(试卷合集3份)2023届陕西省名校高一数学下学期期末质量跟踪监视试题

陕西省西安市铁一中学国际部2023-2024学年高一下学期第三月考数学试题一、单选题1．设集合(){}0.5log 10A x x =->，{}24xB x =<，则（ ）A ．AB = B ．A B ⋂=∅C ．A B B =ID ．A B B ⋃=2．已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，i 12i z z +⋅=+，则z 的虚部为 A ．34-B ．34C ．3i 4-D ．3i 43．已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）AB C D 4．在ABC ∆中，点D 是线段AC 上一点，点P 是线段BD 上一点，且1,6CD DA AP AB AC λ==+u u u ru u u r u u u ru u u ru u ur ，则λ=（ ） A ．16B ．13C ．23D ．565．已知平面,,,l αβγαβ⋂=，则“l γ⊥”是“αγ⊥且βγ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，直线1y =与函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象的三个相邻的交点为A ，B ，C ，且πAB =，2πBC =，则()f x =（ ）A ．22sin 33x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．2sin 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C 233x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 7．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos ,3,4B A C a b ===，则cos A 的值为（ ）A B C D 8．已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=︒，将BCD △沿对角线BD 翻折，使点C 到点P 处，且二面角A BD P --为120︒，则此时三棱锥P ABD -的外接球的表面积为（ ）A ．21πB ．C ．52πD ．84π二、多选题9．设()1,3m =-u r，()1,2n =r ，则（ ） A ．210m n -=u r r B ．()2m n m -⊥u r r u rC ．若()()2//m n km n -+u r r u r r ，则12k =-D ．向量m u r ，n r 的夹角为π410．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ）A ．若sin sin AB >，则A B >B ．若222a b c +<，则ABC V 为钝角三角形 C ．若cos cos a A b B =，则ABC V 为等腰三角形D ．若2b =，30A =︒的三角形有两解，则a 的取值范围为()0,211．已知函数()()tan (0,0π)f x A x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（ ）A ．π6A ωϕ⋅⋅=B ．()f x 的图象过点11π6⎛ ⎝⎭C ．函数()y f x =的图象关于直线5π3x =对称D ．若函数()()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则实数λ的取值范围是[]1,1-12．正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论中正确结论的是（ ）A B ．两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°C ．表面积为12S =+D ．外接球的体积为V =三、填空题13．若圆锥的母线长为6π，则该圆锥的体积是.14．设()1122x x f x a ⎛⎫+ -⎝=⎪⎭.若函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞+∞U ，则关于x 的不等式()x a f a ≥的解集为.15．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，则1C P DP +的最小值为.16．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，则实数λ的值为，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =u u u u r ，则DM DN ⋅u u u u r u u u r的最小值为．四、解答题17．（1）已知复数z 在复平面内对应的点在第二象限，2z =，且2z z +=-，求z ； （2）已知复数()()2212i 32i 1im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值.18．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点,E F 分别在棱,AB BC 上，过点1,,D E F 的截面将正方体分割成两部分．(1)请画出经过点1,,D E F 的平面与正方体表面的交线；（无需证明，保留作图痕迹）； (2)若点,E F 分别为,AB BC 中点，求过点1,,D E F 的截面将正方体分割的较小部分几何体的体积.19．已知()2,sin a x x =r ，()cos ,2b x a =-r ，()()0f x a b a a =⋅+>r r （下面①，②中选择一个作为已知条件，解答问题： (1)求a 的值；(2)将()f x 的图象向右平移π6个单位得到()g x 的图象，求函数()g x 的单调增区间.①()f x 的最大值为2；②1π2f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.注：如果选择①和②分别解答，则按第一个解答计分.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，平面ABC ⊥平面11BB C C ，AB BC ⊥，M 和N 分别是AB 和11B C 的中点．(1)求证：//MN 平面11AAC C ； (2)求证：11B C AC ⊥．21．如图，在四棱锥A BCDE -中，3DE =，2AE =，1BC CD ==，2π3BCD CDE ∠=∠=，π2AEB ∠=．(1)当AB BC ⊥时，求直线AB 与平面BCDE 所成角的大小； (2)当二面角A BE C --为π3时，求平面ABC 与平面ADE 所成二面角的正弦值．。

