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数学《一元二次不等式》教学设计数学《一元二次不等式》教学设计（通用7篇）作为一名无私奉献的老师，时常需要编写教学设计，教学设计把教学各要素看成一个系统，分析教学问题和需求，确立解决的程序纲要，使教学效果最优化。
你知道什么样的教学设计才能切实有效地帮助到我们吗？以下是小编收集整理的数学《一元二次不等式》教学设计，希望能够帮助到大家。
数学《一元二次不等式》教学设计篇1一、教材分析（一）教材的地位和作用“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，又是本章集合知识的运用与巩固，也为下一章函数的定义域和值域教学作铺垫，起着链条的作用。
同时，这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。
（二）教学内容本节内容分2课时学习。
本课时通过二次函数的图象探索一元二次不等式的解集。
通过复习“三个一次”的关系，即一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系；以旧带新寻找“三个二次”的关系，即二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系；采用“画、看、说、用”的思维模式，得出一元二次不等式的解集，品味数学中的和谐美，体验成功的乐趣。
二、教学目标分析根据教学大纲的要求、本节教材的特点和高一学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：知识目标——理解“三个二次”的关系；掌握看图象找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。
能力目标——通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力，“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。
情感目标——创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。
三、重难点分析一元二次不等式是高中数学中最基本的不等式之一，是解决许多数学问题的重要工具。
本节课的重点确定为：一元二次不等式的解法。
要把握这个重点。
关键在于理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法——图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系。
数学《一元二次不等式》教学设计（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一元二次不等式教案（精选3篇）一元二次不等式篇1教学内容3.2一元二次不等式及其解法三维目标一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；2.培养学生分析问题和解决问题的能力；3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.教学方法启发、探究式教学教学过程复习引入师：上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系。
回顾下等比数列的性质。
生：略师：某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两种ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算），公司B的收费原则是第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）那么，一次上网在多少时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于等于选择公司B所需费用。
学生自己讨论点题，板书课题新课学习1.一元二次不等式只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
不等式一、 【归纳初中知识】初中阶段我们已经学习过一元一次不等式的解法，但在高中学习中往往不够用，我们来总结一下已经学习过不等式的解法：解b ax >应该分三种情况讨论：1. 若0=a ，且0≥b ，不等式无解；若0,0<=b a ，不等式有无数解2. 若0>a ，则解为ab x >3. 若0<a ，则解为a b x < 二、 【衔接高中知识】我们在高中阶段主要会接触到三类不等式：1. 一元二次不等式：其通常求解方法有“因式分解乘积法”、“二次函数图像法”；2. 分式不等式：其主要求解方法为将分式不等式转化为整式不等式；3. 简单的高次不等式：常用求解方法为“因式分解乘积法”规律总结：①一般地，解不等式先使不等式右边为______②一般地，对于一元二次不等式)0(02<>++c bx ax ，先化二次项系数为_______，然后找出方程02=++c bx ax 的两根21,x x ，最后根据不等号：小于取______，大于取_____。
三、 【例题精讲】例1：因式分解法解不等式：062<-+x x例2：因式分解法解不等式：3522->-x x例3：图像法解不等式0122<++-x x例4：已知不等式022>++bx ax 的解集为321<<-x ，求022<++a bx x 的解集例5：解不等式：（1）0113<+-x x （2） 1312≥+-x x例6：解不等式：0)12)(2(2<--+x x x课后习题1、不等式0262<--x x 的解集为______________2、不等式0322<--x x 的解集为_________________________3、已知不等式02<+-b ax x 的解集为32<<x ，则不等式012≥+-bx ax 的解为_______4、不等式12<-x 的解集为_______________5、不等式0)3)(2)(1(<+-+x x x 的解集为____________________6、不等式04322>--x x 的解集为____________________________7、不等式221>-+x x 的解集为________________8、解不等式0)6)(2(2≥-++x x x9、解不等式：063222<++--+x x x x。
一元二次不等式一、考点突破知识点课标要求题型说明一元二次不等式1. 掌握简单的一元二次不等式的解法。
2. 掌握一元二次不等式与相应的函数、方程的关系。
选择题填空题一元二次不等式是解不等式的基础，要认真掌握。
并注意体会不等式、函数、方程间的相互转化思想。
二、重难点提示重点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系；理解一元二次不等式的恒成立问题；从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。
难点：理解二次函数图象、一元二次方程的根与一元二次不等式解集之间的关系。
