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〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若 , 则 叫做以 为底 的对数, 记作 , 其中 叫做底数, 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: .（2）几个重要的对数恒等式: , , .（3）常用对数与自然对数：常用对数： , 即 ；自然对数： , 即 （其中 …）. （4）对数的运算性质 如果 , 那么 ①加法: ②减法: ③数乘:④log a N a N = ⑤log log (0,)bn a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数 的定义域为 , 值域为 , 从式子 中解出 , 得式子 . 如果对于 在 中的任何一个值, 通过式子 , 在 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 表示 是 的函数, 函数 叫做函数 的反函数, 记作 , 习惯上改写成 .（7）反函数的求法①确定反函数的定义域, 即原函数的值域；②从原函数式 中反解出 ； ③将 改写成 , 并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称.②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域. ③若 在原函数 的图象上, 则 在反函数 的图象上. ④一般地, 函数 要有反函数则它必须为单调函数．一、选择题:1. 的值是（ ）A.B. 1C. D. 22. 已知x= +1,则log4(x3－x －6)等于 （ ） A.23 B.45 C.0 D.21 3. 已知lg2=a, lg3=b, 则 等于 （ ） A.B.C. D. 4．已知2lg(x －2y)=lgx ＋lgy, 则 的值为（ ）A. 1B. 4C. 1或4D. 4或-15.函数y=)12(log 21 x 的定义域为（ ） A. ( , ＋∞) B. ［1, ＋∞ C. ( , 1 D. (－∞, 1) 6.已知f(ex)=x, 则f(5)等于 （ ）A. e5B. 5eC. ln5D. log5e7. 若 的图像是 （ ）A B C D8. 设集合等于（）A. B.C. D.9. 函数的反函数为（）A. B.C. D.二、填空题:10. 计算: log2.56.25＋lg ＋ln ＋=11. 函数y=log4(x－1)2(x＜1的反函数为__________ .12. 函数y=(log x)2－log x2＋5在2≤x≤4时的值域为______.三、解答题:13．已知y=loga(2－ax)在区间{0, 1}上是x的减函数, 求a的取值范围．14. 已知函数f(x)=lg[(a2－1) x2＋(a＋1)x＋1], 若f(x)的定义域为R, 求实数a的取值范围.15. 已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb, f(－1)=－2, 当x∈R时f(x)≥2x恒成立, 求实数a的值, 并求此时f(x)的最小值？一、选择题: ABBCBCDCBAAB13. , 14.y=1－2x(x∈R), 15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8, 16.17.解析: 因为a是底, 所以其必须满足a>0 且a不等于1a>0所以2-ax为减函数, 要是Y=loga(2-ax)为减函数, 则Y=loga（Z）为增函数, 得a>1又知减函数区间为[0,1], a必须满足2-a*0>0 2-a*1>0 即得a<2综上所述, 啊的取值范围是（1,2）18、解: 依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立.当a2－1≠0时, 其充要条件是: 解得a＜－1或a＞又a=－1, f(x)=0满足题意, a=1, 不合题意.所以a的取值范围是: (－∞, －1]∪( , ＋∞)19、解析：由f(－1)=－2, 得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2, 解之lga－lgb=1,∴=10, a=10b．又由x∈R, f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x, 即x2＋xlga＋lgb≥0, 对x∈R恒成立, 由Δ=lg2a－4lgb≤0, 整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0即(lgb－1)2≤0, 只有lgb=1, 不等式成立．即b=10, ∴a=100．∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3当x=－2时, f(x)min=－3．。
高一数学对数函数题型及解题技巧
随着高一数学的学习深入，对数函数也成为了学习的重点内容之一。
下面我们来了解一下对数函数的题型和解题技巧。
一、对数函数的定义和性质
对数函数是指形如y=loga(x)的函数，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。
对数函数有以下性质：
1. 底数a必须大于0且不等于1.
