高三数学总复习练习卷集合、函数、导数、向量、数列、空间视图、不等式

东方中学2015-2016学年第二学期高二年级第 21 周4次数学学科限时练试卷——集合、简易逻辑、函数、导数一、选择题1．设集合∈<≤=x x x A 且30{N }的真子集．．．的个数是 A ．15B ．8C ．7D ．32．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中,既是偶函数又在(0)+∞，上单调递增的是 A ．3y x = B ．y cos x = C ．21y x =D ．y ln x = 4．函数()x f =2008x ，则12007'12008f ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= A ．0 B ．1 C ．2006 D ．20075．已知函数2)(xx e e x f --=，则下列判断中正确的是A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数6．函数f(x)为奇函数，当20,(x)lg(x x)x f >=-，则(2)f -的值为（ ）A ．1lg 2B ．lg 2C ．2lg 2D ．lg 67．为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度8．如图，是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下面判断正确的是 A ．在区间（－2,1）上)(x f 是增函数B ．在（1,3）上)(x f 是减函数C ．在（4,5）上)(x f 是增函数D ．当4=x 时，)(x f 取极大值 9．设函数3y x =与22x y -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，10．函数321f (x)x x =+-零点所在的区间是（ ）A ．（0,1）B ．（1,2）C ．（2,3）D ．（3,4） 11.函数y=sinx 在点33(π处切线的斜率为（ ） A 3 B 2 C ．12D ．1 12.三次函数3f (x)m x x =-在R 上是减函数，则m 的取值范围（ ） A ．0m < B ．1m <C ．0m ≤D ．1m ≤二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13．设全集U 是实数集R ，{}24M x|x >＝，{}|13N x x =<<，则图中阴影部分所表示的集合是___________。

一、选择题（5×12=60）1．已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M ∩N={1}，则M ∪N 为 ( )A ．｛0,x,1,2｝B ．{1,2,0,1}C ．{0,1,2}D ．不能确定201.()||函数的图像是（）y a a x =<<37515751522.cos cos cos cos οοοο++⋅的值为（）A B C D (6)23254134+4. 成等差数列的3个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列。

那么这三个数的乘积等于（ ） A. 210 B. 105 C. 70 D. 355. 把函数y=f(2x)的图象变成函数y=f(2x+4)的图象，要经过的变换为（ ）A. 把图象向左平移2个单位B. 把图象向右平移2个单位C. 把图象向左平移4个单位D. 把图象向右平移4个单位635513.cos sin cos ∆ABC A B C 中，，，则的值为（）==A B C D (5665)1665566556651665---或7. 已知集合A={1，2，3}，B={4，5，6}，映射f ：A →B ，且满足1的象是4，则这样的映射共有（ ）A. 2个B. 4个C. 6个D. 9个8．“220a b +≠”的含义是( )A ．,a b 不全为0B ． ,a b 全不为0C ．,a b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为09．已知等差数列}{n a 的通项公式为,12+=n a n 其前n 项和为S n ，则数列}{nS n 的前10项的和为（ ）A ．120B ．70C ．75D ．100 10．函数)42cos(3)42sin(2ππ+++=x x y 的最小正周期是( )A ．32π B ．2π C ．πD ．2π11. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ))2||,0,0(πϕω<>>A 的图象如图所示，则y 的表达式为( ) A.y ＝2sin(61110π+x ) B.y ＝2sin(61110π-x ) C.y ＝2sin(2x ＋6π) D.y ＝2sin(2x －6π)12 设b a bx g ax x f x x x+-=++=是奇函数，那么是偶函数，24)()110lg()(的值为（ ）A 、1B 、－1C 、－21 D 、21 二、填空题（4×4＝16）13、（文）如果扇形的半径为R ，面积为22R π，那么这个扇形的圆心角的弧度数为________。

2024年最新人教版高三数学专项训练2024年最新人教版高三数学专项训练一、集合与逻辑1.集合的基本概念：集合、元素、子集、并集、交集、补集等。

2.逻辑关系：命题、真值表、逻辑联结词（AND、OR、NOT）、充分必要条件等。

3.数学归纳法：用于证明命题的正确性。

二、函数与方程1.函数的基本性质：定义域、值域、单调性、奇偶性等。

2.初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

3.方程的根与零点：求解一元二次方程、高次方程等。

4.导数与极值：导数的计算、单调区间与极值的判断。

三、数列与不等式1.数列的通项公式与求和：等差数列、等比数列的通项公式与求和公式。

2.不等式的性质与证明：不等式的运算性质、比较大小的方法、不等式的证明。

四、三角函数与平面向量1.三角函数的性质：周期性、振幅、相位等。

2.向量的基本运算：加法、减法、数乘、内积等。

3.向量的应用：解三角形、平行与垂直的判断等。

五、空间向量与立体几何1.空间向量的基本运算：加法、减法、数乘、内积等。

2.空间几何体的性质：表面积、体积、截面等。

3.空间直角坐标系与向量方程。

六、解析几何1.直线与圆的方程：直线的方程、圆的方程及其应用。

2.椭圆、双曲线与抛物线的方程及性质。

3.点与曲线的位置关系：相交、相切、相离等。

七、统计与概率1.数据收集与整理：样本空间、统计图表等。

2.概率的基本概念：随机事件、概率等。

3.离散型随机变量及其分布：二项分布、泊松分布等。

4.概率模型的应用：回归分析、独立性检验等。

5.八、算法与复数1. 基本算法语句：输入输出语句、条件语句、循环语句等。

2. 算法案例分析：排序算法、查找算法等。

3. 复数的基本概念：实部虚部共轭复数等九重要公式集锦&问题建模1. 集合与逻辑重要公式2. 函数与方程重要公式3. 数列与不等式重要公式4. 三角函数与平面向量重要公式5. 空间向量与立体几何重要公式6. 解析几何重要公式7. 统计与概率重要公式8.算法与复数重要公式9. 极坐标与参数方程重要公式10数学建模与问题解决重要公式十高考热点问题突破1分析近年高考数学试卷寻找考试热点和难点并给出相应突破方法十一思维训练与解题策略1总结合理的思维训练方法如联想转化归纳等2分析不同题型的解题策略如选择题填空题解答题等十二高中数学竞赛内容提要1列出高中数学竞赛的主要内容如组合数学数论几何等2简要介绍竞赛中常用解题方法十三高等数学引论1简要介绍高等数学的相关概念如极限微积分等2分析高等数学在科研和实际应用中的作用。

【高中高考必备】高三毕业班数学总复习资料集合与函数测试题（附答案）一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知命题“012,2<++∈∃ax x x R ”是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ) A ．)1,(--∞B ．),1(+∞C ．),1()1,(+∞--∞D ．（—1，1）2、若{}8222<≤∈=-x Z x A {}1log R <∈=x x B x ，则)(C R B A ⋂的元素个数为（ ） A.0B.1C.2D.33、 设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） A ．2 B ．4 C ．22 D ．24、 在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数， 则函数 ()x f （ ）A.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数 5 .设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ） A. -1,3 B.-1,1 C. 1,3 D.-1,1,36．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 A.(0,1) B.1(0,)3C.1[,1)7D.11[,)737．若函数2)1(log )(223++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5，（a ，b 为常 数），则函数)(x f 在),0(+∞上（ ）A ．有最大值9B ．有最小值5C ．有最大值3D ．有最大值58．函数|3||4|92-++-=x x x y 的图象关于 （ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线0=-y x 对称9．若函数21(1)()lg (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩,则f(f(10)=（ ）A ．lg101B ．2C ．1D ．010．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x 都有)4()(+=x f x f ，当 )02(，-∈x 时， x x f 2)(=，则)2011()2012(f f -的值为（ ） A.21-B.21C. 2D.2-11．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b －3(x ∈R )图象恒过点(2,0)，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B.15 C ．4 D.1412. 设函数()f x =cx bax ++2的图象如下图所示，则a 、b 、c 的大小关系是11-1-1OxyA.a ＞b ＞cB.a ＞c ＞bC.b ＞a ＞cD.c ＞a ＞b二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13、函数x x f 6log 21)(-=的定义域为__ 14、若24log 3,(22)x x x -=-=则＿＿＿15. 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=， 则当 ),0(∞+∈x 时，=)(x f16. .函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取 值范 围是______三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) 计算：（1）0021)51(1212)4(2---+-+-（2）91log 161log 25log 532∙∙18．（本小题满分12分）已知函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数，且满足()()()(),31f xy f x f y f =+=(1)求()()9,27f f 的值 (2)解不等式()()82f x f x +-<19. （12分）已知函数2()(8),f x ax b x a ab =+---的零点是－3和2.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当函数f （x ）的定义域是[0，1]时，求函数()f x 的值域.20. （本小题满分12分）某地区预计明年从年初开始的前x 个月内，对某种商品的需求总量．．．．()f x （万件）与月份x 的近似关系为1()(1)(352)(12)150f x x x x x N x =+-∈≤且． （1）写出明年第x 个月的需求量()g x （万件）与月份x 的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过1.4万件；（2）如果将该商品每月都投放市场p 万件，要保持每月都满足市场需求，则p 至少为多少万件．21.．(本小题满分12分) 定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()(),f xy f x f y =+且()f x 是区间()0,+∞上的增函数()1求(1),(1)f f -的值； ()2求证：()()f x f x -=； ()3解不等式1(2)()02f f x +-≤.22．（本小题满分14分）设二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足下列条件：①当x ∈R 时，()f x 的最小值为0，且f (x －1)=f (－x －1)成立； ②当x ∈(0,5)时，x ≤()f x ≤21x -+1恒成立。

