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[考纲传真] １．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.２．理解全称量词和存在量词的意义.３．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．１．全称量词和存在量词（１）常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．（２）常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．２．全称命题与特称命题（１）含有全称量词的命题叫全称命题．（２）含有存在量词的命题叫特称命题.３．命题的否定（１）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．（２）p或q的否定为：綈p且綈q；p且q的否定为：綈p或綈q.４．逻辑联结词（１）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．（２）命题p且q、p或q、非p的真假判p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真[常用结论]１．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律（１）p或q：p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真．（２）p且q：p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假．（３）綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．２．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．３．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）命题“３≥２”是真命题．（）（２）若命题p且q为假命题，则命题p，q都是假命题．（）（３）命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．（）（４）“全等的三角形面积相等”是全称命题．（）[答案] （１）√（２）×（３）×（４）√２．命题“存在x0∈R，x错误!—x0—１＞0”的否定是（）Ａ．任意x∈R，x２—x—１≤0Ｂ．任意x∈R，x２—x—１＞0Ｃ．存在x0∈R，x错误!—x0—１≤0Ｄ．存在x0∈R，x错误!—x0—１≥0A[特称命题的否定是全称命题，故选Ａ．]３．下列命题中的假命题是（）Ａ．存在x0∈R，lg x0＝１Ｂ．存在x0∈R，sin x0＝0Ｃ．任意x∈R，x３＞0Ｄ．任意x∈R,２x＞0C[当x＝0时，x３＝0，故选项C错误，故选Ｃ．]４．（教材改编）已知p：２是偶数，q：２是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４B[p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．]５．若命题“任意x∈R，ax２—ax—２≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．[—8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立． 当a ≠0时，依题意知错误! 解得—8≤a ＜0． 综上可知—8≤a ≤0．]全称命题、特称命题１． 命题“任意x ∈R ，存在n ∈N *，使得n ≤x ２”的否定形式是（ ） Ａ．任意x ∈R ，存在n ∈N *，使得n ＞x ２ Ｂ．任意x ∈R ，任意n ∈N *，使得n ＞x ２ Ｃ．存在x ∈R ，存在n ∈N *，使得n ＞x ２ Ｄ．存在x ∈R ，任意n ∈N *，使得n ＞x ２D [结合全（特）称命题的否定形式可知，D 选项正确．]２．（２0１9·商丘模拟）已知f （x ）＝sin x —x ，命题p ：存在x ∈错误!，f （x ）＜0，则（ ） Ａ．p 是假命题，綈p ：任意x ∈错误!，f （x ）≥0 Ｂ．p 是假命题，綈p ：存在x ∈错误!，f （x ）≥0 Ｃ．p 是真命题，綈p ：任意x ∈错误!，f （x ）≥0 Ｄ．p 是真命题，綈p ：存在x ∈错误!，f （x ）≥0C [易知f ′（x ）＝cos x —１≤0，所以f （x ）在错误!上是减函数，因为f （0）＝0，所以f （x ）＜0，所以命题p ：存在x ∈错误!，f （x ）＜0是真命题，綈p ：任意x ∈错误!，f （x ）≥0，故选Ｃ．]p １：存在x 0∈（0，＋∞），错误!x 0＜错误!x 0； p ２：存在x 0∈（0,１），log 错误!x 0＞log 错误!x 0；p ３：任意x ∈（0，＋∞），错误!x＞log 错误!x ；p ４：任意x ∈错误!，错误!x＜log 错误!x .其中的真命题是（ ）Ａ．p １，p ３ Ｂ．p １，p ４ Ｃ．p ２，p ３Ｄ．p ２，p ４D [对于p １，当x 0∈（0，＋∞）时，总有错误!x 0＞错误!x 0成立，故p １是假命题；对于p ２，当x 0＝错误!时，有１＝log 错误! 错误!＝log 错误!错误!＞log 错误! 错误!成立，故p ２是真命题；对于p ３，结合指数函数y ＝错误!x与对数函数y ＝log 错误!x 在（0，＋∞）上的图像，可以判断p ３是假命题；对于p ４，结合指数函数y ＝错误!x与对数函数y ＝log 错误! x 在错误!上的图像可以判断p ４是真命题．][规律方法] （１）全（特）称命题的否定方法：任意x ∈M ，p （x ）错误!存在x 0∈M ，綈p （x 0），简记：改量词，否结论．（２）判定全称命题“任意x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p （x ）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立． 判断含有逻辑联结词的命题的真假【例１】 （１）若命题“p 或q ”是真命题，“綈p 为真命题”，则（ ） Ａ．p 真，q 真 Ｂ．p 假，q 真 Ｃ．p 真，q 假Ｄ．p 假，q 假（２）（２0１9·山师大附中模拟）设命题p ：函数f （x ）＝２x ＋２—x 在R 上递增，命题q ：△ABC 中，A ＞B ⇔sin A ＞sin B ，下列命题为真命题的是（ ） Ａ．p 且q Ｂ．p 或（綈q ） Ｃ．（綈p ）且qＤ．