2019-2020学年吉林省长春市实验中学高二10月月考数学试题 word版
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吉林省长春市中考数学试卷一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.(3.00分)﹣的绝对值是()A.﹣B.C.﹣5 D.52.(3.00分)长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成,它的总投资额约为2500000000元,2500000000这个数用科学记数法表示为()A.0.25×1010B.2.5×1010C.2.5×109D.25×1083.(3.00分)下列立体图形中,主视图是圆的是()A.B.C.D.4.(3.00分)不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.5.(3.00分)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的大小为()A.44°B.40°C.39°D.38°6.(3.00分)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为()A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺7.(3.00分)如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A、B在同一水平面上).为了测量A、B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A、B两地之间的距离为()A.800sinα米B.800tanα米C.米D.米8.(3.00分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,点C在函数y=(x>0)的图象上,若AB=2,则k 的值为()A.4 B.2C.2 D.二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)9.(3.00分)比较大小:3.(填“>”、“=”或“<”)10.(3.00分)计算:a2•a3= .11.(3.00分)如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,3)、(n,3),若直线y=2x与线段AB有公共点,则n的值可以为.(写出一个即可)12.(3.00分)如图,在△ABC中,AB=AC.以点C为圆心,以CB长为半径作圆弧,交AC的延长线于点D,连结BD.若∠A=32°,则∠CDB的大小为度.13.(3.00分)如图,在▱ABCD中,AD=7,AB=2,∠B=60°.E是边BC上任意一点,沿AE 剪开,将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置,得到四边形AEFD,则四边形AEFD周长的最小值为.14.(3.00分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A.点B是y 轴正半轴上一点,点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上.过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A′的横坐标为1,则A′C的长为.三、解答题(本大题共10小题,共78分)15.(6.00分)先化简,再求值:+,其中x=﹣1.16.(6.00分)剪纸是中国传统的民间艺术,它画面精美,风格独特,深受大家喜爱,现有三张不透明的卡片,其中两张卡片的正面图案为“金鱼”,另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”,卡片除正面剪纸图案不同外,其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张,记录图案后放回,重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法,求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率.(图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2,图案为“蝴蝶”的卡片记为B)17.(6.00分)图①、图②均是8×8的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,线段OM、ON的端点均在格点上.在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形,使第四个顶点在格点上.要求:(1)所画的两个四边形均是轴对称图形.(2)所画的两个四边形不全等.18.(7.00分)学校准备添置一批课桌椅,原计划订购60套,每套100元,店方表示:如果多购,可以优惠.结果校方实际订购了72套,每套减价3元,但商店获得了同样多的利润.(1)求每套课桌椅的成本;(2)求商店获得的利润.19.(7.00分)如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,BC交⊙O于点D.已知⊙O的半径为6,∠C=40°.(1)求∠B的度数.(2)求的长.(结果保留π)20.(7.00分)某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况,进行了抽样调查.该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数,数据如下:202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据,得到条形统计图:样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示:统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息,解答下列问题:(1)上表中众数m的值为;(2)为调动工人的积极性,该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准,凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励.如果想让一半左右的工人能获奖,应根据来确定奖励标准比较合适.(填“平均数”、“众数”或“中位数”)(3)该部门规定:每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手.若该部门有300名工人,试估计该部门生产能手的人数.21.(8.00分)某种水泥储存罐的容量为25立方米,它有一个输入口和一个输出口.从某时刻开始,只打开输入口,匀速向储存罐内注入水泥,3分钟后,再打开输出口,匀速向运输车输出水泥,又经过2.5分钟储存罐注满,关闭输入口,保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥,当输出的水泥总量达到8立方米时,关闭输出口.储存罐内的水泥量y(立方米)与时间x(分)之间的部分函数图象如图所示.(1)求每分钟向储存罐内注入的水泥量.(2)当3≤x≤5.5时,求y与x之间的函数关系式.(3)储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是立方米,从打开输入口到关闭输出口共用的时间为分钟.22.(9.00分)在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C、D重合),连结BE.【感知】如图①,过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图②,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G.(1)求证:BE=FG.(2)连结CM,若CM=1,则FG的长为.【应用】如图③,取BE的中点M,连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连结EG、MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为.23.(10.00分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A、B重合),作∠DPQ=60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.(1)用含t的代数式表示线段DC的长;(2)当点Q与点C重合时,求t的值;(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S与t之间的函数关系式;(4)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,直接写出t的值.24.(12.00分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的对称中心为坐标原点O,AD⊥y轴于点E(点A在点D的左侧),经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1(x≥0)的图象记为G1,函数y=﹣x2﹣mx﹣1(x<0)的图象记为G2,其中m是常数,图象G1、G2合起来得到的图象记为G.设矩形ABCD的周长为L.(1)当点A的横坐标为﹣1时,求m的值;(2)求L与m之间的函数关系式;(3)当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时,求L的值;(4)设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0,当≤y≤9时,直接写出L的取值范围.吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.(3.00分)﹣的绝对值是()A.﹣B.C.﹣5 D.5【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解,第一步列出绝对值的表达式,第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号.【解答】解:||=,故选:B.【点评】本题主要考查了绝对值的定义,绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0,比较简单.2.(3.00分)长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成,它的总投资额约为2500000000元,2500000000这个数用科学记数法表示为()A.0.25×1010B.2.5×1010C.2.5×109D.25×108【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:2500000000用科学记数法表示为2.5×109.故选:C.【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.3.(3.00分)下列立体图形中,主视图是圆的是()A.B.C.D.【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案.【解答】解:A、圆锥的主视图是三角形,故A不符合题意;B、圆柱的柱视图是矩形,故 B错误;C、圆台的主视图是梯形,故C错误;D、球的主视图是圆,故D正确;故选:D.【点评】本题考查了简单几何体的三视图,熟记常见几何体的三视图是解题关键.4.(3.00分)不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.【分析】先求出不等式的解集,再在数轴上表示出来即可.【解答】解:3x﹣6≥0,3x≥6,x≥2,在数轴上表示为,故选:B.【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集,能求出不等式的解集是解此题的关键.5.(3.00分)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的大小为()A.44°B.40°C.39°D.38°【分析】根据三角形内角和得出∠ACB,利用角平分线得出∠DCB,再利用平行线的性质解答即可.【解答】解:∵∠A=54°,∠B=48°,∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°,∵CD平分∠ACB交AB于点D,∴∠DCB=78°=39°,∵DE∥BC,∴∠CDE=∠DCB=39°,故选:C.【点评】此题考查三角形内角和问题,关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质解答.6.(3.00分)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为()A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.【解答】解:设竹竿的长度为x尺,∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=1.5尺,影长五寸=0.5尺,∴,解得x=45(尺).故选:B.【点评】本题考查的是相似三角形的应用,熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键.7.(3.00分)如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A、B在同一水平面上).为了测量A、B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A、B两地之间的距离为()A.800sinα米B.800tanα米C.米D.米【分析】在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠B=α,AC=800米,根据tanα=,即可解决问题;【解答】解:在Rt△ABC中,∵∠CAB=90°,∠B=α,AC=800米,∴tanα=,∴AB==.故选:D.【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.8.(3.00分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,点C在函数y=(x>0)的图象上,若AB=2,则k 的值为()A.4 B.2C.2 D.【分析】作BD⊥AC于D,如图,先利用等腰直角三角形的性质得到AC=AB=2,BD=AD=CD=,再利用AC⊥x轴得到C(,2),然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值.【解答】解:作BD⊥AC于D,如图,∵△ABC为等腰直角三角形,∴AC=AB=2,∴BD=AD=CD=,∵AC⊥x轴,∴C(,2),把C(,2)代入y=得k=×2=4.故选:A.【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.也考查了等腰直角三角形的性质.二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)9.(3.00分)比较大小:>3.(填“>”、“=”或“<”)【分析】先求出3=,再比较即可.【解答】解:∵32=9<10,∴>3,故答案为:>.【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用,用了把根号外的因式移入根号内的方法.10.(3.00分)计算:a2•a3= a5.【分析】根据同底数的幂的乘法,底数不变,指数相加,计算即可.【解答】解:a2•a3=a2+3=a5.故答案为:a5.【点评】熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键.11.(3.00分)如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,3)、(n,3),若直线y=2x与线段AB有公共点,则n的值可以为 2 .(写出一个即可)【分析】由直线y=2x与线段AB有公共点,可得出点B在直线上或在直线右下方,利用一次函数图象上点的坐标特征,即可得出关于n的一元一次不等式,解之即可得出n的取值范围,在其内任取一数即可得出结论.【解答】解:∵直线y=2x与线段AB有公共点,∴2n≥3,∴n≥.故答案为:2.【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,用一次函数图象上点的坐标特征,找出关于n的一元一次不等式是解题的关键.12.(3.00分)如图,在△ABC中,AB=AC.以点C为圆心,以CB长为半径作圆弧,交AC的延长线于点D,连结BD.若∠A=32°,则∠CDB的大小为37 度.【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°,根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°.【解答】解:∵AB=AC,∠A=32°,∴∠ABC=∠ACB=74°,又∵BC=DC,∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°.故答案为:37.【点评】本题主要考查等腰三角形的性质,三角形外角的性质,掌握等边对等角是解题的关键,注意三角形内角和定理的应用.13.(3.00分)如图,在▱ABCD中,AD=7,AB=2,∠B=60°.E是边BC上任意一点,沿AE 剪开,将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置,得到四边形AEFD,则四边形AEF D周长的最小值为20 .【分析】当AE⊥BC时,四边形AEFD的周长最小,利用直角三角形的性质解答即可.【解答】解:当AE⊥BC时,四边形AEFD的周长最小,∵AE⊥BC,AB=2,∠B=60°.∴AE=3,BE=,∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置,∴EF=BC=AD=7,∴四边形AEFD周长的最小值为:14+6=20,故答案为:20【点评】此题考查平移的性质,关键是根据当AE⊥BC时,四边形AEFD的周长最小进行分析.14.(3.00分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A.点B是y 轴正半轴上一点,点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上.过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A′的横坐标为1,则A′C的长为 3 .【分析】解方程x2+mx=0得A(﹣m,0),再利用对称的性质得到点A的坐标为(﹣1,0),所以抛物线解析式为y=x2+x,再计算自变量为1的函数值得到A′(1,2),接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标,然后计算A′C的长.【解答】解:当y=0时,x2+mx=0,解得x1=0,x2=﹣m,则A(﹣m,0),∵点A关于点B的对称点为A′,点A′的横坐标为1,∴点A的坐标为(﹣1,0),∴抛物线解析式为y=x2+x,当x=1时,y=x2+x=2,则A′(1,2),当y=2时,x2+x=2,解得x1=﹣2,x2=1,则C(﹣2,1),∴A′C的长为1﹣(﹣2)=3.故答案为3.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数图象上点的坐标特征.三、解答题(本大题共10小题,共78分)15.(6.00分)先化简,再求值:+,其中x=﹣1.【分析】根据分式的加法可以化简题目中的式子,然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题.【解答】解:+====x+1,当x=﹣1时,原式=﹣1+1=.【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.16.(6.00分)剪纸是中国传统的民间艺术,它画面精美,风格独特,深受大家喜爱,现有三张不透明的卡片,其中两张卡片的正面图案为“金鱼”,另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”,卡片除正面剪纸图案不同外,其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张,记录图案后放回,重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法,求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率.(图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2,图案为“蝴蝶”的卡片记为B)【分析】列表得出所有等可能结果,然后根据概率公式列式计算即可得解【解答】解:列表如下:A 1A2BA 1(A1,A1)(A2,A1)(B,A1)A 2(A1,A2)(A2,A2)(B,A2)B(A1,B)(A2,B)(B,B)由表可知,共有9种等可能结果,其中抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的4种结果,所以抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率为.【点评】本题考查了列表法和树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.17.(6.00分)图①、图②均是8×8的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,线段OM、ON的端点均在格点上.在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形,使第四个顶点在格点上.要求:(1)所画的两个四边形均是轴对称图形.(2)所画的两个四边形不全等.【分析】利用轴对称图形性质,以及全等四边形的定义判断即可.【解答】解:如图所示:【点评】此题考查了作图﹣轴对称变换,以及全等三角形的判定,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.18.(7.00分)学校准备添置一批课桌椅,原计划订购60套,每套100元,店方表示:如果多购,可以优惠.结果校方实际订购了72套,每套减价3元,但商店获得了同样多的利润.(1)求每套课桌椅的成本;(2)求商店获得的利润.【分析】(1)设每套课桌椅的成本为x元,根据利润=销售收入﹣成本结合商店获得的利润不变,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;(2)根据总利润=单套利润×销售数量,即可求出结论.【解答】解:(1)设每套课桌椅的成本为x元,根据题意得:60×100﹣60x=72×(100﹣3)﹣72x,解得:x=82.答:每套课桌椅的成本为82元.(2)60×(100﹣82)=1080(元).答:商店获得的利润为1080元.【点评】本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(2)根据数量关系,列式计算.19.(7.00分)如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,BC交⊙O于点D.已知⊙O的半径为6,∠C=40°.(1)求∠B的度数.(2)求的长.(结果保留π)【分析】(1)根据切线的性质求出∠A=90°,根据三角形内角和定理求出即可;(2)根据圆周角定理求出∠AOD,根据弧长公式求出即可.