中考数学分类(含答案)新概念型问题

中考数学复习新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例题：（2017甘肃天水）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则（2*3）*2= 2 ．【考点】1G：有理数的混合运算．【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2==2，故答案为：2同步训练：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P 作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF=AB 时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD=AC==．（2）如图1中，连接AC、BD．∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE=AB=5．②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴DE：BF=PD：PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型例题：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S△ABP 的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．同步训练：（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y=﹣x+，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（1，0）；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B 的坐标；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N 点坐标；（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC 中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2，∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，2），B（1，0），故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴AC==，由翻折的性质可知AN=AC=，∵△AMN为梦想三角形，∴N点在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，∵OD=2，∴ON=2﹣3或ON=2+3，∴N点坐标为（0，2﹣3）或（0，2+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=2，∵抛物线对称轴为x=﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2﹣=，即E点纵坐标为﹣，∴E（﹣1，﹣）；当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，∴x=﹣4，y=2﹣t，代入直线AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的．类型3 新内容理解把握例题：（2017湖南岳阳）已知点A在函数y1=﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对 B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣）关于原点的对称点B（a，﹣）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（（a，﹣），）在直线y2=kx+1+k上，则=﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）=0，∴a﹣1=0或ka﹣1=0，则a=1或ka﹣1=0，若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a=，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．同步训练：（2017湖南株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D专题训练1.（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= 2 ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：22. （2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．3. (2017湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【考点】KT：勾股数；KQ：勾股定理．【分析】由n=1，得到a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．【解答】解：当n=1，a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，∵直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ、当a=5时，（m2﹣1）=5，解得：m=（舍去），Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，Ⅲ、当c=5时，（m2+1）=5，解得：m=±3，∵m＞0，∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．4. （2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12= （x+3）（3x﹣4）．【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．【解答】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．故答案为：（x+3）（3x﹣4）5. (2017湖北咸宁)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．理解：（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．【解答】解：（1）如图1所示：（2）△AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ==2，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM==，故点P的坐标（﹣，），（，）．6.（2017•益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n 的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有解得，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则，∵直线AB经过点P（，），由（2）得，∴p+q=1，∴，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，∴解得，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．。