（綈p ）且（綈q ）（１）B （２）C [（１）因为綈p 为真命题，所以p 为假命题，又因为p 或q 为真命题，所以q 为真命题．（２）f （x ）＝２x ＋２—x 是复合函数，在R 上不是单调函数，命题p 是假命题，在△ABC 中，A ＞B ⇔sinA ＞sinB 成立，命题q 是真命题，所以（綈p ）且q 为真，故选Ｃ．][规律方法] “p 或q ”“p 且q ”“綈p ”形式命题真假的判断步骤 １确定命题的构成形式；２判断命题p ，q 的真假；,３根据真值表确定“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”形式命题的真假.00２２}，下列结论：１命题“p 且q ”是真命题；２命题“p 且（綈q ）”是假命题；３命题“（綈p ）或q ”是真命题；４命题“（綈p ）或（綈q ）”是假命题．其中正确的是（ ） Ａ．２３ Ｂ．１２４ Ｃ．１３４Ｄ．１２３４D [由题意可知：p ，q 均为真命题，∴p 且q 是真命题，p 且（綈q ）是假命题；（綈p ）或q 是真命题；（綈p ）或（綈q ）是假命题，故１２３４均正确．] 由命题的真假确定参数的取值范围【例２】 （１）已知f （x ）＝ln （x ２＋１），g （x ）＝错误!x—m ，若对任意x １∈[0,３]，存在x ２∈[１,２]，使得f （x １）≥g （x ２），则实数m 的取值范围是（ ） Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）给定命题p ：对任意实数x 都有ax ２＋ax ＋１＞0成立；q ：关于x 的方程x ２—x ＋a ＝0有实数根．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．（１）A （２）（—∞，0）∪错误! [（１）当x ∈[0,３]时，f （x ）min ＝f （0）＝0， 当x ∈[１,２]时，g （x ）min ＝g （２）＝错误!—m ，由f （x ）min ≥g （x ）min ，得0≥错误!—m ，所以m ≥错误!，故选Ａ．（２）当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax ２＋ax ＋１＞0成立”⇔a ＝0或错误! 所以0≤a ＜４．当q 为真命题时，“关于x 的方程x ２—x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝１—４a ≥0，所以a ≤错误!. 因为p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，所以p，q一真一假．所以若p真q假，则0≤a＜４，且a＞错误!，所以错误!＜a＜４；若p假q真，则错误!即a＜0．故实数a的取值范围为（—∞，0）∪错误!.][母题探究] 若将本例（１）中“存在x２∈[１,２]”改为“任意x２∈[１,２]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是什么？[解] 当x∈[１,２]时，g（x）max＝g（１）＝错误!—m，由f（x）min≥g（x）max，得0≥错误!—m，所以m≥错误!，即m的取值范围为错误!.[规律方法] 根据全特称命题的真假求参数的思路,与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题，解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式组，再通过解方程或不等式组求出参数的值或范围.２则实数a的取值范围为（）Ａ．（—∞，0）Ｂ．[0,４]Ｃ．[４，＋∞）Ｄ．（0,４）D[因为命题“存在x∈R,４x２＋（a—２）x＋错误!≤0”是假命题，所以其否定“对任意x∈R,４x２＋（a—２）x＋错误!＞0”是真命题，则Δ＝（a—２）２—４×４×错误!＝a２—４a＜0，解得0＜a＜４，故选Ｄ．]１．（２0１５·全国卷Ⅰ）设命题p：存在n∈N，n２＞２n，则綈p为（）Ａ．任意n∈N，n２＞２nＢ．存在n∈N，n２≤２nＣ．任意n∈N，n２≤２nＤ．存在n∈N，n２＝２nC[因为“存在x∈M，p（x）”的否定是“任意x∈M，綈p（x）”，所以命题“存在n∈N，n２>２n”的否定是“任意n∈N，n２≤２n”．故选Ｃ．]２．（２0１３·全国卷Ⅰ）已知命题p：任意x∈R,２x＜３x；命题q：存在x∈R，x３＝１—x２，则下列命题中为真命题的是（）Ａ．p且qＢ．綈p且qＣ．p且綈qＤ．綈p且綈B[当x＝0时，有２x＝３x，不满足２x＜３x，∴p：任意x∈R,２x＜３x是假命题．如图，函数y＝x３与y＝１—x２有交点，即方程x３＝１—x２有解，∴q：存在x∈R，x３＝１—x２是真命题．∴p且q为假命题，排除Ａ．∴綈p为真命题，∴綈p且q是真命题，选Ｂ．]。
高考数学一轮复习：第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，高考对本节内容重点考查：（1）全（特）称命题的否定；（2）含有逻辑联结词的命题、全称命题、特称命题的真假判断，以选择题为主，属于基础题.本节主要以不等式、三角函数、向量等知识为载体，结合逻辑联结词和全（特）称量词考查考生的转化思想和逻辑推理核心素养.授课提示：对应学生用书第8页知识点一简单的逻辑联结词（1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.（2）命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真•温馨提醒•1.真值表中“p且q”全真才真，“p或q”全假才假.2.“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”.1.已知p：2是偶数，q：2不是质数，则命题非p，非q，p或q，p且q中真命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：p真，q假，所以非q和p或q真.答案：B2.（2021·陆川模拟）已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是（）A.“p或q”为真命题B.“p且q”为真命题C.“非p”为真命题D.“非q”为假命题解析：由a＞|b|≥0，得a2＞b2，∴命题p为真命题.∵x2＝4⇔x＝±2，∴命题q为假命题.∴“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“非p”为假命题，“非q”为真命题.综上所述，应选A.答案：A知识点二全称命题与特称命题1.全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，含有全称量词的命题叫做全称命题Ｗ.