【解答】解:(1)∵AC切⊙O于点A,∠BAC=90°,∵∠C=40°,∴∠B=50°;(2)连接OD,∵∠B=50°,∴∠AOD=2∠B=100°,∴的长为=π.【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.20.(7.00分)某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况,进行了抽样调查.该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数,数据如下:202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据,得到条形统计图:样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示:统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息,解答下列问题:(1)上表中众数m的值为18 ;(2)为调动工人的积极性,该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准,凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励.如果想让一半左右的工人能获奖,应根据中位数来确定奖励标准比较合适.(填“平均数”、“众数”或“中位数”)(3)该部门规定:每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手.若该部门有300名工人,试估计该部门生产能手的人数.【分析】(1)根据条形统计图中的数据可以得到m的值;(2)根据题意可知应选择中位数比较合适;(3)根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数.【解答】解:(1)由图可得,众数m的值为18,故答案为:18;(2)由题意可得,如果想让一半左右的工人能获奖,应根据中位数来确定奖励标准比较合适,故答案为:中位数;(3)300×=100(名),答:该部门生产能手有100名工人.【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数和众数,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.21.(8.00分)某种水泥储存罐的容量为25立方米,它有一个输入口和一个输出口.从某时刻开始,只打开输入口,匀速向储存罐内注入水泥,3分钟后,再打开输出口,匀速向运输车输出水泥,又经过2.5分钟储存罐注满,关闭输入口,保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥,当输出的水泥总量达到8立方米时,关闭输出口.储存罐内的水泥量y(立方米)与时间x(分)之间的部分函数图象如图所示.(1)求每分钟向储存罐内注入的水泥量.(2)当3≤x≤5.5时,求y与x之间的函数关系式.(3)储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是 1 立方米,从打开输入口到关闭输出口共用的时间为11 分钟.【分析】(1)体积变化量除以时间变化量求出注入速度;(2)根据题目数据利用待定系数法求解;(3)由(2)比例系数k=4即为两个口同时打开时水泥储存罐容量的增加速度,则输出速度为5﹣4=1,再根据总输出量为8求解即可.【解答】解:(1)每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3=5分钟;(2)设y=kx+b(k≠0)把(3,15)(5.5,25)代入解得∴当3≤x≤5.5时,y与x之间的函数关系式为y=4x+3(3)由(2)可知,输入输出同时打开时,水泥储存罐的水泥增加速度为4立方米/分,则每分钟输出量为5﹣4=1立方米;只打开输出口前,水泥输出量为 5.5﹣3=2.5立方米,之后达到总量8立方米需需输出8﹣2.5=5.5立方米,用时5.5分钟∴从打开输入口到关闭输出口共用的时间为:5.5+5.5=11分钟故答案为:1,11【点评】本题为一次函数实际应用问题,考查了一次函数的图象性质以及在实际问题中比例系数k代表的意义.22.(9.00分)在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C、D重合),连结BE.【感知】如图①,过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图②,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G.(1)求证:BE=FG.(2)连结CM,若CM=1,则FG的长为 2 .【应用】如图③,取BE的中点M,连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连结EG、MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为9 .【分析】感知:利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE,即可得出结论;探究:(1)判断出PG=BC,同感知的方法判断出△PGF≌CBE,即可得出结论;(2)利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半,应用:借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论.【解答】解:感知:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠BCE=∠ABC=90°,∴∠ABE+∠CBE=90°,∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°,∴∠BAF=∠CBE,在△ABF和△BCE中,,∴△ABF≌△BCE(ASA);探究:(1)如图②,过点G作GP⊥BC于P,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠A=∠ABC=90°,∴四边形ABPG是矩形,∴PG=AB,∴PG=BC,同感知的方法得,∠PGF=∠CBE,在△PGF和△CBE中,,∴△PGF≌△CBE(ASA),∴BE=FG,(2)由(1)知,FG=BE,连接CM,∵∠BCE=90°,点M是BE的中点,∴BE=2CM=2,∴FG=2,故答案为:2.应用:同探究(2)得,BE=2ME=2CM=6,∴ME=3,同探究(1)得,CG=BE=6,∵BE⊥CG,∴S=CG×ME=×6×3=9,四边形CEGM故答案为9.【点评】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,同角的余角相等,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,判断出CG=BE是解本题的关键.23.(10.00分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A、B重合),作∠DPQ=60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.(1)用含t的代数式表示线段DC的长;(2)当点Q与点C重合时,求t的值;(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S与t之间的函数关系式;(4)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,直接写出t的值.【分析】(1)先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论;(2)利用AD+DQ=AC,即可得出结论;(3)分两种情况,利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论;(4)分三种情况,利用锐角三角函数,即可得出结论.【解答】解:(1)在Rt △ABC 中,∠A=30°,AB=4,∴AC=2,∵PD ⊥AC ,∴∠ADP=∠CDP=90°,在Rt △ADP 中,AP=2t ,∴DP=t ,AD=APcosA=2t ×=t , ∴CD=AC ﹣AD=2﹣t (0<t <2);(2)在Rt △PDQ 中,∵∠DPC=60°,∴∠PQD=30°=∠A ,∴PA=PQ ,∵PD ⊥AC ,∴AD=DQ ,∵点Q 和点C 重合,∴AD+DQ=AC ,∴2×t=2,∴t=1;(3)当0<t ≤1时,S=S △PDQ =DQ ×DP=×t ×t=t 2; 当1<t <2时,如图2,CQ=AQ ﹣AC=2AD ﹣AC=2t ﹣2=2(t ﹣1),在Rt △CEQ 中,∠CQE=30°,∴CE=CQ•tan∠CQE=2(t ﹣1)×=2(t ﹣1), ∴S=S △PDQ ﹣S △ECQ =×t ×t ﹣×2(t ﹣1)×2(t ﹣1)=﹣t 2+4t ﹣2, ∴S=;(4)当PQ 的垂直平分线过AB 的中点F 时,如图3,∴∠PGF=90°,PG=PQ=AP=t,AF=AB=2,∵∠A=∠AQP=30°,∴∠FPG=60°,∴∠PFG=30°,∴PF=2PG=2t,∴AP+PF=2t+2t=2,∴t=;当PQ的垂直平分线过AC的中点M时,如图4,∴∠QMN=90°,AN=AC=,QM=PQ=AP=t,在Rt△NMQ中,NQ==t,∵AN+NQ=AQ,∴+t=2t,∴t=,当PQ的垂直平分线过BC的中点时,如图5,∴BF=BC=1,PE=PQ=t,∠H=30°,∵∠ABC=60°,∴∠BFH=30°=∠H,∴BH=BF=1,在Rt△PEH中,PH=2PE=2t,∴AH=AP+PH=AB+BH,∴2t+2t=5,∴t=,即:当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,t的值为秒或秒或秒.【点评】此题是三角形综合题,主要考查了等腰三角形的判定和性质,锐角三角函数,垂直平分线的性质,正确作出图形是解本题的关键.24.(12.00分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的对称中心为坐标原点O,AD⊥y轴于点E(点A在点D的左侧),经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1(x≥0)的图象记为G1,函数y=﹣x2﹣mx﹣1(x<0)的图象记为G2,其中m是常数,图象G1、G2合起来得到的图象记为G.设矩形ABCD的周长为L.(1)当点A的横坐标为﹣1时,求m的值;(2)求L与m之间的函数关系式;(3)当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时,求L的值;(4)设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0,当≤y≤9时,直接写出L的取值范围.【分析】(1)求出点B坐标利用待定系数法即可解决问题;(2)利用对称轴公式,求出BE的长即可解决问题;(3)由G2与矩形ABCD恰好有两个公共点,推出抛物线G2的顶点M(﹣m,m2﹣1)在线段AE上,利用待定系数法即可解决问题;(4)分两种情形讨论求解即可;【解答】解:(1)由题意E(0,1),A(﹣1,1),B(1,1)把B(1,1)代入y=﹣x2+mx+1中,得到1=﹣+m+1,∴m=.(2)∵抛物线G1的对称轴x=﹣=m,∴AE=ED=2m,∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O,∴AD=BC=4m,AB=CD=2,∴L=8m+4.(3)∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点,∴抛物线G2的顶点M(﹣m,m2﹣1)在线段AE上,∴m2﹣1=1,∴m=2或﹣2(舍弃),∴L=8×2+4=20.(4)①当最高点是抛物线G1的顶点N(m,m2+1)时,若m2+1=,解得m=1或﹣1(舍弃),若m2+1=9时,m=4或﹣4(舍弃),又∵m≤2,观察图象可知满足条件的m的值为1≤m≤2,②当(2,2m﹣1)是最高点时,,解得2≤m≤5,综上所述,1≤m≤5,∴12≤L≤44.【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、待定系数法、不等式组等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用数形结合的思想解决问题,属于中考压轴题.。
2022-2023学年吉林省长春市农安县实验中学高二化学下学期摸底试题含解析一、单选题(本大题共15个小题,每小题4分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,共60分。
)1. 某无色透明溶液,能与铝反应放出H2,此溶液中可以大量共存的离子组是()A.Ba2+、NO3﹣、Cl﹣、OH﹣B.K+、SO42﹣、HCO3﹣、Na+C.H+、Mg2+、NO3﹣、Ba2+ D.Cu2+、SO42﹣、Cl﹣、Na+参考答案:A【考点】离子共存问题.【分析】溶液无色,则有颜色的离子不能大量共存,能与铝反应放出H2,可能为非氧化性强酸溶液或强碱溶液,离子能大量共存,则离子之间不发生任何反应,且与H+或OH﹣都不反应,以此解答该题.【解答】解:A.溶液无色,离子之间不发生任何反应,可大量共存,故A正确;B.碱性条件下HCO3﹣不能大量共存,故B错误;C.酸性条件下,因NO3﹣与铝反应生成NO气体,不能大量共存,故C错误;D.Cu2+有颜色,溶液呈蓝色,不符合题目要求,故D错误.故选A.2. 已知酸性:>H2CO3>,综合考虑反应物的转化率和原料成本等因素,将转变为的最佳方法是A. 与稀H2SO4共热后,加入足量NaOH溶液B. 与稀H2SO4共热后,加入足量NaHCO3溶液C. 与足量的NaOH溶液共热后,再通入足量CO2D. 与足量的NaOH溶液共热后,再加入适量H2SO4参考答案:C略3. 已知25℃时有关弱酸的电离平衡常数:则下列有关说法正确的是()A.等物质的量浓度的各溶液pH关系为:B.溶液与溶液等体积混合后所得溶液中,则一定大于C.冰醋酸中逐滴加水,则溶液的导电能力、醋酸的电离程度均先增大后减小D.和混合溶液中,一定有参考答案:D略4. 现代无机化学对硫-氮化合物的研究是最为活跃的领域之一。
其中下图是已经合成的最著名的硫-氮化合物的分子结构。
下列说法正确的是A.该物质的分子式为SNB.该物质具有很高的熔、沸点C.该物质的分子中既有极性键又有非极性键D.该物质与化合物S2N2互为同素异形体参考答案:C5. 反应2X(g)+Y(g)2Z(g),在不同温度(T1和T2)及压强(P1和P2)下,产物Z的物质的量(n z)与反应时间(t)的关系如图所示。
数学试卷一、选择题(共18分)1. 立方根是( )A. ±B.C.D. 答案:D解析:详解:因为,所以的立方根是,故选:D.2. 实数,,,中,无理数是( )A. B. C. D. 答案:C解析:详解:解:在实数,,,中,,,,是有理数,是无理数,故选C3. 下列计算正确的是( )A. B. C. D. 答案:D解析:详解:解:A、与不是同类项,不能合并,该选项不符合题意;B、,该选项不符合题意;C、,该选项不符合题意;D、,该选项符合题意;故选:D.4. 下列由左边到右边的变形,属于因式分解的是( )A. B.C. D.答案:B解析:详解:解:A、,从等式的左边到右边的变形属于整式乘法,不属于因式分解,故本选项不符合题意;B、,由左边到右边的变形属于因式分解,故本选项符合题意;C、,把一个多项式化成几个整式的积的形式,不属于因式分解,故本选项不符合题意;D、,故本选项不符合题意.故选:B.5. 根据下列条件,能画出唯一△ABC的是()A. AB=3,∠A=60°,∠B=40°B. AB=3,BC=4,∠A=40°C. AB=3,BC=4,AC=8D. AB=3,∠C=90°答案:A解析:详解:A、两角夹边三角形唯一确定.本选项符合题意,B、边边角三角形不能唯一确定.本选项不符合题意,C、不满足三边关系,本选项不符合题意,D、一边一角无法确定三角形.本选项不符合题意,故选:A.6. 若,,则的值为()A. 2B. 1C.D.答案:B解析:详解:解:∵,∴①,∵,∴②,①②得,解得.故选B.7. 用如图所示几何图形的面积可以解释的代数恒等式是( )A. B.C. D.答案:C解析:详解:解:整体是长为,宽为的长方形,因此面积为,这个长方形是由个部分组成的,这个部分的面积和为,所以有,故选:C.8. 如图,已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项正确的是( )A. B. C. D.解析:详解:解:∵PB+PC=BC,PA+PC=BC,∴PA=PB,根据线段垂直平分线定理的逆定理可得,点P在线段AB的垂直平分线上,故可判断B选项正确.故选B.二、填空题(共18分)9. 的算术平方根是________.答案:2解析:详解:解:∵,4的算术平方根是2,∴的算术平方根是2.故答案为:2.10. 命题“如果,那么”是________命题(填“真”或“假”).答案:假解析:详解:解:假设,则满足,但,因此,这个命题是假命题.故答案:假.11. 如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是_____.答案:3详解:解:过D作DF⊥AC于F,∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7,解得AC=3.故答案为:3.12. 已知,,则__________.答案:解析:详解:当,,时,.故答案为:.13. 如图,△ABD≌△ACE,∠AEC=110°,则∠DAE的度数为____.答案:40°详解:解:∵∠AEC=110°,∴∠AED=180°-∠AEC=180°-110°=70°,∵△ABD≌△ACE,∴AD=AE,∴∠AED=∠ADE,∴∠DAE=180°-2×70°=180°-140°=40°.故答案为40°.14. 已知是一个完全平方式,则m的值等于_______.答案:9或-7##-7或9解析:详解:解:根据题意得,,或,故答案为:9或-7三、解答题(共78分)15. 计算:(1);(2);(3);(4)答案:(1)(2)(3)(4)0小问1详解:;小问2详解:;小问3详解:;小问4详解:;16. 把下列多项式分解因式:(1);(2).答案:(1)(2)解析:小问1详解:解:;小问2详解:17. 简便运算:(1);(2).答案:(1)(2)10000解析:小问1详解:;小问2详解:.18. 如图①、图②均为的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,边长均为.在图①、图②中按下列要求各画一个三角形.(1)与全等,以点为一个顶点,另外两个顶点也在格点上.(2)与全等,且不与重合.答案:(1)见解析(2)见解析解析:小问1详解:解:如图中,即为所求,小问2详解:解:如图②所示,即为所求;19. 先化简,再求值:,其中.答案:,29解析:详解:解:,当时,原式.20. 如图,在中,点在上,点为的中点,连结并延长至点,使,连结.(1)求证:.(2)若平分,求证:.答案:(1)证明见解析(2)证明见解析解析:小问1详解:证明:∵点E为的中点,∴,∵∴;小问2详解:证明:由(1)得:,∴,∵平分,∴∴∴;21. 某学校教学楼前有一块长为米,宽为米的长方形空地要铺地砖,如图所示,空白的甲、乙两正方形区域是草坪,不需要铺地砖.两正方形区域的边长均为米.(1)求铺设地砖的面积是多少平方米;(2)当,时,需要铺地砖的面积是多少?答案:(1)铺设地砖面积是22a2+16ab+2b2平方米;(2)202平方米.解析:详解:解:(1)根据题意得:铺设地砖的面积为:(6a+2b)(4a+2b)-2(a+b)2=24a2+20ab+4b2-2a2-4ab-2b2=22a2+16ab+2b2(平方米);(2)当a=2,b=3时,原式=88+96+18=202(平方米).22. 已知,.(1)求的值.(2)求的值.(3)求的值.答案:(1)18 (2)20(3)1解析:小问1详解:解:原式,当,时,原式小问2详解:解:原式当,时,原式小问3详解:解:∵,∴,∴.∵,∴.∴.23. 教材呈现:如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2.线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴.如图13.5.1,直线是线段的垂直平分线,是上任一点,连结、.将线段沿直线对折,我们发现与完全重合.由此即有:线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.已知:如图13.5.1,,垂足为点,,点是直线上的任意一点.求证:.分析图中有两个直角三角形和,只要证明这两个三角形全等,便可证得.请根据所给教材内容,结合图①,写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程.定理应用:(1)如图②,在中,、的垂直平分线分别交于点、,垂足分别为,,已知的周长为20,则的长为__________.(2)如图③,在中,,,、分别是、上任意一点,若,,,则的最小值是__________.答案:教材呈现:见解析;定理应用:(1)20;(2)解析:详解:教材呈现:证明:∵,∴,∵∴,∴;定理应用:解:(1)∵的垂直平分线分别交于点,∴,∵△ADE的周长为20,∴,∴,即,故答案为:20;(2)过点C作,垂足为点E,交于点P,∵,∴,∴是的垂直平分线,∴,∴,此时的值最小,∵,∴的面积,∴,∴,故答案为:.24. 直角三角形中,,直线过点.(1)当时,如图,分别过点,作于点,于点.求证:.(2)当,时,如图,点与点关于直线对称,连接,,动点从点出发,以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动,同时动点从点出发,以每秒3个单位的速度沿向终点运动,点,到达相应的终点时停止运动,过点作于点,过点作于点,设运动时间为秒.①______,当在路径上时,______.(用含的代数式表示)②直接写出当与全等时的值.答案:(1)见解析(2)①,②或5或.解析:小问1详解:证明:∵直线,∴,∵,∴,∴,在和中,,∴;小问2详解:解:①由题意,得:,∴,∵点与点关于直线对称,∴,∴,故答案为:,;②当与全等时,和是对应边,∴,当点在时,,即:,解得,不符合题意;当点在时,此时:,则:,解得:;当点在时,此时:,则:,解得:;当点在时,此时:,则:,解得:;综上:当与全等时,或5或.。
