恒定总流的动量方程详解

恒定总流的动量方程利用前面介绍的连续性方程和能量方程，已经能够解决许多实际水力学问题，但对于某些较复杂的水流运动问题，尤其是涉及到计算水流与固体边界间的相互作用力问题，如水流作用于闸门的动水总压力，以及水流经过弯管时，对管壁产生的作用力等计算问题，用连续性方程和能量方程则无法求解，而必须建立动量方程来解决这些问题。

动量方程实际上就是物理学中的动量定理在水力学中的具体体现，它反映了水流运动时动量变化与作用力间的相互关系，其特点是可避开计算急变流范围内水头损失这一复杂的问题，使急变流中的水流与边界面之间的相互作用力问题较方便地得以解决。

一、动量方程式的推导及适用条件（一）动量方程式的推导由物理学可知，物体的质量m 与速度υ的乘积称为物体的动量。

动量是矢量，其方向与流速方向相同。

物体在外力作用下，速度会发生改变，同时动量也随之变化。

动量定理可表述为：运动物体单位时间内动量的变化等于物体所受外力的合力。

现将动量定理用于恒定流中，推导恒定流的动量方程。

图3-29在不可压缩的恒定流中，任取一渐变流微小流束段1—2（图3-29）。

设1—1断面和2—2断面的过水断面面积和流速分别为21、dA dA 和1u 、2u ，经过dt 时段后，微小流束由原来的1—2位置运动到了新的位置21'-'处，从而发生了变化。

设其动量的变化为dk ，它应等于流段21'-'与流段1—2内的动量之差。

因为水流为不可压缩的恒定流，所以对于公共部分21-'段来讲，虽存在着质点的流动的替换现象，但它的形状、位置以衣液体的质量、流速等均不随时间发生变化，故动量也不随时间发生改变。

这样，在dt 时段内，21'-'段的水流动量与1—2段的动量之差实际上即为22'-段的动量与11'-段的动量之差。

在dt 时段内，通过11'-段的水体质量为11dtdA u ρ，通过22'-段的水体质量为22dtdA u ρ，对于不可压缩液体，根据连续性方程，可知dQdt dtdA u dtdA u ρρρ==2211，则微小流束段的动量变化为)(12u u dQdt k d -=ρ设总流两个过水断面的面积分别为21A A 与，将上述微小流束的动量变化k d 沿相应的总流过水断面进行积分，即可得到总流在dt 时段内动量的变化量为)()()(121112221212a dA u u dA u u dt u dQdt u dQdt u u dQdt k d A A QQ Q ⎰⎰⎰∑⎰⎰-=-=-=ρρρρ 由于实际液体过水断面上的流速分布均匀，且不易求得，故考虑用断面平均流速υ来代替断面上不均匀分布的流速u ，以便计算总流的动量。

恒定总流动量⽅程恒定总流动量⽅程1．流体为恒定流，且流体是不可压缩的。

2．流体运动符合连续原理；3．所取的两个断⾯为渐变流流动，但在两个断⾯之间可以不是渐变流。

4．两个断⾯之间的流体没有外界能量的加⼊或内部能量的取出。

5．能量⽅程在推导过程中流量是沿程不变的，前后两个断⾯是指同⼀股液流。

§2-4-2 应⽤伯努利⽅程应注意的问题1. 分析流动，选取好过⽔断⾯；2. 选择好计算点和基准⾯；3. 压强⼀般以相对压强表⽰，单位要⼀致；4. 全⾯分析和考虑所取两过流断⾯之间的能量损失。

§2-4-3 伯努利⽅程的应⽤1．毕托管测流速图3-28①驻压强：流动流体中加⼀障碍物后，驻点处增⾼的压强，即动能转化⽽来的压强②动压强：流动流体中不受流速影响的某点的压强③总压强：运动流体动压强与驻压强之和，即驻点处的压强。

③总压强：运动流体动压强与驻压强之和，即驻点处的压强。

④单孔测速管制作原理：当⽔流受到迎⾯物体的阻碍，被迫向四周分流时，在物体表明上受⽔流顶冲的A点流速等于零，称为⽔流滞⽌点（驻点）。

驻点处的动能全部转化为压能，单孔测速管和毕托管就是根据这⼀原理制成的⼀种测速仪。

如图，1管测的是动压强，2管测的是总压强，则驻压强测得理论流速：实际流速：（ µ：修正系数，Ｈ：为两管⽔头差。

）2. ⽂丘⾥流量计（Venturi Meter）如图，主管路直径为,喉管直径；在定流条件下，测压管⽔头差为，推导管路中实际⽔流量的计算式。

对过⽔断⾯1-1、2-2列能量⽅程运⽤连续⽅程有：得主管流速理想情况下的流量实际流量式中——流量系数，主要与管材、尺⼨、加⼯精度、安装质量、流体的粘性及其运动速度等有关，——结构常数. ⼀般⽔⼒计算问题【例3-3】⼀虹吸管，已知a=1.8m,b=3.6m,，由⽔池引⽔⾄Ｃ端流⼊⼤⽓，若不计损失，设⼤⽓压为10m⽔柱，求：（１）管中流速，及Ｂ点之绝对压强。

