全国各地中考数学模拟题分类新概念型问题含答案

中考数学专题训练：找规律、新概念附参考答案1. （2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【】．A．32 B．126 C．135 D．144【答案】D。

【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。

【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x－16。

∴x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（负数舍去）。

∴最大数为24，最小数为8。

∴圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。

和为144。

故选D。

2. （2012广西南宁3分）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有【】A．7队B．6队C．5队D．4队【答案】C。

【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。

【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x－1）场球，第二个球队和其他球队打（x－2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x－1）= x(x1)2-场球，根据计划安排10场比赛即可列出方程：x(x1)102-=，∴x2－x－20=0，解得x=5或x=-4（不合题意，舍去）。

故选C。

3. （2012广东肇庆3分）观察下列一组数：32，54，76，98，1110，……，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是▲．【答案】2k2k+1。

【考点】分类归纳（数字的变化类）。

【分析】根据已知得出数字分母与分子的变化规律：分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，∴第k个数分子是2k，分母是2k+1。

∴这一组数的第k个数是2k2k+1。

4. （2012福建三明4分）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是▲．【答案】900。

中考数学复习新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例题：（2017甘肃天水）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则（2*3）*2= 2 ．【考点】1G：有理数的混合运算．【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2==2，故答案为：2同步训练：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P 作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF=AB 时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD=AC==．（2）如图1中，连接AC、BD．∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE=AB=5．②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴DE：BF=PD：PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型例题：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S△ABP 的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．同步训练：（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y=﹣x+，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（1，0）；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B 的坐标；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N 点坐标；（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC 中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2，∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，2），B（1，0），故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴AC==，由翻折的性质可知AN=AC=，∵△AMN为梦想三角形，∴N点在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，∵OD=2，∴ON=2﹣3或ON=2+3，∴N点坐标为（0，2﹣3）或（0，2+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=2，∵抛物线对称轴为x=﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2﹣=，即E点纵坐标为﹣，∴E（﹣1，﹣）；当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，∴x=﹣4，y=2﹣t，代入直线AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的．类型3 新内容理解把握例题：（2017湖南岳阳）已知点A在函数y1=﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对 B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣）关于原点的对称点B（a，﹣）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（（a，﹣），）在直线y2=kx+1+k上，则=﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）=0，∴a﹣1=0或ka﹣1=0，则a=1或ka﹣1=0，若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a=，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．同步训练：（2017湖南株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D专题训练1.（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= 2 ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：22. （2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．3. (2017湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【考点】KT：勾股数；KQ：勾股定理．【分析】由n=1，得到a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．【解答】解：当n=1，a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，∵直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ、当a=5时，（m2﹣1）=5，解得：m=（舍去），Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，Ⅲ、当c=5时，（m2+1）=5，解得：m=±3，∵m＞0，∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．4. （2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12= （x+3）（3x﹣4）．【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．【解答】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．故答案为：（x+3）（3x﹣4）5. (2017湖北咸宁)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．理解：（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．【解答】解：（1）如图1所示：（2）△AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ==2，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM==，故点P的坐标（﹣，），（，）．6.（2017•益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n 的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有解得，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则，∵直线AB经过点P（，），由（2）得，∴p+q=1，∴，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，∴解得，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．。

中考新概念型题型一、选择题 1．（2019年浙江省杭州市中考数学模拟22)（原创）已知2222211211,c x b x a y c x b x a y ++=++=且满足)1,0(212121≠===k k c c b b a a .则称抛物线21,y y 互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（ ） A 、y 1,y 2开口方向，开口大小不一定相同 B 、因为y 1,y 2的对称轴相同C 、如果y 2的最值为m ，则y 1的最值为kmD 、如果y 2与x 轴的两交点间距离为d ，则y 1与x 轴的两交点间距离为d k 答案：D二、填空题1、（2019年江苏盐都中考模拟）规定一种新运算a ※b=a 2－2b,如1※2=-3，则2※（－2）= . 答案6 2、(2019浙江杭州模拟16)刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b)进入其中时，会得到一个新的实数：a 2＋b －1，例如把(3，－2)放入其中，就会得到：32＋（－2）－1＝6．现将实数对(－1，3)放入其中，得到实数m ，再将实数对(m ，1)放入其中后，得到的实数是 ． 答案：9三、解答题 1、（2019年北京四中中考模拟20）如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，但AD ≠CD ，我们称这样的四边形为“半菱形”。

小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”。

他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论。

解：正确。

证明如下：方法一：设AC ，BD 交于O ，∵AB=AD ，BC=DC ，AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADE ， ∴∠BAC=∠DAC AB=AD ，∴AO ⊥BDAO BD 21S ABD ⋅=∆，CO BD 21S BCD ⋅=∆CO BD 21AO BD 21S S S BCD ABD ABCD ⋅+⋅=+=∴∆∆四边形AC BD 21)CO AO (BD 21⋅=+=方法二：∵AB=AD ，∴点A 在线段BD 的中垂线上。

中考数学专题新概念型问题一、中考专题诠释所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．考点二：运算题型中的新概念2．若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）=．考点三：探索题型中的新概念例3 如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．考点四：开放题型中的新概念例4 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下概念：若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|；若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．（1）已知点A（-12，0），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y=34x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．思路分析：（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的概念可以确定|0-y|=2，据此可以求得y的值；②设点B的坐标为（0，y）．因为|- 12-0|≥|0-y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|-12-0|=12；（2）①设点C的坐标为（x0，34x0+3）．根据材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为-x0= 34x0+2，据此可以求得点C的坐标；②当点E在过原点且与直线y= 34x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即E（- 35，45）．解答思路同上．解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（0，y）．∵|-12-0|=12≠2，∴|0-y|=2，解得，y=2或y=-2；∴点B的坐标是（0，2）或（0，-2）；②点A与点B的“非常距离”的最小值为12；（2）①∵C是直线y=34x+3上的一个动点，∴设点C的坐标为（x0，34x0+3），∴-x0=34x0+2，此时，x0=-87，∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：87，此时C（-87，157）；②E（-35，45）．-35-x0=34x0+3-45，解得，x0=-85，则点C的坐标为（-85，95），最小值为1．点评：本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的概念是正确解题的关键．对应训练4．（2012•）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（-3）⊕（-4）=（-4）⊕（-3）=- 76，（-3）⊕5=5⊕（-3）=-415，…你规定的新运算a⊕b= （用a，b的一个代数式表示）．考点五：阅读材料题型中的新概念将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，3]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC= ；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．。