2. 若a>1，则y随着x的增大而增大；若0<a<1，则y随着x的增大而减小。
3. 对于任何正数x，loga(a^x)=x，a^loga(x)=x。
二、对数函数的题型及解题技巧
1. 求解对数方程
对数方程通常形如loga(x)=b，其解法为将等式两边用底数a进行指数运算，得到x=a^b。
2. 求解不等式
求解不等式的关键是找到等式左右两边的交点。
对于对数函数的不等式，需要注意底数的大小关系。
3. 求解复合函数
复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，形如
f(x)=g(loga(x))。
解题时需要根据函数的定义和性质进行推导。
4. 求解导数和极值
对数函数的导数可以通过链式法则求解，即f'(x)=g'(u)*u'(x)，
其中g(u)=loga(u)，u(x)为x的函数。
极值的求解需要将导数等于0，并根据函数的定义和性质进行判断。
总之，对数函数的掌握需要不断的练习和思考，希望以上内容对你有所启发。
4.4对数函数（基础知识+基本题型）知识点一 对数函数的概念一般地，我们把函数log (0,a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,.+∞辨析 (1)对数函数的特征：①log a x 的系数是1；②log a x 的底数是不等于1的正数； ③log a x 的真数仅含自变量.x(2)求对数函数的定义域时，应注意：①对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；②对含有字母的式子要分类讨论；③使式子符合实际背景.知识点二 对数函数的图象和性质1.对数函数log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象和性质()0,+∞.R 2.对数函数的图象与性质的对应关系①这些图象都位于y 轴右方 ①x 可取任意正数，函数值.y R ∈ ②这些图象都经过点(1,0)②无论a 为任何正数，总有log 10a =③图象可以分为两类：一类图象在区间(0,1)内纵坐标都小于0，在区间()1,+∞内的纵坐标都大于0；另一类图象正好相反③当1a >时01log 0,1log 0;a a x x x x <<⇒<⎧⎨>⇒>⎩ 当01a <<时01log 0,1log 0a a x x x x <<⇒>⎧⎨>⇒>⎩ ④自左向右看，当1a >时，图象逐渐上升；当01a <<时，图象逐渐下降 ④当1a >时，函数log a y x =是增函数； 当01a <<时，函数log a y x =是减函数3.底数对函数图象的影响(1)函数log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象无限地靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交；(2)在同一平面直角坐标系中，log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象与1log (0,ay x a =>且1)a ≠的图象关于x 轴对称.(3)对数函数单调性的记忆口诀：对数增减有思路，函数图象看底数；底数要求大于0，但等于1却不行； 底数若是大于1，函数从左往右增；底数0到1之间，函数从左往右减； 无论函数增和减，图象都过点(1,0).在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)知识点三 指数函数与对数函数的关系指数函数对数函数解析式()10≠>=a a a y x 且)10(log ≠>=a a x y a 且R ()+∞,0①一般地，函数()y f x a b =±±（a 、b 为正数）的图象可由函数()y f x =的图象变换得到。
对数函数知识点1．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称 为 ，记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. ① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2) 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ． (3) 运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ (n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)⑤ log mna a nb b m = .2．对数函数：① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴)；4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ③ 函数值的变化特征：例1 计算：（1）)32(log32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.例2 比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556; （2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与 （1）证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上； （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.1解：（1）方法一 利用对数定义求值 设)32(log32-+=x, 则(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二 利用对数的运算性质求解)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1| =lg 2+(1-lg 2)=1. （3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245 =21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21 (2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5 =21lg(2×5)= 21lg10=21. 2解：（1）∵log 332＜log 31=0, 而log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞2.1log 1.1log 7.00.7>, ∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二 作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象. 如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<, ∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c .3解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+∞）上为减函数，∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立， 只要-log a 3≥1成立即可， ∴log a 3≤-1=log a a1,即a 1≤3,∴31≤a ＜1. 综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）.例4（1）证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2, 由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2, OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =, OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上. （2）解： 由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31, 代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83).训练1：化简求值. （1）log 2487+log 212-21log 242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是 （ ）A.log a bb bba1loglog 1<< B.bbb baa1log 1log log << C.b bb aba1log 1log log << D.b bb aablog 1log 1log <<训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞, 1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.