惠东中学2019学年高一数学模块考试(必修4)

模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知α∈,tan α=-,则sin(α+π)=()A. B.- C. D.-解析由题意可得sin α=,∴sin(α+π)=-sin α=-,故选B.答案B2.函数y=cos42θ-sin42θ的最小正周期是()A.2πB.4πC.D.解析y=cos42θ-sin42θ=(cos22θ+sin22θ)(cos22θ-sin22θ)=cos 4θ,所以最小正周期T=.故选D.答案D3.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=()A.-4B.-3C.-2D.-1解析由题意得(m+n)·(m-n)=m2-n2=0,即(λ+1)2+1=(λ+2)2+4,解得λ=-3.答案B4.已知f(x)=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x1,x2∈,且|x1-x2|min=π,则f(x)的最小正周期是()A.3πB.2πC.πD.解析依题意,转化为sin(ωx+θ)=有两个不等的实数x1,x2,|x1-x2|min=π,则=π,得ω=,故f(x)的最小正周期是T==3π.答案A5.设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-B.C. D.解析依题意得)=-.答案A6.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是()A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不含60°角的等腰三角形解析由题意知sin(A-B)=1-2cos A sin B,即sin A cos B-sin B cos A=1-2cos A sin B,得sin A cos B+sin B cos A=1=sin(A+B),所以A+B=C=,所以△ABC的形状一定是直角三角形.答案B7.式子的值等于()A. B. C.2 D.解析原式=.答案A8.将曲线y=sin上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线A,再把A上的所有点向右平行移动个单位长度得到曲线B,则曲线B的函数解析式为()A.y=sin 2xB.y=sinC.y=sin xD.y=sin解析将曲线y=sin上所有点的横坐标缩短为原来的倍,得到的曲线的解析式为y=sin,再把所有点向右平移个单位长度得到的曲线的解析式为y=sin=sin.答案B9.若向量a,b满足|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则a,b的夹角为()A. B. C. D.解析由条件得:⇒cos <a,b>==-,故a,b的夹角为.答案D10.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=处取得最大值,则函数y=cos(2x+φ)的图象()A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称解析依题意,函数f(x)=sin(2x+φ)在x=处取得极大值,则sin=1,则cos=0,故函数y=cos(2x+φ)的图象关于点对称.答案A11.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使=2,则的值为()A. B. C. D.-解析如图,连接AE,则AE⊥BC;=2;所以;因此=()·=0+|||cos ×1×.答案A12.已知=(2,2),=(cos α,sin α),则的模的最大值是()A.3B.3C.D.18解析因为=(2+cos α,2+sin α),所以||=≤3,故选B.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设e1,e2是两个不共线的向量,a=3e1+4e2,b=e1-2e2.若以a,b为基底表示向量e1+2e2,即e1+2e2=λa+μb,则λ+μ=.解析由a=3e1+4e2,b=e1-2e2,得e1=a+b,e2=a-b,∴e1+2e2=a-b,∴λ+μ=.答案14.若将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后的函数对称轴为.解析由题意,函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度,可得:y=cos =cos,所以由2x+=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z).答案x=(k∈Z)15.已知θ是第四象限角,且sin,则tan=.解析因为θ是第四象限角,且sin,所以θ+为第一象限角,所以cos,所以tan=-.答案-16.导学号68254115已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>1,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,则ω·φ=.解析由f(x)是偶函数,得f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于y轴对称,得φ=+kπ(k∈Z),又因为0≤φ≤π,所以φ=.由f(x)的图象关于点M对称,得f=0.由f=sin=cos =0,得+kπ(k∈Z),又ω>1,所以ω=(2k+1)(k∈N*).当k=1时,ω=2,f(x)=sin上是减函数;当k≥2时,ω≥,f(x)=sin上不是单调函数,所以ω=2,故ω·φ=π.答案π三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)如图,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ为圆A的一条直径.(1)请用表示,用表示;(2)记∠BAP=θ,求的最大值.解(1)=-.(2)∵∠BAC=60°,设∠BAP=θ,∴∠CAP=60°+θ,∵AB=8,AC=3,AP=2,∴=()·(-)=8-6cos(θ+60°)+16cos θ=3sin θ+13cos θ+8=14sin(θ+φ)+8,∴当sin(θ+φ)=1时,的最大值为22.18.(本小题满分12分)已知0<α<<β<π,cos,sin(α+β)=.(1)求sin 2β的值;(2)求cos的值.解(1)sin 2β=cos=cos =2cos2-1=2×-1=-.(2)因为0<α<<β<π,所以<α+β<,所以sin>0,cos(α+β)<0,又因为cos,sin(α+β)=,所以sin,cos(α+β)=-,所以cos=cos=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin=-.19.(本小题满分12分)函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的最小正周期及解析式;(2)设函数g(x)=f(x)-cos 2x,求g(x)在区间上的最小值.解(1)由图可得A=1,,所以T=π,因此ω=2.当x=时,由f(x)=1,可得sin=1,即+φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=, 故f(x)=sin.(2)由(1)知g(x)=f(x)-cos 2x=sin-cos 2x=sin 2x+cos 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin,因为x∈,所以-≤2x-,故当2x-=-,即x=0时,函数g(x)取最小值-.20.(本小题满分12分)已知m=(sin A,cos A),n=(,-1),m·n=1,且A为锐角.(1)求角A的大小;(2)求函数f(x)=cos 2x+4cos A sin x(x∈R)的值域.解(1)由题意得m·n=sin A-cos A=1,即2sin=1,sin,由A为锐角,得A-,即A=.(2)由(1)知cos A=,所以f(x)=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x=-2.因为x∈R,所以sin x∈[-1,1],因此,当sin x=时,f(x)有最大值;当sin x=-1时,f(x)有最小值-3.所以函数f(x)的值域是.21.导学号68254116(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,点A,B,锐角α的终边与单位圆O交于点P.(1)用α的三角函数表示点P的坐标;(2)当=-时,求α的值;(3)在x轴上是否存在定点M,使得||=|恒成立?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)用α的三角函数表示点P的坐标为(cos α,sin α).(2),=-时,即+sin2α=-,整理得到cos α=,所以锐角α=60°.(3)在x轴上假设存在定点M,设M(x,0),=(cos α-x,sin α),则由||=|恒成立,得到+cos α=(1-2x cos α+x2),整理得2(2+x)cos α=x2-4,当x=-2时等式恒成立,所以存在M(-2,0).22.导学号68254117(本小题满分12分)设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.解(1)f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2=2sin2x-(1-2sin x cos x)=(1-cos 2x)+sin 2x-1=sin 2x-cos 2x+-1=2sin-1,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)由(1)知f(x)=2sin-1,把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin-1的图象,再把得到的图象向左平移个单位,得到y=2sin x+-1的图象,即g(x)=2sin x+-1.所以g=2sin -1=.。