绝密★启用前长春市实验中学2022-2023学年高三下学期模拟考试(五)数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.2.请认真阅读答题卡上的注意事项,在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题,写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.4.考试结束后,答题卡要交回,试卷由考生自行保存.第I 卷一、选择题:本题包括1至8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.设集合{}{lg 1},2A xx B x x =<=≤∣∣,则A B ⋃=( ) A.{02}x x <≤∣ B.{}2x x ≤∣ C.{10}x x <∣ D.R 2.i 为虚数单位,复数2i 12iz +=-,复数z 的共轭复数为z ,则z 的虚部为( ) A.1- B.2- C.2i - D.i -3.已知{}n a 是无穷等差数列,其前项和为n S ,则“{}n a 为递增数列”是“存在*n ∈N 使得0n S >”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.在ABC 中,E 为AC 上一点,2AC AE =,P 为线段BE 上任一点,若AP xAB yAC =+,则21x y+的最小值是( )A.3+B.4+C.6D.85.声音中包含着正弦函数,声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每一个音都是由纯音合成的,纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素:音调,响度,音长和音色.这都与正弦函数的参数有关.我们一般听到的声音的函数是()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =++++,对于函数()f x ,下列说法正确的是( ) A.π是()f x 的一个周期 B.()f x 关于2x π=对称C.0是()f x 的一个极值点D.()f x 关于(),0π中心对称6.将甲、乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传,要求每名志愿者去一个社区,每个社区至少去一名志愿者,则甲、乙二人去不同社区的概率为( ) A.310 B.35 C.910 D.147.在菱形ABCD 中,2AB =,60A ∠=︒,将B C D △绕对角线BD 所在直线旋转至BPD ,使得AP P ABD -的外接球的表面积为( )A.8π3B.20π3C.27D.25π3 8.已知函数()()221sin 1x x f x x ++=+,其导函数记为()f x ',则()()()()389389389389f f f f ''++---=( ) A.2 B.2- C.3 D.3-二、多选题:本题包括9至12小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,至少有两项符合题目要求.9.某商店2022年1月至12月每月的收入、支出情况的统计如图所示,则下列说法中正确的有( )A.第二季度月平均利润为30万元B.收入的中位数和众数都是50C.下半年支出比上半年支出稳定D.利润最高的月份是2月份和11月份10.如图,一个平面α斜截一个足够高的圆柱,与圆柱侧面相交的图形为椭圆E .若圆柱底面圆半径为r ,平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ,则下列对椭圆E 的描述中,正确的是( )A.短轴为2r ,且与θ大小无关B.离心率为cos θ,且与r 大小无关C.焦距为2tan r θD.面积为2cos r πθ11.如图所示,设单位圆与x 轴的正半轴相交于点()1,0A ,以x 轴非负半轴为始边作锐角α,β,αβ-,它们的终边分别与单位圆相交于点1P ,1A ,P ,则下列说法正确的是( )A.11A P AP =B.扇形11OA P 的面积为αβ-C.12sin2A P αβ=- D.当π3α=时,四边形11OAA P 的面积为1πsin 23β⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线与抛物线交于()()1122,,,P x y Q x y 两点,点P 在l 上的射影为1P ,则下列说法正确的是( )A.若125x x +=,则7PQ =B.以PQ 为直径的圆与准线l 相交C.设()0,1M ,则1PM PP +≥D.过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题13.53(2)()x x y +-的展开式中,42x y 的系数是__________.14.若曲线()()sin 1f x x a x =++在点0x =处的切线方程是20x y b -+=,则a b +=______.15.如图,单位向量OA ,OB 的夹角为π2,点C 在以O 为圆心,1为半径的弧AB 上运动,则CA CB ⋅的最小值为______.16.过曲线221x y -=与曲线23x y =+的交点的圆的方程为__________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.已知数列{}n a 的前n 项和n S ,且满足:22n n S a =-,*N n ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若2log n n b a =,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18.已知ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且c o s 2c o s c o s a C b A c A =-. (1)求A ;(2)若a =b c -的取值范围.19.新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒.对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情,习近平总书记亲自指挥、亲自部署,强调把人民生命安全和身体健康放在第一位.明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战.当前,新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.为普及传染病防治知识,增强学生的疾病防范意识,提高自身保护能力,市团委在全市学生范围内,组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分),竞赛奖励规则如下:得分在[)70,80内的学生获三等奖,得分在[)80,90内的学生获二等奖,得分在[]90,100内的学生获一等奖,其它学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况,随机抽取了100名学生的竞赛成绩,获得了如下频数分布表.(2)若该市所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布()264,15N ,若从所有参赛学生中(参赛学生人数特别多)随机抽取3名学生进行座谈,设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为Y ,求随机变量Y 的分布列和数学期望.20.如图,在三棱锥-P ABC 中,AB 是ABC 外接圆的直径,PC 垂直于圆所在的平面,D 、E 分别是棱PB 、PC 的中点.(1)求证:DE ⊥平面PAC ;(2)若二面角A DE C --为π3,4AB PC ==,求AE 与平面ACD 所成角的正弦值. 21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4,A ,B 是其左、右顶点,M 是椭圆上异于A ,B 的动点,且34MA MB k k ⋅=-. (1)求椭圆C 的方程;(2)若P 为直线4x =上一点,P A ,PB 分别与椭圆交于C ,D 两点.①证明:直线CD 过椭圆右焦点2F ;②椭圆的左焦点为1F ,求1CF D 的内切圆的最大面积.22.已知函数()()()212e 2x f x x ax ax a =--+∈R . (1)当0a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;(2)若0a >,讨论函数()f x 的单调性;(3)当2x ≥时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围.。
吉林省长春市2020年中考数学试卷一、单选题(共8题;共16分)1.如图,数轴上被墨水遮盖的数可能为()A. =1B. -1.5C. -3D. -4.2【答案】C【考点】数轴及有理数在数轴上的表示【解析】【解答】解:根据题意可知,墨水遮盖区域的数在-4和-2之间∴数字可能为-3.故答案为:C.【分析】根据数轴上有理数的大小和顺序进行判断即可。
2.为了增加青少年的校外教育活动场所,长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫,预计2020年12月正式投入使用.79000这个数用科学记数法表示为()A. 79×103B. 7.9×104C. 0.79×105D. 4ab【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解:79000用科学记数法表示为7.9×104故答案为:B.【分析】根据科学记数法的含义,表示得到数字即可。
3.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A. B.C. D.【答案】A【考点】几何体的展开图【解析】【解答】解:由分析知:四棱柱的侧面展开图是四个矩形组成的图形.故选:A.【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形图进行解答即可.4.不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.【答案】 D【考点】解一元一次不等式,在数轴上表示不等式的解集【解析】【解答】解:∵x+2≥3∴x≥1∴在数轴上表示正确的为D.故答案为:D.【分析】根据题意,解出不等式的解集,在数轴上进行表示即可。
5.比萨斜塔是意大利的著名建筑,其示意图如图所示.设塔顶中心点为点B,塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A,过点B向垂直中心线AC引垂线,垂足为点D.通过测量可得AB、BD、AD的长度,利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值,进而可求∠A的大小.下列关系式正确的是()A. sinA=BDAB B. cosA=ABADC. tanA=ADBDD. sinA=ADAB【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解:根据题意可知,在直角三角形ABD中,求∠A可由以下方法求得①sinA=BDAB②cosA=ADAB③tanA=BDAD故答案为:A.【分析】根据题意,结合锐角三角函数的定义,表示得到∠A的式子,进行判断即可得到答案。
吉林省长春市德惠市实验中学2022-2023学年高二上学期第三次月考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知数列{}n a 为等差数列,288a a +=,则159a a a ++=()A .8B .12C .15D .242.已知等差数列{}n a 中,515,a a 是函数232()=--x x x f 的两个零点,则381217a a a a +++=()A .2B .3C .4D .63.椭圆()222124x y a a +=>的左、右焦点分别为12,F F ,点P 是椭圆上的一点,若1260F PF ∠=︒,那么12PF F △的面积为A .3B .2C .4D .34.已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点,P 为C 上一点,且121260,3F PF PF PF ∠=︒=,则C 的离心率为()AB .2C D 5.已知直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆22(2)2x y -+=上,则ABP 面积的取值范围是()A .[2,4]B .[2,6]C .D .6.已知双曲线1C 过点)4,且与双曲线2C :22152x y -=有相同的渐近线,则双曲线1C 的焦距为()A .7B .14C D .7.如图,已知椭圆C 的中心为原点O ,(F -为椭圆C 的左焦点,P 为椭圆C 上一点,满足||||OP OF =,且||4PF =,则椭圆C 的方程为()A .221255x y +=B .2214525x y +=C .2213010x y +=D .2213616x y +=8.已知椭圆2222:1(6)6y x C b b +=<上存在两点,M N 关于直线2310x y --=对称,且线段MN 中点的纵坐标为23-,则2b 的值是()A .2B .3C .4D .5二、多选题9.下列说法错误有()A .“1a =-”是“210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件B .过()11,x y ,()22,x y 两点的所有直线的方程为112121y y x xy y x x--=--C .直线cos 10x y α++=的倾斜角θ的取值范围是30,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭D .经过点()1,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=10.数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知271n S n n =-++,则()A .{}n a 是递增数列B .{}n a 是等差数列C .当4n >时,0n a <D .当3n =或4时,n S 取得最大值11.已知曲线22:1C mx ny +=.()A .若m >n >0,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上B .若m =n >0,则CC .若mn <0,则C 是双曲线,其渐近线方程为y =D .若m =0,n >0,则C 是两条直线12.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 是1DD 的中点,则()A .11B C BD ⊥B .点E 到直线1B C的距离为C .直线1B E 与平面11B C C 所成的角的正弦值为23D .点1C 到平面1B CE 的距离为23三、填空题13.数列{}n a 满足11a =,*121(N ,2)21n n a n n n a n -+=≥∈-,则n a =______.14.圆1C :2223x y x ++=与圆2C :2241x y y +-=的公共弦长为______.15.抛物线()220x py p =>的焦点为F ,其准线与22133y x -=相交于A ,B 两点,若ABF △为等边三角形,则p =___________.16.椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ,点P ,Q 均在C 上,且关于y 轴对称.若直线AP ,AQ 的斜率之积为14,则C 的离心率为___________.四、解答题17.如图,已知底面为正三角形的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1=AB ,D 为AB 的中点,E 为CC 1的中点.(1)证明:平面CDC 1⊥平面C 1AB ;(2)求二面角A -BC 1-E 的余弦值.18.双曲线C :22221x y a b-=过点)(1)求双曲线方程;(2)若双曲线C 与直线l :1y kx =+相交于两个不同的点A ,B ,M (1,3)为AB 中点,求直线l 方程.19.已知圆M :222830x y x y ++--=与圆C 的公共弦所在的直线是l :10x y --=,且圆C 的圆心在x 轴上.(1)求圆C 的方程;(2)若直线m 与圆C 相切,且在两条坐标轴上的截距相等,求直线m 的方程.20.已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ,而焦点是双曲线2241x y -=的右顶点.(1)求抛物线C 的方程;(2)若直线:2l y x =-与抛物线相交于A 、B 两点,则直线OA 与OB 的斜率之积是否为定值,若是,求出定值;若不是,说明理由.21.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点到右焦点的距离是3,离心率为12.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)的直线l 经过椭圆E 的右焦点,且与椭圆E 相交于A ,B 两点.已知点()3,0P -,求PA PB ⋅的值.22.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =l 过点()0,M b -和(,0)N a ,且坐标原点O 到直线l (1)求||MN 的长;(2)过点(3,0)E 的直线m 与椭圆C 交于A 、B 两点,当AOB 面积大时,求22||||OA OB +的值.参考答案:1.B【分析】根据等差数列的性质得到54a =,计算得到答案.【详解】28528a a a +==,故54a =,1595312a a a a ++==.故选:B 2.D【分析】由根与系数关系有5153a a +=,再根据等差数列下标和性质即可求值.【详解】由题意知5153a a +=,又{}n a 是等差数列,所以3812175152()6a a a a a a +++=+=.故选:D 3.D【详解】如图,设12,,PF m PF n ==有1222222(2)[(2)2](2)116cos 60,,22231sin 60.23PF F m n c a mn c mn mn mn S mn ∆+---======本题选择D 选项.点睛:椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|+|PF 2|=2a ,得到a ,c 的关系.4.A【分析】根据双曲线的定义及条件,表示出12,PF PF ,结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =,由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==,所以2PF a =,13PF a =;因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒,整理可得2247c a =,所以22274a c e ==,即2e =.故选:A【点睛】关键点睛:双曲线的定义是入手点,利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.5.B【分析】先求出圆的圆心和半径,再求出圆心到直线的距离,从而可求出点P 到直线的距离的最大值和最小值,进而可求出ABP 面积的取值范围.【详解】解:由题意,(2,0)A -,(0,2)B -,则||AB =圆22(2)2x y -+=的圆心坐标为(2,0)圆心(2,0)到直线20x y ++=的距离d ==∴圆22(2)2x y -+=上的点P 到直线20x y ++=,最大距离为ABP ∴ 面积的最小值为122⨯=,最大值为1 6.2⨯=ABP ∴ 面积的取值范围是[2,6].故选:B 6.B【分析】首先设出与2C 共渐近线的双曲线方程,再代入点),求出λ,从而求出1C 的方程,进而求解.【详解】设双曲线1C :()220152x y λλλ-=≠≠且,将)4代入可得516752λ-=-=.故双曲线1C :2211435y x -=,则7c =,则焦距214c =.故选:B 7.D【分析】设椭圆的右焦点为F ',连接PF ',由||||OP OF OF =='可得PF PF '⊥,可求得8PF '=,由椭圆的定义可求得6a =,利用,,a b c 之间的关系可求得2b ,即可得到答案【详解】如图,设椭圆的右焦点为F ',则F ',连接PF ',因为||||OP OF OF ==',所以PF PF '⊥,所以8PF '===,由椭圆的定义可得2||12a PF PF =+=',则6a =,又因为||c OF ==22222616b a c =-=-=,所以椭圆C 的方程为2213616x y +=,故选:D 8.B【分析】点,M N 关于直线2310x y --=对称,则线段MN 中点在直线2310x y --=上,求出中点坐标,MN 与直线2310x y --=垂直,根据中点关系和斜率关系即可求解.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ,点,M N 关于直线2310x y --=对称,121232y y x x -=--且线段MN 中点在直线2310x y --=上,纵坐标为23-,所以横坐标为12-,121241,3x x y y +=-+=-,()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上:22112222221616y x b y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,2(6)b <,两式相减得:22221212206y y x x b --+=()()()()1212121226y y y y x x x x b +++-=-()()()()12122121206y y x x x x b y y -++=+-2110443b --+=⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅解得:23b =.故选:B【点睛】此题考查中点弦相关问题,根据点与直线的位置关系,结合点差法求解,若能熟记中点弦公式相关结论,可以大大提升解题速率.9.ABD【分析】A.由两直线互相垂直求解判断;,B.根据直线的两点式方程判断;C.利用直线的倾斜角和斜率求解判断;D 分直线经过原点和不经过原点时求解判断.【详解】A.当210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直时,20a a -=,解得0a =或1a =,故错误;B.过()11,x y ,()22,x y (且1212,x x y y ≠≠)两点的所有直线的方程为112121y y x xy y x x --=--,故错误;C.直线cos 10x y α++=的倾斜角θ,则[]tan sin 1,1θα=-∈-,所以倾斜角θ的取值范围是30,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭,故正确;D.经过点()1,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为:当直线经过原点时为0x y -=,当直线不经过原点时,设方程为0x y a +-=,将点()1,2代入得2a =,则直线方程为30x y +-=,故错误;故选:ABD 10.CD【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a 可判断ABC ,对271n S n n =-++配方后,利用二次函数的性质可判断D.【详解】当1n =时,1211717a S ==-++=,当2n ≥时,22171[(1)7(1)1]28n n n a S S n n n n n -=-=-++---+-+=-+,17a =不满足上式,所以7,128,2n n a n n =⎧=⎨-+≥⎩,对于A ,由于17a =,24a =,所以{}n a 不是递增数列,所以A 错误,对于B ,由于17a =,24a =,32a =,所以3221a a a a -≠-,所以{}n a 不是等差数列,所以B 错误,对于C ,由280n -+<,得4n >,所以当4n >时,0n a <,所以C 正确,对于D ,227537124n S n n n ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭,因为*N n ∈,所以当3n =或4时,n S 取得最大值,所以D 正确,故选:CD.11.ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解,0m n >>时表示椭圆,0m n =>时表示圆,0mn <时表示双曲线,0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ,若0m n >>,则221mx ny +=可化为22111x y m n+=,因为0m n >>,所以11m n<,即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆,故A 正确;对于B ,若0m n =>,则221mx ny +=可化为221x y n+=,此时曲线C B 不正确;对于C ,若0mn <,则221mx ny +=可化为22111x y m n+=,此时曲线C 表示双曲线,由220mx ny +=可得y =,故C 正确;对于D ,若0,0m n =>,则221mx ny +=可化为21y n=,y n=,此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线,故D 正确;故选:ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征,熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.12.AC【分析】以点A 为原点,建立空间直角坐标系,利用向量法逐一判断分析各个选项即可.