新概念型问题考点一：定义一种新数1．记n S =n a a a +++ 21，令12nn S S S T n+++=，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”。

已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为 （ ） A ．200４ B ．2006 C ．2008 D ．2010 【答案】C2．定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ ）A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④ 【答案】B考点二：定义一种新的运算1、阅读下列材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序n b a =⊕，可以使：c n b c a +=⊕⊕)(，c n c b a 2)(-=+⊕，如果211=⊕，那么=⊕20102010【答案】20072、符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1） ,3,2,1,0)4()3()2()1(====f f f f （2） ,5,4,3,251413121====⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f f利用以上规律计算：=-⎪⎭⎫ ⎝⎛)2010(20101f f【答案】1考点三：定义一种新的法则1、先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为62323=⨯=A 。

一般地，从n 个不同的元素中选取m 个的排列数记作m n A))(1()3)(2)(1(n m m n n n n n A m n ≤+----=例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一排的排列数为：6034535=⨯⨯=A 。

中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题（含答案）题型解读1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A . x ＝4 B . x ＝5 C . x ＝6 D . x ＝72.对于实数a 、b ，我们定义符号max {a ，b}的意义为：当a≥b 时，max {a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b}＝b ；如max {4，－2}＝4，max {3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max {x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )A . 0B . 2C . 3D . 43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③4.设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b ＝(a ＋b)2－(a －b)2，则下列结论：( ) ①若a@b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a@(b ＋c)＝a@b ＋a@c ；③不存在实数a ，b ，满足a@b ＝a 2＋5b 2;④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a@b 的值最大． 其中正确的是( )A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③5.对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b）a －b （a<b ），例如：因为 4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．6.规定：log a b(a>0，a ≠1，b>0)表示a ，b 之间的一种运算． 现有如下的运算法则：log a a n＝n ，log N M ＝log a Mlog a N(a>0，a ≠1，N>0，N ≠1，M>0)， 例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001000＝________．第7题图7.实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________． 8.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD.下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG. ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC. …图① 图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a 、b 、c 满足a ＋b ＋c3＝b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a 、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F.若BE CF ＝53，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2计算． 例如：求点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离． 解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7，所以点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离；(2)已知⊙Q 的圆心Q 坐标为(0，5)，半径r 为2，判断⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系并说明理由； (3)已知直线y ＝－2x ＋4与y ＝－2x －6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP 为“叠弦三角形”． 【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形； (2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′. 【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________； (4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)； (5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n 的式子表示)．13.若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．1. B 【解析】根据题意a ⊗b ＝1a －b 2，则 x ⊗(－2)＝1x －（－2）2＝1x －4，又∵x ⊗(－2)＝2x －4－1，∴1x －4＝2x －4－1，解得x ＝5，经检验x ＝5是原方程的根，∴原方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是x ＝5. 2. B 【解析】当x ＋3≥－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝x ＋3，此时x ≥－1，∴y ≥2；当x ＋3＜－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝－x ＋1，此时x ＜－1，∴y ＞2.综上y 的最小值为2.3. B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log 212＝－1，故③正确． 4. C 【解析】∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，若a @b ＝0，则(a ＋b )2－(a －b )2＝0，∴(a ＋b )2＝(a －b )2, ∴a ＋b ＝±(a －b )，∴a ＝0或b ＝0，∴①正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，∴a @(b ＋c )＝[a ＋(b ＋c )]2－[a －(b ＋c )]2＝[a ＋(b ＋c )＋a －(b ＋c )][a ＋(b ＋c )－(a －b －c )]＝4ab ＋4ac ，∵a @b ＋a @c ＝(a ＋b )2－(a －b )2＋(a ＋c )2－(a －c )2＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＋a 2＋2ac ＋c 2－ a 2＋2ac －c 2＝4ab ＋4ac ，∴a @(b ＋c )＝a @b ＋a @c ，∴②正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝ a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＝4ab ，当a ＝b ＝0时，满足a @b ＝a 2＋5b 2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c ，则2c ＝2a ＋2b ，b ＝c －a ，a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ＝4a (c －a )＝－4(a －12c )2＋c 2，∴当a ＝12c 时，4ab 有最大值是c 2，即a ＝b 时，a @b 的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.5. －1 【解析】根据新定义，当a<b 时，a*b ＝a －b 列出常规运算，进行计算便可．