初三数学一元二次方程易错题
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九年级数学上册 一元二次方程易错题(Word 版 含答案)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)1.如图,在矩形ABCD 中,6AB cm =,8AD cm =,点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动,速度是1/cm s ,过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ,同时,点Q 从点C 出发沿CB 方向,在射线CB 上匀速运动,速度是2/cm s ,连接PQ 、QE ,PQ 与AC 交与点F ,设运动时间为()(08)<<t s t .(1)当t 为何值时,四边形PFCE 是平行四边形;(2)设PQE 的面积为2()s cm ,求s 与t 的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t ,使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932; (4)是否存在某一时刻t ,使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上.【答案】(1)83t =;(2)S =299(08)8t t t -+<<;(3)当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932;(4)当573256=t 时,点E 在线段PQ 的垂直平分线上 【解析】 【分析】(1)由四边形PFCE 是平行四边形,可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形,即PD CQ =,列式82t t -=,计算可解. (2)由PE AC ∥,得=DP DE DA DC ,代入时间t ,得886-=t DE 解得364=-DE t ,34CE t =再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系,可列函数式299(08)8S t t t =-+<<.(3)由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932得299986832S t t =-+=⨯⨯,可解当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932. (4)当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时,=EQ PE ,得22=EQ PE ,由Rt CEQ 与△Rt PDE 可得,222+=CE CQ EQ ,222PD DE PE +=,即2222+=+CE CQ PD DE ,代入364=-DE t ,34CE t =,2CQ t =,8PD t =-可得222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t ,计算验证可解.【详解】(1)当四边形PFCE 是平行四边形时,∥PF CE , 又∵PD QC ,∴四边形CDPQ 为平行四边形, ∴PD CQ =, 即82t t -=, ∴83t =(2)∵PE AC ∥,∴=DP DEDA DC , 即886-=t DE, ∴364=-DE t , ∴336644=-+=CE t t ,∴21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭△PDE S PD DE t t t t , 2113322244=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ,S 梯形11()(28)632422=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ,∴S S =梯形299(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t(3)由题意,299986832-+=⨯⨯t t 解得12t =,26t =所以当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932.(4)当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时,=EQ PE , ∴22=EQ PE ,在Rt CEQ 中,222+=CE CQ EQ , 在△Rt PDE 中,222PD DE PE +=, ∴2222+=+CE CQ PD DE ,即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t 解得1573256-=t ,2573256+=-t (舍)所以当57325-=t 时,点E 在线段PQ 的垂直平分线上. 【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用,勾股定理,平行线的性质,解一元二次方程,需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证,不可忽略.2.如图,在长方形ABCD 中,边AB 、BC 的长(AB <BC )是方程x 2-7x +12=0的两个根.点P 从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿△ABC 边 A →B →C →A 的方向运动,运动时间为t (秒).(1)求AB 与BC 的长;(2)当点P 运动到边BC 上时,试求出使AP 长为10时运动时间t 的值;(3)当点P 运动到边AC 上时,是否存在点P ,使△CDP 是等腰三角形?若存在,请求出运动时间t 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1) AB =3,BC =4;(2) t =4;(3) t 为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP 是等腰三角形. 【解析】试题分析:(1)解一元二次方程即可求得边长; (2)结合图形,利用勾股定理求解即可;(3)根据题意,分为:PC =PD ,PD =PC ,PD =CD ,三种情况分别可求解. 试题解析:(1)∵x 2-7x +12=(x -3)(x -4)=0 ∴1x =3或2x =4 . 则AB =3,BC =4(2)由题意得()223t-310?+=() ∴14t =,22t =(舍去) 则t =4时,AP =10.(3)存在点P ,使△CDP 是等腰三角形. ①当PC =PD =3时, t =3431++ =10(秒). ②当PD =PC(即P 为对角线AC 中点)时,AB =3,BC =4. ∴AC=2234+ =5,CP 1= 12AC =2.5 ∴t=34 2.51++ =9.5(秒) ③当PD =CD =3时,作DQ⊥AC 于Q. 1341221552DQ ⨯⨯==⨯,22129355PQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ∴PC=2PQ =185∴183453515t ++==(秒) 可知当t 为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP 是等腰三角形.3.已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两点,OA=5,∠OAB=60°.(1)如图1,求直线AB 的解析式;(2)如图2,点P 为直线AB 上一点,连接OP ,点D 在OA 延长线上,分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ,连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22,求S 的值.【答案】(1)直线解析式为353y x =-+53253+;(3)203S =.【解析】 【分析】(1)先求出点B 坐标,设AB 解析式为y kx b =+,把点A(5,0),B(0,分别代入,利用待定系数法进行求解即可;(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形,∠OAB=∠APC=60°,则有PC=OD=5+m ,∠PCH=30°,过点C 作CH ⊥AB ,在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得)5m +,再由S=12AB •CH 代入相关数据进行整理即可得; (3) 先求得∠PEC=∠ADC ,设∠OPA=α,则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α,在BA 延长线上截取AK=AD ,连接OK ,DK ,DE ,证明△ADK 是等边三角形,继而证明△PEC ≌△DKO ,通过推导可得到OP=OK=CE=CD ,再证明△CDE 是等边三角形,可得CE=CD=DE ,连接OE ,证明△OPE ≌△EDA ,继而可得△OAE 是等边三角形,得到OA=AE=5 ,根据四边形ADCE 的周长等于22,可得ED=172m -,过点E 作EN ⊥OD 于点N ,则DN=52m +,由勾股定理得222EN DN DE +=, 可得关于m 的方程,解方程求得m 的值后即可求得答案.【详解】(1)在Rt △ABO 中OA=5,∠OAB=60°, ∴∠OBA=30°,AB=10 , 由勾股定理可得OB=, ∴B(0,,设AB 解析式为y kx b =+,把点A(5,0),B(0,)分别代入,得05k bb=+⎧⎪⎨=⎪⎩,∴k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴直线解析式为y =+ (2)∵CP//OD ,OP//CD ,∴四边形ODCP 是平行四边形,∠OAB=∠APC=60°, ∴PC=OD=5+m ,∠PCH=30°, 过点C 作CH ⊥AB ,在Rt △PCH 中 PH=52m +,由勾股定理得)5m +, ∴S=12AB •CH=110(5)2222m m ⨯⨯+=+;(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°,∴∠EAD+∠ECD=180°,∠CEA+∠ADC=180°, ∴∠PEC=∠ADC ,设∠OPA=α,则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α, 在BA 延长线上截取AK=AD ,连接OK ,DK ,DE , ∵∠DAK=60°, ∴△ADK 是等边三角形, ∴AD=DK=PE ,∠ODK=∠APC , ∵PC=OD , ∴△PEC ≌△DKO ,∴OK=CE ,∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α, ∠AKD= ∠APC=60° , ∴∠OPK= ∠OKB , ∴OP=OK=CE=CD , 又∵∠ECD=60°, ∴△CDE 是等边三角形, ∴CE=CD=DE ,连接OE ,∵ ∠ADE=∠APO ,DE=CD=OP , ∴△OPE ≌△EDA , ∴AE=OE , ∠OAE=60°, ∴△OAE 是等边三角形, ∴OA=AE=5 ,∵四边形ADCE 的周长等于22, ∴AD+2DE=17, ∴ED=172m-, 过点E 作EN ⊥OD 于点N ,则DN=52m +, 由勾股定理得222EN DN DE +=,即22253517()()()222m m -++=, 解得13m =,221m =-(舍去), ∴S=15325322+=203.【点睛】本题考查的四边形综合题,涉及了待定系数法,平行四边形的判定与性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,解一元二次方程等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.4.如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,点A (0,8),点B (m ,0),且m >0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°,得△ACD ,点O ,B 旋转后的对应点为C ,D , (1)点C 的坐标为 ;(2)①设△BCD 的面积为S ,用含m 的式子表示S ,并写出m 的取值范围; ②当S=6时,求点B 的坐标(直接写出结果即可).【答案】(1)C (8,8);(2)①S=0.5m 2﹣4m (m >8),或S=﹣0.5m 2+4m (0<m <8);②点B 的坐标为(7,0)或(2,0)或(6,0). 【解析】 【分析】(1)由旋转的性质得出AC =AO =8,∠OAC =90°,得出C (8,8)即可;(2)①由旋转的性质得出DC =OB =m ,∠ACD =∠AOB =90°,∠OAC =90°,得出∠ACE =90°,证出四边形OACE 是矩形,得出DE ⊥x 轴,OE =AC =8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,得出BE=OB−OE=m−8,由三角形的面积公式得出S =0.5m2−4m(m>8)即可;b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,BE=OE−OB=8−m,由三角形的面积公式得出S=−0.5m2+4m(0<m<8)即可;c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;②当S=6,m>8时,得出0.5m2−4m=6,解方程求出m即可;当S=6,0<m<8时,得出−0.5m2+4m=6,解方程求出m即可.