2023年陕西省高三教学质量检测试题（二）理科数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230A x x x =+->，{}1,0,1,2B =-，则（ ）A ．{}2AB = B ．A B =RC ．(){}1,0RA B=-ð D ．(){}31RB x x A =-<<ð2．定义：若复数z 与z '满足1zz '=，则称复数z 与z '互为倒数．已知复数12z =+，则复数z 的倒数z '=（ ）A ．12-B ．12+C ．12-D ．12 3．设()3,a m =，()4,2b =，则“1m =-”是“()a ab ⊥-”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为（ ） A ．127 B ．481 C ．527 D ．8815．短道速滑队6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，()q r ⌝∧是真命题，则选拔赛的结果为（ ）A ．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名B ．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名C ．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名D ．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名6．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的m 的值为（ ）A ．25B ．45C ．55D ．757．已知等比数列{}n a 的前n 项和与前n 项积分别为n S ，n T ，公比为正数，且316a =，3112S =，则使1n T >成立的n 的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．12D ．13 8．已知函数()()2cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，()01f =．则下列说法正确的是（ ）A ．2πω=B ．()f x 的图象的对称轴方程为()23x k k ππ=-∈Z C ．()1f x ≥的解集为()44,43k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()f x 的单调递减区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z9．在13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64:1，则展开式中的常数项为（ ）A ．540B ．480C ．320D ．16010．已知三棱锥P ABC -中，1AC BC ==，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，PD ⊥平面ABC ，点P ，A ，B ，C 在球心为O 的球面上，若三棱锥P ABC -的体积是16，则球O 的半径为（ ） A ．32 B ．1 C ．12 D ．3411．如图，1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF △是面积为的正三角形，则e 的值是（ ）A．1 B．1 CD．4-12．已知集合(){}0M f αα==，(){}0N g ββ==．若存在M α∈，N β∈，使n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”．若函数()21xf x e -=-与函数()2xg x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．2214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3212,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程为9.49.1y x =+，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________． 14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 0C C a b c --=．若ABC △的面积为b c +的最小值为________．15．已知函数()132,1,1x e xfx x x x -⎧<⎪⎨+≥=⎪⎩，则()()2f f x <的解集为________．16．如图，记椭圆221259x y +=，221259y x +=内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到()14,0F -，()24,0F ，()10,4E -，()20,4E 四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y x =，y x =-均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π． 其中正确命题的序号为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前3项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 的通项公式为n c =________，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 请在①n n a b ；②()()111n n n b b b +--；③()1nn a n -+这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并完成解答．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，PDC △是边长为2的等边三角形，平面PDC ⊥平面ABCD ，E 为线段PC 上一点．（1）设平面PAB平面PDC l =，证明：l ∥平面ABCD ；（2）是否存在这样的点E ，使平面ADEF 与平面ABCD 所成角为60︒？如果存在，求CE CP的值；如果不存在，请说明理由．19．（12分）如图，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为12-，椭圆的焦距为2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为12-，其中O 为坐标原点．若M 为线段PQ 的中点，则22MO MQ +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．20．（12分）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．减排器等级分布如表．（1）若从这100件甲型号减排器中按等级用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望()E ξ． 21．（12分）已知函数()()2l 122n f x x x a b =+++，a ，b ∈R ． （1）当0a =时，设函数()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g b ，求(){}max g b ； （2）设1b =，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()12520x f x -<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，PQ 的中点为M ，()1,0A ，求AP AQ AM+的值．23．（10分）已知a ，b ，c 为正实数且235a b c ++=． （1）求222a b c ++的最小值； （2）当5≥时，求a b c ++的值．2023年陕西省高三教学质量检测试题（二）理科数学参考答案1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D （ 7．C 8．C 9．A 10．D 11．B 12．A 13．3914．15．(),1ln 2-∞- 16．②③17．（1）因为数列{}n a 为各项均为正数的等差数列， 所以2343321a a a a ++==，得37a =，设公差为d ，则有23116a a d d -=--=-，318a +=，433314a a a d a d +=++=+， 又21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前3项， 所以()()()2324311a a a a +=-+， 即()()64614d d =-+， 解得2d =或10d =-（舍去），所以132743a a d =-=-=，则数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列， 故21n a n =+，且由题意可得，1214b a =-=，2318b a =+=，所以数列{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列， 故11422n n n b -+=⋅=．（2）若选①，则()1212n n n n c a b n +==+⋅，则()()2341325272212212n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅，①在上式两边同时乘以2可得，()()341223252212212n n n S n n ++=⋅+⋅++-⋅++⋅，②①-②可得，()()234122322222(21)24122n n n n S n n +++-=⋅++++-+⋅=-+-⋅．即()22124n n S n +=-⋅+．若选②，则()()111nn n n b c b b +=--()()11222121n n n +++=-- 12112121n n ++=---，则12211111111377152121321n n n n S +++=-+-++-=----． 若选③，则()()()1121nnn n c a n n n =-+=-++，则()()31527394121nn S n n =-+++-+++++-++所以当n 为偶数时，()()()()()()()13579121121123n nn S n n n -⎡⎤=-++-+++-⋅-+-++++++⎣⎦()2132222n n nn n ++=⨯+=； 由上可得，当n 为奇数时，()()21421232122n n n n S n n ---=⨯+++++-+=综上可得，223,24,2n n nn S n n n ⎧+⎪⎪=⎨--⎪⎪⎩为偶数为奇数．18．（1）证明：C ABD ∥，AB ⊂/平面PDC ，DC ⊂平面PDC ，AB ∴∥平面PDC ，又AB ⊂平面P AB ，且平面PAB 平面PDC l =，AB l ∴∥，又l ⊂/平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，l ∴∥平面ABCD ．（2）解：设DC 的中点为O ，连接PO ，OA ，则PO DC ⊥ 平面PDC ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PDC ，平面PDC平面ABCD DC =，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，()0,1,0D -，()0,1,0C，(P ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，假设存在点E 使平面ADEF 与平面ABCD 所成角为60︒，()01CE CP λλ=≤≤，则()0,1E λ-，即()0,2DE λ=-，设平面ADEF 的法向量为(),,n x y z =， 又()1,1,0DA =，则00n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()020y y z x λ+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，有1,n ⎛=- ⎝， cos ,m n m n m n⋅∴=12==， 整理得2440λλ+-=， 解得)[]210,1λ=∈，故存在点E满足条件，且)21CE CP=．19．（1）由题意，得1c =，(),A a b --，(),B a b -，(),C a b ，(),D a b -，22AC b b k a a =∴=，22BD b bk a a==--， 2212AC BDa kb k =-=-∴⋅，结合222a b c =+，解得a =1b =，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）解法一：设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭．当直线PQ 的斜率存在时， 设直线PQ 的方程为y kx t =+，由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222124220kxktx t +++-=，()()()222222221641222821021k t k t k t t k ∆=-+-=-+>⇒<+，则12221224122212kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由12OP OQ k k =-⋅，得()()2212121212212220x x y y k x x kt x x t +=++++=， 代入化简得22212t k =+．2222121222x x y y MO MQ ++⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222212121212222222x x y y x x y y x y ++++⎛⎫⎛⎫+-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 点P ，Q 在椭圆上，221112x y ∴+=，222212x y +=，即22221212142x x y y +++=， ()222221212122242222222kt t x x x x x t t x --⎛⎫+=+-=-⋅= ⎪⎝⎭ 2212142x x +∴=， 2222222212121234242x x y y x x MO MQ ⎛⎫++++=++= ⎪⎝⎭∴， 即2232MO MQ +=； 当直线PQ 的斜率不存在时，易知2232MO MQ +=． 综上， 2232MO MQ +=，为定值． 解法二：由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得221122222222x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 把12122x x y y =-代入上式，化简得22122x y =，得22121y y +=，22122x x +=， 则22222212123222x x y y MO MQ +++=+=为定值． 20．（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.0850.0450.6⨯+⨯=， 用分层抽样的方法抽取10件，则抽取一级品为100.66⨯=（件），则至少有2件一级品的概率22314646464103742C C C C C P C ++==． （2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为710，二级品的概率为14，三级品的概率为120， 若从乙型号减排器中随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且13,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭~，所以()3003312704464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()21133********P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()122331924464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()033331134464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以ξ的分布列为所以数学期望()279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，或()13344E ξ=⨯=． 21．（1）当0a =时，函数()()21202ln f x x b x x =++>，则()b fx x x'=+． ①当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在区间[]1,2上单调递增，所以()()()min 512f x fg b ===． ②当0b <时，令()0f x '=，解得1x =，2x =（i）当1，即[)1,0b∈-时，()f x 在区间[]1,2上单调递增，由上知，此时()52g b =． （ii ）当12<<，即()4,1b ∈--时，()f x 在区间⎡⎣上单调递减，在区间⎤⎦上单调递增， 所以()()min ln 222b b f x f b ==-+-+． （iii ）当2≥，即(],4b ∈-∞-时，()f x 在区间[]1,2上单调递减，此时，()()min 2ln 24f x f b ==+．综上，()()5,12ln 2,4122ln 24,4b b b g b b b b b ⎧≥-⎪⎪⎪=-+-+-<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩，易知(){}5max 2g b =．（2）证明：原式转化为求证()2152f x x >， 当1b =时，()211x ax f x x a x x++'=++=， 所以1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，所以12x x a +=-，121x x =．因为12x x <且10x >，20x >，所以21x >，221a x x =--， 所以()()22222221221212212ln ln x a f x x x x x x x x +++==++ 令()()ln 1212g x x x x x x=++>， 则()23l 0n 12g x x x '=-++>， 所以()g x 在区间()1,+∞上单调递增，所以()()512g x g >=，即()2152f x x >． 所以()12520x f x -<．22．（1）由212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得1x y +=，即直线l 的普通方程为10x y +-=，由()2213sin 4ρθ+=可得2223sin 4ρρθ+=，所以22234x y y ++=，即2214x y +=． 所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．（2）直线l的参数方程也可表示为122t x t y ⎧'⎪⎪⎨⎪'+=-⎩=⎪．（t '为参数）， 将其代入2214x y +=可得2560t ''+-=， 设该方程的根为1t '，2t '，则12t t ''+=，1265t t ''=-， 所以12AP AQ t t ''+=-=5==，1225t t AM ''=+=， 所以8AP AQAM +=．23．（1）由柯西不等式得()()()22222221232325a b ca b c +++++=≥+， 所以2222514a b c ++≥，当且仅当123a b c ==，即514a =，57b =，1514c =时，等号成立． 因此当514a =，57b =，1514c =时，222a b c ++的最小值为2514．（2）由基本不等式得2a b +≥3a c +≥23b c +≥以上三个式子相加得()223a b c ++≥5≤，5≥时，当且仅当23235a b c a b c ==⎧⎨++=⎩， 即53a =，56b =，59c =时成立， 故5518a b c ++=．。