2020年中考数学试题分类汇编：新概念规律类题一、选择题1.（2020河南）定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根【答案】A【详解】解：根据定义得：2110,x x x =--=☆1,1,1,a b c ==-=-()()22414115b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=＞0, ∴ 原方程有两个不相等的实数根，故选.A2.（2020湖北武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L ”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的32⨯方格纸片．把“L ”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方形组成的66⨯方格纸片，将“L ”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n 种不同放置方法，则n 的值是（ ）A. 160B. 128C. 80D. 48解：由图可知，在66⨯方格纸片中，32⨯方格纸片的个数为5420⨯=（个） 则20480n =⨯= 故选：C ．3.（2020重庆A 卷）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色③②①三角形，第①个图案中有3个黑色三角形，第①个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中黑色三角形的个数为（ ）A. 10B. 15C. 18D. 21解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1， 第①个图案中黑色三角形的个数3＝1+2， 第①个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3， ……∴第①个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15， 故选：B ．4.（2020重庆B 卷）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）A.18B. 19C.20D.21 答案C.5．(2020山东枣庄)（3分）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b =-⊗，这里等式右边是实数运算．例如：21113138==--⊗．则方程2(2)14x x -=--⊗的解是( ) A ．4x = B ．5x = C ．6x = D．7x =【解答】解：根据题意，得12144x x =---， 去分母得：12(4)x =--， 解得：5x =，经检验5x =是分式方程的解． 故选：B ．6．（3分）（2020•常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A ．C 、EB ．E 、FC ．G 、C 、ED ．E 、C 、F【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k =12k （k +1），应停在第12k （k +1）﹣7p格，这时P 是整数，且使0≤12k （k +1）﹣7p ≤6，分别取k ＝1，2，3，4，5，6，7时，12k （k +1）﹣7p ＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k ≤2020，设k ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得，12k （k +1）﹣7p ＝7m +12t （t +1），由此可知，停棋的情形与k ＝t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 故选：D ．7．（3分）（2020•烟台）如图，△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为（ ）A ．（√2）nB ．（√2）n ﹣1C ．（√22）nD ．（√22）n ﹣1【解答】解：∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，∴OA2=√2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴OA3＝2=(√2)2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴OA4＝2√2=(√2)3．∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴OA5＝4=(√2)4，……∴OA n的长度为（√2）n﹣1．故选：B．8．（2020云南）（4分）按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（）A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）n a C．2n﹣1a D．2n a解：∵a＝（﹣2）1﹣1a，﹣2a＝（﹣2）2﹣1a，4a＝（﹣2）3﹣1a，﹣8a＝（﹣2）4﹣1a，16a＝（﹣2）5﹣1a，﹣32a＝（﹣2）6﹣1a，…由上规律可知，第n个单项式为：（﹣2）n﹣1a．选：A．二、填空题9.（2020江西）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是．【解析】依题意可得，有两个尖头表示20102=⨯，有5个丁头表示15⨯，故这个两位数为2510．（2020贵州黔西南）（3分）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x 的值为625，则第2020次输出的结果为 1 ．【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【解答】解：当x ＝625时，15x ＝125，当x ＝125时，15x ＝25，当x ＝25时，15x ＝5，当x ＝5时，15x ＝1，当x ＝1时，x +4＝5， 当x ＝5时，15x ＝1，…依此类推，以5，1循环， （2020﹣2）÷2＝1010， 即输出的结果是1， 故答案为：111．（2020贵州黔西南）（3分）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 57 ．【解答】解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；…，按此规律排列下去，所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．故答案为：57．12．（2020齐齐哈尔）（（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4√2），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12√2，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22020．【解答】解：∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积=12×2×2=2，∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为√2=2√2，∴第2个等腰直角三角形的面积=12×2√2×2√2=4＝22，∵A4（10，4√2），∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4， ∴第3个等腰直角三角形的面积=12×4×4=8＝23， …则第2020个等腰直角三角形的面积是22020； 故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．13.(2020甘肃定西）已知5y x =+，当x 分别取1，2，3，…，2020时，所对应y 值的总和是_________. 答案：203214．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E ，使AE ＝DA ，连接EB ，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B ；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B ；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n 的式子表示）解：∵AE ＝DA ，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2， ∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1， ∵点F 2是CF 1的中点， ∴△EF 1F 2的面积等于， 同理可得△EF n ﹣1F n 的面积为，∵△BCF n 的面积为2×÷2＝，∴△EF n B 的面积为2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣＝2﹣（1﹣）＝．故答案为：．15．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 112 ，并可推断出5月30日应该是星期几 五、六、日 ．解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期， ∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120， 若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120， 若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120， 若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120， 若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120， 若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120， 若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120， 故5月30日可能为星期五、六、日． 故答案为：112；五、六、日．16．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1,1)．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A ，以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为(5,3)．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ．以22O A 为边作正方形2222O A B C ．⋯．则点2020B 的坐标 2020231⨯-，20203 ．解：点B 坐标为(1,1)， 11OA AB BC CO CO ∴=====，1(2,3)A ，111111123AO A B B C C O ∴====，1(5,3)B ∴，2(8,9)A ∴，222222239A O A B B C C O ∴====，2(17,9)B ∴，同理可得4(53,27)B ，5(161,81)B ，⋯由上可知，(231,3)Bn n n ⨯-，∴当2020n =时，(2320201,32020)Bn ⨯-．故答案为：2020(231⨯-，20203)．17．（2020黑龙江牡丹江）（3分）一列数1，5，11，19⋯按此规律排列，第7个数是() A ．37 B ．41 C ．55 D ．71解：1121=⨯-， 5231=⨯-， 11341=⨯-， 19451=⨯-，⋯第n 个数为(1)1n n +-， 则第7个数是：55． 故选：C ．18．（2020四川遂宁）（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若2a1+2a2+2a3+⋯+2a n=n2020．（n为正整数），则n的值为4039．【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，∴a n＝n（n+1），∵2a1+2a2+2a3+⋯+2a n=n2020，∴21×2+22×3+23×4+⋯+2n(n+1)=n2020，∴2×（1−12+12−13+13−14+⋯⋯+1n−1n+1）=n2020，∴2×（1−1n+1）=n2020，1−1n+1=n4040，解得n＝4039，经检验：n＝4039是分式方程的解，故答案为：4039．19．（2020广西南宁）（3分）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是556个．解：因为前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，所以前区最后一排座位数为：20+2（8﹣1）＝34，所以前区座位数为：（20+34）×8÷2＝216，以为前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，所以后区的座位数为：10×34＝340，所以该礼堂的座位总数是216+340＝556个．故答案为：556个．20．（3分）（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1−√2．【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1±√2，故答案为：x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1−√2．21．（3分）（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=√3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于219．【解答】解：∵B1O＝B1A1，B1A1⊥OA2，∴OA1＝A1A2，∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，∴B1A1∥B2A2，∴B1A1=12A2B2，∴A2B2＝2A1B1，同法可得A 3B 3＝2A 2B 2＝22•A 1B 1，…， 由此规律可得A 20B 20＝219•A 1B 1，∵A 1B 1＝OA 1•tan30°=√3×√33=1， ∴A 20B 20＝219， 故答案为219．22．（2020山西）（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有 （3n +1） 个三角形（用含n 的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n 的代数式表示． 解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1 第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1 第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1 …按此规律摆下去，第n 个图案有（3n +1）个三角形． 故答案为：（3n +1）．23.（2020东莞）如图，等腰12Rt OA A ∆，1121OA A A ==，以2OA 为直角边作23Rt OA A ∆，再以3OA 为直角边作34Rt OA A ∆，以此规律作等腰89Rt OA A ∆，则89OA A ∆的面积是_________.答案：64（或62）24．（2020四川自贡）（4分）如图，直线y =−√3x +b 与y 轴交于点A ，与双曲线y =kx 在第三象限交于B 、C 两点，且AB •AC ＝16．下列等边三角形△OD 1E 1，△E 1D 2E 2，△E 2D 3E 3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝4√3，前25个等边三角形的周长之和为60．【解答】解：设直线y=−√3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y=−√3x+b，∴当y＝0时，x=√33b，即点D的坐标为（√33b，0），当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝﹣b，OD=−√33b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=√3，∴∠ADO＝60°．∵直线y=−√3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，∴−√3x+b=k x，整理得，−√3x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2=√33k，即EB•FC=√33k，∵EBAB=cos60°=12，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=4√33k＝16，解得：k＝4√3．由题意可以假设D1（m，m√3），∴m2•√3=4√3，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，√3n），∵（4+n）•√3n＝4√3，解得n＝2√2−2，∴E1E2＝4√2−4，即第二个三角形的周长为12√2−12，设D3（4√2+a，√3a），由题意（4√2+a）•√3a＝4√3，解得a＝2√3−2√2，即第三个三角形的周长为12√3−12√2，…，∴第四个三角形的周长为12√4−12√3，∴前25个等边三角形的周长之和12+12√2−12+12√3−12√2+12√4−12√3+⋯+12√25−12√24=12√25=60，故答案为4√3，60．25．（3分）（2020•怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y=√3x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2√n，0）．解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C=√3OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，√3t），把B1（t，√3t）代入y=√3x得t•√3t=√3，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D=√3m，则B2的坐标表示为（2+m，√3m），把B2（2+m，√3m）代入y=√3x得（2+m）×√3m=√3，解得m=√2−1或m=−√2−1（舍去），∴A1D=√2−1，A1A2=2√2−2，OA2=2+2√2−2=2√2，∴A2（2√2，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为√3n，B3的坐标表示为（2√2+n，√3n），把B3（2√2+n，√3n）代入y=√3x得（2√2+n）•√3n=√3，∴A2E=√3−√2，A2A3=2√3−2√2，OA3=2√2+2√3−2√2=2√3，∴A3（2√3，0），综上可得：A n（2√n，0），故答案为：(2√n，0)．26．（2020青海）（2分）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b ＝，如：3⊕2＝＝，那么12⊕4＝．解：12⊕4＝＝．故答案为：．27．（2020青海）（4分）观察下列各式的规律：①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1． 请按以上规律写出第4个算式 4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1 ．用含有字母的式子表示第n 个算式为 n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1 ． 解：④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1．第n 个算式为：n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1．故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1． 28．（2020山东滨州）（5分）观察下列各式：123a =，235a =，3107a =，4159a =，52611a =，⋯，根据其中的规律可得n a =21(1)21n n n ++-+ （用含n 的式子表示）． 【解答】解：由分析可得21(1)21n n n a n ++-=+．故答案为：21(1)21n n n ++-+．29．（2020山东泰安）（4分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，则a 4+a 200＝ 20110 ．解：观察“杨辉三角”可知第n 个数记为a n ＝（1+2+…+n ）=12n （n +1）， 则a 4+a 200=12×4×（4+1）+12×200×（200+1）＝20110． 故答案为：20110．30．（2020海南）（4分）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有 41 个菱形，第n 个图中有 2n 2﹣2n +1 个菱形（用含n 的代数式表示）．解：∵第1个图中菱形的个数1＝12+02， 第2个图中菱形的个数5＝22+12， 第3个图中菱形的个数13＝32+22， 第4个图中菱形的个数25＝42+32， ∴第5个图中菱形的个数为52+42＝41，第n 个图中菱形的个数为n 2+（n ﹣1）2＝n 2+n 2﹣2n +1＝2n 2﹣2n +1， 故答案为：41，2n 2﹣2n +1．三、解答题31.（2020长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”①2y x =（ ） ①my (m 0)x=≠（ ） ①31y x =-（ ） （2）若点()1,A m 与点(),4B n -关于x “H 函数” ()20y ax bx c a =++≠的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，求,,a b c 的值域或取值范围；（3）若关于x 的“H 函数” 223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①0a b c ++=，①(2)(23)0c b a c b a +-++<，求该H 函数截x 轴得到的线段长度的取值范围．【答案】（1）√；√；×；（2）-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜0；（3）2＜12x x -＜． 解：（1）①2y x =是 “H 函数”①my (m 0)x=≠是 “H 函数”①31y x =-不是 “H 函数”； 故答案为：√；√；×； （2）①A,B 是“H 点” ①A,B 关于原点对称， ①m=4,n=1①A(1,4），B （-1，-4） 代入223y ax bx c =++得44a b c a b c ++=⎧⎨-+=-⎩解得40b a c =⎧⎨+=⎩又①该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，①-2ba ＞2 ①-42a＞2 ①-1＜a ＜0 ①a+c=0 ①0＜c ＜0，综上，-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜0；（3）①223y ax bx c =++是“H 函数”①设H 点为（p,q ）和（-p,-q ）,代入得222323ap bp c qap bp c q⎧++=⎨-+=-⎩ 解得ap 2+3c=0,2bp=q ①p 2＞0 ①a,c 异号， ①ac ＜0 ①a+b+c=0①b=-a -c ，①(2)(23)0c b a c b a +-++< ①(2)(23)0c a c a c a c a -----+< ①(2)(2)0c a c a -+< ①c 2＜4a 2①22c a＜4 ①-2＜c a ＜2 ①-2＜c a ＜0设t=ca，则-2＜t ＜0设函数与x 轴的交点为（x 1,0）（x 2,0） ①x 1, x 2是方程223ax bx c ++=0的两根①12x x -== 又①-2＜t ＜0①2＜12x x -＜．32.（2020山东青岛）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？ 模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果． （2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．解：探究一：（3）如下表：所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是21,n - 所以一共有()213123n n --+=-种． 探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种，（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种， 从而从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数， 这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是33,n -所以一共有()336138n n --+=-种，探究三：从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是10, 最大是14， 所以这4个整数之和一共有5种，从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是10, 最大是18,， 所以这4个整数之和一共有9种，从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是46n -，所以一共有()46101415n n --+=- 种不同的结果．归纳结论：由探究一，从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有()23n -种．探究二，从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有()38n -种，探究三，从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有()415n - 种不同的结果．从而可得：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有()21an a -+种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，共有490151476-+=种不同的优惠金额．拓展延伸：（1） 从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有()21an a -+种不同的结果． ∴ 当36,n = 有2361204,a a -+=236203,a a ∴-=-()218121,a ∴-= 1811a ∴-=或1811,a -=-29a ∴=或7.a =从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．（2）由探究可知：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，等同于从1，2，3，…，1n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，所以：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有()211a n a ⎡⎤+-+⎣⎦种不同的结果． 33．（2020四川遂宁）（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2、b 2、c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝2x 2﹣3x +1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y ＝2x 2﹣3x +1可知，a 1＝2，b 1＝﹣3，c 1＝1，根据a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y ＝x 2﹣4x +3的旋转函数．（2）若函数y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为旋转函数，求（m +n ）2020的值．（3）已知函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1、B 1、C 1，试求证：经过点A 1、B 1、C 1的二次函数与y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”．【解答】解：（1）由y ＝x 2﹣4x +3函数可知，a 1＝1，b 1＝﹣4，c 1＝3，∵a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，∴a 2＝﹣1，b 2＝﹣4，c 2＝﹣3，∴函数y ＝x 2﹣4x +3的“旋转函数”为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3；（2）∵y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为“旋转函数”，∴{m −1=−n n −3=0， 解得：{m =−2n =3， ∴（m +n ）2020＝（﹣2+3）2020＝1．（3）证明：当x ＝0时，y ＝2（x ﹣1）（x +3））＝﹣6，∴点C 的坐标为（0，﹣6）．当y ＝0时，2（x ﹣1）（x +3）＝0，解得：x 1＝1，x 2＝﹣3，∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（﹣3，0）．∵点A ，B ，C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，解得：a＝﹣2，过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．34．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是④；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴AC ＝DE ，又∵∠DBC ＝45°，∴△BDE 是等腰直角三角形，∴BD ＝DE ，∴BD ＝AC ，又∵BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 是垂等四边形；（3）如图，过点O 作OE ⊥BD ，∵四边形ABCD 是垂等四边形，∴AC ＝BD ，又∵垂等四边形的面积是24，∴12AC •BD ＝24， 解得，AC ＝BD ＝4√3，又∵∠BCD ＝60°，∴∠DOE ＝60°，设半径为r ，根据垂径定理可得：在△ODE 中，OD ＝r ，DE =2√3，∴r =DE sin60°=2√332=4，∴⊙O 的半径为4．35．（2020浙江宁波）（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝α，请用含α的代数式表示∠E ．（2）如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ̂=BD ̂，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC 的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠A=12α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，̂=BD̂，∵AD∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠F AD，∴∠BEC＝∠F AD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠F AC ＝∠EBC =12∠ABC ＝45°，∵∠AED ＝45°，∴∠AED ＝∠F AC ，∵∠FED ＝∠F AD ，∴∠AED ﹣∠FED ＝∠F AC ﹣∠F AD ，∴∠AEG ＝∠CAD ，∵∠EGA ＝∠ADC ＝90°，∴△EGA ∽△ADC ，∴AE AC =AG CD ，∵在Rt △ABG 中，AG =√22AB =4√2，在Rt △ADE 中，AE =√2AD ，∴AD AC =45， 在Rt △ADC 中，AD 2+DC 2＝AC 2，∴设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有（4x ）2+52＝（5x ）2，∴x =53，∴ED ＝AD =203，∴CE ＝CD +DE =353，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM=12CE=356，∴DM＝DE﹣EM=5 6，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM=5 6，∴S△DEF=12DE•FM=259．36．（2020•株洲）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．①求证：△OAE≌△BOF；②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．【解答】解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，∴OE=12OC=52，即：E点坐标为(0，52)，第 31 页 共 31 页 又∵AE ⊥y 轴，AE ＝1，∴A(1，52)，∴k =1×52=52．（2）①在△OAB 为等腰直角三角形中，AO ＝OB ，∠AOB ＝90°，∴∠AOE +∠FOB ＝90°，又∵BF ⊥y 轴，∴∠FBO +∠FOB ＝90°，∴∠AOE ＝∠FBO ，在△OAE 和△BOF 中，{∠AEO =∠OFB =90°∠AOE =∠FBO AO =BO ，∴△OAE ≌△BOF （AAS ），②解：设点A 坐标为（1，m ），∵△OAE ≌△BOF ，∴BF ＝OE ＝m ，OF ＝AE ＝1，∴B （m ，﹣1），设直线AB 解析式为：l AB ：y ＝kx +5，将AB 两点代入得：则{k +5=m km +5=−1． 解得{k 1=−3m 1=2，{k 2=−2m 2=3． 当m ＝2时，OE ＝2，OA =√5，S △AOB =52＜3，符合；∴d （A ，C ）+d （A ，B ）＝AE +CE +（BF ﹣AE ）+（OE +OF ）＝1+CE +OE ﹣1+OE +1＝1+CE +2OE ＝1+CO +OE ＝1+5+2＝8，当m ＝3时，OE ＝3，OA =√10，S △AOB ＝5＞3，不符，舍去；综上所述：d （A ，C ）+d （A ，B ）＝8．。