训练4：已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x). （1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.1解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++2解： C3解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a , 由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a 对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数， 所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.4解：（1）f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x 由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］ =log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p), ①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时， 0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p , ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时， ∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1). 综合①②可知： 当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］; 当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)). 1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. 4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.。
对数函数考点分析及经典例题讲解1． 对数函数的定义：函数 x y log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域是 (0,)+∞a 的取值 0＜a ＜1a ＞1定义域(0,)+∞图 象图像特征在y 轴的右侧，过定点（1，0）即x =1时，y =0当x>0且x →0时,图象趋近于 y 轴正半轴. 当x>0且x →0时，图象趋近于 y 轴负半轴.值域 R性 质 过定点（1，0），在（0，+∞）上是减函数在（0，+∞）上是增函数 函数值的变化规律当0<x<1时，y ∈(0,+∞)当x=1 时，y=0; 当x>1 时, y<0.当0<x<1时，y<0; 当x=1时， y=0 ; 当x>1时， y>0 .3.对数函数y=log a x(a>0,且a ≠1)与指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)互为反函数 .它们的图象关于x y =对称.案例分析： 考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 23.4，log 23.8； （2）log 0.51.8，log 0.52.1；（3）log a 5.1，log a 5.9； （4）log 75，log 67.(5)； (6)6log ,7log 768.0log ,log 23π变式训练：1、已知函数x y 2log =，则当1>x 时，∈y ；当10<<x 时，∈y .考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =例3、选择题：若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<m<n<1D 、0<n<m<1例4 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？1、函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增 2、方程)13lg()3lg(222+-=x x 的解集是 ．3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．4、若0<)12(log )1(log 22-<+a a ，则实数a 的取值范围是 .5、方程()lg 3x +-()lg 3x -＝()lg 1x -的解是 ．考点三、求值域例1、（1）、12);4x -(-x log y 221+=（2）、3);-2x -(x log y 221=（3）y=log a (a-a x)(a>1).1、求下列函数的定义域、值域：⑴ ⑵⑶⑷41212-=--x y )52(log 22++=x x y )54(log 231++-=x x y )(log 2x x y a --=)10(<<a2、求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的定义域和值域．3、已知x 满足条件09log 9)(log 221221≤++x x ，求函数)4(log )3(log )(22xx x f ⋅=的最大值．4、已知)23lg(lg )23lg(2++=-x x x ，求222log x 的值。
对数与对数函数知识点与例题讲解知识梳理： 一、对数1、定义：一般地，如果()0,1x a N a a =>≠，那么实数x 叫做以a 为底N 的对数，记作a x log N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数.2、特殊对数⑴通常以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lgN ； ⑵通常以e 为底的对数叫做自然对数，并把e log N 记为lnN . 3、对数的运算⑴运算性质：如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：①()a a a log MN log M log N =+；②a a a Mlog log M log N N=-；③()n a a log M nlog M n R =∈；④(),0m na a n log M log M n R m m=∈≠；⑤1a b log b log a =；⑥a log N a N =.⑵换底公式：c a c log blog b log a=.二、对数函数1、定义：一般地，函数()01a y log x a a =>≠，且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞.2、图像和性质1>a10<<a图像性质定义域： 值域：过定点 ，即当1=x 时，0=y在R 上是在R 上是非奇非偶函数3、同底的指数函数xa y =与对数函数x y a log =互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称.【课前小测】1、2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭写成对数式，正确的是（ ）A 、9123log =- B 、1392log =- C 、()1329log -= D 、()9123log -= 2、函数()0,1a y log x a a =>≠的图像过定点（ ）A 、()1,1B 、()1,0C 、()0,1D 、()0,0 3、49343log 等于（ ） A 、7 B 、2 C 、23 D 、324、函数()()31f x lg x =+的定义域是（ ）A 、1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B 、()0,+∞ C 、(),0-∞ D 、1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5、函数()21f x log x =+的定义域是（ ）A 、(),-∞+∞B 、()0,+∞C 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D 、10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦考点一、化简和求值例1、⑴552log 10log 0.25+=（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2 ⑵计算：3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 解：原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=． 变式、⑴（辽宁卷文10）设25abm +=，且112a b+=，则m =（ ） A 、10 B 、10 C 、20 D 、100 ⑵已知32a=，用a 表示33log 4log 6-；⑶已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3．考点二、比较大小例2、较下列比较下列各组数中两个值的大小：⑴6log 7，7log 6； ⑵3log π，2log 0.8； ⑶0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； ⑷5log 3，6log 3，7log 3． 答案：⑴>；⑵>；⑶>，>；⑷>，>．变式、⑴已知函数()|lg |f x x =，若11a b c>>>，则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为 ；a c b <<⑵已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小． 