高考数学一轮复习《导数、函数》综合复习练习题（含答案）一、单项选择题1．曲线2()ln f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ） A ．y x =-B ．23y x =-C ．32y x =-+D ．21y x =-+2．已知函数()f x 的导函数是()f x '，且满足()()22e xf x x f '=-，则()2f '=（ ）A ．2e 3B ．2eC ．2e 7D ．2e 7-3．函数32()f x x ax bx =-+在1x =处有极值为4，则a b -的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．6D ．6-4．已知四条直线1234:0,:,:32,:32l y l y x l y x l y x ===-=+，从这四条直线中任取两条，这两条直线都与函数3()f x x =的图象相切的概率为（ ） A ．0B ．16C ．12D ．135．已知函数y ＝f (x )的导函数()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '，且()()0f x f x <'<，则（ ） A ．()()e 21f f >，()()2e 1f f > B ．()()e 21f f >，()()2e 1f f < C ．()()e 21f f <，()()2e 1f f < D ．()()e 21f f <，()()2e 1f f >7．已知函数ln ()xf x x x=-，则（ ） A ．()f x 的单调递减区间为(0,e) B ．()f x 的极小值为1 C ．()f x 的最小值为-1 D ．()f x 的最大值为18．已知函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（ ）A ．21e ,2⎡⎤--⎣⎦B ．213,e ∞⎡⎫--+⎪⎢⎣⎭C ．213,2e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D ．2211e ,3e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦9．已知定义在（0，+∞）上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()202220221f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（0，2022）B ．（2022，+∞）C ．（2023，+∞）D ．（2022，2023）10．函数()()22e xf x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x >时，()()0f x f x x'+<，且(2)3f =-，则不等式6(21)21f x x --<-的解集为（ ） A ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当()0,x ∈+∞时，都有不等式()()0f x xf x '->成立，若115544a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，b =⎝⎭，1133log 9log c f ⎛= ⎝，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c >>D ．a b c >>二、填空题13．已知曲线()()1e xf x a x =+-在点()()0,0f 处的切线与直线230x y -+=垂直，则实数a的值为______. 14．若函数()2116ln22f x x x =-在区间11,22a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围是____________.15．函数21()e 2x f x x ax =--是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是______．16．已知函数()32ln 1,042,0x x f x x x x x +⎧>⎪=⎨⎪--<⎩，若方程()f x ax =有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围是______.三、解答题17．已知函数32()f x x ax bx c =+++在点()1,2P 处的切线斜率为4，且在=1x -处取得极值． (1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若函数()()1g x f x m =+-有三个零点，求m 的取值范围．18．已知函数()ln f x x x =-.(1)求证：()1f x ≤-； (2)若函数()()()xxh x af x a e =+∈R 无零点，求a 的取值范围.19．已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．20．已知函数()()223ln R f x x ax a x a =-+∈.(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若对于任意的2e x ≥（e 为自然对数的底数），()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.21．已知函数()ln f x a x bx =-，()e (1)1x g x x m x =-+-(,,)a b m R ∈. (1)当b =1时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 在1ex =处的切线方程为()e 12y x =--，且不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知()g x 是函数21()ln 2f x x x ax =-(a ∈R )的导函数．(1)讨论()g x 的单调性；(2)若f (x )有两个极值点12,x x 12()x x <，且22()2f e x ≥，求a 的取值范围．23．已知函数()()e ,sin cos xf xg x x x ==+(1)已知()1f x ax ≥+恒成立，求a 的值； (2)当0x ≥时，()()()20R f x g x ax a +--≥∈，求a 的取值范围。