专题04 新定义概念问题【考点综述评价】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，其特点是源于初中数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序、新的情境等等．要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学试题的新亮点.解题关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．【考点分类总结】考点1：定义新数【典型例题】（2017枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=pq．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=34．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）15，26，37，48，59；（3）34．【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；学，科、网（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，由“吉祥数”的定义确定出x与y 的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．【方法归纳】对新数的解析蕴含在对数量关系的描述中，充分理解，结合相应知识，才能顺利解答．【变式训练】（2017重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=()()F sF t，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．【答案】（1）F（243）=9，F（617）=14；（2）54．【分析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k=() () F s F t中，找出最大值即可．【解答】（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；F（617）=（167+716+671）÷111=14．（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F考点2：定义新运算【典型例题】（2017山东省日照市）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==35．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线3544y x=-+的距离为；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线34y x b=-+相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【答案】（1）4；（2）b =54或154；（3）S △ABP 的最大值=4，S △ABP 的最小值=2． 【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可； （2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C 到直线3x +4y +5=0的距离，求出⊙C 上点P 到直线3x +4y +5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【方法归纳】理解新运算法则是解题的关键． 【变式训练】（2017四川省乐山市）对于函数mnx x y +=，我们定义11--+='m n mx nx y （n m 、为常数）．例如24x x y +=，则x x y 243+='．x.k-w 已知：()x m x m x y 223131+-+=． （1）若方程0='y 有两个相等实数根，则m 的值为 ；（2）若方程41-='m y 有两个正数根，则m 的取值范围为 ． 【答案】（1）12；（2）m ≤34且m ≠12．【分析】根据新定义得到y ′=222(1)x m x m +-+ ． （1）由判别式等于0，解方程即可；（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论．考点3：定义新概念【典型例题】（2017内蒙古通辽市）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形，如图1，▱ABCD 中，若AB =1，BC =2，则▱ABCD 为1阶准菱形． （1）猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是 阶准菱形；已知▱ABCD 的邻边长分别为a ，b （a ＞b ），满足a =8b +r ，b =5r ，请写出▱ABCD 是 阶准菱形． （2）操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD 沿BE 折叠（点E 在AD 上），使点A 落在BC 边上的点F 处，得到四边形ABFE ．请证明四边形ABFE 是菱形．【答案】（1）3，12；（2）证明见解析．【分析】（1）利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论； （2）先判断出∠AEB =∠ABE ，进而判断出AE =BF ，即可得出结论．（2）由折叠知：∠ABE =∠FBE ，AB =BF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥BF ，∴∠AEB =∠FBE ，∴∠AEB =∠ABE ，∴AE =AB ，∴AE =BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴四边形ABFE 是菱形．【方法归纳】解题关键是理解新定义，再结合已学知识解答．【变式训练】（2017北京市）在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为2时，①在点P 1（12，0），P 2（12，P 3（52，0）中，⊙O 的关联点是 ． ②点P 在直线y =﹣x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y =﹣x +1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．【答案】（1）①P 2，P 3；②﹣2≤x ≤﹣2或2≤x ≤2；（2）﹣2≤x C ≤1或2≤x C ≤【分析】（1）①根据点P 1（12，0），P 2（12，2），P 3（52，0），求得OP 1=12，OP 2=1，OP 3=52，于是得到结论；学-科=网②根据定义分析，可得当最小y =﹣x 上的点P 到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P （x ，﹣x ），根据两点间的距离公式即可得到结论；（2根据已知条件得到A （1，0），B （0，1），如图1，当圆过点A 时，得到C （﹣2，0），如图2，当直线AB 与小圆相切时，切点为D ，得到C （10），于是得到结论；如图3，当圆过点A ，则AC =1，得到C （2，0），如图4，当圆过点B ，连接BC ，根据勾股定理得到C （0），于是得到结论．【解答】（1）①∵点P 1（12，0），P 2（12，2），P 3（52，0），∴OP 1=12，OP 2=1，OP 3=52，∴P 1与⊙O 的最小距离为32，P 2与⊙O 的最小距离为1，OP 3与⊙O 的最小距离为12，∴⊙O ，⊙O 的关联点是P 2，P 3；（2）∵直线y =﹣x +1与x 轴、y 轴交于点A 、B ，∴A （1，0），B （0，1），如图1，当圆过点A 时，此时，CA =3，∴C （﹣2，0）；如图2，当直线AB 与小圆相切时，切点为D ，∴CD =1，∵直线AB 的解析式为y =﹣x +1，∴直线AB 与x轴的夹角=45°，∴AC ，∴C （10），∴圆心C 的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C ≤1；综上所述：圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C≤12≤x C≤考点4：定义新法则【典型例题】（2017上海市）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6= ．．【答案】2【分析】如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，只要证明△BEC是直角三角形即可解决问题．【解答】如图，正六边形ABCDEF 中，对角线BE 、CF 交于点O ，连接EC ．【方法归纳】正确理解新定义的图形，寻找形与数的对应关系. 【变式训练】（2017吉林省长春市）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x ≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y =x ﹣1，它的相关函数为()()1010x x y x x -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩． （1）已知点A （﹣5，8）在一次函数y =ax ﹣3的相关函数的图象上，求a 的值； （2）已知二次函数2142y x x =-+-．x..k+-w ①当点B （m ，32）在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值； ②当﹣3≤x ≤3时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（﹣12，1），（92，1}），连结MN ．直接写出线段MN与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象有两个公共点时n 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）①m =2m =2或m =2；②最大值为432，最小值为﹣12；（3）﹣3＜n ≤﹣1或1＜n ≤54．【分析】（1）函数y =ax ﹣3的相关函数为3(0)3(0)ax x y ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，将然后将点A （﹣5，8）代入y =﹣ax +3求解即可；（2）二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214(0)214(0)2x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+-≥⎪⎩，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x ＜0时，2142y x x =-+-，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x ≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数24y x x n =-++的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围． 【解答】（1）函数y =ax ﹣3的相关函数为3(0)3(0)ax x y ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，将点A （﹣5，8）代入y =﹣ax +3得：5a +3=8，当m ≥0时，将B （m ，32）代入2142y x x =-+-得：213422m m -+-=，解得：m =2或m =2．综上所述：m =2m =2或m =2． ②当﹣3≤x ＜0时，2142y x x =-+，抛物线的对称轴为x =2，此时y 随x 的增大而减小，∴此时y 的最大值为432． 当0≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-，抛物线的对称轴为x =2，当x =0有最小值，最小值为﹣12，当x =2时，有最大值，最大值y =72．综上所述，当﹣3≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值为432，最小值为﹣12； （3）如图1所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x =2时，y =1，即﹣4+8+n =1，解得n =﹣3．如图2所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有3个公共点∵抛物线24y x x n =-++经过点（0，1），∴n =1．如图4所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有2个公共点．【新题好题训练】1．定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y =[x ]的图象如图所示，则方程[]221x x =的解为（ ）．A ．0或2B ．0或2C ．1或2-D ．2或2- 【答案】A ．【分析】根据新定义和函数图象讨论：当1≤x ≤2时，则212x =1；当﹣1≤x ≤0时，则212x =0，当﹣2≤x ＜﹣1时，则212x =﹣1，然后分别解关于x 的一元二次方程即可．学+/科网 【解答】当1≤x ＜2时，212x =1，解得x 1=2，x 2=﹣2；当x =0，212x =0，x =0；当﹣1≤x ＜0时，212x =﹣1，方程没有实数解；当﹣2≤x ＜﹣1时，212x =﹣1，方程没有实数解； 所以方程[]221x x =的解为0或2．故选A ． 2．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A 经过一次跳马变换可以到达点B ，C ，D ，E 等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M 经过跳马变换到达与其相对的顶点N ，最少需要跳马变换的次数是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16 【答案】B ．【分析】A ﹣C ﹣F 的方向连续变换10次后点M 的位置，再根据点N 的位置进行适当的变换，即可得到变换总次数．3．已知点A 在函数11y x=-（x ＞0）的图象上，点B 在直线y 2=kx +1+k （k 为常数，且k ≥0）上．若A ，B 两点关于原点对称，则称点A ，B 为函数y 1，y 2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【答案】A．【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，1a）关于原点的对称点B（－a，1a）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．4．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是．（写出所有正确说法的序号）学科.+网①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．【答案】②③．【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=[1.7]+（1.7）+[1.7）=1+2+2=5，故①错误；②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=[﹣2.1]+（﹣2.1）+[﹣2.1）=（﹣3）+（﹣2）+（﹣2）=﹣7，故②正确；③4[x]+3（x）+[x）=11，7[x]+3+[x）=11，7[x]+[x）=8，1＜x＜1.5，故③正确；④∵﹣1＜x＜1时，∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当﹣0.5＜x＜0时，y=[x]+（x）+x =﹣1+0+x =x ﹣1，当x =0时，y =[x ]+（x ）+x =0+0+0=0，当0＜x ＜0.5时，y =[x ]+（x ）+x =0+1+x =x +1，当0.5＜x ＜1时，y =[x ]+（x ）+x =0+1+x =x +1，∵y =4x ，则x ﹣1=4x 时，得x =13-；x +1=4x 时，得x =13；当x =0时，y =4x =0，∴当﹣1＜x ＜1时，函数y =[x ]+（x ）+x 的图象与正比例函数y =4x 的图象有三个交点，故④错误，故答案为：②③．5．阅读理解：如图1，⊙O 与直线a 、b 都相切，不论⊙O 如何转动，直线a 、b 之间的距离始终保持不变（等于⊙O 的直径），我们把具有这一特性的图形成为“等宽曲线”，图2是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力既可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的．拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”，如图4，夹在平行线c ，d 之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线c ，d 之间的距离等于2cm ，则莱洛三角形的周长为 cm ．【答案】2π．【分析】由等宽曲线的定义知AB =BC =AC =2cm ，即可得∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，根据弧长公式分别求得三段弧的长即可得其周长．【解答】如图3，由题意知AB =BC =AC =2cm ，∴∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，∴AB 在以点C 为圆心、2为半径的圆上，∴AB 的长为602180π⨯ =23π，则莱洛三角形的周长为23π×3=2π，故答案为：2π． 6．对于实数p ，q ，我们用符号{}min ,p q 表示p ，q 两数中较小的数，如{}min 1,21=，因此{min = ；若{}22min (1),1x x -=，则x = ．【答案】2或-1．【分析】首先理解题意，进而可得min{min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x=0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．7．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为．【答案】113°或92°．【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．【解答】∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC ＞∠A，即AC≠CD，①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC=（180°﹣46°）÷2=67°，∴∠ACB=67°+46°=113°，②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°，故答案为：113°或92°．8．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△P AB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC 的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：=x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．在平面直角坐标系中，点M是曲线yx（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是3），点N ，0）时，求点P 的坐标；学+-科网（2）如图3，当点M 的坐标是（3），点N 的坐标是（2，0）时，求△MON 的自相似点的坐标； （3）是否存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）P （4，34）；（2）（1，3）或（2，3）；（3）存在， M ，3），N （0）． 【分析】（1）由∠ONP =∠M ，∠NOP =∠MON ，得出△NOP ∽△MON ，证出点P 是△MON 的自相似点；过P 作PD ⊥x 轴于D ，则tan ∠POD =MNONAON =60°，由点M 和N 的坐标得出∠MNO =90°，由相似三角形的性质得出∠NPO =∠MNO =90°，在Rt △OPN 中，由三角函数求出OP =2，OD =4，PD =34，即可得出答案；（2）作MH ⊥x 轴于H ，由勾股定理求出OM =OM 的解析式为y =3x ，ON =2，∠MOH =30°，分两种情况：①作PQ ⊥x 轴于Q ，由相似点的性质得出PO =PN ，OQ =12ON =1，求出P 的纵坐标即可；②求出MN 2，由相似三角形的性质得出PN MNON MO=，求出PN =3，在求出P 的横坐标即可；（3）证出OM =ON ，∠MON =60°，得出△MON 是等边三角形，由点P 在△MON 的内部，得到∠PON ≠∠OMN ，∠PNO ≠∠MON ，即可得出结论．①如图3所示：∵P 是△MON 的相似点，∴△PON ∽△NOM ，作PQ ⊥x 轴于Q ，∴PO =PN ，OQ =12ON =1，∵P 的横坐标为1，∴y =3×1=3，∴P （1，3）； ②如图4所示：由勾股定理得：MN 2，∵P 是△MON 的相似点，∴△PNM ∽△NOM ，∴PN MNON MO=，即2PN =，解得：PN ，即P ，代入y x ，解得：x =2，∴P （2，3）；综上所述：△MON 的自相似点的坐标为（12）；（3）存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点，M ，3），N （0）；理由如下：∵M 3），N （0），∴OM =ON ，∠MON =60°，∴△MON 是等边三角形，∵点P 在△MON 的内部，∴∠PON ≠∠OMN ，∠PNO ≠∠MON ，∴存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点．9．综合与实践背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形．例如：三边长分别为9，12，15或3，4，5）型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．实践操作如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．问题解决（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明．（3）请在图4中证明△AEN是（3，4，5）型三角形．探索发现（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．【答案】（1）证明见解析；（2）NF=ND′，证明见解析；（3）证明见解析；（4）△MFN，△MD′H，△MDA．【分析】（1）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可；（2）NF=ND′，证明Rt△HNF≌Rt△HND′即可；（3）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可；（4）由△AEN是（3，4，5）型三角形，凡是与△AEN相似的△都是（3，4，5）型三角形．【解答】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠DAE=90°．由折叠知：AE=AD，∠AEF=∠D=90°，∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°，∴四边形AEFD是矩形．∵AE=AD，∴矩形AEFD是正方形．（2）NF=ND′．证明如下：连结HN．由折叠知：∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′．∵CF∥AE，∴△MFN∽△AEN．∵EN：AE：AN=3：4：5，∴FN：MF：CN=3：4：5，∴△MFN是（3，4，5）型三角形；同理，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形．10．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．（1）等边三角形“內似线”的条数为；（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长．【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）3512． 【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC =∠C =∠BDC ，∠A =∠ABD ，证出△BCD ∽△ABC ，再由三角形的外角性质证出BD 平分∠ABC 即可；（3）分两种情况：①当43CE AC CF BC ==时，EF ∥AB ，由勾股定理求出AB 5，作DN ⊥BC 于N ，则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径，求出DN =12（AC +BC ﹣AB ）=1，由角平分线定理得出43DE CE DF CF ==，求出CE 的长，证明△CEF ∽△CAB ，得出对应边成比例求出EF =3512； ②当43CF AC CE BC ==时，同理得：EF =3512即可．（3）解：设D 是△ABC 的内心，连接CD ，则CD 平分∠ACB ，∵EF 是△ABC 的“內似线”，∴△CEF 与△ABC 相似；分两种情况：①当43CE AC CF BC ==时，EF ∥AB ，∵∠ACB =90°，AC =4，BC =3，∴AB 5，作DN ⊥BC 于N ，如图2所示：则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径，∴DN =12（AC +BC ﹣AB ）=1，∵CD 平分∠ACB ，∴43DE CE DF CF ==，∵DN ∥AC ，∴37DN DF CE EF ==，即137CE =，∴CE =73，∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ，∴EF CEAB AC=，即7354EF=，解得：EF=3512；②当43CF ACCE BC==时，同理得：EF=3512；综上所述，EF的长为35 12．。