解：∵log 4log 4m n <， ∴4411log log m n <，当1m >，1n >时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴1m n >>．当01m <<，01n <<时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴01n m <<<．当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <， ∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<．综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<． 考点三、解与对数相关的不等式 例3、⑴解不等式2)1(log 3≥--x x ．解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-2)3(11301x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<-<>-2)3(113001x x x x解之得：4＜x ≤5 ∴原不等式的解集为{x |4＜x ≤5}⑵解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a ． 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a ＞1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x（其实中间一个不等式可省,为什么？让学生思考）当0＜a ＜1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴当a ＞1时不等式的解集为221<<x ；当0＜a ＜1时不等式的解集为42<<x ⑶解不等式24log ax x xxa > 解：两边取以a 为底的对数：当0<a <1时原不等式化为：2log 29)(log 2-<x x a a ∴0)1log 2)(4(log <--x x a a ，4log 21<<x a ， ∴a x a <<4 当a >1时原不等式化为：2log 29)(log 2->x x a a ∴0)1log 2)(4(log >--x x a a ，∴ 21log 4log <>x x a a 或 ，∴a x a x <<>04或 ∴原不等式的解集为}10,|{4<<<<a a x a x 或}1,0|{4><<>a a x a x x 或考点四、对数型函数的性质 ① 定义域、值域例4、⑴函数2()lg(31)f x x ++的定义域是（ ） A 、1(,)3-+∞ B 、1(,1)3- C 、11(,)33- D 、1(,)3-∞-⑵函数(21)log x y -= ）A 、()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B 、()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭⑶函数()()2log 31xf x =+的值域为（ ）A 、()0,+∞B 、[)0,+∞C 、()1,+∞D 、[)1,+∞ 变式、求函数y =的定义域.② 单调性、奇偶性例5、⑴函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________． 解： 令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u . ∵y ＝log 3u是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)．⑵设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是（ ） A 、(－∞，0) B 、(0，＋∞) C 、(－∞，log a 3)D 、(log a 3，＋∞)解：由f (x )＜0，即a 2x －2a x －2＞1，整理得(a x －3)(a x ＋1)＞0，则a x ＞3.∴x ＜log a 3. ⑶函数y ＝log 22－x2＋x 的图象（ ）A 、关于原点对称B 、关于直线y ＝－x 对称C 、关于y 轴对称D 、关于直线y ＝x 对称解：∵f (x )＝log 22－x 2＋x ，∴f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x2＋x∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．故选A .变式、⑴若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ ） A 、),21(+∞ B 、),1(+∞ C 、)1,21( D 、)21,0(⑵若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是 ．⑶若函数)2(log )(22a x x x f a ++= 是奇函数，则a = ．③综合应用例6、设函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫1－ax ，其中0＜a ＜1. ⑴证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； ⑵解不等式f (x )＞1.解析：⑴证明：设0＜a ＜x 1＜x 2，g (x )＝1－ax ，则g (x 1)－g (x 2)＝1－a x 1－1＋a x 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2＜0，∴g (x 1)＜g (x 2)．又∵0＜a ＜1，∴f (x 1)＞f (x 2)． ∴f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．⑵∵log a ⎝⎛⎭⎫1－a x ＞1，∴0＜1－ax ＜a ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＜a 1－a ，∴不等式的解集为：{x |a ＜x ＜a1－a}．变式、已知函数22()log (32)f x x x =+-.⑴求函数()f x 的定义域；⑵求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数；⑶求函数()f x 的值域. 随堂巩固1、6632log log +等于（ ）A 、6B 、5C 、1D 、65log 2、在()23a b log -=中，实数a 的取值范围是（ ）A 、2a <B 、2a >C 、23,3a a <<>或D 、3a > 3、下列格式中成立的是（ ）A 、22a a log b log b = B 、a a a log xy log x log y =+C 、()()()a a a log xy log x log y =•D 、a a a xlog log y log x y=- 4、213alog > ，则a 的取值范围是（ ） A 、312a <<B 、30112a a <<<<或C 、213a <<D 、2013a a <<>或 5、已知ab M =()0,0,1a b M >>≠，且log M b x =，则log M a 等于（ ） A 、1x - B 、1x + C 、1xD 、1x - 6、(08山东济宁)已知8log 9a =，2log 5b =，则lg 3等于（ ） A 、1ab - B 、()321a b - C 、()321a b + D 、()312a b -7、已知函数()()32f x lg x =+的定义域为F ，函数()()()12g x lg x lg x =-+-的定义域为G ，那么（ ）A 、G F ≠⊂B 、G F =C 、F G ⊆D 、FG =∅8、(08山东)已知函数()2300x x f x log x x ⎧≤=⎨>⎩，，，12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A 、1- B、log CD 、139、若()6430log log log x =⎡⎤⎣⎦，则12x -等于（ ）A 、9B 、91C 、3D 、3310、若M =⋅32log 4log 3log 3132 ，则M 的值是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 11、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、5a -C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 12、已知偶函数()x f 在[]4,2上单调递减,那么)8(log 21f 与)(π-f 的大小关系是（ ）A 、)8(log 21f >)(π-f B 、)8(log 21f =)(π-fC 、)8(log 21f < )(π-f D 、不能确定13、若312log 19x-=，则x = ； 14、已知：lg 21.3a =，则lg0.213=___________；15、()2211log log 1a a x x -->+，则a 的取值范围为________________； 16、比较大小⑴8.1log 3 7.2log 3；⑵5log 6 7log 6； 17、若14log 3=x ，则=+-xx44___________；18、已知log 1a x =，log 2b x =，log 4c x =，则log abc x =____________； 19、(08山东) 知()lg lg 2lg 2x y x y +=-，求的值.20、⑴已知a =2lg ，b =3lg ，试用b a 、表示5log 12；⑵已知a =3log 2，b =7log 3，试用b a 、表示56log 14.21、已知())lgf x x =.