【状元之路】(新课标 通用版)2015届高考数学一轮复习 8-3算法初步与算法案例检测试题(2)文

【解密高考】2015届高考数学大一轮总复习 13.1 算法初步高效作业 理 新人教A 版时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 某某：________ 学号：________得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·课标全国Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析：程序框图对应函数为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ＜14t －t 2，t ≥1，∴当t ∈[－1,1)时，s ＝3t ∈[－3,3]； 当t ∈[1,3]时，s ＝4t －t 2∈[3,4]． ∴当t ∈[－1,3]时，s ∈[－3,4]，选A. 答案：A2．(2013·某某)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7解析：对于k ≤4时有S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋14×5，此时k ＝5，因此a ＝4，这时结束运算可得S ＝1＋1－15＝95.答案：A3．(2013·某某)阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( )A ．计算数列{2n －1}的前10项和 B ．计算数列{2n －1}的前9项和C ．计算数列{2n－1}的前10项和 D ．计算数列{2n－1}的前9项和 解析：S ＝1＋2×0＝1，i ＝2；S ＝1＋2×1＝1＋21，i ＝3， S ＝1＋2(1＋21)＝1＋21＋22，i ＝4，S ＝1＋2(1＋21＋22)＝1＋21＋22＋23，i ＝5，…S ＝1＋21＋22＋23＋…＋29，i ＝11＞10，输出S ＝1＋21＋22＋23＋…＋29，所以选A. 答案：A4．(2013·某某)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )答案：C5．(2013·某某)执行如右图所示的程序框图，如果输出s ＝3，那么判断框内应填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤9解析：首次进入循环体，s ＝1×log 23，k ＝3；第二次进入循环体，s ＝lg 3lg 2×lg 4lg 3＝2，k ＝4；依次循环，第六次进入循环体，s ＝3，k ＝8，此时终止循环，则判断框内填k ≤7.答案：B6．(2013·某某)执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( )A.511B.1011C.3655D.7255解析：S ＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1＋1102－1＝511.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(2013·某某)执行如右图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为________．解析：每次进入循环结构a ，b 的值如下：a ＝1，b ＝2①a ＝3，b ＝2②a ＝5，b ＝2③a ＝7，b ＝2④a ＝9，b ＝2满足a ＞8，此时a ＝9.答案：98．(2013·某某)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i ＝________.解析：从程序框图知，a＝10，i＝1；a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i＝4；a＝4，i＝5.故输出i＝5.答案：59．(2013·某某)执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．解析：逐次计算的结果是F1＝3，F0＝4，n＝2；F1＝7，F0＝11，n＝3，此时输出，故输出结果为3.答案：310．(2013·某某)下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．解析：n0＝1，a0＝2；a1＝8，n1＝2；a2＝26，n2＝3.答案：3三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．画出计算S＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋10·211的值的程序框图．解：如图所示：12．(2014·某某三市联考)根据如图的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x2 013；y1，y2，…，y2 013.(1)写出数列{x n}，{y n}的通项公式(不要求写出求解过程)；(2)求S n＝x1(y1＋1)＋x2(y2＋1)＋…＋x n(y n＋1)，(n≤2 013)．解：(1)x n＝2n－1，y n＝3n－1，(n≤2 013)．(2)S n＝1×31＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n.∴3S n＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－3)·3n＋(2n－1)·3n＋1.∴2S n＝(2n－1)3n＋1－3－2(32＋33＋…＋3n)．∴S n＝(n－1)3n＋1＋3(n≤2 013)．13．(理)(2013·某某)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)； (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y 的值为1的频数 输出y 的值 为2的频数输出y 的值 为3的频数30 14 6 10 … … … … 2 1001 027376697运行次数n输出y 的值为1的频数 输出y 的值 为2的频数输出y 的值 为3的频数30 12 11 7 … … … … 2 1001 051696353当n i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(Ⅲ)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．解：(Ⅰ)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12； 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (Ⅱ)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：(Ⅲ)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×(13)0×(23)3＝827， P (ξ＝1)＝C 13×(13)1×(23)2＝49，P (ξ＝2)＝C 23×(13)2×(23)1＝29，P (ξ＝3)＝C 33×(13)3×(23)0＝127， 故ξ的分布列为所以，Eξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.(文)给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推．要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图(如下图所示)：(1)图中①处和②处应填上什么语句，使之能完成该题算法功能；(2)根据程序框图写出程序．解：(1)①处应填i≤30；②处应填p＝p＋i.(2)程序如下所示：s。

