至少有一个不恒为0，否则，就不能构成二阶偏微分方程．
首先考虑 A(x, y) 或 C(x, y) 不恒为0的情形．不妨设 A(x, y) 0 ．这时可作变换
(x, y), (x, y) 为了保证 和 仍然是独立变量，这一组变换的雅可俾式
必须满足
( ,) 0
(x, y)
在这一组变换下，有
2u 2u ( )2 2 2u 2u ( )2 u 2 u 2 ,
y2 2 y
y y 2 y y2 y2
由此方程(10.2.1)即为
a
2u
2
b
2u
c
2u
2
d
u
e
u
fu＝g
(10.2.2)
其中系数
a A( )2 B C( )2,
x
x y y
b 2A B( ) 2C ,
第十章 二阶线性偏微分 方程的分类
本章将介绍二阶线性偏微分方 程的基本概念、，分类方法和偏微分 方程的标准化. 特别对于常系数的二 阶线性偏微分方程的化简方法也进 行了详细讨论，这对后面的偏微分方 程求解是十分有用的.
10.1 基本概念
(1) 偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如
F (x, y,,u, u , u ,, 2u , 2u , 2u ,) 0 x y x2 y2 xy
并规定这个常微分方程的积分曲线族为特征曲线族. 这
个特征曲线族，根据判别式 的不同符号（正、零、负），
分别对应于（1）两个实函数族；（2）一个实函数族；（3）
一对共轭复函数族．在下面的讨论中我们会看到，特征
方程所对应的函数族能给出将原偏微分方程转化为标准
形式方程的自变量变换【13】．来自1.双曲型偏微分方程于是