模块卷(一)时间:120分钟 分值:145分集合、常用逻辑用语、函数、导数、不等式一、选择题:本题共7小题,每小题5分,共35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2020浙江嘉兴期末,3)设曲线y =x+1x -2在点(1,-2)处的切线与直线ax +by +c =0垂直,则ab= ( )A.13 B.-13C.3D.-3 答案 B y'=x -2-(x+1)(x -2)2=-3(x -2)2,y'|x =1=-3,因为曲线y =x+1x -2在点(1,-2)处的切线与直线ax +by +c =0垂直,所以(-3)·(-a b)=-1,解得a b=-13,故选B .2.(2020新疆昌吉期中,6)若a >0,b >0,a +2b =3,则3a +6b的最小值为 ( ) A.5 B.6 C.8 D.9答案 D 本题考查基本不等式在求最值中的应用,考查了数学运算的核心素养. ∵a >0,b >0,a +2b =3,∴3a +6b =13(3a+6b)(a +2b ) =13(3+6b a +6a b +12)≥13×(15+2√6b a ·6ab )=9, 当且仅当6b a =6a b,即a =b =1时取等号, 所以3a +6b的最小值为9.故选D .3.(2019天津耀华中学一模,2)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当x ∈(0,1)时,f (x )=sin π2x ,则f (-52)+f (1)+f (2)=( )A.-2-√22B.-1-√22 C.-√22 D.1-√22 答案 C ∵f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数, ∴f (0)=0,f (1)=f (-1)=-f (1),∴f (1)=0, ∴f (-52)+f (1)+f (2)=-f (52)+f (1)+f (0) =-f (12)+0+0=-sin π4=-√22.4.(2020北京,9,4分)已知α,β∈R ,则“存在k ∈Z 使得α=k π+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C (1)充分性:已知存在k ∈Z 使得α=k π+(-1)kβ,(i )若k 为奇数,则k =2n +1,n ∈Z ,此时α=(2n +1)π-β,n ∈Z ,sin α=sin (2n π+π-β)=sin (π-β)=sin β; (ii )若k 为偶数,则k =2n ,n ∈Z ,此时α=2n π+β,n ∈Z , sin α=sin (2n π+β)=sin β.由(i )(ii )知,充分性成立.(2)必要性:若sin α=sin β成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称,即α=β+2m π或α+β=2m π+π,m ∈Z ,即存在k ∈Z 使得α=k π+(-1)kβ,必要性也成立,故选C .5.(2017山东文,9,5分)设f (x )={√x ,0<x <1,2(x -1),x ≥1.若f (a )=f (a +1),则f (1a )=( )A.2B.4C.6D.8答案 C 本题考查分段函数与函数值的计算.解法一:当0<a <1时,a +1>1,∴f (a )=√a ,f (a +1)=2(a +1-1)=2a.由f (a )=f (a +1)得√a =2a ,∴a =14.此时f (1a )=f (4)=2×(4-1)=6.当a ≥1时,a +1>1,∴f (a )=2(a -1),f (a +1)=2(a +1-1)=2a.由f (a )=f (a +1)得2(a -1)=2a ,无解.综上,f (1a)=6,故选C .解法二:∵当0<x <1时,f (x )=√x ,为增函数,当x ≥1时,f (x )=2(x -1),为增函数,又f (a )=f (a +1),∴√a =2(a +1-1),∴a =14.∴f (1a )=f (4)=6.6.(2020浙江镇海中学分校检测,6)已知函数f (x )=√a ·4x +a ·2x +3a -6的定义域是R ,则实数a 的取值范围是 ( ) A.[2,+∞) B.[2411,+∞) C.(0,2411] D.(-∞,2411] 答案 A 令t =2x(t >0),则at 2+at +3a -6≥0对t >0恒成立,所以a ≥6t 2+t+3,又6t 2+t+3<63=2,所以a ≥2.故选A .7.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R 的奇函数f (x )在(-∞,0)单调递减,且f (2)=0,则满足xf (x -1)≥0的x 的取值范围是( )A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]答案 D ∵f (x )是定义在R 上的奇函数,∴f (x -1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f (x )在(-∞,0)上单调递减,∴f (x -1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f (x -1)的大致图象如图: 当-1≤x ≤0时,f (x -1)≤0,∴xf (x -1)≥0;当1≤x ≤3时,f (x -1)≥0,∴xf (x -1)≥0.综上,满足xf (x -1)≥0的x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.8.(2020山东百师联盟测试五,11)常数a ≠0,下列有关方程x 3+x 2-x -a =0的根的说法正确的是 ( )A.可以有三个负根B.可以有两个负根和一个正根C.可以有两个正根和一个负根D.可以有三个正根答案 BC 方程x 3+x 2-x -a =0可化为x 3+x 2-x =a.令函数f (x )=x 3+x 2-x ,则f'(x )=3x 2+2x -1=(3x -1)(x +1).当x <-1或x >13时,f'(x )>0,当-1<x <13时,f'(x )<0,故f (x )在(-∞,-1),(13,+∞)上为单调增函数,在(-1,13)上为单调减函数,且f (-1)>0,f (13)<0,作出f (x )的图象如图,从而方程x 3+x 2-x -a =0可以有两个正根和一个负根,也可以有两个负根和一个正根,但不会有三个负根,也不会有三个正根.故选BC .9.(多选题)(2020山东枣庄、滕州期末)如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ,从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h ,步行的速度为5km/h ,时间t (单位:h )表示他从小岛到城镇的时间,x (单位:km )表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设u =√x 2+4+x ,v =√x 2+4-x ,则 ( )A.函数v =f (u )为减函数B.15t -u -4v =32C.当x =1.5时,此人从小岛到城镇花费的时间最少D.当x =4时,此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 答案 AC A .∵u =√x 2+4+x ,v =√x 2+4-x ,∴√x 2+4=u+v 2,x =u -v 2,uv =4,易知v =4u在(0,+∞)上是减函数,A 正确.B.t =√x 2+43+12-x 5=u+v 6+125-u -v10,整理得15t =u +4v +36,B 错误; C.由A 、B 得15t =u +16u+36≥2√u ·16u +36=44,当且仅当u =16u ,即u =4时取等号,由√x 2+4+x =4,解得x =32=1.5,C 正确;D.x =4时,t =2√53+85,t -3=2√53-75=10√5-2115=√500-√44115>0,t >3,D 错误.故选AC. 10.(2020山东夏季高考模拟,12)函数f (x )的定义域为R ,且f (x +1)与f (x +2)都为奇函数,则 ( ) A.f (x )为奇函数 B.f (x )为周期函数 C.f (x +3)为奇函数 D.f (x +4)为偶函数答案 ABC 本题主要考查函数的奇偶性,周期性,考查逻辑推理的核心素养.∵f (x +1)为奇函数,∴f (-x +1)=-f (x +1), ∴f (-x )=-f (x +2),又∵f (x +2)为奇函数,∴f (-x +2)=-f (x +2), ∴f (-x )=-f (x +4),∴-f (x +2)=-f (x +4), ∴f (x +2)=f (x +4),即f (x +2)=f (x ),∴f (x )是周期为2的奇函数,∴f (x +4)是奇函数. 由于f (x )的周期为2,且f (x +1)是奇函数, ∴f (x +3)=f (x +1)是奇函数,故A ,B ,C 均正确.11.(多选题)(2020海南调研测试,12)已知函数f (x )=x +sin x -x cos x 的定义域为[-2π,2π),则 ( ) A.f (x )为奇函数 B.f (x )在[0,π)上单调递增C.f (x )恰有4个极大值点D.f (x )有且仅有4个极值点答案 BD 因为f (x )的定义域为[-2π,2π),所以f (x )是非奇非偶函数.f'(x )=1+cos x -(cos x -x sin x )=1+x sin x ,当x ∈[0,π)时,f'(x )>0,则f (x )在[0,π)上单调递增,显然f'(0)≠0,令f'(x )=0,得sin x =-1x,分别作出y =sin x ,y =-1x在区间[-2π,2π)上的图象,由图可知,这两个函数的图象在区间[-2π,2π)上共有4个公共点,且两图象在这些公共点上都不相切,故f (x )在区间[-2π,2π)上的极值点的个数为4,且f (x )只有2个极大值点,故选BD .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.12.(2020浙江“七彩阳光”联盟4月模考,11)集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |1<x <4},则A ∩B = ;A ∩(∁R B )=.答案 (1,2];[-1,1]解析 本题考查集合的基本运算.A =[-1,2],B =(1,4),所以A ∩B =(1,2],∁R B =(-∞,1]∪[4,+∞),所以A ∩(∁R B )=[-1,1].13.(2020天津,14,5分)已知a >0,b >0,且ab =1,则12a +12b +8a+b的最小值为 .答案 4 解析 12a +12b +8a+b =a+b 2ab +8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2×8a+b =4,当且仅当a+b 2=8a+b,即(a +b )2=16,也即a +b =4时取等号.又∵ab =1,∴{a =2+√3,b =2-√3或{a =2-√3,b =2+√3时取等号,∴12a +12b +8a+b的最小值为4.14.(2020浙江嘉兴二模,16)已知函数f (x )={lnx ,x >0,(12)x -2,x ≤0,若f (f (a ))≤0,则实数a 的取值范围为 . 答案 [-log 23,0]∪[1e,e]解析 本题考查分段函数和不等式的求解,属于基础题.令f (x )≤0,即{lnx ≤0,x >0或{(12)x-2≤0,x ≤0,解得0<x ≤1或-1≤x ≤0,所以f (f (a ))≤0等价于0<f (a )≤1或-1≤f (a )≤0,所以{0<lna ≤1,a >0或{0<(12)a-2≤1,a ≤0或{-1≤lna ≤0,a >0 或{-1≤(12)a-2≤0,a ≤0,解得-log 23≤a ≤0或1e≤a ≤e .15.(2018江苏,11,5分)若函数f (x )=2x 3-ax 2+1(a ∈R )在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f (x )在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 . 答案 -3解析 本题考查利用导数研究函数的极值和最值. ∵f (x )=2x 3-ax 2+1,∴f'(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a ).若a ≤0,则x >0时,f'(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)上为增函数,又f (0)=1,∴f (x )在(0,+∞)上没有零点,∴a >0.当0<x <a 3时,f'(x )<0,f (x )为减函数;当x >a 3时,f'(x )>0,f (x )为增函数,∴x >0时,f (x )有极小值,为f (a 3)=-a 327+1. ∵f (x )在(0,+∞)内有且只有一个零点, ∴f (a 3)=0,∴a =3.∴f (x )=2x 3-3x 2+1,则f'(x )=6x (x -1).x -1(-1,0) 0(0,1) 1f'(x )+-f (x )-4增1减∴f (x )在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4. ∴最大值与最小值的和为-3.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(10分)(2019安徽黄山模拟,18)已知函数f (x )=log 2(12x +a). (1)若函数f (x )是R 上的奇函数,求a 的值;(2)若函数f (x )的定义域是一切实数,求a 的取值范围;(3)若函数f (x )在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a 的取值范围. 解析 (1)因为函数f (x )是R 上的奇函数, 所以f (0)=0,求得a =0.(2分)当a =0时,f (x )=-x 是R 上的奇函数. 所以a =0为所求.(4分)(2)因为函数f (x )的定义域是一切实数,所以12x +a >0恒成立.即a >-12x 恒成立,由于-12x ∈(-∞,0), (6分) 故只要a ≥0即可.(7分)(3)由已知得函数f (x )是减函数,故f (x )在区间[0,1]上的最大值是f (0)=log 2(1+a ),最小值是f (1)=log 2(12+a).(8分)由题设得log 2(1+a )-log 2(12+a)≥2⇒{a +12>0,a +1≥4a +2.(11分)故-12<a ≤-13.(12分)17.(12分)已知函数f (x )=(x -√2x -1)·e -x(x ≥12). (1)求f (x )的导函数;(2)求f (x )在区间[12,+∞)上的取值范围.解析 本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能力. (1)因为(x -√2x -1)'=1-1√2x -1,(e -x )'=-e -x,所以f'(x )=(11√2x -1)e -x -(x -√2x -1)e -x=√2x -1-2)e -x √2x -1>12).(2)由f'(x )=√2x -1-2)e -x√2x -1=0,解得x =1或x =52. 因为x 12 (12,1) 1 (1,52) 52(52,+∞)f'(x )- 0 + 0- f (x )12e -12 ↘↗12e -52 ↘又f (x )=12(√2x -1-1)2e -x≥0,所以f (x )在区间[12,+∞)上的取值范围是[0,12e -12].18.(12分)(2019山西晋中模拟,18)已知f (x )=ax 2-2x +1-a ,a ∈R .(1)求f (x )在[0,2]上的最小值g (a );(2)若关于x 的方程f (2x )=(a +1)·4x -a ·(2x +1)-2x +1+3有正实数根,求实数a 的取值范围. 解析 (1)当a =0时,f (x )=-2x +1在[0,2]上单调递减,故最小值g (a )=f (2)=-3. 当a ≠0时,f (x )=ax 2-2x +1-a 是关于x 的二次函数,其图象的对称轴为x =1a.①当a <0时,x =1a<0,此时f (x )在[0,2]上单调递减, 故最小值g (a )=f (2)=3a -3; ②当a >0时,x =1a>0,当1a ∈(0,2),即a >12时,f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a ,2)上单调递增,故最小值g (a )=f (1a )=1-a -1a; 当1a∈[2,+∞),即0<a ≤12时,f (x )在[0,2]上单调递减, 故最小值g (a )=f (2)=3a -3.综上所述,g (a )={3a -3,a ≤12,1-1a-a ,a >12.(2)f (2x )=(a +1)4x-a (2x+1)-2x +1+3即a ·4x-2x +1+1-a =(a +1)4x-a (2x+1)-2x +1+3,化简得4x-a ·2x+2=0, 令t =2x (t >0),则方程变形为t 2-at +2=0, 根据题意得,原方程4x -a ·2x+2=0有正实数根,即关于t 的一元二次方程t 2-at +2=0有大于1的实数根, 而方程t 2-at +2=0⇔2t+t =a 在(1,+∞)上有实根,令F (t )=2t+t ,t ∈(1,+∞),则F (t )在(1,+∞)上的值域为[2√2,+∞),故a ∈[2√2,+∞). 19.(12分)已知函数f (x )=2x 3-ax 2+2.(1)讨论f (x )的单调性;(2)当0<a <3时,记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ,最小值为m ,求M -m 的取值范围.解析 本题考查导数及其应用的基础知识,考查导数与函数单调性之间的关系以及利用导数求函数最值的方法,考查学生的运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想的应用. (1)f'(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a ). 令f'(x )=0,得x =0或x =a 3.若a >0,则当x ∈(-∞,0)∪(a 3,+∞)时,f'(x )>0; 当x ∈(0,a 3)时,f'(x )<0.故f (x )在(-∞,0),(a 3,+∞)单调递增,在(0,a 3)单调递减; 若a =0,f (x )在(-∞,+∞)单调递增;若a <0,则当x ∈(-∞,a 3)∪(0,+∞)时,f'(x )>0; 当x ∈(a 3,0)时,f'(x )<0.故f (x )在(-∞,a 3),(0,+∞)单调递增,在(a 3,0)单调递减.(2)当0<a <3时,由(1)知,f (x )在(0,a 3)单调递减,在(a 3,1)单调递增,所以f (x )在[0,1]的最小值为f (a 3)=-a 327+2,最大值为f (0)=2或f (1)=4-a. 于是m =-a 327+2,M ={4-a ,0<a <2,2,2≤a <3.所以M -m ={2-a +a 327,0<a <2,a327,2≤a <3.当0<a <2时,可知2-a +a 327单调递减,所以M -m 的取值范围是(827,2). 当2≤a <3时,a 327单调递增,所以M -m 的取值范围是[827,1). 综上,M -m 的取值范围是[827,2). 20.(12分)(2019苏州期中,18)已知f (x )=e x-a ex 是奇函数. (1)求实数a 的值;(2)求函数y =e 2x+e -2x-2λf (x )在x ∈[0,+∞)上的值域; (3)令g (x )=f (x )-2x ,求不等式g (x 3+1)+g (1-3x 2)<0的解集. 解析 (1)函数的定义域为R ,因为f (x )为奇函数, 所以f (0)=0,所以1-a =0,所以a =1. (3分)当a =1时,f (-x )=e -x-1e -x =-e x +1ex =-f (x ), 此时f (x )为奇函数. (4分) (2)令e x-1ex =t (t ≥0),所以e 2x+1e 2x=t 2+2, 所以h (t )=t 2-2λt +2,对称轴为直线t =λ. (5分)①当λ≤0时,h (t )∈[h (0),+∞),所求值域为[2,+∞); (7分)②当λ>0时,h (t )∈[h (λ),+∞),所求值域为[2-λ2,+∞). (9分)(3)g (x )的定义域为R .因为f (x )=e x -1e x 为奇函数,所以g (-x )=f (-x )-2(-x )=-f (x )+2x =-g (x ),所以g (x )=f (x )-2x 为奇函数,所以g (x 3+1)+g (1-3x 2)<0等价于g (x 3+1)<g (3x 2-1). (10分)又g'(x )=f'(x )-2=e x +1e x -2≥2-2=0,当且仅当x =0时,等号成立,所以g (x )=f (x )-2x 在R 上单调递增,所以x 3+1<3x 2-1,即x 3-3x 2+2<0, (13分)即(x -1)(x 2-2x -2)<0,所以x <1-√3或1<x <1+√3. (14分)所以不等式的解集是(-∞,1-√3)∪(1,1+√3). (15分)21.(12分)(2020北京房山一模,20)已知函数f (x )=2x 3-ax 2+2. (1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)讨论函数f (x )的单调性;(3)若a >0,设函数g (x )=|f (x )|,g (x )在[-1,1]上的最大值不小于3,求a 的取值范围.解析 本题考查导数的几何意义、导数的应用、导数与函数的单调性,考查学生解决问题的能力,渗透逻辑推理、数学运算的核心素养.(1)f'(x )=6x 2-2ax ,由f'(0)=0,f (0)=2,得曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =2.(2)函数f (x )的定义域为R ,f'(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a ),令f'(x )=0,解得x 1=0,x 2=a 3,若a =0,则f'(x )=6x 2≥0,f (x )在R 上单调递增;若a >0,当x <0时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当0<x <a 3时,f'(x )<0,f (x )单调递减,当x >a 3时,f'(x )>0,f (x )单调递增; 若a <0,当x <a 3时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当a 3<x <0时,f'(x )<0,f (x )单调递减,当x >0时,f'(x )>0,f (x )单调递增.(3)若a >0,函数f (x )的单调递减区间为(0,a 3),单调递增区间为(-∞,0),(a 3,+∞).当a 3≥1,即a ≥3时,f (x )在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,则g (x )max =max {|f (-1)|,|f (0)|,|f (1)|}=max {a ,2,|4-a |}≥3,则a ≥3;当0<a 3<1,即0<a <3时,f (x )在[-1,0]和[a 3,1]上单调递增,在[0,a 3]上单调递减,∴f (x )在x =a 3处取得极小值,极小值为f (a 3)=2-a 327>0,则g (x )max =max {|f (-1)|,|f (0)|,|f (1)|}=max {a ,2,4-a },若g (x )max ≥3,则4-a ≥3,解得a ≤1,又0<a <3,∴0<a ≤1.综上,a 的取值范围为(0,1]∪[3,+∞).。