⑴求()f x 的定义域； ⑵求证：()f x 是奇函数.22、解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴ 当a >1时不等式的解集为221<<x ； 当0<a <1时不等式的解集为42<<x课后巩固1、()0,1,0log >≠>=N b b a N b 对应的指数式是（ ）A 、N a b =B 、N b a =C 、b a N= D 、a b N =2、设255lg =x，则x 的值等于（ ）A 、10B 、0.01C 、100D 、1000 3、()[]0log log log 234=x ，那么21-x等于（ ）A 、2B 、21C 、4D 、414、化简9log 8log 5log 4log 8543•••的结果是（ ） A 、1 B 、23C 、2D 、3 5、函数()1log 21-=x y 的定义域是（ ）A 、()+∞,1B 、()2,∞-C 、()+∞,2D 、(]2,1 6、若09log 9log <<n m ，那么n m ,满足的条件是（ ）A 、1>>n mB 、1>>m nC 、10<<<m nD 、10<<<n m7、若132log <a ，则a 的取值范围是（ ）A 、()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,132,0B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,32 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,3232,08、函数()176log 221+-=x x y 的值域是（ ）A 、RB 、[)+∞,8C 、()3,-∞-D 、[)+∞,39、函数⎪⎭⎫⎝⎛--=112lg x y 的图像关于（ ） A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、直线x y =对称 10、图中的曲线是x y a log =的图像，已知a 的值为51,103,34,2，则相应曲线4321,,,C C C C 的a 依次为（ ）A 、103,51,34,2B 、51,103,34,2C 、2,34,103,51D 、51,103,2,3411、比较两个对数值的大小：7ln 12ln ；7.0log 5.0 8.0log 5.0. 12、计算()=•+50lg 2lg 5lg 2.13、函数()()x xx f -+=1lg2是 函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.14、函数xa y =的反函数的图像经过点()2,9，则a 的值为 . 15、已知函数()()1log +=x x f a ，()()x x g a -=1log ()10≠>a a ，且 ⑴求函数()()x g x f +的定义域；（10分） ⑵判断函数()()x g x f +的奇偶性.（10分）16、已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。
4.4 对数函数1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．4．对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．5．对数型复合函数的值域对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．题型一 对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：①223log y x =；①3log (1)y x =-；①(1)log x y x +=；①log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解:（1）①①不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ； ①不是对数函数，因为对数的底数不是常数；①是对数函数．（2）由题可知：函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数所以23201a a a -+=⇒=或2a =，又0a >且1a ≠所以2a = 跟踪练习1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；①y ＝log a x (a ①R )；①y ＝log 8x ；①y ＝ln x ；①y ＝log x (x ＋2)；①y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数，故①①为对数函数，所以共有2个. 2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①log 2x y =；①()log a y x a =∈R ；①8log y x =；①ln y x =；①()log 2x y x =+；①42log y x =；①()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数； 由于①中底数a ∈R 不能保证0a >，且1a ≠，∴①不是对数函数； 由于①①的真数分别为()2x +，()1x +，∴①①也不是对数函数； 由于①中4log x 的系数为2，∴①也不是对数函数； 只有①①符合对数函数的定义.3．（全国高一课时练习）若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，a =_________.【解析】由对数函数的定义可知，245001a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得5a =．题型二 对数函数的解析式或函数值例2（1）（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x（2）（全国高一课前预习）设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2B ．2-C ．12-D ．12【解析】（1）设函数解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)， 所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x . （2）因为()log a f x x =（0a >且1a ≠），1(2)2f =，所以1(2)log 22a f ==，即122a =，解得4a =， 所以4()log f x x =，所以4111log 222f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.跟踪练习1．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（ ） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定【解析】设函数为()log 0,1a y x a a =>≠，依题可知，2log 4a =，解得2a =，所以该对数函数的解析式为2log y x =．2．若函数()()lo 1g a f x x =+(0,1)a a >≠的图像过点(7,3)，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．22D ．12【解析】由题, ()373log 182a a a +⇒=⇒==.题型三 对数函数的定义域例3（1）函数()ln 14x f x x-=-的定义域为（ ）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4（2）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ） A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[3,9]（3）若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2D ．无法确定【解析】（1）对于函数()ln 14x f x x -=-1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 14x f x x-=-的定义域为()1,4.（2）由[]1,1x ∈-，得1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3,9x ⎤∈⎦． （3）函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 跟踪练习1．函数()00.5log 21y x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，只需()0.5log 210x -≠，即210211x x ->⎧⎨-≠⎩，解得112x <<或1x >． 2．函数3()log (21)1xf x x x =--的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)2【解析】由已知得1021>0x x ->⎧⎨-⎩，解得112x <<，所以函数()f x 的定义域为112⎛⎫⎪⎝⎭， 3．