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《概率论与数理统计》第三版--课后习题标准答案习题⼀：1.1 写出下列随机实验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数。
解：连续5 次都命中，⾄少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷⼀颗匀称的骰⼦两次, 观察前后两次出现的点数之和。
解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院⼀天内前来就诊的⼈数。
解：医院⼀天内前来就诊的⼈数理论上可以从0到⽆穷，所以}{,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品。
解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是⼀⼤⼀⼩，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格。
解：⽤0 表⽰合格, 1 表⽰不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地⼀天内的最⾼⽓温和最低⽓温(假设最低⽓温不低于T1, 最⾼⽓温不⾼于T2)。
解：⽤x 表⽰最低⽓温, y 表⽰最⾼⽓温。
考虑到这是⼀个⼆维的样本空间，故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离。
解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取⼀点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发⽣, 但C 不发⽣。
C AB ；(2) A 发⽣, 且B 与C ⾄少有⼀个发⽣。
)(C B A ?； (3) A,B,C 中⾄少有⼀个发⽣。
C B A ??；(4) A,B,C 中恰有⼀个发⽣。
C B A C B A C B A ??； (5) A,B,C 中⾄少有两个发⽣。
BC AC AB ??； (6) A,B,C 中⾄多有⼀个发⽣。
C B C A B A ??；(7) A 。
1第二章 随机变量2.1 P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4 解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= (3) 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)234314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.7 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.8解：设应配备m 名设备维修人员。
第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
（6）实测某种型号灯泡的寿命。
解 （1）},100,,1,0{n i n i==Ω其中n 为班级人数。
（2）}18,,4,3{ =Ω。
（3）},11,10{ =Ω。
（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。
（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。
（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。
2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
（2）A 与B 都发生，而C 不发生。
（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。
（4）A ，B ，C 都发生。
（5）A ，B ，C 都不发生。
（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。
（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。
（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。
解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃ 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。
（1）B B A B A = （2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若, （4）若 A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6） 若Φ=AB 且A C ⊂， 则Φ=BC 解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。
二2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.7 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.8解：设应配备m 名设备维修人员。
一1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时; 连续5 次都命中; 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中;至少要投5次以上;故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次; 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷;所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1;2;3;4;5 的5 件产品中任意取出两件; 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样;故两件产品不会相同;编号必是一大一小;故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格; 1 表示不合格;则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温假设最低气温不低于T1; 最高气温不高于T2; 解：用x 表示最低气温; y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间;故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点; 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点; 该点将线段分成两段; 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2(1) A 与B 都发生; 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生; 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A;B;C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A;B;C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A;B;C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；6 A;B;C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；7 A;B;C 中至多有两个发生;ABC8 A;B;C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一;有不同的表示方式..1.3 设样本空间}{20≤≤=Ωx x ; 事件A =}{15.0≤≤x x ;}{6.18.0≤=x x B具体写出下列各事件：(1) AB ; 2 B A - ; 3 B A -; 4 B A ⋃（1）AB }{18.0≤=x x ；2 B A -=}{8.05.0≤≤x x ；3 B A -=}{28.05.00≤⋃≤≤x x x ;4 B A ⋃=}{26.15.00≤⋃≤≤x x x1.6 按从小到大次序排列)()(),(),(),(B P A P AB P B A P A P +⋃; 并说明理由.