1、函数与导数（1）2、三角函数与解三角形3、函数与导数（2）4、立体几何5、数列（1）6、应用题7、解析几何8、数列（2）9、矩阵与变换10、坐标系与参数方程11、空间向量与立体几何12、曲线与方程、抛物线13、计数原理与二项式分布14、随机变量及其概率分布15、数学归纳法高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1)1．已知函数f (x )＝a e xx＋x .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1.∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1，又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1e.(2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则0000200201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ⎛> +> -+ = ⎝①②③由③得0e x a ＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0，结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ，设h (x )＝－x 2e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e2.又a <0，故当极大值为正数时，a ∈⎝⎛⎭⎫－4e 2，0， 从而不存在负整数a 满足条件．方法二 当x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2， 则H ′(x )＝(a e x ＋2)x ，∵x ∈(1，＋∞)，∴e x ∈(e ，＋∞)， ∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x ≤a e ≤－e ， ∴a e x ＋2<0，∴H ′(x )<0， ∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减．又H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0， ∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0， 且当1<x <x 0时，H (x )>0，即f ′(x )>0； 当x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0.∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝0e x a x ＋x 0.(*)又H (x 0)＝0e x a (x 0－1)＋x 20＝0， ∴00e x a x ＝－x 0x 0－1，代入(*)得f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0(x 0－2)x 0－1<0， ∴不存在负整数a 满足条件．2．已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )<g (x ).(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )＝xf ′(x )，且∃x ∈[1,2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1， ∴f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ，∵a >0，∴x 1<x 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (0)＝1，极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2. (2)g (x )＝xf ′(x )＝3ax 3－6x 2， ∵∃x ∈[1,2]，使h (x )＝f (x )，∴f (x )≥g (x )在[1,2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在[1,2]上有解， 即不等式2a ≤1x 3＋3x在[1,2]上有解，设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x3(x ∈[1,2])，∵y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立，∴y ＝1x 3＋3x 在[1,2]上单调递减，∴当x ＝1时，y ＝1x 3＋3x 的最大值为4，∴2a ≤4，即a ≤2.高考中档大题规范练 (一)三角函数与解三角形1．(2017·江苏宿迁中学质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)若x ＝x 0⎝⎛⎭⎫0≤x 0≤π2为f (x )的一个零点，求sin 2x 0的值． 解 (1)易得f (x )＝sin 2x ＋3sin 2x ＋12(sin 2x －cos 2x )＝1－cos 2x 2＋3sin 2x －12cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＋12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为π，值域为⎣⎡⎦⎤－32，52. (2)由f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋12＝0，得 sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝－14<0， 又由0≤x 0≤π2，得－π6≤2x 0－π6≤5π6，所以－π6≤2x 0－π6<0，故cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝154， 此时sin 2x 0＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6sin π6 ＝－14×32＋154×12＝15－38.2．(2017·江苏南通四模)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2，1，n ＝⎝⎛⎭⎫1，3cos x2，函数f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，求f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝sin x 2＋3cos x2＝2⎝⎛⎭⎫12sin x 2＋32cos x 2＝2⎝⎛⎭⎫sin x 2cos π3＋cos x 2sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π12＝4π.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，得2sin α2＝23，即sin α2＝13. 所以f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2cos α ＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＝149. 3．(2017·江苏南师大考前模拟)已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，并且m ⊥n . (1)求A －B ；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长．解 (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3－B ＝0. 因为0<A ，B <π2，所以－π6<A ＋π3－B <5π6，所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin B ＝45， 所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝sin B cos π6＋cos B sin π6 ＝45×32＋35×12＝43＋310， 由正弦定理可得BC ＝sin A sin B×AC ＝43＋3.4．(2017·江苏镇江三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B . (1)求角A ；(2)若f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )，求f (x )的单调递增区间． 解 (1)由(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B 及正弦定理， 得(a －c )(a ＋c )＝(b －3c )b ，即a 2＝b 2＋c 2－3bc . 由余弦定理，得cos A ＝32， 因为0<A <π，所以A ＝π6.(2)f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A ) ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12cos 2x ， 令π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，k ∈Z ， 得π2＋k π≤x ≤π＋k π，k ∈Z . 则f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π2＋k π，π＋k π，k ∈Z .(二)函数与导数(2)1．设函数f (x )＝2(a ＋1)x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋bx (b ∈R )，直线y ＝x ＋1是曲线y ＝f (x )的一条切线． (1)求a 的值；(2)若函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点x 1，x 2. ①试求b 的取值范围； ②证明：g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12.解 (1)设直线y ＝x ＋1与函数y ＝f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1，y 0＝2(a ＋1)x 0，a ＋1x 0＝1，解得a ＝0.(2)记h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x －ln x －bx .①函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点的必要条件是h ′(x )有两个正零点． h ′(x )＝1x －1x－b ＝－bx ＋x －1x ，令h ′(x )＝0，得bx －x ＋1＝0(x >0)． 令x ＝t ，则t >0.问题转化为bt 2－t ＋1＝0有两个不等的正实根t 1，t 2，等价于⎩⎨⎧Δ＝1－4b >0，t 1t 2＝1b >0，t 1＋t 2＝1b >0，解得0<b <14.当0<b <14时，设h ′(x )＝0的两正根为x 1，x 2，且x 1<x 2，则h ′(x )＝－bx ＋x －1x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x (x ＋x 1)(x ＋x 2).当x ∈(0，x 1)时，h ′(x )<0； 当x ∈(x 1，x 2)时，h ′(x )>0； 当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )<0.所以x 1，x 2是h (x )＝f (x )－g (x )的极值点， ∴b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14. ②由①知x 1x 2＝x 1＋x 2＝1b.可得g (x 1)＋g (x 2)＝－2ln b ＋1b －2，f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)＝12－b ln b －b .记k (b )＝12－b ln b －b ⎝⎛⎭⎫0<b <14， 则k ′(b )＝－ln b －2，令k ′(b )＝0，得b ＝1e 2∈⎝⎛⎭⎫0，14，且当b ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 2时，k ′(b )>0，k (b )单调递增； 当b ∈⎝⎛⎭⎫1e 2，14时，k ′(b )<0，k (b )单调递减， 且当b ＝1e 2时，k (b )取最大值1e 2＋12，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12.2．设函数f (x )＝2ax ＋bx＋c ln x .(1)当b ＝0，c ＝1时，讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6且函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2. ①求a 的取值范围； ②求f (x 2)的取值范围．解 (1)f (x )＝2ax ＋bx＋c ln x ，x >0，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2＋cx －bx 2.当b ＝0，c ＝1时，f ′(x )＝2ax ＋1x. 当a ≥0时，由x >0，得f ′(x )＝2ax ＋1x >0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，令f ′(x )＝2ax ＋1x >0，解得x <－12a ；令f ′(x )＝2ax ＋1x <0，解得x >－12a，所以，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． 综上所述，①当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)①函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6， 所以f (1)＝2a ＋b ＝3a －3，f ′(1)＝2a ＋c －b ＝3，所以b ＝a －3，c ＝－a ，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2－ax ＋3－ax 2，函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，则方程2ax 2－ax ＋3－a ＝0有两个大于0的解，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－a )2－8a (3－a )>0，a 2a >0，3－a 2a >0，解得83<a <3.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫83，3. ②2ax 22－ax 2＋3－a ＝0， x 2＝a ＋9a 2－24a 4a ＝14⎝⎛⎭⎫1＋9－24a ，由83<a <3，得x 2∈⎝⎛⎭⎫14，12， 由2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，得a ＝－32x 22－x 2－1.f (x 2)＝2ax 2＋a －3x 2－a ln x 2＝a ⎝⎛⎭⎫2x 2＋1x 2－ln x 2－3x 2 ＝－32x 2＋1x 2－ln x 22x 22－x 2－1－3x 2. 设φ(t )＝－32t ＋1t －ln t2t 2－t －1－3t ，t ∈⎝⎛⎭⎫14，12， φ′(t )＝－3⎝⎛⎭⎫2－1t 2－1t (2t 2－t －1)－⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t2＝－31t 2(2t 2－t －1)2＋3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t 2＝3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2.当t ∈⎝⎛⎭⎫14，12时，2t ＋1t －ln t >0,4t －1>0，φ′(t )>0， 所以φ(t )在⎝⎛⎭⎫14，12上单调递增， φ(t )∈⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2， 所以f (x 2)的取值范围是⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2. (二)立体几何1．(2017·江苏扬州调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB ＝2CD ，AC 交BD 于O ，锐角△P AD 所在平面⊥底面ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ ＝2QC .求证：(1)P A ∥平面QBD ； (2)BD ⊥AD .证明 (1)如图，连结OQ ，因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，所以AO ＝2OC . 又PQ ＝2QC ，所以P A ∥OQ . 又OQ ⊂平面QBD ，P A ⊄平面QBD ， 所以P A ∥平面QBD .(2)在平面P AD 内过P 作PH ⊥AD 于点H ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PH ⊂平面P AD ，所以PH ⊥平面ABCD .又BD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BD .又P A⊥BD，P A∩PH＝P，所以BD⊥平面P AD.又AD⊂平面P AD，所以BD⊥AD.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平面PBD.证明(1)连结OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD的中点，因为PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，所以PD∥OE.因为O为BD的中点，所以E为PB的中点．(2)在四棱锥P－ABCD中，AB＝2PC，因为四边形ABCD是正方形，所以OC＝22AB，所以PC＝OC.因为G为PO的中点，所以CG⊥PO.又因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PC⊥BD.而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为AC，PC⊂平面P AC，AC∩PC＝C，所以BD⊥平面P AC，因为CG⊂平面P AC，所以BD⊥CG.因为PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，所以CG⊥平面PBD.3．(2017·江苏怀仁中学模拟)如图，在四棱锥E－ABCD中，△ABD为正三角形，EB＝ED，CB＝CD.(1)求证：EC⊥BD；(2)若AB⊥BC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平面DMN∥平面BCE.证明(1)取BD的中点O，连结EO，CO.∵CD＝CB，EB＝ED，∴CO⊥BD，EO⊥BD.又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面EOC，∴BD⊥平面EOC.又EC⊂平面EOC，∴BD⊥EC.(2)∵N是AB的中点，△ABD为正三角形，∴DN⊥AB，∵BC⊥AB，∴DN∥BC.又BC⊂平面BCE，DN⊄平面BCE，∴DN∥平面BCE.∵M为AE的中点，N为AB的中点，∴MN∥BE，又MN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴MN∥平面BCE.∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面BCE.4．(2017·江苏楚水中学质检)如图，在三棱锥P －ABC 中，点E ，F 分别是棱PC ，AC 的中点．(1)求证：P A ∥平面BEF ；(2)若平面P AB ⊥平面ABC ，PB ⊥BC ，求证：BC ⊥P A . 证明 (1)在△P AC 中，E ，F 分别是棱PC ，AC 的中点， 所以P A ∥EF .又P A ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ， 所以P A ∥平面BEF .(2)在平面P AB 内过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D .因为平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊂平面P AB ，所以PD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BC ，又PB ⊥BC ，PD ∩PB ＝P ，PD ⊂平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ， 又P A ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A .(三)数 列(1)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝4，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知c n ＝2n ＋3(n ∈N *)，记d n ＝c n ＋log C a n (C >0且C ≠1)，是否存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．(3)若数列{b n }，对于任意的正整数n ，均有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22成立，求证：数列{b n }是等差数列． (1)解 a 1＝4－a 1，所以a 1＝2，由S n ＋a n ＝4，得当n ≥2时，S n －1＋a n －1＝4， 两式相减，得2a n ＝a n －1，所以a n a n －1＝12，数列{a n }是以2为首项，公比为12的等比数列，所以a n ＝22－n (n ∈N *)． (2)解 由于数列{d n }是常数列， d n ＝c n ＋log C a n ＝2n ＋3＋(2－n )log C 2 ＝2n ＋3＋2log C 2－n log C 2＝(2－log C 2)n ＋3＋2log C 2为常数， 则2－log C 2＝0， 解得C ＝2，此时d n ＝7.(3)证明 b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22，①当n ＝1时，b 1a 1＝12－32＝－1，其中a 1＝2，所以b 1＝－12.当n ≥2时，b 1a n －1＋b 2a n －2＋b 3a n －3＋…＋b n －1a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－n ＋12，②②式两边同时乘以12，得b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋14，③由①－③，得b n a 1＝－n －34，所以b n ＝－n 8－38(n ∈N *，n ≥2)，且b n ＋1－b n ＝－18，又b 1＝－12＝－18－38，所以数列{b n }是以－12为首项，公差为－18的等差数列．2．在数列{a n }中，已知a 1＝13，a n ＋1＝13a n －23n ＋1，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：数列{3n a n }是等差数列； (2)求S n ；(3)是否存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．(1)证明 因为a n ＋1＝13a n －23n ＋1，所以3n ＋1a n ＋1－3n a n ＝－2. 又因为a 1＝13，所以31·a 1＝1，所以{3n a n }是首项为1，公差为－2的等差数列． (2)解 由(1)知3n a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝3－2n ， 所以a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n，所以S n ＝1·⎝⎛⎭⎫131＋(－1)·⎝⎛⎭⎫132＋(－3)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ， 所以13S n ＝1·⎝⎛⎭⎫132＋(－1)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(5－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 两式相减，得23S n ＝13－2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝13－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤19×1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝2n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 所以S n ＝n 3n .(3)解 假设存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列，则2S q ＝S p ＋S r ，即2q3q ＝p 3p ＋r 3r. 当n ≥2时，a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n<0，所以数列{S n }单调递减． 又p <q ，所以p ≤q －1且q 至少为2，所以p 3p ≥q －13q －1，q －13q －1－2q 3q ＝q －33q .①当q ≥3时，p 3p ≥q －13q －1≥2q 3q ，又r 3r >0，所以p 3p ＋r 3r >2q3q ，等式不成立． ②当q ＝2时，p ＝1，所以49＝13＋r 3r ，所以r 3r ＝19，所以r ＝3({S n }单调递减，解惟一确定)． 综上可知，p ，q ，r 的值为1,2,3.(三)应用题1．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？(2)设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．(2)①当x ≤7时，y ＝360x ＋10x ＋236＝370x ＋236，②当x >7时，y ＝360x ＋236＋70＋6[(x －7)＋(x －6)＋…＋2＋1]＝3x 2＋321x ＋432，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236，x ≤7，3x 2＋321x ＋432，x >7，∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f (x )元．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236x ，x ≤7，3x 2＋321x ＋432x，x >7.当x ≤7时，f (x )＝370＋236x ，当且仅当x ＝7时，f (x )有最小值2 8267≈404(元)；当x ＞7时，f (x )＝3x 2＋321x ＋432x ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋144x ＋321≥393.当且仅当x ＝12时取等号．∵393<404，∴当x ＝12时f (x )有最小值393元．2．南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(亿立方米)关于t 的近似函数的关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 3＋11t 2－24t ＋100，0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋100，10<t ≤12.(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以i －1<t <i 表示第i 月份(i ＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月是衰退期？ (2)求一年内该地区冰川的最大体积．解 (1)当0<t ≤10时，V (t )＝－t 3＋11t 2－24t ＋100<100，化简得t 2－11t ＋24>0，解得t <3或t >8.又0<t ≤10，故0<t <3或8<t ≤10，当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋100<100， 解得10<t <413，又10<t ≤12，故10<t ≤12.综上得0<t <3或8<t ≤12.所以衰退期为1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月共7个月． (2)由(1)知，V (t )的最大值只能在(3,9)内取到．由V ′(t )＝(－t 3＋11t 2－24t ＋100)′＝－3t 2＋22t －24， 令V ′(t )＝0，解得t ＝6或t ＝43(舍去)．当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表：由上表，V (t )在t ＝6时取得最大值V (6)＝136(亿立方米)． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．3．如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB .位于该市的某大学M 与市中心O 的距离OM ＝313 km ，且∠AOM ＝β.现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M .其中tan α＝2，cos β＝313，AO ＝15 km.(1)求大学M 与站A 的距离AM ； (2)求铁路AB 段的长AB .解 (1)在△AOM 中，AO ＝15，∠AOM ＝β且cos β＝313，OM ＝313， 由余弦定理，得AM 2＝OA 2＋OM 2－2OA ·OM ·cos ∠AOM ＝152＋(313)2－2×15×313×313＝13×9＋15×15－2×3×15×3＝72.∴AM ＝62，即大学M 与站A 的距离AM 为6 2 km. (2)∵cos β＝313，且β为锐角，∴sin β＝213， 在△AOM中，由正弦定理，得AM sin β＝OMsin ∠MAO ，即62213＝313sin ∠MAO ，sin ∠MAO ＝22， ∴∠MAO ＝π4，∴∠ABO ＝α－π4，∵tan α＝2，∴sin α＝25，cos α＝15， ∴sin ∠ABO ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝110， 又∠AOB ＝π－α，∴sin ∠AOB ＝sin(π－α)＝25. 在△AOB 中，OA ＝15，由正弦定理，得 AB sin ∠AOB ＝OA sin ∠ABO，即AB 25＝15110，∴AB ＝302，即铁路AB 段的长为30 2 km.4．(2017·江苏苏州大学指导卷)如图，某地区有一块长方形植物园ABCD ，AB ＝8(百米)，BC ＝4(百米)．