2有理数和数轴

第一讲《有理数》《数轴》引言有理数是我们常见的一类数，包括整数和分数。

它们在数学中具有重要的地位，因为它们可以覆盖我们日常生活中的绝大部分数量关系。

在本讲中，我们将介绍有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法。

一、有理数的定义和性质1.1 定义有理数是可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为零。

整数是有理数的特殊情况，可以看作分母为1的有理数。

有理数可以是正数、负数或零。

1.2 性质有理数有以下性质：•有理数的加法、减法和乘法运算仍然得到有理数。

•有理数的除法运算结果可能是有理数，也可能是无理数（不能表示为两个整数的比值）。

二、有理数的表示方法有理数可以用分数、整数或小数形式表示。

2.1 分数表示法分数是有理数最常见的表示形式，它由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的份数，分母表示总共的份数。

分数可以是正数、负数或零。

2.2 整数表示法整数是没有小数部分的有理数。

它可以是正整数、负整数或零。

2.3 小数表示法小数是有理数的一种特殊表示形式。

它可以有有限的数字部分和无限的循环部分，也可以是有限的数字部分。

三、数轴的概念和使用方法3.1 数轴的定义数轴是由一条直线和一个固定原点组成的图形，用来表示数的大小和位置关系。

原点通常表示零，正方向表示正数，负方向表示负数。

3.2 数轴的使用方法数轴可以用来表示有理数的位置和大小关系。

我们可以通过在数轴上画点、画线段等方式来表示有理数的位置。

数轴上两个数之间的距离，即两个数的差的绝对值，表示它们之间的差别大小。

有理数是我们日常生活中非常重要的数，它包括整数和分数。

有理数可以用分数、整数或小数形式表示，可以在数轴上表示它们的位置和大小关系。

了解和掌握有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法，对我们的数学学习和实际应用都非常有帮助。