∵－3<－2，∴由定义可知，原式＝－3－(－2)＝－1.6. 32 【解析】根据新运算法则，得log 1001000＝log 101000log 10100＝log 10103log 10102＝32. 7. 25－4 【解析】设AN ＝y ，MN ＝x ，由题意可知：AM 2＝BM ·AB ，∴(x ＋y)2＝2(2－x －y)，解得x ＋y ＝5－1(取正)，又BN 2＝AN·AB ，∴(2－y)2＝2y ，解得y ＝3－5(y ＜2)，∴m －n ＝MN ＝x ＝5－1－(3－5)＝25－4，故填25－4.8. 解：(1)又∵∠A ＝∠C ，CG ＝AB. ∴△MBA ≌△MGC(SAS )，∴MB ＝MG . 又∵MD ⊥BC ， ∴BD ＝GD ，∴CD ＝CG ＋GD ＝AB ＋BD. (2)2＋2 2.【解法提示】折线BDC 为⊙O 的一条折弦，由题意知A 为BDC ︵中点，由材料中折弦定理易得BE ＝DE ＋CD ，在Rt △ABE 中可得BE ＝2，所以△BCD 周长为BC ＋CD ＋DE ＋BE ＝2＋2 2.9. 解：(1)作图如解图①.第9题解图①(2)△AEF是“匀称三角形”．理由如下：如解图②，第9题解图②连接AD、OD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中点，∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D点，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，易证Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵BECF＝53，∴BEBG＝53，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF)，∴BEBG＝AEAF＝53.在Rt△AEF中，设AE＝5k，则AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴AF＋EF＋AE3＝3k＋4k＋5k3＝4k＝EF，∴△AEF是“匀称三角形”．10. (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解，∴F(m)＝pq＝pp＝1.(2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝113，F(24)＝46＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝157，F(68)＝417，F(79)＝179，∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝57.11. 解：(1)∵直线y ＝x －1，其中k ＝1，b ＝－1， ∴点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离为： d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1－（－1）－1|1＋12＝12＝22.(2)相切．理由如下：∵直线y ＝3x ＋9，其中k ＝3，b ＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y ＝3x ＋9的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×0－5＋9|1＋（3）2＝42＝2，又∵⊙Q 的半径r 为2，∴⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系为相切．(3)在直线y ＝－2x ＋4上任意取一点P ， 当x ＝0时，y ＝4， ∴P(0，4)，∵直线y ＝－2x －6，其中k ＝－2，b ＝－6，∴点P(0，4)到直线y ＝－2x －6的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|－2×0－4－6|1＋（－2）2＝105＝25，∴这两条直线之间的距离为2 5.12. (1)选择图①.证明：依题意得∠DAD′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠DAP ＝∠DAD′－∠PAD′＝60°－∠PAD′，∠D ′AO ＝∠PAO －∠PAD ′＝60°－∠PAD′， ∴∠DAP ＝∠D′AO.∵∠D ＝∠D′，AD ＝AD′， ∴△DAP ≌△D ′AO(ASA )， ∴AP ＝AO ， 又∵∠PAO ＝60°，∴△AOP 是等边三角形． 选择图②.证明：依题意得∠EAE′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠EAP ＝∠EAE′－∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∠E ′AO ＝∠PAO －∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∴∠EAP ＝∠E′AO(ASA )． ∵∠E ＝∠E′，AE ＝AE′， ∴△EAP ≌△E ′AO ， ∴AP ＝AO ， 又∵∠PAO ＝60°， ∴△AOP 是等边三角形．第12题解图(2)证明：如解图，连接AC ，AD ′，CD ′. ∵AE ′＝AB ，∠E′＝∠B ＝180°×（5－2）5＝108°，E ′D ′＝BC ，∴△AE ′D ′≌△ABC(SAS )，∴AD ′＝AC ，∠AD ′E ′＝∠ACB ， ∴∠AD ′C ＝∠ACD′， ∴∠OD ′C ＝∠OCD′， ∴OC ＝OD′，∴BC －OC ＝E′D′－OD′，即BO ＝E′O. ∵AB ＝AE′，∠B ＝∠E′， ∴△ABO ≌△AE ′O(SAS )， ∴∠OAB ＝∠OAE′. (3)15°，24°.【解法提示】∵由(1)得，在图①中，△AOP 是等边三角形， ∴∠DAP ＋∠OAB ＝90°－60°＝30°， 在△OAB 和△OAD′中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OABA ＝D′A， ∴△ABO ≌△AD ′O(HL )， ∴∠OAB ＝∠D′AO ， 由(1)知∠D′AO ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝12×30°＝15°；∵由(1)得，在图②中，△PAO 为等边三角形， ∴∠PAE ＋∠BAO ＝∠EAB －∠PAO ，∵∠EAB＝15×180°×(5－2)＝108°，∴∠PAE＋∠BAO＝48°，同理可证得∠OAB＝∠PAE，∴∠OAB＝12×48°＝24°.(4)是．【解法提示】由(1)(2)可知，“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，AO＝AP，且∠PAO ＝60°，故△AOP是等边三角形．(5)60°－180°n(n≥3)．【解法提示】由(1)(2)(3)可知，“叠弦角”的度数为正n边形的内角度数减去60°之后再除以2，即∠OAB＝180°（n－2）n－60°2，化简得∠OAB＝60°－180°n(n≥3)．13. 解：(1)由题意得n＝1，∴抛物线y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，顶点为Q(1，0)，将(1，0)代入y＝mx＋1，得m＝－1，∴m＝－1，n＝1.(2)由题意设“路线”L的解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵顶点Q的坐标在y＝6x和y＝2x－4上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝6hk＝2h－4，解得h＝－1或3，∴顶点Q的坐标为(－1，－6)或(3，2)，∴y＝a(x＋1)2－6或y＝a(x－3)2＋2，又∵“路线”L过P(0，－4)，代入解得a＝2(顶点为(－1，－6))，a＝－23(顶点为(3，2))，∴y＝2(x＋1)2－6或y＝－23(x－3)2＋2，即y＝2x2＋4x－4或y＝－23x2＋4x－4.(3)由题可知抛物线顶点坐标为(－3k2－2k＋12a，4ak－（3k2－2k＋1）24a)，设带线l：y＝px＋k，代入顶点坐标得p＝3k2－2k＋12，11 ∴y ＝3k 2－2k ＋12x ＋k ， 令y ＝0，则带线l 交x 轴于点(－2k 3k 2－2k ＋1，0)，令x ＝0，则带线l 交y 轴于点(0，k)， ∵k ≥12＞0， ∴3k 2－2k ＋1＝3(k －13)2＋23＞0， ∴带线l 与坐标轴围成三角形面积为S ＝12·2k 3k 2－2k ＋1·k ＝k 23k 2－2k ＋1＝11k 2－2·1k ＋3， 令t ＝1k ，∵12≤k ≤2，∴12≤t ≤2，∴S ＝1t 2－2t ＋3，∴1S ＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2，故当t ＝2时，(1S )max ＝3；当t ＝1时，(1S )min ＝2.∴13≤S ≤12.。