陕西省子洲中学2024届数学高一第二学期期末达标检测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知在三角形ABC 中，2AB BC AC ===，、、A B C 点都在同一个球面上，此球面球心O 到平面ABC 的距离为263，点E 是线段OB 的中点，则点O 到平面AEC 的距离是（ ） A ．33B ．63C ．12D ．12．在ABC △中，3AB =，1AC =，π6B =，则ABC △的面积是（ ）． A ．32B ．34C ．32或34 D ．32或3 3．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A ．310B ．15C ．110D ．1204．已知{}n a 为递增等比数列47565,6a a a a +==，则110a a +=（） A ．152B ．5C ．6D ．3565．已知函数，且实数，满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11A D ，1A A 的中点，则异面直线EF 和1BD 所成角的余弦值为（ ）A ．6 B 3 C 2D 67．在ABC 中，12AN AC =，点P 是直线BN 上一点，若AP mAB AC =+，则实数m 的值是（ ） A ．2B ．1-C ．14-D ．548．函数ln xy x=的图象大致为（ ） A ． B ． C ．D ．9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．4B ．5C 26D ．3210．函数()cos 2f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ） A ．奇函数 B ．非奇非偶函数C ．偶函数D ．既是奇函数又是偶函数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023届陕西省部分名校高三下学期高考仿真模拟理科数学试卷(word版)一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★) 3. 在等差数列中，，则的公差（）A．B．3C．D．4(★★★) 4. 若实数满足约束条件，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★) 5. 已知随机变量X的分布列为：m则（）A．2B．C．D．1(★★★) 6. 函数在区间上的图象大致是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．(★★) 8. 已知直线是函数（）图象的一条对称轴，则在上的值域为（）A．B．C．D．(★★) 9. 等比数列的各项均为正数，且，则（）A．8B．6C．4D．3(★★★) 10. 设，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知是坐标原点，是双曲线的左焦点，平面内一点满足是等边三角形，线段与双曲线交于点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．(★★★) 12. 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，平面P AD⊥底面ABCD，，，，，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为（）A．26πB．27πC．28πD．29π二、填空题(★★) 13. 已知向量，，若，则 ______ .(★★) 14. 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ______ cm.(★★) 15. 2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有 ___________ 种.(★★★★) 16. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为 ______ ．三、解答题(★★★) 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，.(1)求的值；(2)若，求的面积.(★★★) 18. 赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量（单位：ng/g）直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量（单位：粒），得到的数据如下表：赤霉素含量10后天生长的优2质数量(1)求关于的线性回归方程；(2)利用（1）中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.(★★★) 19. 如图，在直三棱柱中，，，，D，E分别是棱，的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.(★★★) 20. 已知函数．(1)设．①求曲线在点处的切线方程．②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．(★★★) 21. 已知椭圆，斜率为2的直线l与椭圆交于A，B两点．过点B作AB的垂线交椭圆于另一点C，再过点C作斜率为－2的直线交椭圆于另一点D．(1)若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB的面积．(2)试问直线AD的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由．(★★★) 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线与极轴相交于，两点.(1)求曲线的极坐标方程及点的极坐标；(2)若直线的极坐标方程为，曲线与直线相交于，两点，求的面积. (★★) 23. 已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围.。

陕西省宝鸡市扶风县法门高中2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、单选题1．已知复数1i 1iz +=-，则2z z +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．用斜二测画法画三角形OAB 的直观图O A B '''，如图所示，已知O A A B ''''⊥，1O A ''=，则OB =（ ）A B ．C ．2 D ．43．总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 01983204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181A ．02B ．14C ．15D ．164．用一个平面去截圆锥，则截面不可能是（ ）A ．椭圆B ．圆C ．三角形D ．矩形5．已知四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r ，并且AB AD =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是（ ）A ．菱形B ．正方形C ．等腰梯形D ．长方形 6．已知实数12x y <<<，若36xy =，且这四个数的中位数是3，则这四个数的平均数是（ ）A ．52B ．3C ．72D ．47．已知|1a b b ⋅==r r r ，则a r 在b r 方向上的投影为 （ ）AB ．2C ．3 D8．甲､乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜；否则乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：据此估计甲获得冠军的概率为（ ）A ．0.3B ．0.35C ．0.65D ．0.25二、多选题9．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A =“出现点数为偶数”，事件B =“出现点数为3”，事件C =“出现点数为3的倍数”，事件D =“出现点数为奇数”，则以下选项正确的是（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与D 互为对立事件C ．()12P C =D ．()()P CD P B =10．如果平面向量(2,4)(6,12)a b =-=-r r ，，那么下列结论中正确的是（ ）A ．||3||b a =r rB ．//a b r rC ．a r 与b r 的夹角为30︒D ．a r 在b r 方向上的投影为11．已知 a ， b 表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理不正确的是（ ）A ．a αβ⋂=，//b a b α⊂⇒B ．a αβ⋂=，////a b b α⇒，且b β//C ．a α⊥， //αβ， a β⇒⊥D ．//αβ，a αγ⋂=，//b a b βγ=⇒I12．已知复数z 满足()1i 2z +=，则（ ）A ．1i z =--B ．z =C ．2z z ⋅=D ．222i z =-三、填空题13．圆台OO '的母线长为3，两底面半径分别为1，2，则圆台OO '的侧面积为．14．已知向量()1,2a =-r ，()2,3b =r ，若()a kab ⊥+r r r ，则k =. 15．某单位共有职工200人，其中高级职称60人，中级职称120人，初级职称20人.现采用分层抽样方法从中抽取一个容量为40的样本，则从高级职称中抽取的人数为.16．已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数是2，方差是13，那么另一组数据1234521,21,21,21,21x x x x x -----的方差为.四、解答题17．一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为m ，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为n ．(1)列出试验的样本空间；(2)求“4mn >”的概率．18．计算：(1)()()2i 23i 4i --++(2)(12i)(23i)+- (3)i 12i-19．已知向量()2,1a =-r ，b =r(1)若()24a b b +⋅=r r r ，求向量a r 与b r 夹角的余弦值； (2)若a b ⊥r r ，求向量b r 的坐标．20．在三棱锥-P ABC 中，,D E 分别为,AB AC 的中点，且CA CB =.(1)证明：BC ∥平面PDE ；(2)若平面PCD ⊥平面ABC ，证明：AB PC ⊥.21．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13 s 内（称为合格）的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)三人中恰有两人合格的概率．22．树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数100⎛⎫= ⎪⎝⎭认可程度平均分认可系数不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中x 的值和第60百分位数；(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[)60,70的学生人数；(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.。