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，【解析】因为函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，所以112x ≤+≤，所以1lg 2x ≤≤， 解得：10100x ≤≤，所以(lg )f x 的定义域为[10 100]，. 4.求下列函数的定义域 （1）2112y x x=+-- （2）函数221()x f x --=（3）20()(54)lg(43)x f x x x =+-+ 【解析】（1）若要使函数有意义，则22010x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩，解得1≥x 或1x ≤-且2x ≠±，所以该函数的定义域为][)()(,2)(2,11,22,-∞-⋃--⋃⋃+∞；（2）若要使函数有意义，则2210log (1)010x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩，解得3x ≥，所以该函数的定义域为[)3,+∞；（3）若要使函数有意义，则lg(43)0430540x x x +≠⎧⎪+>⎨⎪-≠⎩，解得34x >-且12x ≠-，45x ≠，所以该函数的定义域为31144,,,42255⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.题型四 对数函数的定点例4函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--． 跟踪练习1．函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-【解析】对于函数()()log 310,1a y x a a =->≠，令311x -=，可得23x =，则log 10a y ==， 因此，函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.2．函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0- B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,0【解析】() log 1a y x =-，则当11x -=，即2x =时，0y =是与a 的值无关的定值，故函数()log 1a y x =-的图形必过的点是()20,.3．（湖北高一开学考试）已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-【解析】函数()log 32a y a =-+中，令31x -=，解得4x =，此时log 122a y =+=；所以函数y 的图象恒过定点()4,2P ，又点P 在幂函数()my f x x ==的图象上，所以42m =，解得0.5m =；所以()0.5f x x =，所以()()()()lg 4lg 25lg 425lg101f f f f +=⋅==⎡⎤⎣⎦．题型五 对数函数的值域（最值）例5（1）已知184x ≤≤，则函数2()log f x x =的值域是 。
专题4.7 对数函数-重难点题型精讲1．对数函数的定义(1)对数函数的定义：一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ).(2)判断一个函数是对数函数的依据：①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y.2．对数函数的图象与性质对数函数y=(a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示：3．底数a对对数函数图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a >1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a <1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y =与 (a >0,且a ≠1)的图象关于x 轴对称.(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论是a >1还是0<a <1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.①上下比较：在直线x =1的右侧,a >1时,a 越大,图象越靠近x 轴;0<a <1时,a 越小,图象越靠近x 轴; ②左右比较：比较图象与直线y =1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.4．反函数比较幂值大小的方法：【题型1 对数（型）函数的定义域与值域】 【方法点拨】根据对数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例1】（2022·广东·高一阶段练习）函数y ＝√lgx ＋lg(5－3x )的定义域是（ ） A ．[0,53)B ．[1,53)C ．[0,53]D ．[1,53]【解题思路】根据对数函数、根式的性质列不等式求函数定义域. 【解答过程】由题设，{x >0lgx ≥05−3x >0，可得1≤x <53.所以函数定义域为[1,53).故选：B.【变式1-1】（2022·浙江·高二学业考试）函数f(x)=log2(x2−2x)的定义域为（）A．(−∞,0)B．(2,+∞)C．(0,2)D．(−∞,0)∪(2,+∞)【解题思路】根据对数的真数大于零，得到一元二次不等式，即可求解.【解答过程】解：由题可知x2−2x>0，即x(x−2)>0，解得x<0或x>2.故函数f(x)=log2(x2−2x)的定义域为(−∞,0)∪(2,+∞).故选：D.【变式1-2】（2022·山西运城·高二期末）已知函数f(x)=lg(x2+1),x∈[−1,3]，则f(x)的值域为（）A．[0,+∞)B．[0,1)C．[lg2,1]D．[0,1]【解题思路】首先求出x2+1的范围，然后可得答案.【解答过程】因为x∈[−1,3]，所以x2+1∈[1,10]，所以f(x)=lg(x2+1)∈[0,1]，故选：D.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）函数y=ln(x−2)+1的值域为（）A．R B．(1,+∞)C．[1,+∞)D．(2,+∞)【解题思路】由y=lnx的值域为R可得y=ln(x−2)+1的值域为R.【解答过程】由对数函数y=lnx的值域为R，向右平移2个单位得函数y1=ln(x−2)的值域为R，则y=ln(x−2)+1的值域为R，故选：A.【题型2 对数式的大小比较】【方法点拨】比较对数值的大小，主要依据对数函数的单调性，同底时可直接利用相应的对数函数比较大小；不同底时，可借助中间量进行比较.【例2】（2022·黑龙江·高三开学考试）已知a=log32，b=log52，c=3a−1，则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a【解题思路】根据对数恒等式，运算法则以及对数函数的单调性即可判断．【解答过程】因为c=3a-1=13×3log32=23，b=log52<log5√5=12，a=log32>log3√3=12，而23<32⇒2<323，a=log32<log3323=23，所以b<a<c．故选：B．【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知a=40.1，b=log32，c=log0.32，则（）A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】根据指数函数、对数函数的单调性分别求出a，b，c的取值范围，即可求解.【解答过程】因为a=40.1>40=1，0=log31<b=log32<log33=1，c=log0.32<log0.31=0，所以a>b>c.故选：B.【变式2-2】（2022·河南·高三阶段练习（理））若a=0.50.3，b=log0.53，c=log0.30.2，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【解答过程】因为0<a=0.50.3<0.50=1，b=log0.53<0，c=log0.30.2>log0.30.3=1，所以b<a<c.故选：D.【变式2-3】（2022·贵州·高三阶段练习（理））设a=log53，b=log0.30.2，c=0.543，则a，b，c的大小关系为（）A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b【解题思路】根据指对数的性质判断大小关系即可.=2−1>c=0.543=2−43，【解答过程】由b=log0.30.2>1>a=log53>log5√5=12所以c<a<b.故选：D.【题型3 解对数不等式】【方法点拨】对数不等式的三种考查类型：(1)形如m>n的不等式，借助y=x的单调性求解.(2)形如m>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b=)，再借助y=x的单调性求解.(3)形如>(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=log4(x−2)−log4(a−x)，f（3）=0，则不等式f(2x−5)≤0的解集为（）A．(72,4]B．（3，4）C．（2，5）D．