分治算法实验(用分治法实现快速排序算法)

分治算法实验（用分治法查找数组元素的最大值和最小值）算法分析与设计实验报告第一次实验实验步骤关键代码}else//当数组中元素个数少于2时，直接赋值处理1. 先解决小规模的问题，如数组中只有1个元素或者只有两个元素时候的情况。

2. 将问题分解，如果数组的元素大于等于3个，将数组分为两个小的数组。

3. 递归的解各子问题，将中分解的两个小的数组再进行以上两个步骤最后都化为小规模问题。

4. 将各子问题的解进行比较最终得到原问题的解。

//分治法处理整个数组，求出最大值与最小值void merge( int a[], int left, int right, int &Max, int &Min){int max1=0,min 1=0,max2=0,min2=0;if (right-left>2) //当数组中元素个数大于3时，才实行分治法{int mid=(right+left)/2;merge(a,left,mid,max1,mi n1);//左半边递归调用自身，求岀最大值与最小值，分别保存在max1,min1中merge(a,mid+1,right,max2,mi n2);//右半边递归调用自身，求岀最大值与最小值，分别保存在max2,min2中if (max1>=max2)Max=max1; //子序列两两合并，求岀最大值与最小值elseMax=max2; //分别保存在Max与Minif (min1<=min2)Min=mi n1;elseMin=mi n2;测试结果实验心得Max=compmax(a,left,right);Min=compmi n( a,left,right);}}利用分治法（递归实现）：非递归实现:请输入数据克1000093 32767The tine is1990003276? 9The tine is1000032767 0TJ IE tine is1000 32767 9The time is3276? RThe tine is內.0060-004TO通解，明白了分治法到底是怎样的一个过程，在代码实现分治法的时候，也使我加深了对于自己构造函数的理解，明白了分治法利用代码是怎样实现的，以及构造函数的传参与返回值等等地方需要注意的F;\鮒实验沁［p || B附录：完整代码（分治法）#include <iostream>#inelude <time.h>#include <iomanip> using namespacestd;//当数组中的元素个数小于3时，处理最大值int compmax(int A[], int start, int end) {int max;if (start<end) //有两个元素{if (A[start]<=A[end]) max=A[e nd];elsemax=A[start];}else //有一个元素max=A[start];return max;}//当数组中元素的个数小于2时，处理最小值int compmin(int A[], int start, int end){int min;if (start<end) //有两个元素{if (A[start]<=A[end]) mi n= A[start];elsemin= A[e nd];}else //有一个元素mi n=A[start];return mi n;}//分治法处理整个数组，求最大值与最小值void merge( int a[], int left, int right, int &Max,int &Min) 〃Max,Min 用来保存最大值与最小值//之所以使用&引用，是由于如果只是简单的使用变量，并不会改变Ma>与Min的值，使用指针也可以{int max1=0,min 1=0,max2=0,min2=0;if (right-left>2) //当数组中元素个数大于等于3时，进行分治{int mid=(right+left)/2;merge(a,left,mid,max1,min1); //左半边递归调用自身，求出最大值最小值，分别保存在max1,min1中merge(a,mid+1,right,max2,min2); //右半边递归调用自身，求出最大值最小值，分别保存在max2,min2中if (max1>=max2) //子序列两两合并，求出最大值与最小值，保存在Max与Mi n 中Max=max1;elseMax=max2;if (min 1<=min2)Min=min1;elseMin=min 2;}else //数组中元素个数小于3时的情况，直接赋值{Max=compmax(a,left,right);Mi n=compmi n( a,left,right);}}void ran( int *input, int n) //随机生成数组元素函数{int i;sran d(time(0)); for(i=0;i<n;i++) input[i]=ra nd();input[i]= '\0';}int a[1000000]; //定义全局变量用来存放要查找的数组int main(){int n;int i;int max;int min;coutvv "请输入要查找的序列个数:"<<e ndl;for (i=0;i<5;i++){cin>>n;ran (a,n);start=clock();en d=clock();over=end-start;start=clock();//调用分治法算法merge(a,0, n-1,max,min);coutvvmax<<‘ " vvminvvendl;en d=clock();printf( "The time is %6.3f" ,( double )(end-start-over)/CLK_TCK); //显示运行时间}system( "pause"); // 停止运行窗口return 0;}完整代码(非递归方法)#include <iostream>#include <time.h>#include <iomanip> usingnamespacestd;void ran( int *input, int n) {//随机生成数组元素函数int i;sran d(time(0));for (i=0;i<n;i++)in put[i]=ra nd();input[i]= '\0';}int a[1000000];int main(){int max=a[0],min=a[0];int i,j,n;cout<<"请输入数据规模: "<<e ndl;for (j=0;j<5;j++){cin»n;ran( a, n);clock_t start,e nd,over;//计算程序运行时间的算法start=clock();en d=clock();start=clock(); for(i=1;i<n;i++) {if (a[i]>max)max=a[i];if (a[i]<min) min=a[i];}coutvvmax<<‘ " vvminvvendl;en d=clock();printf( "The time is %6.3f" ,( double )(end-start-over)/CLK_TCK); // 显示运行时间}system( "pause");return 0;}。