植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG ，满足下列要求：E 在CD 的延长线上，H 在BA 的延长线上，DE ＝0.5(百米)，AH ＝4(百米)，N 为AH 的中点，FN ⊥AH ，EF 为曲线段，它上面的任意一点到AD 与AH 的距离的乘积为定值，FG ，GH 均为线段，GH ⊥HA ，GH ＝0.5(百米)．(1)求四边形FGHN 的面积；(2)已知音乐广场M 在AB 上，AM ＝2(百米)，若计划在EFG 的某一处P 开一个植物园大门，在原植物园ABCD 内选一点Q 为中心建一个休息区，使得QM ＝PM ，且∠QMP ＝90°，问点P 在何处时，AQ 最小．解 (1)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．则E ⎝⎛⎭⎫－12，4，因为E 到AD 与AH 距离的乘积为2， 所以曲线EF 上的任意一点都在函数y ＝－2x 的图象上．由题意，N (－2,0)，所以F (－2,1)．四边形FGHN 的面积为12×⎝⎛⎭⎫12＋1×2＝32(平方百米)． (2)设P (x ，y )，则MP →＝(x －2，y )，MQ →＝(y ，－x ＋2)，AQ →＝(y ＋2，－x ＋2)，因为点Q 在原植物园内，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤y ＋2≤8，0≤2－x ≤4，即－2≤x ≤2.又点P 在曲线EFG 上，x ∈⎣⎡⎦⎤－4，－12， 所以－2≤x ≤－12，则点P 在曲线段EF 上， AQ ＝(y ＋2)2＋(2－x )2， 因为y ＝－2x，所以AQ ＝ ⎝⎛⎭⎫－2x ＋22＋(2－x )2 ＝ x 2＋4x 2－4x －8x ＋8 ＝ ⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2－4⎝⎛⎭⎫x ＋2x ＋4 ＝ ⎝⎛⎭⎫x ＋2x －22＝－x ＋2－x ＋2≥22＋2. 当且仅当－x ＝－2x，即x ＝－2时等号成立． 此时点P (－2，2)，即点P 在距离AD 与AH 均为2百米时，AQ 最小．(四)解析几何1．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，O 是坐标原点，P 是线段AB 的中点，若C 是点A 关于原点的对称点，Q 是线段BC 的中点，且OP ＝OQ ，设圆P 的方程为x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.(1)证明：线段AB 是圆P 的直径；(2)若存在正数p 使得2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2成立，当圆P 的圆心到直线x －2y ＝0的距离的最小值为255时，求p 的值． (1)证明 由题意知，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，点A (x 1，y 1)关于原点的对称点为C (－x 1，－y 1)，那么点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－x 1＋x 22，－y 1＋y 22， 由OP ＝OQ ，得OP 2＝OQ 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋y 222， 得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，从而x 1x 2＋y 1y 2＝0，由此得OA ⊥OB ，由方程x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0知，圆P 过原点，且点A ，B 在圆P 上，故线段AB 是圆P 的直径．(2)解 由2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2，得x 1＋x 2＝12p[(y 1＋y 2)2＋8p 2]， 又圆心P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22到直线x －2y ＝0的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋x 22－(y 1＋y 2)5 ＝⎪⎪⎪⎪14p [(y 1＋y 2)2＋8p 2]－(y 1＋y 2)5＝[(y 1＋y 2)－2p ]2＋4p 245p ≥4p 245p， 当且仅当y 1＋y 2＝2p 时，等号成立，所以4p 245p＝255， 从而得p ＝2.2.如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，O 是坐标原点，OF ＝5，过点F 作OF 的垂线交椭圆C 于P 0，Q 0两点，△OP 0Q 0的面积为453.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点M (－5，0)的直线l 与上、下半椭圆分别交于点P ，Q ，且PM ＝2MQ ，求直线l 的方程．解 (1)由题设条件，P 0F ＝00OP Q S OF ∆＝4535＝43. 易知P 0F ＝b 2a ，所以b 2a ＝43. 又c ＝OF ＝5，即a 2－b 2＝5，因此a 2－43a －5＝0，解得a ＝3或a ＝－53， 又a >0，所以a ＝3，从而b ＝2.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意y 1>0，y 2<0，并可设直线l ：x ＝ty －5， 代入椭圆方程得(ty －5)29＋y 24＝1， 即(4t 2＋9)y 2－85ty －16＝0.从而y 1＋y 2＝85t 4t 2＋9，y 1y 2＝－164t 2＋9. 又由PM ＝2MQ ，得y 1－y 2＝PM MQ＝2，即y 1＝－2y 2. 因此y 1＋y 2＝－y 2，y 1y 2＝－2y 22， 故－164t 2＋9＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 4t 2＋92，可解得t 2＝14. 注意到y 2＝－85t 4t 2＋9且y 2<0，知t >0，因此t ＝12. 故满足题意的直线l 的方程为2x －y ＋25＝0.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线l ：y ＝－12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝210，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点P ，直线AD ，BC 相交于点Q .(1)求椭圆E 的标准方程；(2)求证：直线PQ 的斜率为定值．(1)解 因为e ＝c a ＝32， 所以c 2＝34a 2，即a 2－b 2＝34a 2， 所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1. 由题意不妨设点A 在第二象限，点B 在第四象限，由⎩⎨⎧ y ＝－12x ，x 24b 2＋y 2b 2＝1，得A (－2b ，22b )． 又AB ＝210，所以OA ＝10，则2b 2＋12b 2＝52b 2＝10， 得b ＝2，a ＝4.所以椭圆E 的标准方程为x 216＋y 24＝1. (2)证明 由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1， A (－22，2)，B (22，－2)．①当直线CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2.从而k 1·k CB ＝y 0－2x 0＋22·y 0＋2x 0－22＝y 20－2x 20－8＝4⎝⎛⎭⎫1－x 2016－2x 20－8＝2－x 204x 20－8＝－14，所以k CB ＝－14k 1.同理k DB ＝－14k 2. 所以直线AD 的方程为y －2＝k 2(x ＋22)，直线BC 的方程为y ＋2＝－14k 1(x －22)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝－14k 1(x －22)，y －2＝k 2(x ＋22)， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，y ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1，从而点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1. 用k 2代替k 1，k 1代替k 2得点P 的坐标为⎝ ⎛22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1，所以k PQ ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1－2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋122(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1－22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1＝42(k 2－k 1)82(k 2－k 1)＝12. 即直线PQ 的斜率为定值，其定值为12. ②当直线CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (－22，－2)．设DA 的斜率为k ，由①知，k DB ＝－14k. 因为直线CA ：x ＝－22，直线DB ：y ＋2＝－14k(x －22)， 得P ⎝⎛⎭⎫－22，－2＋2k .又直线BC ：y ＝－2，直线AD ：y －2＝k (x ＋22)，得Q ⎝⎛⎭⎫－22－22k ，－2， 所以k PQ ＝12. 由①②可知，直线PQ 的斜率为定值，其定值为12. 4．(2017·江苏预测卷)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，右准线的方程为x ＝433.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ⎝⎛⎭⎫12，2，过x 轴上的一个定点M 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若三条直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点M 的坐标．解 (1)因为椭圆的离心率为32，右准线的方程为x ＝433， 所以e ＝c a ＝32，a 2c ＝433，则a ＝2，c ＝3，b ＝1， 椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设M (m,0)，当直线l 为y ＝0时，A (－2,0)，B (2,0)，P A ，PM ，PB 的斜率分别为 k P A ＝45，k PM ＝41－2m，k PB ＝－43， 因为直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，所以81－2m ＝45－43，m ＝8. 证明如下：当M (8,0)时，直线P A ，PM ，PB 的斜率构成等差数列，设AB ：y ＝k (x －8)，代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0，得x 2＋4k 2(x －8)2－4＝0，即(1＋4k 2)x 2－64k 2x ＋256k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝64k 21＋4k 2，x 1x 2＝256k 2－41＋4k 2， 又k PM ＝0－28－12＝－415， 所以k P A ＋k PB ＝y 1－2x 1－12＋y 2－2x 2－12＝kx 1－8k －2x 1－12＋kx 2－8k －2x 2－12＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－12＋1x 2－12 ＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2(x 1＋x 2)－1x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －264k 21＋4k 2－1256k 2－41＋4k 2－12×64k 21＋4k 2＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －260k 2－1154(60k 2－1)＝－815＝2k PM ，即证． (四)数 列(2)1．已知{a n }，{b n }，{c n }都是各项不为零的数列，且满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)若数列{a n }是常数列，d ＝2，c 2＝3，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＝λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{b n }是等差数列；(3)若a 1＝c 1＝d ＝k (k 为常数，k ∈N *)，b n ＝c n ＋k (n ≥2，n ∈N *)，求证：对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减． (1)解 因为d ＝2，c 2＝3，所以c n ＝2n －1.因为数列{a n }是各项不为零的常数列，所以a 1＝a 2＝…＝a n ，S n ＝na 1.则由c n S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 及c n ＝2n －1，得n (2n －1)＝b 1＋b 2＋…＋b n ，当n ≥2时，(n －1)(2n －3)＝b 1＋b 2＋…＋b n －1，两式相减得b n ＝4n －3.当n ＝1时，b 1＝1也满足b n ＝4n －3.故b n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)证明 因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，当n ≥2时，c n －1S n －1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1，两式相减得c n S n －c n －1S n －1＝a n b n ，即(S n －1＋a n )c n －S n －1c n －1＝a n b n ，S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，所以S n －1d ＋λnc n ＝λnb n .又S n －1＝λ＋λ(n －1)2(n －1)＝λn (n －1)2， 所以λn (n －1)2d ＋λnc n ＝λnb n ， 即(n －1)2d ＋c n ＝b n ，(*) 所以当n ≥3时，(n －2)2d ＋c n －1＝b n －1， 两式相减得b n －b n －1＝32d (n ≥3)， 所以数列{b n }从第二项起是公差为32d 的等差数列． 又当n ＝1时，由c 1S 1＝a 1b 1，得c 1＝b 1.当n ＝2时，由(*)得b 2＝(2－1)2d ＋c 2＝12d ＋(c 1＋d )＝b 1＋32d ， 得b 2－b 1＝32d . 故数列{b n }是公差为32d 的等差数列． (3)证明 由(2)得当n ≥2时，S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，即S n －1d ＝a n (b n －c n )． 因为b n ＝c n ＋k ，所以b n ＝c n ＋kd ，即b n －c n ＝kd ，所以S n －1d ＝a n ·kd ，即S n －1＝ka n ，所以S n ＝S n －1＋a n ＝(k ＋1)a n .当n ≥3时，S n －1＝(k ＋1)a n －1，两式相减得a n ＝(k ＋1)a n －(k ＋1)a n －1，即a n ＝k ＋1k a n －1， 故从第二项起数列{a n }是等比数列，所以当n ≥2时，a n ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k n －2， b n ＝c n ＋k ＝c n ＋kd ＝c 1＋(n －1)k ＋k 2＝k ＋(n －1)k ＋k 2＝k (n ＋k )，另外由已知条件得(a 1＋a 2)c 2＝a 1b 1＋a 2b 2.又c 2＝2k ，b 1＝k ，b 2＝k (2＋k )，所以a 2＝1，因而a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k n －2. 令d n ＝b n a n ，则d n ＋1d n ＝b n ＋1a n a n ＋1b n ＝(n ＋k ＋1)k (n ＋k )(k ＋1). 因为(n ＋k ＋1)k －(n ＋k )(k ＋1)＝－n <0，所以d n ＋1d n<1，所以对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减． 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a n ＋a n ＋1，c n ＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)．(1)若数列{b 2n －1}是公比为3的等比数列，求S 2n ；(2)若数列{b n }是公差为3的等差数列，求S n ；(3)是否存在这样的数列{a n }，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立，若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．解 (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32. (2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＝3，∴{a 2k －1}，{a 2k }均是公差为3的等差数列，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·3＝3k －2，a 2k ＝a 2＋(k －1)·3＝3k －1，当n ＝2k (k ∈N *)时，S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＝k (1＋3k －2)2＋k (2＋3k －1)2＝3k 2＝3n 24； 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，S n ＝S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝3k 2－3k ＋1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－3·n ＋12＋1＝3n 2＋14. 综上可知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3n 24，n ＝2k ，k ∈N *，3n 2＋14，n ＝2k －1，k ∈N *.(3)∵{b n }成等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即2(a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)，a 2＋a 3＝a 1＋a 4，①∵{c n }成等比数列，∴c 22＝c 1c 3.即(a 2a 3)2＝(a 1a 2)·(a 3a 4)，∵c 2＝a 2a 3≠0，∴a 2a 3＝a 1a 4，②由①②及a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝1，a 4＝2，设{b n }的公差为d ，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝d ，即a n ＋2－a n ＝d ，即数列{a n }的奇数项和偶数项都构成公差为d 的等差数列，又d ＝a 3－a 1＝a 4－a 2＝0， ∴数列{a n }＝1,2,1,2,1,2，…，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *.此时c n ＝2，{c n }是公比为1的等比数列，满足题意．∴存在数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立．高考附加题加分练 1.矩阵与变换1．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b0，点A (1,0)在矩阵M 对应的变换作用下变为A ′(1,2)，求矩阵M 的逆矩阵M －1. 解 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，∴a ＝1，b ＝2.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0121 －12. 2．(2017·江苏徐州一中检测)已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解 设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x .又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝⎛⎭⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y . 3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量． 解 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4. 因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1. 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1.设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y . 令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.4．(2017·江苏江阴中学质检)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解 M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0.2.坐标系与参数方程1．(2017·江苏兴化中学调研)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系． 解 将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程，得 C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2. 圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32>2，∴曲线C 1与C 2相离．2．(2017·江苏金坛一中期中)已知在极坐标系下，圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2与直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点M 为圆C 上的动点，求点M 到直线l 的距离的最大值． 解 圆C 化为直角坐标方程，得x 2＋(y ＋1)2＝1. 直线l 化为直角坐标方程，得x ＋y ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1－2|2＝322，所以点M 到直线l 的距离的最大值为1＋322.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数． (1)当m ＝0时，求线段AB 的长；(2)当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值． 解 (1)直线l ：x ＋y －1＝0，曲线C ：x 2＋y 2＝4，圆心到直线的距离d ＝12， 故AB ＝2r 2－d 2＝14.(2)圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －m )2＝4， 直线l ：x ＋y －1＝0，由题意，知圆心到直线的距离d ＝|m －1|2＝1，∴m ＝1± 2.4．(2017·江苏昆山中学质检)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝3，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝1＋t(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大． 解 曲线C 的普通方程是x 23＋y 2＝1，直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－12.因为－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2， 所以当sin ⎝⎛⎭⎫ θ＋π4＝－1，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 设点M 的极角为φ，则⎩⎨⎧ρcos φ＝－62，ρsin φ＝－22，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，φ＝7π6.综上，当点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大．3.空间向量与立体几何1．(2017·江苏南通中学月考)如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； (2)求二面角A －BE －C 的正弦值．解 (1)以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，E (0,1,0)． EB →＝(2，－1,0)，AC →＝(0,2，－1)， ∴cos 〈EB →，AC →〉＝－25，即异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25.(2)AB →＝(2,0，－1)，AE →＝(0,1，－1)， 设平面ABE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则由n 1⊥AB →，n 1⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，y －z ＝0，取n 1＝(1,2,2)， 平面BEC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23，∴二面角A －BE －C 的余弦值cos θ＝23，∴sin θ＝53，即二面角A －BE －C 的正弦值为53.2．(2017·江苏宜兴中学质检)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值．解 (1)由题意知，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3)，则A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)，DB 1→＝(1，－2,3)． 设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0， 得y ＝0，x ＝3z ，令z ＝1，得x ＝3，n ＝(3,0,1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3＋3|10×14＝33535.(2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，A 1B 1→＝(2,0,0)． 由m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0， 得a ＝0,2b ＝3c ，令c ＝2，得b ＝3，m ＝(0,3,2)． 设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α， |cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝265， sin α＝3765＝345565.所以二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值为345565.3．(2017·江苏运河中学质检)在四棱锥P －ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝π2，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.设Q 为侧棱PC 上一点，PQ →＝λPC →.试确定λ的值，使得二面角Q －BD －P 为π4.解 因为侧面PCD ⊥底面ABCD ， 平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PD ⊥CD ， 所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ， 又∠ADC ＝π2，故DA ，DC ，DP 两两互相垂直．如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,1)，则平面PBD 的一个法向量为n ＝(－1,1,0)， PC →＝(0,2，－1)，PQ →＝λPC →，λ∈(0,1)， 所以Q (0,2λ，1－λ)．设平面QBD 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由m ·BD →＝0，m ·DQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0，所以取b ＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，2λλ－1，所以cos π4＝|m ·n ||m ||n |，即22·2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ－12＝22. 注意到λ∈(0,1)，解得λ＝2－1.4．在三棱锥S －ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1)若D 为棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ； (2)求二面角S －BC －A 的余弦值的大小．解 以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系． 由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝3.所以O (0,0,0)，C (0，3，0)，A (0，－3，0)，S (0,0,3)，B (3,0,0)． (1)设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，则OD →＝(1－λ)OB →＋λOS →＝(3(1－λ)，0,3λ)， 所以CD →＝(3(1－λ)，－3，3λ)． 因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ， 所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23.故SD DB ＝12时，CD ⊥AB .。