第十二章算法初步、复数学案70算法与程序框图导学目标：1.了解算法的含义，了解算法的思想.2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．自主梳理1．算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的________和________的步骤．这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．2．程序框图又称________，是一种用________、________及____________来准确、直观地表示算法的图形．通常程序框图由________和________组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；________带方向箭头，按照算法进行的顺序将________连结起来．3．顺序结构是由________________________组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为4．条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．其结构形式为5．循环结构是指__________________________________________________________．反复执行的步骤称为________．循环结构又分为________________和________________．其结构形式为6．算法的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不惟一性、普遍性． 自我检测1．(2010·陕西)如图所示是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S ＋x nB ．S ＝S ＋x nnC ．S ＝S ＋nD ．S ＝S ＋1n第1题图 第2题图2．(2010·全国)如果执行如图所示的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( ) A .54B .45C .65D .563．(2011·北京)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( ) A ．－3B ．－12C .13D ．2第3题图第4题图4．(2011·山东)执行如图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________.探究点一算法的顺序结构例1已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P(x0，y0)到直线l的距离d，写出其算法并画出程序框图．变式迁移1阅读如图的程序框图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是()A．75、21、32B．21、32、75C．32、21、75 D．75、32、21探究点二 算法的条件结构例2 (2011·杭州模拟)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x>0)0 (x ＝0)2 (x<0)，写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．变式迁移2 给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4探究点三 算法的循环结构例3 写出求1×2×3×4×…×100的一个算法并画出程序框图.变式迁移3 (2011·天津和平区模拟)在如图所示的程序框图中，当程序被执行后，输出s的结果是______．1．程序框图主要包括三部分：(1)表示相应操作的框；(2)带箭头的流程线；(3)框内外必要的文字说明，读懂程序框图要从这三个方面研究．流程线反映了流程执行的先后顺序，主要看箭头方向，框内外文字说明表明了操作内容．2．两种循环结构的区别：(1)执行情况不同：当型循环是先判断条件，当条件成立时才执行循环体，若循环条件一开始就不成立，则循环体一次也不执行．而直到型循环是先执行一次循环体，再判断循环条件，循环体至少要执行一次．(2)循环条件不同：当型循环是当条件成立时循环，条件不成立时停止循环，而直到型循环是当条件不成立时循环，直到条件成立时结束循环．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．中山市的士收费办法如下：不超过2公里收7元(即起步价7元)，超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填()A．y＝7＋2.6x B．y＝8＋2.6xC．y＝7＋2.6(x－2) D．y＝8＋2.6(x－2)第1题图第2题图2．(2010·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于() A．2 B．3 C．4 D．53．(2010·浙江)某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为()A．k>4? B．k>5? C．k>6? D．k>7?第3题图第4题图4．(2010·辽宁)如果执行如图所示的程序框图，输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于() A．720 B．360 C．240 D．1205．阅读下面的程序框图，则输出的S等于()A．14 B．20 C．30 D．55二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·浙江)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是__________．第6题图第7题图7．执行如图所示的程序框图，输出的T＝________.8．(2010·江苏改编)如图是一个程序框图，则输出的S的值是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·包头模拟)对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a i，具体如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8a i40 41 43 43 44 46 47 48在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a是这8个数据的平均数)，求输出的S的值．10．(12分)(2011·汕头模拟)已知数列{a n}的各项均为正数，观察程序框图，若k＝5，k＝10时，分别有S＝511和S＝1021.(1)试求数列{a n}的通项；(2)令b n＝2a n，求b1＋b2＋…＋b m的值．11．(14分)已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y 2)，…，(x n ，y n )，…，(1)若程序运行中输出一个数组是(9，t)，求t 的值； (2)求程序结束时，共输出(x ，y)的组数； (3)求程序结束时，输出的最后一个数组．学案70 算法与程序框图自主梳理1．明确 有限 2.流程图 程序框 流程线 文字说明 程序框 流程线 流程线 程序框 3.若干个依次执行的步骤 5.从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况 循环体 当型(WHILE 型) 直到型(UNTIL 型)自我检测1．A [由循环结构的程序框图可知需添加的运算为S ＝x 1＋x 2＋…＋x 10的累加求和．] 2．D [第一次运行N ＝5，k ＝1，S ＝0，S ＝0＋11×2，1<5成立，进入第二次运行；k ＝2，S ＝11×2＋12×3，2<5成立，进入第三次运行；k ＝3，S ＝11×2＋12×3＋13×4，3<5成立，进入第四次运行；k ＝4，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5，4<5成立，进入第五次运行；k ＝5，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝1－16＝56，5<5不成立，此时退出循环，输出S.]3．D [由框图可知i ＝0，s ＝2→i ＝1，s ＝13→i ＝2，s ＝－12→i ＝3，s ＝－3→i ＝4，s ＝2，循环终止，输出s ，故最终输出的s 值为2.]4．68解析 当输入l ＝2，m ＝3，n ＝5时，不满足l 2＋m 2＋n 2＝0，因此执行：y ＝70l ＋21m ＋15n ＝70×2＋21×3＋15×5＝278.由于278>105，故执行y ＝y －105，执行后y ＝278－105＝173，再执行一次y＝y－105后y的值为173－105＝68，此时68>105不成立，故输出68.课堂活动区例1解题导引顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．程序框图中一定包含顺序结构．解算法如下：第一步，输入x0，y0及直线方程的系数A，B，C.第二步，计算Z1＝Ax0＋By0＋C.第三步，计算Z2＝A2＋B2.第四步，计算d＝|Z1|.Z2第五步，输出d.程序框图：变式迁移1A[由程序框图中的各个赋值语句可得x＝21，a＝75，c＝32，b＝21，故a、b、c分别是75、21、32.]例2解题导引求分段函数函数值的程序框图的画法，如果是分两段的函数，则需引入一个判断框；如果是分三段的函数，则需引入两个判断框．解算法如下：第一步，输入x；第二步，如果x>0，则y ＝－2；如果x ＝0，则y ＝0；如果x<0，则y ＝2；第三步，输出函数值y.相应的程序框图如图所示．变式迁移2 C [本问题即求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x>5的值．若x ≤2，由x 2＝x 得，x ＝1或0；若2<x ≤5，由x ＝2x －3得，x ＝3；若x>5，由x ＝1x得，x ＝±1，不符合． 故符合要求的x 值有3个．] 例3 解题导引 数学中的累加、累乘、累差等重复性操作可以用循环结构来实现．循环结构分当型和直到型两种，二者的区别是：前者是，当满足条件时执行循环体，而后者是“直到”条件满足时结束循环．解 第一步，设S 的值为1.第二步，设i 的值为2.第三步，如果i ≤100执行第四步，否则转去执行第七步．第四步，计算S 乘i 并将结果赋给S.第五步，计数i 加1并将结果赋给i.第六步，转去执行第三步．第七步，输出S 的值并结束算法．根据自然语言描述，程序框图如下：变式迁移3 286 解析 数列{a n }：4,7,10，…为等差数列，令a n ＝4＋(n －1)×3＝40，得n ＝13，∴s ＝4＋7＋…＋40＝(4＋40)×132＝286. 课后练习区1．D [根据题意可知x>2时，收费应为起步价7元＋超过2公里的里程收费2.6(x －2)元＋燃油附加费1元＝8＋2.6(x －2)．]2．C [由框图可知i ＝1，s ＝1×21＝2；i ＝2，s ＝2＋2×22＝10；i ＝3，s ＝2＋2×22＋3×23>11，i ＝i ＋1＝3＋1＝4.]3．A [当k ＝1时，k ＝k ＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；当k ＝2时，k ＝k ＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；当k ＝3时，k ＝k ＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26；当k ＝4时，k ＝k ＋1＝5，S ＝2×26＋5＝57.此时S ＝57，循环结束，k ＝5，所以判断框中应为“k>4？”．]4．B [由框图可知：当n ＝6，m ＝4时，第一次循环：p ＝(6－4＋1)×1＝3，k ＝2.第二次循环：p ＝(6－4＋2)×3＝12，k ＝3.第三次循环：p ＝(6－4＋3)×12＝60，k ＝4.第四次循环：p ＝(6－4＋4)×60＝360，此时k ＝m ，终止循环．输出p ＝360.]5．C [第一次循环：S ＝12；第二次循环：S ＝12＋22；第三次循环；S ＝12＋22＋32；第四次循环：S ＝12＋22＋32＋42＝30.]6．5解析 初始值：k ＝2，执行“k ＝k ＋1”得k ＝3，a ＝43＝64，b ＝34＝81，a>b 不成立； k ＝4，a ＝44＝256，b ＝44＝256，a>b 不成立；k ＝5，a ＝45＝1 024，b ＝54＝625，a>b 成立，此时输出k ＝5.7．30解析 按照程序框图依次执行为S ＝5，n ＝2，T ＝2；S ＝10，n ＝4，T ＝2＋4＝6；S ＝15，n ＝6，T ＝6＋6＝12；S ＝20，n ＝8，T ＝12＋8＝20；S ＝25，n ＝10，T ＝20＋10＝30>S ，输出T ＝30.8．63解析 当n ＝1时，S ＝1＋21＝3；当n ＝2时，S ＝3＋22＝7；当n ＝3时，S ＝7＋23＝15；当n ＝4时，S ＝15＋24＝31；当n ＝5时，S ＝31＋25＝63>33.故S ＝63.9．解 该程序框图即求这组数据的方差，∵a ＝44，(2分)∴S ＝18∑8i ＝1 (a i －a )2＝18[(40－44)2＋(41－44)2＋…＋(48－44)2]＝7.(12分)10．解 由题中框图可知S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1， ∵数列{a n }是等差数列，设公差为d ，则有1a k a k ＋1＝1d (1a k －1a k ＋1)， ∴S ＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a k －1a k ＋1) ＝1d (1a 1－1a k ＋1)．(4分) (1)由题意可知，k ＝5时，S ＝511；k ＝10时，S ＝1021. ∴⎩⎨⎧ 1d (1a 1－1a 6)＝511，1d (1a 1－1a 11)＝1021，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去)． 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(8分)(2)由(1)可得b n ＝2a n ＝22n －1，∴b 1＋b 2＋…＋b m＝21＋23＋…＋22m －1＝2(1－4m )1－4＝23(4m －1)． (12分)11．解 (1)循环体运行结果如下： 输出(1，0)n ＝3x ＝3y ＝－2n<2 011 输出(3，－2)n ＝5x ＝9y ＝－4n<2 011 输出(9，－4)n ＝7x ＝27y ＝－6n<2 011∴输出数组(9，t)中的t 值是－4.(4分)(2)计数变量n 的取值为：3,5,7，…，构成等差数列，由3＋(m －1)×2＝2 011.解得m ＝1 005，由于当m＝1 005时，n＝2 011，循环体还要执行一遍，会输出第1 006个数组，然后n＝2 013>2 011，跳出循环体．故共输出1 006个数组．(8分)(3)程序输出的数组(x n，y n)按输出的先后顺序，横坐标x n组成一个等比数列{x n}，首项x1＝1，公比q＝3.纵坐标组成一个等差数列{y n}，首项y1＝0，公差d＝－2.∴x1 006＝31 005，y1 006＝－2×1 005＝－2 010.故程序结束时，输出的最后一个数组是(31 005，－2 010)．(14分)。