【详解】(1)∵点A(0,8),∴AO=8,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴AC=AO=8,∠OAC=90°,∴C(8,8),故答案为(8,8);(2)①延长DC交x轴于点E,∵点B(m,0),∴OB=m,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴DC=OB=m,∠ACD=∠AOB=90°,∠OAC=90°,∴∠ACE=90°,∴四边形OACE是矩形,∴DE⊥x轴,OE=AC=8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,如图1所示:则BE=OB﹣OE=m﹣8,∴S=0.5DC•BE=0.5m(m﹣8),即S=0.5m2﹣4m(m>8);b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,如图2所示:则BE=OE﹣OB=8﹣m,∴S=0.5DC•BE=0.5m(8﹣m),即S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;综上所述,S=0.5m2﹣4m(m>8),或S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);②当S=6,m>8时,0.5m2﹣4m=6,解得:m=4±27(负值舍去),∴m=4+27;当S=6,0<m<8时,﹣0.5m2+4m=6,解得:m=2或m=6,∴点B的坐标为(4+27,0)或(2,0)或(6,0).【点睛】本题是三角形综合题目,考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识;本题综合性强,有一定难度.5.已知二次函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b,当b=﹣3时,二次函数的图象经过点(﹣1,4)①求a的值;②求当a ≤x ≤b 时,一次函数y =ax +b 的最大值及最小值; 【答案】①a 的值是﹣2或﹣4;②最大值=13,最小值=9 【解析】 【分析】①根据题意解一元二次方程即可得到a 的值;②根据a ≤x ≤b ,b =﹣3求得a=-4,由此得到一次函数为y =﹣4x ﹣3,根据函数的性质当x =﹣4时,函数取得最大值,x =﹣3时,函数取得最小值,分别计算即可.【详解】解:①∵y =9x 2﹣6ax +a 2﹣b ,当b =﹣3时,二次函数的图象经过点(﹣1,4) ∴4=9×(﹣1)2﹣6a ×(﹣1)+a 2+3, 解得,a 1=﹣2,a 2=﹣4, ∴a 的值是﹣2或﹣4; ②∵a ≤x ≤b ,b =﹣3 ∴a =﹣2舍去, ∴a =﹣4, ∴﹣4≤x ≤﹣3, ∴一次函数y =﹣4x ﹣3,∵一次函数y =﹣4x ﹣3为单调递减函数,∴当x =﹣4时,函数取得最大值,y =﹣4×(﹣4)﹣3=13 x =﹣3时,函数取得最小值,y =﹣4×(﹣3)﹣3=9. 【点睛】此题考查解一元二次方程,一次函数的性质,(2)是难点,正确理解a 、b 的关系得到函数解析式是解题的关键.6.某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况,下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况.小张:“该商品的进价为 24元/件.”成员甲:“当定价为 40元/件时,每天可售出 480件.”成员乙:“若单价每涨 1元,则每天少售出 20件;若单价每降 1元,则每天多售出 40件.” 根据他们的对话,请你求出要使该商品每天获利 7680元,应该怎样合理定价? 【答案】要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件 【解析】 【分析】设每件商品定价为x 元,则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件,每件商品的利润是(24)x -元,在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件,每件的利润是(24)x -元,从而可以得到答案.【详解】解:设每件商品定价为x 元.①当40x ≥时,[](24)48020(40)7680x x ---= , 解得:1240,48;x x ==②当40x <时,[](24)48040(40)7680x x -+-=, 解得:1236,40x x ==(舍去),.答:要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件. 【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用,用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键.7.阅读下列材料 计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)(+),令+=t ,则:原式=(1﹣t )(t +)﹣(1﹣t ﹣)t =t +﹣t 2﹣+t 2=在上面的问题中,用一个字母代表式子中的某一部分,能达到简化计算的目的,这种思想方法叫做“换元法”,请用“换元法”解决下列问题: (1)计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)×(+)(2)因式分解:(a 2﹣5a +3)(a 2﹣5a +7)+4 (3)解方程:(x 2+4x +1)(x 2+4x +3)=3 【答案】(1);(2)(a 2﹣5a +5)2;(3)x 1=0,x 2=﹣4,x 3=x 4=﹣2【解析】 【分析】(1)仿照材料内容,令+=t 代入原式计算.(2)观察式子找相同部分进行换元,令a 2﹣5a =t 代入原式进行因式分解,最后要记得把t 换为a .(3)观察式子找相同部分进行换元,令x 2+4x =t 代入原方程,即得到关于t 的一元二次方程,得到t 的两个解后要代回去求出4个x 的解. 【详解】 (1)令+=t ,则: 原式=(1﹣t )(t +)﹣(1﹣t ﹣)t =t +﹣t 2﹣﹣t +t 2+=(2)令a 2﹣5a =t ,则:原式=(t +3)(t +7)+4=t 2+7t +3t +21+4=t 2+10t +25=(t +5)2=(a 2﹣5a +5)2 (3)令x 2+4x =t ,则原方程转化为:(t +1)(t +3)=3t 2+4t +3=3t (t +4)=0∴t 1=0,t 2=﹣4 当x 2+4x =0时,x (x +4)=0解得:x 1=0,x 2=﹣4当x 2+4x =﹣4时,x 2+4x +4=0(x +2)2=0解得:x 3=x 4=﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算,因式分解,解一元二次方程.利用换元法一般可达到降次效果,从而简便运算.8.如图,已知AB 是⊙O 的弦,半径OA=2,OA 和AB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+a=0的两个实数根.(1)求弦AB 的长度;(2)计算S △AOB ;(3)⊙O 上一动点P 从A 点出发,沿逆时针方向运动一周,当S △POA =S △AOB 时,求P 点所经过的弧长(不考虑点P 与点B 重合的情形).【答案】(1)AB=2;(2)S △AOB 33)当S △POA =S △AOB 时,P 点所经过的弧长分别是43π、83π、103π. 【解析】试题分析:(1)OA 和AB 的长度是一元二次方程的根,所以利用一元二次方程的根与系数的关系即可求出AB 的长度;(2)作出△AOB 的高OC ,然后求出OC 的长度即可求出面积;(3)由题意知:两三角形有公共的底边,要面积相等,即高要相等.试题解析:(1)由题意知:OA 和AB 的长度是x 2﹣4x+a=0的两个实数根,∴OA+AB=﹣41-=4,∵OA=2,∴AB=2;(2)过点C作OC⊥AB于点C,∵OA=AB=OB=2,∴△AOB是等边三角形,∴AC=12AB=1,在Rt△ACO中,由勾股定理可得:OC=3,∴S△AOB=12AB﹒OC=12×2×3=3;(3)延长AO交⊙O于点D,由于△AOB与△POA有公共边OA,当S△POA=S△AOB时,∴△AOB与△POA高相等,由(2)可知:等边△AOB的高为3,∴点P到直线OA的距离为3,这样点共有3个①过点B作BP1∥OA交⊙O于点P1,∴∠BOP1=60°,∴此时点P经过的弧长为:1202180π⨯=43π,②作点P2,使得P1与P2关于直线OA对称,∴∠P2OD=60°,∴此时点P经过的弧长为:2402180π⨯=83π,③作点P3,使得B与P3关于直线OA对称,∴∠P3OP2=60°,∴此时P经过的弧长为:3002180π⨯=103π,综上所述:当S△POA=S△AOB时,P点所经过的弧长分别是43π、83π、103π.【点睛】本题主要考查了一元二次方程与圆的综合知识.涉及等边三角形性质,圆的对称性等知识,能综合运用所学知识,选择恰当的方法进行解题是关键.9.在等腰三角形△ABC中,三边分别为a、b、c,其中ɑ=4,若b、c是关于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣12)=0的两个实数根,求△ABC的周长.【答案】△ABC的周长为10.【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑:当a=4为腰长时,将x=4代入原方程可求出k值,将k值代入原方程可求出底边长,再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长;当a=4为底边长时,由根的判别式△=0可求出k值,将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值,由b+c=a 可得出此种情况不存在.综上即可得出结论. 【详解】当a =4为腰长时,将x =4代入原方程,得:()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得:52k =当52k =时,原方程为x 2﹣6x +8=0, 解得:x 1=2,x 2=4,∴此时△ABC 的周长为4+4+2=10;当a =4为底长时,△=[﹣(2k +1)]2﹣4×1×4(k ﹣12)=(2k ﹣3)2=0, 解得:k =32, ∴b +c =2k +1=4.∵b +c =4=a ,∴此时,边长为a ,b ,c 的三条线段不能围成三角形.∴△ABC 的周长为10.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系,分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键.10.如图,某农家拟用已有的长为8m 的墙或墙的一部分为一边,其它三边用篱笆围成一个面积为12m 2的矩形园子.设园子中平行于墙面的篱笆长为ym (其中y ≥4),另两边的篱笆长分别为xm .(1)求y 关于x 的函数表达式,并求x 的取值范围.(2)若仅用现有的11m 长的篱笆,且恰好用完,请你帮助设计围制方案.【答案】(1)y =;1.5≤x ≤3;(2)长为8m ,宽为1.5m .【解析】【分析】(1)由矩形的面积公式可得出y 关于x 的函数表达式,结合4≤y ≤8可求出x 的取值范围; (2)由篱笆的长可得出y =(11﹣2x )m ,利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.【详解】(1)∵矩形的面积为12m2,∴y=.∵4≤y≤8,∴1.5≤x≤3.(2)∵篱笆长11m,∴y=(11﹣2x)m.依题意,得:xy=12,即x(11﹣2x)=12,解得:x1=1.5,x2=4(舍去),∴y=11﹣2x=8.答:矩形园子的长为8m,宽为1.5m.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用,解题的关键是:(1)利用矩形的面积公式,找出y关于x的函数表达式;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.。