模块评估检测(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知α是第二象限角,sin α=,则cos α=( A )A.-B.-C.D.2.(2018·日照高一检测)已知sin=,则cos2的值为( D )A. B. C. D.3.(2018·三明高一检测)已知向量a=(1,2),b=(-2,t),且a∥b,则|a+b|= ( B )A. B. C. D.54.sin 18°sin78°-cos 162°cos78°=( A )A. B.- C. D.-5.已知角θ的始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( D )A.-B.C.D.-6.已知=-2,则t a n x的值为( A )A. B.- C. D.-7.已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( C )A. B. C. D.8.已知函数f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω的值为( C )A. B. C. D.9.(2018·广州高一检测)已知向量与的夹角为120°,且=2,=3,若=λ+,且⊥,则实数λ的值为( D )A. B.13 C.6 D.10.已知a=,b=(4,4cos α-),若a⊥b,则sin等于( A )A.-B.-C.D.11.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则实数m 的值为( A )A. B.± C.- D.12.(2018·江西九校联考)已知锐角α,β满足sin α-cos α=,t a n α+t a n β+t a n αt a n β=,则α,β的大小关系是( B )A.α<<βB.β<<αC.<α<βD.<β<α二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知某扇形所在圆的半径为R,且该扇形的面积为R2,那么这个扇形的圆心角的弧度数α(0<α<2π)是2.14.已知向量a=(cos 5°,sin5°),b=(cos 65°,sin65°),则|a+2b|=.15.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB=,BC=2,点E为AB的中点,若·=-2,则向量在向量上的投影为-.16.已知函数f(x)是R上的奇函数,当x>0时,f(x)=(-<α<),若对实数x∈R,都有f(x-3)≤f(x)恒成立,则实数α的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知0<α<π,t a n α=-2.(1)求cos α的值.(2)求2sin2α-sin αcosα+cos2α的值.【解析】(1)因为0<α<π,t a n α=-2,可得=-2,所以α为钝角且cos α<0.再由sin2α+cos2α=1,<α<π,所以cos α=-.(2)原式===.18.(本小题满分12分)设a,b,满足|a|=|b|=1,及|3a-2b|=.(1)求a与b的夹角.(2)求|3a+b|的值.【解析】(1)将|3a-2b|=平方得9a2-12a·b+4b2=7,所以a·b=,设a与b的夹角为θ.因为θ∈[0,π],a·b=|a||b|·cos θ=,所以θ=.(2)|3a+b|==.19.(本小题满分12分)已知t a n α=2,t a n β=-,其中0<α<,<β<π.求:(1)t a n(α-β)的值.(2)α+β的值.【解析】(1)因为t a n α=2,t a n β=-,所以t a n(α-β)===7.(2)因为t a n(α+β)===1,且0<α<,<β<π,所以<α+β<.所以α+β=.20.(本小题满分12分)已知函数y=f(x)=2sin ωx·cosωx+2b cos2ωx-b(其中b>0,ω>0)的最大值为2,直线x=x1、x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为.(1)求b,ω的值.(2)若f(α)=,求sin的值.【解析】(1)因为f(x)=sin 2ωx+b cos 2ωx.所以f(x)m a x==2.因为b>0,所以b=.所以f(x)=sin 2ωx+cos 2ωx=2sin,所以T=π=.所以ω=1.所以f(x)=2sin.(2)因为f(α)=2sin=.所以sin=.又因为cos=1-2sin2=.所以sin=sin=-cos=-.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos+2sin.(1)求函数f(x)的单调减区间.(2)求函数f(x)的最大值并求f(x)取得最大值时的x的取值集合.(3)若f(x)=,求cos的值.【解析】f(x)=2cos xcos+2sin xsin-2cos x=cos x+sin x-2cos x=sin x-cos x=2sin.(1)令2kπ+≤x-≤2kπ+π(k∈Z),所以2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以单调递减区间为(k∈Z). (2)f(x)取最大值2时,x-=2kπ+(k∈Z),则x=2kπ+(k∈Z).所以f(x)的最大值是2,取得最大值时的x的取值集合是.(3)f(x)=,即2sin=,所以sin=.所以cos=1-2sin2=1-2×=.22.(本小题满分12分)已知a=(sin x,cos x),b=(cos x,cos x).(1)若a·b=1,且x∈,求x的值.(2)设f(x)=a·b,x∈,若方程f(x)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为a·b=1,所以sin x·cos x+cos2x=1,即sin 2x+cos 2x=,所以sin=,因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,所以2x+=,所以x=0.(2)f(x)=a·b=sin+,当x∈时,2x+∈,结合函数y=m的图象可看出,如果有两个交点,则实数m的取值范围是.。

2019年高中数学必修四综合测试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若sin(π－α)＝12，则tan α的值为( )A.33 B ．－33 C ．±33D ．±3 2．设a ＝sin 46°，b ＝cos 46°，c ＝tan 46°，则( ) A ．c ＞a ＞b B ．a ＞b ＞c C ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a3．若点(sin α，sin 2α)在第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( )A 56ABCD 7A B C D8．如图，在四边形ABCD 中，|AB →|＋|BD →|＋|DC →|＝4，|AB →|·|BD →|＋|BD →|·|DC →|＝4，AB →·BD →＝BD →·DC →＝0，则(AB →＋DC →)·AC →的值为( )A ．4B ．2C ．4 2D ．229．已知偶函数y ＝f (x )在区间[－1,0]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两个内角，则( ) A ．f (sin α)＞f (cos β) B ．f (sin α)＜f (cos β) C ．f (sin α)＞f (sin β) D ．f (cos α)＜f (cos β)10．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D.1211．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|等于( )A.13B.12C ．1D ．2 12．关于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(x ∈R )，给出下列三个结论： ①函数f (x )的图象与g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的图象重合； ②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称； ③函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称．其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．3 D ．2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.14．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．15．已知平面向量a ＝(4x,2x)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，2x－22x ，x ∈R .若a ⊥b ，则|a －b |＝________.16．已知函数f (x )＝m sin x ＋n cos x 且f ⎝⎛⎭⎫π4是它的最大值(其中m ，n 为常数，mn ≠0)，给出下列命题：①f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为偶函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫54π，0对称；③f ⎝⎛⎭⎫－34π是函数f (x )的最小值； ④m n＝1. 其中正确的命题是________．(填序号) 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值．(1)求f(x)的最大值与最小值；(2)若f(α)＝0，α∈(0,2π)，求α的值．(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的值域； (2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图．22．(12分)已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4cos ωx 在x ＝π4处取得最值，其中ω∈(0,2)． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位长度，再将所有图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．若α为锐角，且g (α)＝43－2，求cos α的值．1A.33 B ．－33 C ．±33D ．±3 答案 C解析 sin(π－α)＝sin α＝12，∴cos α＝±32，tan α＝±33.2．设a ＝sin 46°，b ＝cos 46°，c ＝tan 46°，则( ) A ．c ＞a ＞b B ．a ＞b ＞c C ．b ＞c ＞a D ．c ＞b ＞a答案 A解析 如图所示，由于46°＞45°，结合三角函数线知，AT ＞MP ＞OM . 故有tan 46°＞sin 46°＞cos 46°，即c ＞a ＞b . 3．若点(sin α，sin 2α)在第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，sin 2α＜0，∴sin α＞0，cos α＜0.∴α在第二象限．4．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 答案 B解析 |2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2 ＝4×12－4×0＋22＝2 2.5．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝12，则φ等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3 答案 D解析 ∵f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos φ⎝⎛⎭⎫cos 2x －12 ＝12sin 2x sin φ＋12cos φcos 2x ＝12cos(2x －φ)， ∴g (x )＝12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12－φ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－φ. ∵g ⎝⎛⎭⎫π4＝12，∴2×π4＋π6－φ＝2k π(k ∈Z )， ∴φ＝2π3－2k π(k ∈Z )．∵0＜φ＜π，∴φ＝2π3.故选D.6．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点．若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 一定是( ) A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D7A B C D＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－sin 2x ， ∴函数为奇函数且T ＝2π2＝π.8．