【详解】如图以点A 为原点,建立空间直角坐标系,则()()()()()()1112,0,0,2,2,0,0,2,1,2,0,2,0,2,2,2,2,2B C E B D C ,()()110,2,2,2,2,2B C BD =-=-,则110440B C BD ⋅=+-=,所以11B C BD ⊥,故A 正确;()12,2,1B E =--,则111111cos ,2B E B C B E B C B E B C ⋅==,所以1sin 2CB E ∠=,所以点E 到直线1B C的距离为11sin 2B E CB E ∠= ,故B 错误;因为11C D ⊥平面11B C C ,所以()112,0,0D C =即为平面11B C C 的一条法向量,则直线1B E 与平面11B C C 所成的角的正弦值为11111111142cos ,233D C BE D C B E D C B E ⋅===⨯ ,故C 正确;()10,0,2CC =设平面1B CE 的法向量为(),,n x y z =,则有11220220n B C y z n B E x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ,可取()1,2,2n = ,则点1C 到平面1B CE 的距离为143CC n n⋅=,故D 错误.故选:AC.13.213n +【分析】利用累乘法求得正确答案.【详解】321121n n n a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅ ()5721211235213n n n n ++=⋅⋅⋅⋅=≥- ,11a =也符合上式,所以213n n a +=.故答案为:213n +14.5【分析】先求得公共弦的方程,再根据点线距公式和垂径定理求解即可.【详解】解:圆1C 与圆2C 的方程相减可得公共弦长所在直线的方程,即210x y +-=,因为2223x y x ++=变形为()2214x y ++=,即圆1C 的圆心为()1,0-,半径1r 为2,所以,圆心1C 到x +2y -1=0的距离d ==所以,两圆的公共弦长为=.故答案为:5.15.6【分析】求出抛物线的焦点和准线方程,求出AB 的长,根据ABF △为等边三角形,得到关于p 的方程,即可求得答案.【详解】抛物线()220x py p =>的焦点为(0,2p F ,其准线为2p y =-,将2py =-与22133y x -=联立,得221312x p -=,解得x =则||AB =,由于ABF △为等边三角形,故||2AB p =,p =,解得6p =,故答案为:616.2【分析】设00(,)P x y ,则00(,)Q x y -,根据斜率公式结合题意可得:14AP AQ k k ⋅=,再结合2200221x y a b +=,整理可得离心率.【详解】已知(,0)A a -,设00(,)P x y ,则00(,)Q x y -,00AP y k x a ∴=+,00,AQ y k a x =-,故20002200014AP AQy y y k k x a a x a x =⋅=+--①,∵2200221x y a b+=,即2222002()b a x y a -=②,②代入①整理得:2214b a =,c e a ==.故答案为:2.17.(1)证明见解析7【分析】(1)要证平面CDC 1⊥平面C 1AB ,可证AB ⊥平面CDC 1,即证1AB CDAB CC ⊥⎧⎨⊥⎩,进而得证;(2)可采用定义法,取BC 的中点O ,连接AO ,则AO ⊥BC ,作OH ⊥BC 1于点H ,连接AH ,易证∠AHO 为二面角A -BC 1-E 的平面角,由几何关系可求解;也可取BC 的中点O ,连接AO ,以O 为原点,OA 所在直线为x 轴、OB 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系O -xyz ,求出平面1ABC 和平面1BC E 的法向量,由向量夹角的余弦公式即可求解.【详解】(1)(1)∵△ABC 为等边三角形,D 是AB 的中点,∴AB ⊥CD .∵CC 1⊥平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,∴CC 1⊥AB .∵CC 1⊂平面CDC 1,CD ⊂平面CDC 1,CC 1∩CD =C ,∴AB ⊥平面CDC 1.∵AB ⊂平面C 1AB ,∴平面CDC 1⊥平面C 1AB ;(2)解法一:取BC 的中点O ,连接AO ,则AO ⊥BC ,作OH ⊥BC 1于点H ,连接AH .∵平面ABC ⊥平面BCC 1B 1,平面ABC ∩平面BCC 1B 1=BC ,AO BC ⊥,∴AO ⊥平面BCC 1B 1,又1BC ⊂ 平面11BCC B ,1AO BC ∴⊥,AO OH O ⋂=,AO ⊂平面AOH ,HO ⊂平面AOH ,所以1BC ⊥平面AOH ,又AH ⊂Q 平面AOH ,∴AH ⊥BC 1,AO ⊥OH ,∴∠AHO 为二面角A -BC 1-E 的平面角.设AB =2a ,那么AO,BO =a .∵AA 1=AB ,∴∠C 1BC =45°,∴OH=2BO=2a .在Rt △AOH 中,tan ∠AHO=AOOH=∴cos ∠AHO=7,故二面角A -BC 1-E;解法二:取BC 的中点O ,连接AO ,则AO ⊥B C.又平面ABC ⊥平面BCC 1B 1,平面ABC ∩平面BCC 1B 1=BC ,∴AO ⊥平面BCC 1B 1.以O 为原点,OA 所在直线为x 轴、OB 所在直线为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz,易知平面BC 1E 的一个法向量为()1,0,0m =.设AB =2a,则)(),0,0,0,,0A B a .∵AA 1=AB ,∴C 1()0,,2a a -.∴)()1,,0,0,2,2BA a BC a a =-=-.设平面ABC 1的法向量为(),,n x y z =.则100n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即0220ay ay az -=-=⎪⎩,取yx =1,z∴(n = 为平面ABC 1的一个法向量,∴cos ,m n易知二面角A -BC 1-E 为锐二面角,∴二面角A -BC 1-E.18.(1)2212y x -=;(2)不存在满足题意的直线l .【分析】(1)根据题意,利用点到直线的距离公式求得b =,根据双曲线过点2)列出方程,解之求得21a =,即可求解;(2)设点A 、B 的坐标,利用两点求出直线斜率,根据点差法求出直线的斜率,验证点(1,3)M 不在直线上即可求解.【详解】(1)由题意知,右焦点(c,0)F ,渐近线by x a=,即0bx ay -=,=b =,又双曲线过点2),则22341a b-=,解得21a =,所以双曲线的方程为2212y x -=;(2)由题意知,直线l 与双曲线C 相交于点A 、B ,且(1,3)M 为AB 的中点,设()()1122,,A x y B x y ,,则121226x x y y +=⎧⎨+=⎩,1212y y k x x -=-,由221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减,得121212122()()()()x x x x y y y y +-=+-,即121212122y y x x x x y y -+=⨯-+,得12233k =⨯=,此时直线l 的方程为213y x =+,但点(1,3)M 不在直线上,所以不存在这样的直线l .19.(1)22650+-+=x y x(2)30x y +-±=或5y x =±【分析】(1)设圆C 的一般式方程,两圆方程相减,即可得出圆C 的方程;(2)设出直线方程,由圆心到直线的距离等于半径得出直线m 的方程.【详解】(1)由已知可设圆C 的方程为:220x y Dx F +++=,…①圆M :222830x y x y ++--=…②①-②可得:(2)830D x y F -+++=,即为l 的方程,所以有283111D F -+==--,6D ⇒=-,5F ⇒=,所以圆C 的方程为22650+-+=x y x .(2)因为圆心C 的坐标为(3,0),半径为2,由已知当直线m 不过原点时可设m 的方程为0x y a ++=,因为直线m 与圆C23a =⇒=-±,所以直线m的方程为30x y +-±=.又因为过原点的直线若与圆相切,截距相等且为0,所以又可设直线m 的方程为=y kx2k =⇒=,所以直线m的方程为y =.综上直线m的方程为30x y +-±=或5y x =±20.(1)22y x =(2)是定值,1-【分析】(1)将双曲线的方程化为标准形式,求得右顶点坐标,根据抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合得到抛物线的方程;(2)联立直线与抛物线方程,结合韦达定理求得弦长及两点连线的斜率公式即可求解.【详解】(1)双曲线2241x y -=化为标准形式:22114x y -=,211,42a a ==,右顶点A 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,设抛物线的方程为22y px =,焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点,所以1p =,所以抛物线C 的方程22y x =;(2)联立222y xy x ⎧=⎨=-⎩,整理得2240y y --=,设()()1122,,,A x y B x y ,则12124,2,y y y y =-+=,()()()121212121121224122242442OA OB y y y y y y k k x x y y y y y y -∴⋅===+++++++==--⨯,综上,抛物线C 的方程22y x =,OA ,OB 斜率的乘积为-1.21.(1)22143x y +=;(2)12511.【分析】(1)根据题意得到关于,,a b c 的方程,解之即可求出结果;(2)联立直线l 的方程与椭圆方程,结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果.【详解】(1)因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3,所以3a c +=.又椭圆的离心率是12,所以12c a =,解得2a =,1c =,从而2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程22143x y +=.(2)因为直线l,且过右焦点()1,0,所以直线l的方程为)1y x =-.联立直线l的方程与椭圆方程221)143y x x y ⎧-⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得2111640x x --=,其中21616110∆=+⨯>.设()11,A x y ,()22,B x y ,则121611x x +=,12411x x -=.因为()3,0P -,所以()()()()112212123,3,33PA PB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++()()()()121233211x x x x =+++--()1212311x x x x =+++12511=.因此PA PB ⋅ 的值是12511.22.(1)(2)20【分析】(1)首先表示出直线l 的方程,利用点到线的距离公式及离心率公式得到方程组,解出2a 、2b ,即可得到椭圆方程,再根据两点的距离公式计算可得;(2)设直线:3m x ty =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立直线与椭圆方程,消元列出韦达定理,则1212AOB S OE y y =-= 从而得到212t =,最后根据()()22221122223||3||OA O ty y ty y B =++++++计算可得;【详解】解:(1)因为直线l 过点()0,M b -和(,0)N a ,所以直线l 的方程为0bx ay ab --=,所以坐标原点O 到直线l的距离d =又离心率c e a ==222c a b =-,解得22164a b ⎧=⎨=⎩,即42a b =⎧⎨=⎩,所以椭圆方程为221164x y +=,MN ==(2)设直线:3m x ty =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立2231164x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()224670t y ty ++-=,所以12264ty y t +=-+,12274y y t =-+,所以1212AOBS OE y y =-====124=≤=当且仅当2281716744t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+即212t =时取等号,即()max 4AOB S = ,所以()()222222221122112222|||3|3OA O y B x y x y ty y t y =++++++=+++()()()22212121618t y y t y y =+++++()2222267612618444t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--⨯-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()2222222211363636143611422118118201144214444222t t t t t t ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⨯⨯⎛⎫⎢⎥⎢⎥=++-+=++-+= ⎪⎢⎥⎢⎥++⎝⎭⎛⎫+++⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦。
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷(选择题:共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-,则||z =( ) A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则,求得复数zi ,即可得到复数的模,得到★答案★. 【详解】由题意,复数11i i z +=-,解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+,所以1z =,故选D . 【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的模的求解,其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.2. 已知平面α内一条直线l 及平面β,则“l β⊥”是“αβ⊥”的( )A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:由面面垂直的定义知,当“l ⊥β”时,“α⊥β”成立,当αβ⊥时,l β⊥不一定成立,即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件,故选:B .【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断,涉及线面垂直和面面垂直的判定,属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B ′O ′=C ′O ′=1,A′O′=32,那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO=3,再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO=3,∴S△ABC=12×BC×OA=12×2×3=3,故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算,意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于()A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体,是如图所示的四棱锥,它的底面是直角梯形,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,棱锥的一条侧棱垂直底面高为2,所以这个几何体的体积:12422432V+=⨯⨯⨯=,故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力,属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中,正确的是()A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面,来判断A是否正确;根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定,来判断B是否正确;根据垂直于同一平面的两直线平行,来判断C是否正确;根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面,来判断D是否正确.【详解】解:对A,当三点在一条直线上时,平面不唯一,∴A错误;对B,分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定,∴B错误;对C,根据垂直于同一平面的两直线平行,∴C正确;对D,垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交,∴D错误.故选C.【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质,考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数,10b xdx =⎰,1201c x dx =-⎰则a ,b ,c 的大小关系是( ) A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ,再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ,c ,从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+, 1a i i +-是纯虚数, 102a -∴=,1a , 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰, 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心, 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积, 21144c ππ∴=⨯⨯=,所以b c a <<. 故选:C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义,考查了基本运算求解能力,属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形,若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1,则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知,只有点A 到'A 距离为1,即高为1,所以该几何体是个正方体,异面直线11,AA BC 所成的角是4π,故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是()A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析:根据函数的奇偶性,及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解:易知函数3xeyx=为奇函数,图象关于原点对称,排除B,当x=1时,y=<1,排除A,当x=4时,4112ey=>,排除D,故选C.点睛:已知函数的解析式判断函数的图象时,可从以下几个方面考虑:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复;(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.9. 如图所示,三棱锥P ABC -的底面在平面α内,且AC PC ⊥,平面PAC ⊥平面PBC ,点P A B ,,是定点,则动点C 的轨迹是( )A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆,但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC ,AC ⊂平面PAC ,所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ,所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆,除去A 和B 两点.选D.点睛:求轨迹实质是研究线面关系,本题根据面面垂直转化得到线线垂直,再根据圆的定义可得轨迹,注意轨迹纯粹性.10. 如图,以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕,把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD ⊥AC ;②△BAC 等边三角形;③三棱锥D -ABC 是正三棱锥;④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是( )A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ,即得BD ⊥AC ,再根据计算得△BAC 是等边三角形,最后可确定选项.【详解】由题意知,BD ⊥平面ADC ,故BD ⊥AC ,①正确;AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高,平面ABD ⊥平面ACD ,所以AB =AC =BC ,△BAC 是等边三角形,②正确;易知DA =DB =DC ,又由②知③正确;由①知④错.故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质,考查推理论证求解能力,属中档题.11. 如图所示,在正三棱锥S —ABC 中,M 、N 分别是SC .BC 的中点,且MN AM ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是()A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘,以SA ,SB ,SC 为棱构造正方体,即为球的内接正方体,正方体对角线即为球的直径,即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥,∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ,而AM ∩AC =A ,∴MN ⊥平面SAC ,∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ,SB ,SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱,将此三棱锥补成以正方体,则它们有相同的外接球,正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==,∴R =3,∴V =36π.