一元二次方程易错题(Word 版 含答案)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)1.如图1,平面直角坐标系xOy 中,等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上,8BC =,顶点A在y 的正半轴上,2OA =,一动点E 从(3,0)出发,以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动,到达OB 的中点停止.另一动点F 从点C 出发,以相同的速度沿CB 向左运动,到达点O 停止.已知点E 、F 同时出发,以EF 为边作正方形EFGH ,使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧.设运动的时间为t 秒(0t ≥).(1)当点H 落在AC 边上时,求t 的值;(2)设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ,请问是存在t 值,使得9136S =?若存在,求出t 值;若不存在,请说明理由;(3)如图2,取AC 的中点D ,连结OD ,当点E 、F 开始运动时,点M 从点O 出发,以每秒25OD DC CD DO ---运动,到达点O 停止运动.请问在点E 的整个运动过程中,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界)吗?如果可能,求出点M 在正方形EFGH 内(含边界)的时长;若不可能,请说明理由.【答案】(1)t=1;(2)存在,143t =,理由见解析;(3)可能,3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析 【解析】 【分析】(1)用待定系数法求出直线AC 的解析式,根据题意用t 表示出点H 的坐标,代入求解即可;(2)根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为9136S =,故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式,求出点H 落在BC 边上时的t 值,求出此时重叠面积为169﹤9136,进一步求出重叠面积关于t 的表达式,代入解t 的方程即可解得t 值;(3)由已知求得点D (2,1),AC=结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长. 【详解】(1)由题意,A(0,2),B(-4,0),C(4,0), 设直线AC 的函数解析式为y=kx+b , 将点A 、C 坐标代入,得:402k b b +=⎧⎨=⎩,解得:122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+, 当点H 落在AC 边上时,点E(3-t ,0),点H (3-t ,1), 将点H 代入122y x =-+,得: 11(3)22t =--+,解得:t=1;(2)存在,143t =,使得9136S =. 根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为9136S =,故t ﹥4, 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n , 将点A 、B 坐标代入,得:402m n n -+=⎧⎨=⎩,解得:122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩, ∴直线AC 的函数解析式为122y x =+, 当t ﹥4时,点E (3-t ,0)点H (3-t ,t-3),G(0,t-3), 当点H 落在AB 边上时,将点H 代入122y x =+,得: 13(3)22t t -=-+,解得:133t =;此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=, ∵169﹤9136,∴133﹤t ﹤5, 如图1,设GH 交AB 于S ,EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得:1322t x -=+, 解得:x=2t-10, ∴点S(2t-10,t-3),将x=3-t 代入122y x =+得:11(3)2(7)22y t t =-+=-, ∴点T 1(3,(7))2t t --, ∴AG=5-t ,SG=10-2t ,BE=7-t ,ET=1(7)2t -, 211(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21(5)2ASGS AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-, 由2527133424t t -+-=9136得:1143t =,29215t =﹥5(舍去), ∴143t =;(3)可能,35≤t≤1或t=4. ∵点D 为AC 的中点,且OA=2,OC=4, ∴点D (2,1),AC=255 易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动; 当0﹤t ﹤12时,M 在线段OD 上,H 未到达D 点,所以M 与正方形不相遇; 当12﹤t ﹤1时, 12+12÷(1+4)=35秒, ∴t =35时M 与正方形相遇,经过1÷(1+4)=15秒后,M 点不在正方行内部,则3455t ≤≤; 当t=1时,由(1)知,点F 运动到原E 点处,M 点到达C 处; 当1≤t≤2时,当t=1+1÷(4-1)=43秒时,点M 追上G 点,经过1÷(4-1)=13秒,点M 都在正方形EFGH 内(含边界),4533t ≤≤ 当t=2时,点M 运动返回到点O 处停止运动,当 t=3时,点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时,点F 运动返回到点O 处, 当35t ≤≤时,点M 都在正方形EFGH 内(含边界), 综上,当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界).【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合,涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识,解答的关键是认真审题,提取相关信息,利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路,进而推理、探究、发现和计算.2.Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =6,动点P 从点A 出发,在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动,到达点C 停止运动.设运动时间为t 秒(1)如图1,过点P 作PD ⊥AC ,交AB 于D ,若△PBC 与△PAD 的面积和是△ABC 的面积的79,求t 的值;(2)点Q 在射线PC 上,且PQ =2AP ,以线段PQ 为边向上作正方形PQNM .在运动过程中,若设正方形PQNM 与△ABC 重叠部分的面积为8,求t 的值.【答案】(1)t 1=2,t 2=4;(2)t 8. 【解析】 【分析】(1)先求出△ABC 的面积,然后根据题意可得AP =t ,CP =6﹣t ,然后再△PBC 与△PAD的面积和是△ABC 的面积的79,列出方程、解方程即可解答; (2)根据不同时间段分三种情况进行解答即可. 【详解】(1)∵Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =6,∴S △ABC =12×6×6=18, ∵AP =t ,CP =6﹣t ,∴△PBC 与△PAD 的面积和=12t 2+12×6×(6﹣t ), ∵△PBC 与△PAD 的面积和是△ABC 的面积的79, ∴12t 2+12×6×(6﹣t )=18×79, 解之,得t 1=2,t 2=4; (2)∵AP =t ,PQ =2AP , ∴PQ =2t ,①如图1,当0≤t ≤2时,S =(2t )2﹣12t 2=72t 2=8,解得:t 1t 2 ②如图2,当2≤t ≤3时,S =12×6×6﹣12t 2﹣12(6﹣2t )2=12t ﹣25t 2=8, 解得:t 1=4(不合题意,舍去),t 2=45(不合题意,舍去), ③如图3,当3≤t ≤6时,S =12 6×6﹣12t 2=8,解得:t 1=t 2=﹣综上,t 的值为47或8.【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题,根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.3.阅读下面材料:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,它通常用字母d表示,我们可以用公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和.(公式中的n表示数的个数,a表示第一个数的值,)例如:3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=10×3+10(101)2-×2=120.用上面的知识解决下列问题.(1)计算:2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116(2)某县决定对坡荒地进行退耕还林.从2009年起在坡荒地上植树造林,以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少,下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据.问到哪一年,可以将全县所有坡荒地全部种上树木.2009年2010年2011年2012年植树后坡荒地的实际面积(公顷)25 20024 00022 40020400【答案】(1)1180;(2)到2017年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.【解析】【分析】(1)根据题意,由公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和,即可得到答案;(2)根据题意,设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.列出方程,解方程即可得到答案.【详解】解:(1)由题意,得6d=,20n=,2a=,∵(1)2n nS na d-=+⨯,∴20(201)22062S-=⨯+⨯401140=1180=+;(2)解:设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.根据题意,得1200x+(1)2x x-×400=25200,整理得:(x﹣9)(x+14)=0,∴x=9或x=﹣14(负值舍去).∴2009+9-1=2017;答:到2017年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解一元二次方程,以及计算等差数列的和公式,解题的关键是熟练掌握题意,正确找出等量关系,列出方程进行解题.4.阅读下列材料计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)(+),令+=t,则:原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣+t2=在上面的问题中,用一个字母代表式子中的某一部分,能达到简化计算的目的,这种思想方法叫做“换元法”,请用“换元法”解决下列问题:(1)计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)×(+)(2)因式分解:(a2﹣5a+3)(a2﹣5a+7)+4(3)解方程:(x2+4x+1)(x2+4x+3)=3【答案】(1);(2)(a2﹣5a+5)2;(3)x1=0,x2=﹣4,x3=x4=﹣2【解析】【分析】(1)仿照材料内容,令+=t代入原式计算.(2)观察式子找相同部分进行换元,令a2﹣5a=t代入原式进行因式分解,最后要记得把t换为a.(3)观察式子找相同部分进行换元,令x2+4x=t代入原方程,即得到关于t的一元二次方程,得到t的两个解后要代回去求出4个x的解.【详解】 (1)令+=t ,则: 原式=(1﹣t )(t +)﹣(1﹣t ﹣)t =t +﹣t 2﹣﹣t +t 2+=(2)令a 2﹣5a =t ,则:原式=(t +3)(t +7)+4=t 2+7t +3t +21+4=t 2+10t +25=(t +5)2=(a 2﹣5a +5)2 (3)令x 2+4x =t ,则原方程转化为: (t +1)(t +3)=3 t 2+4t +3=3 t (t +4)=0 ∴t 1=0,t 2=﹣4 当x 2+4x =0时, x (x +4)=0 解得:x 1=0,x 2=﹣4 当x 2+4x =﹣4时, x 2+4x +4=0 (x +2)2=0 解得:x 3=x 4=﹣2 【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算,因式分解,解一元二次方程.利用换元法一般可达到降次效果,从而简便运算.5.已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根.()1求k 的取值范围;()2设方程两实数根分别为1x ,2x ,且满足221223x x +=,求k 的值.【答案】(1)134k ≤;(2)2k =-. 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥,解之可得.()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值,根据条件可得到关于k 的方程,可求得k 的值,注意利用根的判别式进行取舍. 【详解】 解:()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根,0∴≥,即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥,解得134k ≤. ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-,2123x x k =-,()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+, 221223x x +=,224723k k ∴-+=,解得4k =,或2k =-,134k ≤, 4k ∴=舍去, 2k ∴=-. 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ,b ,c 为常数)根的判别式.当0>,方程有两个不相等的实数根;当0=,方程有两个相等的实数根;当0<,方程没有实数根.以及根与系数的关系.6.