的奇偶性的定义：对于函数)(x f 定义域内定义域内任意一个x ，若有()()f x f x -=-，则函数)(x f 为奇函数；若有()()f x f x -=，那么函数)(x f 为偶函数（2）奇偶函数的性质：①定义域关于原点对称；②偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称；③ 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇．④ ()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．⑤若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．⑥奇函数在相对的区间上具有相同的单调性，偶函数在相对的区间上具有相反的单调性.1.2函数的单调性（1）单调性定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A . 区间A I ⊆.如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有12()(),f x f x ＜那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x ＝的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有)()(21x f x f >，那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x ＝的单调减区间．（2）函数单调性判定方法①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论②运算法则法：如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；④减函数-增函数是减函数；③导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.④复合函数的单调性：同增异减，即内外单调性相同时，为增函数，不同时，为减函数. ⑤图像法：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减.(3)单调性应用：已知含参数的可导函数()f x 在某个区间上单调递增（减）求参数范围，利用函数单调性与导数的关系，转化为在该区间上()f x '＞0（＜0）恒成立问题，通过参变分离或分类讨论求出参数的范围，再验证参数取等号时是否符合题意，若满足加上.1.3对称性与周期性（1）周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．（2）关于函数周期性常用的结论①若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ②若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ③若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). ④如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． ⑤函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒．⑥函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．⑦函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．（3）函数()y f x =的图象的对称性结论①若函数)(x f y =关于x a =对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -⇔对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -⇔()y f x a =+是偶函数；②函数)(x f y =关于点（a ，0）⇔对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +⇔(2)f a x -=－()f x ⇔()y f x a =+是奇函数；③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2b a x +=； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a f b x +=--,则函数)(x f 的对称轴中心为(,0)2a b +； ⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称.1.4.函数图像及其应用（1）函数)(x f y =的图象变换①将函数()y f x ω=图像0)((0))||a a a ><向左(向右单位(())y f x a ω=+的图象；②将函数)(x f y =图像0)((0))||b b b ><向上(向右单位()y f x b =+的图象；③将函数)(x f y =图像x x x 轴下方部分沿轴对折到轴上方|()|y f x =的图象；④将函数)(x f y =图像y 擦除轴左侧部分将y 轴部分沿y 轴对折(||)y f x =的图象； ⑤将函数)(x f y =图上1ω所有点的横坐标变为原来的倍()y f x ω=的图象;⑥将函数)(x f y =图上A 所有点的纵坐标变为原来的倍()y Af x =的图象.（2）函数图象的识别策略：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤利用特殊点进行排除.2.命题规律展望：对函数性质的考查是高考命题的重点和热点，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的图像以及几方面的综合，且常以复合函数或分段函数的形式出现，达到一题多考的目的.题型一般为选择题、填空题，属中低档题，或者结合导数研究函数性质的大题，也应为同学们必须得分的题目.二、题型与相关高考题解读1.函数单调性的判定与性质应用1.1考题展示与解读例 1【2017北京，理5】已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【命题意图探究】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判定，是基础题.【答案】A【解析】()()113333x x xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性.1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】给定函数①12y x =，②1y x =，③1y x =-，④cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中既是奇函数又在区间()0,1上是增函数的是A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】 D 【变式2：改编结论】若函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题意得，因为函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则1001{01a a a -<<<⇒<<且()log 21222a a a a ≤-⨯-⇒≥，综合可得实数a的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭. 【变式3：改编问法】已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的增函数，实数a 使得()()212f ax x f a --<-对于任[]0,1x ∈都成立，则实数a 的取值范围是( )A. (),1-∞B. []2,0-C. (22---+D. []0,1【答案】A【解析】由条件得1−ax −x 2<2−a 对于x ∈[0,1]恒成立令g (x )=x 2+ax −a +1,只需g (x )在[0,1]上的最小值大于0即可。
2018 年高考数学知识点复习：函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解
指数函数 y=a^x
a^a*a^b=a^a+b（a0,a 、b 属于 Q ）
（a^a ）^b=a^ab （a0,a 、b 属于 Q）
（a b ）^a=a^a*b^a （a0,a 、b 属于 Q）
指数函数对称规律：
1、函数 y=a^x与 y=a^-x关于 y 轴对称
2、函数 y=a^x与 y=-a^x关于 x 轴对称
3、函数 y=a^x与 y=-a^-x关于坐标原点对称对数函数 y=loga^x
假如，且，那么：
○1?+;
○2-;
○3.