故选:C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积,考查空间想象能力,由三棱锥构造正方体,它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ,F 为其右焦点,若AF BF ⊥,设ABF α∠=,且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则该椭圆离心率e 的取值范围为( ) A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上,解得A 点横坐标,再根据条件确定A 横坐标满足条件,解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===,所以A 在圆222=x y c +上,与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=, 因为ABF α∠=,且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤, 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-,,即222,20a c a c ac ≤--≥,即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-,选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率,考查基本分析化简求解能力,属中档题.第Ⅱ卷(非选择题:共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数,然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为:0【点睛】本题主要考查了定积分的计算,解题的关键是确定原函数,属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中,6,3PB AC ==,G 为PAC ∆的重心,过点G 作三棱锥的一个截面,使截面平行于直线PB 和AC ,则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示,过点G 作EF ∥AC ,分别交PA ,PC 于点E ,F .过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ,过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .可得四点EFMN 共面,进而得到23EF MN AC AC ==,根据比例可求出截面各边长度,进而得到周长. 【详解】解:如图所示,过点G 作EF ∥AC ,分别交PA ,PC 于点E ,F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ,过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知:EN ∥FM ,∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ,EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得:EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为:8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理,属于中档题.15. 已知一个正三棱柱,一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径,从而得到棱柱的高;由球体与棱柱的所有面均相切,得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系,求出边长,即求出底面正三角形的面积,得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=,1R ∴=, ∴正三棱柱的高22h R ==,设正三棱柱的底面边长为a , 则其内切圆的半径为:13132a ⋅=,23a ∴=,∴该正三棱柱的表面积为:21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为:183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法,属于基础题.16. 如图,在矩形ABCD 中,E 为边AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点,则在ADE ∆翻转过程中,正确的命题是______.(填序号)①BM 是定值;②点M 在圆上运动;③一定存在某个位置,使1DE A C ⊥;④一定存在某个位置,使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为:①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. 如图,已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点,E ,F 分别是PA ,BD 上的点且PE ∶EA =BF ∶FD ,求证:EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析:连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ,因为AD ∥BC ,∴BF MF FD FA =,又BF PE FD EA =,∴PE MF EA FA=, 所以EF ∥PM ,从而得证.试题解析:连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ,所以=. 又由已知=,所以=. 由平面几何知识可得EF ∥PM ,又EF ⊄平面PBC ,PM ⊂平面PBC ,所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示,在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB =AD =1,AA 1=2,M 是棱CC 1的中点.证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M .【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥,通过计算证明证得1BM B M ⊥,由此证得BM ⊥平面11A B M ,从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1,又BM ⊂平面BCC 1B 1,∴A 1B 1⊥BM .又CC 1=2,M 为CC 1的中点,∴C 1M =CM =1.在Rt△B 1C 1M 中,B 1M 2212C M CM =+=, 同理BM 222BC CM =+=,又B 1B =2, ∴B 1M 2+BM 2=B 1B 2,从而BM ⊥B 1M .又A 1B 1∩B 1M =B 1,∴BM ⊥平面A 1B 1M ,∵BM ⊂平面ABM ,∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M .【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点M 的直角坐标为()1,0,若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩,(m 为参数).(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;(2)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求11MA MB +. 【★答案★】(1)10x y --=,24y x =;(2)1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】(1)由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,得cos sin 10ρθρθ--=, 令cos x ρθ=,sin y ρθ=,得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩,消去m 得24y x =, 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=,曲线C 的普通方程为24y x =.(2)点M 的直角坐标为()1,0,点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数),代入24y x =,得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ,2t ,则1242t t +=,128t t =-,所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,//AD BC ,090ADC ∠=,平面PAD ⊥底面ABCD ,为AD 中点,M 是棱PC 上的点,.(1)求证:平面POB ⊥平面PAD ;(2)若点M 是棱的中点,求证://PA 平面.【★答案★】(1)见解析;(2)见解析【解析】【详解】(1)证明: ∵AD 中点,且,∴DO BC =又//AD BC ,090ADC ∠=,∴ 四边形BCDO 是矩形,∴BO OD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD 平面ABCD OD =,BO ⊂平面ABCD ,∴BO ⊥平面PAD ,又BO ⊂平面POB ,∴ 平面POB ⊥平面PAD .(2)如下图,连接AC 交BO 于点E ,连接EM ,由(1)知四边形BCDO 是矩形,∴//OB CD ,又为AD 中点,∴E 为AC 中点,又是棱AC 的中点,∴//EM PA ,又EM ⊂平面,平面, ∴//PA 平面21. 如图,四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点,G 为PAD ∆重心.(1)求证://GF 平面PDC ;(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析;(2)33952. 【解析】试题分析:(1)连接AG 交PD 于H ,连接GH ,由重心性质推导出GFHC ,根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ;(2)取线段AB 上一点Q ,使得13BQ AB =,可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角,由余弦定理可得结果.试题解析:(1)方法一:连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ,//AB CD 且2AB DC =,知21AF FC = 又E 为AD 的中点,G 为PAD ∆的重心,∴21AG GH =,在AFC ∆中,21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二:过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心,23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形,//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作,//FM AD 得GN //FM ,GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面,面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ,使得13BQ AB =,连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ,则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题,也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理,属于中挡题.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题(1)是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】(Ⅰ)因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤,则()0f x '<,即()f x 在区间∞(0,+)上单调递减; ②若0a >,则当10a x a +<<时,()0f x '< ;当1a x a +>时,()0f x '>; 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增; ③若1a <-,则当10a x a +<<时,()0f x '>;当1a x a+>时,()0f x '<; 所以函数在区间上单调递增,在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述,若10a -≤≤,函数在区间上单调递减;; 若,函数在区间上单调递减,在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增; 若1a <-,函数在区间上单调递增,在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减. (Ⅱ)依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭, 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥,则()11a e -≥,即101a e ≥>-. 于是,由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭,得1201x a e a x +-≥+, 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>,则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时,()0F x '>;当1x >时,()0F x '<;所以函数()F x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减;所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于,可知11a a e ≥+,解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享,知识无限!不积跬步无以至千里,不积小流无以成江海!。
阶段质量检测(二)(A卷学业水平达标)(时间120分钟,满分150分)一、选择题(共10小题,每小题6分,共60分)1.下列说法不正确的是( )A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直答案:D2.(浙江高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α答案:C3.如图在四面体中,若直线EF和GH相交,则它们的交点一定( )A.在直线DB上B.在直线AB上C.在直线CB上D.都不对答案:A4.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于( )A.AC B.BDC.A1D D.A1D1答案:B5.给定下列四个命题:①若两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为正确的命题的是( )A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④6.正方体AC1中,E,F分别是DD1,BD的中点,则直线AD1与EF所成角的余弦值是( )A.12B.32C.63D.62答案:C7.在四面体ABCD中,已知棱AC的长为2,其余各棱长都为1,则二面角ACDB的余弦值为( )A.12B.13C.33D.23答案:C8.设α,β,γ为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列三个说法:①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若α∥β,l⊂α,则l∥β;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中正确的说法个数是( )A.3 B.2C.1 D.0答案:B9.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列结论正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC答案:D10.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和平面β内,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则CD的长度为( )A.13 B.151 C.12 3 D.15答案:A二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)11.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为答案:BM⊥PC(其他合理即可)12.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个说法:①若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥α;②若a∥α,α⊥β,则a⊥β;③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α;④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.其中正确的个数为________.答案:313.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=3,则异面直线AD与BC所成角的大小为________.答案:60°14.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC,有如下三个结论.①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD成60°的角;说法正确的命题序号是________.答案:①②三、解答题(共6小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分10分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1,PA⊥平面ABCD,CD⊥PC,(1)证明:CD⊥平面PAC;(2)若E为AD的中点,求证:CE∥平面PAB.证明:(1)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.又CD⊥PC,PA∩PC=P,∴CD⊥平面PAC.(2)∵AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1,∴∠BAC=45°,∠CAD=45°,AC= 2.∵CD⊥平面PAC,∴CD⊥CA,∴AD=2.又∵E为AD的中点,∴AE=BC=1,∴AE綊BC,∴四边形ABCE是平行四边形,又∵AB⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,∴CE∥平面PAB.16.(本小题满分12分)(山东高考)如图,几何体EABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.证明:(1)取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以CO⊥BD,又EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC⊂平面EOC,所以BD⊥平面EOC,因此BD⊥EO,又O为BD的中点,所以BE=DE.(2)法一:取AB的中点N,连接DM,DN,MN,因为M是AE的中点,所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形.所以∠BDN=30°,又CB=CD,∠BCD=120°,因此∠CBD=30°,又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,所以DN∥平面BEC.又MN∩DN=N,故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN,所以DM∥平面BEC.法二:延长AD,BC交于点F,连接EF. 因为CB=CD,∠BCD=120°,所以∠CBD=30°.因为△ABD为正三角形,所以∠BAD=60°,∠ABC=90°,因此∠AFB=30°,所以AB=12 AF.又AB=AD,所以D为线段AF的中点.连接DM,由于点M是线段AE的中点,因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC,EF⊂平面BEC,所以DM∥平面BEC.17.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,BB1=2BC,D,E,F分别是CC1,A1C1,B1C1的中点,G在BB1上,且BG=3GB1.求证:(1)B1D⊥平面ABD;(2)平面GEF∥平面ABD.证明:(1)取BB1的中点为M,连接MD,如图所示.因为BB1=2BC,且四边形BB1C1C为平行四边形,所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形.故∠CDB=∠BDM,∠MDB1=∠B1DC1,所以∠BDM+∠MDB1=90°,即BD⊥B1D.又AB⊥平面BB1C1C,B1D⊂平面BB1C1C,所以AB⊥B1D.又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.又F为B1C1的中点,所以GF∥MC1.又MB綊C1D,所以四边形BMC1D为平行四边形,所以MC1∥BD,故GF∥BD.又BD⊂平面ABD,所以GF∥平面ABD.又EF∥A1B1,A1B1∥AB,AB⊂平面ABD,所以EF∥平面ABD.又EF∩GF=F,故平面GEF∥平面ABD.18.(本小题满分12分)如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=2,CE =EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.证明:(1)设AC与BD交于点G.∵EF∥AG,且EF=1,AG=12AC=1,∴四边形AGEF为平行四边形.所以AF∥EG. ∵EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,∴AF∥平面BDE.(2)连接FG.∵EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,∴四边形CEFG为菱形.∴CF⊥EG.∵四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,∴BD⊥平面ACEF.