（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，含有存在量词的命题叫做特称命题Ｗ.2.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定任意x∈M，p（x）存在x∈M，非p（x）存在x∈M，p（x）任意x∈M，非p（x）•温馨提醒•1.对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错.2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.3.注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.1.命题“任意x∈R，x2＋x≥0”的否定是（）A.存在x∈R，x2＋x≤0B.存在x∈R，x2＋x＜0C.任意x∈R，x2＋x≤0D.任意x∈R，x2＋x＜0解析：原命题是全称命题，“任意”的否定是“存在”，“≥”的否定是“＜”，因此该命题的否定是“存在x∈R，x2＋x＜0”.答案：B2.（2021·辽源模拟）下列命题中的假命题是（）A.存在x∈R，使得log2x＝0B.任意x∈R，x2＞0C.存在x∈R，使得cos x＝1D.任意x∈R，2x＞0解析：由于log21＝0，因此存在x∈R，使得log2x＝0为真命题；当x＝0时，x2＝0，因此任意x∈R，x2＞0为假命题；当x＝2π时，cos x＝1，因此存在x∈R，使得cos x＝1为真命题；根据指数函数的性质，任意x∈R，2x＞0为真命题.答案：B3.（易错题）若p：任意x∈R，ax2＋4x＋1＞0是假命题，则实数a的取值范围为__________. 答案：（－∞，4]授课提示：对应学生用书第9页题型一全称命题与特称命题的否定1.（2021·西安模拟）命题“任意x＞0，xx－1＞0”的否定是（）A.存在x＜0，xx－1≤0B.存在x＞0，0≤x≤1C.任意x＞0，xx－1≤0 D.任意x＜0，0≤x≤1解析：因为xx－1＞0，所以x＜0或x＞1，所以xx－1＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是存在x＞0，0≤x≤1.答案：B2.已知命题p：存在m∈R，f（x）＝2x－mx是增函数，则非p为（）A.存在m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数B.任意m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数C.存在m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数D.任意m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数解析：由特称命题的否定可得非p为“任意m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数”.答案：D3.已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：任意f（x）∈A，|f（x）|∈B，则非p为（）A.任意f（x）∈A，|f（x）|∉BB.任意f（x）∉A，|f（x）|∉BC.存在f（x）∈A，|f（x）|∉BD.存在f（x）∉A，|f（x）|∉B解析：全称命题的否定为特称命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命题p：任意f （x ）∈A ，|f （x ）|∈B ，得非p 为存在f （x ）∈A ，|f （x ）|∉B . 答案：C4.（2021·兰州四校联考）命题“任意x ∈R ，e x ≥x ＋1”的否定是（ ） A.任意x ∈R ，e x <x ＋1 B.存在x ∈R ，e x ≥x ＋1 C.任意x ∉R ，e x <x ＋1 D.存在x ∈R ，e x <x ＋1解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x ∈R ，e x ≥x ＋1”的否定是“存在x ∈R ，e x <x ＋1”. 答案：D1.写全（特）称命题的否定时，要注意两个方面：一是量词的改写；二是结论的否定.其中对结论的准确否定是解决问题的关键.2.全称命题为真以及特称命题为假都需要给予严格的证明，其中常用的方法为反证法，反证法的思想源于原命题与逆否命题同真同假.(题型二 与逻辑联结词有关的应用考法（一） 含有逻辑联结词的真假判断[例1] （1）（2021·六安模拟）设命题p ：存在x ∈（0，＋∞），3x ＋x ＝12 019；命题q ：任意a ，b ∈（0，8），a ＋1b ，b ＋1a 中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是（ ）A.p 且qB.（非p ）且qC.p 且（非q ）D.（非p ）且（非q ）（2）（2020·高考全国卷Ⅱ）设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③綈p 2∨p 3 ④綈p 3∨綈p 4[解析] （1）因为f （x ）＝3x ＋x 在（0，＋∞）上单调递增，所以f （x ）＞f （0）＝1＞12 019，所以p 假；假设a ＋1b ，b ＋1a 都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1a ＜4，又根据基本不等式可得a ＋1b ＋b ＋1a≥4，矛盾，所以q 真，所以（非p ）且q 为真命题. （2）p 1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p 1为真命题；p 2是假命题，因为空间中三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p 3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p 4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知非p 2，非p 3，非p 4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题是真命题，②中命题是假命题. [答案] （1）B （2）①③④“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式命题真假的判断步骤（1）确定命题构成形式. （2）判断命题p ，q 的真假.（3）根据真值表确定“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式命题的真假. 