考点一：一元二次不等式及其解集（1）概念形如20(0)ax bx c++>≥或20(0)ax bx c++<≤（其中0a≠）的不等式叫做一元二次不等式。
Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根有两个不相等的实数根x1，x2且x1＜x2有两个相等的实数根x1，x2没有实数根ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集{x|x＞x2或x＜x1} {x|x≠－ab2} Rax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅考点二：一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是：（1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；（2）计算相应的判别式；（3）当0∆≥时，求出相应的一元二次方程的根；（4）根据一元二次不等式解的结构，写出其解。
【核心归纳】其中对0∆>的解的结构可记为“20(0)ax bx c a++>>”的解为“大于大根或小于小根”，“20(0)ax bx c a++<>”的解为“大于小根且小于大根”，总结为“大于0取两边，小于0去中间”。
【随堂练习】若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b ＜0的解集。
思路分析：由不等式的解集→方程的解→利用韦达定理求a、b、c关系→解所求不等式答案：∵ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜4}，∴a＜0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根。
[学习目标] 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力.知识点一一元二次不等式的概念思考下列不等式是一元二次不等式的有________.①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.答案①②解析①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义.知识点二一元二次不等式的解法利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式.解一元二次不等式的一般步骤：(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集.知识点三“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系思考一元二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________.答案(－∞，－1)解析⎩⎪⎨⎪⎧a＜0，Δ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a＜0，4＋4a＜0⇒a＜－1.题型一一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)－4x2＋18x－814≥0；(3)－2x2＋3x－2＜0；(4)－12x2＋3x－5＞0.解(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2。
［学习目标］1•会解可化为一元二次不等式 (组)的简单分式不等式 2能够从实际生活和生产 中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3•掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的 解法•产知识梳理______ 自主学习知识点一分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式举)> 0( V 0) g (x )方法一：错误!或错误！ 方法二： f(x) g(x) > 0( < 0) > 0( < 0) g(x )()方法一： 错误!或错误！方法二： 错误！f < a 、 购> a > ag(x )丿 y a 丿先移项转化为上述两种形式知识点二简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x) >0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是： (1) 将f(x)最高次项的系数化为正数；(2) 将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积； (3) 将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线 (注意重根情况，偶重根驻而不穿，奇重根既穿又过);(4) 根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集 .思考 (x — 1)(x -2)(x — 3)2(x -4) >0 的解集为 _________________ .第3隹不等戌§3.2 一元二次不等式(二)答案 {x|1v X V 2 或 x >4}解析利用数轴穿根法知识点三一元二次不等式恒成立问题 对一元二次不等式恒成立问题，可有以下2种思路:⑵分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k >f(x)恒成立？ k > f(X )max ； k W f(X )恒成立？ k W f(X )min .車点突破题型一分式不等式的解法例1 解下列不等式：x + 4 x + 4解⑴由 v 0,得 >0,3 — x x — 3 此不等式等价于(x + 4)(x — 3)> 0, •••原不等式的解集为{x|x v — 4或x > 3}.x + 1(2)方法一 移项得一2W 0, x — 2 —x + 5x — 5左边通分并化简有W 0，即 > 0, x —2 x — 2(1)转化为一元二次不等式解集为2. a >0,R 的情况，即 ax 2 + bx + c>0(a ^ 0)恒成立？I A< 0.ax ? + bx + c<O(a 丰 0)恒成立 a v 0,AV 0. (1) x + 4 3 —xV 0; (2) x + 1x -2 W 2.[(x—2 (x—5戶0, 同解不等式为x—2工0,• x v 2 或x>5.•原不等式的解集为{x|x v 2或x> 5}.仪一5》0,此不等式等价于丫 ①x — 2> 0x —5< 0, 或②x —2v 0,解①得x > 5,解②得X V 2,•••原不等式的解集为{x|x v 2或x > 5}. 反思与感悟分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型 f2L> 0(<0)或丄> O (w 0),g (x )')g (x )再化成整式不等式来解•如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.x ? — 2x — 2跟踪训练1不等式<2的解集为x 十x 十1 -------------答案{X|X M — 2}解析 •/ x 2+ x + 1= x + 2 2+ 4> 0, .