高三数学(文)一轮复习集合、函数、三角函数、向量测试题 一、选择题：1．设集合A =｛x |－3＜x ＜1｝，B =｛x |log 2|x |＜1｝则A ∩B 等（ D ） A ．（－3，0）∪（0，1） B ．（－1，0）∪（0，1） C ．（－2，1） D ．（－2，0）∪（0，1） 2. 若函数1)12()(22+--+=x a a ax x f 为偶函数，则实数a 的值为（ C ）A. 1B. 21-C. 1或21- D. 0 3. 已知a R ∈,则“01aa ≤-”是“指数函数x y a =在R 上为减函数”的（ B ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件( D )5.在下列区间中,函数()=+4-3xf x e x 的零点所在的区间为（ C ）A ．(1-4,0)B ．(0,14)C ．(14,12)D ．(12,34) 6.将函数sin y x x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图像关于y 轴对称,则a的最小值为( A )A ．π6 B ．π2 C ．7π6 D ．π37.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数,且在]0,(-∞上是增函数,设)2.0(),3(log )7(log 6.0214f c f b f a ===,则c b a ,,的大小关系是（ D ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ． c a b <<8.若实数x ，y 满足10,0,0x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则z =3x +2y 的最小值是( B )A.0B. 1C.3D. 99．如图，在△OAB 中，∠AOB =120°，OA =2，OB =1，C 、D 分别是线段OB 和AB 的中点，那么OD AC ⋅=（ B ） A ．－2B ．－32C ．－12D ．3410.已知()()[]22,0,1,132,0x x f x f x ax x x x ⎧-≤=≥∈-⎨->⎩若在上恒成立,则实数a 的取值范围是（ B ）A ．(][)10,-∞-⋃+∞B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．),1[]0,(+∞⋃-∞11．已知函数f (x )＝|x |＋1x ，则函数y ＝f (x )的大致图像为 ( B )12．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足：∀x ∈R 恒有f (x +2)=f (x )－f (1)．且当x ∈［2，3］ 时，f (x )=－2(x －3)2．若函数y =f (x )－log a (x +1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则实数a 的 取值范围为（ B ） A ．（0B ．（0） C ．（1） D ．（1二、填空题：13. 已知i 为虚数单位，若i ibia +=++21(∈b a ,R),则=ab 3 ； 14. 若)2sin(3)6sin(αππα-=+，则=α2tan11- ；15. 已知向量||||||b a b a +==，则a 与b a -的夹角为 6π；16.函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则+m 1n2的最小值为 8三、解答题.17. 已知ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c A b B a =+sin 3cos .(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若1=a ，3=⋅AC AB ，求c b +的值。