2023—2024学年第二学期期末试卷高一数学注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分。

本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。

3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则复数zz －2i的虚部是 A ．45B ． 45iC ． 35D ．35i2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是 A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥β，n ∥β，且m α⊂，n α⊂，则α∥βD ．若α⊥β，α β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β 3．已知数据x 1，x 2，x 3， …x n 的平均数为10，方差为5，数据3x 1－1，3x 2－1，3x 3－1， …3x n－1的平均数为—x ，方差为s 2，则 A ．—x =10，s 2=14 B ．—x =9，s 2=44 C ．—x =29，s 2=45D ．—x =29，s 2=444．向量→a 与→b 不共线，→AB ＝→a ＋ k →b ，→AC ＝ m →a －→b (k ，m ∈R )，若→AB 与→AC 共线，则k ，m 应满足A ．k ＋m ＝0B ．k -m ＝0C ．km ＋1＝0D ．km －1＝05．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件A ＝“第一枚向上点数为奇数”，事件B ＝“第二枚向上点数为偶数”，事件C ＝“两枚骰子向上点数之和为8”，事件D ＝“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则 A ． A 与C 互斥B ． A 与C 相互独立C ． B 与D 互斥 D ． B 与D 相互独立6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ＝2a －c ，A ＝π4，b ＝3，则实数a 的值为 A ． 6B ． 3C ． 6D ． 37． 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，P A ＝4，PC 与平面ABCD 所成角的大小为θ，且 tan θ＝223，则四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为 A ． 26π B ． 28π C ． 34πD ． 14π8．已知sin2θ＝45，θ∈(0，π4) ，若cos(π4－θ)＝m cos(π4＋θ)，则实数m 的值A ．－3B ．3C ．2D ．－2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数z ＝i ＋3i 2(i 为虚数单位)，则下列结论正确的是 A ． z 的共轭复数为－3－iB ．z ·i=1－3iC ． z 在复平面内对应的点位于第二象限D ．|z ＋2|＝ 210．已知△ABC 内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是 A ．若sin A ＞sin B ，则A ＞BB ．若a cos B =b cos A ，则△ABC 为等腰三角形 C ．若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形D ．若a ＝1.5，b ＝2，A ＝30°的三角形有两解11．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则A ．M ，N ，B ，A 1四点共面B ．若a ＝2，则异面直线PD 1与MNC ．平面PMN 截正方体所得截面为等腰梯形D ．若a ＝1，则三棱锥P －MD 1B 的体积为124三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．12．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是▲ .13．已知A(－3，5)，B(1，10)，C(2，1)，则tan∠ACB＝▲ .14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=120°，BD是△ABC的中线，且1BD=，则a＋c的最大值为▲．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15．(13分)已知sin α＝－55，α∈(π，3π2)，sin(α+β)＝513，β∈(π2，π)．（1）求tan2α的值；（2）求sinβ的值．16．(15分)某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成如图所示的频率直方图。

2023-2024 学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b bb a a b b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。

2023—2024学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高一下学期第二次月考数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知i为虚数单位，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 若为的边BC的中点，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（）A．1B．C．D．(★) 4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=2，A=45°，B=30°，那么b=（）A．B．C．D．(★★★) 5. 已知平面上三点不共线，是不同于的任意一点，若，则是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形(★★) 6. 已知平面平面，直线，则直线a与l的位置关系是（）A．平行或异面B．相交C．平行D．异面(★★) 7. 已知向量则在上的投影向量坐标为（）A．B．C．D．(★★) 8. 已知，则的值为（）A．i B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，其中正确的结论为A．直线与是相交直线；B．直线与是平行直线；C．直线与是异面直线：D．直线与所成的角为.(★★) 10. 复数满足，且，则下列正确的有（）A．B．C．D．(★★) 11. 下列命题中其中正确命题的为（）A．平行于同一直线的两个平面平行；B．平行于同一平面的两个平面平行；C．垂直于同一直线的两直线平行；D．垂直于同一平面的两直线平行．(★★★) 12. 四边形内接于圆，，，，下列结论正确的有（）A．四边形为梯形B．四边形的面积为D．的三边长度满足C．圆的直径为三、填空题(★) 13. 某咖啡连锁店为了了解各地连锁店的销售情况，把36个连锁店按地区分成甲、乙、丙三组，其中甲、乙两组中连锁店的个数分别为4和12，若用分层随机抽样法从这36个连锁店中抽取9个进行调查，则丙组中应抽取的连锁店的个数为 _____________ ．(★★) 14. 已知向量与向量的夹角是，且，则＝________ .(★★) 15. 欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，若，则称为复数的辐角主值．根据该公式，可得的辐角主值为 _______ ．(★★) 16. 已知是两个不同的平面，均为外的两条不同直线，给出四个论断：①;②;③;④. 请以其中三个为条件，余下的一个为结论，写出一个正确的命题 _______________________ （示例：请将答案写成如下形式：“①②③⇒④”）四、解答题(★★) 17. 某地有2000名学生参加数学学业水平考试，现将成绩汇总，得到如图所示的频率分布表．100800200(1)请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；(2)将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率．(★★) 18. △的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若，求的面积.(★★)19. 如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点．(1)若，求证：平面；(2)棱上是否存在点，使得平面？说明理由．。