•.原不等式? x 2 — 2x — 2<2x 2+ 2x + 2? x 2+ 4x + 4>0? (x2+ 2) >0, ••• X M — 2..不等式的解集为{X |X M — 2}. 题型二解一元高次不等式 例2解下列不等式： (1) x 4— 2x 3— 3x 2v 0; (2) 1 + x — x 3 — x 4> 0;(3) (6x 2— 17x + 12)(2x 2— 5x + 2) > 0. 解 ⑴原不等式可化为x 2(x — 3)(x + 1) V 0,2当 x M 0 时，x > 0,由(x — 3)(x + 1) V 0,得一1V x v 3; 当x = 0时，原不等式为 0V 0，无解.方法原不等式可化为 x — 5> 0,x — 2•原不等式的解集为{x|— 1 v x v 3，且x M 0}.2⑵原不等式可化为(x+ 1)(x—1)(x + x+ 1)V0,2而对于任意x € R，恒有x + x+ 1 > 0,•••原不等式等价于(x+ 1)(x—1)v 0,•••原不等式的解集为{X— 1 V X V 1}.⑶原不等式可化为(2x—3)(3x—4)(2x—1)(x—2)>0,进一步化为x—I x— 3 x —1 (x—2)> 0,“ 1 4 | [如图所示，得原不等式的解集为c x|x v -或|V x v 3或x>2 :反思与感悟解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考虑约分，然后可以转化为一元二次不等式，当然也可考虑数轴穿根法2x + px + q跟踪训练2若不等式x2+ px+ q v 0的解集是{x|1v x v 2}，则不等式> 0的解集是x —5x—6答案{x|x< — 1 或1<x<2 或x>6}2 2解析由题意知x + px+ q = (x—1)(x—2)，则待解不等式等价于(x—1)(x—2)(x —5x—6) > 0 ? (x—1)(x—2)(x—6)(x+ 1) > 0? x v—1 或1 v x v 2 或x> 6.题型三不等式恒成立问题例I 对任意的x€ R，函数f(x) = x2+ (a—4)x+ (5 —2a)的值恒大于0，贝U a的取值范围为答案(一2,2)解析由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x) > 0恒成立，只需Av 0即可，即(a—4)2—4(5 —2a)v 0,解得—2v a v 2.反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；⑵若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解跟踪训练3对任意a€ [ —1,1]，函数f(x)= x2+ (a —4)x+ 4-2a的值恒大于零，则x的取值范围是 ________ .答案{x|x v 1 或x> 3}解析f(x) > 0,2••• x + (a—4)x+ 4 —2a> 0,2即(x—2)a+ (x + 4—4x) > 0,设g(a) = (x —2)a+ (x2—4x+ 4)由题意g —1 > 0,x—2+ x2—4x+ 4= x2—3x+ 2> 0,即—x + 2+ x2+ 4—4x= x2—5x+ 6> 0,•x v 1 或x>3.题型四一元二次不等式在生活中的应用例4某人计划收购某种农产品，如果按每吨200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低X(X M 0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x 的函数关系式；⑵要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.解(1)降低后的征税率为(10 —x)%，农产品的收购量为a(1 + 2x%)万吨，收购总金额为200a(1 + 2x%).依题意得，y= 200a(1 + 2x%)(10 —x)%1=50a(100 + 2x)(10 —x)(0 v x v 10).⑵原计划税收为200a 10% = 20a(万元).1依题意得，50a(100 + 2x)(10 —x)> 20a x 83.2% ,化简得x2+ 40x—84 W 0,•—42 W x< 2.又••• 0v x v 10,/• 0 v x w 2.x的取值范围是{x|0v x< 2}.反思与感悟不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键 .跟踪训练4在一个限速40km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲= 20.1x+ 0.01x ,_ 2S 乙=0.05x+ 0.005x .问超速行驶谁应负主要责任.解由题意列出不等式S甲=0.1x + 0.01X2>12 ,2S乙=0.05x+ 0.005x >10.分别求解，得x< —40 或x>30.x<—50 或x>40.由于x>0 ,从而得x 甲>30km/h , x 乙>40 km/ h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.已当堂检理 ______ 自查自纠x —21. 若集合A= {x|—1 w 2X+ 1 w3} , B= {x—w 0}，贝V A Q B = ________ .x答案{x|0v x w 1}解析•/ A= {x|— 1 w x w 1}, B = {x|0v x w 2},• A Q B= {x|0v x w 1}.2. _________________________________________________________ 若集合A= {x|ax2—ax+ 1<0} = ?，则实数a的值的集合是__________________________________ .答案{a|0w a w 4}解析a= 0时符合题意.a>0时，相应二次方程中的△= a2—4a w 0,得{a|0<a w4}，综上，得{ a|0w a w 4}.3. 不等式L仆2)0+3 L 0的解集为 ______________________________ .x + 4答案{x|—4v x v—3 或x>—1}解析原式可转化为(x+ 1)(x+ 2)2(X+ 3)(x + 4) >0,根据数轴穿根法，解集为—4v x v —3或x>— 1.4. 设x2—2x+ a—8W 0对于任意x€ (1,3)恒成立，求a的取值范围.解原不等式x2—2x+ a—8w 0转化为a< —x2+ 2x + 8对任意x€ (1,3)恒成立，设f(x)=—x2+ 2x+ 8,易知f(x)在(1,3)上的最小值为f(3) = 5.