如图，在四边形ABCD 中，|AB →|＋|BD →|＋|DC →|＝4，|AB →|·|BD →|＋|BD →|·|DC →|＝4，AB →·BD →＝BD →·DC →＝0，则(AB →＋DC →)·AC →的值为( )A ．4B ．2C ．4 2D ．22 答案 A9．已知偶函数y ＝f (x )在区间[－1,0]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两个内角，则( ) A ．f (sin α)＞f (cos β) B ．f (sin α)＜f (cos β) C ．f (sin α)＞f (sin β) D ．f (cos α)＜f (cos β) 答案 A解析 ∵y ＝f (x )为偶函数，且在区间[－1,0]上为减函数，∴y ＝f (x )在[0,1]上为增函数． ∵α，β为锐角三角形的两个内角， ∴0＜α＜π2，0＜β＜π2，且α＋β＞π2，∴α＞π2－β＞0.∴sin α＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos β＞0. ∴f (sin α)＞f (cos β)．10．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1 D.12答案 B解析 原式＝2sin 2α1＋cos 2α·1＋cos 2α2cos 2α＝tan 2α.11．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|等于( )A.13B.12 C ．1 D ．2 答案 D解析 ∵OA →－3OB →＋2OC →＝0，∴OB →－OA →＝2(OC →－OB →)，∴AB →＝2BC →.∴|AB →|→＝2.A又f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝sin π2＝1， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π3对称．∴结论③正确．综上，结论①②③都正确．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________. 答案 4314．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①③④解析 ∵f (x )＝m sin x ＋n cos x ＝m 2＋n 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝nm ， 又f ⎝⎛⎭⎫π4是f (x )的最大值，∴π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .∴φ＝π4＋2k π，k ∈Z . ∴f (x )＝m 2＋n 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2k π ＝m 2＋n 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 2＋n 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝m 2＋n 2cos x ，为偶函数，故①正确；f (x )的图象的对称中心的横坐标满足x ＋π4＝k π，k ∈Z ，f ⎝⎛∴cos θ＝2 2.又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(12分)求值：(1)cos 2π7·cos4π7·cos6π7；(2)3tan 12°－3sin 12°(4cos212°－2).解(1)cos 2π7·cos4π7·cos6π7＝sin4π72sin2π7·sin8π72sin4π7·sin12π72sin6π7＝18·sinπ7·sin2π7sin2π7·sinπ7＝18.(2)3tan 12°－3sin 12°(4cos212°－2)⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 20．(12分)已知m ＝(a cos x ，cos x )，n ＝(2cos x ，b sin x )，f (x )＝m ·n ，且f (0)＝2，f ⎝⎛⎭⎫π3＝12＋32. (1)求f (x )的最大值与最小值； (2)若f (α)＝0，α∈(0,2π)，求α的值．解 (1)∵m ＝(a cos x ，cos x )，n ＝(2cos x ，b sin x )，(2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图．解 f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋ sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴π3≤2x ＋π3≤4π3. ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：2x ＋π30 π2 π 3π2 2π x －π6 π12 π3 7π12 5π6 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－2图象如图所示．22．(12分)已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4cos ωx 在x ＝π4处取得最值，其中ω∈(0,2)． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位长度，再将所有图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．若α为锐角，且g (α)＝43－2，求cos α的值．解 (1)f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4cos ωx ＝4⎝⎛⎭⎫22sin ωx －22cos ωx cos ωx ＝22sin ωx cos ωx －22cos 2ωx ＝2sin 2ωx －2cos 2ωx －2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4－ 2. ∵函数f (x )在x ＝π4处取得最值，∴2ω×π4－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，解得ω＝2k ＋32，k ∈Z .。

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.cos 660°等于()A.-B.-C.D.解析:cos 660°=cos(-60°+2×360°)=cos(-60°)=cos 60°=,故选C.答案:C2.若tan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:由已知得tan α>0,sin α<0,∴α是第三象限角.答案:C3.若一工件是扇形,其圆心角的弧度数为2,且该扇形弧所对的弦长也是2,则这个工件的面积为()A. B. C. D.解析:由题意,得扇形的半径为.又由扇形的面积公式,得该扇形的面积为×2×.答案:A4.已知△ABC的边BC上有一点D满足=2,则可表示为()A. B.C. D.解析:由题得)=.答案:C5.已知a=,b=-,c=a+k b,d=a-b,c与d的夹角是,则k的值为()A.-B.-3C.-3或-D.-1解析:c=--,d=(0,1).,cos--解得k=-3或-.答案:C6.将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()A. B.C. D.解析:y=cos x+sin x=2cos-,向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=2cos-的图象.因为该图象关于y轴对称,所以m-=kπ(k∈Z),即m=kπ+,故当k=0时,m取得最小值.答案:B7.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2解析:当a与b为非零向量且反向时,B显然错误.答案:B8.已知函数y=A sin(ωx+φ)+m(A>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的函数解析式是()A.y=4sinB.y=2sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+2得A=2,m=2.解析:由-又∵T=,∴ω==4,∴ωx+φ=4x+φ.∵x=是其图象的一条对称轴,∴π+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ-π.当k=1时,φ=,∴y=2sin+2.答案:D9.已知向量=(2,0),=(0,2),=(cos θ,sin θ),则||的取值范围是()A.[1,2]B.[2,4]C.[2-1,2+1]D.[2,2+1]解析:由题意知,=(2-cos θ,-2-sin θ),所以||=---=-=-∈[-],即||∈[2-1,2+1].答案:C10.已知函数f(x)=A sin,x∈R,A>0,y=f(x)的部分图象如图,P,Q分别为该图象的最高点和最低点,点P 的横坐标为1.若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,则A=()A. B.2C.1D.2解析:函数f(x)的周期为T==6,∴Q(4,-A).又∠PRQ=,∴直线RQ的倾斜角为,∴=-,A=.-答案:A11.若动直线x=a与函数y=sin-和y=sin的图象分别交于M,N两点,则|MN|的最大值为()A.1B.C. D.2解析:|MN|=--=---=|cos 2a|≤.答案:C12.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)=()A.-B.C.-D.解析:因为α∈,所以2α∈(0,π).因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-,所以sin 2α=-.又α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以sin(α+β)=-,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=--.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为.解析:设扇形的弧长为l cm,半径为r cm,则l=2r.又l+2r=8,∴2r+2r=8,即r=2(cm).∴扇形的面积S=lr=×4×2=4(cm2).答案:4 cm214.函数y=3-的定义域为.解析:由2cos≥0,得2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).答案:-(k∈Z)15.已知非零实数a,b满足关系式-=tan ,则的值是.解析:由题可得-=tan=tan =tan,其中sin θ=,cos θ=,所以θ=+kπ,k∈Z,所以=tan θ=tan=tan .答案:16.已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=.解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象.A,B为符合条件的两交点.