专题突破(十) 新定义问题新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现．其内部逻辑构造呈现出比较严谨、整体性强的特点．其问题模型可以表示为阅读材料、研究对象、给出条件、需要完成认识．而规律探究、方法运用、学习策略等则是“条件”隐形存在的“魂”．这种新定义问题虽然在构造方式上“五花八门”，但是经过整理也能发现它们存在着一定的规律．新定义题型是北京中考最后一题的热点题型．“该类题从题型上看，有展示全貌，留空补缺的；有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的；有理解新概念再解决新问题的，等等．这类试题不来源于课本且高于课本，结构独特．1．[202X·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙O 的反称点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P ′，满足CP ＋CP ′＝2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图Z10－1为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．(1)当⊙O 的半径为1时．①分别判断点M (2，1)，N (32，0)，T (1，3)关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求其坐标；②点P 在直线y ＝－x ＋2上，若点P 关于⊙O 的反称点P ′存在，且点P ′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围．(2)当⊙C 的圆心在x 轴上，且半径为1，直线y ＝－33x ＋2 3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B.若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．图Z10－12．[202X·北京] 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M >0，对于任意的函数值y ，都满足－M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图Z10－2中的函数是有界函数，其边界值是1.(1)分别判断函数y ＝1x (x >0)和y ＝x ＋1(－4<x ≤2)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；(2)若函数y ＝－x ＋1(a ≤x ≤b ，b >a )的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；(3)将函数y ＝x 2(－1≤x ≤m ，m ≥0)的图象向下平移m 个单位长度，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足34≤t ≤1?图Z10－23．[2013·北京] 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得∠APB ＝60°，则称P 为⊙C 的关联点．已知点D (12，12)，E (0，－2)，F (2 3，0)．(1)当⊙O 的半径为1时，①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是________； ②过点F 作直线l 交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO ＝30°，若直线l 上的点P (m ，n )是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；(2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围．图Z10－34．[2012·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1－x 2|； 若|x 1－x 2|＜|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1－y 2|.例如：点P 1(1，2)，点P 2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图Z10－4(a)中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点)．(1)已知点A (－12，0)，B 为y 轴上的一个动点．①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值． (2)已知C 是直线y ＝34x ＋3上的一个动点，①如图(b)，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标．②如图(c)，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．图Z10－41．[202X·平谷一模] b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”．如函数y ＝－x ＋4，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝3时，y ＝1，即当1≤x ≤3时，有1≤y ≤3，所以说函数y ＝－x ＋4是闭区间[1，3]上的“闭函数”．(1)反比例函数y ＝202Xx 是闭区间[1，202X]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；(2)若二次函数y ＝x 2－2x －k 是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k 的值；(3)若一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”，求此函数的解析式(用含m ，n 的代数式表示)．2．[202X·东城一模] 定义符号min {}a ，b 的含义为：当a ≥b 时，min {}a ，b ＝b ；当a ＜b 时，min {}a ，b ＝a .如：min {}1，－2＝－2，min {}－1，2＝－1.(1)求min {}x 2－1，－2；(2)已知min{x 2－2x ＋k ，－3}＝－3，求实数k 的取值范围；(3)已知当－2≤x ≤3时，min{x 2－2x －15，m (x ＋1)}＝x 2－2x －15.直接写出实数m 的取值范围．3．[202X·海淀二模] 如图Z10－5(a )，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)，B (－1，1)，C (1，0)，D (1，1)，记线段AB 为T 1，线段CD 为T 2，点P 是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点P 的直线l 与T 1，T 2都有公共点，则称点P 是T 1－T 2联络点．例如，点P (0，12)是T 1－T 2联络点．(1)以下各点中，________是T 1－T 2联络点(填出所有正确的序号)； ①(0，2)；②(－4，2)；③(3，2)．(2)直接在图(a )中画出所有T 1－T 2联络点所组成的区域，用阴影部分表示．(3)已知点M 在y 轴上，以M 为圆心，r 为半径画圆，⊙M 上只有一个点为T 1－T 2联络点，①若r ＝1，求点M 的纵坐标； ②求r 的取值范围．图Z10－54．[202X·门头沟一模] 如图Z10－6，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的顶点为M ，直线y ＝m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A 和点B ，如果△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M 称为碟顶，线段AB 的长称为碟宽．图Z10－6(1)抛物线y ＝12x 2的碟宽为________，抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的碟宽为________．(2)如果抛物线y ＝a (x －1)2－6a (a ＞0)的碟宽为6，那么a ＝________．(3)将抛物线y n ＝a n x 2＋b n x ＋c n (a n ＞0)的准蝶形记为F n (n ＝1，2，3，…)，我们定义F 1，F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果F n 与F n －1的相似比为12，且F n的碟顶是F n －1的碟宽的中点，现在将(2)中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1.①求抛物线y 2的函数解析式．②请判断F 1，F 2，…，F n 的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的函数解析式；如果不是，说明理由．图Z10－75．[202X·朝阳一模] 定义：对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP ＋MQ 为PQ 的“等高距离”．(1)若P (1，2)，Q (4，2)．①在点A (1，0)，B (52，4)，C (0，3)中，PQ 的“等高点”是________；②若M (t ，0)为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值． (2)若P (0，0)，PQ ＝2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．图Z10－86．[202X·通州一模] 如图Z10－9，在平面直角坐标系中，已知点A (2，3)，B (6，3)，连接A B.若对于平面内一点P ，线段AB 上都存在点Q ，使得PQ ≤1，则称点P 是线段AB 的“邻近点”．(1)判断点D (75，195)是否是线段AB 的“邻近点”．________(填“是”或“否”)；(2)若点H (m ，n )在一次函数y ＝x －1的图象上，且是线段AB 的“邻近点”，求m 的取值范围；(3)若一次函数y ＝x ＋b 的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b 的取值范围．图Z10－97．[202X·海淀一模] 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (a ，b )和点Q (a ，b ′)，给出如下定义：若b ′＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥1，－b ，a<1，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2，3的限变点的坐标是()2，3，点()－2，5的限变点的坐标是()－2，－5.(1)①点()3，1的限变点的坐标是________；②在点A ()－2，－1，B ()－1，2中有一个点是函数y ＝2x 的图象上某一个点的限变点，这个点是________．(2)若点P 在函数y ＝－x ＋3(－2≤x ≤k ，k >－2)的图象上，其限变点Q 的纵坐标b ′的取值范围是－5≤b ′≤2，求k 的取值范围．(3)若点P 在关于x 的二次函数y ＝x 2－2tx ＋t 2＋t 的图象上，其限变点Q 的纵坐标b ′的取值范围是b ′≥m 或b ′＜n ，其中m >n .令s ＝m －n ，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．图Z10－108．[202X·西城一模] 给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的距离．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．(1)点A 的坐标为A (1，0)，则点B (2，3)和射线OA 之间的距离为________，点C (－2，3)和射线OA 之间的距离为________．(2)如果直线y ＝x 和双曲线y ＝kx 之间的距离为2，那么k ＝________．(可在图Z10－11(a )中进行研究)(3)点E 的坐标为(1，3)，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转60°，得到射线OF ，在坐标平面内所有和射线OE ，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M .①请在图(b )中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)②将射线OE ，OF 组成的图形记为图形W ，抛物线y ＝x 2－2与图形M 的公共部分记为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．