参考文献：•《数学教学参考书》•《高中数学学科教学大纲》。

数轴与有理数的运算知识点总结在数学学习的过程中，数轴与有理数是常常接触到的重要知识点。

数轴是一种用于表示数值大小关系的图形工具，而有理数则包括整数、分数以及零。

本文将对数轴与有理数的运算知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握相关内容。

一、数轴的表示及基本概念数轴是一条直线，上面标记了数值，常用于表示实数的大小关系。

数轴通常以零为中心，往左为负方向，往右为正方向。

数轴上的每一个点都与一个实数值对应，点所在位置越靠近原点，对应的实数值就越小，反之亦然。

数轴上的单位长度可以代表一个单位数值。

二、有理数的基本概念有理数是可以表示为两个整数比的数，包括整数、分数以及零。

有理数的特性包括可加性、可减性、可乘性和可除性。

有理数在数轴上是均匀分布的，左侧为负有理数，右侧为正有理数。

0是既是正数又是负数，也是一个有理数。

三、有理数的加法和减法有理数的加法和减法是数学中最基本也是最常用的运算。

有理数的加法可以理解成将两个有理数放在数轴上的相对位置进行移动，然后读取移动后的位置所对应的实数值。

当两个有理数符号相同时，求和的结果的符号与原来的符号相同；当两个有理数符号不同时，求和的结果的符号取绝对值大的那个有理数的符号。

四、有理数的乘法和除法有理数的乘法和除法也是常用的运算。

有理数的乘法可以理解成在数轴上按照倍数进行移动后，读取移动后位置所对应的实数值。

有理数的除法可以转化为有理数的乘法，即将除数倒数后与被除数进行乘法运算。

需要特别注意的是，除数不能为零。

五、有理数的混合运算有理数的混合运算是指在同一个表达式中，包含有理数的加减乘除运算。

在进行混合运算时，需要根据运算法则和优先级进行计算，通常是先进行括号内的运算，再进行乘除法运算，最后进行加减法运算。

六、有理数的乘方和开方有理数的乘方是指一个有理数自身连乘若干次的运算。

有理数的开方是指一个正有理数找出一个有理数，使得该有理数的平方等于给定的正有理数。

有理数的乘方和开方是数学中的高级运算，在实际问题中也有广泛的应用。

数轴课程分析本节主要让学生知道数轴上有原点、正方向和单位长度，会画数轴，并用数轴上的点表示整数或分数.通过学习使学生会正确画出数轴，初步了解有理数与数轴上的点的对应关系，能将有理数用数轴上的点来表示，理解利用数轴上点的位置关系比较有理数大小的法则，从而发现和认识负数小于零，正数大于零，向学生渗透对立统一的辩证唯物主义观点以及数形结合的数学思想.教材分析1.地位与作用:数轴是继正负数、有理数之后的又一个新的概念，同时又是数形结合的一个重要范例.其重要性体现在它一方面锻炼学生的动手操作、观察分析的能力，另一方面体现代数与几何的一个结合，为下一步研究相反数、绝对值奠定基础，在数学的发展上具有重要作用.本节的学习对下一步的后继学习是非常关键的，具有承上启下的作用.2.重点与难点:本节的重点是数轴的概念，利用数轴比较数的大小;难点是从直观认识到理性认识，从而建立数轴的概念，正确地画出数轴.教法分析重视相关知识的联系，要通过复习、回忆原有知识，对照有理数中新增加的负数，联系生活经验，从温度计上得到启发，引出数轴，故采用启发诱导，自主学习与合作学习相结合的数学方法.讲解数轴概念及画法时，重点讲明原点作用，在数轴上标注负数单位时，要强调方向，并与正数单位作比较，可以多举一些实例.在讲解本节重点时，可以根据教学情况和学习练习，加深对数轴概念的理解;在通过观察数轴上点的位置关系，初步比较有理数的大小这部分内容时，要注意启发学生自己得出这一法则，并认识其合理性，重点要突出负数和零的大小比较.本节教学中涉及图形和数量的对应关系，可以向学生指明这是数学研究的一种重要方法，并注意在后继内容的教学中适时渗透.学法分析学习本节内容时应通过实践画图、交流、反思，真正掌握数轴的概念，理解用数轴可以直观地表示有理数，在数轴上比较有理数的大小，学习时应充分注意数形结合，理解数轴的定义时注意结合直观图形，如温度计，这样更容易理解.教学目标知识与技能1.认识数轴，会用数轴上的点表示有理数.2.了解数轴的概念，知道数轴的三要素，会画数轴.过程与方法从直观认识到理性认识，从而建立数轴的概念.情感态度与价值观通过数轴的学习，体会数形结合的数学思想方法，认识事物之间的联系，感受数学与生活的联系.教学重难点重点:数轴的概念.难点:从直观认识到理性认识，建立数轴的概念，正确地画出数轴.教学过程活动1:创设情境，导入新课设计意图:直接抛出数轴的名称，对应学生小学中已经接触过的用直线上的点表示数，引起学生的学习兴趣，建立初步的数轴印象.师:提问有理数包括哪些数？0是正数还是负数？在日常生活中，你能举出一些用刻度来表示物品的数量的例子吗？让学生充分讨论，明确知识是从实践中得到的，它与我们的生活息息相关;再有，数除了可以用符号表示外，还有其他表示方法，从而引出新课:数轴.活动2:学习数轴的概念，探索数轴的画法设计意图:通过教具的使用，使学生能够直观地感受数与形之间的对应关系，渗透数形结合的数学思想，通过讨论、自主学习、合作交流等形式，使学生对数轴从感性认识上升到理性认识.1.教师出示温度计，问:你会读温度计吗？温度上的刻度与数值之间有什么关系？2.教师出示图片，提出:怎样用数简明的表示树、电线杆与汽车站的相对位置关系(方向、距离)？说明:将公路看作直线，将各个事物看作点.学生动手操作，感受画数轴的过程，之后，师让学生阅读教材15页上的三段话，正确规范地理解数轴的概念，然后师生共同总结数轴的三要素.活动3:学习有理数在数轴上的表示方法设计意图:会说出数轴上已知点所表示的数，能将已知数在数轴上表示出来，这是本节课要求学生掌握的最基本的技能，也是以后继续学习坐标系的基础.让学生通过练习感受数与形之间的对应关系，感受数学直观与抽象之间的联系.师:数轴上的点都是整数，分数或小数能用数轴上的点表示吗？生:思考后回答，然后完成教材16页练习.师:观察数轴，数轴上原点左边的数都是什么数，右边呢？学生讨论后进行归纳，最后教师作点评.活动4:课后作业下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里.【答案】①错，没有原点;②错，没有正方向;③正确; ④错，没有单位长度;⑤错，单位不统一;⑥错，正方向标错.板书设计活动1:创设情境，导入新课活动2:学习数轴的概念，探索数轴的画法.活动3:学习有理数在数轴上的表示方法.活动4:课后作业章末复习【知识与技能】1。