则A,B--,由|AB|=2,得=2,解得=2,即ω=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sin+sin-.(1)求sin α的值;(2)求---的值.解:(1)∵sin+sin-, ∴sin α=.∴sin α=.(2)∵---=--=--,∴原式=.18.(12分)已知电流I与时间t的关系式为I=A sin(ωt+φ).(1)如图是I=A sin(ωt+φ)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=A sin(ωt+φ)的解析式;(2)如果t在任意一个长度为的区间内,电流I=A sin(ωt+φ)都能取得最大值,那么ω的最小正整数值是多少? 解:(1)因为周期T=2×--,ω==150π.又A=300,所以I=300sin(150πt+φ).将点-的坐标代入上式,得sin-=0.因为|φ|<,所以φ-=0,φ=,即所求的解析式为I=300sin.(2)如果t在任意一个长度为的区间内,电流I=A sin(ωt+φ)都能取得最大值,那么必须满足,即ω≥300π≈942,所以ω的最小正整数值是943.19.(12分)设在平面上有两个向量a=(cos 2α,sin 2α)(0≤α<π),b=,a与b不共线.(1)求证:向量a+b与a-b垂直;(2)当向量a+b与a-b的模相等时,求α的大小.(1)证明由已知得|a|==1,|b|==1,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以a+b与a-b垂直.(2)解由|a+b|=|a-b|两边平方,得3|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+3|b|2,∴2(|a|2-|b|2)+4a·b=0.而|a|=|b|,∴a·b=0.∴cos 2α+sin 2α=0,即sin=0,∴2α+=kπ(k∈Z).又0≤α<π,∴α=或α=.20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.解:由已知得cos α=,cos β=.∵α,β为锐角,∴sin α=-,sin β=-.∴tan α=7,tan β=.=-3.(1)tan(α+β)=--(2)∵tan 2β=,--∴tan(α+2β)==-1.--∵α,β为锐角,∴0<α+2β<.∴α+2β=.21.(12分)已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈.(1)若||=||,求角α的值;(2)若=-1,求的值.解:(1)∵=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3),∴||=--,||=--.由||=||,得sin α=cos α.又∵α∈,∴α=.(2)由=-1,得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1.∴sin α+cos α=.①又=2sin αcos α.由①式两边平方,得1+2sin αcos α=,∴2sin αcos α=-.∴=-.22.(12分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C.(1)当θ=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;(2)当θ=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.解:(1)连接OA,设∠AOB=α,则OB=cos α,AB=sin α.∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α.∴S=sin 2α.由于0<α<,∴当2α=,即α=时,S最大=.∴A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为.(2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.在Rt△ABH中,=tan 60°=,∴BH=sin α.∴OB=OH-BH=cos α-sin α.设平行四边形ABOC的面积为S,则S=OB·AH=-sin α=sin αcos α-sin2α=sin 2α-(1-cos 2α)=sin 2α+cos 2α-==sin.由于0<α<,∴当2α+,即α=时,S最大=.∴当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.。

模块综合试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．若复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 等于( )A. 2B.23 C ．－23 D ．2答案 C解析 因为2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b 5－4＋b5i ，又复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－23.2．已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为S ，则圆锥的底面面积是( ) A ．2S B.S 2 C.2S D.22S答案 B解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l . 则由题意，得S 侧＝12πl 2，S 侧＝πrl ，所以12πl 2＝πrl ，于是l ＝2r ，代入S ＝πrl ，得S ＝2πr 2， 所以圆锥的底面面积为πr 2＝S2.3．已知关于x 的方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且边a ，b 为△ABC 的两内角A ，B 所对的边，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 A解析 因为方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，所以b cos A ＝a cos B ，由正弦定理可得sin B cos A ＝sin A cos B ，所以sin B cos A －sin A cos B ＝0，即sin(A －B )＝0，因为A ，B 为三角形的两内角，所以A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形，故选A.4．如图所示，点P 在正方形ABCD 所在的平面外，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，则异面直线PB 与AC 所成的角是( ) A ．90° B ．30° C ．45° D ．60°答案 D解析 连接BD 交AC 于点O ，连接PD ，取PD 的中点Q ，连接OQ ，AQ (图略)，则OQ ∥PB .设正方形ABCD 的边长为a .因为P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝a ，所以PD ＝PB ＝DB ＝AC ＝ 2a .因为在△DBP 中，O ，Q 分别是边BD ，PD 的中点，所以OQ ＝PB 2＝2a2.在△ADP 中，AQ ＝2a 2，又OA ＝2a2， 所以△AOQ 是等边三角形， 所以∠AOQ ＝60°. 因为OQ ∥PB ，所以异面直线PB 与AC 所成的角为60°.5．将边长为4 cm 和8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( ) A.32π cm 2 B ．32π cm 2 C ．32 cm 2 D.16π cm 2 答案 A解析 当以4 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为r ， 则2πr ＝8，∴2r ＝8π，∴S 轴截面＝4×8π＝32π(cm 2)．当以8 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为R ， 则2πR ＝4,2R ＝4π，∴S 轴截面＝8×4π＝32π(cm 2)．综上，圆锥的轴截面的面积为32πcm 2.6．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1到平面BED 的距离为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．22 答案 A解析 依题意，正四棱柱的底面边长为2，高为22，连接AC ，BD 交于点O ，连接AC 1，EO ，则EO ∥AC 1，则直线AC 1到平面BDE 的距离等于点C 到平面BDE 的距离．过点C 作CH ⊥OE 于点H ，BD ⊥OE ，BD ⊥AC ，AC ∩OE ＝O ，AC ，OE ⊂平面COE ，∴BD ⊥平面COE ，∴BD ⊥CH ，又OE ⊥CH ，BD ，OE ⊂平面BDE ，BD ∩OE ＝O ，∴CH ⊥平面BDE ，∴CH 即为所求，在△OCE 中，OC ＝2，EC ＝2，则OE ＝2，利用等面积法可得CH ＝1. 7.如图，一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船行驶方向与距离分别为( )A ．北偏东60°；102B ．北偏东40°；103C ．北偏东30°；103D ．北偏东20°；102 答案 B解析 由已知得在△ABC 中，∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°， AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°， 由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝102＋102－2×10×10×⎝⎛⎭⎫－12＝300，所以AC ＝10 3. 8.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14答案 C解析 将侧面展开，展开图如图所示，所以由平面几何性质可知AD ＋DC 1≥AC 1，当且仅当A ，D ，C 1三点共线时取得等号，此时BD ＝AB AC ·CC 1＝1，所以S △ABD ＝12×AB ×BD ＝12.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中．有BB 1⊥CB ，又AB ⊥CB ，AB ∩BB 1＝B ，所以CB ⊥平面ABD ，所以C 1B 1⊥平面ABD ，即C 1B 1是三棱锥C 1－ABD 的高，所以VD －ABC 1＝VC 1－ABD ＝13×C 1B 1×S △ABD ＝13×2×12＝13.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (0,1)，B (－1,3)，则下面说法正确的是( ) A.z 2＝－1－3i B ．z 1·z 2＝－3＋i C.z 2z 1＝3＋i D ．|z 1|＝1答案 ACD解析 由题意可得，z 1＝i ，z 2＝－1＋3i ，∴z 2＝－1－3i ，故A 正确，z 1·z 2＝i·(－1＋3i)＝ －3－i ，故B 不正确，z 2z 1＝－1＋3ii ＝3＋i ，故C 正确；∵z 1＝i ，∴|z 1|＝1，故D 正确．10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为3154，a ＝2，b ＝3，则asin A 的值可以是( )A.463B.161515C.4153D.41515答案 AB解析 由题意得3154＝12ab sin C ＝12×2×3×sin C ，所以sin C ＝154，所以cos C ＝±1－sin 2C ＝±14. 