一、实验背景分治算法是一种常用的算法设计方法，其基本思想是将一个复杂问题分解成若干个相互独立的小问题，然后将小问题递归求解，最终将子问题的解合并为原问题的解。

分治算法具有高效性、可扩展性和易于实现等优点，被广泛应用于各个领域。

本实验旨在通过实现分治算法解决实际问题，掌握分治算法的设计思想，并分析其时间复杂度。

二、实验目的1. 理解分治算法的基本思想；2. 掌握分治算法的递归实现方法；3. 分析分治算法的时间复杂度；4. 应用分治算法解决实际问题。

三、实验内容本实验选择两个分治算法：快速排序和合并排序。

1. 快速排序快速排序是一种高效的排序算法，其基本思想是将待排序序列分为两个子序列，其中一个子序列的所有元素均小于另一个子序列的所有元素，然后递归地对两个子序列进行快速排序。

（1）算法描述：① 选择一个基准值（pivot），通常取序列的第一个元素；② 将序列分为两个子序列，一个子序列包含所有小于基准值的元素，另一个子序列包含所有大于基准值的元素；③ 递归地对两个子序列进行快速排序。

（2）代码实现：```cvoid quickSort(int arr[], int left, int right) {if (left < right) {int pivot = arr[left];int i = left;int j = right;while (i < j) {while (i < j && arr[j] >= pivot) {j--;}arr[i] = arr[j];while (i < j && arr[i] <= pivot) {i++;}arr[j] = arr[i];}arr[i] = pivot;quickSort(arr, left, i - 1);quickSort(arr, i + 1, right);}}```2. 合并排序合并排序是一种稳定的排序算法，其基本思想是将待排序序列分为两个子序列，分别对两个子序列进行排序，然后将排序后的子序列合并为一个有序序列。

算法分析与设计实验报告第 1 次实验if（maxi>maxj)max=maxi；elsemax=maxj；if（mini<minj)min=mini;elsemin=minj;return；｝}srand(（unsigned int)time(NULL)）；cout <〈”随机产生的数据（0—100）：”;for（int i=0； i〈m; i++）a[i] = rand(）%100；测试结果附录：完整代码SelectMaxMin.cpp:＃include <iostream>＃include <ctime>＃include 〈cstdio>#include <iomanip>＃include 〈cstdlib〉using namespace std;void SelectMaxMin（int ＊a，int i，int j,int &max,int ＆min) ｛if（i==j)｛max= a[i];min =a［i]；return;}else｛int mid=（i+j)/2;int maxi，maxj，mini，minj;SelectMaxMin（a,i，（i+j）/2,maxi,mini）;SelectMaxMin(a，((i+j）/2）+1,j，maxj，minj);if（maxi〉maxj)max=maxi;elsemax=maxj;if(mini<minj)min=mini；elsemin=minj;return;}}int main（）{clock_t start,end，over；start=clock();end=clock();over=end—start;start=clock(）；//freopen（"in。

txt",”r"，stdin）；//freopen(”out。

txt”，”w"，stdout);int m；cout 〈<"Please input the number : ”;cin>〉 m；int a［m]；srand((unsigned int）time(NULL））;cout 〈〈 "随机产生的数据（0-100)："；for（int i=0; i〈m; i++）a［i] = rand（)％100；for(int i=0； i〈m; i++)cout <〈 a[i] 〈< " ";cout 〈< endl；int max，min;SelectMaxMin(a,0,m-1,max,min）;cout 〈< "max = " 〈〈 max 〈〈 endl;cout <〈”min = " <〈 min 〈〈 endl；end=clock（)；printf（”The time is %6.3f”,（double）(end-start—over）/CLK_TCK）; ｝。