2.3 数轴（2）1．会正确画出数轴，知道数轴的三要素；2．知道有理数和无理数都可以用数轴上的点表示，会用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上的点所表示的数；3．会用数轴比较两个数的大小；4．初步感受数形结合的思想．1．用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上的点所表示的数；2．用数轴比较两个数的大小．用数轴上的点表示有理数，用数轴比较两个数的大小．教学过程（教师） 学生活动点表示的数的大小关系：、5℃、－3℃、－2℃按从低到高的顺序排列．画出表示0、5、3-、2-的点，你能比较这几？出几个数，并在数轴上画出表示这几个数的点，个数的大小吗？ 点的位置与它们所表示的数的大小有什么关比较下列各组数的大小： ； （2）102-和； 3； （4）3 0 1.5-、、． 如图，画出数轴，并用数轴上的点表示0、5、3-、2-． －3 ＜ －2 ＜ 0 ＜ 5归纳得出：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数．解：（1）5＞0； （2）102-<； （3）2＞一3； （4）30 1.5-<<．两个数的大小解：如图，在数轴上分别画出表示－3.5和－0.5的点A 、B ． 因为点B 在点A 的右边，所以0.53.5--＞．顺序连接起来：35 1.5.-， －， ，根据各点在数轴上的位置，得 13 1.502 5.2--－＜＜＜＜＜ 出表示下列各数的点．并用“＜”号将这些数顺序连接起来：4.5, 0.5, 4, 3.--点A 、B 、C 表示的3个数中，哪个最大、哪个A 和B 分别表示12－与34－，哪一个点离原点12－与34－哪一个数较大？ 独立完成，课堂交流．回顾本节课的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结．。

苏科版（2024）七年级上册数学第2章有理数2.2 数轴教案【教材分析】数轴是苏科版七年级上册《有理数》这一章中的重要内容。

数轴是为了解决有理数的表示和运算问题而引入的，它是有理数的几何表示，是理解正负数、比较数的大小、进行有理数运算的基础。

在这一节中，教材通常会介绍以下几点：1. 数轴的定义：一条直线，选择一个点作为原点，规定一个方向为正方向，单位长度为1，可以表示所有的有理数。

2. 如何在数轴上表示有理数：正数在原点的右侧，负数在原点的左侧，原点处表示0。

3. 数轴上的点与有理数的一一对应关系，即每个有理数对应数轴上唯一的一个点，反之亦然。

4. 利用数轴比较有理数的大小，进行加减运算。

【学情分析】在学习2.2 数轴时，学生已经学习了正数、负数和整数的基本概念，对数的初步认识有一定的基础。

然而，对于数轴的抽象概念，部分学生可能会感到陌生和困惑，特别是对于负数和数轴上的点的对应关系可能理解不透彻。

此外，由于七年级的学生逻辑思维能力和空间想象能力还在发展中，因此在理解数轴的几何意义和进行有理数的几何运算时可能会遇到挑战。

教师需要通过丰富的实例、直观的演示和适当的练习来帮助学生建立数轴的概念，提升他们的抽象思维和空间想象能力。

【教学目标】1. 知识与技能：理解数轴的概念，掌握在数轴上表示有理数的方法，能比较有理数的大小。

2. 过程与方法：通过数轴的学习，培养学生的抽象思维能力和空间观念。

3. 情感态度与价值观：体验数学的实用性和美感，提高学习数学的兴趣。

【教学重难点】教学重点：1. 数轴的定义和构造：理解数轴是实数集的一个有序的、完备的结构，它是一个无限的直线，原点表示0，正方向表示正数，负方向表示负数。

2. 有理数在数轴上的表示：能够将正数、负数、零在数轴上准确地标出，理解数轴上的点与实数的一一对应关系。

3. 数轴上的点与数的比较：通过数轴可以直观地比较任意两个有理数的大小。

教学难点：1. 负数在数轴上的理解：对于初学者，负数是抽象的概念，如何在数轴的负方向上正确表示和理解负数可能是一个挑战。

有理数与数轴【知识点讲解】一、正负数正数：像3、1、0.33+等大于0的数，叫做正数.负数：像1-、 3.12-、175-、2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于0.注意：（1）0既不是正数，也不是负数.（2）一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号.正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数.负数前面的“－”不能省略。