由余弦定理可知c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 可得c ＝22＋32－2×2×3×14＝10或c ＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝4，所以由正弦定理可得a sin A ＝c sin C ＝463或161515.11．已知α，β，γ是两两不重合的三个平面，下列命题正确的是( ) A ．若α∥β，β∥γ，则α∥γ B ．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ C ．若α∥β，β⊥γ，α⊥γD ．若α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，则a ∥b 答案 ACD解析在A中，若α∥β，β∥γ，则α∥γ，满足平面与平面平行的性质，A正确；在B中，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可以平行，也可以相交，故B错误；在C中，若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ，满足平面与平面平行的性质定理，故C正确；在D中，若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b，满足平面平行的性质定理，故D正确．12.如图，一张A4纸的长、宽分别为22a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是()A．该多面体是四棱锥B．平面BAD⊥平面BCDC．平面BAC⊥平面ACDD．该多面体外接球的表面积为5πa2答案BCD解析由于(2a)2＋(2a)2＝4a2，所以该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，故A不正确；因为AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，所以AP⊥平面BCD，又因为AP⊂平面BAD，所以平面BAD⊥平面BCD，故B正确；同理可证平面BAC⊥平面ACD，故C正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R＝52a，所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故D正确．综上，正确命题为BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且P A＝PB＝PC，则平面PBC 与平面ABC的位置关系是________．答案垂直解析∵P A＝PB＝PC，∴点P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上．又外心在BC上，设为O，则PO⊥平面ABC.又PO⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABC.14．设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝________.答案5解析 ∵z 1(1－i)＝3－i ，∴z 1＝3－i 1－i ＝(3－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋i ，∵A 与B 关于x 轴对称，∴z 1与z 2互为共轭复数， ∴z 2＝z 1＝2－i ， ∴|z 2|＝ 5.15.我国古代数学中提到一种几何体叫做“刍甍(chú ménɡ)”刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也．即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍”，是一种五面体(如图)：矩形ABCD ，棱EF ∥AB ，AB ＝4，EF ＝2，△ADE 和△BCF 都是边长2的等边三角形，则此几何体的表面积为________，体积为________．答案 8＋831023解析 由题意知该五面体的表面积S ＝S 矩形ABCD ＋2S △ADE ＋2S梯形ABFE ＝2×4＋2×12×2×22－12＋2×12×(2＋4)×22－12＝8＋8 3.过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取BC 的中点P ，连接PF ，过F 作FQ ⊥AB ，垂足为Q ，连接OQ .因为△ADE 和△BCF 都是边长为2的等边三角形，所以OP ＝12(AB －EF )＝1，PF ＝22－12＝3，OQ ＝12BC ＝1，所以OF ＝PF 2－OP 2＝2，采用分割的方法，分别过点F ，E 作与平面ABCD 垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，如图，包含一个三棱柱EMN －FQH ，两个全等的四棱锥：E －AMND ，F －QBCH ， 所以这个几何体的体积V ＝V EMN －FQH ＋2V F －QBCH ＝S △QFH ×MQ ＋2×13S S矩形QBCH ×FO ＝12×2×2×2＋2×13×1×2×2＝1023.16．在△ABC 中，AP →＝13(AB →＋AC →)，若sin B ·AB →＋2sin A ·P A →＋3sin C ·PC →＝0，则cos ∠ACB ＝________.答案1718解析 根据题意，如图，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，有AB →＋AC →＝2AD →.又由AP →＝13(AB→＋AC →)，则AP →＝23AD →.则P 为△ABC 的重心，则有P A →＋PB →＋PC →＝0.设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .因为sin B ·AB →＋2sin A ·P A →＋3sin C ·PC →＝0. 则由正弦定理，得b ·AB →＋2a ·P A →＋3c ·PC →＝0. 而AB →＝PB →－P A →.则b (PB →－P A →)＋2a ·P A →＋3c ·PC →＝0， b ·PB →＋(2a －b )P A →＋3c ·PC →＝0， 又由P A →＋PB →＋PC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝b ，b ＝3c ，解得a ＝b ＝3c ， 则cos ∠ACB ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1718.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＝3ccos C .(1)求角C 的大小；(2)若a ＝3，c ＝2b ，求△ABC 的面积． 解 (1)由正弦定理得3sin C cos C ＝sin A sin A ＝1，即tan C ＝33. 因为C ∈(0，π)，所以C ＝π6.(2)由余弦定理知，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即4b 2＝3＋b 2－23b cos π6，即b 2＋b －1＝0，解得b ＝5－12或b ＝－5－12(舍)， 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C＝12×3×5－12sin π6＝15－38. 18．(12分)已知z 为虚数，z ＋9z －2为实数． (1)若z －2为纯虚数，求虚数z ； (2)求|z －4|的取值范围．解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，则z －2＝x －2＋y i ，由z －2为纯虚数得x ＝2，所以z ＝2＋y i ，则z ＋9z －2＝2＋y i ＋9y i ＝2＋⎝⎛⎭⎫y －9y i ∈R ，得y －9y＝0，y ＝±3，所以z ＝2＋3i 或z ＝2－3i.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，因为z ＋9z －2＝x ＋y i ＋9x ＋y i －2＝x ＋9(x －2)(x －2)2＋y 2＋⎣⎡⎦⎤y －9y (x －2)2＋y 2i ∈R ，所以y －9y (x －2)2＋y 2＝0， 因为y ≠0，所以(x －2)2＋y 2＝9， 由(x －2)2<9得x ∈(－1,5)， 所以|z －4|＝|x ＋y i －4|＝(x －4)2＋y 2 ＝(x －4)2＋9－(x －2)2 ＝21－4x ∈(1,5)． 即|z －4|的取值范围是(1,5)．19. (12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，N 是PB 的中点，E 为AD 的中点，过A ，D ，N 的平面交PC 于点M .求证：(1)EN ∥平面PDC ； (2)BC ⊥平面PEB ； (3)平面PBC ⊥平面ADMN .证明 (1)∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ， 又∵BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ， ∴AD ∥平面PBC .∵平面ADMN ∩平面PBC ＝MN ，AD ⊂平面ADMN ， ∴AD ∥MN .∴MN ∥BC .又∵N 为PB 的中点，∴M 为PC 的中点，∴MN ＝12BC .∵E 为AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝12BC ＝MN ，∴DE ∥MN 且DE ＝MN ，∴四边形DENM 为平行四边形，∴EN ∥DM .又∵EN ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，∴EN ∥平面PDC .(2)∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠BAD ＝60°，E 为AD 中点，∴BE ⊥AD . 又∵PE ⊥AD ，PE ∩BE ＝E ，PE ，BE ⊂平面PBE ， ∴AD ⊥平面PEB .∵AD ∥BC ，∴BC ⊥平面PEB . (3)由(2)知AD ⊥PB .又∵P A ＝AD ＝AB ，且N 为PB 的中点，∴AN ⊥PB . ∵AD ∩AN ＝A ，AD ，AN ⊂平面ADMN ， ∴PB ⊥平面ADMN .又∵PB ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面ADMN .20．(12分)在△ABC 中，已知点D 在边BC 上，且2BD ＝DC ，AB ＝2，AD ＝ 2. (1)若AD ⊥BC ，求tan ∠BAC 的值； (2)若cos B ＝34，求线段AC 的长．解 (1)当AD ⊥BC 时，BD ＝AB 2－AD 2＝2，由DC ＝2BD ，可得DC ＝22，则tan ∠BAD ＝BD AD ＝1，tan ∠CAD ＝DCAD ＝2，故tan ∠BAC ＝tan(∠BAD ＋∠CAD )＝1＋21－1×2＝－3.(2)在△ABD 中，由余弦定理知cos B ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ，则34＝4＋BD 2－22×2×BD ，即BD 2－3BD ＋2＝0， 解得BD ＝1或BD ＝2.