考法（二） 已知命题真假求参数范围[例2] 已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围.[解析] 依题意知p ，q 均为假命题，当p 为假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 为真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞）.[变式探究] 若本例中的条件q 变为：存在x ∈R ，x 2＋mx ＋1＜0，其他条件不变，则实数m 的取值范围为__________. 解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m 2－4＞0，所以m ＞2或m ＜－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围是[0，2]. 答案：[0，2]根据复合命题真假求参数的步骤（1）根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）. （2）求出每个命题是真命题时参数的取值范围. （3）根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.[题组突破]1.（2021·惠州模拟）已知命题p ，q ，则“非p 为假命题”是“p 且q 是真命题”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：充分性：若非p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p 且q 是真命题.必要性：p 且q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则非p 为假命题.所以“非p 为假命题”是“p 且q 是真命题”的必要不充分条件. 答案：B2.（2021·安徽江淮十校第三次联考）已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞）上是增函数.若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是__________.解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假.若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是（－∞，－12）∪（－4，4）. 答案：（－∞，－12）∪（－4，4）与命题有关的核心素养（一）逻辑推理——复合命题的真假判断[例1] （2021·泰安模拟）在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次.设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p 或q 表示（ ）A.甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米B.甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米C.甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米D.甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米[解析] ∵命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，∴命题p 或q 表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米”. [答案] D复合命题真假判断主要通过p 、q 的真假判断来考查逻辑推理能力，其关键是p 、q 真假的准确判断.（二）创新应用——“交汇型”命题真假的判断[例2] （2019·高考全国卷Ⅲ）记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃（x ，y ）∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀（x ，y ）∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题 ①p ∨q ②綈p ∨q ③p ∧綈q ④綈p ∧綈q 这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A.①③ B.①② C.②③D.③④[解析] 法一：画出可行域如图中阴影部分所示.目标函数z ＝2x ＋y 是一条平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 的纵截距.显然，直线过点A （2，4）时，z min ＝2×2＋4＝8，即z ＝2x ＋y ≥8.∴2x ＋y ∈[8，＋∞）.由此得命题p ：存在（x ，y ）∈D ，2x ＋y ≥9正确； 命题q ，任意（x ，y ）∈D ，2x ＋y ≤12不正确.∴①③真，②④假.法二：取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p真，q 假.∴①③真，②④假.[答案] A解决此类问题的关键是抓住交汇点，判断p ，q 命题的真假.[题组突破]1.（2021·芮城模拟）在一次数学测试中，成绩在区间[125，150]内视为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p 是“甲测试成绩优秀”，q 是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为（ ） A.（非p ）或（非q ） B.p 或（非q ） C.（非p ）且（非q ）D.p 或q解析：“甲测试成绩不优秀”可表示为非p ，“乙测试成绩不优秀”可表示为非q ，“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”，表示形式为（非p ）或（非q ）. 答案：A2.（2021·漳州模拟）已知命题p ：椭圆25x 2＋9y 2＝225与双曲线x 2－3y 2＝12有相同的焦点；命题q ：函数f （x ）＝x 2＋5x 2＋4的最小值为52.则下列命题为真命题的是（ ）A.p 且qB.（非p ）且qC.非（p 或q ）D.p 且（非q ）解析：p 中椭圆x 29＋y 225＝1的焦点坐标分别为（0，4），（0，－4），双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标分别为（4，0），（－4，0），故p 为假命题；q 中f （x ）＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，设t ＝x 2＋4≥2（当且仅当x ＝0时，等号成立），则f （t ）＝t ＋1t 在区间[2，＋∞）上单调递增，故f （x ）min ＝52，故q 为真命题.所以（非p ）且q 为真命题.答案：B。