用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然.【例题讲解】（1）如果温度上升3o C记作+3o C，那么下降5o C记作______________________（2)如果向西走12米记作+12米，则—120米表示的意义是___________________(3）味精袋上标有“300±5克”字样，还说明这袋味精的质量应该是____～____（4）若一个数的50%是－5.85，则这个数是_________________。

（5）有一列数，观察规律，并填写后面的数，－5，－2，1，4，_______，________，（6）比－7.1大，而比1小的整数的个数是（）A 6B 7C 8D 9（7）若其中至少有一个正数的5个有理数的积是负数，那么这五个因数中，正数的个数是（）A 1B 2或4C 5D 1和3【巩固练习】1、、加工一根轴，图纸上注明的直径是¢mm3003.002.0+-，则合格品的最大直径可以为_____最小直径可为_____2、A地海拔高度是－40m，B地比A地高20m ，C地又比B地高30m，试用正数或负数表示B 、C 两地的海拔高度3、若一个数的50%是－5.85，则这个数是_________________。

4、一天早晨的气温是－5℃，中午又上升了10℃，半夜又下降了8℃，则半夜的气温是__________________。

5、有一组数为：－1，1/2，－1/3，1/4，－1/5，1/6，…找规律得到第7个数是( ) A 、－1/7 B 、1/7 C 、－7 D 、7【知识点讲解】二、有理数 1、有理数的概念正整数 、 负整数 、 0 统称为整数， 正分数 和 负分数 统称为分数， 注意：1、如 能约分成整数的数不能算做分数；2、两个整数的比（如 等）、有限小数（如0.2，－3.14等）、 无限循环小数（如 等）都是分数；2、有理数的分类()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数 ()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数 注意：⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。