“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第三次大联考数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答案均写在答题纸上，满分150分，时间2.答卷前将答题卡上的学校､姓名､班级填写清楚，并检查条形码是否完整､信息是否准确.3.答卷必须使用0.5mm 的黑色签字笔书写，字迹工整､笔迹清晰.并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效.第I 卷（选择题共60分）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合2{|34},{|280},M x x N x x x =-≤<=--≤则（ ） A. M ∪N =RB. M ∪N ={x |-3≤x <4} C M ∩N ={x |-2≤x ≤4}D. M ∩N ={x |-2≤x <4}2. 已知复数z 满足()224i z z z z -+⋅=+，z 在复平面内对应的点在第二象限，则z =（ ） A. 1i --B. 1i +C. 1i -+D. 2i -+3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ） A. 0.495%B. 0.9405%C. 0.99%D. 0.9995%4. 已知等比数列{}n a 的前2项和为2424,6a a -=，则8a =（ ） A. 1B.12C.14D.185. 已知p ：0x y +>，q：))ln ln0x y ->，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件.的6. 将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为（ ） A.32B. 2C. 3D.7. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）A.12B.23C.34D.568. 已知命题p ：“若直线//a 平面α，平面//α平面β，则直线//a 平面β”，命题q ：“棱长为a 的正四面体的外接球表面积是23π2a ”，则以下命题为真命题的是（ ）A. p q ∨B. p q ∧C. ()p q ∨⌝D. ()()p q ⌝∧⌝9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C.D.10. 设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（ ） A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<11. 已知定点()2,0D ，直线l ：()()20y k x k =+>与抛物线24y x =交于两点A ，B ，若90ADB ∠=︒，则AB =( )A. 4B. 6C. 8D. 1012. 已知函数()1f x +是偶函数，且()()2f x f x +=-．当(]0,1x ∈时，()1cos f x x x=，则下列说法的正确的是（ ） A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点 C. ()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点 第II 卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）13.已知(1,a a b =+= ，则a 与b的夹角为__________.14. ()4221x x -+的展开式中3x 项的系数为___________.15. 如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点,C D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．16. 已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11,n n n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的N n *∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为________．三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，已知13,4,cos 3AC BC A ===-. （1）求角B 的值； （2）求边长AB 的值.18. 如图，四棱锥P ABCD -中，，AB CD AB AD ⊥∥，且24260，，AB AD CD PA PAB =====∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30，，E F 分别是BC 和PD 的中点.（1）证明：EF 平面PAB ；（2）求平面PAB 与平面PAD 夹角的余弦值.19. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． （1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量×服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P （μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545≈4.7，0.158653≈0.004．20. 已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，12B B 是椭圆的短轴，菱形1122F B F B 的周长为8，面积为E 的焦距大于短轴长． （1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 内一点（不在E 的轴上），过点P 作直线交E 于,A B 两点，且点P 为AB 的中点，椭圆()22122:10x y E m n m n +=>>P 也在1E 上，求证：直线AB 与1E 相切．21. 已知函数()e 21xf x ax =+-，其中a 为实数，e 为自然对数底数，e=2.71828 ．（1）已知函数x ∈R ，()0f x ≥，求实数a 取值的集合； （2）已知函数()()2F x f x ax =-有两个不同极值点1x 、2x ．①求实数a 的取值范围；②证明：)12123x x x x +>．请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 选修4-4：坐标系与参数方程选讲.的22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为11x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设射线()1:π0l θρ=≥和射线2ππ:0,022l θαρα⎛⎫=+≥≤< ⎪⎝⎭分别与曲线C 交于A 、B 两点，求AOB 面积最大值. 选修4-5：不等式选讲.23. 设,,R,,,1a b c a b c ∈-均不为零，且1a b c ++=． （1）证明：(1)(1)0ab b c c a +-+-<； （2）求222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值．参考答案一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合2{|34},{|280},M x x N x x x =-≤<=--≤则（ ） A. M ∪N =R B. M ∪N ={x |-3≤x <4} C. M ∩N ={x |-2≤x ≤4} D. M ∩N ={x |-2≤x <4}【答案】D 【解析】 【分析】先求集合N ，再求两个集合的并集和交集，判断选项.【详解】2280x x --≤，解得：24x -≤≤，即{}24N x x =-≤≤，{}34M x x =-≤<，{}34M N x x ⋃=-≤≤， {}24M N x x ⋂=-≤<.故选：D2. 已知复数z 满足()224i z z z z -+⋅=+，z 在复平面内对应的点在第二象限，则z =（ ） A. 1i -- B. 1i +C. 1i -+D. 2i -+【答案】C 【解析】的【分析】依题意设i z a b =+()0,0a b <>，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可.【详解】设i z a b =+()0,0a b <>，则i z a b =-，因为()224i z z z z -+⋅=+， 所以()()()2i i i i 24i a b a b a b a b +-+++⋅-=+，所以224i 24i b a b ++=+，所以22244a b b ⎧+=⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩或11b a =⎧⎨=⎩（舍去），所以1i z =-+. 故选：C3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ） A. 0.495% B. 0.9405%C. 0.99%D. 0.9995%【答案】A 【解析】【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解.【详解】记感染新冠病毒为事件A ,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件,B 则()0.5%,()99%P A P B A ==,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为()()()P AB P A P B A ==0.5%99%0.495%⨯=，故选：A4. 已知等比数列{}n a 的前2项和为2424,6a a -=，则8a =（ ） A 1B.12C.14D.18【答案】D 【解析】【分析】首先根据题意得到()()121224112416a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨-=-=⎪⎩，解方程组得到12q =，116a =，再求8a 即可. 【详解】因为246a a -=，所以1q ≠，由题知：()()121224112416a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨-=-=⎪⎩， .所以()141q q =-，解得12q =，所以111242a a +=，即116a =， 所以78111628a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选：D5. 已知p ：0x y +>，q ：))ln ln0x y ->，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】令)()ln,R f x x x =+∈,结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立.【详解】令)()ln ,R f x x x =+∈，(0)0f =，且))()()ln ln ln10f x f x x x +-=++-==，故)()ln f x x =+为奇函数，0x >x +递增，则)()ln f x x =+也递增，又()f x 为奇函数，则()f x 在R 上递增，p q ⇒，若0x y +>，则x y >-，则()()f x f y >-，即))ln lnx y >即))lnln0x y +-->；p q ⇐，若))lnln0x y ->，则等价于))ln ln x y +>，即()()f x f y >-，由()f x 在R 上递增，则x y >-， 即0x y +>， 故p 是q 的充要条件， 故选：C.6. 将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为（ ）A.32B. 2C. 3D.【答案】B 【解析】【分析】先求出()g x ，又因为()y g x =在ππ[,]64-上为增函数，则ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤，即可求出ω最大值.【详解】函数π()2sin(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象， 则()ππ2sin 2sin 33g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又因为()y g x =在ππ[,64-上为增函数，所以ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤， 解得：2ω≤，故ω的最大值为2. 故选：B.7. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）A.12B.23C.34D.56【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.【详解】依题意得所拨数字共有1244C C 24=种可能． 要使所拨数字大于200，则：若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，有1224C C 12=种； 若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠， 有1123C C 6=种，则所拨数字大于200的概率为1263244+=， 故选：C ．8. 已知命题p ：“若直线//a 平面α，平面//α平面β，则直线//a 平面β”，命题q ：“棱长为a 的正四面体的外接球表面积是23π2a ”，则以下命题为真命题的是（ ）A. p q ∨B. p q ∧C. ()p q ∨⌝D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】A 【解析】【分析】根据线面的关系判断命题p 的真假，根据正四面体外接球的表面积公式计算判断命题q 的真假，结合复合命题真假的判断方法即可求解. 【详解】命题p ：若//a α，α//β，则//a β或a ⊂β，故命题p 为假命题；命题q ，所以外接球的表面积为223π4π2a =，故命题q 为真命题.所以命题p q ∨为真命题，命题()()()p q p q p q ∧∨⌝⌝∧⌝、、为假命题. 故选：A.9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由双曲线定义可得21,MF MF ，根据平行关系可知12cos aF F M c∠=，由余弦定理可构造齐次方程求得离心率. 【详解】设:bl y x a=，则点M 位于第四象限， 由双曲线定义知：1222222MF MF MF MF MF a -=-==，14MF a ∴=； 设过点2F 且与l 平行直线的倾斜角为α，则tan ba α=，cos a cα∴==， 12cos aF F M c∴∠=； 在12F F M △中，由余弦定理得：222122112122cos 2F F MF MF F F M F F MF +-∠=⋅，即22244168a c a a c ac +-=，整理可得：225c a =，e ∴==故选：C.10. 设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（ ） A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. b c a <<【答案】A 【解析】【分析】通过构造函数()e 1xf x x =--，利用导数研究函数单调性，证得e 1x x >+，则有,a c b c >>，再通过作商法比较,a b .【详解】设()e 1x f x x =--，因为()e 1xf x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减， 当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增， 所以当R x ∈，且0x ≠时，()()00f x f >=，即e 1x x >+. 所以()0.33e30.31 2.1a --+>=⨯=，0.6e 0.61 1.6b =>+=，所以 1.6c =最小，又因为0.60.90.3e e e 13e 33b a -==<<，所以b a <.综上，c b a <<. 故选：A11. 