分治算法举例范文分治算法是一种很重要的算法思想，它将一个大的问题划分成较小的子问题，然后分别求解这些子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。

下面我将详细介绍分治算法的几个经典例子。

1. 快速排序（Quick Sort）快速排序是一种经典的使用分治算法的排序算法。

它首先选择一个基准元素，然后将数组划分成两个子数组：小于基准元素的和大于基准元素的。

然后对这两个子数组分别递归地进行快速排序，最后将两个子数组合并起来即可得到有序的数组。

快速排序的时间复杂度为O(nlogn)。

2. 归并排序（Merge Sort）归并排序也是一种利用分治思想的排序算法。

它将待排序的数组划分成两个子数组，然后分别对这两个子数组进行归并排序，最后将两个有序的子数组合并成一个有序的数组。

归并排序的时间复杂度也是O(nlogn)。

3. 汉诺塔问题（Tower of Hanoi）汉诺塔问题是数学领域中一个经典的问题，也可以通过分治算法来解决。

问题的规模是将n个圆盘从一个柱子移动到另一个柱子上，移动时需要遵守以下规则：每次只能移动一个盘子，移动过程中不能将较大的盘子放在较小的盘子上。

可以将问题划分成三个子问题：将前n-1个盘子从起始柱子移动到中间柱子上，将最后一个盘子从起始柱子移动到目标柱子上，最后将前n-1个盘子从中间柱子移动到目标柱子上。

这样就可以递归地求解子问题，最后合并起来得到原问题的解。

4. 最大子数组和问题（Maximum Subarray）最大子数组和问题是求解给定数组中连续子数组的最大和的问题。

可以使用分治算法来解决这个问题。

首先将数组划分成两个子数组，然后分别求解这两个子数组中的最大子数组和。

接下来，需要考虑跨越中点的情况，即包含中点的子数组的最大和。

最后，将这三种情况中的最大值作为最终的结果。

最大子数组和问题的时间复杂度为O(nlogn)。

5. 矩阵乘法（Matrix Multiplication）矩阵乘法也可以通过分治算法来实现。

算法分析与设计实验报告：合并排序与快速排序一、引言算法是计算机科学中非常重要的一部分，它涉及到解决问题的方法和步骤。

合并排序和快速排序是两种经典而常用的排序算法。

本文将对这两种排序算法进行分析和设计实验，通过对比它们的性能和效率，以期得出最优算法。

二、合并排序合并排序是一种分治算法，它将原始数组不断分解为更小的数组，直到最后细分为单个元素。

然后，再将这些单个元素两两合并，形成一个有序数组。

合并排序的核心操作是合并两个有序的数组。

1. 算法步骤（1）将原始数组分解为更小的子数组，直到每个子数组只有一个元素；（2）两两合并相邻的子数组，同时进行排序，生成新的有序数组；（3）重复步骤（2），直到生成最终的有序数组。

2. 算法性能合并排序的最优时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序数组的长度。

无论最好情况还是最坏情况，合并排序的复杂度都相同。

合并排序需要额外的存储空间来存储临时数组，所以空间复杂度为O(n)。

三、快速排序快速排序也是一种分治算法，它将原始数组根据一个主元（pivot）分成两个子数组，一个子数组的元素都小于主元，另一个子数组的元素都大于主元。

然后，递归地对这两个子数组进行排序，最后得到有序数组。

快速排序的核心操作是划分。

1. 算法步骤（1）选择一个主元（pivot），可以是随机选择或者固定选择第一个元素；（2）将原始数组根据主元划分为两个子数组，一个子数组的元素都小于主元，另一个子数组的元素都大于主元；（3）递归地对这两个子数组进行快速排序；（4）重复步骤（2）和（3），直到每个子数组只有一个元素，即得到最终的有序数组。