图Z10－11参考答案1.解：(1)①点M (2，1)关于⊙O 的反称点不存在． 点N (32，0)关于⊙O 的反称点存在，反称点N ′(12，0)．点T (1，3)关于⊙O 的反称点存在，反称点T ′(0，0)．②如图①，直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点E (2，0)，点F (0，2)．设点P 的横坐标为x .(i )当点P 在线段EF 上，即0≤x ≤2时，0＜OP ≤2， ∴在射线OP 上一定存在一点P ′，使得OP ＋OP ′＝2，∴点P 关于⊙O 的反称点存在，其中点P 与点E 或点F 重合时，OP ＝2，点P 关于⊙O 的反称点为O ，不符合题意，∴0＜x ＜2.(ii )当点P 不在线段EF 上，即x ＜0或x ＞2时，OP ＞2， ∴对于射线OP 上任意一点P ′，总有OP ＋OP ′＞2， ∴点P 关于⊙O 的反称点不存在．综上所述，点P 的横坐标x 的取值范围是0＜x ＜2.(2)若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，则1＜CP ≤2.依题意可知点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(0，2 3)，∠BAO ＝30°. 设圆心C 的坐标为(x ，0)．①当x ＜6时，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，如图②，∴0＜CH ≤CP ≤2，∴0＜CA ≤4， ∴0＜6－x ≤4，∴2≤x ＜6，并且，当2≤x ＜6时，CB ＞2，CH ≤2， ∴在线段AB 上一定存在点P ，使得CP ＝2，∴此时点P 关于⊙C 的反称点为C ，且点C 在⊙C 的内部，∴2≤x ＜6. ②当x ≥6时，如图③.∴0≤CA ≤CP ≤2，∴0≤x －6≤2，∴6≤x ≤8.并且，当6≤x ≤8时，CB ＞2，CA ≤2，∴在线段AB 上一定存在一点P ，使得CP ＝2，∴此时点P 关于⊙C 的反称点为C ，且点C 在⊙C 的内部，∴6≤x ≤8. 综上所述，圆心C 的横坐标x 的取值范围是2≤x ≤8. 2．解：(1)y ＝1x (x ＞0)不是有界函数．y ＝x ＋1(－4＜x ≤2)是有界函数，边界值为3. (2)对于y ＝－x ＋1，y 随x 的增大而减小， 当x ＝a 时，y ＝－a ＋1＝2，a ＝－1， 当x ＝b 时，y ＝－b ＋1.⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－b ＋1＜2，b ＞a ， ∴－1＜b ≤3.(3)由题意，函数平移后的表达式为 y ＝x 2－m (－1≤x ≤m ，m ≥0)．当x ＝－1时，y ＝1－m ；当x ＝0时，y ＝－m ； 当x ＝m 时，y ＝m 2－m . 根据二次函数的对称性，当0≤m ≤1时，1－m ≥m 2－m . 当m ＞1时，1－m ＜m 2－m . ①当0≤m ≤12时，1－m ≥m .由题意，边界值t ＝1－m . 当34≤t ≤1时，0≤m ≤14， ∴0≤m ≤14.②当12＜m ≤1时，1－m ＜m .由题意，边界值t ＝m . 当34≤t ≤1时，34≤m ≤1， ∴34≤m ≤1. ③当m ＞1时，由题意，边界值t ≥m ， ∴不存在满足34≤t ≤1的m 值．综上所述，当0≤m ≤14或34≤m ≤1时，满足34≤t ≤1.3．解：(1)①如图(a)所示，过点E 作⊙O 的切线，设切点为R .∵⊙O 的半径为1，∴RO ＝1.∵EO ＝2，∴∠OER ＝30°，根据切线长定理得出⊙O 的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°， ∴E 点是⊙O 的关联点．∵D (12，12)，E (0，－2)，F (2 3，0)，∴OF ＞EO ，DO ＜EO ，∴D 点一定是⊙O 的关联点，而在⊙O 上不可能找到两点与点F 的连线的夹角等于60°， 故在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是D ，E . ②由题意可知，若P 刚好是⊙C 的关联点，则点P 到⊙C 的两条切线P A 和PB 之间所夹的角为60°， 由图(b)可知∠APB ＝60°，则∠CPB ＝30°. 连接BC ，则PC ＝BCsin ∠CPB＝2BC ＝2r ，∴若点P 为⊙C 的关联点，则需点P 到圆心的距离d 满足0≤d ≤2r .由上述证明可知，考虑临界点位置的P 点，则点P 到原点的距离OP ＝2×1＝2， 如图(c)，过点O 作l 轴的垂线OH ，垂足为H ，∵∠GFO ＝30°， ∴∠OGF ＝60°，OG ＝2， 可得点P 1与点G 重合．过点P 2作P 2M ⊥x 轴于点M ， 可得∠P 2OM ＝30°，∴OM ＝OP 2cos30°＝3，从而若点P 为⊙O 的关联点，则P 点必在线段P 1P 2上，∴0≤m ≤ 3.(2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应是线段EF 的中点．考虑临界情况，如图(d)，即恰好点E ，F 为⊙K 的关联点时，则KF ＝2KN ＝12EF ＝2，此时，r ＝1，故若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，则这个圆的半径r 的取值范围为r ≥1.4．解：(1)①点B 的坐标是(0，2)或(0，－2)． ②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12.(2)①∵C 是直线y ＝34x ＋3上的一个动点，∴设点C 的坐标为(x 0，34x 0＋3)，∴－x 0＝34x 0＋2，此时，x 0＝－87，∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为87，此时C (－87，157)．②E (－35，45)．－35－x 0＝34x 0＋3－45， 解得x 0＝－85，则点C 的坐标为(－85，95)，点C1.解：(1)反比例函数y ＝202Xx 是闭区间[1，202X]上的“闭函数”．理由如下：反比例函数y ＝202Xx 在第一象限，y 随x 的增大而减小，当x ＝1时，y ＝202X ； 当x ＝202X 时，y ＝1，即图象过点(1，202X)和(202X ，1)，∴当1≤x ≤202X 时，有1≤y ≤202X ，符合闭函数的定义， ∴反比例函数y ＝202Xx是闭区间[1，202X]上的“闭函数”．(2)由于二次函数y ＝x 2－2x －k 的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，∴二次函数y ＝x 2－2x －k 在闭区间[1，2]内，y 随x 的增大而增大． 当x ＝1时，y ＝1，∴k ＝－2. 当x ＝2时，y ＝2，∴k ＝－2. 即图象过点(1，1)和(2，2)，∴当1≤x ≤2时，有1≤y ≤2，符合闭函数的定义， ∴k ＝－2.(3)因为一次函数y ＝kx ＋b ()k ≠0是闭区间[]m ，n 上的“闭函数”， 根据一次函数的图象与性质，有：(Ⅰ)当k >0时，图象过点(m ，m )和(n ，n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧mk ＋b ＝m ，nk ＋b ＝n ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝0，∴y ＝x .(Ⅱ)当k <0时，图象过点(m ，n )和(n ，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧mk ＋b ＝n ，nk ＋b ＝m ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝m ＋n ，∴y ＝－x ＋m ＋n ，∴一次函数的解析式为y ＝x 或y ＝－x ＋m ＋n . 2．解：(1)∵x 2≥0， ∴x 2－1≥－1. ∴x 2－1＞－2.∴min {}x 2－1，－2＝－2. (2)∵x 2－2x ＋k ＝()x －12＋k －1， ∴()x －12＋k －1≥k －1.∵min{x 2－2x ＋k ，－3}＝－3， ∴k －1≥－3. ∴k ≥－2. (3)－3≤m ≤7. 3．解：(1)②③(2)所有联络点所组成的区域为图(a)中阴影部分(含边界)．(3)①∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为T 1－T 2联络点，阴影部分关于y 轴对称， ∴⊙M 与直线AC 相切于(0，0)或与直线BD 相切于(0，1)，如图(b)所示．又∵⊙M 的半径r ＝1，∴点M 的坐标为(0，－1)或(0，2)．经检验：此时⊙M 与直线AD ，BC 无交点，⊙M 上只有一个点为T 1－T 2联络点，符合题意．∴点M 的坐标为(0，－1)或(0，2)． ∴点M 的纵坐标为－1或2.②阴影部分关于直线y ＝12对称，故不妨设点M 位于阴影部分下方．∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为T 1－T 2联络点，阴影部分关于y 轴对称， ∴⊙M 与直线AC 相切于O (0，0)，且⊙M 与直线AD 相离． 过点M 作ME ⊥AD 于点E ，设AD 与BC 的交点为F ，如图(c)． ∴MO ＝r ，ME >r ，F (0，12)．在Rt △AOF 中，∠AOF ＝90°，AO ＝1，OF ＝12，∴AF ＝AO 2＋OF 2＝52，sin ∠AFO ＝AO AF ＝2 55. 在Rt △FEM 中，∠FEM ＝90°，FM ＝FO ＋OM ＝r ＋12，sin ∠EFM ＝sin ∠AFO ＝2 55，∴ME ＝FM ·sin ∠EFM ＝5（2r ＋1）5.∴5（2r ＋1）5>r .又∵r >0，∴0<r <5＋2.4．解：(1)4 2a(2)13(3)①∵F 1的碟宽∶F 2的碟宽＝2∶1， ∴2a 1∶2a 2＝21. ∵a 1＝13，∴a 2＝23.又∵由题意得F 2的碟顶坐标为(1，1)，∴y 2＝23()x －12＋1.②F 1，F 2，…，F n 的碟宽的右端点在一条直线上； 其解析式为y ＝－x ＋5. 5．解：(1)A 、B (2)如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长．∵P (1，2)，∴P ′(1，－2)．设直线P ′Q 的函数解析式为y ＝kx ＋b ， 根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝－2，4k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝－103.∴直线P ′Q 的函数解析式为y ＝43x －103.当y ＝0时，解得x ＝52，即t ＝52.根据题意，可知PP ′＝4，PQ ＝3，PQ ⊥PP ′， ∴P ′Q ＝PP ′2＋PQ 2＝5. ∴“等高距离”最小值为5.(3)Q (4 55，2 55)或Q (－4 55，2 55)．6．解：(1)是(2)∵点H (m ，n )是线段AB 的“邻近点”，点H (m ，n )在直线y ＝x －1上，∴n ＝m －1. 直线y ＝x －1与线段AB 交于(4，3)． ①当m ≥4时，有n ＝m －1≥3.又AB ∥x 轴，∴此时点H (m ，n )到线段AB 的距离是n －3， ∴0≤n －3≤1，∴4≤m ≤5.②当m ≤4时，有n ＝m －1，∴n ≤3.又AB ∥x 轴，∴此时点H (m ，n )到线段AB 的距离是3－n ， ∴0≤3－n ≤1，∴3≤m ≤4， 综上所述，3≤m ≤5.(3)如图①，②，－37．解：(1)①(3，1) ②点B(2)依题意，y ＝－x ＋3(x ≥－2)的图象上的点P 的限变点必在函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3，x ≥1，x －3，－2≤x <1的图象上．∴b ′≤2，即当x ＝1时，b ′取最大值2. 当b ′＝－2时，－2＝－x ＋3.∴x ＝5.当b ′＝－5时，－5＝x －3或－5＝－x ＋3. ∴x ＝－2或x ＝8. ∵－5≤b ′≤2，由图象可知，k 的取值范围是5≤k ≤8.(3)∵y＝x2－2tx＋t2＋t＝(x－t)2＋t，∴顶点坐标为(t，t)．若t＞1，b′的取值范围是b′≥m或b′≤n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于－[(1－t)2＋t]，即n＝－[(1－t)2＋t]．∴s＝m－n＝t＋(1－t)2＋t＝t2＋1.∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1(t≥1)．当t＝1时，s取最小值2.∴s的取值范围是s≥2.8．解：(1)313(2)－1(3)①如图，过点O分别作射线OE，OF的垂线OG，OH，则图形M为：y轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点(图中的阴影部分)．说明：(图形M也可描述为：y轴正半轴，直线y＝33x下方与直线y＝－33x下方重叠的部分(含边界)②4 3.。