第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p ∨q ”的否定是“(﹁p )∧(﹁q )”，“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”． (4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题． ( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反． ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)判断命题真假时忽视对参数的讨论． 1．命题“正方形都是矩形”的否定是________． 答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③3．若p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号) ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③﹁p 2∨p 3④﹁p 3∨﹁p 4解析：方法一：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则由l 1∩l 2＝A ，知l 1，l 2共面，设此平面为α，由B ∈l 2，l 2⊂α，知B ∈α，由C ∈l 1，l 1⊂α，知C ∈α，所以l 3⊂α，所以l 1，l 2，l 3共面于α，所以p 1是真命题．对于p 2，当A ，B ，C 三点不共线时，过A ，B ，C 三点有且仅有一个平面；当A ，B ，C 三点共线时，过A ，B ，C 的平面有无数个，所以p 2是假命题，﹁p 2是真命题．对于p 3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，﹁p 3是真命题．对于p 4，若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ，所以p 4是真命题，﹁p 4是假命题．故p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，﹁p 2∨p 3为真命题，﹁p 3∨﹁p 4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p 为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1 B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1 C ．∀x ∈R ，2x－x 2＜1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150 B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 150 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1. (2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 角度二 全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误； 若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ．2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． 解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)。
一、知识梳理１．全称量词与存在量词（１）全称量词和存在量词的含义量词名称常见量词含义全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等在指定范围内，表示整体或全部存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、某些等在指定范围内，表示个别或一部分命题名称定义否定形式真假判断全称命题含有全称量词的命题特称命题要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了，实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的命题名称定义否定形式真假判断特称命题含有存在量词的命题全称命题要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性（１）逻辑联结词通常是指“且”“或”“非”．（２）命题p且q，p或q，非p的真假判断．常用结论１．一组关系（１）p或q→见真即真．（２）p且q→见假即假．（３）p与綈p→真假相互．３．四组等价关系（１）p或q真⇔p，q至少一个真⇔（﹁p）且（﹁q）假．（２）p或q假⇔p，q均假⇔（﹁p）且（﹁q）真．（３）p且q真⇔p，q均真⇔（﹁p）或（﹁q）假．（４）p且q假⇔p，q至少一个假⇔（﹁p）或（﹁q）真．二、教材衍化１．命题“存在x∈R，log２x＋２<0”的否定是________________________．答案：对任意的x∈R，log２x＋２≥0２．在一次驾照考试中，甲、乙两名学员各试驾一次．设p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为________．答案：（﹁p）或（﹁q）一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）命题p且q为假命题，则命题p、q都是假命题．（）（２）命题p和﹁p不可能都是真命题．（）（３）若命题p、q至少有一个是真命题，则p或q是真命题．（）（４）写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．（）（５）存在x∈M，p（x）与对任意的x∈M，﹁p（x）的真假性相反．