高三测试复习试题（集合、函数、三角函数、平面向量）1.若集合{}–2<1A x x =<，{}–13B x x x =<>或，则A B =I ___________ 2.已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =I ___________ 3.集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =U （ ）4.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的___________条件5.设θ∈R ，则“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的___________条件 6.若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ． 7.已知4213332,3,25a b c ===，则a,b,c 的大小关系为 ．8.已知向量a ，b 的夹角为60o ，2=a ， 1=b ，则2+=a b .9.已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________.10.已知向量a =(1,–1)，b =(6,–4)．若a ⊥(ta +b )，则实数t 的值为________．11.设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = .12.已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.13.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是___________. 14.=-+-1)21(2lg 225lg15.设10()2,0x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=___________. 16.要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像___________. 17.若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于___________. 18.sin20°cos10°-con160°sin10°=___________.19.若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．20.设(1,2)a =r ，(1,1)b =r ，c a kb =+r r r ．若b c ⊥r r ，则实数k 的值等于___________.21.已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a ___________.22.已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.23.设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.24.已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.25.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.26.在ABC △中，60A ∠=o ，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.27.已知函数()e cos x f x x x =-.求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程28.已知函数()24ln f x x x a x =-+(),0a a ∈≠R ，()f x '为函数()f x 的导函数．若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程29.已知函数()e cos x f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.30.已知函数()()2e2e x x f x a a x =+--.讨论()f x 的单调性31.已知函数2()cos 222x x x f x ． (1) 求()f x 的最小正周期；(2) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．32.已知函数()2sin 2x f x x =-． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．33.已知tan 2α=． ()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； ()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．34.已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（1）求()f x 最小正周期；（2）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.35.C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．向量()m a =r 与()cos ,sin n =A B r 平行．（1）求A ；（2）若a =2b =求C ∆AB 的面积．36.在平面直角坐标系xoy中，已知向量m =⎝⎭u r ，()sin ,cos n x x =r ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ （1）若m n ⊥u r r ，求tan x 的值（2）若m u r 与n r 的夹角为3π，求x 的值。