当BD ＝1时，BC ＝3，在△ABC 中，由余弦定理知AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝4＋9－2×2×3×34＝2；当BD ＝2时，BC ＝6，在△ABC 中，由余弦定理知AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝4＋36－2×2×6×34＝22.综上AC ＝2或AC ＝22.21.(12分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 1＝AC ＝2，A 1B ＝A 1D ＝22，点E 在线段A 1D 上．(1)证明：AA 1⊥平面ABCD ；(2)当A 1E ED 为何值时，A 1B ∥平面EAC ，并求出此时三棱锥E －ACD 的体积．(1)证明 ∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴AB ＝AD ＝AC ＝2，∵AA 1＝2，A 1B ＝22，AB ＝2，∴AA 21＋AB 2＝A 1B 2，∴AA 1⊥AB .同理，AA 1⊥AD .又∵AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ， ∴AA 1⊥平面ABCD .(2)解 当E 为A 1D 的中点时，A 1B ∥平面EAC .证明如下：如图，连接BD 交AC 于O ，则O 为BD 中点，连接OE ，则OE ∥A 1B .又OE ⊂平面EAC ，A 1B ⊄平面EAC ，∴A 1B ∥平面EAC ，此时A 1E ED ＝BO OD ＝1.∴设AD 的中点为F ，连接EF ，则EF ∥AA 1，且EF ＝12A 1A ＝1.又由(1)知AA 1⊥平面ACD ，∴EF ⊥平面ACD ，∴三棱锥E －ACD 的体积V E －ACD ＝13×1×12×2×2×32＝33.22．(12分)如图，A ，B 是海岸线相距(152＋56)n mile 的两个观察所，一渔轮在C 处遇险并向A ，B 两个观察所同时发出求救信号，两观察所同时收到求救信号时，测得∠CAB ＝45°，∠ABC ＝15°，并发现渔轮正在以9 n mile/h 的速度向观察所B 行驶，若观察所A ，B 的救援舰艇的最高速度都是21 n mile/h.(1)求A ，C 两地的距离和B ，C 两地的距离；(2)现欲从A 或B 观察所安排一救援舰艇前往求援，请你设计一个救援方案，使所用的救援时间最短．(参考数据：sin 21.8≈3314) 解 (1)在△ABC 中，C ＝180°－∠CAB －∠ABC ＝120°，由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ＝AB sin C， 所以BC ＝AB sin C ·sin A ＝152＋56sin 120°sin 45° ＝(103＋10)(n mile)．AC ＝AB sin C ·sin B ＝152＋56sin 120°·sin 15°＝10(n mile)． (2)若从B 观察所派救援船，救援时间为t 1＝103＋109＋21＝3＋13(h)． 若从A 观察所派救援船，假设救援船与渔轮在D 处相遇，所用时间为t h.在△ACD 中，由余弦定理得AD 2＝AC 2＋DC 2－2AC ·DC cos C ，即(21t )2＝102＋(9t )2－2×10×9t cos 120°.整理得36t 2－9t －10＝0，解得t ＝23(舍去负值)． 因为23<3＋13，所以应从A 观察所派救援船． 在△ACD 中，由正弦定理得sin ∠CAD ＝CD AD sin ∠ACD ＝9t 21t ·sin 120°＝3314， 则∠CAD ≈21.8°，故∠BAD ＝45°－21.8°＝23.2°.答 从A 观察所派救援船，且救援船应该沿着与海岸线AB 成23.2°角的方向前去救援．。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos(－2 640°)＋sin 1 665°等于( ) A ．1＋22B ．－1＋22C ．1＋32D ．－1＋32B [cos(－2 640°)＝cos 2 640° ＝cos(7×360°＋120°) ＝cos 120°＝－12，sin 1 665°＝sin(4×360°＋225°) ＝sin 225°＝sin(180°＋45°) ＝－sin 45°＝－22， ∴cos(－2 640°)＋sin 1 665°＝－12－22＝－1＋22.]2．已知扇形的圆心角为2π3弧度，半径为2，则扇形的面积是( )【导学号：84352374】A ．8π3B ．43C ．2πD ．4π3D [此扇形的面积S ＝12×2π3×22＝4π3.]3．log 2sin π12＋log 2cos π12的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2C [log 2sin π12＋log 2cos π12＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π12＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π6＝log 214＝－2.]4．设向量a ＝(2tan α，tan β)，向量b ＝(4，－3)，且a ＋b ＝0，则tan(α＋β)＝( )【导学号：84352375】A ．17B ．－15C ．15D ．－17A [∵a ＋b ＝(2tan α＋4，tan β－3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2tan α＋4＝0，tan β－3＝0，∴tan α＝－2，tan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋31－－2×3＝17.]5．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，且ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图1所示，则( )图1A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4C [∵T ＝4×2＝8，∴ω＝π4， 又π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4.] 6．已知tan θ2＝23，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ的值为( )A ．23 B ．－23C ．32D ．－32A [1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝tan θ2＝23.]7．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( )【导学号：84352376】A ．－32B ．－16C ．16D ．32D [由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32，]8．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图象的一个对称中心为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，32D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，－3B [y ＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x )－3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32，令2x ＋π3＝k π，(k ∈Z )，x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6，∴函数图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π6，－32.]9．设向量a ＝(c os 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 为实数，则|a －t b |的最小值是( )A ．12B ．1C ．32D ．1＋ 3A [|a －t b |＝a －t b2＝a 2－2t a·b ＋t 2b 2＝1－2t a·b ＋t 2＝t 2－2t ＋＋1＝t 2－－2t ＋1＝t 2－3t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋14，即|a －t b |的最小值为12.]10．已知f (x )＝1＋sin 2x2，若a ＝f (lg 5)，b ＝f (lg 0.2)，则下列正确的是( )【导学号：84352377】A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1C [∵b ＝f (lg 0.2)＝f (－lg 5)， ∴f (x )＋f (－x )＝1＋sin 2x 2＋1＋－2x 2＝1， ∴a ＋b ＝f (lg 5)＋f (－lg 5)＝1.]11．如图2，设P 为△ABC 内一点，且AP →＝14AB →＋15AC →，BM →＝34BA →，CN →＝45CA →，则△PMB 的面积与△ABC 的面积之比等于( )图2A ．1∶5B ．2∶5C ．3∶20D ．7∶20C [由题可知AM →＝14AB →，AN →＝15AC →，则AP →＝AM →＋AN →，由平行四边形法则可知NP →∥AB →，AN →∥MP →，所以S △PMB S △ABC ＝|PM →|·|MB →||AB →|·|AC →|＝15×34＝320.]12．在△ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ，当f (B )－m ＜2恒成立时，实数m 的取值范围是( )【导学号：84352378】A ．m ＜1B ．m ＞－3C ．m ＜3D ．m ＞1D [f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.∵f (B )－m ＜2恒成立， ∴2sin B ＋1－m ＜2恒成立， 即m ＞2sin B －1恒成立． ∵0＜B ＜π， ∴0＜sin B ≤1，∴－1＜2sin B －1≤1，故m ＞1.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知O A →＝(－2,1)，O B →＝(0,2)，且A C →∥O B →，B C →⊥A B →，则点C 的坐标是________． (－2,6) [设C (x ，y )，则A C →＝(x ＋2，y －1)，B C →＝(x ，y －2)，A B →＝(2,1)．由A C →∥O B →，B C →⊥A B →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴点C 的坐标为(－2,6)．]14．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，则所得的图象的函数解析式为________.【导学号：84352379】y ＝sin 4x [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得y ＝sin 4x .]15．如图3，在平行四边形OPQR 中，S 是对角线的交点，若OP →＝2e 1，OR →＝3e 2，以e 1，e 2为基底，表示PS →＝________，QS →＝________.图332e 2－e 1，－e 1－32e 2 [∵平行四边形OPQR 中，OQ →＝OP →＋OR →＝2e 1＋3e 2， PR →＝OR →－OP →＝3e 2－2e 1. S 是OQ ，PR 的中点，∴PS →＝12PR →＝32e 2－e 1，QS →＝－12OQ →＝－e 1－32e 2.]16．