（）答案：（１）×（２）√（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）全称命题或特称命题的否定出错；（２）不会利用真值表判断命题的真假；（３）复合命题的否定中出现逻辑联结词错误；（４）判断命题真假时忽视对参数的讨论．１．命题“正方形都是矩形”的否定是________．答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形２．已知命题p：若x＞y，则—x＜—y；命题q：若错误!＞错误!，则x＜y.在命题１p且q；２p 或q；３p且（﹁q）；４（﹁p）或q中，真命题是________．（填序号）解析：由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故１p且q为假命题；２p或q为真命题；３﹁q为真命题，则p且（﹁q）为真命题；４﹁p为假命题，则（﹁p）或q为假命题．答案：２３３．已知命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，则其否命题为________．解析：“a＝0或b＝0”的否定为“a≠0且b≠0”．答案：若ab≠0，则a≠0且b≠0４．若p：对任意的x∈R，ax２＋４x＋１>0是假命题，则实数a的取值范围为________．答案：（—∞，４]全称命题与特称命题（多维探究）角度一全称命题、特称命题的否定（１）（２0２0·西安模拟）命题“对任意的x＞0，错误!＞0”的否定是（）Ａ．存在x＜0，错误!≤0 B．存在x＞0，0≤x≤１Ｃ．对任意的x＞0，错误!≤0 Ｄ．对任意的x＜0，0≤x≤１（２）已知命题p：存在m∈R，f（x）＝２x—mx是增函数，则﹁p为（）Ａ．存在m∈R，f（x）＝２x—mx是减函数Ｂ．对任意的m∈R，f（x）＝２x—mx是减函数Ｃ．存在m∈R，f（x）＝２x—mx不是增函数Ｄ．对任意的m∈R，f（x）＝２x—mx不是增函数【解析】（１）因为错误!＞0，所以x＜0或x＞１，所以错误!＞0的否定是0≤x≤１，所以命题的否定是存在x＞0，0≤x≤１，故选Ｂ．（２）由特称命题的否定可得﹁p为“对任意的m∈R，f（x）＝２x—mx不是增函数”．【答案】（１）B （２）D角度二全称命题、特称命题的真假判断（１）下列命题中的假命题是（）Ａ．对任意的x∈R，x２≥0 Ｂ．对任意的x∈R，２x—１＞0Ｃ．存在x∈R，lg x＜１D．存在x∈R，sin x＋cos x＝２（２）下列命题中的假命题是（）Ａ．对任意的x∈R，e x＞0 B．对任意的x∈N，x２＞0Ｃ．存在x∈R，ln x＜１D．存在x∈N＋，sin 错误!x＝１【解析】（１）A显然正确；由指数函数的性质知２x—１＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜１0时，lg x＜１，所以C正确；因为sin x＋cos x＝错误!sin错误!，所以—错误!≤sin x＋cos x≤错误!，所以D错误．（２）对于Ｂ．当x＝0时，x２＝0，因此B中命题是假命题．【答案】（１）D （２）B错误!（１）全称命题与特称命题的否定１改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；２否定结论：对原命题的结论进行否定．（２）全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真特称命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真[面判断时，可先判断其否定的真假．（２0２0·河南八所重点高中第二次联考）已知集合A是奇函数集，B是偶函数集．若命题p：对任意的f（x）∈A，|f（x）|∈B，则﹁p为（）Ａ．对任意的f（x）∈A，|f（x）|∉BＢ．对任意的f（x）∉A，|f（x）|∉BＣ．存在f（x）∈A，|f（x）|∉BＤ．存在f（x）∉A，|f（x）|∉B解析：选Ｃ．全称命题的否定为特称命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命题p：对任意的f（x）∈A，|f（x）|∈B，得綈p为存在f（x）∈A，|f（x）|∉B，故选Ｃ．含有逻辑联结词的命题的真假判断（师生共研）（２0２0·惠州调研）已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p且q是真命题”的（）Ａ．充分不必要条件B．必要不充分条件Ｃ．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】充分性：若﹁p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p且q 是真命题．必要性：p且q是真命题，则p，q均为真命题，则﹁p为假命题．所以“﹁p为假命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．【答案】B错误!判断含有逻辑联结词命题真假的步骤（２0１9·高考全国卷Ⅲ改编）记不等式组错误!表示的平面区域为D.命题p：存在（x，y）∈D，２x＋y≥9；命题q：对任意的（x，y）∈D，２x＋y≤１２．下面给出了四个命题１p或q２﹁p或q３p且﹁q４﹁p且﹁q这四个命题中，所有真命题的编号是（）Ａ．１３Ｂ．１２Ｃ．２３Ｄ．３４解析：选Ａ．通解：作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示，直线２x＋y＝9和直线２x＋y＝１２均穿过了平面区域D，不等式２x＋y≥9表示的区域为直线２x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p正确；不等式２x＋y≤１２表示的区域为直线２x＋y＝１２及其左下方的区域，所以命题q不正确．所以命题p或q和p且﹁q正确．故选Ａ．优解：在不等式组表示的平面区域D内取点（7，0），点（7，0）满足不等式２x＋y≥9，所以命题p 正确；点（7，0）不满足不等式２x＋y≤１２，所以命题q不正确．所以命题p或q和p且綈q正确．故选Ａ．由命题的真假确定参数的取值范围（典例迁移）已知p：存在x∈R，mx２＋１≤0，q：对任意的x∈R，x２＋mx＋１＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．【解】依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx２＋１＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m２—４＜0，—２＜m＜２．因此由p，q均为假命题得错误!即m≥２．所以实数m的取值范围为[２，＋∞）．【迁移探究１】（变问法）在本例条件下，若p且q为真，求实数m的取值范围．