(本题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ,AB 与CD 相交于点E ,线段OA 、OC 的长是一元二次方程-18x+72=0的两根(OA >OC ),BE=5,tan ∠ABO=.(1)求点A ,C 的坐标;(2)若反比例函数y=的图象经过点E ,求k 的值;(3)若点P 在坐标轴上,在平面内是否存在一点Q ,使以点C ,E ,P ,Q 为顶点的四边形是矩形?若存在,请写出满足条件的点Q 的个数,并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)、A (12,0),C (﹣6,0);(2)、k=36;(3)、6个;Q 1(10,﹣12),Q 2(﹣3,6﹣3).【解析】试题分析:(1)、首先求出方程的解,根据OA >OC 求出两点的坐标;(2)、根据∠ABO 的正切值求出OB 的长度,根据Rt △AOB 得出AB 的长度,作EM ⊥x 轴,根据三角形相似得出点E的坐标,然后求出k的值;(3)、分别以CE为矩形的边,在点C、E处设计直角,垂线与两坐标轴相交,得到点P,进而得到点Q;以CE为矩形对角线,则以CE的中点为圆心做圆,与两坐标轴相交,得到点P,再得点Q.试题解析:(1)由题意,解方程得:x1=6,x2=12.∵OA>OC,∴OA=12,OC=6.∴A(12,0),C(﹣6,0);(2)∵tan∠ABO=,∠AOB=90°∴∴OB=16.在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB=20∵BE=5,∴AE=15.如图1,作EM⊥x轴于点M,∴EM∥OB.∴△AEM∽△ABO,∴,即:∴EM=12,AM=9,∴OM=12﹣9=3.∴E(3,12).∴k=36;(3)满足条件的点Q的个数是6,x轴的下方的Q1(10,﹣12),Q2(﹣3,6﹣3);方法:如下图①分别以CE为矩形的边,在点C、E处设计直角,垂线与两坐标轴相交,得到点P,进而得到点Q;(有三种)②以CE为矩形对角线,则以CE的中点为圆心做圆,与两坐标轴相交,得到点P,再得点Q;(有三种)如图①∵E (3,12),C (﹣6,0),∴CG=9,EG=12, ∴EG 2=CG•GP , ∴GP=16,∵△CPE 与△PCQ 是中心对称,∴CH=GP=16,QH=FG=12, ∵OC=6, ∴OH=10,∴Q (10,﹣12),如图②作MN ∥x 轴,交EG 于点N ,EH ⊥y 轴于点H ∵E (3,12),C (﹣6,0),∴CG=9,EG=12, ∴CE=15, ∵MN=CG=, 可以求得PH=3﹣6,同时可得PH=QR ,HE=CR ∴Q (﹣3,6﹣3), 考点:三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.7.某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件,A 种品牌的建材售价为每件6000元,B 种品牌的建材售价为每件9000元.(1)若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元,求至多销售A 种品牌的建材多少件?(2)该销售公司决定在2019年第二季度调整价格,将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ,B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ;同时,与(1)问中最低销售额的销售量相比,A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ,B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a ,结果2019年第二季度的销售额比(1)问中最低销售额增加2%23a ,求a 的值.【答案】(1)至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30.【解析】【分析】(1)设销售A 品牌的建材x 件,根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元,列不等式求解;(2)根据题意列出方程求解即可.【详解】(1)设销售A 品牌的建材x 件.根据题意,得()60009000126966000x x +-≥,解这个不等式,得56x ≤,答:至多销售A 品牌的建材56件.(2)在(1)中销售额最低时,B 品牌的建材70件,根据题意,得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令%a y =,整理这个方程,得21030y y -=,解这个方程,得1230,10y y ==,∴10a =(舍去),230a =,即a 的值是30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程组和不等式求解.8.如图,某农家拟用已有的长为8m 的墙或墙的一部分为一边,其它三边用篱笆围成一个面积为12m 2的矩形园子.设园子中平行于墙面的篱笆长为ym (其中y ≥4),另两边的篱笆长分别为xm .(1)求y 关于x 的函数表达式,并求x 的取值范围.(2)若仅用现有的11m 长的篱笆,且恰好用完,请你帮助设计围制方案.【答案】(1)y =;1.5≤x ≤3;(2)长为8m ,宽为1.5m .【解析】【分析】(1)由矩形的面积公式可得出y 关于x 的函数表达式,结合4≤y ≤8可求出x 的取值范围; (2)由篱笆的长可得出y =(11﹣2x )m ,利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.【详解】(1)∵矩形的面积为12m 2,∴y =.∵4≤y ≤8,∴1.5≤x ≤3.(2)∵篱笆长11m ,∴y =(11﹣2x )m .依题意,得:xy =12,即x (11﹣2x )=12,解得:x 1=1.5,x 2=4(舍去),∴y =11﹣2x =8.答:矩形园子的长为8m ,宽为1.5m .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用,解题的关键是:(1)利用矩形的面积公式,找出y 关于x 的函数表达式;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.9.已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3,且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根,又k 为正整数,求代数式2216k k k -+-的值. 【答案】0.【解析】【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3,利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ,又由于关于x 的方程(k -1)x 2+3x -2a =0有实数根,分两种情况讨论,该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,又k 为正整数,利用判别式可以求出k ,最后代入所求代数式计算即可求解.【详解】解:设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩=== , 由条件,知12121211x x x x x x ++==3, 即33a -=,且94a ≤, 故a =-1,则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0,Ⅰ.当k -1=0时,k =1,x =23-,则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时,∆=9-8(k -1)=17-6-8k ≥0,则178k ≤, 又k 是正整数,且k ≠1,则k =2,但使2216k k k -+-无意义.综上,代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系.要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,10.如图1,已知△ABC 中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,它们的速度均为2cm /s ,连接PQ ,设运动的时间为t (单位:s )(0≤t≤4).解答下列问题:(1)当t 为何值时,PQ∥BC.(2)是否存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分?若存在求出此时t 的值;若不存在,请说明理由. (3)如图2,把△APQ 沿AP 翻折,得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t 使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由.【答案】(1)当BF PC ⊥s 时,PQ∥BC.(2)不存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分.(3)存在时刻t ,使四边形A QPQ′为菱形,此时菱形的面积为1372-cm 2. 【解析】(1)证△APQ∽△ABC,推出AP AB =AQ AC ,代入得出10210t -=28t ,求出方程的解即可;(2)假设存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分,得出方程-56t 2+6t=12×12×8×6,求出此方程无解,即可得出答案. (3)首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系,求得PQ 、OD 、和PD 的长度;然后在Rt△PQD 中,根据勾股定理列出方程(8-185t )2-(6-65t )2=(2t )2,求得时间t 的值;最后根据菱形的面积等于△AQP 的面积的2倍,进行计算即可.解:(1)BP=2t ,则AP=10﹣2t .∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC,∴AP AB =AQ AC , 即10210t -=28t , 解得:t=209, ∴当t=209时,PQ∥BC. (2)如答图1所示,过P 点作PD⊥AC 于点D .∴PD∥BC,∴F ,即B ,解得6PD 6-5t =. 216625S PD AQ t t =⨯=-, 假设存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分,则有S △AQP = C S △ABC ,而S △ABC =12AC•BC=24,∴此时S △AQP =12. 而S △AQP 2665t t =-, ∴266125t t -=,化简得:t 2﹣5t+10=0, ∵△=(﹣5)2﹣4×1×10=﹣15<0,此方程无解,∴不存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分.(3)假设存在时刻t ,使四边形AQPQ′为菱形,则有AQ=PQ=BP=2t .如答图2所示,过P 点作PD⊥AC 于点D ,则有PD∥BC,∴D ,即COD ∆,解得:OC ,h ,∴QD=AD﹣AQ=t.在Rt△PQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,即h,化简得:13t2﹣90t+125=0,解得:t1=5,t2=t,∵t=5s时,AQ=10cm>AC,不符合题意,舍去,∴t=52.由(2)可知,S△AQP=5 4∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×258=32+cm2.所以存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,此时菱形的面积为12-cm2.“点睛”本题考查了三角形的面积,勾股定理的逆定理,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形,根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.。