（２）若Ｂ点绝对压强下降到0.24m⽔柱以下，将发⽣汽化，设Ｃ端保持不动，问欲不发⽣汽化，a不能超过多少？解：引⽔时，⽔池中⽔⾯可认为⼀过流截⾯，流体经吸⽔⼝进⼊虹吸管（１）以Ｃ端为基准⾯，对Ａ、Ｃ截⾯写伯诺⾥⽅程，Ａ截⾯流速很⼩，可忽略，则有：(a)V=8.4m/s对ＡＢ截⾯应⽤伯诺⾥⽅程，以Ａ为基准⾯：（b）（⽔柱）（２）为不发⽣汽化，必须（⽔柱），将此关系代⼊（b）得：（⽔柱）例4 如图所⽰⽔泵管路系统,已知：流量Q=101m3/h,管径d=150mm，管路的总⽔头损失hw1-2=25.4m,⽔泵效率η=75.5%，试求：（1）⽔泵的扬程Hp（2）⽔泵的功率Np解：(1) 计算⽔泵的扬程Hp以吸⽔池⽔⾯为基准写1-1,2-2断⾯的能量⽅程即∴(2)计算⽔泵的功率Np此题主要说明在⽔流中有能量输⼊或输出时能量⽅程的应⽤。

恒定总流动量方程验证实验报告一、实验原理1.恒定总流动量方程对恒定总流运用动量守恒原理，可以得到动量方程ρααQ v v F ()-+=∑011022，它表明总流中上游1-1断面和下游2-2断面之间控制体内流体所受外力之矢量和等于单位时间经两断面流出控制体的动量。

利用动量方程我们往往可以求出所需的作用力，包括边界对流体的作用力或者其反作用力（流体对边界的作用力）。

水流从圆形喷嘴射出，垂直冲击在距离很近的一块平板上，随即在平板上向四周散开，流速方向转了900，取射流转向前的断面1-1和水流完全转向以后的断面2-2（是一个圆筒面，它应截取全部散射的水流）之间的水流区域为控制体，运用动量方程可求出平板对水流的作用力'R .2.具体计算公式推导不考虑水流扩散、板面和空气阻力，由恒定总流能量方程可得：gv g v g p z g p z 22)()(21222211-=+-+ρρ控制面中除了水流和平板的交界面外压强都为零，即P 1=P 2，喷嘴距离平板很近，可认为Z 1=Z 2，于是： v v v 12==.若射流方向水平，重力沿射流方向无分量,沿射流方 向的动量方程投影式为: ραQ v R ()0011-=-'， 取动量修正系数α0110=.,则 '=R Qv ρ.若射流冲击的是一块凹面板,则沿射流方向的动量方程投影式为: ραβαQ v v R (cos )022011-=-'， 取动量修正系数αα010210==.，v v v 12== 仍满足，所以 '=-R Qv ρβ(cos )1.本实验装置设计的射流方向是铅垂向上的，重力沿射流方向有分量，考虑到重力的减速作用，射流冲击到实验板上的速度小于喷嘴出口流速，为v v v gz 1222==-， 故将实验板受力公式改为R Q v gz =--ρβ221(cos )，其中z 为射流喷射高程（喷嘴出口到实验板的距离）二、实验装置实验设备与仪器见下图。

恒定总流的动量矩方程利用上节介绍的动量方程，只能确定水流与边界之间相互总用里的大小和方向，不能给出作用点的位置。

要解决这一问题，可运用动量矩方程求得。

水流通过水轮机或水泵等水力机械时是在叶片所构成的通道内流动的，这时水流与叶片之间有力的作用，受水流作用的转轮叶片本身又绕一固定轴转动，在分析这类问题时需要了解动量矩变化与外力之间的关系。

利用微小流束的动量方程对某固定点取矩，可得到微小流束的动量矩方程F r u r u r dQ ⨯=⨯-⨯)(1122ρ (3-41)式中 r 1、r 2分别是从固定点到流速矢量u 1、u 2的作用点的矢径。

再在总流过水断面上求矢量积分则得恒定总流的动量矩方程)(1111222212F r dA u u r dA u u r A A ⨯∑=⨯-⨯⎰⎰ρρ (3-42)这就是说，单位时间里控制面内恒定总流的动量矩变化(流出的动量矩与流入的动量矩之矢和差)等于作用于该控制面内所有液体质点的外力矩之和。

动量矩方程的一个最重要的应用是利用它导出叶片式流体机械(泵、风机、水轮机及涡轮机等)的基本方程。

现以离心泵或风机为例作推导。

如图3-37（a ）所示，流体从叶轮的内缘流入，经叶片槽道于外缘流出。

叶轮中流体质点作复合运动：一方面，在离心力的作用下相对叶片流动(相对运动)；另一方面，流体质点受旋转叶片的作用作圆周运动(牵连运动)。

流体质点的绝对速度c 应等于其相对速度w 与牵连速度(又称为圆周速度)u 的矢量和，即c =w +u (3-43)离心泵或风机的进出口速度三角形如图所示。

其中a 1与a 2分别是进出口绝对速度与相应圆周速度的夹角。

图3-37取进出口轮缘(两圆柱面)为控制面。

此时，尽管对于固结在机壳上的惯性坐标系来说，叶轮中流体是非恒定流，但控制面内的动量矩不随时间改变，故仍可运用恒定总流的动量矩方程(3-42)。

假定断面流速分布是均匀的(一元流动)，注意到对轮心的外力矩中，重力的合力矩等于零，叶轮进出口圆柱面上的动水压强p 1与p 2因通过轮心，其力矩也等于零，流体与叶片间的切应力指向轮心，其力矩仍等于零，只有叶片对流体的作用力对转轴产生了力矩M 。