解：依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m＜0；当q是真命题时，有—２＜m＜２，由错误!可得—２＜m＜0．【迁移探究２】（变问法）在本例条件下，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围．解：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q假时错误!所以m≤—２；当p假q真时错误!所以0≤m＜２．所以m的取值范围是（—∞，—２]∪[0，２）．错误!根据命题的真假求参数取值范围的策略（１）全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题．（２）含逻辑联结词问题：１求出每个命题是真命题时参数的取值范围；２根据题意确定每个命题的真假；３由各个命题的真假列关于参数的不等式（组）求解．１．（２0２0·安徽江淮十校第三次联考）若命题“对任意的x∈错误!，１＋tan x≤m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是________．解析：根据题意得不等式１＋tan x≤m，对任意的x∈错误!恒成立，因为y＝１＋tan x在x∈错误!上为增函数，所以（１＋tan x）max＝１＋tan 错误!＝１＋错误!，则有m≥１＋错误!，即实数m的取值范围是[１＋错误!，＋∞）．答案：[１＋错误!，＋∞）２．已知命题p：关于x的方程x２—ax＋４＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝２x２＋ax＋４在[３，＋∞）上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：命题p等价于Δ＝a２—１6≥0，即a≤—４或a≥４；命题q等价于—错误!≤３，即a≥—１２．由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜—１２；若p 假q真，则—４＜a＜４．故a的取值范围是（—∞，—１２）∪（—４，４）．答案：（—∞，—１２）∪（—４，４）[基础题组练]１．（２0２0·安徽蚌埠第一次教学质量检查）命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p为（）Ａ．任意常数列不是等比数列Ｂ．存在常数列是等比数列Ｃ．任意常数列都是等比数列Ｄ．不存在常数列是等比数列解析：选Ｃ．因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题﹁p：任意常数列都是等比数列，故选Ｃ．２．已知f（x）＝sin x—x，命题p：存在x∈错误!，f（x）<0，则（）Ａ．p是假命题，﹁p：对任意的x∈错误!，f（x）≥0Ｂ．p是假命题，﹁p：存在x∈错误!，f（x）≥0Ｃ．p是真命题，﹁p：对任意的x∈错误!，f（x）≥0Ｄ．p是真命题，﹁p：存在x∈错误!，f（x）≥0解析：选Ｃ．易知f′（x）＝cos x—１<0，所以f（x）在错误!上是减函数，因为f（0）＝0，所以f （x）<0，所以命题p：存在x∈错误!，f（x）<0是真命题，﹁p：对任意的x∈错误!，f（x）≥0，故选Ｃ．３．（２0２0·河北唐山第一次模拟）已知命题p：f（x）＝x３—ax的图像关于原点对称；命题q：g （x）＝x cos x的图像关于y轴对称．则下列命题为真命题的是（）Ａ．﹁p B．qＣ．p且q D．p且（﹁q）解析：选Ｄ．对于f（x）＝x３—ax，有f（—x）＝（—x）３—a（—x）＝—（x３—ax）＝—f（x），为奇函数，其图像关于原点对称，所以p为真命题；对于g（x）＝x cos x，有g（—x）＝（—x）cos（—x）＝—x cos x＝—g（x），为奇函数，其图像关于原点对称，所以q为假命题，则﹁p为假命题，p且q为假命题，p且（﹁q）为真命题，故选Ｄ．４．已知命题p：若a＞|b|，则a２＞b２；命题q：若x２＝４，则x＝２．下列说法正确的是（）Ａ．“p或q”为真命题B．“p且q”为真命题Ｃ．“﹁p”为真命题D．“﹁q”为假命题解析：选Ａ．由a＞|b|≥0，得a２＞b２，所以命题p为真命题．因为x２＝４⇔x＝±２，所以命题q 为假命题．所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“﹁p”为假命题，“﹁q”为真命题．综上所述，可知选Ａ．５．（２0２0·湖南株洲二模）已知命题p：对任意的x>0，e x>x＋１，命题q：存在x∈（0，＋∞），ln x≥x，则下列命题为真命题的是（）Ａ．p且q B．（﹁p）且qＣ．p且（﹁q）D．（﹁p）且（﹁q）解析：选Ｃ．令f（x）＝e x—x—１，则f′（x）＝e x—１，当x>0时，f′（x）>0，所以f（x）在（0，＋∞）上是增加的，所以f（x）>f（0）＝0，所以e x>x＋１，命题p为真命题；令g（x）＝ln x—x，x>0，则g′（x）＝错误!—１＝错误!，x∈（0，１）时，g′（x）>0；x∈（１，＋∞）时，g′（x）<0，所以g（x）max＝g（１）＝—１<0，所以g（x）<0在（0，＋∞）上恒成立，所以q假．故选Ｃ．6．下列说法错误的是（）Ａ．命题“若x２—５x＋6＝0，则x＝２”的逆否命题是“若x≠２，则x２—５x＋6≠0”Ｂ．若命题p：存在x∈R，x２＋x＋１<0，则﹁p：对任意x∈R，x２＋x＋１≥0Ｃ．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥错误!错误!”的充要条件Ｄ．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假解析：选Ｄ．由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy≥错误!错误!⇔４xy≥（x＋y）２⇔４xy≥x２＋y２＋２xy⇔（x—y）２≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．7．（２0２0·惠州第一次调研）设命题p：若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则对任意的x∈R，f（—x）≠f（x）．命题q：f（x）＝x|x|在（—∞，0）上是减函数，在（0，＋∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）Ａ．p为假命题B．﹁q为真命题Ｃ．p或q为真命题D．p且q为假命题解析：选Ｃ．函数f（x）不是偶函数，仍然有存在x，使得f（—x）＝f（x），p为假命题；f（x）＝x|x|＝错误!在R上是增函数，q为假命题．所以p或q为假命题，故选Ｃ．