注意：换底公式
（，且；，且；）。
幂函数 y=x^a （a 属于 R）
1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，此中为常数。
2、幂函数性质归纳。
（1）全部的幂函数在（0，+∞）都有定义而且图象都过点（1 ，1）；
（2）时，幂函数的图象经过原点，而且在区间上是增函数。
特
别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数。
在第一象限内，当
从右侧趋势原点时，图象在轴右方无穷地迫近轴正半轴，当趋于时，
图象在轴上方无穷地迫近轴正半轴。
精心整理，仅供学习参照。
专题05-函数的基本性质(周期)
函数的周期性可以说是函数的一个重要的性质，它也是高考命题员非常关注的一个知识点。
下面就专题解读函数的周期性。
同学们主要理解和掌握
1、什么叫做周期函数？什么是周期？
2、什么是函数的正周期等重要的性质。
对于函数y=f(ⅹ)，如果存在常数A≠0，使得函数定义域内任意一个ⅹ都有f(ⅹ+A)=f(x)成立，我们称f(x)为周期函数。
常数A叫做函数f(x)的周期。
并且把满足上述关系的最小正数A叫做f(ⅹ)的最小正周期。
同学们注意，周期性一般指的是函数的周期。
即指的是函数的最小的正周期。
例如:正弦函数y=sinx的周期为2π。
如果f(ⅹ)最小的正周期为
A，则A的整数倍为
nA(n≠0。
±1，±2…)均为函数f(x)的周期。
并且f(Kx)(K∈Z，且K≠0，也是周期函数。
其最小的正周期为A/丨K丨。
关于函数周期性的基本概念就简要解读到这里，希望同学们要理解和掌握好函数周期这个重要的性质，以便更好的学习函数周期这个重要的知识点。
考点05 函数的基本性质（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. （2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.一、函数的单调性 1．函数单调性的定义设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠.若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间[],a b 上是增函数；若有()()1212()0[]x x f x f x --<或1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式. 2．单调区间的定义若函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，则称函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数()f x 的单调区间．注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是A ”与“函数在区间B 上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然B A ⊆. （4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1y x=分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．学.科 3．函数单调性的常用结论（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数； （2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； （3）函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反； （4）函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与y 的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性：①1y x x=+的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减；②b y ax x =+（0a >，0b >）的单调性：在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝上单调递减．4．函数的最值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 二、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）．2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括，则()00f =． （4）若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x fx -==．（5）定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：①函数()xxf x a a -=+为偶函数，函数()xxf x a a -=-为奇函数．②函数()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数()1log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()(log a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数．三、函数的周期性 1．周期函数对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期（若不特别说明，T 一般都是指最小正周期）. 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 3．函数周期性的常用结论 设函数()y f x =，0x a ∈>R ，.①若()()f x a f x a =+-，则函数的周期为2a ； ②若()()f x a f x +=-，则函数的周期为2a ； ③若1()()a x f x f =+，则函数的周期为2a ； ④若1()()f a x x f =-+，则函数的周期为2a ； ⑤函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的周期为2||b a - ；⑥若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是2||b a -； ⑦若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是4||b a -； ⑧若函数()f x 是偶函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为2a ； ⑨若函数()f x 是奇函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为4a .考向一 判断函数的单调性1．判断函数单调性的方法：（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出()1f x 与()2f x 的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．典例1 函数()()212log f x x x=-的单调递增区间是A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C典例2 已知函数()()xx a x af x =≠-． （1）若2a =-，试证：()f x 在(),2-∞-上单调递增； （2）若0a >且()f x 在(1,)+∞上单调递减，求a 的取值范围． 【解析】任设122x x <<-， 则()()12121221212()22(2)(2)f x x x x x x x x x f x --=-=++++. 因为12()22(0)x x >＋＋，120x x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在(),2-∞-上单调递增．【名师点睛】函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的．