(92,4]【解题思路】根据f（3）=0，可得方程f(3)=log4(3−2)−log4(a−3)=0，进而解得a=4，再列出不等式f(2x−5)≤0，可得log4(2x−7)−log4(9−2x)≤0，根据对数函数的单调性和定义域可得：{2x−7>09−2x>02x−7≤9−2x，可得答案.【解答过程】由题意得，f(3)=log4(3−2)−log4(a−3)=0，解得a=4，所以f(x)=log4(x−2)−log4(4−x)，所以f(2x−5)=log4(2x−7)−log4(9−2x).因为f(2x−5)≤0，所以log4(2x−7)−log4(9−2x)≤0，即log4(2x−7)≤log4(9−2x)，从而{2x−7>09−2x>02x−7≤9−2x，解得72<x≤4.故不等式f(2x−5)≤0的解集为(72,4].故选：A.【变式3-1】（2022·云南楚雄·高二期末）已知函数f(x)的图象与g(x)=log14x的图象关于x轴对称，则不等式f(3x)<f(2x+1)的解集为（）A．(0,+∞)B．(0,1)C．(0,12)D．(−∞,1)【解题思路】由f(x)与g(x)关于x轴对称得到f(x)的解析式，又由f(x)的单调性得到不等式，从而解出范围.【解答过程】已知函数f (x )的图象与g (x )=log 14x 的图象关于x 轴对称，所以f (x )=−g (x )=−log 14x =log 4x ，又 f (x )=log 4x 是(0,+∞)上的增函数， 所以0<3x <2x +1，解得0<x <1. 故选：B.【变式3-2】（2022·四川自贡·高一期末）已知f (x )是定义在R 上的奇函数，在区间[0,+∞)上为增函数，则不等式f (log 12x)>0的解集为（ ）A ．(−∞,1)B ．(1,+∞)C ．(0,1)D ．(0,+∞)【解题思路】由奇函数知f(0)=0，再结合单调性及f (log 12x)>0得log 12x >0，解不等式即可.【解答过程】由题意知：f(0)=0，又f (x )在区间[0,+∞)上为增函数，当x >0时，f(x)>f(0)=0， 当x <0时，f(x)<0，由f (log 12x)>0可得log 12x >0，解得0<x <1.故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（ ）A ．(0,1100) B ．(1100,+∞) C ．(0,100) D ．(100,+∞)【解题思路】利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解. 【解答过程】因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)， 即f(lgx)>f (2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增， 所以f(x)在R 上单调递增， 所以lgx >2， 解得x >100. 故选：D.【题型4 对数函数的图象及应用】【方法点拨】①对数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象.②对数函数图象的应用：对于与对数函数、对数型函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而利用对数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.【例4】（2022·广东·高三阶段练习）函数y=|lg(x+1)|的图像是（）A．B．C．D．【解题思路】由函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数y=|lg(x+1)|的图象与x 轴的公共点是(0,0)，即可求解.【解答过程】由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到，函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0)，故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0)，即函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的公共点是(0,0)，显然四个选项只有A选项满足.故选：A.【变式4-1】（2022·浙江·高一期中）函数y=lg|x+1|的图像的大致形状是（）A．B．C．D．【解题思路】求解函数的零点，根据排除法判断即可【解答过程】求lg|x+1|=0可得x+1=1或x+1=−1，解得x=0或x=−2，排除BCD；故选：A.【变式4-2】（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数y=log a x，y=log b x，y=log c x，y= log d x的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（）A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c【解题思路】根据对数函数的图象性质即可求解.【解答过程】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．故选：C．【变式4-3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=log a(x−b)（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a>0，b<−1B．a>0，−1<b<0C ．0<a <1，b <−1D ．0<a <1，−1<b <0【解题思路】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【解答过程】因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数，所以0<a <1 又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x =1+b >0，即b >−1 又因为函数图象与y 轴有交点，所以b <0，所以−1<b <0， 故选：D.【题型5 对数型复合函数性质的应用】 【方法点拨】借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.【例5】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=log a (x +2)+log a (1−x )（a >0，且a ≠1）. (1)当a =2时，求f (x )的单调性.(2)是否存在实数a ，使得f (x )在[−1,34]上取得最大值2?若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）先求出函数的定义域，再利用换元法求解函数的单调区间，（2）令t =−x 2−x +2，则由−1≤x ≤34，得t =−(x +12)2+94的值域为[1116,94]，然后分0<a <1，a >1求函数的最大值，使其等于2，列方程可求出a 的值. 【解答过程】（1）由题意可得{x +2>0,1−x >0, 解得−2<x <1，即f (x )的定义域为(−2,1).当a =2时，f (x )=log 2(x +2)+log 2(1−x )=log 2(−x 2−x +2). 令t =−x 2−x +2（x ∈(−2,1)），则y =log 2t ， 对称轴为x =−12，则函数t =−x 2−x +2在(−2,−12)上单调递增，在[−12,1)上单调递减，因为y =log 2t 在定义域内递增，所以f (x )在(−2,−12)上单调递增，[−12,1)上单调递减. （2）f (x )=log a (x +2)+log a (1−x )=log a (−x 2−x +2)， 令t =−x 2−x +2， 因为−1≤x ≤34，所以t =−(x +12)2+94的值域为[1116,94].当0<a <1时，f (x )在[−1,34]上的最大值是log a1116，则log a 1116=2，即a 2=1116，解得a =√114； 当a >1时，f (x )在[−1,34]上的最大值是log a 94， 则log a 94=2，即a 2=94，解得a =32. 综上，a 的值为√114或32. 【变式5-1】（2022·甘肃·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=log 12(3−2x −x 2).(1)求该函数的定义域； (2)求该函数的单调区间及值域.【解题思路】（1）令3−2x −x 2>0，解不等式即可求得定义域；（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定f (x )的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得μ≤4，结合对数函数单调性可求得值域. 【解答过程】（1）由3−2x −x 2>0得：−3<x <1，∴f (x )的定义域为(−3,1). （2）令μ=−x 2−2x +3，∴μ在(−3,−1)上单调递增；在(−1,1)上单调递减； 又f (μ)=log 12μ在(0,+∞)上单调递减，∴f (x )的单调递增区间为(−1,1)；单调递减区间为(−3,−1)， ∵μ≤−(−1)2−2×(−1)+3=4，∴log 12μ≥log 124=−2，∴f (x )的值域为[−2,+∞).【变式5-2】（2022·海南·高一期末）已知函数f (x )=log 4(x +1)+log 4(3−x )． (1)求f (x )的单调区间及最大值．