第一章有理数 1.2有理数 1.2.2数轴学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于数轴下列说法最准确的是()A．一条直线B．有原点、正方向的一条直线C．有单位长度的一条直线D．规定了原点、正方向和单位长度的直线2．下列数轴表示正确的是（）A．B．C．D．3．若123a=-，则实数a在数轴上对应的点的位置是（）．A．B．C．D．二、填空题4．如图，数轴上点,,,,A B C D O表示的数分别是．5．（1）数轴上表示4的点在原点的边，与原，点的距离是个单位长度；（2）数轴上表示4-的点在原点的边，与原点的距离是个单位长度；（3）与原点的距离是4个单位长度的点有个，它们分别表示数和．三、解答题6．画出数轴并表示下列有理数：(1)172,2,3.5,0,0.5,24--+；(2)200,150,50,100,100---．四、单选题7．数轴上点A 表示的数是3-，将点A 在数轴上平移7个单位长度得到点B ．则点B 表示的数是（ ）A ．4B ．4-或10C ．10-D ．4或10-8．如图，在数轴上有A 、B 、C 、D 四个点，分别表示不同的四个数，若从这四点中选一点做原点，使得其余三点表示的数中有两个负数和一个正数，则这个点是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D五、解答题9．[推理能力]（1）借助数轴，回答下列问题：①从1-到1有3个整数，分别是__________________；②从2-到2有5个整数，分别是__________________；③从3-到3有7个整数，分别是__________________；④从200-到200有__________________个整数；⑤从n -到n 有__________________个整数（1n ≥，且n 为整数）．（2）根据以上规律，直接写出从 2.9-到2.9有个__________________整数，从10.1-到10.1有个__________________整数．（3）在单位长度是1cm 的数轴上随意画一条长为1000cm 的线段AB ，则线段AB 盖住的表示整数的点有__________________个．参考答案：1．D【详解】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．故可知：D 正确.故选D.2．D【分析】数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此判断．【详解】解：A 、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误；B 、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误；C 、没有原点，故表示错误；D 、符合数轴的定定义，故表示正确；故选D ．【点睛】本题考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，注意数轴的三要素缺一不可．3．A【分析】首先根据a 的值确定a 的范围，再根据a 的范围确定a 在数轴上的位置．【详解】解：∵123a =-∴ 2.3a ≈，∴ 2.52a -<<-，∴点A 在数轴上的可能位置是：，故选：A ．【点睛】本题考查有理数与数轴，解题关键是确定负数的大致范围．4．3-，0.5-，2，2.5，0【分析】利用数轴知识判断即可．【详解】解：由图可知：A ，B ，C ，D ，O 分别表示3-，0.5-，2，2.5，0．故答案为：3-，0.5-，2，2.5，0．【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴上的点表示数的特点．5．右4左4两44-【分析】正数在数轴的右侧，负数在数轴的左侧；两数之间的距离，在数轴上，标上数对应的点，最后计算两点之间的距离．【详解】解：（1）数轴上表示4+的点在原点的右边，与原点的距离是4个单位长度；故答案为：①右，②4；（2）数轴上表示4-的点在原点的左边，与原点的距离是4个单位长度；故答案为：③左，④4；（3）数轴上表示到原点距离是4个单位长度的点有两个，分别是4和4-；故答案为：⑤2，⑥4，⑦4-．【点睛】本题考查的是数轴上的点以及他们之间的距离，题目属基础题，熟练掌握数轴上点的性质是解题关键．6．(1)详见解析(2)详见解析【分析】（1）根据数轴上点的特点将这些数在数轴上表示出来即可；（2）根据数轴上点的特点将这些数在数轴上表示出来即可．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：如图所示：【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，熟练掌握各知识点是解题的关键．7．D【分析】根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可．【详解】解：点A表示的数是−3，左移7个单位，得−3−7＝−10，点A表示的数是−3，右移7个单位，得−3＋7＝4，故选：D．【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．8．C【分析】根据数轴上的点表示的数解决此题．【详解】解：A ．当A 为原点，则剩余三个点表示的数均是正数，故A 不合题意．B ．当B 为原点，则A 表示负数，C 与D 表示正数，故B 不符合题意．C ．当C 为原点，则A 与B 表示负数，D 表示正数，故C 符合题意．D ．当D 为原点，A 、B 与C 表示负数，故D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查数轴上的点表示的数，熟练掌握数轴上的点表示的数是解决本题的关键．9．（1）①1,0,1-；②2,1,0,1,2--；③3,2,1,0,1,2,3---；④401；⑤()21n +；（2）5，21；（3）1000或1001【分析】（1）①根据数轴，分别求出整数点即可；②根据数轴，分别求出整数点即可；③根据数轴，分别求出整数点即可；④根据①②③的规律，求解即可；⑤根据①②③④的规律可进行求解（2）从 2.9-到2.9的整数与2-到2的整数个数一样，从10.1-到10.1的整数与10-到10的整数个数一样；（3）当1000cm 的线段的两个端点在都是整数点时，线段能盖住的整数点为1001个，当1000cm 的线段一个端点不是整数点时，令一个端点也不是整数点，此时线段能盖住的整数点为1000个，由此可求解．【详解】解：（1）如图：①1-到1的3个整数分别是1-，0，1，故答案为：1-，0，1；②2-到2的5个整数分别是2-，1-，0，1，2，故答案为：2-，1-，0，1，2；③3-到3的7个整数分别是3-，2-，1-，0，1，2，3，故答案为：3-，2-，1-，0，1，2，3；④从200-到200共有401个整数，故答案为：401；⑤从n -到n 有()21n +个整数；故答案为：()21n +；（2）从 2.9-到2.9的整数分别是2-，1-，0，1，2，∴从 2.9-到2.9有5个整数，从10.1-到10.1的整数共有21个，故答案为：7，21；（3）当1000cm 的线段的两个端点在都是整数点时，线段能盖住的整数点为1001个，当1000cm 的线段一个端点不是整数点时，令一个端点也不是整数点，此时线段能盖住的整数点为1000个，1000cm ∴长的线段能盖住的整数点1001或1000个．故答案为：1000或1001．【点睛】本题考查数轴上有理数的表示，通过计算，结合数轴上点的特征，探索出线段端点与整数点的规律是解题的关键．。