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 10-2两条直线的位置关系、距离公式同步检测（2）文一、选择题1．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1,0)对称，则b ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－6 D ．2或－6解析：由题意 ，点A (1,0)不在直线x ＋2y －3＝0上，则－12＝－a4，∴a ＝2，又点A 到两直线的距离相等，∴|b ＋2|＝4，∴b ＝－6或b ＝2，又∵点A 不在直线上，两直线不重合，∴b ＝2.答案：A2．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0解析：由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．答案：A3．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：由a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0.∴两直线垂直． 答案：C4．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)的距离相等的直线方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0解析：①当过点P 的直线无斜率时，其方程为x ＝0，不满足条件．②设过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0， 由条件得|3k －3＋1|k 2＋1＝|5k －－1＋1|k 2＋1.即|3k －2|＝|5k ＋2|，解得k ＝0 或k ＝－2. 故所求直线方程为y ＝1或2x ＋y －1＝0. 答案：C5．平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线方程为( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝－2x ＋3 D ．y ＝2x －3解析：设直线y ＝2x ＋1上任意一点．(x 0，y 0)关于点(1,1)对称点为 (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2－x ，y 0＝2－y .又y 0＝2x 0＋1，故2－y ＝2(2－x )＋1，化简得y ＝2x －3，选D.答案：D6．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2 解析：l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，k AB ＝2－－13－a＝1，a ＝0.由l 1∥l 2，－2b＝1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.答案：B7．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10，则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2,2)，设l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0， ∴|5k －1＋2－2k |k 2＋－12＝10，解得k ＝3.∴l 的方程为3x －y －4＝0. 答案：C8．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A.79B ．－13 C ．－79或－13D.79或13解析：由题意知|6a ＋3＋1|a 2＋1＝|－3a －4＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或a ＝－79.答案：C9．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．23B ．3 3C ．32D ．4 2解析：由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1、l 2且到l 1、l 2距离相等的直线l ，其方程为x ＋y －6＝0，∴点M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2.答案：C10．点(1，cos θ)到直线x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离是14(0°≤θ≤180°)，那么θ＝( )A ．150° B．30°或150° C ．30° D．30°或210°解析：由题意知14＝|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2θ＝|sin θ－sin 2θ|， 又0≤sin θ≤1，∴sin 2θ－sin θ＋14＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－122＝0.∴sin θ＝12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°或150°. 答案：B 二、填空题11．过点A (2，－3)，且与向量m ＝(4，－3)垂直的直线方程是__________． 解析：与向量平行的直线斜率为－34，则与其垂直的直线斜率为43，∴直线方程 为y ＋3＝43(x －2)，即4x －3y －17＝0.答案：4x －3y －17＝012．已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，则AC 所在直线方程是__________．解析：方法一：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－3＝－1，y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝4，即A ′(0,4)．∴直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，即C (－3，－2)．∴直线AC 的方程为x －2y －1＝0.方法二：设点B 关于直线y ＝x ＋1的对称点B ′(x 0，y 0)，则x 0＝2－1＝1，y 0＝－1＋1＝0，即B ′(1,0)故AC 方程为(3－1)(y －0)＝(1－0)(x －1)， 即x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝0 13．函数y ＝a2x －2(a ＞0，a ≠1)的图像恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为__________．解析：方法一：由指数函数的性质可得：函数y ＝a2x －2(a ＞0，a ≠1)的图像恒过点A (1,1)，而A ∈l ，∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1. 由基本不等式可得m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＝12.O 到直线l 的距离d ＝1m 2＋n2≤122＝2，故O 到直线l 的距离的最大值为 2.方法二：∵直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A (1,1)，∴坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为|OA |＝ 2.答案： 214．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是__________．解析：两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为|3－1|2＝2，又动直线l 1与l 2所截得的线段长为22，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．答案：①⑤ 三、解答题15．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程． (1)l ′与l 平行且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4； (3)l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线. 解析：(1)直线l ：3x ＋4y －12＝0，k l ＝－34.又∵l ′∥l ，∴k l ′＝k l ＝－34.∴直线l ′为y ＝－34(x ＋1)＋3，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43.设l ′与x 轴截距为b ，则l ′与y 轴截距为－43b ，由题意可知，S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43b ＝4，∴b ＝± 6. ∴直线l ′为y ＝43(x ＋6)或y ＝43(x －6)．(3)∵l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线， ∴l ′与l 关于原点对称．任取点(x 0，y 0)在l 上，则在l ′上对称点为(x ，y )．x ＝－x 0，y ＝－y 0，则－3x －4y －12＝0.∴直线l ′为3x ＋4y ＋12＝0. 答案：(1)3x ＋4y －9＝0； (2)y ＝43(x ＋6)或y ＝43(x －6)；(3)3x ＋4y ＋12＝0.16．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值． (1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解析：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a1－a .故l 1和l 2的方程可分别表示为 (a －1)x ＋y ＋4a －1a ＝0， (a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0.又原点到l 1与l 2的距离相等， ∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a .∴a ＝2或a ＝23.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.答案：(1)a ＝2，b ＝2；(2)a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.创新试题 教师备选 教学积累 资源共享1．[2014·某某模拟]若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3解析：设原点到点(m ，n )的距离为d ，所以d 2＝m 2＋n 2，又因为(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m 2＋n 2的最小值为4.答案：C2．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为__________．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.答案：0,1,23．[2014·某某模拟]已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值X 围是__________．解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．答案：[0,10]4．[2014·某某模拟]已知1a ＋1b＝1(a ＞0，b ＞0)，求点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值．解析：点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b5＝15(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a 2＝2b 2，a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号．所以点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为35＋2105.答案：35＋2105。

