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从梯子的倾斜程度谈起(二)教学目标(一)知识与技能1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义.(二)过程与方法1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯.教学重点1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切.教学方法探索——交流法.教具准备多媒体演示.教学过程Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.现在我们提出两个问题：[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? Ⅱ.讲授新课1.正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2) 211122BA C A BA C A 和有什么什么关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?请同学们讨论后回答.∵A 1C 1⊥BC 1，A 2C 2⊥BC 2，∴A 1C 1//A 2C 2.∴Rt △BA 1C 1∽Rt △BA 2C 2.211122BA C A BA C A 和 2112BA BC BA BC 和 (相似三角形对应边成比例). 由于A 2是梯子A 1B 上的任意—点，所以，如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置，上述结论仍成立.由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关.如果改变梯子A 1B 的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么函数关系.[师]上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠ ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即 cosA=斜边的邻边A ∠锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数(trigonometricfunction).[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA 、cosA 、tanA 都是之A 的三角函数”呢?2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA 有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA 、cosA 有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?如图所示，AB ＝A 1B 1，在Rt △ABC 中，sinA=ABBC ，在 Rt △A 1B 1C 中，sinA 1=111B A C B . ∵ AB BC ＜111B A C B , 即sinA<sinA 1，而梯子A 1B 1比梯子AB 陡，所以梯子的倾斜程度与sinA 有关系.sinA 的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.同样道理cosA=AB AC cosA 1＝111B A C A , ∵AB=A 1B 1 AB AC ＞111B A C A 即cosA>cosA 1， 所以梯子的倾斜程度与cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越陡.[师从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切.3.例题讲解多媒体演示.[例1]如图，在Rt △ABC中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC的长.分析：sinA 不是“sin ”与“A ”的乘积，sinA 表示∠A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA ＝0.6，ACBC ＝0.6. 解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，即=ACBC 0.6，BC ＝AC ×0.6＝200×0.6=120. [例2]做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)＝cosA ，cos(90°-A)=sinA.解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=10，cosA ＝1312，cosA ＝ABAC , ∴AB=665121310131210cos =⨯==A Ac ,sinB ＝1312cos ==A AB Ac 根据勾股定理，得BC 2＝AB 2-AC 2＝(665)2-102=2222625366065=- ∴BC ＝625. ∴cosB ＝1356525665625===AB BC ,sinA ＝135=AB BC 可以得出同例1一样的结论.∵∠A+∠B=90°，∴sinA ：cosB=cos(90-A)，即sinA ＝cos(90°-A)；cosA ＝sinB ＝sin(90°-A)，即cosA ＝sin(90°-A).Ⅲ.随堂练习多媒体演示1.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.2.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积. Ⅳ.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数；三个比值是因变量.当∠A 确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题.Ⅴ.课后作业习题1.2第1、2、题板书设计§1.1.2 从梯子倾斜程度谈起(二)1.正弦、余弦的定义在Kt △ABC 中，如果锐角A 确定.sinA ＝斜边的对边A ∠ cosA ＝斜边的对边A ∠2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 有关吗?sinA 的值越大，梯子越陡cosA 的值越小，梯子越陡3.例题讲解4.随堂练习教学反思：。
第一章直角三角形的边角关系1.从梯子的倾斜程度谈起（2）一、学生知识状况分析本课是第九册第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第二课时，由于学生在前一节课学习过有关正切的知识，但对于直角三角形只能停留在两直角边之间的关系，那么，直角三角形中斜边与直角边之间是否也存在着一定的关系呢？本节课首先通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中斜边与直角边之间确实也存在着一定的关系。