如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的．1．“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x -=在区间(0,)+∞内单调递增”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件考向二 函数单调性的应用函数单调性的应用主要有：（1）由12,x x 的大小关系可以判断()1f x 与()2f x 的大小关系，也可以由()1f x 与()2f x 的大小关系判断出12,x x 的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内．典例3 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的1x ，[)20,x ∈+∞（12x x ≠），有()()21210f x f x x x -<-，则A ．()()()324f f f <<B ．()()()123f f f <<C ．()()()213f f f -<<D ．()()()310f f f << 【答案】D典例4 已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(32)f x f x -+≥--.则31022x x x <⎧--⋅≤⎪⎨⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()(32)f x f x -+≥--的解集为0{|}1x x ≤<-．解法二：由()()()1()21221f f f f =⇒+=-，∴()()()4222f f f =+=-， ∴()()()34f x f x f -≥-+，即()3]4[()f x x f -≥-，则030(3)4x x x x -->⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()(32)f x f x -+≥--的解集为0{|}1x x ≤<-．2．已知函数()()23log 5f x x ax a =+++在区间(),1-∞上是单调递减函数，则实数的取值范围是 ．考向三 函数最值的求解1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间[]a b ，上是增函数，则()f x 在[]a b ，上的最小值为()f a ，最大值为()f b ；若函数在闭区间[]a b ，上是减函数，则()f x 在[]a b ，上的最小值为()f b ，最大值为()f a .2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.典例5 已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】(),1-∞-1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-.典例6 已知函数()223f x x x =--，若x ∈，求函数f (x )的最值．设函数f (x )的最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有2223,0()23,0t t t g t t t t ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩，2223,1()4,1123,1t t t t t t t t ϕ⎧+-≤-⎪=--<≤⎨⎪-->⎩.【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合.3．对于任意实数,a b ，定义,{},min ,a a bb a b a b ≤⎧=⎨>⎩.设函数()3f x x =-+，()2log g x x =，则函数()()(){n }mi h x f x g x =，的最大值是________．考向四 判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的常用方法及思路： （1）定义法：（2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x -的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.典例7 设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A ．)()(x g x f 是偶函数 B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C ．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C典例8 下列判断正确的是ABCD ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 【答案】B对于D ，1)(=x f 的图象为平行于轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数.【名师点睛】对于C ，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明()f x -与()f x 的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.若D 项中的函数是()0f x =，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数.4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122xxy =+D ．sin 2y x x =+ 考向五 函数奇偶性的应用1．与函数奇偶性有关的问题及解决方法： （1）已知函数的奇偶性，求函数的值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式.已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可. （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()()f x f x -=，列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解.（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性. 2．对称性的三个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x =-+，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若对于R 上的任意x 都有()()2f a x f x -=或(()2)f x f a x =+-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称．典例9 已知定义在R 上的奇函数满足()()220f x x x x +≥=，若2()(32)f a f a ->，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－3,1)典例10 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________． 【答案】()()5,05,-+∞当0x =时，()f x x >无解；当0x <时，由()f x x >得24x x x -->，解得50x -<<. 综上，不等式()f x x >的解集用区间表示为()()5,05,-+∞．5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，()14)1(f g +-=，则g (1)等于 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1考向六 函数周期性的判断及应用（1）判断函数的周期，只需证明()()()0f x T f x T =+≠，便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则(kT k ∈Z 且0k ≠)也是函数的周期.