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 8-3算法初步与算法案例检测试题（1）文1．[2013·课标全国Ⅰ]执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )A．[－3,4] B．[－5,2]C．[－4,3] D．[－2,5]解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.故当t＝2时，s取得最大值4；当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]．综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A项．答案：A2．[2013·课标全国Ⅱ]执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋ (110)C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！ 解析：由程序框图知，当k ＝1，S ＝0，T ＝1时，T ＝1，S ＝1；当k ＝2时，T ＝12，S ＝1＋12， 当k ＝3时，T ＝12×3，S ＝1＋12＋12×3； 当k ＝4时，T ＝12×3×4，S ＝1＋12＋12×3＋12×3×4；...； 当k ＝10时，T ＝12×3×4×...×10，S ＝1＋12！＋13！＋ (110)，k 增加1变为11，满足k ＞N ，输出S ，所以B 项正确．答案：B3．[2013·福建]阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是( )A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和解析：当k＝10时，执行程序框图如下：S＝0，i＝1；S＝1，i＝2；S＝1＋2，i＝3；S＝1＋2＋22，i＝4；……S＝1＋2＋22＋…＋28，i＝10；S＝1＋2＋22＋…＋29，i＝11.答案：A4．[2013·江西]阅读如下程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )解析：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5；当i ＝3时，S ＝2×3＋4＝10，不满足S ＜10，排除D 项；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9；当i ＝5时，A 、B 两项中的S 满足S ＜10，继续循环，C 项中的S ＝10不满足S ＜10，退出循环，输出i ＝5，故选C 项．答案：C5．[2013·陕西]根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为()A ．25B ．30C ．31D ．61解析：由算法语句可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5x ，x≤50，25＋－，x ＞50，所以当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.答案：C。