二、教学任务分析本课是第九册第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第二课时，是通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中斜边与直角边之间确实也存在着一定的关系，从而，探索出直角三角形中，一个锐角的直角边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的。
在试验过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生开展讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.在学习的过程中，有些活动学生很容易就能得到结论，但要重视试验的作用。
鼓励每一位学生亲自试验，要注意克服想当然的习惯、缺乏主动实践探索的意识，鼓励学生验证试验结果的合理性。
学习目标：（一）教学知识点：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦的意义和与现实生活的联系.2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中斜边与直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度，能够用正弦、余弦进行简单的计算.(二)能力训练要求：1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观要求：1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点：理解正弦、余弦的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点：理解正弦、余弦的数学意义，并用它来表示两边的比.三、教学过程分析第一环节创设情境（1）我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数。
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（二）学习目标1、理解锐角三角函数（正弦、余弦）的意义，并能够举例说明2、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比，并会进行简单的计算 学习重点和难点重点：理解正弦、余弦函数的定义 难点：理解正弦、余弦函数的定义 学习过程一、复习引入正切：锐角Ａ的 与 之比叫做∠Ａ的正切。
即=A tan 。
二、自主学习（提示：自学书中内容，完成填空）1、正弦、余弦函数 正弦：斜边的对边A A ∠=sin ，余弦：斜边的邻边A A ∠=cos ☆巩固练习一（1）如图，在△ACB 中，∠C = 90°，①sinA = ；cosA = ；②若AC = 4，BC = 3，则sinA = ；③若AC = 8，AB = 10，则sinA = ；（2）如图，在△ACB 中，sinA = 。
2、三角函数锐角A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数。
3、梯子的倾斜程度与三角函数的关系sinA 的值 ，梯子越陡；cosA 的值 ，梯子越陡三、例题学习例4、如图，在Rt △ABC 中，∠B = 90°，AC = 200，6.0sin =A ，求BC 的长。
分析：本例是利用正弦的定义求对边的长。
例5、如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，1312cos =A ，求AB 的长及sinB 。
分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。
A B C A B CA B C ∠A 的对边∠A 的邻边斜边2 三、随堂练习1、在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA=2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm =则SinA= cosA=3、Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=54,AB=10,则BC ＝ 11、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，，AB ＝13，BC ＝5，求sinA, cosA, tanA 。
1.1从梯子的倾斜程度谈起学习目标：1理解正切、正弦、余弦的概念。
2会利用三角函数的定义解决问题。
知识点一：正切：在Rt △ABC 中，∠Ａ为锐角，tanA= 。
随着∠Ａ的增大，tanA ；若tanA 增大，则∠Ａ 。
注意：tanA 的值只与∠Ａ的大小有关，与Rt △ABC 的大小无关。
坡度：我们把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（坡比）。
注意：倾斜角α越大，tan α越大，坡就越陡。
例：甲、乙两个商场分别有A,B 两个自动扶梯，根据现有条件，你能判断出哪一个自动扶梯比较陡吗？练习：1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，Rt △ABC 绕着点C 旋转后，点B 落在AC 边上的点B ′,点A 落在点A ′,那么tan ∠AA ＇B ＇的值为 。
2、某人沿着山坡从山脚到山顶共走了1000m ，他上升了600m ，你能算出这个山坡的坡度吗？3、如图，一次函数的图像经过点M ，与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，根据途中信息求： （1）这个函数的解析式（2）ta n ∠BAO 的值知识点二：正弦、余弦:在Rt △ABC 中，∠Ａ为锐角，sinA= ，cosA= 。
lαh随着∠Ａ的增大，sinA ，cosA 。
若sinA 增大，则∠Ａ ，若cosA 增大，则∠Ａ 。
注意：sinA 、cosA 的值只与∠Ａ的大小有关，与Rt △ABC 的大小无关。
例：如图，以支教坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆，若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的锐角∠α，则点P 的坐标是（ ）A.(cos α，1)B.(1，sin α)C.(sin α，cos α)D.(cos α，sin α)练习：1、在△ABC 中，∠C =90°，sinA=32，则tanB 的值为（ ） A 、32 B 、35 C 、52 D 、25 2、若等腰三角形的两边长分别是6,8，则底角的余弦是（ ）A 、32 B 、83 C 、34 D 、32或83 3、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=53,BE=2， 则tan∠DBE 的值是（ ）A 、21B 、2C 、25D 、554、如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 点O ，那么DOAO= 。