九年级数学一元二次方程组的专项培优易错难题练习题含答案一、一元二次方程1.如图,在△ABC中,AB=6cm,BC=7cm,∠ABC=30°,点P从A点出发,以1cm/s的速度向B点移动,点Q从B点出发,以2cm/s的速度向C点移动.如果P、Q两点同时出发,经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2?【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2.【解析】【分析】作出辅助线,过点Q作QE⊥PB于E,即可得出S△PQB=12×PB×QE,有P、Q点的移动速度,设时间为t秒时,可以得出PB、QE关于t的表达式,代入面积公式,即可得出答案.【详解】解:如图,过点Q作QE⊥PB于E,则∠QEB=90°.∵∠ABC=30°,∴2QE=QB.∴S△PQB=12•PB•QE.设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2,则PB=6﹣t,QB=2t,QE=t.根据题意,12•(6﹣t)•t=4.t2﹣6t+8=0.t2=2,t2=4.当t=4时,2t=8,8>7,不合题意舍去,取t=2.答:经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的运用,注意对所求的值进行检验,对于不合适的值舍去.2.解方程:(2x+1)2=2x+1.【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析:根据因式分解法解一元二次方程的解法,直接先移项,再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析:∵(2x+1)2﹣(2x+1)=0, ∴(2x+1)(2x+1﹣1)=0,即2x (2x+1)=0, 则x=0或2x+1=0, 解得:x=0或x=﹣12.3.已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根.()1求k 的取值范围;()2设方程两实数根分别为1x ,2x ,且满足221223x x +=,求k 的值.【答案】(1)134k ≤;(2)2k =-. 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥V ,解之可得. ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值,根据条件可得到关于k 的方程,可求得k 的值,注意利用根的判别式进行取舍. 【详解】解:()1Q 关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根,0∴≥V ,即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥,解得134k ≤. ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-,2123x x k =-,()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+, 221223x x +=Q ,224723k k ∴-+=,解得4k =,或2k =-,134k ≤Q , 4k ∴=舍去, 2k ∴=-. 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ,b ,c 为常数)根的判别式.当0V >,方程有两个不相等的实数根;当0=V ,方程有两个相等的实数根;当0<V ,方程没有实数根.以及根与系数的关系.4.已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围;(2)若方程的两实数根分别为1x ,2x ,且221212615x x x x +=-,求k 的值.【答案】(1)32k ≥ (2)4 【解析】 试题分析:根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ,解之即可得出结论.根据韦达定理可得:212121114x x k x x k ,+=+⋅=+ ,结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程,解之即可得出k 值,再由⑴的结论即可确定k 值. 试题解析:因为方程有两个实数根,所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭, 解得32k ≥. 根据韦达定理,()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+,因为221212615x x x x +=-,所以()212128150x x x x +-+=,将上式代入可得()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭,整理得2280k k --= ,解得 1242k k ,==- ,又因为32k ≥,所以4k =.5.小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯,成本为30元/只,每天销售量y (只)与销售单价x (元)之间的关系式为y =﹣10x+700(40≤x≤55),求当销售单价为多少元时,每天获得的利润最大?最大利润是多少元?【答案】当销售单价为50元时,每天获得的利润最大,利润的最大值为4000元 【解析】 【分析】表示出一件的利润为(x ﹣30),根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题. 【详解】设每天获得的利润为w 元,根据题意得:w =(x ﹣30)y =(x ﹣30)(﹣10x+700)=﹣10x 2+1000x ﹣21000=﹣10(x ﹣50)2+4000. ∵a =﹣10<0,∴当x =50时,w 取最大值,最大值为4000.答:当销售单价为50元时,每天获得的利润最大,利润的最大值为4000元. 【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6.某社区决定把一块长50m ,宽30m 的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ,空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,当绿化区较长边x 为何值时,活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时,活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】根据“活动区的面积=矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程,可解答. 【详解】解:设绿化区宽为y ,则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍),213x =.∴当13x m =时,活动区的面积达到21344m 【点睛】本题是一元二次方程的应用题,确定等量关系是关键,本题计算量大,要细心.7.用适当的方法解下列一元二次方程: (1)2x 2+4x -1=0;(2)(y +2)2-(3y -1)2=0. 【答案】(1)x 1=-1+62x 2=-1-622)y 1=-14,y 2=32.【解析】试题分析:(1)根据方程的特点,利用公式法解一元二次方程即可;(2)根据因式分解法,利用平方差公式因式分解,然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析:(1)∵a=2,b=4,c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24>0∴x=24b b c a -±-=42461222-±=-±⨯ ∴x 1=-1+6,x 2=-1-6(2)(y +2)2-(3y -1)2=0 [(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1=-14,y 2=32.8.(问题)如图①,在a×b×c (长×宽×高,其中a ,b ,c 为正整数)个小立方块组成的长方体中,长方体的个数是多少? (探究)探究一:(1)如图②,在2×1×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段,棱AC ,AD 上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为3×1×1=3. (2)如图③,在3×1×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段,棱AC ,AD 上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为6×1×1=6. (3)依此类推,如图④,在a×1×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段,棱AC ,AD 上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为______. 探究二:(4)如图⑤,在a×2×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上有()a a 12+条线段,棱AC上有1+2=232⨯=3条线段,棱AD 上只有1条线段,则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+.(5)如图⑥,在a×3×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上有()a a 12+条线段,棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段,棱AD 上只有1条线段,则图中长方体的个数为______. (6)依此类推,如图⑦,在a×b×1个小立方块组成的长方体中,长方体的个数为______.探究三:(7)如图⑧,在以a×b×2个小立方块组成的长方体中,棱AB 上有()a a 12+条线段,棱AC 上有()b b 12+条线段,棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段,则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++.(8)如图⑨,在a×b×3个小立方块组成的长方体中,棱AB 上有()a a 12+条线段,棱AC上有()b b 12+条线段,棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段,则图中长方体的个数为______.(结论)如图①,在a×b×c 个小立方块组成的长方体中,长方体的个数为______.(应用)在2×3×4个小立方块组成的长方体中,长方体的个数为______.(拓展)如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体,那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少?请通过计算说明你的结论.【答案】探究一:(3)()a a12+;探究二:(5)3a(a+1);(6)()()ab a1b14++;探究三:(8)()()3ab a1b12++;【结论】:①()()()abc a1b1c18+++;【应用】:180;【拓展】:组成这个正方体的小立方块的个数是64,见解析.【解析】【分析】(3)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(5)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(6)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(8)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(结论)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(应用)a=2,b=3,c=4代入(结论)中得出的结果,即可得出结论;(拓展)根据(结论)中得出的结果,建立方程求解,即可得出结论.【详解】解:探究一、(3)棱AB上共有()a a12+线段,棱AC,AD上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为()a a12+×1×1=()a a12+,故答案为() a a12+;探究二:(5)棱AB上有()a a12+条线段,棱AC上有6条线段,棱AD上只有1条线段,则图中长方体的个数为()a a12+×6×1=3a(a+1),故答案为3a(a+1);(6)棱AB上有()a a12+条线段,棱AC上有()b b12+条线段,棱AD上只有1条线段,则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×1=()()ab a1b14++,故答案为()() ab a1b14++;探究三:(8)棱AB 上有()a a 12+ 条线段,棱AC 上有()b b 12+条线段,棱AD 上有6条线段,则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×6=()()3ab a 1b 12++,故答案为()()3ab a 1b 12++;(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段,棱AC 上有()b b 12+条线段,棱AD 上有()c c 12+条线段,则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++,故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++;(应用)由(结论)知,()()()abc a 1b 1c 18+++,∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中,长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180,故答案为为180;拓展:设正方体的每条棱上都有x 个小立方体,即a=b=c=x ,由题意得33(1)8x x +=1000, ∴[x (x+1)]3=203, ∴x (x+1)=20,∴x 1=4,x 2=-5(不合题意,舍去) ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64. 【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律,题目较好,但有一定的难度,是一道比较容易出错的题目.9.设m 是不小于﹣1的实数,关于x 的方程x 2+2(m ﹣2)x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2,(1)若x 12+x 22=6,求m 值;(2)令T=121211mx mx x x +--,求T 的取值范围.