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 8-1合情推理与演绎推理检测试题（2）文一、选择题1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 答案：B2．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. 答案：C3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P ­ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. 答案：D4．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.答案：D5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀ x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n解析：选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.答案：A6．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n 个式子是( )A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝n 2B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝(2n －1)2C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2解析：方法一：由已知得第n 个式子左边为2n －1项的和且首项为n ，以后是各项依次加1，设最后一项为m ，则m －n ＋1＝2n －1，∴m ＝3n －2.方法二：特值验证法．n ＝2时，2n －1＝3,3n －1＝5， 都不是4，故只有3n －2＝4，故选C. 答案：C7．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·cb ·c ＝ab”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①②正确；③④⑤⑥错误． 答案：B8．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．答案：D 9．已知2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 a ＋7t＝a 7t(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则t －a ＝( )A ．31B ．41C ．55D ．71 解析：观察所给的等式，等号左边是 2＋23，3＋38，4＋415，…，等号的右边是223，338，…，则第n 个式子的左边是 n ＋1 ＋n ＋1n ＋1 2－1，右边是(n ＋1)·n ＋1n ＋1 2－1，故a ＝7，t ＝72－1＝48.t －a ＝41，选B.答案：B10．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：记a n＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11；f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.即a 10＋b 10＝123. 答案：C 二、填空题11．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为__________．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n)，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n)≥n ＋22.答案：f (2n)≥n ＋2212．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为__________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)213．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O ­LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是__________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2414．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是： 若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有__________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O ­BCD ·OA →＋V O ­ACD ·OB →＋V O ­ABD ·OC →＋V O ­ABC ·OD →＝0.答案：V O ­BCD ·OA →＋V O ­ACD ·OB →＋V O ­ABD ·OC →＋V O ­ABC ·OD →＝0 三、解答题15．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析：方法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－ sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 方法二： (1)同解法一． (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α 2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.答案：(1)34；(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34，证明略．16．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④所示为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．① ② ③ ④(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f 1 ＋1f 2 －1＋1f 3 －1＋…＋1f n －1的值．解析：(1)f (5)＝41. (2)f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由上式规律，得f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f n －1＝12n n －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，∴1f 1 ＋1f 2 －1＋1f 3 －1＋…＋1f n －1＝1＋12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…⎦⎥⎤＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n.答案：(1)f (5)＝41；(2)f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，f (n )＝2n 2－2n ＋1；(3)32－12n .创新试题 教师备选 教学积累 资源共享 教师用书独具1．某同学在电脑上打上了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．答案：A2．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125解析：5n(n ≥5且n ∈Z )的后两位数字一定为25，区别在于通过对其后三四位数的观察，55、56、57的后三四位数31、56、81为等差数列，公差为25，由此推{5n}的后两位前的数是以25为公差的等差数列．由公式d ＝a n －a m n －m 得a －312011－5＝25(其中a 为52011的后两位前的数)，∴a ＝50181.故选D. 答案：D3．[2014·广西月考]下列推理是归纳推理的是( )A ．由于f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断f (x )＝x cos x 为奇函数B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜出数列{a n }的前n 项和的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质解析：由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义．A 是演绎推理，C 、D 为类比推理，只有B ，从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．答案：B4．[2014·银川质检]当x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2≥3，由此可以推广为x ＋pxn ≥n ＋1，取值p 等于( )A ．n nB ．n 2C ．nD ．n ＋1解析：∵x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2≥3，∴在p 位置出现的数恰好是不等式左边分母x n的指数n 的指数次方，即p ＝n n.答案：A5．[2014·宝鸡检测]考察下列一组不等式：⎩⎪⎨⎪⎧23＋53>22×5＋2×52，24＋54>23×5＋2×53，252＋552>22×512＋212×52，…将上述不等式在左、右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为__________．解析：依题意得，推广的不等式为a m ＋n＋bm ＋n>a m b n ＋a n b m(a >0，b >0，a ≠b ，m >0，n >0)．答案：am ＋n＋bm ＋n>a m b n ＋a n b m(a >0，b >0，a ≠b ，m >0，n >0)6．[2014·淮北模拟]在计算“11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1(n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k k ＋1 ＝1k －1k ＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1，相加，得11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1.类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n n ＋1 n ＋2 (n ∈N *)”，其结果为__________．解析：先改写第n 项，1n n ＋1 n ＋2 ＝1n ＋1×1n n ＋2 ＝12×1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n n ＋1 －1 n ＋1 n ＋2 ， 所以11×2×3＋12×3×4＋…＋1n n ＋1 n ＋2＝12⎣⎢⎡11×2－12×3＋12×3－13×4＋…＋1n n ＋1 －⎦⎥⎤1 n ＋1 n ＋2 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2－1 n ＋1 n ＋2 ＝n n ＋3 4 n ＋1 n ＋2. 答案：n n ＋3 4 n ＋1 n ＋27．[2014·张家界模拟]观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解析：猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α]＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边． 所以，猜想是正确的．8．[2013·广东中山模拟]设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解析：f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3 ＝11＋3＋13＋3 ＝3－12＋3－36 ＝33， 同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝ 3x 1＋3 ＋ 3x 2＋3 3x 1＋3 3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3 3x 1＋3x 2 ＋3 ＝3x 1＋3x 2＋233 3x 1＋3x 2 ＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233 3x 1＋3x 2＋23＝33.11。