中考新观点型题型一、选择题1．〔2021年浙江省杭州市中考数学模拟 22)〔原创〕y 1a 1x 2b 1xc 1,y 2 a2x 2b 2xc 2且知足a1b1c1k(k0,1).那么称抛a 2b 2c 2物线y 1,y 2互为“友善抛物线〞，那么以下对于“友善抛物线〞的说法不正确的选项是〔〕A 、y 1,y 2张口方向，张口大小不必定同样B 、因为y1,y2的对称轴同样C 、假如y2的最值为m ，那么y1的最值为kmD 、假如y2与x 轴的两交点间距离为 d ，那么y1与x 轴的两交点间距离为 kd 答案：D二、填空题1、〔2021年江苏盐都中考模拟〕规定一种新运算a※b=a 2－2b,如1※2=-3，那么 2※〔－2〕=.答案62、(2021浙江杭州模拟 16)刘谦的魔术表演流行全国， 小明也学起了刘谦创建了一个魔术盒， 当随意实数对 (a ，b)进入此中时，会获得一个新的实数： a 2＋b －1，比如把(3，－2)放入 此中，就会获得： 32＋〔－2〕－1＝6．现将实数对 (－1，3)放入此中，获得实数 m ，再将实数对(m ，1)放入此中后，获得的实数是 ．答案：9 三、解答题1、〔2021年北京四中中考模拟20〕如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，但AD 我们称这样的四边形为“半菱形〞。

小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论。

解：正确。

证明以下： 方法一：设 AC ，BD 交于O ，∵AB=AD ，BC=DC ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADE ， D∴∠BAC=∠DACAB=AD ，∴AO ⊥BDO1BDAO ，S BCDAS ABD1BDCO22CD ，〞。

CBS四边形ABCD SABDSBCD112BDAOBDCO211BD(AOCO)BDAC22方法二：∵AB=AD，∴点A在线段BD的中垂线上。

又∵CB=CD，∴点C与在线段BD的中垂线上，∴AC所在的直线是线段BD的中垂线，即BD⊥AC；设AC，BD交于O，∵SS四边形ABCD SABDSABD1BDAO，S BCD1BDCO2211BCD BDAO BDCO2211BD(AOCO)BDAC222、〔2021年北京四中中考模拟18〕：△ABC中，AB＝10⑴如图①，假定点D、E分别是AC、BC边的中点，求DE的长；⑵如图②，假定点A1、A2把AC边三平分，过A1、A2作AB边的平行线，分别交BC边于点B1、B2，求A1B1＋A2B2的值；⑶如图③，假定点A1、A2、、A10把AC边十一平分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B1、B2、、B10。