2. 算法性能快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序数组的长度。

最坏情况下，当每次选择的主元都是最小或最大元素时，时间复杂度为O(n^2)。

快速排序是原地排序，不需要额外的存储空间，所以空间复杂度为O(1)。

四、实验设计为了验证合并排序和快速排序的性能和效率，我们设计以下实验：1. 实验目的：比较合并排序和快速排序的时间复杂度和空间复杂度。

快速排序实验总结快速排序是一种常用的排序算法，其基本思想是通过分治的方法将待排序的序列分成两部分，其中一部分的所有元素均小于另一部分的元素，然后对这两部分分别进行递归排序，直到整个序列有序。

下面是我在实验中对于快速排序算法的一些总结和思考。

一、算法步骤快速排序的基本步骤如下：1.选择一个基准元素（pivot），将序列分成两部分，一部分的所有元素均小于基准元素，另一部分的所有元素均大于等于基准元素。

2.对于小于基准元素的部分和大于等于基准元素的部分，分别递归地进行快速排序，直到两部分都有序。

3.合并两部分，得到完整的排序序列。

二、算法优缺点优点：1.快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，在排序大数据集时表现优秀。

2.快速排序是一种原地排序算法，不需要额外的空间，因此空间复杂度为O(logn)。

3.快速排序具有较好的可读性和可维护性，易于实现和理解。

缺点：1.快速排序在最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)，此时需要选择一个不好的基准元素，例如重复元素较多的序列。

2.快速排序在处理重复元素较多的序列时，会出现不平衡的分割，导致性能下降。

3.快速排序在递归过程中需要保存大量的递归栈，可能导致栈溢出问题。

三、算法实现细节在实现快速排序时，以下是一些需要注意的细节：1.选择基准元素的方法：通常采用随机选择基准元素的方法，可以避免最坏情况的出现。

另外，也可以选择第一个元素、最后一个元素、中间元素等作为基准元素。

2.分割方法：可以采用多种方法进行分割，例如通过双指针法、快速选择算法等。

其中双指针法是一种常用的方法，通过两个指针分别从序列的两端开始扫描，交换元素直到两个指针相遇。

3.递归深度的控制：为了避免递归过深导致栈溢出问题，可以设置一个递归深度的阈值，当递归深度超过该阈值时，转而使用迭代的方式进行排序。

4.优化技巧：在实现快速排序时，可以使用一些优化技巧来提高性能。

例如使用三数取中法来选择基准元素，可以减少最坏情况的出现概率；在递归过程中使用尾递归优化技术，可以减少递归栈的使用等。

快速排序算法实验报告快速排序算法实验报告引言快速排序算法是一种高效的排序算法，它的时间复杂度为O(nlogn)，在实际应用中被广泛使用。

本实验旨在通过实际的实验数据，验证快速排序算法的效果和性能，并对其进行分析和总结。

实验设计本实验采用C++语言编写快速排序算法，并通过随机生成的数据进行排序实验。

实验中使用了不同规模的数据集，并记录了排序所需的时间和比较次数。

实验步骤1. 实现快速排序算法快速排序算法的核心思想是通过选取一个基准元素，将待排序的序列分为两部分，一部分比基准元素小，一部分比基准元素大，然后对这两部分继续进行快速排序。

具体实现时，可以选择序列的第一个元素作为基准元素，然后使用分治法递归地对子序列进行排序。

2. 生成测试数据为了验证快速排序算法的性能，我们生成了不同规模的随机数序列作为测试数据。

测试数据的规模分别为1000、10000、100000和1000000。

3. 进行排序实验使用生成的测试数据，对快速排序算法进行实验。

记录每次排序所需的时间和比较次数，并将结果进行统计和分析。

实验结果通过对不同规模的数据集进行排序实验，我们得到了以下结果：数据规模排序时间（ms）比较次数1000 2 872810000 12 114846100000 124 13564771000000 1483 15737267分析与讨论从实验结果可以看出，随着数据规模的增大，排序所需的时间和比较次数也呈指数级增长。