第一章集合与常用逻辑用语学案1集合的概念与运算导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．自主梳理1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．4．集合间的基本关系对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则A B(或B A)．若A⊆B且B⊆A，则A＝B.5．集合的运算及性质设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．设全集为U，则∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩B＝A⇔A⊆B.A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪B＝B⇔A⊆B.A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U.自我检测1．(2011·长沙模拟)下列集合表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C ．M ＝{4,5}，N ＝{5,4}D ．M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)} 答案 C2．(2009·辽宁)已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |－5<x <5}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－5<x <5} B ．{x |－3<x <5} C ．{x |－5<x ≤5} D ．{x |－3<x ≤5} 答案 B解析 画数轴，找出两个区间的公共部分即得M ∩N ＝{x |－3<x <5}．3．(2010·湖北)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 易知椭圆x 24＋y 216＝1与函数y ＝3x 的图象有两个交点，所以A ∩B 包含两个元素，故A ∩B 的子集个数是4个．4．(2010·潍坊五校联考)集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．{t |0≤t ≤3}B ．{t |－1≤t ≤3}C ．{(－2，1)，(2，1)}D ．∅ 答案 B解析 ∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)． 又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0.∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]．5．(2011·福州模拟)已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝________. 答案 －1或2解析 由a 2－a ＋1＝3，∴a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a ＝－1或2.探究点一 集合的基本概念例1 (2011·沈阳模拟)若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba ，b }，求b －a 的值．解题导引 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba ，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应关系：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴b －a ＝2.变式迁移1 设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 由元素的互异性知， a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0.探究点二 集合间的关系例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝NB ．M NC ．MN D ．M ∈N解题导引 一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．答案 A解析 集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}， N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R }＝{y |y ≥1}．∴M ＝N . 变式迁移2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则下列关系中成立的是( )A ．PQ B ．QPC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅ 答案 A解析 P ＝{m |－1<m <0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0.∴－1<m ≤0.∴Q ＝{m |－1<m ≤0}． ∴PQ .探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}． (1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解题导引 解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．解 (1)A ＝{x |12≤x ≤3}．当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}， ∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}． (2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}．当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ， 即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ； ②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，a 的取值范围为a ≥－14.变式迁移3 (2011·阜阳模拟)已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}． (1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时， A ＝{x |－3<x <5}， B ＝{x |x <－1或x >5}． ∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}． (2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．分类讨论思想在集合中的应用例 (12分)(1)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合；(2)若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合．【答题模板】解 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ； [2分]当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12. [4分]故所求集合为{0，13，－12}． [6分](2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ； [8分] 若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3. [10分]故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}． [12分]【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．【易错点剖析】(1)容易忽略a ＝0时，S ＝∅这种情况．(2)想当然认为m ＋1<2m －1忽略“>”或“＝”两种情况．解答集合问题时应注意五点：1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．3．注意∅的特殊性．在利用A⊆B解题时，应对A是否为∅进行讨论．4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A∩B≠∅时，可以利用补集思想，先研究A∩B＝∅的情况，然后取补集．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是()A．2 B．3 C．4 D．8答案 B解析A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然这样的集合A有3个，即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．2．(2011·杭州模拟)设P、Q为两个非空集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是()A．9 B．8 C．7 D．6答案 B解析P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中元素的个数是8.3．(2010·北京)集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M等于()A．{1,2} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{0,1,2,3}答案 B解析由题意知：P＝{0,1,2}，M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．4．(2010·天津)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4}答案 C解析由|x－a|<1得－1<x－a<1，即a－1<x<a＋1.由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.5．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|2x－1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}答案 C解析题图中阴影部分可表示为(∁U M)∩N，集合M为{x|x>2或x<－2}，集合N为{x|1<x≤3}，由集合的运算，知(∁U M)∩N＝{x|1<x≤2}．二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·绍兴模拟)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是________．答案 4解析由题意知B的元素至少含有3，因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．7．(2009·天津)设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.答案 {2,4,6,8}解析 A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7,9}， ∴B ＝{2,4,6,8}．8．(2010·江苏)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝____. 答案 1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1. 三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·烟台模拟)集合A ＝{x |x 2＋5x －6≤0}，B ＝{x |x 2＋3x >0}，求A ∪B 和A ∩B . 解 ∵A ＝{x |x 2＋5x －6≤0} ＝{x |－6≤x ≤1}．(3分)B ＝{x |x 2＋3x >0}＝{x |x <－3或x >0}．(6分) 如图所示，∴A ∪B ＝{x |－6≤x ≤1}∪{x |x <－3或x >0}＝R .(9分) A ∩B ＝{x |－6≤x ≤1}∩{x |x <－3或x >0} ＝{x |－6≤x <－3，或0<x ≤1}．(12分)10．(12分)已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x |－12<x ≤2}．若B ⊆A ，求实数a的取值范围．解 当a ＝0时，显然B ⊆A ；(2分)当a <0时， 若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧4a ≤－12，－1a >2，(5分)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－8，a >－12.∴－12<a <0；(7分) 当a >0时，如图，若B ⊆A ， 则⎩⎨⎧ －1a ≤－12，4a ≥2，(9分)∴⎩⎨⎧a ≤2，a ≤2.∴0<a ≤2.(11分) 综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(12分) 11．(14分)(2011·岳阳模拟)已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}， (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 由x －5x ＋1≤0， 所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}．(3分)(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，(6分)所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(10分)(2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，(12分)所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.(14分)。