已知定点()2,0D ，直线l ：()()20y k x k =+>与抛物线24y x =交于两点A ，B ，若的90ADB ∠=︒，则AB =( )A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与抛物线方程，求得12x x +，12x x ，12y y ，由90ADB ∠=︒可得0DA DB ⋅=，从而可求k 的值，根据弦长公式即可求AB ．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，()()22222244404y k x k x k x k y x⎧=+⇒+-+=⎨=⎩， 由题知，0∆>，故21212244,4k x x x x k-+==， 则()()()222121212122882224448k y y k x k x k x x x x k k ⎛⎫-⎡⎤=+⋅+=+++=++= ⎪⎣⎦⎝⎭， 由()()1212900220ADB DA DB x x y y ∠=⇒⋅=⇒--+=，即()121212240x x x x y y -+++=，即()224142840k k --⋅++=，解得213k=，则12443813x x -+==，则28AB x =-===．故选：C ． 12. 已知函数()1f x +是偶函数，且()()2f x f x +=-．当(]0,1x ∈时，()1cos f x x x=，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点 C. ()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点 的【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，由()1f x +是偶函数，故()()11f x f x -+=+，结合()()2f x f x +=-，推导出()()f x f x -=-，A 正确；B 选项，求出()f x 的一个周期为4，从而只需求()f x 在区间12π1,ππ-⎛⎫⎪⎝⎭上的零点个数，结合函数性质得到2220ππf f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；C 选项，求导得到()111cos sin f x x x x'=+，换元后得到()cos sin h t t t t =+，15π1,6t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，再次求导，得到()h t 的单调性，结合()10h >，5π06h ⎛⎫⎪⎝⎭>，得到()0h t >在5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，得到()f x 在6,15π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；D 选项，与C 选项一样得到()h t 的单调性，结合零点存在性定理得到隐零点，进而得到()f x 的单调性，求出()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点. 【详解】函数()1f x +是偶函数，故()()11f x f x -+=+，因为()()2f x f x +=-，所以()()11f x f x +=--， 故()()11f x f x -+=--，将x 替换为1x +，得到()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，A 正确； 因为()()2f x f x +=-，故()()42f x f x +=-+，故()()4f x f x +=， 所以()f x 的一个周期为4， 故()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫ ⎪⎝⎭上的零点个数与在区间12π1,ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上的相同，因为22πcos 20ππf ⎛⎫==⎪⎝⎭，而()()()2f x f x f x +=-=-，故2220ππf f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2212π1,2,ππππ-⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 故()f x 在区间12π1,ππ-⎛⎫⎪⎝⎭至少有2个零点，B 错误； 6,15πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1cos f x x x =，则()111cossin f x x x x'=+，令1t x =，()cos sin h t t t t =+，当5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，所以()sin sin cos cos h t t t t t t t '=-++=，当π1,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=>，()h t 单调递增， 当π5π,26t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=<，()h t 单调递减， 又()1cos1sin10h =+>，0cos si 5π5π5π5π2n 5π66661h ⎛⎫==⎪⎝⎭=>+， 故()0h t >在5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以()0f x ¢>在6,15πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，故()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确； D 选项，1,1πx ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1cos f x x x =，故()111cossin f x x x x '=+，令1t x=，()cos sin h t t t t =+，当()1,πt ∈时， 则()cos h t t t '=， 当π1,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=>，()h t 单调递增， 当π,π2t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=<，()h t 单调递减， 因为()1cos1sin10h =+>，πππππ02222cos 2sin h ⎪=⎛⎫=+⎝⎭>，()0cos s n πππ1i πh =-+<=， 由零点存在性定理，0π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃，使得()00h t =，当()01,t t ∈时，()0h t >，当()0,πt t ∈时，()0h t <，011,πx t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，01,1x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增， 所以()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点，D 正确. 故选：ACD【点睛】设函数()y f x =，x ∈R ，0a >，a b ¹．（1）若()()f x a f x a +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （2）若()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （3）若()()1f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （4）若()()1f x a f x +=，则函数()f x 的周期为2a ； （5）若()()f x a f x b +=+，则函数()f x 周期为a b -；（6）若函数()f x 的图象关于直线x a =与x b =对称，则函数()f x 的周期为2b a -；（7）若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2b a -； （8）若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4b a -；（9）若函数()f x 是偶函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为2a ； （10）若函数()f x 是奇函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为2a .第II 卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）13.已知(1,a a b =+= ，则a 与b的夹角为__________.【答案】30 【解析】【分析】首先根据题意得到a b += ，从而得到32a b ⋅= ，再根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅求解即可.【详解】因为(a b +=，所以a b +== ，所以()22223127a ba b a b a b +=++⋅=++⋅=，即32a b ⋅= .所以cos ,a b a b a b⋅===⋅， 因为0,180a b ≤≤，所以a 与b 的夹角为30 .故答案为：3014. ()4221x x -+的展开式中3x 项的系数为___________.的【答案】56- 【解析】【分析】先整理二项式为()81x -，由此即可求解. 【详解】解：二项式()()()442822111x x x x ⎡⎤=⎣⎦-+-=-， 所以展开式中含3x 的项为()55338156C x x ⋅-=-，所以3x 项的系数为56-， 故答案为：56-.15. 如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点,C D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．【解析】【分析】易证得//OC BD ，由异面直线所成角定义可知所求角为SCO ∠，由长度关系可求得结果. 【详解】设圆锥底面圆心为O ，连接,,OC OD OS ，,C D 为弧AB 的两个三等分点，π3COD BOD ∴∠=∠=， 又OB OD =，OBD ∴△为等边三角形，π3ODB COD ∴∠=∠=，//OC BD ∴， SCO ∴∠即为异面直线SC 与BD 所成角，SO ⊥ 平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，SO OC ∴⊥，SO == ，122a OC AB ==，tan SO SCO OC ∴∠=== 即SC 与BD16. 已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11,nn n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的N n *∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为________．【答案】(),48-∞ 【解析】【分析】利用,n n a S 的关系求出数列{}n a 的通项公式，再用裂项相消法求得n T ，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数λ的取值范围. 【详解】当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦， 当1n =时，111a S ==满足上式， 所以32,N n a n n *=-∈. 所以111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以1111111111(1)(()(1)343473323133131n T n n n n n =-+-++-=-=-+++ ， 由93n T n λ<+，可得9331n n n λ<++，即23(31)13(96)n n n nλ+<=++， 因为函数19y x x =+在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增， 所以当1n =时，19n n+有最小值为10， 所以13(96)48n n++≥，所以48λ<， 所以实数λ的取值范围为(),48∞-. 故答案为：(),48-∞.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，已知13,4,cos 3AC BC A ===-. （1）求角B 的值； （2）求边长AB 的值. 【答案】（1）π4（2）1 【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系及正弦定理可求解； （2）利用两角差的余弦公式结合余弦定理求解. 【小问1详解】在ABC 中，由1cos 3A =-，()22cos sin 1,0,πA A A +=∈,得sin A =.由正弦定理得，sin sin a b A B=3sin B =，故sin B =又因为A 为钝角，所以π4B = 【小问2详解】在ABC 中，()1cos cos sin sin cos cos 3C A B A B A B =-+=-=+=由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅()2223423491=+-⨯⨯=-=-所以1AB =-18. 如图，四棱锥P ABCD -中，，AB CD AB AD ⊥∥，且24260，，AB AD CD PA PAB =====∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30，，E F 分别是BC 和PD 的中点.（1）证明：EF 平面PAB ；（2）求平面PAB 与平面PAD 夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 的中点G ，连接EG FG ，，通过证明平面GEF 平面PAB ，可得EF 平面PAB ；（2）点A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由260，PA PAB ==∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30 ，可得P 坐标，后利用向量法可得平面PAB 与平面PAD 夹角的余弦值. 【小问1详解】取AD 的中点G ，连接,EG FG ，F 是PD 的中点，GF AP ∴∥，AP ⊂ 平面,PAB FG ⊄平面PAB ，GF ∴ 平面PAB ，同理可得GE 平面PAB ，，GE GF G GE =⊂ 平面，GEF GF ⊂平面GEF ，∴平面GEF 平面PAB ，EF ⊂ 平面GEF ，//EF ∴平面PAB ；【小问2详解】以点A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,2,4,0A B D C ，()()400040,,，,,AB AD ==.设(),,P x y z ，因2PA =，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30 ，则2sin 301z == . 又因60,PAB =∠ 则点P 的横坐标2cos 601x == . 又2PA =2=，结合题图可知y =，的则()P，()11,AP =.设()111,,m x y z =r 是平面PAB的一个法向量，则111140m AB x m AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令11y =，则(10,1,z m ==.设()222,,n x y z =r 是平面PAD的一个法向量，则222240n AD y n AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩令11x =，则()111,0,1，z n =-=-.又因两平面夹角范围为π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设平面PAB 与平面PAD 夹角为θ，cos =cos ,m n m n m n θ⋅===，∴平面PAB 与平面PAD19. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． （1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量×服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P （μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545≈4.7，0.158653≈0.004．【答案】（1）总样本的均值为17，方差为23；据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23（2）0.004 【解析】【分析】（1）根据均值方差的计算公式代入计算即可求解； （2）利用正态分布的性质和所给数据即可求解计算. 【小问1详解】把男性样本记为12120,,,x x x ，其平均数记为x ，方差记为2x s ；把女性样本记为1290,,,y y y ，其平均数记为y ，方差记为2y s ．则2214,6;21,17x y x s y s ====．记总样本数据的平均数为z ，方差为2s ．由14,21x y ==，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得总样本平均数为120901209012090z x y =+++．120149021210⨯+⨯=17,=根据方差的定义，总样本方差为()()12090222111210i i i i s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()1209022111,210i i i i x x x z y x y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑ 由()120120111200iii i x x x x ==-=-=∑∑可得()()120120112()2(0iii i x x x z x z x x ==--=--=∑∑同理，()()9090112()2()0iii i y y y z y z y y ==--=--=∑∑，因此，()()12012090902222211111()()210i i i i i i s x x x z y y y z ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ {}22221120(90(,210x y s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦ 所以{}22211206(1417)9017(2117)23210s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-≈⎣⎦⎣⎦， 所以总样本的均值为17，方差为23，并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23． 【小问2详解】由（1）知223σ=，所以()17,23X N ~4.8≈， 所以()()12.221.817 4.817 4.80.6827P X P X ≤≤=-≤≤+≈，()1(12.2)10.68270.15865,2P X <≈⨯-= 因为()3,0.15865X B ~，所以()3333C 0.158650.004P X ==⨯≈． 所以3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004．20. 已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，12B B 是椭圆的短轴，菱形1122F B F B 的周长为8，面积为E 的焦距大于短轴长．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 内的一点（不在E 的轴上），过点P 作直线交E 于,A B 两点，且点P 为AB 的中点，椭圆()22122:10x y E m n m n +=>>P 也在1E 上，求证：直线AB 与1E 相切． 【答案】（1）2214x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据菱形1122F B F B 的周长和面积可构造方程组求得,b c ，进而得到椭圆方程；（2）设:AB y kx t =+，与椭圆E 方程联立可得韦达定理的结论，结合中点坐标公式可求得P 点坐标；将AB 与椭圆1E 联立，可得1∆，由P 在椭圆1E 上可得等量关系，化简1∆可得10∆=，由此可得结论.【小问1详解】菱形1122F B F B 的周长为8，面积为122248b c a ⎧⋅⋅=⎪∴⎨⎪=⎩222a b c =+，1b c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩或1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，又椭圆E 的焦距大于短轴长，即22c b >，1b c =⎧⎪∴⎨=⎪⎩24a ∴=，则椭圆E 的方程为：2214x y +=. 【小问2详解】由题意知：直线AB 的斜率必然存在，可设其方程为：y kx t =+， 由2214x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222148440k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2216140k t ∆=+->，即2214<+t k ，122814kt x x k ∴+=-+，21224414t x x k-=+， 21212228221414k t t y y kx t kx t t k k∴+=+++=-+=++，224,1414kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭； 椭圆1Ee ∴==224=m n ， 2221:44E x y n ∴+=，由22244x y n y kx t⎧+=⎨=+⎩得：()2222148440k x ktx t n +++-=， ()()()22222222216441444164k t k t n k n n t ∴∆=-+-=+-，P 在椭圆1E 上，()()2222222216441414k t t n k k ∴+=++，整理可得：()22241t n k =+， ()222222116440k n n k n n ∴∆=+--=，∴直线AB 与1E 相切.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆位置关系的证明问题，解题关键是能够利用点在椭圆上得到变量之间所满足的等量关系，将等量关系代入判别式中进行化简整理即可得到直线与椭圆的位置关系. 21. 已知函数()e 21x f x ax =+-，其中a 为实数，e 为自然对数底数，e=2.71828 ． （1）已知函数x ∈R ，()0f x ≥，求实数a 取值的集合；（2）已知函数()()2F x f x ax =-有两个不同极值点1x 、2x ． ①求实数a 的取值范围；②证明：)12123x x x x +>．【答案】（1）12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭（2）① 212e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭，；②证明见解析 【解析】【分析】（1）利用不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，通过对a 的讨论，求出()f x 在给定区间的最值即可求出a 的值；（2）①由函数()F x 有两个不同的极值点1x ，2x 得，()e 22x F x ax a '=-+有两个不同零点，通过参数分离有112e x x a -=，构造函数()1e x x x ϕ-=，确定()1ex x x ϕ-=的单调性和极值，进而可求a 的取值范围； ②由已知得21211e e 1x x x x -=-，取对数得()()2121ln 1ln 1x x x x -=---，通过换元111x t -=，221x t -=，构造函数()ln u t t t =-，讨论函数()ln u t t t =-的单调性，确定12t t ，的不等关系，再转化为1x ，2x 的关系即可证明．【小问1详解】由()e 21x f x ax =+-，得()e 2xf x a '=+， 当0a ≥时，因为()11120e f a ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，不合题意； 当a<0时，当()()ln 2x a ∈-∞-，时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()()ln 2x a ∈-+∞，时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()()()min ()ln 222ln 21f x f a a a a =-=-+--，要()0f x ≥，只需()min ()22ln 210f x a a a =-+--≥，令()ln 1g x x x x =--，则()ln g x x '=-， 当()01x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g ≤=，则由()()222ln 210g a a a a -=-+--≥得21a -=， 所以12a =-，故实数a 取值的集合12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭． 【小问2详解】 ①由已知()2e 21x F x ax ax =-+-，()e 22x F x ax a '=-+，因为函数()F x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以()e 22xF x ax a '=-+有两个不同零点， 若0a ≤时，则()F x '在R 上单调递增，()F x '在R 上至多一个零点，与已知矛盾，舍去；当0a >时，由e 220x ax a -+=，得112e x x a -=，令()1ex x x ϕ-=所以()2ex x x ϕ-'=，当()2x ∈-∞，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增； 当()2x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 所以max 21()2e x ϕϕ==（）， 因为(1)0ϕ=，1lim 0e x x x →+∞-=，所以21102e a <<，所以22e a >， 故实数a 的取值范围为21e 2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，． ②设12x x <，由①则1212x x <<<，因为()()120x x ϕϕ==，所以11e 22x ax a =-，22e 22x ax a =-， 则21211e e 1x x x x -=-，取对数得()()2121ln 1ln 1x x x x -=---， 令111x t -=，221x t -=，则2121ln ln t t t t -=-，即221112ln ln (01)t t t t t t -=-<<<，令()ln u t t t =-，则()()12u t u t =，因为()1tu t t '=-，所以()ln u t t t =-在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增， 令()()112ln v t u t u t t t t⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 则()22(1)0t v t t-'=≥，()v t 在()0+∞，上单调递增， 又10v =（），所以当()01t ∈，时，()10v t v <=()，即()1u t u t ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 因为21t >，121t ->，()ln u t t t =-在()1+∞，上单调递增，所以211t t <， 所以21111x x -<-，即1212x x x x <+，所以))12121212x x x x x x x x <+<+<+，故)12123x x x x <+成立．请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.选修4-4：坐标系与参数方程选讲.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为11x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设射线()1:π0l θρ=≥和射线2ππ:0,022l θαρα⎛⎫=+≥≤< ⎪⎝⎭分别与曲线C 交于A 、B 两点，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）2sin 2cos ρθθ=-（21+【解析】【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，由普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线C 的极坐标方程；（2）求出OA 、OB ，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换可得π214AOB S α⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△，结合π02α≤<可求得AOB S 的最大值. 【小问1详解】解：由11x y θθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩可得()()))2222112x y θθ++-=+=，即22220x y x y ++-=，故曲线C 的普通方程为22220x y x y ++-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 0ρρθρθ+-=，即2sin 2cos ρθθ=-.【小问2详解】解：由题意知2sin π2cos π2OA =-=，ππ2sin 2cos 2cos 2sin 22OB αααα⎛⎫⎛⎫=+-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()21π·sin π2cos 2sin cos 2cos sin222AOB S OA OB αααααα⎡⎤⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin2cos21214ααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 因为π02α≤<，则ππ5π2444α≤+<，所以当242ππα+=，即当π8α=时，AOB 1+. 选修4-5：不等式选讲.23. 设,,R,,,1a b c a b c ∈-均不为零，且1a b c ++=．（1）证明：(1)(1)0ab b c c a +-+-<；（2）求222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用三数和的完全平方公式变形，再结合放缩法证明作答. （2）利用柯西不等式求解最小值作答.【小问1详解】依题意，(1)0a b c ++-=，且,,(1)a b c -均不为零， 则22221(1)(1){[(1)][(1)2]}ab b c c a a b c a b c +-+-=++--++-2221[(1])02a b c =-++-<， 所以(1)(1)0ab b c c a +-+-<.【小问2详解】因为2222222](111[(2)(2)1()))[112(2)(2(2)]a b c a b c ⨯-++++-+++++≥⨯⨯+2(2)9a b c =+++=， 当且仅当222111a b c -++==，即3,1,1a b c ==-=-时取等号，因此222(2)(2)(2)3a b c -++++≥， 所以222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值为3.。