••• aw 5.5•某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏•为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解设每盏台灯售价x元，则x> 15,并且日销售收入为x[30 —2(x—15)]，由题意知，当x> 15时，有x[30 —2(x—15)] >400,解得：15W x v 20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x€ [15,20).「课堂小结 ------------------------------------ 11•解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.若不等式含有等号时，分母不为零.2•对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法•这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决•当然这必须以参数容易分离作为前提•分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立？ a>f(X)max；(2)a<f(x)恒成立？ a<f(x)min.3•解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解。
3.2 一元二次不等式（一）学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的联系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.体会数形结合、分类讨论思想在不等式中的应用．知识点一一元二次不等式的概念思考我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么你能写出不等式x2>1的解集吗？梳理(1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做________________不等式．(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解．(3)不等式所有解的________称为解集．解不等式的任务是求解集．知识点二“三个二次”的关系思考分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之间的关系．梳理一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表．知识点三一元二次不等式的解法思考根据上表，试解不等式x2＋2>3x.梳理解一元二次不等式的步骤：(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；(4)根据图象写出不等式的解集．类型一一元二次不等式的解法命题角度1 二次项系数大于0例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集．反思与感悟当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象．跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集．命题角度2 二次项系数小于0例2 解不等式－x2＋2x－3>0.反思与感悟将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程中注意符号的变化，这是解本题的关键之处．跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集．命题角度3 含参数的二次不等式例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.反思与感悟解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论．跟踪训练3 解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.类型二“三个二次”间对应关系的应用例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．反思与感悟给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系的方法求待定系数．跟踪训练4 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值．1．不等式2x2－x－1>0的解集是______________．2．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是______________．3．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是________．4．不等式x2＋x＋2<0的解集为______________．1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.答案精析问题导学 知识点一思考 不等式x 2>1的解集为{x |x <－1或x >1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集． 梳理(1)一元二次 (3)集合 知识点二思考 x 2－1>0――→y >0y ＝x 2－1――→y ＝0x 2－1＝0.梳理有两个相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 相等 (－∞，x 1)∪(x 2，＋∞) (x 1，x 2) ∅ 知识点三思考 先化为x 2－3x ＋2>0. ∵方程x 2－3x ＋2＝0的根x 1＝1，x 2＝2，∴原不等式的解集为{x |x <1或x >2}． 题型探究例1 解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠12.跟踪训练1 解 ∵2x 2－3x －2＝0的两解为x 1＝－12，x 2＝2，且a ＝2>0，∴不等式2x 2－3x －2≥0的解集是{x |x ≤－12或x ≥2}．例2 解 不等式可化为x 2－2x ＋3<0. 因为Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无实数解， 而y ＝x 2－2x ＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集是∅.跟踪训练2 解 不等式可化为3x 2－6x ＋2<0， ∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0， ∴x 1＝1－33，x 2＝1＋33， ∴不等式－3x 2＋6x >2的解集是 {x |1－33<x <1＋33}． 例3 解 当a ＜0时，不等式可化为(x －1a)(x －1)＞0，∵a ＜0，∴1a＜1，∴不等式的解集为{x |x ＜1a或x ＞1}．当a ＝0时，不等式即－x ＋1＜0，解集为{x |x ＞1}． 当a ＞0时，不等式可化为(x －1a)(x －1)＜0.当0＜a ＜1时，1a ＞1，不等式的解集为{x |1＜x ＜1a}．