数学练习题高三数学复习题汇总数学练习在高三阶段对于学生复习和巩固知识非常重要。

为了帮助高三学生更好地复习数学，本文将为大家提供一个高三数学复习题的汇总，包括常见的各个章节的练习题。

希望这些练习题能够帮助大家更好地复习和提高数学水平。

1. 函数与导数1.1 高中一年级1.1.1 求函数的导数题目：已知函数$f(x)=3x^2-2x+1$，求$f'(x)$。

1.1.2 求函数的极值题目：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+5$，求$f(x)$的极值。

1.2 高中二年级1.2.1 函数的单调性题目：已知函数$f(x)=2x^3-6x^2+3x+2$，求$f(x)$的单调递增区间和单调递减区间。

1.2.2 函数的最值题目：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+5$，求$f(x)$的最大值和最小值。

2. 三角函数与立体几何2.1.1 三角函数的基本关系题目：已知一个直角三角形，其中一条直角边的长度为5 cm，斜边的长度为13 cm，求另一条直角边的长度。

2.1.2 三角函数的周期性题目：已知函数$f(x)=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})$，求它的周期和振幅。

2.2 高中二年级2.2.1 立体几何中的体积计算题目：已知一个正方体的棱长为5 cm，求它的体积。

2.2.2 立体几何中的表面积计算题目：已知一个球的半径为3 cm，求它的表面积。

3. 解析几何与概率统计3.1 高中一年级3.1.1 平面直角坐标系中的直线关系题目：已知直线$L_1: x-y+3=0$和直线$L_2: 2x+y-4=0$，求它们的交点坐标。

3.1.2 二次函数与二次方程题目：已知函数$f(x)=x^2-4x+3$，求$f(x)$的零点。

3.2.1 概率统计中的样本调查题目：某校进行校园安全意识调查，调查了100位学生，其中90位表示对校园安全有较高的意识。

那么在该校的学生中，有自我安全意识的概率是多少？3.2.2 概率统计中的条件概率题目：某校有60%的学生会玩篮球，70%的学生会玩足球，且50%的学生既会玩篮球又会玩足球。