解：由于),(,B A A A AB ⋃⊆⊆故)()()(B A P A P AB P ⋃≤≤;而由加法公式;有：)()()(B P A P B A P +≤⋃1.7解：1 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：175.0)()()()(=-+=⋃WE P E P W P E W P(2) 由于事件W 可以分解为互斥事件E W WE ,;昆虫出现残翅; 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：1.0)()()(=-=WE P W P E W P3 昆虫未出现残翅; 也无退化性眼睛的概率为：825.0)(1)(=⋃-=E W P E W P .1.8解：1 由于B AB A AB ⊆⊆,;故),()(),()(B P AB P A P AB P ≤≤显然当B A ⊆时PAB 取到最大值.. 最大值是0.6.2 由于)()()()(B A P B P A P AB P ⋃-+=..显然当1)(=⋃B A P 时PAB 取到最小值;最小值是0.4.1.9解：因为 PAB = 0;故 PABC = 0.C B A ,,至少有一个发生的概率为：7.0)()()()()()()()(=+---++=⋃⋃ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P1.10解（1）通过作图;可以知道;3.0)()()(=-⋃=B P B A P B A P（2）6.0))()((1)(1)(=---=-=B A P A P AB P AB P 7.0)(1)()()()(1))()()((1)(1)()()3(=-=+--=-+-=⋃-==A P B P AB P B P A P AB P B P A P B A P B A P AB P 由于1.11解：用i A 表示事件“杯中球的最大个数为i 个” i =1;2;3..三只球放入四只杯中;放法有44464⨯⨯=种;每种放法等可能..对事件1A ：必须三球放入三杯中;每杯只放一球..放法4×3×2种;故83)(1=A P选排列：好比3个球在4个位置做排列.. 对事件3A ：必须三球都放入一杯中..放法有4种..只需从4个杯中选1个杯子;放入此3个球;选法有4种;故161)(3=A P ..169161831)(2=--=A P1.12解：此题为典型的古典概型;掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36...出现点数和为“3”对应两个基本事件1;2;2;1..故前后两次出现的点数之和为3的概率为181.. 同理可以求得前后两次出现的点数之和为4;5 的概率各是91,121.. (1) 1.13 解：从10个数中任取三个数;共有120310=C 种取法;亦即基本事件总数为120..(1) 若要三个数中最小的一个是5;先要保证取得5;再从大于5的四个数里取两个;取法有624=C 种;故所求概率为201.. 2 若要三个数中最大的一个是5;先要保证取得5;再从小于5的五个数里取两个;取法有1025=C 种;故所求概率为121..1.14解：分别用321,,A A A 表示事件：1 取到两只黄球;2 取到两只白球;3 取到一只白球; 一只黄球.则,111666)(,33146628)(212242212281======C C A P C C A P 3316)()(1)(213=--=A P A P A P .. 1.15解：)())()(()())(())((B P B B AB P B P B B A P B B A P ⋃=⋂⋃=⋃ 由于0)(=B B P ;故5.0)()()()()())((=-==⋃B P B A P A P B P AB P B B A P1.16(1) );(B A P ⋃2);(B A P ⋃解：1;8.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P AB P B P A P B A P 2;6.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P B A P B P A P B A P 注意：因为5.0)(=B A P ;所以5.0)(1)(=-=B A P B A P ..1.17解：用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”3,2,1=i ;则i A 表示事件“第i 次取到的是次品”3,2,1=i ..11212115331421(),()()()20441938P A P A A P A P A A ====⨯= (1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下; 第三次取到次品”的概率为：3125()18P A A A =.. 2 事件“第三次才取到次品”的概率为：1231213121514535()()()()201918228P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯= （3）事件“第三次取到次品”的概率为：41 此题要注意区分事件1、2的区别;一个是求条件概率;一个是一般的概率..再例如;设有两个产品;一个为正品;一个为次品..用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”2,1=i ;则事件“在第一次取到正品的条件下; 第二次取到次品”的概率为：1)(12=A A P ；而事件“第二次才取到次品”的概率为：21)()()(12121==A A P A P A A P ..区别是显然的..1.18..解：用)2,1,0(=i A i 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i ”..用B 表示事件“从第二箱中取到的是次品”..则211212122201222214141466241(),(),(),919191C C C C P A P A P A C C C ⨯====== 01()12P B A =;12()12P B A =;23()12P B A =;根据全概率公式;有：283)()()()()()()(221100=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P1.19解：设)3,2,1(=i A i 表示事件“所用小麦种子为i 等种子”; B 表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”..则123()0.92,()0.05,()0.03,P A P A P A ===1()0.5P B A =;2()0.15P B A =;3()0.1P B A =;根据全概率公式;有：4705.0)()()()()()()(332211=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P1.20解：用B 表示色盲;A 表示男性;则A 表示女性;由已知条件;显然有：,025.0)(,05.0)(,49.0)(,51.0)(====A B P A B P A P A P 因此：根据贝叶斯公式;所求概率为：151102)()()()()()()()()()()()(=+=+==A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P1.21解：用B 表示对试验呈阳性反应;A 表示癌症患者;则A 表示非癌症患者;显然有：,01.0)(,95.0)(,995.0)(,005.0)(====A B P A B P A P A P因此根据贝叶斯公式;所求概率为：29495)()()()()()()()()()()()(=+=+==A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P1.221 求该批产品的合格率;2 从该10 箱中任取一箱; 再从这箱中任取一件; 若此件产品为合格品; 问此件产品由甲、 乙、丙三厂生产的概率各是多少解：设;},{},{},{321产品为丙厂生产产品为乙厂生产产品为甲厂生产===B B B }{产品为合格品=A ;则（1）根据全概率公式;94.0)()()()()()()(332211=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P ;该批产品的合格率为0.94.