【答案】(1)m=5172;(2)0<T≤4且T≠2.【解析】【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m<1,根据根与系数的关系可得x1+x2=4﹣2m,x1•x2=m2﹣3m+3;(1)把x12+x22=6化为(x1+x2)2﹣2x1x2=6,代入解方程求得m的值,根据﹣1≤m<1对方程的解进行取舍;(2)把T化简为2﹣2m,结合﹣1≤m<1且m≠0即可求T得取值范围.【详解】∵方程由两个不相等的实数根,所以△=[2(m﹣2)]2﹣4(m2﹣3m+3)=﹣4m+4>0,所以m<1,又∵m是不小于﹣1的实数,∴﹣1≤m<1∴x1+x2=﹣2(m﹣2)=4﹣2m,x1•x2=m2﹣3m+3;(1)∵x12+x22=6,∴(x1+x2)2﹣2x1x2=6,即(4﹣2m)2﹣2(m2﹣3m+3)=6整理,得m2﹣5m+2=0解得m=;∵﹣1≤m<1所以m=.(2)T=+=====2﹣2m.∵﹣1≤m<1且m≠0所以0<2﹣2m≤4且m≠0即0<T≤4且T≠2.【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.10.已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)如果m为正整数,且该方程的根都是整数,求m的值.【答案】(1)m<3;(2)m=2.【解析】【分析】(1)根据题意得出△>0,代入求出即可;(2)求出m=1或2,代入后求出方程的解,即可得出答案.【详解】(1)∵方程有两个不相等的实数根.∴△=4﹣4(m﹣2)>0.∴m<3;(2)∵m<3 且 m为正整数,∴m=1或2.当 m=1时,原方程为 x2﹣2x﹣1=0.它的根不是整数,不符合题意,舍去;当 m=2时,原方程为 x2﹣2x=0.∴x(x﹣2)=0.∴x1=0,x2=2.符合题意.综上所述,m=2.【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程,能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键.11.关于x的一元二次方程.(1).求证:方程总有两个实数根;(2).若方程的两个实数根都是正整数,求m的最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)-1.【解析】【分析】(1)根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根. (2)根据题意利用十字相乘法解方程,求得,再根据题意两个根都是正整数,从而可以确定的取值范围,即求出吗的最小值.【详解】(1)证明:依题意,得., ∴. ∴方程总有两个实数根. 由. 可化为:得, ∵ 方程的两个实数根都是正整数, ∴. ∴. ∴ 的最小值为. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程,熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根,判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根,判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.12.关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0.(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a ,b 的值,并求此时方程的根.【答案】(1)方程有两个不相等的实数根;(2)b=-2,a=1时,x 1=x 2=﹣1.【解析】【详解】分析:(1)求出根的判别式24b ac ∆=-,判断其范围,即可判断方程根的情况.(2)方程有两个相等的实数根,则240b ac ∆=-=,写出一组满足条件的a ,b 的值即可.详解:(1)解:由题意:0a ≠.∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>, ∴原方程有两个不相等的实数根.(2)答案不唯一,满足240b ac -=(0a ≠)即可,例如:解:令1a =,2b =-,则原方程为2210x x -+=,解得:121x x ==.点睛:考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-, 当240b ac ∆=->时,方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时,方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时,方程没有实数根.13.工人师傅用一块长为10dm ,宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)求长方体底面面积为12dm 2时,裁掉的正方形边长多大?【答案】裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2.【解析】试题分析:设裁掉的正方形的边长为xdm,则制作无盖的长方体容器的长为(10-2x)dm,宽为(6-2x)dm,根据长方体底面面积为12dm2列出方程,解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析:设裁掉的正方形的边长为xdm,由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去),答:裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2.14.关于x的一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根,求此时m的值.【答案】(1)k<4且k≠2.(2)m=0或m=8 3 .【解析】分析:(1)由题意,根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k的不等式组,解不等式组即可求得对应的k的取值范围;(2)由(1)得到符合条件的k的值,代入原方程,解方程求得x的值,然后把所得x的值分别代入方程x2+mx-1=0即可求得对应的m的值.详解:(1)∵一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根,∴△=16-8(k-2)=32-8k>0且k-2≠0.解得:k<4且k≠2.(2)由(1)可知,符合条件的:k=3,将k=3代入原方程得:方程x2-4x+3=0,解此方程得:x1=1,x2=3.把x=1时,代入方程x2+mx-1=0,有1+m-1=0,解得m=0.把x=3时,代入方程x 2+mx-1=0,有9+3m-1=0,解得m=83-.∴m=0或m=83-.点睛:(1)知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中,当△=240b ac ->时,方程有两个不相等的实数根;当△=240b ac -=时,方程有两个相等的实数根;△=240b ac -<时,方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键;(2)解第2小题时,需注意相同的根存在两种情况,解题时不要忽略了其中任何一种情况.15.已知关于x 的方程x 2﹣(k +3)x +3k =0.(1)若该方程的一个根为1,求k 的值;(2)求证:不论k 取何实数,该方程总有两个实数根.【答案】(1)k =1;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)把x =1代入方程,即可求得k 的值;(2)求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x =1代入方程x 2﹣(k +3)x +3k =0得1﹣(k ﹣3)+3k =0,1﹣k ﹣3+3k =0解得k =1;(2)证明:1,(3),3a b k c k ==-+=24b ac ∆=-Q∴ △=(k +3)2﹣4•3k =(k ﹣3)2≥0,所以不论k 取何实数,该方程总有两个实数根.【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式,熟练掌握相关知识点是解题关键.。
九年级一元二次方程易错题(Word版含答案)一、初三数学一元二次方程易错题压轴题(难)1.阅读与应用:阅读1:a,b为实数,且a>0,b>0,因为()2≥0,所以a﹣2+b≥0,从而a+b≥2(当a=b时取等号).阅读2:若函数y=x+(m>0,x>0,m为常数),由阅读1结论可知:x+≥2,所以当x=,即x=时,函数y=x+的最小值为2.阅读理解上述内容,解答下列问题:问题1:已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为,周长为2(x+),求当x=时,周长的最小值为;问题2:汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度,某种汽车在每小时70~110公里之间行驶时(含70公里和110公里),每公里耗油()L.若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶,1h的耗油量为yL.(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围);(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量.【答案】问题1:2,8;问题2:(1)y=;(2)10.【解析】【分析】(1)利用题中的不等式得到x+=4,从而得到x=2时,周长的最小值为8;(2)根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可,经济时速就是耗油量最小的形式速度.【详解】(1)∵x+≥2=4,∴当x=时,2(x+)有最小值8.即x=2时,周长的最小值为8;故答案是:2;8;问题2:,当且仅当,即x=90时,“=”成立,所以,当x=90时,函数取得最小值9,此时,百公里耗油量为,所以,该汽车的经济时速为每小时90公里,经济时速的百公里耗油量为10L.【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用,最值问题,解题的关键是读懂题目提供的材料,易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”,难度中等偏上.2.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭.据某市交通部门统计,2008年底该市汽车拥有量为75万辆,而截止到2010年底,该市的汽车拥有量已达108万辆.(1)求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率;(2)为了保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆;另据统计,从2011年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同,请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆.【答案】解:(1)2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%(2)从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆【解析】【分析】(1)设年平均增长率x,根据等量关系“2008年底汽车拥有量×(1+年平均增长率)×(1+年平均增长率)”列出一元二次方程求得.(2)设从2011年初起每年新增汽车的数量y,根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%,推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×(1-10%),得出等量关系是: 2010年拥有量×(1-10%)+新增汽车数量]×(1-10%)+新增汽车数量”,列出一元一次不等式求得.【详解】解:(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意,得75(1+x)2=108,则1+x=±1.2解得x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆,则2010年底全市的汽车拥有量为(108×90%+y)万辆,2011年底全市的汽车拥有量为[(108×90%+y)×90%+y]万辆.根据题意得(108×90%+y)×90%+y≤125.48,解得y≤20.答:该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆.3.已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=,是否存在这样的n 值,使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根?若存在,请求出这样的n 值;若不存在,请说明理由?【答案】存在,n=0. 【解析】 【分析】在方程①中,由一元二次方程的根与系数的关系,用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方,把方程②分解因式,建立方程求n ,要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.