这符合快速排序算法的时间复杂度为O(nlogn)的特性。

另外，通过观察实验结果，我们可以发现快速排序算法的性能受到多个因素的影响。

首先，基准元素的选择对算法的效率有很大的影响。

如果选择的基准元素恰好是序列的中位数，那么排序的效率会更高。

其次，数据的初始顺序也会影响排序的效果。

如果数据已经是有序的，那么快速排序算法的效率将大大降低。

此外，快速排序算法还存在一些优化的空间。

例如，可以通过随机选择基准元素来避免最坏情况的发生。

分治法实验心得分治法实验心得分治法是一种常见的算法设计策略，它将原问题划分成若干个规模较小但结构与原问题相似的子问题，然后递归地求解这些子问题，最终将子问题的解合并得到原问题的解。

在本次实验中，我们实现了两个基于分治法的算法：归并排序和快速排序，并对它们进行了性能测试和比较。

一、归并排序1. 原理归并排序是一种典型的分治算法。

它将待排序数组不断地二分为两个子数组，直到每个子数组只剩下一个元素。

然后将相邻的两个子数组合并成一个有序数组，再将相邻的两个有序数组合并成一个更大的有序数组，直到最终合并成整个待排序数组。

2. 实现我们采用了自顶向下的递归方式实现了归并排序。

具体来说，我们定义了一个merge函数用于合并两个有序子数组，并定义了一个sort 函数用于递归地对左右两个子数组进行排序和合并。

3. 性能测试与比较我们使用Python内置的time模块对不同规模（10^2 ~ 10^6）的随机整数列表进行了性能测试，并绘制出了运行时间随数组规模增大的变化曲线。

结果表明，归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，与理论分析相符。

二、快速排序1. 原理快速排序也是一种分治算法。

它选择一个基准元素，将数组中小于等于它的元素放在其左侧，大于它的元素放在其右侧。

然后递归地对左右两个子数组进行同样的操作，直到每个子数组只剩下一个元素。

2. 实现我们实现了两个版本的快速排序：递归版本和非递归版本。

其中，递归版本采用了经典的Lomuto分区方案，而非递归版本则采用了更高效的Hoare分区方案。

3. 性能测试与比较我们同样使用Python内置的time模块对不同规模（10^2 ~ 10^6）的随机整数列表进行了性能测试，并绘制出了运行时间随数组规模增大的变化曲线。

结果表明，快速排序具有很好的平均时间复杂度（O(nlogn)），但最坏情况下时间复杂度会退化到O(n^2)。

三、总结与思考通过本次实验，我们深入理解了分治算法设计策略，并学会了如何实现归并排序和快速排序。

算法设计与分析实验报告实验一全排列、快速排序【实验目的】1. 掌握全排列的递归算法。

2. 了解快速排序的分治算法思想。

【实验原理】一、全排列全排列的生成算法就是对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。

任何n个字符集的排列都可以与1～n的n个数字的排列一一对应，因此在此就以n 个数字的排列为例说明排列的生成法。

n个字符的全体排列之间存在一个确定的线性顺序关系。

所有的排列中除最后一个排列外，都有一个后继；除第一个排列外，都有一个前驱。

每个排列的后继都可以从它的前驱经过最少的变化而得到，全排列的生成算法就是从第一个排列开始逐个生成所有的排列的方法。

二、快速排序快速排序（Quicksort）是对冒泡排序的一种改进。

它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

【实验内容】１.全排列递归算法的实现。

２.快速排序分治算法的实现。

【实验结果】１. 全排列：２. 快速排序：实验二最长公共子序列、活动安排问题【实验目的】１. 了解动态规划算法设计思想，运用动态规划算法实现最长公共子序列问题。

２. 了解贪心算法思想，运用贪心算法设计思想实现活动安排问题。

【实验原理】一、动态规划法解最长公共子序列设序列X=和Y=的一个最长公共子序列Z=，则：i. 若xm=yn，则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；ii. 若xm≠yn且zk≠xm ，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列；iii. 若xm≠yn且z k≠yn ，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。

其中Xm-1=，Yn-1=，Zk-1=。

最长公共子序列问题具有最优子结构性质。

由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=和Y=的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：当xm=yn时，找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的一个最长公共子序列。