∴CF⊥BD.又BD∩EG=G,∴CF⊥平面BDE.(1)AO 与A ′C ′所成角的度数; (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值; (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的度数. 解:(1)∵A ′C ′∥AC ,∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵OC ⊥OB ,AB ⊥平面BC ′,∴OC ⊥AB .又AB ∩BO =B ,∴OC ⊥平面ABO . 又OA ⊂平面ABO ,∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中,OC =22,AC =2, sin ∠OAC =OC AC =12,∴∠OAC =30°. 即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. (2)如图所示,作OE ⊥BC 于E ,连接AE . ∵平面BC ′⊥平面ABCD ,∴OE ⊥平面ABCD ,∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角. 在Rt △OAE 中,OE =12,AE =12+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=52, ∴tan ∠OAE =OE AE =55.(3)∵OC ⊥OA ,OC ⊥OB ,OA ∩OB =O , ∴OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ,∴平面AOB ⊥平面AOC . 即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°.M ,N 分别是边AD ,CD 上的点,且2AM =MD ,2CN =ND ,如图①,将△ABD 沿对角线BD 折叠,使得平面ABD ⊥平面BCD ,并连接AC ,MN (如图②).(1)证明:MN ∥平面ABC ; (2)证明:AD ⊥BC ;(3)若BC =1,求三棱锥A BCD 的体积. 解:(1)证明:在△ACD 中, ∵2AM =MD,2CN =ND , ∴MN ∥AC ,又∵MN ⊄平面ABC ,AC ⊂平面ABC , ∴MN ∥平面ABC .(2)证明:在△ABD 中,AB =AD ,∠A =90°, ∴∠ABD =45°.∵在平面四边形ABCD 中,∠B =135°, ∴BC ⊥BD .又∵平面ABD ⊥平面BCD ,且BC ⊂平面BCD ,平面ABD ∩平面BCD =BD , ∴BC ⊥平面ABD ,又AD ⊂平面ABD , ∴AD ⊥BC . (3)在△BCD 中,∵BC =1,∠CBD =90°,∠BCD =60°, ∴BD = 3.在△ABD 中,∵∠A =90°,AB =AD , ∴AB =AD =62, ∴S △ABD =12AB ·AD =34,由(2)知BC ⊥平面ABD , ∴V A BCD =V C ABD =13×34×1=14.(B卷能力素养提升)(时间120分钟,满分150分)一、选择题(共10小题,每小题6分,共60分)1.空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为( )A.60°B.120°C.30°D.60°或120°解析:选D 由等角定理可知β=60°或120°.2.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( ) A.AB∥CDB.AB与CD异面C.AB与CD相交D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析:选D 若三条线段共面,如果AB,BC,CD构成等腰三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB 与CD平行;若不共面,则直线AB与CD是异面直线.3.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,①DA1与BC1平行;②DD1与BC1垂直;③BC1与AC所成角为60°.以上三个结论中,正确结论的序号是( )A.①B.②C.③D.②③解析:选C ①错,应为DA1⊥BC1;②错,两直线所成角为45°;③正确,将BC1平移至AD1,由于三角形AD1C为等边三角形,故两异面直线所成角为60°,即正确命题序号为③,故选C.4.已知l是直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中的真命题( )A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若α⊥β,l∥α,则l⊥βC.若l∥α,α∥β,则l∥βD.若l⊥α,l∥β,则α⊥β解析:选D 对于A,若l∥α,l∥β,则α∥β或α与β相交,所以A错;对于B,若α⊥β,l∥α,则l∥β或l⊥β或l⊂β或l与β相交,所以B错;对于C,若l∥α,α∥β,则l∥β或l⊂β,所以C错;对于D,若l⊥α,l∥β,则α⊥β,由面面垂直的判定可知选项D正确.5.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为( )A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BD解析:选C ∵MN∥PQ,由线面平行的性质定理可得MN∥AC,从而AC∥截面PQMN,B正确;同理可得MQ∥BD,故AC⊥BD,A正确;又∠PMQ=45°,故D正确.6.α,β,γ是三个平面,a、b是两条直线,有下列三个条件:①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是( )A.①或②B.②或③C.①或③D.只有②解析:选C 若填入①,则由a∥γ,b⊂β,b⊂γ,b=β∩γ,又a⊂β,则a∥b;若填入③,则由a⊂γ,a=α∩β,则a是三个平面α、β、γ的交线,又b∥β,b⊂γ,则b∥a;若填入②,不能推出a∥b,可以举出反例,例如使β∥γ,b⊂γ,画一草图可知,此时能有a∥γ,b∥β,但不一定a∥b,有可能异面.从而A、B、D都不正确,只有C正确.7.平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c,若a∥b,则c与a,b的位置关系是( )A.c与a,b都异面B.c与a,b都相交C.c至少与a,b中的一条相交D.c与a,b都平行解析:选D 如图,以三棱柱为模型.∵a∥b,a⊄γ,b⊂γ,∴a∥γ.又∵a⊂β,β∩γ=c,∴a∥c.∴a∥b∥c.8.如下图,将无盖正方体纸盒展开,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是( )A.平行B.相交且垂直C.异面D.相交成60°解析:选D 还原几何体,如图.可知D点与B点重合,△ABC是正三角形,所以选D.成的角为( )A .30°B .45°C .60°D .90°解析:选A 如图,二面角αl β为45°,AB ⊂β,且与棱l 成45°角,过A 作AO ⊥α于O ,作AH ⊥l 于H .连接OH 、OB ,则∠AHO 为二面角αl β的平面角,∠ABO 为AB 与平面α所成角.不妨设AH =2,在Rt △AOH 中,易得AO =1;在Rt △ABH 中,易得AB =2.故在Rt △ABO 中,sin ∠ABO =AO AB =12, ∴∠ABO =30°,为所求线面角.10.如图(1)所示,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,G 是EF 的中点,现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使B 、C 、D 三点重合,重合后的点记为H ,如图(2)所示,那么,在四面体A EFH 中必有( )A .AH ⊥△EFH 所在平面B .AG ⊥△EFH 所在平面C .HF ⊥△AEF 所在平面D .HG ⊥△EFH 所在平面解析:选A 折成的四面体中有AH ⊥EH ,AH ⊥FH ,∴AH ⊥平面HEF .故选A. 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)11.如图,直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形,侧棱长AA 1=2,则异面直线A 1B 1与BD 1的夹角大小等于________.解析:∵A 1B 1∥AB ,∴AB 与BD 1所成的角即是A 1B 1与BD 1所成的角.连接AD 1, 可知AB ⊥AD 1,在Rt △BAD 1中,AB =1,AD 1=3,∴tan ∠ABD 1=AD1AB=3, ∴∠ABD 1=60°,故A 1B 1与BD 1的夹角为60°. 答案:60°12.如图,在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中,已知AB =1,D 在棱BB 1上,且BD =1,则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________.解析:取AC ,A 1C 1的中点E ,E 1,连接BE ,B 1E 1,EE 1,由题意知平面BEE 1B 1⊥平面AC 1,过D 作DF ⊥EE 1于F ,连接AF ,则DF ⊥平面AC 1.∴∠DAF 即为AD 与平面AC 1所成的角.可求得AD =2,DF =32,∴sin ∠DAF =DF AD =64. 答案:6413.设a ,b ,c 是空间中的三条直线,下面给出五个命题: ①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ; ②若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ∥c ;③若a 与b 相交,b 与c 相交,则a 与c 相交;④若a ⊂平面α,b ⊂平面β,则a ,b 一定是异面直线; ⑤若a ,b 与c 成等角,则a ∥b .上述命题中正确的命题是________(只填序号). 解析:由公理4知①正确;当a ⊥b ,b ⊥c 时,a 与c 可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;当a 与b 相交,b 与c 相交时,a 与c 可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;a ⊂α,b ⊂β,并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”,故④不正确;当a ,b 与c 成等角时,a 与b 可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确. 答案:①14.给出下列命题:①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线,直线c 是α与β的交线,那么c 至多与a ,b 中一条相交;②若直线a 与b 异面,直线b 与c 异面,则直线a 与c 异面; ③一定存在平面α同时和异面直线a ,b 都平行. 其中正确的命题为________.(写出所有正确命题的序号)解析:①中,异面直线a ,b 可以都与c 相交,故不正确;②中,直线异面不具有传递性,故不正确;③中,过直线b 上一点P 作a ′∥a ,则a ′、b 确定一平面,则与该平面平行的任一平面(平面内不包含直线a 、b )都与异面直线a 、b 平行,故正确.答案:③三、解答题(共6小题,共70分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算过程) 15.(本小题满分10分)如图所示,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为CC 1,AA 1的中点,画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线.解:在平面AA 1D 1D 内,延长D 1F ,∵D 1F 与DA 不平行,∴D 1F 与DA 必相交于一点,设为P ,则P ∈D 1F ,P ∈DA .又∵D 1F ⊂平面BED 1F ,AD ⊂平面ABCD ,∴P ∈平面BED 1F ,P ∈平面ABCD .又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点,连接PB ,∴PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线.如图所示.16.(本小题满分12分)在右图的几何体中,面ABC ∥面DEFG, ∠BAC =∠EDG=120°,四边形ABED 是矩形,四边形ADGC 是直角梯形,∠ADG =90°,四边形DEFG是梯形, EF ∥DG ,AB =AC =AD =EF =1,DG =2.(1)求证:FG ⊥面ADF ; (2)求四面体 CDFG 的体积.解:(1)连接DF 、AF ,作DG 的中点H , 连接FH ,EH ,∵EF ∥DH ,EF =DH =ED =1, ∴四边形DEFH 是菱形,∴EH ⊥DF , 又∵EF ∥HG, EF =HG , ∴四边形EFGH 是平行四边形, ∴FG ∥EH ,∴FG ⊥DF ,由已知条件可知AD ⊥DG ,AD ⊥ED , 所以AD ⊥面EDGF ,所以AD ⊥FG .又∵⎩⎪⎨⎪⎧FG⊥AD,FG⊥DF,AD ⊂面ADF ,DF ⊂面ADF ,AD∩DF=D ,∴FG ⊥面ADF .(2)因为DH ∥AC 且DH =AC , 所以四边形ADHC 为平行四边形, 所以CH ∥AD ,CH =AD =1,由(1)知AD ⊥面EDGF , 所以CH ⊥面DEFG .由已知,可知在三角形DEF 中,ED =EF =1,∠DEF =60°,所以,△DEF 为正三角形,DF =1,∠FDG =60°, S △DEG =12·DF ·DG ·sin∠FDG =32. 四面体CDFG =13·S △DFG ·CH=13×32×1=36. 17.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥P ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,AD ⊥AB ,△ABC 是正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 的中点,N 为线段PB 的中点,G在线段BM 上,且BGGM=2.(1)求证:AB ⊥PD ; (2)求证:GN ∥平面PCD . 证明:(1)因为PA ⊥平面ABCD , 所以PA ⊥AB .又因为AD ⊥AB ,AD ∩PA =A ,所以AB ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ,所以AB ⊥PD .(2)因为△ABC 是正三角形,且M 是AC 的中点,所以BM ⊥AC . 在直角三角形AMD 中,∠MAD =30°, 所以MD =12AD .在直角三角形ABD 中,∠ABD =30°, 所以AD =12BD ,所以MD =14BD .又因为BGGM=2,所以BG =GD .又N 为线段PB 的中点,所以GN ∥PD . 又GN ⊄平面PCD ,PD ⊂平面PCD , 所以GN ∥平面PCD .18.(本小题满分12分)(浙江高考)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.解:(1)证明:设E为BC的中点,连接AE,A1E,DE,由题意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE.因为AB=AC,所以AE⊥BC.又因为A1E,BC⊂平面A1BC,A1E∩BC=E,故AE⊥平面A1BC.由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,从而DE∥A1A且DE=A1A,所以四边形AA1DE为平行四边形.于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE,垂足为F,连接BF.因为A1E⊥平面ABC,所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE,AE∩A1E=E,所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.又因为DE∩BC=E,所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角.由AB=AC=2,∠CAB=90°,得EA=EB= 2.由A1E⊥平面ABC,得A1A=A1B=4,A1E=14.由DE=BB1=4,DA1=EA=2,∠DA1E=90°,得A1F=72.所以sin∠A1BF=78.19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥EABC的体积.解:(1)证明:在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE,所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB中点G,连接EG,FG.因为E,F,G分别是A1C1,BC,AB的中点,所以FG∥AC,且FG=12AC,EC1=12A1C1.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形,所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=AC2-BC2= 3.所以三棱锥EABC的体积V=13S△ABC·AA1=13×12×3×1×2=33.20.(本小题满分12分)如图所示,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为DD1、DB的中点.(1)求证:EF∥平面ABC1D1;(2)求三棱锥VB1EFC的体积;(3)求二面角ECFB1的大小.解:(1)证明:连接BD1,在△DD1B中,E、F分别为D1D,DB的中点,则EF为中位线,∴EF∥D1B,而D1B⊂面ABC1D1,EF⊄面ABC1D1,∴EF∥面ABC1D1.(2)等腰直角三角形BCD中,F为BD中点,∴CF⊥BD.①∵ABCDA1B1C1D1是正方体,∴DD1⊥面ABCD,又CF⊂面ABCD,∴DD1⊥CF.②综合①②,且DD1∩BD=D,DD1,BD⊂面BDD1B1,∴CF ⊥平面EFB 1即CF 为高,CF =BF = 2. ∵EF =12BD 1=3,B 1F =BF2+BB21=2+22=6, B 1E =B1D21+D1E2=12+2=3,∴EF 2+B 1F 2=B 1E 2,即∠EFB 1=90°, ∴S △B 1EF =12EF ·B 1F =322,∴VB 1EFC =VC B 1EF =13·S △B 1EF ·CF=13×322×2=1. (3)∵CF ⊥平面BDD 1B 1,∴二面角E CF B 1的平面角为∠EFB 1. 由(2)知∠EFB 1=90°∴二面角E CF B 1的大小为90°.。
2022-2023学年吉林省长春市实验中学高二上学期期中数学试题一、单选题1.在平行六面体1111ABCD A B C D -中,设1AA a =,AB b =,AD c =,M ,P 分别是1AA ,11C D 的中点,则MP =( )A .313222a b c ++B .12a c +C .1122a b c ++D .311222a b c ++【答案】C【分析】根据空间向量的基底表示以及线性运算表示向量MP . 【详解】由题意,M ,P 分别是1AA ,11C D 的中点,如图,所以()11111111111122222⎛⎫=+=++=++=++ ⎪⎝⎭MP MA A P AA A D D P AA AD AB a b c . 故选:C2.设a ∈R ,则“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”是“1a =-”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线的位置关系分析判断. 【详解】当直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行时, 21a =,得=1a 或1a =-,所以“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”是“1a =-”的必要不充分条件, 故选:B3.已知直线2230-+=x m 和圆22650+-+=x y x 相交,则实数m 的取值范围为( )A .(),3∞--B .()3,1-C .[]3,1-D .()1,∞+【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较,解不等式,即可求解.【详解】圆22650+-+=x y x 可化为22(3)4x y -+=,圆心为(3,0),半径为2 圆心到直线的距离3313m d m +==+由直线与圆相交可知12m +<,解得31m -<< 所以实数m 的取值范围为()3,1- 故选:B4.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1CC 的中点,则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A .22B .32C .52D .72【答案】C【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中,//CD AB ,将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值,在ABE ∆中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中,//CD AB ,所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠, 设正方体边长为2a ,则由E 为棱1CC 的中点,可得CE a =,所以5BE a =, 则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法:(1)几何法:①平移两直线中的一条或两条,到一个平面中;②利用边角关系,找到(或构造)所求角所在的三角形;③求出三边或三边比例关系,用余弦定理求角;(2)向量法:①求两直线的方向向量;②求两向量夹角的余弦;③因为直线夹角为锐角,所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.5.已知双曲线的上、下焦点分别为1(0,4)F ,2(0,4)F -,P 是双曲线上一点且126PF PF -=,则双曲线的标准方程为( ) A .22179x y -=B .22197x y -=C .22197y x -=D .22179y x -=【答案】C【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程,根据双曲线定义得到3a =,得到27b =,求出双曲线方程. 【详解】由题意得:双曲线的焦点在y 轴上,设双曲线方程为22221y xab-=,1226PF PF a -==,故3a =,又4c =,故2221697b c a =-=-=,故双曲线的标准方程为:22197y x -=.故选:C6.O 为坐标原点,F 为抛物线2:4C y x =的焦点,P 为C 上一点,若4PF =,则POF 的面积为AB C .2 D .3【答案】B【分析】由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =可得. 【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为=1x -,如图:过点P 作准线=1x - 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入24y x =可得y =±,所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=112⨯=故选B .