设x1,x2是方程①的两个根,则x 1+x 2=2n ,x 1x 2=324n +-,所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2, 由方程②得,(x+n-1)[x-2(n+1)]=0, ①若4n 2+3n+2=-n+1,解得n=-12,但1-n=32不是整数,舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2),解得n=0或n=-14(舍), 综上所述,n=0.4.如图,∠ AOB =90°,且点A ,B 分别在反比例函数1k y x =(x <0),2ky x=(x >0)的图象上,且k 1,k 2分别是方程x 2-x -6=0的两根. (1)求k 1,k 2的值;(2)连接AB ,求tan ∠ OBA 的值.【答案】(1)k 1=-2,k 2=3. (2)tan∠OBA 6. 【解析】解:(1)∵k 1,k 2分别是方程x 2-x -6=0的两根,∴解方程x 2-x -6=0,得x 1=3,x 2=-2.结合图像可知:k 1<0,k 2>0,∴k 1=-2,k 2=3.(2)如图,过点A 作AC ⊥x 轴于点C ,过点B 作BD ⊥y 轴于点D .[来源:学&科&网Z&X&X&K]由(1)知,点A,B分别在反比例函数2yx=-(x<0),3yx=(x>0)的图象上,∴S△ACO=12×2-=1 ,S△ODB=12×3=32.∵∠AOB=90°,∴∠ AOC+∠ BOD=90°,∵∠ AOC+∠ OAC=90°,∴∠ OAC=∠ BOD.又∵∠ACO=∠ODB=90°,∴△ACO∽△ODB.∴SSACOODB∆∆=2OAOB⎛⎫⎪⎝⎭=23,∴OAOB=±6(舍负取正),即OAOB=6.∴在Rt△AOB中,tan∠OBA=OAOB=6.5.如图,A、B、C、D为矩形的4个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发,点Q从点C向点D移动.(1)若点P从点A移动到点B停止,点P、Q分别从点A、C同时出发,问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm?(2)若点P从点A移动到点B停止,点Q随点P的停止而停止移动,点P、Q分别从点A、C 同时出发,问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?(3)若点P沿着AB→BC→CD移动,点P、Q分别从点A、C同时出发,点Q从点C移动到点D停止时,点P随点Q的停止而停止移动,试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2?【答案】(1)2cm;(2)85s或245s;(3)经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2.【解析】试题分析:(1)作PE⊥CD于E,表示出PQ的长度,利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可;(2)设x秒后,点P和点Q的距离是10cm.在Rt△PEQ中,根据勾股定理列出关于x的方程(16-5x)2=64,通过解方程即可求得x的值;(3)分类讨论:①当点P在AB上时;②当点P在BC边上;③当点P在CD边上时.试题解析:(1)过点P作PE⊥CD于E.则根据题意,得EQ=16-2×3-2×2=6(cm),PE=AD=6cm;在Rt△PEQ中,根据勾股定理,得PE2+EQ2=PQ2,即36+36=PQ2,∴2cm;∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2;(2)设x秒后,点P和点Q的距离是10cm.(16-2x-3x)2+62=102,即(16-5x)2=64,∴16-5x=±8,∴x1=85,x2=245;∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm;(3)连接BQ.设经过ys后△PBQ的面积为12cm2.①当0≤y≤163时,则PB=16-3y,∴12PB•BC=12,即12×(16-3y)×6=12,解得y=4;②当163<x≤223时,BP=3y-AB=3y-16,QC=2y,则1 2BP•CQ=12(3y-16)×2y=12,解得y1=6,y2=-23(舍去);③223<x≤8时,QP=CQ-PQ=22-y,则1 2QP•CB=12(22-y)×6=12,解得y=18(舍去).综上所述,经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2.考点:一元二次方程的应用.6.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上,顶点B在x轴正半轴上,OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根(OA>OB).(1)求点D的坐标.(2)求直线BC的解析式.(3)在直线BC上是否存在点P,使△PCD为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)D(4,7)(2)y=3944x (3)详见解析【解析】试题分析:(1)解一元二次方程求出OA、OB的长度,过点D作DE⊥y于点E,根据正方形的性质可得AD=AB,∠DAB=90°,然后求出∠ABO=∠DAE,然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=OA,AE=OB,再求出OE,然后写出点D的坐标即可;(2)过点C作CM⊥x轴于点M,同理求出点C的坐标,设直线BC的解析式为y=kx+b (k≠0,k、b为常数),然后利用待定系数法求一次函数解析式解答;(3)根据正方形的性质,点P与点B重合时,△PCD为等腰三角形;点P为点B关于点C 的对称点时,△PCD为等腰三角形,然后求解即可.试题解析:(1)x2﹣7x+12=0,解得x1=3,x2=4,∵OA>OB,∴OA=4,OB=3,过D作DE⊥y于点E,∵正方形ABCD,∴AD=AB,∠DAB=90°,∠DAE+∠OAB=90°,∠ABO+∠OAB=90°,∴∠ABO=∠DAE,∵DE⊥AE,∴∠AED=90°=∠AOB,∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB,∴△DAE≌△ABO(AAS),∴DE=OA=4,AE=OB=3,∴OE=7,∴D(4,7);(2)过点C作CM⊥x轴于点M,同上可证得△BCM≌△ABO,∴CM=OB=3,BM=OA=4,∴OM=7,∴C(7,3),设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数),代入B(3,0),C(7,3)得,,解得,∴y=x﹣;(3)存在.点P与点B重合时,P1(3,0),点P与点B关于点C对称时,P2(11,6).考点:1、解一元二次方程;2、正方形的性质;3、全等三角形的判定与性质;4、一次函数7.在等腰三角形△ABC 中,三边分别为a 、b 、c ,其中ɑ=4,若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣(2k +1)x +4(k ﹣12)=0的两个实数根,求△ABC 的周长. 【答案】△ABC 的周长为10. 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑:当a=4为腰长时,将x=4代入原方程可求出k 值,将k 值代入原方程可求出底边长,再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长;当a=4为底边长时,由根的判别式△=0可求出k 值,将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值,由b+c=a 可得出此种情况不存在.综上即可得出结论. 【详解】当a =4为腰长时,将x =4代入原方程,得:()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得:52k = 当52k =时,原方程为x 2﹣6x +8=0, 解得:x 1=2,x 2=4,∴此时△ABC 的周长为4+4+2=10;当a =4为底长时,△=[﹣(2k +1)]2﹣4×1×4(k ﹣12)=(2k ﹣3)2=0, 解得:k =32, ∴b +c =2k +1=4. ∵b +c =4=a ,∴此时,边长为a ,b ,c 的三条线段不能围成三角形. ∴△ABC 的周长为10. 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系,分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键.8.已知:如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC 的顶点C 的坐标是(6,4),动点P 从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿线段AC 运动,同时动点Q 从点B 出发,以每秒2个单位的速度沿线段BO 运动,当Q 到达O 点时,P ,Q 同时停止运动,运动时间是t 秒(t >0).(1)如图1,当时间t = 秒时,四边形APQO 是矩形;(2)如图2,在P ,Q 运动过程中,当PQ =5时,时间t 等于 秒;(3)如图3,当P ,Q 运动到图中位置时,将矩形沿PQ 折叠,点A ,O 的对应点分别是D ,E ,连接OP ,OE ,此时∠POE =45°,连接PE ,求直线OE 的函数表达式.【答案】(1)t =2;(2)1或3;(3)y =12x . 【解析】 【分析】先根据题意用t 表示AP 、BQ 、PC 、OQ 的长.(1)由四边形APQO 是矩形可得AP =OQ ,列得方程即可求出t .(2)过点P 作x 轴的垂线PH ,构造直角△PQH ,求得HQ 的值.由点H 、Q 位置不同分两种情况讨论用t 表示HQ ,即列得方程求出t .根据t 的取值范围考虑t 的合理性. (3)由轴对称性质,对称轴PQ 垂直平分对应点连线OC ,得OP =PE ,QE =OQ .由∠POE =45°可得△OPE 是等腰直角三角形,∠OPE =90°,即点E 在矩形AOBC 内部,无须分类讨论.要求点E 坐标故过点E 作x 轴垂线MN ,易证△MPE ≌△AOP ,由对应边相等可用t 表示EN ,QN .在直角△ENQ 中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t . 【详解】∵矩形AOBC 中,C (6,4) ∴OB =AC =6,BC =OA =4依题意得:AP =t ,BQ =2t (0<t≤3) ∴PC =AC ﹣AP =6﹣t ,OQ =OB ﹣BQ =6﹣2t (1)∵四边形APQO 是矩形 ∴AP =OQ ∴t =6﹣2t 解得:t =2 故答案为2.(2)过点P 作PH ⊥x 轴于点H ∴四边形APHO 是矩形∴PH =OA =4,OH =AP =t ,∠PHQ =90° ∵PQ =5∴HQ 22PQ PH 3-=①如图1,若点H 在点Q 左侧,则HQ =OQ ﹣OH =6﹣3t ∴6﹣3t =3 解得:t =1②如图2,若点H 在点Q 右侧,则HQ =OH ﹣OQ =3t ﹣6 ∴3t ﹣6=3解得:t=3故答案为1或3.(3)过点E作MN⊥x轴于点N,交AC于点M∴四边形AMNO是矩形∴MN=OA=4,ON=AM∵矩形沿PQ折叠,点A,O的对应点分别是D,E∴PQ垂直平分OE∴EQ=OQ=6﹣2t,PO=PE∵∠POE=45°∴∠PEO=∠POE=45°∴∠OPE=90°,点E在矩形AOBC内部∴∠APO+∠MPE=∠APO+∠AOP=90°∴∠MPE=∠AOP在△MPE与△AOP中PME OAP90MPE AOPPE0P︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE≌△AOP(AAS)∴PM=OA=4,ME=AP=t∴ON=AM=AP+PM=t+4,EN=MN﹣ME=4﹣t∴QN=ON﹣OQ=t+4﹣(6﹣2t)=3t﹣2∵在Rt△ENQ中,EN2+QN2=EQ2∴(4﹣t)2+(3t﹣2)2=(6﹣2t)2解得:t1=﹣2(舍去),t2=43∴AM=43+4=163,EN=4﹣43=83∴点E坐标为(163,83)∴直线OE的函数表达式为y=12x.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,勾股定理,轴对称的性质,全等三角形的判定和性质,解一元一次和一元二次方程.在动点题中要求运动时间t的值,常规做法是用t表示相关线段,再利用线段相等或勾股定理作为等量关系列方程求值.要注意根据t 的取值范围考虑方程的解的合理性.9.已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3,且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根,又k 为正整数,求代数式2216k k k -+-的值. 【答案】0.【解析】【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3,利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ,又由于关于x 的方程(k -1)x 2+3x -2a =0有实数根,分两种情况讨论,该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,又k 为正整数,利用判别式可以求出k ,最后代入所求代数式计算即可求解.【详解】解:设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩=== , 由条件,知12121211x x x x x x ++==3, 即33a -=,且94a ≤, 故a =-1,则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0,Ⅰ.当k -1=0时,k =1,x =23-,则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时,∆=9-8(k -1)=17-6-8k ≥0,则178k ≤, 又k 是正整数,且k ≠1,则k =2,但使2216k k k -+-无意义. 综上,代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系.要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,10.定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米3240元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【答案】(1)10%;(2)方案②【解析】试题分析:首先设下调的百分率为x,根据题意列出方程进行求解,得出答案;分别求出两种方案所需要花费的钱数,然后进行比较.试题解析:(1)设平均每次下调的百分率是x,依题意得,4000(1-x)2=3240解之得:x=0.1=10%或x=1.9(不合题意,舍去)答:平均每次下调的百分率是10%.(2)方案①实际花费=100×3240×98%=317520元方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元∵317520>316000 ∴方案②更优惠考点:一元二次方程的应用。