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于________. 【导学号：84352380】π3[由题意得， sin αcos β－cos αsin β＝3314，∴sin(α－β)＝3314.∵0＜β＜α＜π2，∴cos(α－β)＝1－27196＝1314. 又cos α＝17得sin α＝437.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αα＋π·α－ππ－α的值．[解] (1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1， ∴点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α.由(1)得sin α＝－35，P 在单位圆上，∴cos α＝45，∴原式＝54.18．(本小题满分12分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.【导学号：84352381】[解] 由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2α ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝135. 19．(本小题满分12分)如图4，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，图4(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点；(2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值． [解] (1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →，所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →，又AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以AF →＝12AD →＋12AE →，所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB →＝2AD →，AC →＝5AE →， 所以EF →＝14AB →－110AC →，所以BA →·EF →＝－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →－110AC →＝－14AB 2→＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos 60°＝－25.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos 4x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋cos 2x －sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)在所给坐标系中画出函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π，118π的图象(只作图不写过程).【导学号：84352382】图5[解] f (x )＝1－2sin 22x －1－2sin 2x ＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则2k π＋π4≤2x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (2)图象如下：21．(本小题满分12分)如图6，已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设Z 是直线OP 上的一动点．图6(1)求使ZA →·ZB →取最小值时的OZ →；(2)对(1)中求出的点Z ，求cos ∠AZB 的值． [解] (1)∵Z 是直线OP 上的一点， ∴OZ →∥OP →.设实数t ，使OZ →＝tOP →， ∴OZ →＝t (2,1)＝(2t ，t )， 则ZA →＝OA →－OZ →＝(1,7)－(2t ，t ) ＝(1－2t,7－t )， ZB →＝OB →－OZ →＝(5,1)－(2t ，t )＝(5－2t,1－t )，∴ZA →·ZB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8. 当t ＝2时，ZA →·ZB →有最小值－8， 此时OZ →＝(2t ，t )＝(4,2)．(2)当t ＝2时，ZA →＝(1－2t,7－t )＝(－3,5)，|ZA →|＝34，ZB →＝(5－2t,1－t )＝(1，－1)，|ZB →|＝ 2. 故cos ∠AZB ＝ZA →·ZB→|ZA →||ZB →|＝－834×2＝－417＝－41717.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3tan ωx ＋1tan 2ωx ＋1(ω＞0)． (1)若f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，求f (x )的单调增区间；(2)若f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋x (0＜ω＜2)，求ω的值； (3)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上单调递增，则ω的最大值为多少？ 【导学号：84352383】[解] f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ωx cos ωx 2＋1 ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx 2 ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12. (1)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )， 所以f (x ＋π)＝f (x )，所以T ＝π，2π|2ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，又因当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2时f (x )单调递增即f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6k ∈Z . (2)因为f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋x ， 所以函数f (x )关于直线x ＝π3对称， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1， 所以ω＝12＋3k 2(k ∈Z )． 又ω∈(0,2)，所以k ＝0，ω＝12.(3)由题意知ω＞0，y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上单调递增，所以T 4＝π4ω， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －π4ω≤－3π2，π4ω≥π2，解得ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16， 所以ωmax ＝16.。

模块综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．－1 120°角所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D －1 120°＝－360°×4＋320°，－1 120°角所在象限与320°角所在象限相同．又320°角为第四象限角，故选D.2．(全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15D ．－725解析：选D 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.3．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2), 若a ∥b, 则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0解析：选C a ∥b 的充要条件的坐标表示为1×2－m 2＝0，∴m ＝±2，选C. 4.1－sin 20°＝( ) A ．cos 10°B ．sin 10°－cos 10° C.2sin 35°D ．±(sin 10°－cos 10°)解析：选C ∵1－sin 20°＝1－cos 70°＝2sin 235°， ∴1－sin 20°＝2sin 35°.5．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a·b ＝10，则|a －b |＝( ) A ．－10 B ．10 C ．－ 5D. 5解析：选D 因为a· b ＝10，所以x ＋8＝10，x ＝2，所以a －b ＝(－1，－2)，故|a －b |＝ 5.6．(山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选B 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π. 法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B. 7．已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin π4＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z.取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.9．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( ) A ．－34B ．－14C.34D.14解析：选B a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－3＝ 23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14，故选B. 10．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( ) A ．k π，(k ∈Z) B ．k π＋π6，(k ∈Z) C ．k π＋π3，(k ∈Z) D ．－k π－π3，(k ∈Z) 解析：选 D f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －θ＋π6.由函数为奇函数得－θ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得θ＝－k π－π3(k ∈Z)，故选D.11．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4­P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( ) A ．12P P ·13P PB ．