2020年中考数学试题分类汇编之十五新概念新规律题一、选择题7.（2020河南）定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根【答案】A【详解】解：根据定义得：2110,x x x =--=☆1,1,1,a b c ==-=-()()22414115b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=＞0,∴ 原方程有两个不相等的实数根，故选.A10.（2020湖北武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L ”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的32⨯方格纸片．把“L ”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方形组成的66⨯方格纸片，将“L ”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n 种不同放置方法，则n 的值是（ ）A. 160B. 128C. 80D. 48解：由图可知，在66⨯方格纸片中，32⨯方格纸片的个数为5420⨯=（个） 则20480n =⨯= 故选：C ．③②①4.（2020重庆A 卷）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第①个图案中有3个黑色三角形，第①个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中黑色三角形的个数为（ ）A. 10B. 15C. 18D. 21解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1， 第①个图案中黑色三角形的个数3＝1+2， 第①个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3， ……∴第①个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15， 故选：B ．8.（2020重庆B 卷）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）A.18B. 19C.20D.21 答案C.9．(2020山东枣庄)（3分）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b=-⊗，这里等式右边是实数运算．例如：21113138==--⊗．则方程2(2)14x x -=--⊗的解是( ) A ．4x = B ．5x = C ．6x = D ．7x =【解答】解：根据题意，得12144x x =---， 去分母得：12(4)x =--， 解得：5x =，经检验5x =是分式方程的解．故选：B ．8．（3分）（2020•常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A ．C 、EB ．E 、FC ．G 、C 、ED ．E 、C 、F【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k =12k （k +1），应停在第12k （k +1）﹣7p格，这时P 是整数，且使0≤12k （k +1）﹣7p ≤6，分别取k ＝1，2，3，4，5，6，7时，12k （k +1）﹣7p ＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k ≤2020，设k ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得，12k （k +1）﹣7p ＝7m +12t （t +1），由此可知，停棋的情形与k ＝t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 故选：D ．7．（3分）（2020•烟台）如图，△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为（ ）A ．（√2）nB ．（√2）n ﹣1C ．（√22）nD ．（√22）n ﹣1【解答】解：∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1， ∴OA 2=√2；∵△OA 2A 3为等腰直角三角形， ∴OA 3＝2=(√2)2；∵△OA 3A 4为等腰直角三角形， ∴OA 4＝2√2=(√2)3． ∵△OA 4A 5为等腰直角三角形， ∴OA 5＝4=(√2)4， ……∴OA n 的长度为（√2）n ﹣1．故选：B ．12．（2020云南）（4分）按一定规律排列的单项式：a ，﹣2a ，4a ，﹣8a ，16a ，﹣32a ，…，第n 个单项式是（ ） A ．（﹣2）n ﹣1aB ．（﹣2）n aC ．2n ﹣1aD ．2n a解：∵a ＝（﹣2）1﹣1a ， ﹣2a ＝（﹣2）2﹣1a ，4a ＝（﹣2）3﹣1a ，﹣8a ＝（﹣2）4﹣1a ，16a ＝（﹣2）5﹣1a ，﹣32a ＝（﹣2）6﹣1a ，…由上规律可知，第n 个单项式为：（﹣2）n ﹣1a ． 选：A ．二、填空题9.（2020江西）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是 ．【解析】依题意可得，有两个尖头表示20102=⨯，有5个丁头表示15⨯，故这个两位数为2517．（2020贵州黔西南）（3分）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x 的值为625，则第2020次输出的结果为 1 ．【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【解答】解：当x ＝625时，15x ＝125，当x ＝125时，15x ＝25，当x ＝25时，15x ＝5，当x ＝5时，15x ＝1，当x ＝1时，x +4＝5， 当x ＝5时，15x ＝1，…依此类推，以5，1循环， （2020﹣2）÷2＝1010， 即输出的结果是1， 故答案为：119．（2020贵州黔西南）（3分）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 57 ．【解答】解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；…，按此规律排列下去，所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．故答案为：57．17．（2020齐齐哈尔）（（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4√2），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12√2，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22020．【解答】解：∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积=12×2×2=2，∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为√2=2√2，∴第2个等腰直角三角形的面积=12×2√2×2√2=4＝22，∵A4（10，4√2），∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4， ∴第3个等腰直角三角形的面积=12×4×4=8＝23， …则第2020个等腰直角三角形的面积是22020； 故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．17. (2020甘肃定西）已知5y x =+，当x 分别取1，2，3，…，2020时，所对应y 值的总和是_________. 答案：203218．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E ，使AE ＝DA ，连接EB ，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B ；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B ；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n 的式子表示）解：∵AE ＝DA ，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2， ∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1， ∵点F 2是CF 1的中点， ∴△EF 1F 2的面积等于， 同理可得△EF n ﹣1F n 的面积为，∵△BCF n 的面积为2×÷2＝，∴△EF n B 的面积为2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣＝2﹣（1﹣）＝．故答案为：．15．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 112 ，并可推断出5月30日应该是星期几 五、六、日 ．解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期， ∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120， 若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120， 若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120， 若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120， 若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120， 若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120， 若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120， 故5月30日可能为星期五、六、日． 故答案为：112；五、六、日．20．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1,1)．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A ，以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为(5,3)．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ．以22O A 为边作正方形2222O A B C ．⋯．则点2020B 的坐标 2020231⨯-，20203 ．解：点B 坐标为(1,1)， 11OA AB BC CO CO ∴=====，1(2,3)A ，111111123AO A B B C C O ∴====，1(5,3)B ∴，2(8,9)A ∴，222222239A O A B B C C O ∴====，2(17,9)B ∴，同理可得4(53,27)B ，5(161,81)B ，⋯由上可知，(231,3)Bn n n ⨯-，∴当2020n =时，(2320201,32020)Bn ⨯-．故答案为：2020(231⨯-，20203)．15．（2020黑龙江牡丹江）（3分）一列数1，5，11，19⋯按此规律排列，第7个数是() A ．37 B ．41 C ．55 D ．71解：1121=⨯-， 5231=⨯-， 11341=⨯-， 19451=⨯-，⋯第n 个数为(1)1n n +-， 则第7个数是：55． 故选：C ．15．（2020四川遂宁）（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若2a1+2a2+2a3+⋯+2a n=n2020．（n为正整数），则n的值为4039．【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，∴a n＝n（n+1），∵2a1+2a2+2a3+⋯+2a n=n2020，∴21×2+22×3+23×4+⋯+2n(n+1)=n2020，∴2×（1−12+12−13+13−14+⋯⋯+1n−1n+1）=n2020，∴2×（1−1n+1）=n2020，1−1n+1=n4040，解得n＝4039，经检验：n＝4039是分式方程的解，故答案为：4039．16．（2020广西南宁）（3分）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是556个．解：因为前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，所以前区最后一排座位数为：20+2（8﹣1）＝34，所以前区座位数为：（20+34）×8÷2＝216，以为前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，所以后区的座位数为：10×34＝340，所以该礼堂的座位总数是216+340＝556个．故答案为：556个．16．（3分）（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1−√2．