P１：存在x∈R，sin x＋cos x＝２；P２：存在x∈R，sin ２x＝sin x；P３：对任意的x∈错误!，错误!＝cos x；P４：对任意的x∈（0，π），sin x＞cos x.其中真命题是（）Ａ．P１，P４Ｂ．P２，P３Ｃ．P３，P４Ｄ．P２，P４解析：选Ｂ．因为sin x＋cos x＝错误!sin 错误!，所以sin x＋cos x的最大值为错误!，可得不存在x∈R，使sin x＋cos x＝２成立，得命题P１是假命题；因为存在x＝kπ（k∈Z），使sin ２x＝sin x成立，故命题P２是真命题；因为错误!＝cos２x，所以错误!＝|cos x|，结合x∈错误!得cos x≥0，由此可得错误!＝cos x，得命题P３是真命题；因为当x＝错误!时，sin x＝cos x＝错误!，不满足sin x＞cos x，所以存在x∈（0，π），使sin x＞cos x不成立，故命题P４是假命题．故选Ｂ．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选Ｃ．由于Δ＝４a２＋４＞0，所以方程x２—２ax—１＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f（x）＝x＋错误!的值为负值，故命题q为假命题．所以p或q，p且（﹁q），（﹁p）或（﹁q）是真命题，故选Ｃ．（１）命题p：对任意的x∈R，x２＞0为真命题；（２）设p：错误!＞0，q：x２＋x—２＞0，则p是q的充分不必要条件；（４）非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a—b|，则a与a＋b的夹角为３0°.其中真命题有（）Ａ．３个Ｂ．２个Ｃ．１个Ｄ．0个解析：选Ｃ．对于（１），对任意的x∈R，x２≥0，故（１）为假命题；对于（２），设p：错误!＞0，q：x２＋x—２＞0，可得p∶x＞0或x＜—２；q：x＞１或x＜—２．由p推不到q，但由q推得p，则p是q的必要不充分条件，故（２）为假命题；其否命题是真命题，故（３）为假命题；对于（４），非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a—b|，可设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝a＋b，错误!＝a—b，可得△OAB为等边三角形，四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，可得a与a＋b的夹角为３0°，故（４）为真命题．故选Ｃ．１１．若命题p的否定是“对任意的x∈（0，＋∞），错误!>x＋１”，则命题p可写为____________________．解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．答案：存在x∈（0，＋∞），错误!≤x＋１１２．已知命题p：x２＋４x＋３≥0，q：x∈Z，且“p且q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________．解析：若p为真，则x≥—１或x≤—３，因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，又因为“p且q”为假，所以p为假，故—３<x<—１，由题意，得x＝—２．答案：—２[综合题组练]１．（２0２0·西安模拟）下列各组命题中，满足“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘﹁q’为真”的是（）Ａ．p：y＝错误!在定义域内是减函数；q：f（x）＝e x＋e—x是偶函数Ｂ．p：对任意的x∈R，x２＋x＋１≥0；q：x>１是x>２成立的充分不必要条件Ｃ．p：x＋错误!的最小值是6；q：直线l：３x＋４y＋6＝0被圆（x—３）２＋y２＝２５截得的弦长为３Ｄ．p：抛物线y２＝8x的焦点坐标是（２，0）；q：过椭圆错误!＋错误!＝１的左焦点的最短的弦长是３解析：选Ｂ．Ａ．y＝错误!在（—∞，0）和（0，＋∞）上分别是减函数．则命题p是假命题，易知q是真命题，则﹁q是假命题，不满足题意．B．判别式Δ＝１—４＝—３<0，则对任意的x∈R，x２＋x＋１≥0成立，即p是真命题，x>１是x>２成立的必要不充分条件，即q是假命题，则“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘﹁q’为真”，故B满足题意．C．当x<0时，x＋错误!的最小值不是6，则p是假命题，圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!＝３，则弦长＝２错误!＝8，则q是假命题，则p或q为假命题，不满足题意．D．抛物线y２＝8x的焦点坐标是（２，0），则p是真命题，椭圆的左焦点为（—１，0），当x＝—１时，y２＝错误!，则y＝±错误!，则最短的弦长为错误!×２＝３，即q是真命题，则﹁q是假命题，不满足题意．故选Ｂ．１p或q；２p且q；３（﹁p）且（﹁q）；４（﹁p）或q.其中为假命题的序号为________．解析：显然命题p为真命题，﹁p为假命题．因为f（x）＝x２—x＝错误!错误!—错误!，所以函数f （x）在区间错误!上单调递增．所以命题q为假命题，﹁q为真命题．所以p或q为真命题，p且q为假命题，（﹁p）且（﹁q）为假命题，（﹁p）或q为假命题．答案：２３４３．若存在x∈错误!，使得２x２—λx＋１＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．解析：因为存在x∈错误!，使得２x２—λx＋１＜0成立是假命题，所以对任意的x∈错误!，使得２x ２—λx＋１≥0恒成立是真命题，即对任意的x∈错误!，使得λ≤２x＋错误!恒成立是真命题，令f（x）＝２x＋错误!，则f′（x）＝２—错误!，当x∈错误!时，f′（x）＜0，当x∈错误!时，f′（x）＞0，所以f （x）≥f错误!＝２错误!，则λ≤２错误!.答案：（—∞，２错误!]４．已知命题p：对任意的x∈R，不等式ax２＋２错误!x＋１＜0的解集为空集；命题q：f（x）＝（２a—５）x在R上满足f′（x）＜0，若命题p且（﹁q）是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：因为对任意的x∈R，不等式ax２＋２错误!x＋１＜0的解集为空集，所以当a＝0时，不满足题意；当a≠0时，必须满足错误!解得a≥２．由f（x）＝（２a—５）x在R上满足f′（x）＜0，可得函数f（x）在R上单调递减，则0＜２a—５＜１，解得错误!＜a＜３．若命题p且（﹁q）是真命题，则p 为真命题，q为假命题，所以错误!解得２≤a≤错误!或a≥３，则实数a的取值范围是错误!∪[３，＋∞）．答案：错误!∪[３，＋∞）。