（3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.典例11 定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数． 其中正确的序号是 ． 【答案】①②③6．已知函数()f x 满足()()2f x f x +=-，若()12f ->，()1732a f a+=-，则实数的取值范围是 A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()2,1-C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()3,1,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭考向七 函数性质的综合应用函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.典例12 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[02]，上是增函数，则 A ．(25)(11)(80)f f f -<< B ．(80)(11)(25)f f f <<- C ．(11)(80)(25)f f f <<- D ．(25)(80)(11)f f f -<< 【答案】D7．设()f x 是(－∞，＋∞)上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x ＝. （1）求()πf 的值；（2）当44x ≤≤－时，求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积； （3）写出(－∞，＋∞)内函数()f x 的单调区间．1．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的是A C ．cos y x = D ．22x y x =+ 2．已知函数()212x f x x +=+，则函数()y f x =的单调增区间是 A ．(),-∞+∞ B ．(),2-∞-C ．()2,-+∞D ．(),2-∞-和()2,-+∞3．已知()f x 满足对x ∀∈R ，()()0f x f x -+=，且0x ≥时，()e xf x m =+（m 为常数），则()ln5f -的值为A ．4B ．-4C ．6D ．-64．若()f x 为奇函数，且0x 是()e xy f x =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是A ．()e1xy f x -=-⋅- B ．()e 1x y f x =⋅+C ．()e 1xy f x =⋅- D ．()e 1xy f x =-⋅+5．已知()()f x g x ,是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =⋅，则“()()f x g x ,均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()22f x f x =-+，且当,0[]2x ∈-时，()1()12x f x =-.若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 21)0(a f x x a =+>-恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 A ．(1,2) B ．(2，＋∞) C ．(1D ．2)7．定义在R 上的奇函数()f x 和定义在{}|0x x ≠上的偶函数()g x 分别满足21,01,()1,1,x x f x x x⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩2()log (0)g x x x =>，若存在实数，使得()()f a g b =成立，则实数的取值范围是A ．[2,2]-B ．11[2,][,2]22--C ．11[,0)(0,]22-D ．(,2][2,)-∞-+∞ 8．函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为 .9．函数()()(4)f x x a x =+-为偶函数，则实数a = .10．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )=4x ，则f (52-)+ f (1)= .11．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足||1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是 .12．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若a ，b ∈，a ＋b ≠0时，有()()0f a f b a b+>+成立．（1）试判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明； （2）解不等式11()()21f x f x +<-； （3）若()221f x m am ≤-+对所有的,1[]1a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．1．（2017浙江）若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关2．（2017新课标全国Ⅰ理科）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]3．（2017北京理科）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数4．（2017天津理科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(l o g 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c <<D ．b c a <<5．（2016山东理科）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则f (6)= A ．−2 B ．−1 C ．0D ．26．（2015湖北理科）已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 7．（2017浙江）已知a R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间上的最大值是5，则的取值范围是___________．1．【答案】C【解析】充分性：当0a <时，0x >，则()2|()|1f x ax x ax x ==-+-为开口向上的二次函数，且对称轴为102x a=<，故在区间(0,)+∞上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x 在区间(0,)+∞上为增函数． 必要性：当0a ≠时，1()0f a =，f (0)＝0，由f (x )在(0,)+∞上为增函数知，10a<，即0a <；当a＝0时，f (x )＝x 在区间(0,)+∞上为增函数，故0a ≤.综上可知，“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x -=在区间(0,)+∞内单调递增”的充分必要条件.故选C. 2．【答案】[]3,2--3．【答案】1【解析】依题意，()2log ,023,2x x h x x x <≤⎧=⎨-+>⎩.当02x <≤时，()2log h x x =是增函数；当2x >时，()3h x x =-是减函数，则()h x 在2x =时，取得最大值，且()21h =.4．【答案】A【解析】函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()11sin1f -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()2cos f x x x -=---()2cos x x f x =-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122xx f x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x xx xf x f x ---=+=+=，所以函数()122xx f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．