21《一元二次方程》易错题【1.方程的定义】(1)1.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是()A.m≠-1B.m≠2C.m≠-1或m≠2D.m≠-1且m≠22.关于x的一元二次方程(m+1)x2+x+m2-2m-3=0有一根是0,则m的值是()A.m=3或m=-1B.m=-3或m=1C.m=-1D.m=33.若x=1是方程(k-1)x2+(k2-1)x-k+1=0的一个根,则k值满足.(1)根的判别式1.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-4x-1=0有两个实数根,则a的取值范围是. #2.关于x的一元二次方程x2+mx-m-2=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.实数根的个数由m的值确定3.关于x的方程(m-1)x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是.4.关于x的一元二次方程(m-1)x2+mx+1=0有实数根,则m的取值范围是. #5.关于x的方程(m-1)x2+mx+1=0有实数根,则m的取值范围是.(2)韦达定理1.下列一元二次方程中,两根之和为1的是()A.x2+x+1=0B.x2-x+3=0C.2x2-x-1=0D.x2-x-5=02.已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2.若x1,x2满足x1x2+x1+x2=3,求k的值.3.关于x 的方程()()012132=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x ,2x ,且a x x x x -=+-12211,则求a 的值.【2.实际意义】(1)三角形三边关系例1若一个等腰三角形的一边为4,另外两边为x 2-12x+m=0的两根,则m 的值为()A .32B .36C .32或36D .不存在巩固练习:1.若等腰三角形一边为3,另两边是关于的方程x 2-(k+2)x+2k=0的根,则三角形的周长为.2.等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k =0的两个根,则k 的值是()A .27B .36C .27或36D .183.已知关于的方程x 2-(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k 取何值,它总有实数根;(2)若等腰三角形一边a=3,另两边为方程的根,求k 值及三角形的周长.4.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+4(k−12)=0.(1)判断这个一元二次方程根的情况.(2)若等腰三角形的一边为4,另两边恰好是这个方程的两个根,求k的值(3)若把(2)中得的等腰三角形底边为BC,两腰分别记为AB、AC,如图放置直角坐标系中(B与原点重合),当A.B,C,D四个点构成的图形是平行四边形时,请直接写出点D的坐标.(2)非负性(换元或整体法)例1已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,则代数式x2-x+1的值是()A.7B.-1C.7或-1D.-5或3巩固练习1.若(a2+b2)2-3(a2+b2)-4=0,则代数式a2+b2的值为.2.已知x为实数,且满足(x2+3x)2+2(x2+3x)-3=0,那么x2+3x=.3.如果(x-y-2)(x-y+1)=0,那么x-y=.4.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是.【3.实际应用题易错点】1.某厂一月份生产某机器100台,计划二、三月份共生产280台.设二、三月份每月的平均增长率为x,根据题意列出的方程是()A.100(1+x)2=280B.100(1+x)+100(1+x)2=280C.100(1-x)2=280D.100+100(1+x)+100(1+x)2=2802.某口罩厂6月份出货量是4月份的40%,设4月份到6月份口罩出货量平均每月的下降率为x,则可列方程为.3.五•一节日到来之际,班级同学之间相互赠送卡片,假设有n个同学,卡片共有1980张,则根据题意可列的方程为.4.新冠肺炎传染性很强,曾有2人同时患上新冠肺炎,在一天内一人平均能传染x人,经过两天传染后128人患上新冠肺炎,则根据题意可列的方程为.5.如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可利用长度为10m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,且在BC上各开宽1m的门.(1)设花圃宽AB长为x m,则BC的长为(用含x的代数式表示).(2)当花圃面积为16m2时,求AB的长;(3)小明说花圃面积不可能为56m2,他说的对吗?并说明理由.6.某商场购进一种单价为40元的商品,如果以单价60元售出,那么每天可卖出300个,根据销售经验,每降价0.5元,每天可多卖出10个,假设每个降价x(元),每天销售y(个),每天获得利润W(元).(1)写出y与x的函数关系式;(2)求出W与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)。
一元二次方程易错题一、概念理解类1. 方程(m - 1)x^2+3x - 1=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是()- 题目解析:- 对于一元二次方程的一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
在方程(m - 1)x^2+3x - 1 = 0中,要使其为一元二次方程,二次项系数不能为0,即m - 1≠0,解得m≠1。
2. 下列方程中,是一元二次方程的是()- ①x^2+(1)/(x^2)=0;②ax^2+bx + c = 0;③(x - 1)(x + 2)=x^2-1;④3x^2-2xy - 5y^2=0;⑤x^2=0- 题目解析:- ①x^2+(1)/(x^2) = 0是分式方程,因为方程中含有分式(1)/(x^2),不符合一元二次方程整式方程的要求。
- ②ax^2+bx + c = 0,当a = 0时,它就不是一元二次方程,所以该方程不一定是一元二次方程。
- ③将(x - 1)(x + 2)=x^2-1展开得x^2+x - 2=x^2-1,化简后为x - 1 = 0,是一元一次方程,不是一元二次方程。
- ④3x^2-2xy - 5y^2=0含有两个未知数x和y,是二元二次方程,不是一元二次方程。
- ⑤x^2=0符合一元二次方程的定义ax^2+bx + c = 0(a≠0),这里a = 1,b = 0,c = 0,所以它是一元二次方程。
二、解方程类1. 解方程x^2-2x - 3 = 0- 题目解析:- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0,这里a = 1,b=-2,c = - 3。
- 可以使用求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 先计算判别式Δ=b^2-4ac=<=ft(-2)^2-4×1×<=ft(-3)=4 + 12 = 16。
- 然后将其代入求根公式,x=(2±√(16))/(2)=(2±4)/(2),得到x_1=(2 +4)/(2)=3,x_2=(2-4)/(2)=-1。
初三数学一元二次方程错题集
1.关于 x 的方程是(m21)x2(m1)x 20 ,那么当m______时,方程为一元二次方程;当 m_____时,方程为一元一次方程 .
2.m_____时,关于 x 的方程m( x2x)2x2(x 2) 是一元二次方程?
3.关于 x 的方程(k1)x23(k2) x k 2420 的一次项系数是-3,则k=_______. 4.已知x1是一元二次方程ax2bx400 的一个解,且 a b,求 a2b2的值 .
2a2b 5.已知 x是一元二次方程x23x10 的实数根,那么代数式
x3( x2
x 5) 的值为________.
3x26x2
6、若 x=-2是关于 x 的方程(4)23160 的一个解,则
x n
m mx
100m2n2______
7、已知实数 a,b 满足a22a10 , b 22b10,且 a b ,则 a 2b23ab 的值为 ___________
8、已知a2 b 2a2b50,则 a b_________
4
9、已知a24a b2b650 ,则a24 b 的值为_________
216
10、若关于 x 的一元二次方程2
x22
x
310有两个实根
x1 , x2
,且m
x1x2x1x2 4 ,则m的取值范围是____________
11、已知4 x2mx1可化为(2x n)2的形式,则 m n _________
12、已知 x 是一元二次方程x23x10的实数根,那么代数式
x3( x 25) 的值为___________
3x26x x2
13、关于 x 的一元二次方程2x(mx4)x 2 6 没有实数根,则m的最小整数值是()
A. -1
B. 2
C. 3
D. 4
14、已知方程(x m)( x3)0 和方程 x22x30的解相同,则 m =()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
15.若一个三角形的三边长均满足方程x26 x80 ,则此三角形的周长为______.
16.若关于 x 的方程x22(a1)x(b2)2有两个相等的实数根,则a2004b5的值为______.
二、大题。
1.试证明关于 x 的方程( a28a20) x22a 1 0 ,无论a取何值,该方程都是一元
二次方程。
2. 先用配方法说明:不论 x 取何值,代数x24x 7的值总大于 0;再求出当 x 取何值时,代数式 x2 4x 7 的值最小?最小值是多少?
【例 2】当 k 为何值时,关于x 的方程kx2k
1)x
8
k
有实数根?
2(8
3、① 当 a 取什么值时,关于x 的方程ax24x10有两个实数根?
②当 a 取什么值时,关于x 的一元二次方程ax24x 1 0 有实数根?
③当 a 取什么值时,关于x 的方程ax24x10有实数根?
④当 a 取什么值时,关于x 的方程ax24x10 的两根都是正数?
4. 证明:不论m取何值,方程9x2( m 7) x m 30 都有两个不相等的实数根。
5、若方程3x210x m 0 有两个同号不等的实数根,求m的取值范围?
6.m取什么值时,关于x 的方程2x24mx 2m2m0
(1)有两个相等的实数根?
(2)有两个不相等的实数根?
(3)没有实数根?
7、已知 m,n 是一元二次方程x2( k 1)x 2009 0 的两根,求
(m2km 2009)(n2kn2009) 的值.
8、已知 a 是方程x2x 1 0 的一个实数根,求代数式a 1
.
a
E
4、已知:梯形 ABCD中, AB∥ CD,以 AD, AC为邻边作平行四边形 ACED, DC
延长线交 BE于 F,
求证: F 是 BE的中点。
D
C F A B
7、已知:梯形 ABCD的对角线的交点为 E 若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F,使
S ABC =S EBF,求证: DF∥ AC。
A D
E
B C F
17、过正方形 ABCD的顶点 B 引对角线 AC的平行线 BE,在 BE上取一点 F,使 AF=AC,若作菱
形 CAFé,
求证: AE 及 AF 三等分∠ BAC。
A B
F
D C
E
8、在正方形 ABCD中,直线 EF 平行于对角线 AC,与边 AB、BC的交点为 E、F,在 DA的延长线
上取一点 G,使 AG=AD,若 EG与 DF的交点为 H,求证: AH与正方形的边长相等。
G A D
E
H
B F C。