第十二讲 二次函数的图像与性质(一)

二次函数的图像与性质（一）
一、基础知识归纳： （1）二次函数的性质
（2）抛物线y= ax 2
+bx+c （a ≠0）与a 、b 、c 的关系：
例1、⑴.「08·龙岩市」已知函数c bx ax y ++=2
的图象如图1所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．a ＞0，c ＞0
B ．a ＜0，c ＜0
C ．a ＜0，c ＞0
D ．a ＞0，c ＜0
⑵.「08·四川南充市」二次函数2y ax bx c =++的图像如图2所示，则点c Q a b
⎛⎫ ⎪
⎝
⎭
，在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
⑶.「08·绍兴市」已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2
1y x =-上，下列说法中正确的是
（ ）
A ．若12y y =，则12x x =
B ．若12x x =-，则12y y =-
C ．若120x x <<，则12y y >
D ．若120x x <<，则12y y >
⑷. 「08·泰安市」在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和2
22y mx x =-++（m 是常
数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）
⑸.「08·日照市」若A （1,413y -
），B （2,45y -），C （3,4
1y ）为二次函数2
45y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是 （ ） A ．123y y y <<
B ．213y y y <<
C ．312y y y <<
D ．132y y y <<
⑹.「08·泰安市」如图3所示是二次函数2
122
y x =-
+的图象在x 轴上方的一部分，对于这段图象与x 轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最．接近的值是（ ） A ．4 B ．
163
C ．2π
D ．8
⑺.「08·兰州市」已知二次函数
2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++
>；④2
4
0b ac ->；其中正确的结论有（ ）
图3
图4
图2
x
图7
图5
A ．
B ．
C ．
x
D A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
⑻.「08·兰州市」下列表格是二次函数2
y ax bx c =++的自变量x 与函数值
y 的对应值，
判断方程2
0ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是（ ）
A ．
B ．
C ． 6.19x <
D ．6.19 6.20x <<
⑼.「08·河北」如图5，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别
在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方
形的边长为x ，且010x <≤，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）
例2、⑴.「08·苏州市」初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象时，
⑵.的对称轴是直线，且经过点（3，0），则= .
⑶.「08·台州市」如图7，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：米）与小球
运动时间t （单位：秒）的函数关系式是2
9.8 4.9h t t =-，那么小球运动中的最大高度
h =最大 ．
⑷.「08·大连市旅顺口区」已知二次函数2
2y x x m =-++的部分图象如图8所示，则关于x 的一元二次方程2
20x x m -++=的解为 ．
图8
例3、「08·绍兴市」定义[]p q ，为一次函数y px q =+的特征数． （1）若特征数是[]22k -，的一次函数为正比例函数，求k 的值；
（2）设点A B ，分别为抛物线()(2)y x m x =+-与x y ，轴的交点，其中0m >，且O A B △
的面积为4，O 为原点，求图象过A B ，两点的一次函数的特征数．
例4、「08·南通市」已知点A （－2，－c ）向右平移8个单位得到点A '，A 与A '两点均在抛
物线2y ax bx c =++上，且这条抛物线与y 轴的交点的纵坐标为－6，求这条抛物线的顶点坐标．
例5、「08·南平市」如图9，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC ，O 为原点，点A C
，分别在x 轴，y 轴上，点B
坐标为(m （其中0m >），在BC 边上选取适当的点E 和点F ，将O C E △沿OE 翻折，得到OGE △；再将ABF △沿AF 翻折，恰好使点B 与点G 重合，得到AGF △，且90OGA ∠=．
（1）求m 的值；
（2）求过点O G A ，，的抛物线的解析式和对称轴； （3）在抛物线的对称轴．．．上是否存在点P ，使得OPG △是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出．．．．
所有满足条件的点P 的坐标（不要求写出求解过程）． 【提示：抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是2b x a
=-，顶点坐标是2424b ac b a a
⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
，】
图
10 x
例6、「上海市·08」如图10，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．二次函数2
3y x bx =-++ 的图像经过点(10)A -，，顶点为B ．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B 的坐标； （2）如果点C 的坐标为(40)，，AE BC ⊥，垂足为点E 点D 在直线AE 上，1DE =，求点D 的坐标．
选讲「08·长春市」已知两个关于x 的二次函数1y 与2y ，22
112()2(0)6y y a x k k y y x x =-+>+=+，， 212()2(0)612a x k k y y x x =-+>+=++，，当x k =时，217y =；且二次函数2y 的图象的对称轴是直线1x =-，．
（1）求k 的值；
（2）求函数12y y ，的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点？请说明理由．
x
图13
图14
图15
三、课后训练：
1.若二次函数y= ax 2+bx+c 关于y 轴对称，则有（ ） A.b 2=4ac B.x=a
b
2-
C.b=2a
D.b=0 2.（07·江西）已知二次函数m x x y ++-=22
的部分图像如图11所示，则关于x 的一元二次方程022
=++-m x x 的解为 .
3.二次函数y= ax 2
+bx+c 的图象如图12所示，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A. a ＞b ＞c B. a ＞c ＞b C. a ＞b ＝c D.a 、b 、c 关系不确定
4.「07·天津」已知二次函数y= ax 2
+bx+c （a ≠0）的图象如图13所示，有以下5个结论： ①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m （am+b ）（m ≠1的实数）.其中
正确的结论有： （ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
5.如图14，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平离x （单位：m ）之间的关
系是2125
1233
y x x =-++．则他将铅球推出的距离是 m ． 6.（08·巴中市）在图15是王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛
物线218
55
y x x =-
+，其中y （m ）是球的飞行高度，x （m ）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ．
（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线
应满足怎样的抛物线，求出其解析式．。