（2）根据贝叶斯公式;9419)()()()()()()()()(332211111=++=B A P B P B A P B P B A P B P B A P B P A B P 同理可以求得4724)(,9427)(32==A B P A B P ;因此;从该10 箱中任取一箱; 再从这箱中任取一件; 若此件产品为合格品; 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：4724,9427,9419.. 1.23解：记A ={目标被击中};则994.0)7.01)(8.01)(9.01(1)(1)(=----=-=A P A P1.24解：记4A ={四次独立试验;事件A 至少发生一次};4A ={四次独立试验;事件A 一次也不发生}..而5904.0)(4=A P ;因此4096.0)()()(1)(444===-=A P A A A A P A P A P ..所以2.08.01)(,8.0)(1=-==A P A P三次独立试验中; 事件A 发生一次的概率为：384.064.02.03))(1)((213=⨯⨯=-A P A P C ..。
概率论与数理统计（第三版）课后答案习题第四章随机变量的数字特征1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产1000件产品所出的次品数分别用ξ，η ξ 0 1 2 3 η 0 1 2 p 0.7 0.1 0.1 0.1 p 0.5 0.3 0.2 解：因为E ξ=0?0.7+1?0.1+2?0.1+3?0.1=0.6;E η=0?0.5+1?0.3+2?0.2=0.7。
故就平均来说，甲机床要优于乙机床。
2. 连续型随机变量ξ的概率密度为f x kx x k a a()(,)=<<>??0100其它又知E ξ=0.75，求k , a 之值。
解：首先由密度函数性质知11,1,1)(=+∴==??∞+∞-∞+∞-a kdx kx dx x f a 即；又E ξ=0.75，即有 75.02,1,75.0)(1=+∴==??∞+∞-+∞+∞-a k dx kx dx x xf a 即；由上述两式可求得k =3, a =2。
3.已知随机变量ξ的分布律为ξ -1 0 2 3 p 1/8 1/4 3/8 1/4求解：E ξ=(-1)?(1/8)+0?(1/4)+2?(3/8)+3?(1/4)=11/8; E ξ2=(-1)2?(1/8)+02?(1/4)+22?(3/8)+32?(1/4)=31/8;E (1-ξ)2=(1-(-1))2?(1/8)+(1-0)2?(1/4)+(1-2)2?(3/8)+(1-3)2?(1/4)=17/8 或者， E (1-ξ)2=E (1-2ξ+ξ2)=1- (E 2ξ)+E ξ2=17/8。
4. 若ξ的概率密度为f x e x ()||=-12。
求(1)E ξ，(2)E ξ2 。
解：(1)dx xe E x ?∞∞--=||21ξ中因e -|x |为偶函数，x 为奇函数，故x e -|x |为奇函数，且积分区间关于原点对称，该积分又绝对收敛，事实上+∞<=Γ===∞+--∞∞-∞∞-1)2(||21)(||0||dx xe dx e x dx x f x xx故E ξ=0。
第一章 随机事件1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{22,3,4,,12Ω= ；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{4,15, ,1,2,3,4,5.;i j i j i j Ω=≤<≤=(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T 1, 最高气温不高于T 2); 解：用x 表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： y ()}{61,x y T x y T Ω=≤<≤2； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{702x x Ω=<<；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{8,0,0,x y x y x y l Ω=>>+=。
1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B ；A ⋃(3) A,B,C 中至少有一个发生; CB ；A ⋃⋃(4) A,B,C 中恰有一个发生;CB AC B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC ；AC AB ⋃⋃(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃或AB AC BC ⋃⋃；(7) A,B,C 中至多有两个发生;ABC ； (8)A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
第六章 数理统计的基本概念1. 解（1） 因为总体分布函数为1,0)1(}{1=-==-k p p k X P kk于是1,0)1(}{1=-==-i x x i i x p p x X P ii样本),,,(21n X X X 的联合分布函数为:ni x p px X P x X P x X P x X x X x X P i x n x n n n n ni ini i,,2,1,1,0)1(}{}{}{},,,{1122112211 ==∑-∑==⋅⋅=⋅=======-(2) 因为总体概率密度函数为：⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x λλ 所以，每一个样本的密度函数亦为：ni x x e x f i i x i i ,,2,1;0,00,)( =⎩⎨⎧≤>=-λλ故样本),,,(21n X X X 的联合密度函数为：n i x x e x f x f x f x x x f i i x n n n ni i,,2,1;0,00,)()()(),,,(12121 =⎪⎩⎪⎨⎧≤>∑=⋅⋅⋅==-λλ（3）同上，因为总体概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,00,1)(θθx x f 所以，样本),,,(21n X X X 的联合密度函数为：ni x x f x x x f i n ni i n ,,2,1;,00,)(),,,(121 =⎩⎨⎧<<==-=∏其它θθ2．（1）+∞<<∞-=--x ex f x ,21)(222)(σμσπ3,2,1;,)2(1),(3122)(2133,21=+∞<<∞-∑=∴=--i x ex x x f i x i i μσσπ又，由于)3,(~2σμN X所以，X 的概率密度函数为：+∞<<∞-=--x ex f x ,23)(222)(3σμσπ3. 解:由所给条件，直接分为五组.取 5.174,5.159max min ==x x组距355.1595.174=-=,计算各组相应的频数j n ,频率5,,2,1;3 ==j n f j j 及频率密度5,,2,1;3==j f y j j作图（略） 4. 略5. 解（1） )1()(,)(),1(~p p X D p X E p B X -==∴ 故由第4节定理1知)1()()(,)1()()(,)()(2p p X D S E n p p n X D X D p X E X E -==-====（2）同理21)(,1)(λλ==X D X E2221)(,1)(,1)(λλλ===∴S E n X D X E（3）12)(,2)(2θθ==X D X E12)(,12)(,2)(222θθθ===∴S E nX D X E6. 略。