当a ＝1时，不等式的解集为∅.当a ＞1时，1a ＜1，不等式的解集为{x |1a＜x ＜1}．综上，当a ＜0时，解集为{x |x ＜1a或x ＞1}；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}； 当0＜a ＜1时，解集为{x |1＜x ＜1a}；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为{x |1a＜x ＜1}．跟踪训练3 解 当a ＜0或a ＞1时，有a ＜a 2，此时，不等式的解集为{x |a ＜x ＜a 2}； 当0＜a ＜1时，有a 2＜a ，此时，不等式的解集为{x |a 2＜x ＜a }；当a ＝0或a ＝1时，原不等式无解．综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜a 2}； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |a 2＜x ＜a }； 当a ＝0或a ＝1时，解集为∅.例4 解 由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，∴不等式bx 2＋ax ＋1>0， 即2x 2－3x ＋1>0.由2x 2－3x ＋1>0，解得x <12或x >1.∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为{x |x ＜12或x ＞1}．跟踪训练4 解 由题设条件知a >0，且1,2是方程ax 2－bx ＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝b a，1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.当堂训练1.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)2．{x |x ≤－23或x ≥12}3．3 4.∅。
§3.2一元二次不等式（二） 第 23 课时一、学习目标（1）经历从实际情景抽象出一元二次不等式模型的过程，从中体会由实际问题建立数学模型的方法；（2）利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式；（3）让学生充分体会数学知识、数学思想方法在问题解决中的重要作用，进一步提高学习数学的兴趣．二、学法指导解一元二次不等式的一般步骤：当0a ＞时，解形如20(0)ax bx c ++≥＞或20(0)ax bx c ++≤＜的一元二次不等式，一般可分为三步：（1）确定对应方程20ax bx c ++=的解；（2）画出对应函数2y ax bx c =++图象的简图；（3）由图象得出不等式的解集。
三、课前预习1.一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间有什么关系？2.解不等式: (1) 234x x ->； (2)0322>-+-x x ；(3) 2(1)(30)0x x x --->； (4)2212311x x x -≥+-． 3．归纳解一元二次不等式的步骤：四、课堂探究例1．用一根长为100m 的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？ 解：设矩形一边的长为()x m ，则另一边的长为50()x m -，050x <<．由题意，得(50)600x x ->，即2506000x x -+<．解得2030x <<．所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于2600m 的矩形．用S 表示矩形的面积，则2(50)(25)625(050)S x x x x =-=--+<<．当25x =时，S 取得最大值，此时5025x -=．即当矩形的长、宽都为25m 时，所围成的矩形的面积最大．例2．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元／件之间的关系为1602p x =-，生产x 件所需成本为50030C x =+元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？解：由题意，得(16002)(50030)1300x x x --+≥，化简得2659000x x -+≤，解之得2045x ≤≤．因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．例3．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()s m 与车速(/)x km h 之间分别有如下关系：220.10.01,0.050.005s x x s x x =+=+乙甲．问：甲、乙两车有无超速现象？分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速．解：由题意知，对于甲车，有20.10.0112x x +>，即21012000x x +->，解得3040x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明甲车的车速超过30km/h ．但根据题意刹车距离略超过12m ，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h ．对于乙车，有20.050.00510x x +>，即21020000x x +->，解得4050x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明乙车的车速超过40km/h ，超过规定限速．例4．解关于x 的不等式2(2)20x a x a -++<.例5．已知：{}{}22|320,|(1)0A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤， (1)若A B ⊂≠，求a 的取值范围； (2)若B A ⊆，求a 的取值范围；(3)若A B 为一元集，求a 的取值范围；(4)若A B B =，求a 的取值范围；解：由题意 {|12}A x x =≤≤，{|(1)()0}B x x x a =--≤（1）A B ⊂≠，2a ∴>； （2）B A ⊆，12a ∴≤≤；（3）A B 只有一个元素，1a ∴≤五、巩固训练求下列不等式的解集:（1）22120x ax a --<； （2）2106511x x -≤+-≤．六、回顾小结：1．有关一元二次不等式的实际问题，在于理清各个量之间的关系，建立数学模型；2．利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式．七、课外作业：课本第71页 练习 第1题；习题3.2 第4题； 第94页 复习题 第1（3）、（4），2题．补充：1．求不等式24318x x ≤-<的整数解；2．解不等式：（1）2223513134x x x x --≥-+； （2）223()0x a a x a -++>． 3．求不等式220x x a -+≤的解集．。