九下第一章直角三角形的边角关系1-1从梯子的倾斜程度谈起（2）【课标与教材分析】：课标要求：能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦，余弦。
本节从现实情境（梯子的倾斜程度）出发，让学生经历探索直角三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明，能用tanA、sinA、cosA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算。
【学情分析】：1、学生已经知道的：学生在第一课时已经学习过有关直角三角形的边角关系中一个锐角与它的对边、邻边与斜边的关系2、学生想知道的：直角三角形中边与角之间是否还存在着其他的关系呢？教师采用实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中的锐角和它的对边、邻边与斜边确实存在着一定的关系3、学生能自己解决的：探索出直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的的比及邻边与斜边的比是由锐角的大小变化而变化的。
【教学目标】：知识与技能：经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.数学思考：能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比,进行简单的计算. 问题解决：理解锐角三角函数的意义.情感态度价值观：结合具体实例，初步体会三角函数在现实生活中的应用，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识.【教学重点】：理解正弦和余弦的意义，能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比,进行简单的计算【教学难点】：用函数的观点理解正弦、余弦和正切.【创新支点设计】：通过让学生观察自制教具圆规，来感受角的变化对正弦值、余弦值的影响，从而解决梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系问题，变抽象为具体。
【教学评价】：当堂检测，分组评价，在评价中.关注学生在学习过程中的表现,如能否积极地参与活动,能否从不同角度去思考问题。
鼓励学生使用数学语言,有条理的表达自己的思考过程,鼓励学生大胆质疑和创新。
【教学方法与媒体】：引导式自主探究 PPT【教学过程】： 一.情境引入我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切. 现在请同学们考虑两个问题：[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系?二.探究新知1.正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图所示(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有 什么关系?(2) 2211A C A C B A B A 和有什么关系? 221112B C B C B A B A和呢?(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢?上述结论还能成立吗？请同学们讨论后回答.由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值也随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关.在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即 sinA ＝斜边的对边A ∠，∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即 cosA=斜边的邻边A ∠锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数(trigonometricfunction). 2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA 有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA 、cosA 有关系呢?如果有关系，是怎样的关系? 结合图形自主探究：梯子的倾斜程度与sinA 有关系.sinA 的值越大，梯子越 . 与cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越.三．典型例题例1：在ABC Rt △中，090C ∠=，AC=15,BC=8,分别求B ∠的三个三角函数值针对训练：如图, 根据图求∠A 的三个三角函数值.例2、如图:在Rt △ABC 中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6. 求BC 的长.针对训练：1、如图:在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=10，cosA=1312，求:AB,sinB2.在Rt △ABC 中,∠C=900,BC=20,sinA=54，则△ABC 的周长为 ，面积为 。
1.1从梯子的倾斜度谈起（2）导学练案备课日期____月____日主备复备_______学生_______班级______上课日期____月____日【学习目标】1、类比正切的定义，得出正弦、余弦的定义；2、能够用正弦余弦来表示Rt△中锐角A的对边与斜边、邻边与斜边的比；3、能用正弦、余弦的值反映梯子的倾斜程度；4、会用锐角三角函数进行简单计算。
【学习过程】一、复习导入1、什么是函数？并举例说明。
2、结合图形给出正切实义。
二、探索新知1、自主探究当R t△ABC中的锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定了吗？∠A的邻边与斜边的比呢？（点拨：可仿照正切进行思考，进行充分的讨论和说理。
）2、类比正切定义，试着用自己的语言描述∠A的正弦SinA与∠A的余弦CosA的定义。
（引导学生进行充分的讨论和说理）在R t△ABC中，∠C为直角，那么SinA= ，CosA= ，SinB= ，CosB= 。
3、自主探索，在R t△ABC中，∠C=90o，锐角A变化时，SinA、CosA、tanA会，当∠A确定时，三个比值会，在这里自变量是，因变量是。
4、锐角三角函数定义：。
5、独立思考“想一想”，得出结论，并说明理由，同伴间交换意见。
（引导学生进一步思考正弦和余弦的值与梯子倾斜程度的关系）三、应用新知1、自学教材例2，独立完成。
2、独立完成“做一做”，并说出你发现了什么？（这是余弦和正弦定义的进一步应用）四、层级训练随堂练习1、2，知识技能1，数学理解2；联系拓广3、4、5五、学习反思。
通过本节学习谈你的收获、体会，本节学习中用到哪些数学方法、思想。
我的心得（a. 我很棒，收获很大；b.有收获，但还需努力！）。