(2)设函数g (x )=log 4[(m +2)x +4]，若不等式f (x )≤g (x )在x ∈(0,3)上恒成立，求实数m 的取值范围． 【解题思路】（1）首先确定f (x )的定义域，将其整理为f (x )=log 4[−(x −1)2+4]，利用复合函数单调性的判断方法得到单调性，结合单调性可求得最值；（2）根据对数函数单调性可将恒成立不等式转化为x 2+mx +1≥0，采用分离变量法可得m ≥ℎ(x )=−(x +1x )，结合对勾函数单调性可求得ℎ(x )max ，由此可得结果.【解答过程】(1)由{x +1>03−x >0得：−1<x <3，∴f (x )的定义域为(−1,3)； f (x )=log 4(x +1)+log 4(3−x )=log 4(−x 2+2x +3)=log 4[−(x −1)2+4]，令t (x )=−(x −1)2+4，则t (x )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，又y =log 4t 在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：f (x )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)；由单调性可知：f (x )max =f (1)=log 44=1.(2)∵f (x )≤g (x )在(0,3)上恒成立，∴log 4(−x 2+2x +3)≤log 4[(m +2)x +4]，即−x 2+2x +3≤(m +2)x +4，∴x 2+mx +1≥0在(0,3)上恒成立，∴m ≥−x −1x =−(x +1x )；令ℎ(x )=−(x +1x)，则ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减， ∴ℎ(x )max =ℎ(1)=−2，∴m ≥−2，即实数m 的取值范围为[−2,+∞).【变式5-3】（2022·江苏·高三开学考试）已知函数f(x)=log 12(x 2−mx −m)． (1)若m =1，求函数f(x)的定义域．(2)若函数f(x)的值域为R ，求实数m 的取值范围．(3)若函数f(x)在区间(−∞，1−√3)上是增函数，求实数m 的取值范围．【解题思路】（1）由对数的性质有x 2−x −1>0求解集，即可得定义域.（2）由题设(0,+∞)是y =x 2−mx −m 值域的子集，根据二次函数的性质有Δ≥0即可求m 的范围.（3）首先根据二次函数、对数函数的性质判断复合函数的单调区间，再由已知区间的单调性有{m2≥1−√3t(1−√3)≥0 ，即可求m 的范围.【解答过程】（1）由题设，x 2−x −1>0，则x >1+√52或x <1−√52， 所以函数定义域为(−∞,1−√52)∪(1+√52,+∞).（2）由函数f(x)的值域为R ，则(0,+∞)是y =x 2−mx −m 值域的子集，所以Δ=m 2+4m ≥0，即m ∈(−∞,−4]∪[0,+∞).（3）由t =x 2−mx −m 在(−∞,m 2)上递减，在(m2,+∞)上递增，而y =log 12t 在定义域上递减， 所以f(x)在(−∞,m 2)上递增，在(m2,+∞)上递减， 又f(x)在(−∞,1−√3)上是增函数，故{m 2≥1−√3t(1−√3)≥0，可得2≥m ≥2(1−√3). 【题型6 对数函数的实际应用】【方法点拨】从实际问题出发，建立对数（型）函数模型，借助对数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.【例6】（2021·全国·高一专题练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3Q 100成正比，且当Q ＝900时，V ＝1. （1）求出V 关于Q 的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数．【解题思路】（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可；（2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可.【解答过程】解：（1）设V ＝k ·log 3Q 100，∵当Q ＝900时，V ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴V 关于Q 的函数解析式为V =12log 3Q 100;（2）令V ＝1.5，则1.5=12log 3Q 100⇒log 3Q100=3⇒Q100=33=27，∴Q ＝2 700，即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2700个单位．【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0ln Mm 计算火箭的最大速度v （单位：m/s ）．其中v 0（单位m/s ）是喷流相对速度，m （单位：kg ）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位：kg ）是推进剂与火箭质量的总和，M m 称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为2000m/s ． 参考数据：ln230≈5.4，1.648<e 0.5<1.649．(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500 m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？【解题思路】（1）运用代入法直接求解即可；（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可.【解答过程】(1)当总质比为230时，v=2000ln230≈2000×5.4=10800，即A型火箭的最大速度为10800m/s.(2)A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为2000×1.5=3000m/s，总质比为M3m，由题意得：3000ln M3m −2000ln Mm≥500⇒ln M27m ≥0.5⇒M27m≥e0.5⇒Mm≥27e0.5，因为1.648<e0.5<1.649，所以44.496<27e0.5<44.523，即44.496<T<44.523，所以不小于T的最小整数为45．【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100−lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.【解题思路】（1）将x0=5，v=0代入函数解析式，求出x的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到x1x2=3，得到答案.【解答过程】（1）将x0=5，v=0代入函数v=12log3x100−lgx0，得：12log3x100−lg5=0，因为lg5≈0.70，所以log3x100=2lg5≈1.40，所以x100=31.40≈4.66，所以x=466.答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为x 1，雌鸟每分钟耗氧量为x 2，由题意可得：{1.3=12log 3x1100−lgx 00.8=12log 3x 2100−lgx 0 ， 两式相减可得：12=12log 3x 1x 2，所以log 3x 1x 2=1，即x 1x 2=3，答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y 与当天锻炼时间x （单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间[0,90]上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①y =kx +b (k >0)，②y =k ⋅1.2x +b (k >0)，③y =klog 2(x15+2)+n (k >0)供选择.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：√2≈1.414，结果保留整数）【解题思路】（1）根据图像和函数性质选择模型，再将（0，0），（30，3）代入求解系数即可.（2）将x =4.5代入解析式即可.【解答过程】（1）第一步：分析题中每个模型的特点对于模型一，当k >0时，匀速增长；对于模型二，当k >0时，先慢后快增长；对于模型三，当k >0时，先快后慢增长.第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选y =klog 2(x15+2)+n .第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式将（0，0），（30，3）代入解析式得到{k+n=0klog24+n=3，即{k+n=02k+n=3，解得k=3,n=−3，即y=3log2(x15+2)−3.第四步：验证模型是否合适当x=90时，y=3log2(6+2)−3=6，满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为y=3log2(x15+2)−3.（2）由y=3log2(x15+2)−3≥4.5，得log2(x15+2)≥2.5=log2252，得x15+2≥252=4√2≈5.656，得x≥54.84，所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.。