【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1±√2，故答案为：x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1−√2．17．（3分）（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=√3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于219．【解答】解：∵B1O＝B1A1，B1A1⊥OA2，∴OA1＝A1A2，∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，∴B1A1∥B2A2，∴B1A1=12A2B2，∴A2B2＝2A1B1，同法可得A 3B 3＝2A 2B 2＝22•A 1B 1，…， 由此规律可得A 20B 20＝219•A 1B 1，∵A 1B 1＝OA 1•tan30°=√3×√33=1， ∴A 20B 20＝219， 故答案为219．12．（2020山西）（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有 （3n +1） 个三角形（用含n 的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n 的代数式表示． 解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1 第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1 第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1 …按此规律摆下去，第n 个图案有（3n +1）个三角形． 故答案为：（3n +1）．17.（2020东莞）如图，等腰12Rt OA A ∆，1121OA A A ==，以2OA 为直角边作23Rt OA A ∆，再以3OA 为直角边作34Rt OA A ∆，以此规律作等腰89Rt OA A ∆，则89OA A ∆的面积是_________.答案：64（或62）18．（2020四川自贡）（4分）如图，直线y =−√3x +b 与y 轴交于点A ，与双曲线y =kx 在第三象限交于B 、C 两点，且AB •AC ＝16．下列等边三角形△OD 1E 1，△E 1D 2E 2，△E 2D 3E 3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝4√3，前25个等边三角形的周长之和为60．【解答】解：设直线y=−√3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y=−√3x+b，∴当y＝0时，x=√33b，即点D的坐标为（√33b，0），当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝﹣b，OD=−√33b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=√3，∴∠ADO＝60°．∵直线y=−√3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，∴−√3x+b=k x，整理得，−√3x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2=√33k，即EB•FC=√33k，∵EBAB=cos60°=12，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=4√33k＝16，解得：k＝4√3．由题意可以假设D1（m，m√3），∴m2•√3=4√3，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，√3n），∵（4+n）•√3n＝4√3，解得n＝2√2−2，∴E1E2＝4√2−4，即第二个三角形的周长为12√2−12，设D3（4√2+a，√3a），由题意（4√2+a）•√3a＝4√3，解得a＝2√3−2√2，即第三个三角形的周长为12√3−12√2，…，∴第四个三角形的周长为12√4−12√3，∴前25个等边三角形的周长之和12+12√2−12+12√3−12√2+12√4−12√3+⋯+12√25−12√24=12√25=60，故答案为4√3，60．16．（3分）（2020•怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y=√3x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2√n，0）．解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C=√3OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，√3t），把B1（t，√3t）代入y=√3x得t•√3t=√3，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D=√3m，则B2的坐标表示为（2+m，√3m），把B2（2+m，√3m）代入y=√3x得（2+m）×√3m=√3，解得m=√2−1或m=−√2−1（舍去），∴A1D=√2−1，A1A2=2√2−2，OA2=2+2√2−2=2√2，∴A2（2√2，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为√3n，B3的坐标表示为（2√2+n，√3n），把B3（2√2+n，√3n）代入y=√3x得（2√2+n）•√3n=√3，∴A2E=√3−√2，A2A3=2√3−2√2，OA3=2√2+2√3−2√2=2√3，∴A3（2√3，0），综上可得：A n（2√n，0），故答案为：(2√n，0)．11．（2020青海）（2分）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b ＝，如：3⊕2＝＝，那么12⊕4＝．解：12⊕4＝＝．故答案为：．12．（2020青海）（4分）观察下列各式的规律：①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1． 请按以上规律写出第4个算式 4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1 ．用含有字母的式子表示第n 个算式为 n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1 ． 解：④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1．第n 个算式为：n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1．故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1． 19．（2020山东滨州）（5分）观察下列各式：123a =，235a =，3107a =，4159a =，52611a =，⋯，根据其中的规律可得n a =21(1)21n n n ++-+ （用含n 的式子表示）． 【解答】解：由分析可得21(1)21n n n a n ++-=+．故答案为：21(1)21n n n ++-+．18．（2020山东泰安）（4分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，则a 4+a 200＝ 20110 ．解：观察“杨辉三角”可知第n 个数记为a n ＝（1+2+…+n ）=12n （n +1）， 则a 4+a 200=12×4×（4+1）+12×200×（200+1）＝20110． 故答案为：20110．16．（2020海南）（4分）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有 41 个菱形，第n 个图中有 2n 2﹣2n +1 个菱形（用含n 的代数式表示）．解：∵第1个图中菱形的个数1＝12+02，第2个图中菱形的个数5＝22+12，第3个图中菱形的个数13＝32+22，第4个图中菱形的个数25＝42+32，∴第5个图中菱形的个数为52+42＝41，第n个图中菱形的个数为n2+（n﹣1）2＝n2+n2﹣2n+1＝2n2﹣2n+1，故答案为：41，2n2﹣2n+1．三、解答题28.（2020北京）在平面直角坐标系中，①O的半径为1，A，B为①O外两点，AB=1.给出如下定义：平移线段AB，得到①O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到①O的“平移距离”.（1）如图，平移线段AB到①O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是；在点中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到①O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到①O的“平移距离”为，求的最小值；（3）若点A的坐标为，记线段AB到①O的“平移距离”为，直接写出的取值范围.【解析】（1）平行；P3.（2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD ∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令，直线与轴交点为（-2,0），直线与轴夹角为60°，∴.由垂径定理得：∴（3）如图，线段AB的位置变换，可以看做是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在①O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A到O的距离为.如图，平移距离的最小值即点A到①O的最小值：平移距离的最大值即点A到①O的最大值：∴的取值范围为：17．（2020安徽）（8分）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：．第5个等式：．按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第个等式：（用含的等式表示），并证明．【解答】解：（1）第6个等式：；（2）猜想的第个等式：．证明：左边右边，等式成立．故答案为：；．24.（2020长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”①2y x =（ ） ①my (m 0)x=≠（ ） ①31y x =-（ ） （2）若点()1,A m 与点(),4B n -关于x “H 函数” ()20y ax bx c a =++≠的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，求,,a b c 的值域或取值范围；（3）若关于x 的“H 函数” 223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①0a b c ++=，①(2)(23)0c b a c b a +-++<，求该H 函数截x 轴得到的线段长度的取值范围．【答案】（1）√；√；×；（2）-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜0；（3）2＜12x x -＜27． 解：（1）①2y x =是 “H 函数”①my (m 0)x=≠是 “H 函数”①31y x =-不是 “H 函数”； 故答案为：√；√；×； （2）①A,B 是“H 点” ①A,B 关于原点对称， ①m=4,n=1①A(1,4），B （-1，-4） 代入得44a b c a b c ++=⎧⎨-+=-⎩ 解得40b a c =⎧⎨+=⎩又①该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，①-2ba ＞2 ①-42a＞2 ①-1＜a ＜0 ①a+c=0 ①0＜c ＜0，的综上，-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜0；（3）①223y ax bx c =++是“H 函数”①设H 点为（p,q ）和（-p,-q ）,代入得222323ap bp c qap bp c q ⎧++=⎨-+=-⎩解得ap 2+3c=0,2bp=q ①p 2＞0 ①a,c 异号， ①ac ＜0 ①a+b+c=0 ①b=-a -c ，①(2)(23)0c b a c b a +-++< ①(2)(23)0c a c a c a c a -----+< ①(2)(2)0c a c a -+< ①c 2＜4a 2①22c a＜4 ①-2＜c a ＜2 ①-2＜c a ＜0设t=ca，则-2＜t ＜0设函数与x 轴的交点为（x 1,0）（x 2,0） ①x 1, x 2是方程223ax bx c ++=0的两根①12x x -== 又①-2＜t ＜0①2＜12x x -＜．23.（2020山东青岛）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？ 模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果． 探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果． （2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果． 