中考数学专题复习新定义问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（,B C ''分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______________；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．2．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是 ；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线323y x =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．3．在⊙ABC 中，D ，E 分别是ABC 两边的中点，如果DE 上的所有点都在⊙ABC 的内部或边上，则称DE 为⊙ABC 的中内弧．例如，下图中DE 是⊙ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt⊙ABC 中，22AB AC D E ==，，分别是AB AC ，的中点．画出⊙ABC 的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t >，，，在⊙ABC 中，D E ，分别是AB AC ，的中点． ⊙若12t =，求⊙ABC 的中内弧DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ⊙若在⊙ABC 中存在一条中内弧DE ，使得DE 所在圆的圆心P 在⊙ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．4．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）． 已知点A （2-，6），B （2-，2-），C （6，2-）． （1）求d （点O ，ABC ）；（2）记函数y kx =（11x -≤≤，0k ≠）的图象为图形G ，若d （G ，ABC ）1=，直接写出k 的取值范围；（3）T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （T ，ABC ）1=，直接写出t 的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点． （1）当⊙O 的半径为2时，⊙在点1231135,0,,,,02222P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 中，⊙O 的关联点是_______________． ⊙点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围． （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（1x ，1y ），点Q 的坐标为（2x ，2y ），且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．⊙若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；⊙点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式； （2）⊙O 的半径为，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．①分别判断点M（2，1），N（32，0），T（1，3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣33x+23与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．参考答案：1．（1）22B C ；（2）3t =±；（3）当min 1OA =时，此时3BC =；当max 2OA =时，此时62BC =． 【解析】 【分析】（1）以点A 为圆心，分别以112233,,,,,AB AC AB AC AB AC 为半径画圆，进而观察是否与O 有交点即可；（2）由旋转的性质可得AB C ''△是等边三角形，且B C ''是O 的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；（3）由BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，则可知,B C ''都在O 上，且1,2AB AB AC AC ''====，然后由题意可根据图象来进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段22B C 能绕点A 旋转90°得到O 的“关联线段”，1133,B C B C 都不能绕点A 进行旋转得到； 故答案为22B C ；（2）由题意可得：当BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”时，则有AB C ''△是等边三角形，且边长也为1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C''与y轴的交点为D，连接OB'，易得B C y''⊥轴，⊙12B D DC''==，⊙2232OD OB B D''=-=，2232AD AB B D''=-=，⊙3OA=，⊙3t=；当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的3OA=，⊙t3=-；（3）由BC是O的以点A为中心的“关联线段”，则可知,B C''都在O上，且1,2AB AB AC AC''====，则有当以B'为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在O上时为最小，最小值为1，此时AC'为O的直径，⊙90AB C''∠=︒，⊙30AC B''∠=︒，⊙cos303BC B C AC'''==⋅︒=；由以上情况可知当点,,A B O'三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：连接,OC B C'''，过点C'作C P OA'⊥于点P，⊙1,2OC AC OA''===，设OP x=，则有2AP x=-，⊙由勾股定理可得：22222C P AC AP OC OP'''=-=-，即()222221x x--=-，解得：14x=，⊙154C P'=，⊙34B P OB OP ''=-=， 在Rt B PC ''中，2262B C B P C P ''''=+=， ⊙62BC =； 综上所述：当min 1OA =时，此时3BC =；当max 2OA =时，此时62BC =．【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键． 2．（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤【解析】 【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作OE⊙AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出OE 、OF 的长，由1d OE OF =-得到1d 的最小值；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离2d 的最大值即点A ，B 点的位置，由此得出2d 的取值范围． 【详解】解：（1）平行；P 3；（2）如图，线段AB 在直线323y x =+上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD ，CD⊙AB ，过点O 作OE⊙AB 于点E ，交弦CD 于点F ，OF⊙CD ，令0y =，直线与x 轴交点为（-2，0），直线与x 轴夹角为60°，⊙2sin 603OE ︒==． 由垂径定理得：221322OF OC CD ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，⊙132d OE OF =-=；（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A到O的距离为2235222AO⎛⎫=+=⎪⎝⎭．如图，平移距离2d的最小值即点A到⊙O的最小值：53122-=；平移距离2d的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊙A1A2且A1B2=1时.⊙B2A2A1=60°，则⊙OA2A1=30°,⊙OA2=1,⊙OM=12, A2M=32,⊙MA=3,AA2=22339 322⎛⎫+=⎪⎪⎝⎭,⊙2d的取值范围为：233922d≤≤．【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．3．（1）π；（2）⊙P的纵坐标1py≥或12Py≤；⊙02t<≤.【解析】【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，DE的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，，⊙当12t=时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角⊙AEP满足90°≤⊙AEP＜135°；⊙根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【详解】解：（1）如图2，以DE 为直径的半圆弧DE ，就是△ABC 的最长的中内弧DE ，连接DE ，⊙⊙A=90°，AB=AC=22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，22114,42sin sin 4522︒∴=====⨯=AC BC DE BC B ， ⊙弧DE 122ππ=⨯=； （2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG⊙AC 交FP 于G ，⊙当12t =时，C （2，0），⊙D （0，1），E （1，1），1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭F ， 设1,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE 上方射线FP 上均可，⊙m≥1， ⊙OA=OC ，⊙AOC=90°⊙⊙ACO=45°，⊙DE⊙OC⊙⊙AED=⊙ACO=45°作EG⊙AC 交直线FP 于G ，FG=EF=12根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G ）直线FP 上时也符合要求； 12∴m 综上所述，12m或m≥1． ⊙图4，设圆心P 在AC 上，⊙P 在DE 中垂线上，⊙P 为AE 中点，作PM⊙OC 于M ，则PM=323,2⎛⎫∴ ⎪⎝⎭P t ， ⊙DE⊙BC⊙⊙ADE=⊙AOB=90°，222221(2)41∴=+=+=+AE AD DE t t⊙PD=PE ，⊙⊙AED=⊙PDE⊙⊙AED+⊙DAE=⊙PDE+⊙ADP=90°，⊙⊙DAE=⊙ADP12∴===AP PD PE AE 由三角形中内弧定义知，PD≤PM1322∴AE ，AE≤3，即2413+t ，解得：2t02>∴<t t【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．4．（1）2；（2）10k -≤<或01k <≤；（3）4t =-或0422t -≤≤或422t =+．【解析】【详解】分析：（1）画出图形，根据“闭距离”的概念结合图形进行求解即可.（2）分0k <和0k >两种情况，画出示意图，即可解决问题.（3）画出图形，直接写出t的取值范围．详解：（1）如下图所示：⊙B（2-，2-），C（6，2-）⊙D（0，2-）⊙d（O，ABC）2OD==（2）10k-≤<或01k<≤（3）4t=-或0422t≤≤-或422t=+．点睛：属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的性质，认真分析材料，读懂“闭距离”的概念是解题的关键.5．（1）⊙P 2、P 3，⊙－322≤x≤－22或22 ≤x≤322；（2）－2≤x≤1或2≤x≤22 . 【解析】【详解】试题分析：（1）⊙由题意得，P 只需在以O 为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由23,OP OP 的值可知23,P P 为⊙O 的关联点；⊙满足条件的P 只需在以O 为圆心，半径为1和3两圆之间即可，所以P 横坐标范围是－322 ≤x≤－22 或22 ≤x≤322； （2）.分四种情况讨论即可，当圆过点A ， CA=3时；当圆与小圆相切时；当圆过点 A ，AC=1时；当圆过点 B 时，即可得出.试题解析：（1）12315,01,22OP P OP ===， 点1P 与⊙的最小距离为32，点2P 与⊙的最小距离为1，点3P 与⊙的最小距离为12， ⊙⊙的关联点为2P 和3P ．⊙根据定义分析，可得当直线y=-x 上的点P 到原点的距离在1到3之间时符合题意； ⊙ 设点P 的坐标为P (x ，-x) ，当OP=1时，由距离公式可得，OP=22(0)(0)1x x -+--= ，解得22x =± ，当OP=3时，由距离公式可得，OP=22(0)(0)3x x -+--= ，229x x +=，解得322x =±， ⊙ 点的横坐标的取值范围为－322 ≤x≤－22 或22 ≤x≤322（2）⊙y=-x+1与轴、轴的交点分别为A、B两点，⊙ 令y=0得，-x+1=0，解得x=1，令得x=0得，y=0，⊙A(1，0) ，B (0，1) ，分析得：如图1，当圆过点A时，此时CA=3，⊙ 点C坐标为，C ( -2，0)如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，⊙CD=1 ，又⊙直线AB所在的函数解析式为y=-x+1，⊙ 直线AB与x轴形成的夹角是45°，⊙ RT⊙ACD中，CA=2，⊙ C点坐标为(1-2，0)⊙C点的横坐标的取值范围为；-2≤cx≤1-2，如图3，当圆过点A时，AC=1，C点坐标为(2，0)如图4，当圆过点B 时，连接BC ，此时BC =3，在Rt⊙OCB中，由勾股定理得OC=23122-=，C点坐标为(22，0)．⊙ C点的横坐标的取值范围为2≤cx≤22；⊙综上所述点C的横坐标的取值范围为－322≤cx≤－22或22≤cx≤322．【点睛】本题考查了新定义题，涉及到的知识点有切线，同心圆，一次函数等，能正确地理解新定义，正确地进行分类讨论是解题的关键.6．（1）⊙2；⊙1y x =- 或1y x =-+；（2）1≤m≤5 或者51m -≤≤-．【解析】【详解】试题分析：（1）⊙易得S=2；⊙得到C 的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC 的表达式为y=kx+b ，将A 、C 分别代入AC 的表达式即可得出结论；（2）若⊙O 上存在点N ，使MN 的相关矩形为正方形，则直线MN 的斜率k=±1，即过M 点作k=±1的直线，与⊙O 相切，求出M 的坐标，即可得出结论．试题解析：（1）⊙S=2×1=2；⊙C 的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC 的表达式为y=kx+b ，将A 、C分别代入AC 的表达式得到：0{23k b k b =+=+或0{23k b k b=+-=+，解得：1{1k b ==-或1{1k b =-=，则直线AC 的表达式为1y x =- 或1y x =-+；（2）若⊙O 上存在点N ，使MN 的相关矩形为正方形，则直线MN 的斜率k=±1，即过M 点作k=±1的直线，与⊙O 有交点，即存在N ，当k=－1时，极限位置是直线与⊙O 相切，如图1l 与2l ，直线1l 与⊙O 切于点N ，ON=2，⊙ONM=90°，⊙1l 与y 交于1P （0，-2）．1M （1m ，3），⊙13(2)0m --=-，⊙1m =-5，⊙1M （-5，3）；同理可得2M （-1，3）； 当k=1时，极限位置是直线3l 与4l （与⊙O 相切），可得3M （1，3）， 4M （5，3）． 因此m 的取值范围为1≤m≤5或者51m -≤≤-．考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力．7．（1）①见解析；②0＜x ＜2；（2）圆心C 的横坐标的取值范围是2≤x≤8．【解析】【详解】试题分析：（1） ⊙根据反称点的定义画图得出结论；⊙⊙CP≤2r ＝2 CP 2≤4， P （x ，－x ＋2）， CP 2＝x 2＋（－x ＋2）2＝2x 2－4x ＋4≤，2x 2－4x≤0， x （x －2）≤0，⊙0≤x≤2，把x ＝2和x=0代入验证即可得出，P （2，0），P′（2，0）不符合题意P （0，2），P′（0，0）不符合题意，⊙0＜x ＜2（2）求出A ，B 的坐标，得出OA 与OB 的比值，从而求出⊙OAB=30°，设C （x ，0） ⊙当C 在OA 上时，作CH⊙AB 于H ，则CH≤CP≤2r ＝2，⊙AC≤4，得出 C 点横坐标x≥2． （当x ＝2时，C 点坐标（2，0），H 点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；⊙当C 在A 点右侧时，C 到线段AB 的距离为AC 长，AC 最大值为2，⊙C 点横坐标x≤8，得出结论.试题解析： （1）解：⊙M （2，1）不存在，3,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭存在，反称点1,02N ⎛⎫' ⎪⎝⎭(1,3)T 存在，反称点T′（0，0）⊙⊙CP≤2r ＝2 CP 2≤4， P （x ，－x ＋2）， CP 2＝x 2＋（－x ＋2）2＝2x 2－4x ＋4≤4 2x 2－4x≤0， x （x －2）≤0，⊙0≤x≤2，当x ＝2时，P （2，0），P′（2，0）不符合题意当x ＝0时，P （0，2），P′（0，0）不符合题意，⊙0＜x ＜2 （2）解：由题意得：A （6，0），()0,23B ，⊙3OA OB=，⊙⊙OAB ＝30°，设C （x ，0）⊙当C 在OA 上时，作CH⊙AB 于H ，则CH≤CP≤2r ＝2，⊙AC≤4， C 点横坐标x≥2． （当x ＝2时，C 点坐标（2，0），H 点的反称点H′（2，0）在圆的内部）⊙当C 在A 点右侧时，C 到线段AB 的距离为AC 长，AC 最大值为2，⊙C 点横坐标x≤8 综上所述：圆心C 的横坐标的取值范围2≤x≤8．考点：定义新运算；一次函数的图象和性质；二次函数的图象和性质；圆的有关性质，解直角三角形；答案第15页，共15页。