【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题. 7.在直角坐标系内,已知()3,3A 是以点C 为圆心的圆上的一点,折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点(异于点A )重合,两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=,若圆C 上存在点P ,使得90MPN ∠=,其中点(,0)-M m 、(,0)N m ,则m 的最大值为A .7B .6C .5D .4【答案】B【详解】由题意,33A ∴(,)是C 上一点,折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点(异于点A )重合,两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=,∴圆上不相同的两点为B 244433D A BA DA BD ⊥∴(,,),(,),(,), 的中点为圆心34C (,),半径为1,C 的方程为22341x y -+-=()(). 过P M N ,,的圆的方程为222x y m +=,∴两圆外切时,m 224316+=, 故选B .8.已知12F F ,是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且12PF PF >,线段1PF 的垂直平分线过2F ,若椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,则21e 2e 2+的最小值为( ) A 6B .3C .6D 3【答案】C【分析】利用椭圆和双曲线的性质,用椭圆双曲线的焦距长轴长表示21e 2e 2+,再利用均值不等式得到答案.【详解】设椭圆长轴12a ,双曲线实轴22a ,由题意可知:1222F F F P c ==,又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=,111222,22F P c a F P c a ∴+=-=,两式相减,可得:122a a c -=,22112122242222e a a a c ce c a ca ++=+=, ()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++. , 2222222222a a cc c a c a +≥⋅,当且仅当2222a c c a =时取等号,21e 2e 2∴+的最小值为6, 故选:C .【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质,用椭圆双曲线的焦距长轴长表示21e 2e 2+是解题的关键,意在考查学生的计算能力.二、多选题9.下列说法错误的是( )A .直线2(1)(3)750m x m y m ++-+-=必过定点()1,3B .过点()2,3A --且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为5x y +=-C .经过点()1,1P ,倾斜角为θ的直线方程为()1tan 1y x θ-=-D .已知直线10kx y k ---=和以()3,1M -,()3,2N 为端点的线段相交,则实数k 的取值范围为1322k -≤≤ 【答案】BCD【分析】A 选项由含参直线方程过定点的求法计算即可;B 选项没有考虑直线过原点的情况,故错误;C 选项,由倾斜角与斜率的关系即可判断;D 选项计算出端点值后,由线段MN 与y 轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧,故错误.【详解】A 选项,直线方程变形为(25)2370x y m x y +-+-+=,令2502370x y x y +-=⎧⎨-+=⎩,解得1,3x y ==,即原直线必过定点(1,3),A 正确;B 选项,当直线l 过原点时,也满足在两坐标轴上的截距相等,此时直线l 的方程为320x y -=,B 不正确;C 选项,当π2θ=时,tan θ无意义,故C 不正确; D 选项,直线10kx y k ---=经过定点(1,1)-,当直线经过M 时,斜率为1(1)1312k --==---,当直线经过N 点时,斜率为2(1)3312k --==-,由于线段MN 与y 轴相交,故实数k 的取值范围为12k ≤-或32k ≥,D 不正确. 故选:BCD.10.下列结论正确的是( )A .若圆1C :222310x y x y ++++=,圆2C :224320x y x y ++++=,则圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程是12x =-B .圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l :0x y -的距离都等于1C .曲线1C :2220x y x ++=与曲线2C :22480x y x y m +--+=恰有三条公切线,则m =4D .已知圆C :222x y +=,P 为直线0x y ++=上一动点,过点P 向圆C 引条切线P A ,其中A 为切点,则P A 的最小值为4 【答案】ABC【分析】将两圆的方程相减即可得出两圆公共弦所在直线的方程,进而判断选项A ;根据直线与圆心的距离与半径的大小关系即可判断选项B ;根据两圆的的位置关系即可判断选项C ;结合圆上动点到定直线距离的最值即可判断选项D.【详解】对于A ,显然两圆相交,且两方程相减可得:210x +=,也即12x =-,故选项A 正确;对于B ,圆224x y +=的圆心到直线l:0x y -的距离112d r ===,所以圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l:0x y -的距离都等于1,故选项B 正确;对于C ,曲线1C :2220x y x ++=可化为22(1)1x y ++=,曲线2C :22480x y x y m +--+=可化为22(2)+(4)20x y m --=-,若曲线2C 表示圆,则有20m <,因为曲线1C :2220x y x ++=与曲线2C :22480x y x y m +--+=恰有三条公切线,所以两圆相外切,则1251C C ==4m =,满足20m <, 故选项C 正确;对于D ,根据题意,显然222PA r PC +=,当PA 最小时,则PC 最小,其最小值为(0,0)到直线0x y ++的距离,即d = 所以P A 的最小值为2,故选项D 错误, 故选:ABC.11.双曲线C 的方程为2212y x -=,左、右焦点分别为12,F F ,过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点A ,B ,使得190F AB ∠=︒,则( ) A.21AF B .点AC .直线AB或 D .1ABF1【答案】BCD【分析】根据双曲线的定义得到方程组,求出1AF 、2AF ,即可判断A ,再由等面积法求出A y ,代入双曲线方程求出A x ,即可判断B ,再求出直线的斜率,即可判断C ,利用等面积法求出内切圆的半径,即可判断D ;【详解】解:如图所示,由题意知12122221212=2=2=2+=AF AF a F F c AF AF F F ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩,解得121AF AF ⎧⎪⎨⎪⎩,故A 不正确;在12Rt AF F △中,由等面积法知12121122A AF AF F F y =,解得A y =代入双曲线方程得225123A Ay x =+=,又因为点A 在双曲右支上,故153A x =,故B 正确; 由图知121215135tan 251AF AF k AF F AF --=∠===+,1352AB AF k k +=-=-, 由对称性可知,若点A 在第四象限,则352AB k +=,故C 正确; 1ABF 的内切圆半径()1112r AF AB BF =+- ()122111(51512)5122AF AF BF BF =++-=++--=-,故D 正确.故选:BCD .12.如图,已知P 为棱长为1的正方体对角线1BD 上的一点,且()()10,1BP BD λλ=,下面结论中正确结论的有( )A .11A D C P ⊥;B .当1A P PD +取最小值时,23λ=; C .若()0,1λ∈,则7,312APC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭;D .若P 为1BD 的中点,四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π. 【答案】ABD【分析】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,利用向量关系可判断ABC ;根据几何体外接球关系建立方程求出球半径即可判断D.【详解】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系, 则()1,1,0B ,()10,0,1D ,设(),,P x y z ,()()10,1BP BD λλ=,1BP BD λ∴=,即()()1,1,1,1,1x y z λ--=--,则可解得()1,1,P λλλ--, 对A ,()()()111,0,1,0,0,0,0,1,1A D C ,()11,0,1A D ∴=--,()11,,1C P λλλ=---,则()()()()11110110A D C P λλλ⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=,则11A D C P ⊥,故A 正确;对B ,()()()()()2222221111111A P PD λλλλλλ+=--+-+--+-+222223422333λλλ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭则当23λ=时,1A P PD +取最小值,故B 正确; 对C ,()()1,0,0,0,1,0A C ,(),1,PA λλλ∴=--,()1,,PC λλλ=--,则222321cos 1321321PA PCAPC PA PC λλλλλλ⋅-∠===--+-+⋅, 01λ<<,则2232123λλ≤-+<,则2111123212λλ-≤-<-+, 即11cos 22APC -≤∠<,则2,33APC ππ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦,故C 错误;对于D ,当P 为1BD 中点时,四棱锥11P AA D D -为正四棱锥,设平面11AA D D 的中心为O ,四棱锥11P AA D D -的外接球半径为R ,所以222122R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭,解得34R =, 故四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π,所以D 正确. 故选:ABD.【点睛】关键点睛:本题考查空间相关量的计算,解题的关键是建立空间直角坐标系,利用向量建立关系进行计算.三、填空题13.若()1,2,3a =,()3,2,1b =,则()a ab ⋅-=______. 【答案】4【分析】根据空间向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题可知, (2,0,2)a b -=-, 所以()1(2)20324a a b ⋅-=⨯-+⨯+⨯=, 故答案为:4.14.直线l 过(1,2)-且与圆222220x y x y +---=相切,则直线l 的方程为___________ 【答案】1x =-或34110x y -+=.【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径,当直线斜率不存在时直线=1x -符合题意;当直线斜率存在时,利用圆心到直线的距离为半径求出直线斜率即可. 【详解】由圆的方程222220x y x y +---=,得22(1)(1)4x y -+-=, 则圆心坐标为(1,1),半径为2r =,当直线l 的斜率不存在时,直线l :=1x -,与圆相切,符合题意; 当直线l 的斜率存在时,设直线l :2(1)y k x -=+,即20kx y k -++=, 由直线l 与圆相切,得圆心到直线l 的距离d r =,即2d ==,解得34k =,所以l :34110x y -+=; 综上,直线l 的方程为=1x -或34110x y -+=. 故答案为:=1x -或34110x y -+=. 15.对抛物线C :24x y =,有下列命题:①设直线l :1y kx =+,则直线l 被抛物线C 所截得的最短弦长为4;②已知直线l :1y kx =+交抛物线C 于A 、B 两点,则以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切; ③过点()()2,P t t R ∈与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条;④若抛物线C 的焦点为F ,抛物线上一点()2,1Q 和抛物线内一点()()2,1R m m >,过点Q 作抛物线的切线1l ,直线2l 过点Q 且与1l 垂直,则2l 平分RQF ∠;其中你认为是正确命题的所有命题的序号是______.【答案】①②④【分析】①将抛物线与直线联立消去y ,利用根与系数关系求出12x x +,12x x ,再由弦长公式即可求出弦长,进而可求出弦长的最小值,即可判断①的正误;②利用中点坐标公式,求出以AB 为直径的圆的圆心的纵坐标,判断圆心到直线的距离121y y ++与半径||2AB r =的大小关系,即可判断②的正误; ③将2x =代入24x y =,可得()2,1P 在抛物线上,此时当直线的斜率不存在时,只有一个交点,当直线与抛物线相切时,也只有一个交点,故与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条,可判断③错误;④设1l 的方程为()12y k x -=-,将直线与抛物线联立消去y ,利用判别式即可求出k ,进而可求出直线1l 的倾斜角,即可判断④的正误.【详解】①联立方程241x y y kx ⎧=⎨=+⎩,消去y 可得2440x kx --=,216160k ∆=+>恒成立, 设两交点坐标分别为()11,A x y ,()22,B x y ,所以由根与系数的关系得124x x k +=,124x x ⋅=-,故AB ==2444k =+≥, 当0k =时,AB 取得最小值4,所以最短弦长为4,故①正确,②由①可知124x x k +=,则21212242y y kx kx k +=++=+,故以AB 为直径的圆的圆心坐标为()22,21k k +,半径2222AB r k ==+, 抛物线24x y =的准线方程为1y =-,故圆心到准线1y =-的距离2221122d k k r =++=+=,所以以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切,故②正确,③将2x =代入24x y =,解得1y =,所以当1t =时,即()2,1P 在抛物线上,当直线的斜率不存在时,方程为2x =,此时只有一个交点()2,1,当直线斜率存在且只与抛物线只有一个交点时,当且仅当该直线为切线时满足条件,所以过点()2,P t 只与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条,故③错误,④因为抛物线的焦点为()0,1F ,又()2,1Q ,()2,R m ,所以三角形FQR 为直角三角形且过()2,1Q 的切线斜率一定存在,设1l 的方程为()12y k x -=-,代入24x y =,可得24840x k k -+-=,由()2164840k k ∆=--=可得1k =,即直线1l 的倾斜角为45︒,因为直线2l 过点Q 且与1l 垂直,所以一定平分RQF ∠,故④正确.故答案为:①②④【点睛】思路点睛:直线与抛物线交点问题的解题思路:(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组;(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.16.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,P 是椭圆上任意一点,直线2F M 垂直于OP 且交线段1F P 于点M ,若12F M MP =,则该椭圆的离心率的取值范围是______.【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】设(,)P m n ,||m a <,又1(,0)F c -,2(,0)F c ,运用向量共线的坐标表示,可得M 的坐标,再由向量垂直的条件:数量积为0,由P 的坐标满足椭圆方程,化简整理可得m 的方程,求得m ,由||m a <,解不等式结合离心率公式即可得到范围.【详解】解:设(,)P m n ,||m a <,又1(,0)F c -,2(,0)F c ,1||2||F M MP =,∴12MF PM =,可得(M c x --,)2(M M y x m -=-,)M y n -,可得2(3m c M -,2)3n ,又(,)OP m n =,22(3m c MF c -=-,2)3n -, 由2·0MF OP =, 可得222()033m c n m c ---=, 化为2(2)n m c m =-,由P 在椭圆上,可得22221m n a b+=, 即有2222(1)m n b a =-, 可得222(2)(1)m m c m b a -=-, 化为2222220c m mc a c a-+-=, 解得2a m a c =-,或2a m a c=+(舍去), 由2a a a c-<, 可得2c a >,即有12c e a =>,又01e <<, 可得112e <<, ∴该椭圆的离心率的取值范围是1(,1)2, 故答案为:1(2,1).【点睛】本题考查椭圆的离心率的范围,注意运用向量的坐标表示和向量垂直的条件:数量积为0,考查椭圆的范围,以及化简整理的运算能力.四、解答题17.已知圆C 的圆心在第一象限且在直线30x y -=上,与x 轴相切,被直线0x y -=截得的弦长为27 (1)求圆C 的方程; (2)由直线40x y ++=上一点P 向圆C 引切线,A ,B 是切点,求四边形P ACB 面积的最小值.【答案】(1)()()22139x y -+-=(2)323【分析】(1)设出圆心坐标(),3,0a a a >,判断出圆的半径,利用直线0x y -=截圆所得弦长列方程来求得a ,从而求得圆C 的方程.(2)先求得22PACB S PA r PC r r =⋅=-⋅,通过求PC 的最小来求得PACB S 的最小值. 【详解】(1)依题意,设圆C 的圆心坐标为(),3,0a a a >,半径为3a ,(),3a a 到直线0x y -=的距离为322a a d a -==, 所以()()2227232a a=-,解得=1a , 所以圆C 的方程为()()22139x y -+-=.(2)由(1)得,圆C 的圆心为()1,3C ,半径=3r ,22PACB S PA r PC r r =⋅=-⋅,所以当PC 最小时,PACB S 最小.()1,3C 到直线40x y ++=的距离为134422++=, 所以PC 的最小值为42,所以四边形P ACB 面积的最小值为()224233323-⨯=.18.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,PCD 为等边三角形,平面PAC ⊥平面PCD ,PA CD ⊥,CD =2,AD =3,棱PC 的中点为N ,连接DN .(1)求证:PA ⊥平面PCD ;(2)求直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)33【分析】(1)取棱PC 的中点N ,连接DN ,可得DN ⊥PC ,利用面面垂直的性质定理可得DN ⊥平面P AC ,从而得到DN ⊥P A ,利用线面垂直的判定定理证明即可;(2)连接AN ,由线面角的定义可得,∠DAN 为直线AD 与平面P AC 所成的角,在三角形中,利用边角关系求解即可. 【详解】(1)证明:取棱PC 的中点N ,连接DN ,由题意可知,DN ⊥PC ,又因为平面P AC ⊥平面PCD ,平面P AC ∩平面PCD =PC ,所以DN ⊥平面P AC ,又P A ⊂平面P AC ,故DN ⊥P A ,又P A ⊥CD ,CD ∩DN =D ,CD ,DN ⊂平面PCD ,则P A ⊥平面PCD ;(2)连接AN ,由(1)可知,DN ⊥平面P AC ,则∠DAN 为直线AD 与平面P AC 所成的角,因为PCD 为等边三角形,CD =2且N 为PC 的中点,所以DN 3DN ⊥AN ,在Rt DAN △中,sin ∠DAN =3=DN AD 故直线AD 与平面P AC 3 19.已知双曲线C :22221x y a b-=(a > 0,b > 03 2. (1)求双曲线的焦点到渐近线的距离;(2)若直线y =x +m 被双曲线C 截得的弦长为42m 的值.【答案】2(2)1m =±【分析】(1)根据已知计算双曲线的基本量,得双曲线焦点坐标及渐近线方程,再用点到直线距离公式得解.(2)直线方程代入双曲线方程,得到关于x 的一元二次方程,运用韦达定理弦长公式列方程得解.【详解】(1)双曲线离心率为3,实轴长为2, 3c a ∴=,22a =,解得1a =,3c =, 2222b c a ∴=-=,∴所求双曲线C 的方程为2212y x -=; ∴双曲线C 的焦点坐标为()3,0±,渐近线方程为2y x =±,即为20x y ±=, ∴双曲线的焦点到渐近线的距离为23221d ⨯==+.(2)设()11,A x y ,()22,B x y , 联立2212y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,22220x mx m ---=,210m =+>, 122x x m ∴+=,2122x x m =--.()()222121224244242AB x x x x m m ⎡⎤⎡⎤∴=+-=++=⎣⎦⎣⎦, 21m ∴=,解得1m =±.20.在四棱锥P -ABCD 中,侧面P AD ⊥ 底面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,//BC AD ,∠ADC =90°,BC =CD =12AD =1,P A =PD ,E ,F 分别为AD ,PC 的中点.(1)求证://PA 平面BEF ;(2)若PC 与AB 所成角为45°,求二面角F -BE -A 的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)33-. 【分析】(1)连接AC 交BE 于O ,并连接FO ,根据条件可证//OF PA ,从而可证明结论. (2)由ABCE 为平行四边形可得//EC AB ,PCE ∠为PC 与AB 所成角,即45PCE ∠=︒,又由条件可得PE ABCD ⊥平面,可得2PE EC ==,取PD 中点M ,连,ME MA MF ,,可得MEA ∠为F BE A --的平面角,可得答案.【详解】(1)证明:连接AC 交BE 于O ,并连接FO ,1,2BC AD BC AD =∥,E 为AD 中点,∴//AE BC ,且AE =BC . ∴四边形ABCE 为平行四边形,∴O 为AC 中点,又F 为AD 中点,//OF PA ∴,OF ⊂平面,BEF PA ⊄平面BEF ,//PA ∴平面BEF .(2)由BCDE 为正方形可得22EC BC ==由ABCE 为平行四边形可得//EC AB .PCE ∴∠为PC 与AB 所成角,即45PCE ∠=︒.PA PD =E 为AD 中点,所以PE AD ⊥.侧面PAD ⊥底面,ABCD 侧面PAD ⋂底面,ABCD AD PE =⊂平面PAD ,PE ∴⊥平面ABCD ,PE EC ∴⊥,2PE EC ∴==取PD 中点M ,连,ME MA MF ,,由M F ,,分别为,PD PC 的中点,所以//,MF CD又//CD BE ,所以//MF BE ,所以,,,B E M F 四点共面.