陕西省商洛市2020-2021学年高一下学期期末教学质量检测数学试题考生注意：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分。

考试时长120分钟。

2.请将各题结果填写在答题卡上。

3.本试题主要考试内容：北师大版必修3,必修4。

第Ⅰ卷一，选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.函数()πtan 5f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭地最小正周期为（ ）A.π2B. πC.2πD.4π2.在算法框图中,“ ”地功能是（ ）A.表示一个算法输入和输出地信息B.只表示一个算法输出地信息C.赋值或计算D.判断某一款件是否成立3.一个扇形地弧长为6,半径为4,则该扇形地圆心角地弧度数为（ ）A.1B.32C.2D.234.某工厂共有980名工人,其中20到30岁地工人有400名,30到40岁地工人有300名,其余工人均在40岁以上.为了解该工厂地健康情况,按照20到30岁,30到40岁,40岁以上三个年龄段进行分层抽样,假如总样本量为196,那么应在40岁以上地工人中抽取（ ）A.48名B.52名C.56名D.60名5.若tan 3α=,()tan 4πβ-=,则()tan αβ+=（ ）A.113B.113C.711-D.7116.抽查8件产品,记“至多有3件次品”为事件A ,则事件A 地对立事件是（ ）A.至少有4件次品B.至少有2件次品C.至多有5件正品D.至少有4件正品7.在区间()1,8中随机选取一个数,则这个数不大于5地概率为（ ）A.17B.27C.37D.478.在ABC △中,D ,E 分别在线段AB ,AC 上,且23DB AB = ,23AE AC =,点F 是线段BE地中点,则DF =（ ）A.1163AB AC +B.1163AB AC -C.1163AB AC -+D.1163AB AC--9.执行如图所示地程序框图,则输出地n 地值为（）A.3B.4C.5D.610.3cos x x +=则2cos 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14-B.14 C.18-D.1811.已知一组数据地平均数是4,标准差是4,且这组数据地平方和是这组数据和地平方地18,则这组数据地个数是（ ）A.10B.13C.16D.1812.已知函数()1sin ,0,21cos ,0,2x x f x x x +<+⎧⎪=⎨≥⎪⎪⎪⎩若()f x 在区间3π,2a ⎡⎤-⎢⎣⎦上至少有5个零点,()f x 在区间[]π,a -上至多有5个零点,则正数a 地取值范围是（）A.13π8π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13π10π,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.19π10π,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.8π19π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二，填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把结果填在答题卡中地横线上。