中考数学分类（含答案）新概念形一、选择题1．（2010安徽蚌埠）记n S =n a a a +++ 21，令12nn S S S T n+++=，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”。

已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为A ．200４B ．2006C ．2008D ．2010 【答案】C2．（2010浙江杭州）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④ 【答案】B 3．（2010浙江宁波）《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠定了现代数学的基础. 它是下列哪位数学家的著作(A)欧几里得 (B)杨辉 (C)笛卡尔 (D)刘徽 【答案】A 4．（2010 山东东营）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( ) (A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分 (C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行【答案】B5．（2010鄂尔多斯）定义新运算： a ⊕b=⎪⎩⎪⎨⎧≠>-≤-)0()(1b b a ba b a a 且，则函数y=3⊕x 的图象大致是【答案】B6．（2010四川达州）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m,n ），规定以下两种变换：①(,)(,)f m n m n =-，如(2,1)(2,1)f =-； ②(,)(,)g m n m n =-- ，如(2,1)(2,1)g =--.按照以上变换有：()()()3,43,43,4f g f =--=-⎡⎤⎣⎦，那么()3,2g f -⎡⎤⎣⎦等于 A.（3，2） B.（3，-2） C.（-3，2） D.（-3，-2） 【答案】A二、填空题1．（2010安徽蚌埠）若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]3322,3-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=π等），则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-200120002001132312121 _________________。