5．【答案】B【解析】∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()2(11)f g -+=，即()()112f g -+= ①.()14)1(f g +-=，即()()114f g += ②.由①＋②得g (1)＝3，故选B ．6．【答案】C【名师点睛】利用周期性（对称性）求参数的取值范围，一般是将含有参数的函数值利用周期性（对称性）转化为已知的函数值，再利用已知条件得出参数的不等式，解出参数的取值范围． 7．【解析】（1）由()()2f x f x +=-，得()422()[2()]()f x f x f x f x =++=-=++，∴()f x 是以4为周期的周期函数，∴()()(π14ππ)44π4ππ4()()f f f f =-=-=--=--=+-⨯. （2）由()f x 是奇函数与()()2f x f x +=-，得12[()]()[(1]1)f x f x f x --=--+=-，即()1()1f x f x =+-．从而可知函数()y f x =的图象关于直线1x =对称．又当01x ≤≤时，()f x x =，且()f x 的图象关于原点成中心对称，则()f x 的图象如图所示：设当44x ≤≤－时，()f x 的图象与x 轴围成的图形面积为S ， 则144(21)42OAB S S ==⨯⨯⨯=△.（3）函数()f x 的单调递增区间为41,4[1]()k k k -+∈Z ，单调递减区间为41,4[3]()k k k ++∈Z ．1．【答案】B【解析】对于A B 是偶函数，当0>x 时，x y lg =是增函数；对于C ，x y cos =是偶函数，但在()∞+，0不是单调递增函数；对于D ，x x y 22+=是非奇非偶函数，故选B. 2．【答案】D【解析】由20x +≠得2x ≠-，所以函数()f x 的定义域是()(),22,-∞-+∞，因为()213222x f x x x +==-++，所以函数()f x 在(),2-∞-和()2,-+∞上是增函数，所以函数()y f x =的单调增区间是(),2-∞-和()2,-+∞，故选D ． 3．【答案】B4．【答案】B【解析】由题意可得()00e 0xf x -=，所以()e0xf x ---=的一个根为0x -，方程可变形为()e 10x f x --=，又因为()f x 为奇函数，所以()e 10x f x --=，即()e 10xf x +=有一个零点为0x -.选B. 5．【答案】B【解析】一方面，若()()f x g x ,均为偶函数，则()()(),()f x f x g x g x -=-=，因此()h x -=()()()()()f x g x f x g x h x --==，∴()h x 是偶函数；另一方面，若()h x 是偶函数，但()()f x g x ,不一定均为偶函数，事实上，若()()f x g x ,均为奇函数，()h x 也是偶函数，因此，“()()f x g x ,均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的充分不必要条件，故选B. 6．【答案】D∴在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 21)0(a f x x a =+>-恰有3个不同的实数根可转化为函数()f x 的图象与()log 2a y x =+的图象有且只有三个不同的交点，则log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得a ∈2). 7．【答案】B【解析】∵21,01,()1,1,x x f x x x⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩∴当01x ≤<时，21[0,1)x -∈，当1x ≥时，1(0,1]x ∈，即0x ≥时，()f x 的值域为[0,1].∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴0x ≤时()f x 的值域为[1,0]-.∴在R 上的函数()f x 的值域为[1,1]-．∵定义在{}|0x x ≠上的偶函数()g x ，0x >时2()log g x x =，∴2()log (0)g x x x =≠. ∵存在实数，使得()()f a g b =成立，∴令1()1g b -≤≤，即21log 1b -≤≤，即122b ≤≤， ∴122b ≤≤或122b -≤≤-．故选B ． 8．【答案】2 【解析】1()11121f x x =+≤+=-，即最大值为2. 9．【答案】4 【解析】函数()f x 为偶函数, ()()11f f ∴=-,即()()()()114114a a +-=-+--,解得4a =.10．【答案】-2【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)f f -=，即(1)f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.11．【答案】13(,)22学’12．【解析】（1）任取12[,1]1,x x -∈，且12x x <，则21,[]1x --∈．∵()f x 为奇函数，∴()()()1212121212)()()(()()x f x f x f x f x f x x x x x f -=+-++---=⋅.由已知得1212)()(()x f x x f x +-+->0，12x x -<0，∴()()12f x f x -<0，即()()12f x f x <，∴()f x 在[]1,1-上单调递增．（2）∵()f x 在[]1,1-上单调递增，∴112111121111x x x x ⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤≤⎪-⎩，解得312x -≤<-.∴不等式11()()21f x f x +<-的解集为3{|1}2x x -≤<-. （3）∵()11f =，()f x 在[]1,1-上单调递增，∴在[]1,1-上，()1f x ≤.则问题转化为2211m am -+≥，即220m am -≥对,1[]1a ∈-恒成立．下面来求m 的取值范围． 设()220g a ma m +-≥=.①若m ＝0，则()00g a =≥，对,1[]1a ∈-恒成立．②若m ≠0，则()g a 为关于a 的一次函数，若()0g a ≥对,1[]1a ∈-恒成立，必须()10g -≥，且()10g ≥，∴2m ≤-或2m ≥.∴m 的取值范围是m ＝0或2m ≥或2m ≤-.1．【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与无关，选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 2．【答案】D【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 3．【答案】A【解析】()()113333x xxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性. 4．【答案】C【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式． 5．【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.6．【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.7．【答案】9(,]2-∞4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a aa a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得92a =或92a <． 综上可得，实数的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．。