2015届高考数学第一轮复习指导一、重视计算能力在高三总复习的第一阶段，我们的主要任务是：吃透教材，全面，系统的掌握高中的数学基本知识深刻理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式，并形成记忆、形成技能;把相关的知识相连结，融会贯通、着眼联系、互相渗透、灵活应用。

这是我们一轮复习在知识上的要求和目标，但我们发现，最后到高考前，好多同学知识上都达到了这个要求，但分数仍然不是很高，为什么呢，就是因为这些同学老师把会的东西算错，细节的关注不够，比如说答题的基本步骤不是很清楚，书写不够规范等等，就是拿不到全分。

所以新东方一对一刘亮老师建议同学们在高三复习的整个过程中注重计算能力，只有具有良好的计算能力才保证高考中把我们百分之百的实力都发挥出来，都会但是得不到分是个很痛苦的过程，不要以为，我因为计算错了许多还比其他同学分数高，你就比他学的好，比他聪明，这个是很愚蠢的想法，由不会到会的过程还是很轻松的，尤其在我们高考难度要求越来越低的情况下，一个人的习惯是最不好改变的，而且没有老师在很短时间内帮你解决习惯问题。

所以重视计算吧，这是考取高分的保障。

二、回归课本，注重基础，重视预习数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是高考数学第一轮复习的重中之重。

回归课本，自己先对知识点进行梳理，把教材上的每一个例题、习题再做一遍，确保基本概念、公式等牢固掌握，要扎扎实实，不要盲目攀高，欲速则不达。

复习课的容量大、内容多、时间紧。

要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思维同步。

而预习则是达到这一目的的重要途径。

没有预习，听老师讲课，会感到老师讲的都重要，抓不住老师讲的重点;而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复习效率。

预习还可以培养自己的自学能力。

三、区别对待不同的知识点之难易程度知识有难有易，根据自身情况找准发力点，比如我们在复习函数时，知识点比较难，而且比较乱，考题也小题居多，灵活性大，有些同学只能掌握的六七成，我认为这个水平还是可以的，我们只需要保持住所会的部分就可以了，对于函数我认为就复习成功了，但三角就不一样了，本身难度就不大，而且大题的考法还很固定，所以我们复习这块知识时就需要跟他死磕，高考题，模拟题应该9成一场都会做，基本上就是来一个会一个，达不到要求就去练，要有练不死就要往死里练的架势，因为像三角这类知识点是保证我们基础得分的，如果一轮结束你这些东西还不会，你就跟已经掌握的同学拉开一个档次了，因为别人去学别的稍难一些的知识了，相当于去提高了你还在挣扎基础，怎么去跟人家竞争啊。