12P P ·14P PC ．12P P ·15P PD ．12P P ·16P P解析：选A 由于12P P ⊥15P P ，故其数量积是0，可排除C ；12P P 与16P P 的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则12P P ·13P P ＝|12P P |·|13P P |·cos 30°＝32a 2，12P P ·14P P＝|12P P |·|14P P |·cos 60°＝a 2. 12．已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋a ＋b (a <0)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a 、b 的值分别为( )A ．a ＝2，b ＝－5B ．a ＝－2，b ＝2C ．a ＝－2，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－2解析：选C f (x )＝－a (cos 2x ＋3sin 2x )＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b . 又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1. ∵－5≤f (x )≤1，a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝－5，－2a ＋2a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝cos π3＝12.答案：1214．(北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝xAB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.解析：∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→.∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→＝12AB ―→－16AC ―→.又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －1615．(重庆高考)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA ＝(－3,1)，OB ＝(－2，k )，则实数k ＝________.解析：因为AB ＝OB －OA ＝(1，k －1)，且OA ⊥AB ，所以OA ·AB ＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.答案：416．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则y 的表达式为________．解析：由图象，知A ＝2，由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π6.答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b|＝2，a 与b 的夹角为120°.求： (1)|a ＋b |及|a －b |； (2)向量a ＋b 与a －b 的夹角．解：(1)a·b ＝|a||b |cos θ＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝22＋22＋2×(－2)＝4，所以|a ＋b |＝2，同理可求得|a －b |＝2 3.(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝22－22＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )，所以a ＋b 与a －b 的夹角为90°. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin(2ωx ＋π6)＋a2＋b (x ∈R ，a >0，ω>0)的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是34.(1)求ω、a 、b 的值； (2)指出f (x )的单调递增区间．解：(1)由函数最小正周期为π，得2π2ω＝π，∴ω＝1，又f (x )的最大值是74，最小值是34，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b ＝74，－a ＋a 2＋b ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝12sin(2x ＋π6)＋54，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)， 即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)时，f (x )单调递增， ∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)． 19．(本小题满分12分)(天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠π2＋k π，k∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k∈Z， 易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减． 20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，求d . 解：(1)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，且a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， ∴k ＝－1613.(2)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－－－＝0，－＋－＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－55，y ＝1－255.∴d ＝20＋55，5＋255或d ＝20－55，5－255. 21．(本小题满分12分)如图所示，是一个半径为10个长度单位的水轮，水轮的圆心离水面5 2 个长度单位．已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P 到水面距离d 与时间t 满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为d －k b ＝sin(t －h a)．(1)求正弦曲线的振幅和周期；(2)如果从P 点在水中浮现时开始计算时间，写出其有关d 与t 的关系式； (3)在(2)的条件下，求P 首次到达最高点所用的时间． 解：(1)A ＝r ＝10.T ＝604＝15(s)． (2)由d －k b ＝sin t －h a ，得d ＝b sin t －ha＋k .b ＝A ＝10，T ＝2π1a＝2πa ＝15，∴a ＝152π. 由于圆心离水面52个长度单位， ∴k ＝5 2. ∴d ＝10sin2π－15＋5 2.将t ＝0，d ＝0代入上式，得sin(2π15h )＝22，2π15h ＝π4， ∴d ＝10sin(2π15t －π4)＋5 2.(3)P 到达最高点时d ＝10＋5 2.∴sin(2π15t －π4)＝1，得2π15t －π4＝π2，t ＝458(s)．即P 首次到达最高点所用时间为458s. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ， 所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， 所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1.因此1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。

惠州市2018-2019学年第一学期普通高中新课程基础测试及期末考试高一数学参考解答及评分标准一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3．[解析]3a l R πα==,故选A5．[解析]),4sin(2)(π+=x x f 最大值为2，故选D６．[解析] x x y cos )2sin(=+=π，在[0,]π上是减函数，故选A ７．[解析]分子分母同时除以α2cos 得1tan tan 22-αα，代入得结果，故选A8．[解析]xy 4sin =的图象向左平移12π个单位得)34sin()12(4sin ππ+=+=x x y ，ϕ等于3π，故选D9．[解析] )4,21()2(x +=+，)3,2()2(x -=-，)2(+∥)2(-得),2(4)21(3x x -=+解得21=x ，故选C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填写在答题卷中指定的横线上。

10．21-, 11. 71- 12. 651610．[解析] 2130sin 690sin -=-=11．[解析] 34tan 1tan 22tan 2-=-=xx x ，712tan 12tan 1)24tan(-=-+=+x x x π12．[解析] 由54sin =α得53cos =α，由135)cos(=+βα得1312)sin(=+βα，[]6516sin )cos(cos )sin()(sin sin =+-+=-+=αβααβααβαβ三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。

13．（本题满分12分） 解：（1）由53cos =α得54sin =α，由552cos =β得55sin =β， (2)分55sin cos cos sin )sin(=-=-βαβαβα……………6分（2）由（1）知41tan ,tan 32αβ==…………………8分tan()αβ+=211tan tan 1tan tan =-+βαβα (12)分14.（本小题满分14分） 解：（1）设()y x c ,=，由c ∥a 52= 可得⎩⎨⎧=+=∙-∙2002122y x x y …………3分解得⎩⎨⎧==42y x 或⎩⎨⎧-=-=42y x …………………………………5分故()4,2= 或()4,2--= …………………………6分 （2）()()b a b a -⊥+22()()022=-∙+∴ 即023222=-∙+ ………………………8分0452352=⨯-∙+⨯∴b a ，整理得25-=∙b a …………………10分1cos-==∴θ………………………………………12分又[]πθ,0∈πθ=∴ (14)分15．（本小题满分14分）解：（1）22cos12sin23coscossin3)(2xxxxxxfωωωωω++=+=21)62sin(++=πωx…………………6分1,22,0=∴==∴>ωπωπωT…………………8分（2）由（1），21)62sin()(++=πxxf，65626,3ππππ≤+<∴≤<xx，1)62sin(21≤+≤∴πx，)(x f∴的值域为]23,1[ (14)分第二部分期末考试（共50分）四、期末考试部分包括一道选择题（满分5分），一道填空题（满分5分）和三道解答题（满分40分），解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。