新定义题类型一 新运算型根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③2. 阅读材料：设a →＝(x 1，y 1)，b →＝(x 2，y 2)，如果a →∥b →，则x 1·y 2＝x 2·y 1.根据该材料填空：已知a →＝(2，3)，b →＝(4，m )，且a →∥b →，则m ＝________.3. 对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－2，－3}＝________；若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝______．4. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2＝－1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a ＋bi (a ，b 为实数)的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2－i )＋(5＋3i )＝(2＋5)＋(－1＋3)i ＝7＋2i ；(1＋i )×(2－i )＝1×2－i ＋2×i －i 2＝2＋(－1＋2)i ＋1＝3＋i ； 根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：i 3＝________，i 4＝________； (2)计算：(1＋i )×(3－4i )； (3)计算：i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2017.类型二 新概念型5. 已知点A 在函数y 1＝－1x(x ＞0)的图象上，点B 在直线y 2＝kx ＋1＋k (k 为常数，且k ≥0)上，若A ，B 两点关于原点对称，则称点A 、B 为函数y 1，y 2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )A. 有1对或2对B. 只有1对C. 只有2对D. 有2对或3对6. 新定义：[a ，b ]为一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0，a ，b 为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程1x－1＋1m＝1的解为________．7. 在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”．(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？(2)M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为(m，n)，求直线MN的表达式(用含m、n的代数式表示)；(3)在抛物线y＝x2＋bx＋c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y＝－2x的图象上，直线AB经过点P(12，12)，求此抛物线的表达式．拓展类型新方法型8. 阅读下面的材料：如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2.(1)若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是增函数：(2)若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是减函数．例题：证明函数f(x)＝2x(x＞0)是减函数．证明：假设x1＜x2，x1＞0，x2＞0，f(x1)－f(x2)＝2x1－2x2＝2x2－2x1x1x2＝2（x2－x1）x1x2，∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0，∴x2－x1＞0，x1x2＞0，∴2（x2－x1）x1x2＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴函数f(x)＝2x(x＞0)是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：(1)函数f(x)＝1x2(x＞0), f(1)＝112＝1, f(2)＝122＝14.计算，f(3)＝________，f(4)＝________，猜想f(x)＝1x2(x＞0)是________函数(填“增”或“减”)；(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想．9. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2－5x＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)，Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？第9题图第9题解图①第9题解图②10. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1－x2|；若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1－y2|.例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q 与垂直于x轴的直线P2Q的交点)．(1)已知点A(－12，0)，点B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，求满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；(2)已知C是直线y＝34x＋3上的一个动点，①如图②，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图③，点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．第10题图。

中考数学二轮复习精品资料附参考答案新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例2 （2013•河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a－b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2－5）+1=2×（－3）+1=－6+1==－5。

（1）求（－2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．思路分析：（1）按照定义新运算a⊕b=a（a－b）+1，求解即可；（2）先按照定义新运算a⊕b=a（a－b）+1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示．解：（1）∵a⊕b=a（a－b）+1，∴（－2）⊕3=－2（－2－3）+1=10+1=11；（2）∵3⊕x＜13，∴3（3－x）+1＜13，9－3x+1＜13，－3x＜3，x＞－1．在数轴上表示如下：例3 （2013•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5思路分析：“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．解：如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．故选C．点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．-CE PC PC a s2考点四：开放题型中的新定义例4 （2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．思路分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；»BC上任意一点构成的四边形（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD 的度数．解：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ADB，∴△ADB是等腰三角形．在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，∴∠BDC=∠C=75°，∴△BCD为等腰三角形，∴BD是梯形ABCD的和谐线；（2）由题意作图为：图2，图3（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，∴△ACD是等腰三角形．∵AB=AD=BC，如图4，当AD=AC时，A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点思路分析：如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=－x+k上．解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=－x+k上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．故选A．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．对应训练5．（2013•天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形四、中考真题演练一、选择题1．（2013•成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（）A．y=－x+3 B．y= 5xC．y=2x D．y=－2x2+x－71．C2．（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°2．DA．40 B．45 C．51 D．563．C4．（2013•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，－b）．如f（1，2）=（1，－2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，－9））=（）A．（5，－9）B．（－9，－5）C．（5，9）D．（9，5）4．D5．（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A．B．C．D．5．C二、填空题6．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．6．30°7．（2013•宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．三、解答题10．（2013•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．（3）作EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AD 于G ，EH ⊥CD 于H ，∴∠BFE =∠CHE =90°．∵AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∴EF =EG =EH ，在Rt △EFB 和Rt △EHC 中BE CE EF EH=⎧⎨=⎩， ∴Rt △EFB ≌Rt △EHC （HL ），∴∠3=∠4．∵BE =CE ，∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠4即∠ABC =∠DCB ，∵ABCD 为AD 截某三角形所得，且AD 不平行BC ，∴ABCD 是“准等腰梯形”．当点E 不在四边形ABCD 的内部时，有两种情况：如图4，当点E 在BC 边上时，同理可以证明△EFB ≌△EHC ，∴∠B =∠C ，∴ABCD 是“准等腰梯形”．如图5，当点E 在四边形ABCD 的外部时，同理可以证明△EFB ≌△EHC ，∴∠EBF =∠ECH ．∵BE =CE ，∴∠3=∠4，∴∠EBF －∠3=∠ECH －∠4，即∠1=∠2，。

初三数学专题复习 新概念型问题一、选择题1.古希腊著名的毕达哥拉斯派1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数".从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中,符合这一规律的是( ） A 。

13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D 。

49=18+31 【答案】C 2．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示的方向经过B 跑到 点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翊跑步的时间为t （单位:秒），他与教练距离为y (单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2，刚这个固定位置可能是图1的( ） A ．点M B ．点N C ．点P D ．Q答案：D.3。

如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个．下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6;④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍．其中正确的判断有（ )个． A ．1个B ．２个C ．３个D ．４个 答案:B4．已知2222211211,c x b x a y c x b x a y ++=++=且满足)1,0(212121≠===k k c c b b a a .则称抛物线21,y y 互为“友好抛物线"，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（ ）O30 t / 秒y /米QNM PC B AA 、y 1,y 2开口方向，开口大小不一定相同B 、因为y 1，y 2的对称轴相同C 、如果y 2的最值为m ,则y 1的最值为kmD 、如果y 2与x 轴的两交点间距离为d ，则y 1与x 轴的两交点间距离为d k 答案:D二、填空题5。

中考数学专题讲座二：新概念型问题一、中考专题诠释所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新概念考点二：运算题型中的新概念整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-8=0，即4x=8，解得：x=2．故答案为：2点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．对应训练2．（株洲）若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）=．考点三：探索题型中的新概念例3（南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，①若AB是⊙O的直径，则∠APB=°；②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．思路分析：（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90．②如图，连接AB、OA、OB．在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2．∴∠AOB=90°．当点P在优弧上时，∠AP1B=∠AOB=45°；当点P在劣弧上时，∠AP2B=（360°﹣∠AOB）=135°…6分（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①∵∠MAN=∠APB+∠ANB，∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB；第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB），∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°；第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB，第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，∠APB=∠MAN+∠ANB．点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用．对应训练3．（陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．考点四：开放题型中的新概念考点五：阅读材料题型中的新概念四、中考真题演练一、选择题1．（六盘水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（-m，-n）．例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）．则g[f（-5，6）]等于（）A．（-6，5）B．（-5，-6）C．（6，-5）D．（-5，6）A．5B．6C．7D．8点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键．3．（丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．2010B．2012C．2014D．2016二、填空题4．（常德）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[]的值为．5．（随州）概念：平面内的直线1l与2l相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线1l、2l的距离分别为a、b，则称有序非实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（）三、解答题410．（无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点到直线y=ax+b11．（厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点解：∵（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，∴（4，5）•（6，8）=4×6+5×8=64，故答案为64．四、中考真题演练一、选择题1．A2．B．3．D解：∵3，6，9，12，…称为三角形数，∴三角数都是3的倍数，∵4，8，12，16，…称为正方形数，∴正方形数都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，∵2010÷12=167…6，2012÷12=167…8，2014÷12=167…10，2016÷12=168，∴2016既是三角形数又是正方形数．故选D．二、填空题4．4解：∵3＜＜4，∴3+1＜+1＜4+1，∴4＜+1＜5，∴[+1]=4，故答案为：4．5．C解：如图所示，所求的点有4个，三、解答题22，。