线性代数 行列式

目录一、行列式1二、矩阵特征值1三、正定矩阵2四、幺模矩阵3五、顺序主子阵4六、正定二次型6七、矩阵的秩6八、初等变换〔elementary transformation〕7一、行列式见ppt。

二、矩阵特征值设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx 成立，那么称m 是A的一个特征值〔characteristic value)或本征值〔eigenvalue)。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于〔对应于〕特征值m 的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

求矩阵特征值的方法Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。

|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。

|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。

如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，那么|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 那么矩阵A的特征值m 一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。

三、正定矩阵设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵)，就称M正定(Positive Definite)。

正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。

所有特征值大于零的对称矩阵〔或厄米矩阵〕也是正定矩阵。

另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。

判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。

判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

正定矩阵的性质：1.正定矩阵一定是非奇异的。

非奇异矩阵的定义：假设n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，那么称A为非奇异矩2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

线性代数：矩阵⾏列式1、矩阵的⾏列式定义矩阵的⾏列式，determinate，是基于矩阵所包含的⾏列数据计算得到的⼀个标量；⼆维矩阵[{a,c},{b,d}]的⾏列式等于：det(A) = ab-cd。

2、n维矩阵的⾏列式假设矩阵A为n维的⽅阵，定义Aij为从A中删除第i⾏、第j列之后剩下的n-1维⽅阵。

可以沿着A的第⼀⾏来求取⾏列式：det(A) = a11*A11-a12*A12+...+a1n*A1n，这是⼀个递归的定义，包含n项，每⼀项的正负号等于（-1)的(i+j)次⽅。

实际上可以对A的任意⼀⾏、任意⼀列按上⾯的⽅法来求取⾏列式，可以挑选包含0⽐较多得⾏(列)。

3、矩阵标量乘法的⾏列式当矩阵的某⼀⾏（列）与标量相乘时，det(A') = k*det(A)；当矩阵与标量相乘时，det(kA) = k的n次⽅ * det(A)。

4、矩阵⾏列式的⼀些规律1)如果矩阵A= {r1,r2,...ri...,rn} B={r1,r2,...ri',...rn} C={r1,r2,...ri+ri',...rn}，则有det(C) = det(A)+det(B)2)如果矩阵A有两⾏（列）相等则，det(A) = 03)如果矩阵A将两⾏交换后得到矩阵B，则有det(A)=-det(B)4)如果矩阵A进⾏⾏变换后得到矩阵B，则有det(A)=det(B)；可以通过⾏变换达到3)的效果，这个过程中会发⽣-1数乘某⾏。

5、上三⾓矩阵的⾏列式所谓上三⾓矩阵，就是对⾓线以下的位置全部为零（aij=0 if i>j）；上三⾓矩阵的⾏列式等于 a11*a22*...*ann；基于这个特性，可以通过⾏变换，把矩阵转换为上三⾓矩阵，再求⾏列式。

6、⾏列式与平⾏四边形⾯积两个⼆维向量v1，v2，可以作为平⾏四边形的临边来定义⼀个平⾏四边形。

两个向量构成矩阵A={v1，v2}，那么平⾏四边形的⾯积 = det(A)的绝对值。

行列式的三种定义行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它具有着许多重要的性质和应用。

在学习行列式的过程中，需要掌握三种不同的定义方法，包括代数定义、几何定义、和递推定义。

本文将从这三个方面一步一步讲解，帮助读者更好地理解行列式的概念和计算方法。

1. 代数定义行列式的代数定义是最基本也是最常用的定义方法。

对于一个n阶矩阵A，其行列式记为|A|或det(A)，代数定义为：|A| = Σ(-1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中i和j分别表示矩阵A中的第i行和第j列，a_ij表示A中第i行第j列的元素值，M_ij表示去掉矩阵A中第i行和第j列的子矩阵的行列式值。

这个定义可能看起来比较复杂，但是实际上非常好理解。

它的基本思路是将n阶矩阵A转化为n个n-1阶矩阵的运算，然后不断地递归计算，最终得出行列式的值。

这种方法的优点在于，它不仅适用于方阵，也适用于非方阵，所以可以广泛地应用到各种各样的问题中。

2. 几何定义几何定义是行列式另一种常用的定义方法。

它的基本思路是将矩阵A对应的线性变换视为对n维空间中一个向量的拉伸，从而将行列式的值解释为拉伸的比例因子。

具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的几何定义为：|A| = S*B/S*A其中S*A和S*B分别表示矩阵A和B对应线性变换后向量的长度，也就是表示空间中一个体积的大小。

这个定义方法非常直观，可以帮助我们更好地理解行列式的含义，也适用于二维和三维空间中的向量计算。

3. 递推定义递推定义是行列式的另一种常见定义方法。

它的基本思路是不断地删减矩阵的行和列，直至得到一个常数值。

这个定义方法虽然比较抽象，但是它有着较高的计算效率和便利性。

对于一个n阶矩阵A，其行列式的递推定义为：|A| = a_11 * |A'|其中A'是去掉A中的第一行和第一列所得的(n-1)阶矩阵。

这个定义方法可以方便地使用递归或循环算法实现，对于大规模矩阵的计算尤其有效。

行列式一、 行列式的定义对于n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n nin n a a a a a a a a a A 22222111211， （11—2—1）与之相联系的一个数，表示成nnn ninna a a a a a a a a22222111211， （11—2—2）称为一个n 阶行列式或A 的行列式，记为A 或A det 。

在行列式中，ij a 也称为元素。

为了规定行列式的值，我们引入下面的概念。

定义 1 在方阵（11—2—1）中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的()21-n 个元素按原来的排法构成的一个1-n 阶行列式nnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+-，称为元素ij a 的余子式，记为ij M 。

()ij ji M +-1称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A 。

例1 在四阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----132********33112 中，第2行第3列的元素5的余子式是12420131223--=M 。

而其代数余子式为()321+-乘它的余子式M ，即12420131223---=A 。

定义2 一阶行列式只有一个元素，其值就规定为这个元素的值。

n 阶行列式（2≥n ）的值规定为它任意一行的各元素与对应的代数余子式的乘积之和。

用符号表示，就是()∑∑=+=-==nj ij ij ji nj ij ij M a A a A 111。

上式称为行列式按第i 行展开。

可以证明，这个值与展开时所用的行是没有关系的（见例3）。

例2 用定义展开二阶行列式22211211a a a a 。

解 按第1行展开。

因为()222211111a a A =-=+，()212121121a a A -=-=+，于是得这个行列式的值为2112221112121111a a a a A a A a -=+。