因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD ⋂平面,ABCD AD BE AD =⊥,BE ∴⊥平面PAD ,,EM AE ⊂平面PAD所以,BE AE BE EM ⊥⊥,则MEA ∠为F BE A --的平面角. 又311,1,22EM AE AM ===,3cos 3MEA ∴∠=-. 所以二面角F BE A --的余弦值为33-. 【点睛】本题考查证明线面平行和求二面角的平面角,解答本题的关键是取PD 中点M ,连,ME MA MF ,,证明出,BE AE BE EM ⊥⊥,得到MEA ∠为F BE A --的平面角,属于中档题.21.如图,F 为抛物线()220y px p =>的焦点,直线():0l y kx m m >=+与抛物线交于P 、Q 两点,PQ 中点为R ,当1k =-,2m =时,R 到y 轴的距离与到F 点距离相等.(1)求p 的值;(2)若存在正实数k ,使得以PQ 为直径的圆经过F 点,求m 的取值范围.【答案】(1)8p =(2)08m <<【分析】(1)设点()11,P x y ,()22,Q x y ,将直线l 的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,求出点R 的坐标,根据已知条件可得出关于p 的等式,即可解出p 的值;(2)将直线PQ 的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,由已知可得0FP FQ ⋅=,可得出221624640k km m ++-=,令22()162464f k k km m =++-,根据二次函数的零点分布可得出关于m 的不等式,结合0m >可求得m 的取值范围.【详解】(1)解:当1k =-,2m =时,设点()11,P x y ,()22,Q x y ,联立222y x y px=-+⎧⎨=⎩,可得2(24)40x p x -++=,22(24)164160p p p ∆=+-=+>, 由韦达定理可得1224x x p +=+, 所以,1222x x p +=+,()12124(2)222x x y y p p -+++==-++=-, 即点()2,R p p +-,已知R 到y 轴的距离与到F 点距离相等,2p ∴+8p =. (2)解:因为存在正实数k ,使得以PQ 为直径的圆经过F 点,且0m >,联立216y kx m y x=+⎧⎨=⎩,可得2222(8)0k x km x m +-+=, 2224(8)40km k m ∆=-->,可得4km <, 由韦达定理可得1222(8)km x x k -+=,2122m x x k=, 易得(4,0)F ,()()11114,4, FP x y x kx m =-=-+,同理可得()224,FQ x kx m =-+,因为()()()()1212440FP FQ x x kx m kx m ⋅=--+++=,所以()()2212121(4)160kx x km x x m +--+++=, 所以()222222(8)1(4)160m km k km m k k-+--++=, 化简得221624640k km m ++-=,令22()162464f k k km m =++-,则函数()f k 的对称轴为直线304m k =-<,若方程()0f k =有正根,则2(0)640f m =-<,又因为0m >,解得08m <<.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()22,2P ,A 、B 为左右顶点,且8AB =. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点A 作椭圆内的圆()222:0O x y r r +=>的两条切线,交椭圆于C 、D 两点,若直线CD 与圆O相切,求圆O 的方程;(3)过点P 作(2)中圆O 的两条切线,分别交椭圆于两点Q 、R ,求证:直线QR 与圆O 相切.【答案】(1)221164x y += (2)22169x y += (3)证明见解析【分析】(1)根据椭圆的基本量可得4a =,代入()22,2P 即可得椭圆的方程;(2)根据对称性可得直线CD 与x 轴垂直,再根据相切的性质,结合三角函数的关系列式求解半径r 即可;(3)设圆O 的切线方程为()222y k x -=-,根据切线到圆心的距离可得k 的二次方程,进而得到,PQ PR 的斜率12,k k ,再联立,PQ PR 的方程与椭圆方程可得,Q R 的横坐标,进而表达出QR 的方程,求解圆心到QR 的距离表达式,代入数据求解得43d =即可证明. 【详解】(1)依题意,8AB =则4a =,代入()22,2P 可得282116b+=,解得24b =,故椭圆方程为221164x y += (2)由椭圆与圆的对称性可得,直线,AC AD 关于x 轴对称,故直线CD 与x 轴垂直.代入x r =到221164x y +=,不妨设21,162C r r ⎛⎫- ⎪⎝⎭,设E 为AC 与圆O 的切点,F 为CD 与圆O 的切点.则由切线的性质,CE CF =OE OF r ==,故AEAC AE EC =+=故1sin 34CF OE r CAF AC OA ∠====,故43r =. 故圆O 的方程为22169x y +=. (3)设圆O的切线方程为(y k x -,即0kx y -=.43=,故()2212819k k -=+,化简得2283610k k -+=. 则该方程两根分别为,PQ PR 的斜率12,k k,则1k =,2k =.联立(221164y k x x y ⎧-⎪⎨⎪+=⎩,则()()()222141284410k x k x k k ++-+--=.设()()1122,,,Q x y R x y,则()211121844114k k k--=+,即)21112144114k k x k--==+)22222244114k k x k --==+故11k x =,22k x =((121122y y k x k x -=---)112212k x k x k k =---=又1212QR y y k x x -=-,故直线QR 的方程为()121112y y y y x x x x --=--,即 ()()121212210y y x x x y x y x y ---+-=,故O 到直线QR 的距离d ===,代入数据可得43d =,故直线QR 与圆O 相切. 【点睛】本题主要考查了根据直线与圆和直线与椭圆的位置关系问题,需要根据题意设直线方程,联立椭圆方程得出对应的点坐标,从而得出直线方程,根据点到直线的距离公式化简求解.计算量较大,属于难题.。
吉林省长春市实验中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合}3,2{}30{=≤≤∈=N x N x M ,,则M N ⋂=()A.{0,1}B.{3}C.{2,3}D.{1,2,3}2.已知角α的终边过点)(23,21,则=-)cos(απ() A.23B. 23- C. 21D. 21- 3.下列函数是偶函数,且在(0,)+∞上是减函数的是() A.1+=x yB.cos y x =C.2y x -=D.2xy =4.已知向量(1,1),(1,2)a b =-=-r r ,则(2)a b b +⋅=r r r() A.1- B.0 C.1 D.2 5.函数x x x f 2ln )(-=的零点所在的区间为() A.)2,1( B.)3,2(C.)4,3(D.),4(+∞6.学校宿舍与办公室相距a m ,某同学有重要材料要送给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3分钟来到办公室,停留2分钟,然后匀速步行10分钟返回宿舍.在这个过程中,这位同学行走的路程是时间的函数,则这个函数图象是()A BC D 7.已知角α的终边在直线2y x =上,则sin cos αα=()A.25 B.25- C.45 D.45- 8.已知函数)sin()(ϕω+=x x f 在区间]34,0[π上单调,且1)34(,0)3(==ππf f ,则)0(f 的值为()A.1-B.21-C.23-D.09.设点G 是ABC ∆的重心,若13AG AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r,则实数λ=()A.23B.16C.13D.1210.设4log ,44tan ,251051===c b a ,则下列大小关系正确的是()A.b a c <<B.c a b <<C.c b a <<D.b c a <<11.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,并且满足)(1)2(x f x f =+,当32≤≤x 时,x x f =)(,则=)5.105(f ()A.21 B.23C.23- D.2512.已知函数12,02e 1()23,0e 12x xx f x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪+⎩,则使不等式212(log )(log )2(2)f t f t f +<成立的t的取值范围是()A.1(,2)2 B.1(,4)4 C.(2,4) D.1(,2)4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.43log 2log 9_______.⋅=14.函数1sin(),[0,2]23y x x ππ=+∈的单调递增区间是__________.15.函数()122100x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,,,满足f (x )>1的x 的取值范围_________. 16.函数2sin 21xy x x =+++的最大值与最小值之和为____. 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知幂函数αx x f =)(的图象经过点)2,2(. (1)求幂函数)(x f 的解析式;(2)试求满足)3()1(a f a f ->+的实数a 的取值范围.18.(12分)已知43a b →→==,,(23)(2)61a b a b →→→→-⋅+=. (1)求→a 与→b 夹角θ;(2)求2a b →→-.19.(12分)已知函数)4sin()(πω+=x x f ,)0(>ω的最小正周期为π.(1)求函数)(x f 的单调递增区间;(2)说明如何由函数x y sin =的图象经过变换得到函数)(x f 的图象.20.(12分)已知π<<x 0,51cos sin =+x x . (1)求x tan 的值;(2)求x x x x 22cos 3cos sin 2sin ++的值.21.(12分)已知函数的定义域为.(1)求;(2)当时,求函数的最小值.22.(12分)已知2()2(1)3().f x ax a x a =-++∈R (1)若函数)(x f 在]3,23[单调递减,求实数a 的取值范围; (2)令1)()(-=x x f x h ,若存在]3,23[,21∈x x ,使得21)()(21+≥-a x h x h 成立,求实数a 的取值范围.--☆ 参 考 答 案 ☆--一、选择题 1-5. CDCAB 6-10. AABCC11-12. DB二、填空题 13.114.]3,0[π15.{x |x >1或x <–1} 16.4三、解答题 17.解:(1)()0).f x x =≥(2)由已知)3()1(a f a f ->+可得⎪⎩⎪⎨⎧->+≥-≥+a a a a 310301,故a 的范围是(1,3].18.解:(1)∵||=4,||=3,(2﹣3)•(2)=61,∴(2﹣3)•(2)=﹣﹣=4×42﹣4×4×3×cos <>﹣3×32=61,解得=﹣,∴与的夹角θ=. (2)||====.19.(1)由已知2=ω, 故()sin(2),4f x x π=+令222,,242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z解得增区间:3[,]().88k k k ππππ-+∈Z(2)sin y x =的图象先向左平移4π个单位长度,再纵坐标不变,把横坐标缩短为原来的21倍(先伸缩再平移同样给分).20.解:(1)由1sin cos 5x x +=①,两边平方,112sin cos 25x x +=,12sin cos 25x x =-,2549251221cos sin 2=⨯+=+)()(x x ,π<<x 0,所以57cos sin =+x x ②,由①②解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin x x ,所以4tan .3x =-原式=222222sin 2sin cos 3cos tan 2tan 31.sin cos tan 125x x x x x x x x x ++++==++ 21.解:22.解:(1)①当时,,显然满足,②,③,综上:. (2)存在,使得成立即:在上,, 因为,令,则,.(i )当时,在单调递减,所以,等价于,所以.(ii)当时,,在上单调递减,在上单调递增.①当时,即,在单调递增.由得到,所以.②当时,时,在单调递减,由得到,所以.③当,即时,,最大值则在与中取较大者,作差比较,得到分类讨论标准:a. 当时,,此时,由,得到或,所以.b. 当时,,此时,由,得到,此时,在此类讨论中,.c. 当时,在单调递增,由,得到,所以,综合以上三大类情况,.。
长春市实验中学2019-2020学年上学期阶段性考试高二数学试卷命题人:考试时间:120分钟 分值:150分一、选择题:(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案写在答题卡指定位置上。
每小题5分,总计60分) 1.“π6α=”是“1cos 22α=”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 2.命题“*x n ∀∈∃∈,R N ,使得2n x ≥”的否定形式是( )A .*x n ∀∈∃∈,R N ,使得2n x <B .*x n ∀∈∀∈,R N ,使得2n x <C .*x n ∃∈∃∈,R N ,使得2n x <D .*x n ∃∈∀∈,R N ,使得2n x <3 . 如图是某工厂对甲乙两个车间各10名工人生产的合格产品的统计结果的茎叶图设甲、乙的中位数分别为乙甲x x ,,甲、乙的方差分别为、,则( )A. 乙甲x x <,B. 乙甲x x >,C.乙甲x x >,D.乙甲x x <,4. 已知某8个数的平均数为5,方差为,现又加入一个新数据5,此时这9个数的平均数为,方差为916, 则( )A.,B.,C.,D.,5. 已知命题1p :函数()e e x x f x -=-是奇函数,命题2p :函数()e e x x g x -=+在R 上为增函数,则在命题112212312412:;:;:();:()q p p q p p q p p q p p ∨∧⌝∨∧⌝中,真命题是( )A .13,q qB .23,q qC .14,q qD .24,q q6. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩均为整数的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是( )A. ,75,72B. 72,75,C. 75,72,D. 75,,727. 执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为( )A. B. C. D. 18. 从区间[]2,2-中随机选取一个实数a ,则函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点的概率是( )A .14 B .13 C .12 D.239.李华同学利用“随机模拟”的方法估计图中由曲线与两直线及所围成的阴影部分的面积S,他用计算机分别产生了15个在区间上的均匀随机数和15个在区间[]1,0上的均匀随机数,其数据如下表的前两行.根据以下数据可估算S的一个近似值为()10.A. B. C. D.10.从编号分别为1,2,3,4,5,6的六个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为()A.15B.25C.35D.4511.下列命题中真命题的个数是( )已知m,n是两条不同直线,若m,n平行于同一平面,则m与n平行;已知命题p:,使得,则:,都有;已知回归直线的斜率的估计值是3,样本点的中心为,则回归直线方程为若x,y,,且,则命题“x,y,z成等比数列”是“”的充分不必要条件.A. 1B. 2C. 3D. 412. 如图,给定两个平面向量,它们的夹角为,点C在以O为圆心的圆弧AB上,且其中,则满足的概率为()12.-A43.B 4.πC 3.πD二、填空题(每小题5分,总计20分,请将答案填在答题卡指定位置上) 13. 98与63的最大公约数为a ,二进制数化为十进制数为b ,则=+b a ______.14. 若A ,B 互为对立事件,其概率分别为,,且,,则的最小值为________. 15. 设命题p :函数在上是减函数;命题q :,若是真命题,是假命题,则实数a 的取值范围是______ .16. 已知在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,2PA AB ==,在该四棱锥内部或表面任取一点O ,则三棱锥O PAB -的体积不小于23的概率为______. 三、解答题(本题共6小题,其中17题10分,18-22每题12分,总计70分:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 从1,2,3,5中任取2个数字作为直线Ax +By =0中的A 、B .(1)求这个试验的基本事件总数并进行列举;(2)写出“这条直线的斜率大于1-”这一事件所包含的基本事件; (3)求“这条直线的斜率大于1-”的概率.18. 某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得 到如下的频率分布表.(1)请先求出频率分布表中、位置的相应数据,再完成频率分布直方图;(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;(3)在(2)的前提下,学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试,求:第4组至少有一名学生被考官A面试的概率.19.已知向量)(),(yxba,1,2=-=(1)若分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子六个面的点数分别为6,5,4,3,21,)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足1-=∙的概率.(2)若在连续区间[]6,1上取值,求满足0<∙的概率.20.已知命题指数函数在上单调递减,命题关于的方程的两个实根均大于3.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.21.全国两会召开前夕,许多人大代表关心雾霾治理,倡导绿色发展,击碎十面“霾伏”通过不懈努力,近两年某市空气质量逐步改善,居民享受着在蓝天白云下出行和锻炼的值是表示空气中某种颗粒物的浓度,通常用来代表空气的污染情况,这个值越高空气污染就越严重,下表是某人朋友圈室外锻炼的人数与值的一组数据.(1)请用相关系数r(精确到0.01)说明y与x之间具有线性相关关系;(2)若室外锻炼人数与的值存在线性关系,请根据上表提供的数据,当的值为40时,的值x室外锻炼人数人估计室外锻炼人数四舍五入到整数;(3)将表格中的x 与y数据看作五个点的坐标,从这五个点中任意抽取两个点,求这两个点都在圆外的概率.参考公式及数据:ni ix y nx yr -=∑1122211()()()ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑,ˆˆay bx =-,.81.15250,10.526,50250,34600,3920051251251≈≈===∑∑∑===i i i i i ii y x yx22. 已知二次函数b a bx ax x f ,()(2+=为常数,且满足条件:,且方程有两相等实根. (1)求的解析式;(2)设命题p ;“函数在上有零点”,命题q :“函数在上单调递增”,若命题“”为真命题,求实数t 的取值范围.长春市实验中学2019-2020学年上学期阶段性考试高二数学试题答案命题人:李京娟审题人:杜艳蕾考试时间:120分钟分值:150分一、选择题:(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案写在答题二、填空题(本题共小题,每小题分,总计分请将答案填在答题卡指定位置上)13. 58; 14. 9; 15.][),21,2(+∞-- ; 16.165.三、解答题(本题共6小题,其中17题10分,18-22每题12分,总计70分:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 【解析】(1)用有序实数对(A,B)来表示直线中出现的A和B,从4个数字中任取2个有12种结果,列举如下:(1,2)(1,3)(1,5)(2,1)(2,3)(2,5)(3,1)(3,2)(3,5)(5,1)(5,2)(5,3);(2)∵直线Ax+By=0中的斜率是–AB,∴由–AB>–1,得1AB<.即A<B.所以满足条件的实数对为(1,2)(1,3)(1,5)(2,3)(2,5)(3,5).则对应的斜率为12-,13-,15-,23-,25-,35-;(3)由(1)、(2)可知,所求概率为P=61122=.18. 解:由题可知,第2组的频数为人,第3组的频率为,频率分布直方图如图所示, 分因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试,每组抽取的人数分别为:第3组:人,第4组:人,第5组:人,所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试分设第3组的3位同学为,,,第4组的2位同学为,,第5组的1位同学为,则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法,分别为:,,,,,,,,,,,, ,,,其中第4组的2位同学,中至少有一位同学入选的有9,分别为:,,,,,,,,,第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率为分19.解:将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件为,,,,,,,,,,共有个,每一基本事件出现的概率都相等.设“满足”为事件A,由,得,所以事件A所包含的基本事件为,,,共3个.若x,y在连续区间上取值,则全部基本事件的结果所构成的区域为,,其面积为如图, 每一基本事件出现的概率都相等.设“满足0 ”为事件B,所构成的区域为,,且y,其面积为..20. 【解析】若p 真,则在R上单调递减,∴0<2a-6<1,∴3<a <.若q 真,令,则应满足222(3)4(21)0332(3)99210a aaf a a∆⎧=--+≥⎪-⎪->⎨⎪⎪=-++>⎩,即222522a aaa a⎧⎪≥≤-⎪>⎨⎪⎪<>⎩或或,.又由已知“或”为真,“且”为假,应有p真q假,或者p假q真.①若p真q 假,则,a无解.②若p假q真,则73252a aa⎧≤≥⎪⎪⎨⎪>⎪⎩或,∴532a<≤或72a≥.综上①②,知实数的取值范围为.21.解:, ,, 接近于1,所以y与x有很强的线性相关性.,,,所以当时,,当的值为40时,室外锻炼人数约为112人.在圆上的点有,在圆外的点有4个,,,,,任取两点的结果有,,,,,,,,,,共10种,两点都在圆外的结果有,,,,,,共6种..两个点都在圆外的概率为.22.解:方程有两等根,即有两等根,,解得;,得是函数图象的对称轴.而此函数图象的对称轴是直线.故;p 真,则;若q真,则若真,则。