二次函数的图像与性质(教案)
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二次函数的图像与性质（教案）
教学目标：
一. 知识与技能：
1. 通过对二次函数性质习题的讲评，使学生熟练掌握二次函数的图像与性质
2. 懂得从图像中获取有关的性质信息。
3. 使学生会通过图像求二次函数的解析式。
二. 过程与方法：通过数形结合理解二次函数的性质。
三. 情感态度与价值观：培养数形结合思想，体验函数具体解决现实问题的功能。
教学重点：如何在图像中获取有用的信息。
教学难点：性质的综合应用
教学过程：
一. 引入：华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”要真正的研究数学就应该数形结合，研究函数就是用数形结合的思想
二次函数是函数问题中的主要内容，中考试题中年年考查，可以出简单题、中档题甚至于综合性难题，但实际上有相当一部分的题型都跟二次函数的图像与性质有关，本节课通过对我们做过的习题进行讲评，使同学们熟练掌握二次函数的图像与性质
二.讲评：
一. 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的性质：
1.图像位置
一题.5. 在同一坐标系中，函数y=-x-1和y=x²+2x+1
的图像可能是（ ）
总结抛物线20yaxbxca的性质：
a、b、c的代数式 作用 说明
a 1. a的正负决定抛物线的开口方向； 2. a决定抛物线开口大小 开口向上
开口向下
b 决定对称轴的位置，对称轴为直线2bxa a、b同号 对称轴在y轴左侧
b=0 对称轴在y轴
a、b异号 对称轴在y轴右侧
c 确定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标（0，c） 交点在y轴的正半轴
交点是原点
交点在y轴的负半轴
决定抛物线与x轴交点个数 抛物线与x轴有2个交点
抛物线与x轴有1个交点
抛物线与x轴有0个交点 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． x O
x O x O x y
O 如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！
决定顶点位置 0a时，顶点纵坐标244acba是二次函数的最小值。
0a时，顶点纵坐标244acba是二次函数的最大值。
决定抛物线与x轴交点的横坐标 当0y时，即20axbxc，则抛物线与x轴的交点坐标为2244,0,,022bbacbbacaa
【练习】 已知反比例函数xky的图像如下右图所示，则二次函数222kxkxy的图像大致为（ ）
【总结】灵活运用二次函数中24abcbac、、、的性质在图像中解题，也就是根据抛物线确定二次函数解析式中字母系数的取值范围，很好地体现了数形结合的数学思想，这就需要大家对于二次函数的性质与图像要比较熟悉，并能在图像中从这些性质来思考解决问题的思路。
2.图像对称性
二题4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(-1, 0)和(5, 0)两点,
则该抛物线的对称轴是
【总结】二次函数的对称性：二次函数的图像是一个关于对称轴
2bxa对称的轴对称图形，当抛物线上两点的纵坐标相同，即12,,,xyxy时，1222xxba。
【练习】抛物线2yaxbxc的对称轴为2x且抛物线上点A（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是 。
3. 二次函数的增减性：
三题1．抛物线 y=x²-2x-1 的对称轴是 ，当x 时，y随x的增大而减小
【总结】
①如图1，当0a时，当2bxa时，y随x的增大而增大，当2bxa时，y随x的增大而减小。
②如图2，当0a时，当2bxa时，y随x的增大而减小，当2bxa时，y随x的增
大而增大。
物线21yx上，下列【练习】 已知点11()xy，，22()xy，均在抛说法中正确的是（ ） A． B． C． D如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！
A．若12yy，则12xx
B．若12xx，则12yy
C．若120xx，则12yy
D．若120xx，则12yy
4.最值问题
例如一题6. 如图所示，某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为242yxx，此水柱的最大高度是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 26
【练习】1.二次函数y=-3x2+30x的最大值是 。
2.二次函数y=-3x2+30x(6≤x≤10)的最大值是 。
3.二次函数y=-3x2+30x(6≤x≤10)的最小值是
二、二次函数图像的平移：
二题6.把抛物线y=2x²向左平移1个单位，再向下平移
2个单位，平移后得到抛物线______________
【规律】：把抛物线y=-3x²向左平移1个单位，平移后得到抛物线_____________。把抛物线y=-3x²向右平移1个单位，平移后得到抛物线_____________。
即：左加右减h
把抛物线y=-3x²向上平移1个单位，平移后得到抛物线_____________。把抛物线y=-3x²向下平移1个单位，平移后得到抛物线_____________。
即：上加下减k
三.二次函数解析式的求法：
三题1. 如图，直线mxy和抛物线cbxxy2都经过点A(1，0)，B(3，2)．
⑴求m的值和抛物线的解析式；
．
解：（1）∵直线y=x+m经过点A(1,0)
∴0=1+m
∴m=－1．即m的值为－1
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(1,0),B(3,2)．
∴.cb392cb10，
解得2c3b
∴二次函数的解析式为y=2x3x2． OyxBA如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！
【总结】一些常见二次函数图像的解析式
① 如图1：若抛物线的顶点是原点，设 20yaxa ；
② 如图2：若抛物线过原点，设20yaxca；
③ 如图3：若抛物线的顶点在y轴上，设20yaxbxa；
④ 如图4：若抛物线经过y轴上一点0,3，设230yaxbxa；
⑤ 如图5：若抛物线知道顶点坐标,hk，设20yaxhka。
【练习】已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2．
求二次函数的函数关系式；
四、二次函数综合题
1. 二次函数cbxaxy2（0a）的图像如图所示， 则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2-4ac＞0，其中正确的个数是( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 已知二次函数2yaxbxc（0a）的图像如图所示，有下列4个结论：①0abc；②bac；③420abc；④240bac；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三1.如图，直线y=x+m和抛物线y=x²+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x²+bx+c＞x+m
的解集（直接写出答案）。
(3)设抛物线与x轴交于点C,求三角形ABC的面积
考考你
1．抛物线y=x2-4的顶点坐标是 （ ）
A、（2，0） B、（-2，0）
C、（1，-3） D、（0，-4）
2．若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)上的两个点，则它的对称轴是 （ ）
A、 B、x=1 C、x=2 D、x=3
3．已知反比例函数 的图像在一、三象限，则函数y=ax2+a图象经过的象限是
（ ）
A、第三、四象限 B、第一、二象限
C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限
4.二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函
数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）
三. 课堂小结：
1. 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的性质：
图像的位置
抛物线的增减性。 abx如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！
抛物线的对称性。
最值问题
2. 抛物线的平移
3. 抛物线解析式的求法。
四. 作业：完成课后练习。