探究三：从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果． 归纳结论：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果． 问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额． 拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果． 解：探究一：（3）如下表：所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是21,n - 所以一共有()213123n n --+=-种． 探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种， （2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数， 这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种， 从而从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数， 这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是33,n - 所以一共有()336138n n --+=-种， 探究三：从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是10, 最大是14， 所以这4个整数之和一共有5种，从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是10, 最大是18,， 所以这4个整数之和一共有9种，从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数， 这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是46n -， 所以一共有()46101415n n --+=- 种不同的结果． 归纳结论：由探究一，从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有()23n -种．探究二，从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有()38n -种，探究三，从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有()415n - 种不同的结果． 从而可得：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有()21an a -+种不同的结果． 问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数）， 一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490， 共有490151476-+=种不同的优惠金额． 拓展延伸：（1） 从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有()21an a -+种不同的结果．∴ 当36,n = 有2361204,a a -+=236203,a a ∴-=-()218121,a ∴-=1811a ∴-=或1811,a -=- 29a ∴=或7.a =从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．（2）由探究可知：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，等同于从1，2，3，…，1n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，所以：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有()211a n a ⎡⎤+-+⎣⎦种不同的结果．21．（2020四川遂宁）（9分）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2、b 2、c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝2x 2﹣3x +1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y ＝2x 2﹣3x +1可知，a 1＝2，b 1＝﹣3，c 1＝1，根据a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数y ＝x 2﹣4x +3的旋转函数．（2）若函数y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为旋转函数，求（m +n ）2020的值．（3）已知函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1、B 1、C 1，试求证：经过点A 1、B 1、C 1的二次函数与y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”．【解答】解：（1）由y ＝x 2﹣4x +3函数可知，a 1＝1，b 1＝﹣4，c 1＝3， ∵a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0， ∴a 2＝﹣1，b 2＝﹣4，c 2＝﹣3，∴函数y ＝x 2﹣4x +3的“旋转函数”为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3；（2）∵y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为“旋转函数”，∴{m −1=−n n −3=0， 解得：{m =−2n =3，∴（m +n ）2020＝（﹣2+3）2020＝1．（3）证明：当x ＝0时，y ＝2（x ﹣1）（x +3））＝﹣6， ∴点C 的坐标为（0，﹣6）． 当y ＝0时，2（x ﹣1）（x +3）＝0， 解得：x 1＝1，x 2＝﹣3，∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（﹣3，0）． ∵点A ，B ，C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1， ∴A 1（﹣1，0），B 1（3，0），C 1（0，6）．设过点A 1，B 1，C 1的二次函数解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3）， 将C 1（0，6）代入y ＝a （x +1）（x ﹣3），得：6＝﹣3a ， 解得：a ＝﹣2，过点A 1，B 1，C 1的二次函数解析式为y ＝﹣2（x +1）（x ﹣3），即y ＝﹣2x 2+4x +6． ∵y ＝2（x ﹣1）（x +3）＝2x 2+4x ﹣6，∴a 1＝2，b 1＝4，c 1＝﹣6，a 2＝﹣2，b 2＝4，c 2＝6， ∴a 1+a 2＝2+（﹣2）＝0，b 1＝b 2＝4，c 1+c 2＝6+（﹣6）＝0，∴经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”． 21．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是 ④ ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且∠DBC ＝45°，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于⊙O 中，∠BCD ＝60°．求⊙O 的半径．【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC＝DE，又∵∠DBC＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AC，又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是垂等四边形；（3）如图，过点O作OE⊥BD，∵四边形ABCD是垂等四边形，∴AC＝BD，又∵垂等四边形的面积是24， ∴12AC •BD ＝24，解得，AC ＝BD ＝4√3， 又∵∠BCD ＝60°， ∴∠DOE ＝60°，设半径为r ，根据垂径定理可得： 在△ODE 中，OD ＝r ，DE =2√3， ∴r =DE sin60°=√3√32=4， ∴⊙O 的半径为4．24．（2020浙江宁波）（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝α，请用含α的代数式表示∠E ． （2）如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD̂=BD ̂，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O 于点F ，连结BF 并延长交CD 的延长线于点E ．求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE ，AF ，若AC 是⊙O 的直径． ①求∠AED 的度数；②若AB ＝8，CD ＝5，求△DEF 的面积．【解答】解：（1）∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ， ∴∠E ＝∠ECD ﹣∠EBD =12（∠ACD ﹣∠ABC ）=12∠A =12α， （2）如图1，延长BC 到点T ，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，̂=BD̂，∵AD∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠F AD，∴∠BEC＝∠F AD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠F AC＝∠EBC=12∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠F AC，∵∠FED＝∠F AD，∴∠AED ﹣∠FED ＝∠F AC ﹣∠F AD ，∴∠AEG ＝∠CAD ，∵∠EGA ＝∠ADC ＝90°，∴△EGA ∽△ADC ，∴AE AC =AG CD ，∵在Rt △ABG 中，AG =√22AB =4√2，在Rt △ADE 中，AE =√2AD ，∴AD AC =45， 在Rt △ADC 中，AD 2+DC 2＝AC 2，∴设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有（4x ）2+52＝（5x ）2，∴x =53，∴ED ＝AD =203，∴CE ＝CD +DE =353，∵∠BEC ＝∠FCE ，∴FC ＝FE ，∵FM ⊥CE ，∴EM =12CE =356， ∴DM ＝DE ﹣EM =56，∵∠FDM ＝45°，∴FM ＝DM =56，∴S △DEF =12DE •FM =259．25．（2020•株洲）如图所示，△OAB 的顶点A 在反比例函数y =k x （k ＞0）的图象上，直线AB 交y 轴于点C ，且点C 的纵坐标为5，过点A 、B 分别作y 轴的垂线AE 、BF ，垂足分别为点E 、F ，且AE ＝1．（1）若点E 为线段OC 的中点，求k 的值；（2）若△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°，其面积小于3．①求证：△OAE ≌△BOF ；②把|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|称为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点间的“ZJ 距离”，记为d （M ，N ），求d （A ，C ）+d （A ，B ）的值．【解答】解：（1）∵点E 为线段OC 的中点，OC ＝5，∴OE =12OC =52，即：E 点坐标为(0，52)，又∵AE ⊥y 轴，AE ＝1，∴A(1，52)，∴k =1×52=52． （2）①在△OAB 为等腰直角三角形中，AO ＝OB ，∠AOB ＝90°，∴∠AOE +∠FOB ＝90°，又∵BF ⊥y 轴，∴∠FBO +∠FOB ＝90°，∴∠AOE ＝∠FBO ，在△OAE 和△BOF 中，{∠AEO =∠OFB =90°∠AOE =∠FBO AO =BO ，∴△OAE ≌△BOF （AAS ），②解：设点A 坐标为（1，m ），∵△OAE ≌△BOF ，∴BF ＝OE ＝m ，OF ＝AE ＝1，∴B （m ，﹣1），设直线AB 解析式为：l AB ：y ＝kx +5，将AB 两点代入得：则{k +5=m km +5=−1． 解得{k 1=−3m 1=2，{k 2=−2m 2=3． 当m ＝2时，OE ＝2，OA =√5，S △AOB =52＜3，符合；∴d （A ，C ）+d （A ，B ）＝AE +CE +（BF ﹣AE ）+（OE +OF ）＝1+CE +OE ﹣1+OE +1＝1+CE +2OE ＝1+CO +OE ＝1+5+2＝8，当m ＝3时，OE ＝3，OA =√10，S △AOB ＝5＞3，不符，舍去；综上所述：d （A ，C ）+d （A ，B ）＝8．。