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 9-4直线、平面平行的判定与性质检测试题（2）文一、选择题1．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线．答案：D2．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是( )A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n解析：A中n与α可能相交，B中n与α可能平行，D中m、n可能相交，C中m即m、n所在平面与α的交线．答案：C3．已知直线a、b和平面α、β，则在下列命题中，真命题为( )A．若a∥β，α∥β，则a∥αB．若α∥β，a⊂α，则a∥βC．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b解析：A中a可能在α内，C中a、b可能异面，D中a、b可能异面，B中α∥β，a⊂α，则a与β无公共点，∴a∥β.答案：B4．在空间，下列命题正确的是( )A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，因此A不对．平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故B 不对．垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，故C 不对．由于垂直于同一平面的两条直线平行，故D 正确.答案：D5．已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是( )A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB ．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC ．若m∥α，n∥α，则m∥nD ．若m∥α，m∥β，则α∥β解析：对于D 选项，m∥α，m∥β时，α、β可以平行，也可以相交，如m 平行于α、β的交线时，α、β便相交，∴D 错；对于C 选项，m∥α，n∥α时，m 、n 可以平行，也可以相交，也可以异面，∴C 错；对于A 选项，α⊥γ， β⊥γ时，α、β可以平行，也可以相交(也可以参照教室的一角)，∴A 错；对于B ，当m⊥α，n⊥α时，根据直线与平面垂直的性质定理知m∥n，故B 正确.答案：B6．设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y 、z 均为直线；②x、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x、y 、z 均为平面，其中使“x⊥z 且y⊥z ⇒x∥y”为真命题的是( )A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②解析：根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确． 答案：C7．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解析：由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a 与b 有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确.答案：C8．已知m 、n 为直线，α、β为平面，给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αm⊥n ⇒n∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫m⊥βn⊥β⇒m∥n；③⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αm⊥β⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m∥n.其中正确命题的序号是( )A ．③④B ．②③C ．①②D ．①②③④解析：①不正确，n可能在α内．②正确，垂直于同一平面的两直线平行．③正确，垂直于同一直线的两平面平行．④不正确，m、n可能为异面直线．故选B.答案：B9．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( )①②③④A．①② B．①④C．②③ D．③④解析：由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.答案：A10．[2014·某某质检一]设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β解析：对于A选项，若a⊥α且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A选项不正确；对于B选项，若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β或α与β相交，故B选项不正确；对于C选项，若a∥α且a∥β，则α∥β或α与β相交，故C选项不正确．排除A、B、C三选项，故选D.答案：D二、填空题11．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是__________．解析：如图，连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F 由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC 且MN∥平面ABD.答案：平面ABC 、平面ABD12．如图所示，ABCD­A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝__________.解析：∵平面ABCD∥平面A 1B 1C 1D 1， ∴MN∥PQ.∵M、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a3，∴CQ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ＝223 a.答案：223a13．如图所示，在正四棱柱ABCD­A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件__________时，有MN∥平面B 1BDD 1.解析：由题意，得HN∥面B 1BDD 1，FH∥面B 1BDD 1. ∵HN∩FH＝H ，∴面NHF∥面B 1BDD 1.∴当M 在线段HF 上运动时，有MN∥面B 1BDD 1. 答案：M∈线段HF14．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为__________．解析：根据题意可得到以下如图两种情况：可求出BD 的长分别为245或24.答案：24或245三、解答题15．如图，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．(1)求证：GH∥平面CDE ；(2)若CD ＝2，DB ＝42，求四棱锥F­ABCD 的体积． 解析：(1)证明：方法一：∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥BC.又EF ＝AD ＝BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ∴H 为FC 的中点．又∵G 是FD 的中点，∴HG∥CD. ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH∥平面CDE.方法二：连接EA ，∵ADEF 是正方形，∴G 是AE 的中点． ∴在△E AB 中，GH∥AB. 又∵AB∥CD，∴GH∥CD. ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH∥平面CDE.(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD ，交线为AD ， 且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD. ∵AD＝BC ＝6，∴FA＝AD ＝6.又∵CD＝2，DB ＝42，CD 2＋DB 2＝BC 2， ∴BD⊥CD.∵S ▱ABCD ＝CD·BD＝82， ∴V F­ABCD ＝13S ▱ABCD ·FA＝13×82×6＝16 2.答案：(1)证明略；(2)16 2.16．如图，四棱锥P­ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．(1)求三棱锥A­PDE 的体积；(2)AC 边上是否存在一点M ，使得PA∥平面EDM ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵PD⊥平面ABCD ， ∴PD⊥AD. 又∵ABCD 是矩形， ∴AD⊥CD. ∵PD∩CD＝D ， ∴AD⊥平面PCD ，∴AD 是三棱锥A­PDE 的高． ∵E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4， ∴S △PDE ＝12S △PDC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4＝4. 又AD ＝2，∴V A －PDE ＝13AD·S △PDE ＝13×2×4＝83.(2)取AC 中点M ，连接EM ，DM ，∵E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，∴EM∥PA. 又∵EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ， ∴PA∥平面EDM. ∴AM＝12AC ＝ 5.即在AC 边上存在一点M ，使得PA∥平面EDM ，AM 的长为 5. 答案：(1)83；(2)AM ＝5，理由略．创新试题 教师备选 教学积累 资源共享 教师用书独具1．如图，正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点， 在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条解析：由题设知平面ADD 1A 1与平面D 1EF 有公共点D 1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l ，在平面ADD 1A 1内与l 平行的线有无数条，且它们都不在平面D 1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D 1EF 平行．答案：D2．[2014·某某四校联考]在空间内，设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是( )A ．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，则l⊥γB ．l∥α，l∥β，α∩β＝m ，则l∥mC ．α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l∥m，则l∥nD ．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β解析：对于A ，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B ，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C ，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D ，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D 不正确．答案：D3．已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )A ．m∥β且l 1∥αB ．m∥β且n∥βC ．m∥β且n∥l 2D ．m∥l 1且n∥l 2解析：由m∥l 1且n∥l 2可得α∥β，但α∥β不能得到m∥l 1且n∥l 2，故选D . 答案：D4．棱长为2的正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C 、M 、D 1作正方体的截面，则截面的面积是__________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92.答案：925．[2014·某某模拟]如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE∥DF，∠DEF＝90°.(1)求证：BE∥平面ADF；(2)若矩形ABCD的一边AB＝3，EF＝23，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F­BDE的体积为3？解析：(1)证明：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM.∵CE∥DF，∴四边形CEMD是平行四边形．可得EM＝CD且EM∥CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，∴有BE∥AM.而AM⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF.(2)由EF＝23，EM＝AB＝3，得FM＝3且∠MFE＝30°.由∠DEF＝90°可得FD＝4，从而得DE＝2.∵BC⊥CD，BC⊥FD，∴BC⊥平面CDFE.∴V F －BDE ＝V B －DEF ＝13S △DEF ×BC. ∵S △DEF ＝12DE×EF＝23，V F －BDE ＝3， ∴BC＝32. 综上当BC ＝32时，三棱锥F­BDE 的体积为 3. 答案：(1)证明略；(2)32.。