中考数学二轮复习精品资料附参考答案新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例2 （2013•河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a－b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2－5）+1=2×（－3）+1=－6+1==－5。

（1）求（－2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．思路分析：（1）按照定义新运算a⊕b=a（a－b）+1，求解即可；（2）先按照定义新运算a⊕b=a（a－b）+1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示．解：（1）∵a⊕b=a（a－b）+1，∴（－2）⊕3=－2（－2－3）+1=10+1=11；（2）∵3⊕x＜13，∴3（3－x）+1＜13，9－3x+1＜13，－3x＜3，x＞－1．在数轴上表示如下：例3 （2013•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5思路分析：“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．解：如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．故选C．点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．-CE PC PC a s2考点四：开放题型中的新定义例4 （2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．思路分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；»BC上任意一点构成的四边形（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD 的度数．解：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ADB，∴△ADB是等腰三角形．在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，∴∠BDC=∠C=75°，∴△BCD为等腰三角形，∴BD是梯形ABCD的和谐线；（2）由题意作图为：图2，图3（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，∴△ACD是等腰三角形．∵AB=AD=BC，如图4，当AD=AC时，A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点思路分析：如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=－x+k上．解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=－x+k上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．故选A．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．对应训练5．（2013•天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形四、中考真题演练一、选择题1．（2013•成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（）A．y=－x+3 B．y= 5xC．y=2x D．y=－2x2+x－71．C2．（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°2．DA．40 B．45 C．51 D．563．C4．（2013•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，－b）．如f（1，2）=（1，－2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，－9））=（）A．（5，－9）B．（－9，－5）C．（5，9）D．（9，5）4．D5．（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A．B．C．D．5．C二、填空题6．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．6．30°7．（2013•宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．三、解答题10．（2013•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．（3）作EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AD 于G ，EH ⊥CD 于H ，∴∠BFE =∠CHE =90°．∵AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∴EF =EG =EH ，在Rt △EFB 和Rt △EHC 中BE CE EF EH=⎧⎨=⎩， ∴Rt △EFB ≌Rt △EHC （HL ），∴∠3=∠4．∵BE =CE ，∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠4即∠ABC =∠DCB ，∵ABCD 为AD 截某三角形所得，且AD 不平行BC ，∴ABCD 是“准等腰梯形”．当点E 不在四边形ABCD 的内部时，有两种情况：如图4，当点E 在BC 边上时，同理可以证明△EFB ≌△EHC ，∴∠B =∠C ，∴ABCD 是“准等腰梯形”．如图5，当点E 在四边形ABCD 的外部时，同理可以证明△EFB ≌△EHC ，∴∠EBF =∠ECH ．∵BE =CE ，∴∠3=∠4，∴∠EBF －∠3=∠ECH －∠4，即∠1=∠2，。